MA 1112 Farith Guías 1 6 2016 pdf

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(1)Matemática II. Farith Briceño - 2016 Material en revisión.

(2) Indice. 1 Antiderivada.. 3. 2 Método de integración: Manipulación algebraica.. 19. 3 Método de integración: u-sustitución.. 37. 4 Notación sigma.. 61. 5 Integral definida.. 73. 6 Teorema Fundamental del Cálculo.. 95. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(3) Matemática II - Guía 1. Antiderivada. Objetivos a cubrir. Código : MAT-CI.1. • Definición de antiderivadas. • Integral indefinida. Propiedades de la integral indefinida.. Ejercicios resueltos. 1 Ejemplo 1 : Demuestre que si f (x) = arcsen x, entonces f ′ (x) = √ , con −1 < x < 1. 1 − x2. Demostración : Es conocido que la función inversa de g (x) = sen x, es f (x) = arcsen x, definida en −1 ≤ x ≤ 1, es decir, g −1 (x) = f (x), además si una función g tiene inversa y es diferenciable, entonces g −1 es diferenciable y su derivada viene dada por ′ g −1 (x) =. Como g ′ (x) = cos x, se tiene que g −1 (x) De la identidad trigonométrica básica,. ′. 1 . g ′ (g −1 (x)). ′. = (arcsen x) =. 1 . cos (arcsen x). sen2 (·) + cos2 (·) = 1, despejamos cos (·) y obtenemos cos (·) = ±. p 1 − sen2 (·).. h π πi Al componer la expresión del cos (·) con la función f (x) = arcsen x, como Rgo f = − , y el coseno 2 2 es positivo en ese intervalo,. π 2. y y = arcsen x. 1. y y = cos x. − π2 −1. 1. x. 3π − 2. −π. π 2 0. π. 3π 2. x. π −2 −1. h π πi Rgo f = − , 2 2. h π πi Se tiene cos x ≥ 0 si x ∈ − , 2 2. por lo tanto, se toma la expresión positiva del coseno y se tiene, q p p 2 cos (arcsen x) = 1 − sen2 (arcsen x) = 1 − (sen (arcsen x)) = 1 − x2 . Luego,. definida para −1 < x < 1. Última actualización: Julio 2016. 1 ′ (arcsen x) = √ , 1 − x2. Farith J. Briceño N.. ⋆. [email protected].

(4) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. 4. Ejemplo 2 : Hallar una función f , tal que se cumpla la siguiente igualdad Z f (x) dx = arcsen x + C. Solución : Por la definición de primitiva se tiene que cumplir ′. (arcsen x + C) = f (x) , así,. 1 1 ′ ′ ′ (arcsen x + C) = (arcsen x) + (C) = √ +0= √ . 2 | {z } | {z } |{z} 1−x 1 − x2 ↑ ↑ ↑ Derivada de una suma de funciones. Derivada: Ver ejemplo 1. Luego,. Derivada de una constante. 1 f (x) = √ . 1 − x2. ⋆. Ejemplo 3 : Hallar una función f , tal que se cumpla la siguiente igualdad Z √ f (x) dx = arctan x + C.. así,. Solución : Por la definición de primitiva se tiene que cumplir ′ √ arctan x + C = f (x) arctan |. ′ √ √ ′ √ ′ 1 1 1 ′ √ . x + C = arctan x + (C) = √ 2 ( x) + 0 = |{z} 1 + x 2 x {z } | {z } 1 + ( x) ↑ ↑ ↑. Derivada de una suma de funciones. Derivada: Regla de la cadena. Luego,. Derivada de una constante. 1 f (x) = √ . 2 x (1 + x) ⋆. Ejemplo 4 : Integre. Z. −2−5 dx.. Solución : Se tiene. Z. Z. xn dx =. xn+1 +C n+1. con. n=0. ↓ zZ }| { x0+1 −2−5 dx = −2−5 1 dx = −2−5 + C = −2−5 x + C. | {z } 0+1 ↑. Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Luego,. Última actualización: Julio 2016. Z. −2−5 dx = −2−5 x + C. ⋆ Farith J. Briceño N.. [email protected].

(5) Matemática II - Guía 1.. Ejemplo 5 : Integre. Antiderivada.. Z. √. x dx.. Solución : Es conocido que entonces. Z. √. √ x = x1/2 ,. x dx =. Z. Z. 1. xn dx =. xn+1 +C n+1. con. Z. Ejemplo 6 : Integre. x 2 +1 1 +1 2. x1/2 dx = | {z } ↑. Luego,. Z. 5. n=. +C =. x3/2 3 2. +C =. 2x3/2 + C. 3. 1 2. √ 2x3/2 x dx = + C. 3 ⋆. 2 csc2 x dx.. Solución : Se tiene (cot x)′ = − csc2 x. Z. 2. 2 csc x dx = 2 ↑. zZ. ↓ }|. {. 2. csc x dx = −2 cot x + C.. Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Luego,. Z. Ejemplo 7 : Integre. Z. 2 csc2 x dx = −2 cot x + C. ⋆. (πx + sec x tan x) dx.. Solución : Se tiene Z. Z. Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx. (f (x) + g (x)) dx =. Z Z Z ↓ Z (πx + sec x tan x) dx = πx dx + sec x tan x dx = π x dx + sec x tan x dx, ↑. Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. donde. Z. Z. x dx = | {z } ↑. xn dx =. xn+1 +C n+1. x1+1 1+1. con. Última actualización: Julio 2016. x2 + C1 = + C1 2. y. Z |. sec x tan x dx = sec x + C2 , {z } ↑. (sec x)′ = sec x tan x. n=1. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(6) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. 6. entonces 2 Z πx2 x πx2 + C1 + sec x + C2 = + C1 π + sec x + C2 = + sec x + (C1 π + C2 ) (πx + sec x tan x) dx = π | {z } 2 2 2 ↑ Constante C. Luego,. Z. Ejemplo 8 : Integre. (πx + sec x tan x) dx =. πx2 + sec x + C. 2 ⋆. Z 1 x2 + 1 + 2 dx. x. Solución : Se tiene Z. Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx. (f (x) + g (x)) dx =. Z Z Z Z Z Z ↓ Z 1 1 2 2 2 dx = x dx + 1 dx + x−2 dx, x + 1 + 2 dx = x dx + 1 dx + x x2 donde Z Z. x2 dx = | {z } ↑ xn dx =. x2+1 2+1. xn+1 +C n+1. + C1 =. con. x3 + C1 , 3. Z. n=2. por último. Z Z. x−2 dx = | {z } ↑ xn dx =. Z. mientras que. x−2+1 −2 + 1. xn+1 +C n+1. con. + C3 =. 1 dx = | {z } ↑. xn dx =. xn+1 +C n+1. x0+1 0+1. con. + C2 = x + C2 ,. n=0. x−1 1 + C3 = − + C3 . −1 x. n = −2. Entonces Z 1 x3 1 x3 1 2 x + 1 + 2 dx = + C1 + x + C2 + − + C3 = + x − + (C1 + C2 + C3 ) {z } x 3 x 3 x | ↑ Constante C. Luego,. Z 1 x3 1 x2 + 1 + 2 dx = + x − + C. x 3 x ⋆. Z √ 2 5 2 Ejemplo 9 : Integre x − √ dx. 5 x3 Solución : Se tiene, por linealidad de la integral indefinida que. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(7) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. 7. Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Z √ Z √ Z ↓ Z √ Z 2 2 1 5 5 5 2 2 2 dx − 2 √ √ x − √ x dx − x dx = dx = dx, 5 5 5 3 x3 x x3 ↑ Linealidad de la integral Z Z f (x) dx − g (x) dx. Z. donde. (f (x) − g (x)) dx =. Z √ Z 5 2 x dx = x2/5 dx = | {z } ↑ Z. xn dx =. xn+1 +C n+1. 2. x 5 +1 2 +1 5. con. n=. + C1 =. x7/5 7 5. + C1 =. 5x7/5 + C1 , 7. 2 5. mientras que Z. 1 √ dx = 5 x3. Z. 1. dx =. x3/5. Z. Z |. xn dx =. 3. −3/5. x. dx = {z } ↑. xn+1 +C n+1. con. x− 5 +1 + C2 = 3 − +1 5 n=−. x2/5 2 5. + C2 =. 5x2/5 + C2 , 2. 3 5. entonces 2/5 Z √ 2 5x 5x7/5 5x2/5 5x7/5 5 2 x − √ + C1 − 2 + C2 = + C1 − 2 − 2C2 dx = 5 7 2 7 2 x3 =. 5x7/5 − 5x2/5 + (C1 − 2C2 ) | {z } 7 ↑ Constante C. Luego,. Z √ 2 5x7/5 5 x2 − √ dx = − 5x2/5 + C. 5 7 x3 ⋆. Ejemplo 10 : Integre. Z. Solución : Se tiene. √ x − 5x dx.. Z. Z. Linealidad de la integral Z Z f (x) dx − g (x) dx. (f (x) − g (x)) dx =. Z Z Z ↓ Z √ √ √ x − 5x dx = x dx − 5x dx = x dx − 5 x dx, ↑ Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(8) Matemática II - Guía 1.. donde. Z. Antiderivada.. √ x dx =. Z. Z |. xn dx =. 1. x 2 +1 1 +1 2. 1/2. x. dx = {z } ↑. xn+1 +C n+1. mientras que. con. Z. n=. x dx = | {z } ↑. Z. n. x dx =. + C1 =. 8. x3/2 3 2. + C1 =. 2x3/2 + C1 , 3. 1 2. x1+1 1+1. xn+1 +C n+1. + C2 =. con. x2 + C2 , 2. n=1. entonces 2 Z √ 2x3/2 2x3/2 x 5x2 2x3/2 5x2 + C1 − 5 + C2 = + C1 − − 5C2 = − + (C1 − 5C2 ) x − 5x dx = | {z } 3 2 3 2 3 2 ↑ Constante C. Luego,. Z. Z Ejemplo 11 : Integre sen x + Solución : Se tiene Z. Z sen x +. √ 2x3/2 5x2 x − 5x dx = − + C. 3 2. 5 3 −√ 1 + x2 1 − x2. . dx.. Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx. 5 3 −√ 2 1+x 1 − x2. donde Z. sen x dx = − cos x + C1 , | {z } ↑ (cos x)′ = − sen x. . ⋆. ↓ Z Z dx = sen x dx +. ↓ ↓ Z 5 3 √ dx dx − 1 + x2 1 − x2 Z Z Z 1 1 √ dx, = sen x dx + 5 dx − 3 1 + x2 1 − x2. Z. dx = arctan x + C2 1 + x2 | {z } ↑. (arctan x)′ =. 1 1 + x2. y. Z. dx √ = arcsen x + C3 1 − x2 | {z } ↑. (arcsen x)′ = √. 1. 1 − x2. entonces Z sen x +. 5 3 −√ 2 1+x 1 − x2. . dx = − cos x + C1 + 5 (arctan x + C2 ) − 3 (arcsen x + C3 ) = − cos x + C1 + 5 arctan x + 5C2 − 3 arcsen x − 3C3 = − cos x + 5 arctan x − 3 arcsen x + (C1 + 5C2 − 3C3 ) | {z } ↑ Constante C. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(9) Matemática II - Guía 1.. Luego,. Z . Antiderivada.. 5 3 −√ sen x + 1 + x2 1 − x2. . 9. dx = − cos x + 5 arctan x − 3 arcsen x + C. ⋆. Ejemplo 12 : Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (9, 4) y cuya pendiente √ en cada punto es 3 x. Solución : Es conocido que la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera x es mtan = f ′ (x), por lo tanto, √ f ′ (x) = 3 x. Para obtener f integramos respecto a x, Z Z √ f ′ (x) dx = 3 x dx. f (x) = 2x3/2 + C,. =⇒. puesto que la función f pasa por el punto (9, 4) se tiene que 3/2. 4 = f (9) = 2 (9). +C. 4 = 2 32. =⇒. Luego,. 3/2. +C. =⇒. 2 = 27 + C. =⇒. −25 = C.. f (x) = 2x3/2 − 25. ⋆ d2 y = 4 − x2 y una ecuación de la recta dx2 tangente a la curva en el punto (1, −1) es 2x − 3y = 3. Encontrar una ecuación de la curva. Ejemplo 13 : En cualquier punto (x, y) de una curva se tiene. Solución : Tenemos que Z 2 Z d y dx = dx2. 4 − x2. . dx. dy x3 = 4x − + C1 , dx 3. =⇒. del hecho que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, −1) es 2x − 3y = 3, se tiene que 2 f ′ (1) = , por lo tanto, 3 3. 2 (1) = f ′ (1) = 4 (1) − + C1 3 3 entonces,. =⇒. 2 1 = 4 − + C1 3 3. =⇒. C1 = −3. dy x3 = 4x − − 3, dx 3. integramos nuevamente Z Z dy x3 dx = 4x − − 3 dx dx 3. y = 2x2 −. =⇒. x4 − 3x + C2 , 12. la curva pasa por el punto (1, −1) así, 4. −1 = 2 (1) −. (1) − 3 (1) + C2 12. =⇒. Luego y = 2x2 −. −1 = 2 −. 1 − 3 + C2 12. =⇒. C2 =. 1 . 12. x4 1 − 3x + . 12 12 ⋆. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(10) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. 10. Ejemplo 14 : Se lanza una piedra hacia arriba verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial de 128 p/seg. Si la única fuerza considerada es la que se le atribuye a la aceleración de la gravedad, encontrar que tan alto llegará la piedra y la velocidad con la que llegará al suelo. Encontrar también cuanto tiempo tomará a la piedra llegar al suelo. Solución : La dirección positiva se toma hacia arriba. Sea • t : el tiempo, en segundos, que ha transcurrido desde que se lanzó la piedra. • s : la distancia, en pies, de la piedra al suelo a los t seg de tiempo. • υ : la velocidad, en pies por segundos, de la piedra a los t seg de tiempo. • |υ| : el número de pies por segundo en la rapidez, en pies por segundos, de la piedra a los t seg de tiempo. La piedra estará en su punto más alto cuando la velocidad sea cero. Sea s el valor particular de s cuando υ = 0. Cuando la piedra toca el suelo, s = 0. Sean t y υ los valores particulares de t, υ cuando s = 0 y t 6= 0. La dirección positiva de la piedra desde el punto de partida se toma hacia arriba. Como la única aceleración se debe a la gravedad que actúa en dirección hacia abajo, la aceleración tiene un valor constante de −32 p/seg2. Es conocido que la aceleración a es la primera derivada de υ con respecto a t y la segunda derivada de s con respecto a t, es decir dυ d2 s a= = 2 = −32 dt dt integramos respecto a t Z Z 2 Z d s ds dυ dt = dt = −32 dt =⇒ υ (t) = = −32t + C1 2 dt dt dt como υ = 128 cuando t = 0, tenemos 128 = υ (0) = −32 (0) + C1 por lo tanto,. =⇒. C1 = 128,. ds = −32t + 128 dt. integramos, nuevamente, respecto a t Z Z ds dt = (−32t + 128) dt dt. s (t) = −16t2 + 128t + C2 ,. =⇒. como s = 0 cuando t = 0, tenemos 0 = s (0) = −16 (0)2 + 128 (0) + C2. =⇒. C2 = 0. y nos queda s (t) = −16t2 + 128t.. La piedra estará en su punto más alto cuando la velocidad sea cero, así, 0 = υ (t) = −32t + 128. =⇒. t=. 128 = 4, 32. es decir, la piedra tarda 4 seg para llegar a su punto más alto y la distancia es 2. s (4) = −16 (4) + 128 (4). =⇒. s (4) = 256,. por lo tanto, la mayor altura que la piedra alcanzará es de 256 pies. Para conocer con que velocidad llegará la piedra al suelo igualamos la función distancia a cero, de allí, obtenemos 0 = s (t) = −16t2 + 128t Última actualización: Julio 2016. =⇒. 0 = −16t (t − 8). Farith J. Briceño N.. =⇒. t=0. y. t = 8, [email protected].

(11) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. 11. pero el valor t = 0 corresponde al momento en que es lanzada la piedra, por lo tanto, la piedra llega al piso en 8 seg, luego la velocidad con la que llega es υ (8) = −32 (8) + 128 = −128. =⇒. |υ| = 128,. es decir, la piedra llega al suelo con una rapidez de 128 p/seg.. ⋆ Ejercicios. 1 1. Demuestre que si f (x) = arcsen x, entonces f ′ (x) = √ , con −1 < x < 1. 1 − x2 2. Demuestre que si f (x) = arctan x, entonces f ′ (x) =. 1 . 1 + x2. 1 3. Demuestre que si f (x) = arccos x, entonces f ′ (x) = − √ , con −1 < x < 1. 1 − x2 4. Demuestre que si f (x) = sec−1 x, entonces f ′ (x) = 5. Suponga que. √ d 1− x dx. f (x) = Encuentre Z 1. f (x) dx Z. 5.. f (x) dx 4. 2.. Z. 6.. Z. |x|. √. 1 , con |x| > 1. x2 − 1. y. g (x) dx 2g (x) dx. 3.. Z. 7.. Z. g (x) =. d (x + 2) dx. 4.. Z. (−g (x)) dx. (f (x) + g (x)) dx. 8.. Z. (f (x) − g (x)) dx. y. d (sen x − π) dx. (−f (x)) dx. 6. Suponga que f (x) = Encuentre Z 1. g (x) dx 5.. Z. −7f (x) dx. √ d 5− x−3 dx 2.. Z. f (x) dx 4. 3.. Z. (f (x) − g (x)) dx. 4.. Z. (−5g (x)) dx. 6.. Z. g (x) dx e4. 7.. Z. (f (x) + g (x)) dx. 8.. Z. (f (x) − 2g (x)) dx. 7. Hallar una función f , tal que se cumpla la siguiente igualdad Z Z 1. f (x) dx = x + C 2. f (x) dx = mx + C Z. x3 +C 3 √ Z 2 x3 7. f (x) dx = +C 3 Z 2 10. f (x) dx = √ + C x. 4.. f (x) dx =. Última actualización: Julio 2016. g (x) =. Z. x4 +C 4 √ Z 3 3 x4 8. f (x) dx = +C 4 √ Z 3 x 11. f (x) dx = +C 3 5.. f (x) dx =. Farith J. Briceño N.. 3.. Z. 6.. Z. 9.. Z. 12.. Z. f (x) dx =. x2 +C 2. √ f (x) dx = 2 x + C √ 3 3 x2 f (x) dx = +C 2 f (x) dx =. xn+1 +C n+1. [email protected].

(12) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. 13.. Z. f (x) dx = sen x + C. Z. 16.. Z. f (x) dx = sec x + C. 19.. Z. f (x) dx = sen (2x) + C. 21.. Z. f (x) dx = tan (πx) + C. 23.. Z. f (x) dx = sec (5x) + C. 25.. Z. f (x) dx = − cot (3x) + C. 27.. Z. f (x) dx = sec (ax) + C. 29.. Z. f (x) dx =. 32.. Z. 34.. Z. 36.. Z. f (x) dx =. 38.. Z. cot2 t f (t) dt = +C 2. 40.. Z. f (x) dx = arcsen (2x) + C. 41.. Z. 42.. Z. 43.. Z. 44.. Z. f (x) dx = arcsen x2 + C f (x) dx =. 45.. Z. 14.. f (x) dx = − cos x + C. Z. 17.. 20.. f (x) dx = − cos (4x) + C. 22.. Z. f (x) dx = sen (3x) + C. 24.. Z. f (x) dx = − csc (2x) + C. Z. 28. 30.. f (t) dt = arctan t2 + C. Z. Z Z. 35.. sec−3 x +C 3. Z. 37. Z. 39.. sec−1 (3x) +C π. Z. 12.. Z. 17.. Z. x dx. 8.. Z. xn dx. 13.. Z. √. sec x tan x dx. Última actualización: Julio 2016. √ 3 x dx cos x dx 18.. Z. 9.. 3x + C. sec2 t +C 2. 14.. 31.. Z. f (x) dx =. sec3 x +C 3. tan2 (5t) +C 4. f (t) dt =. f (x) dx =. csc3 x +C 3. f (x) dx = arctan. Z. f (x) dx = − cot x + C. f (x) dx = arcsen x + C. √ x +C. f (x) dx = arctan. √ 3 x +C. f (t) dt = arctan t−2 + C f (x) dx =. 8. Hallar las primitivas de las siguientes funciones Z Z Z 1. dx 2. m dx 3. x dx 7.. √. Z. f (x) dx = arctan x + C. f (t) dt =. 33.. sec2 3t3 f (t) dt = +C 2. f (x) dx =. f (x) dx = tan x + C. 18.. Z. Z. Z. 15.. f (x) dx = − csc x + C. 26.. tan2 x +C 2. 12. 4.. Z. √ sec−1 x +C x+1. x2 dx. 5.. Z. x3 dx. Z √ 1 3 √ dx 10. x5 dx 11. 3 x Z Z sen x dx 15. sec2 x dx. csc x cot x dx. 19.. Farith J. Briceño N.. Z. dx 1 + x2. 20.. Z. 6.. Z. 1 √ dx x. Z. 1 √ dx 5 x4 Z 16. csc2 x dx √. dx 1 − x2. [email protected].

(13) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. 13. 9. Con los resultados obtenidos en el ejercicio 8 completar la siguiente tabla. Tabla de integrales básicas Z Z Z Z Z. Z. , k = constante. k dx =. xn dx =. Z. sen x dx =. cos x dx =. Z. sec2 x dx =. csc2 x dx =. Z. sec x tan x dx =. csc x cot x dx =. Z. 1 dx = 1 + x2. , para n 6= −1. 1 √ dx = 1 − x2. 10. Calcular las siguientes integrales usando la tabla de integrales de funciones básicas (ver ejercicio 8) y las propiedades de linealidad de la integral indefinida Z Z Z Z Z π 1. 6 dx 2. −7 dx 3. π 3 dx 4. dx 5. −2−5 dx 3 Z Z Z Z Z √ √ 3 6. 3−2 dx 7. x−2 dx 8. x3/7 dx 9. x dx 10. ω dω Z √ 5 11. x3 dx. 12.. Z. 17.. Z. 16.. Z. 5a x dx. 21.. Z. 2 dx x6. 22.. 26.. Z. sen x dx 2. 27.. 30.. Z. (4x − 7) dx. 2 6. 41.. Z. 3x −. √ x dx. Z √ 2 44. t − √ dt t Última actualización: Julio 2016. 2 6. 5a x da. Z √. 2. t3. dt. 13.. Z. dx √ n x. 18.. Z. x dx p2. 23.. Z. b3 dp p3. Z. sec2 x dx 28. π Z 31. (sen 3 + x) dx. Z √ 1 5 x2 − 3 dx x Z √ √ 5 4 37. t + t4 dt 34.. dw w2. 35.. Z . √ 1 3 r+ √ 3 r. Z. 7 dx xn. 19.. Z. b2 db p3. 24.. Z. a dp xp2. 2 csc2 x dx. 32. . 14.. Z. Z. dr. 29.. √ x − 5x dx 36.. Z. 15.. Z. z dz xn. 20.. Z. 3 dt t4. 25.. Z. 4 √ dx 3 x2. sec x tan x dx csc (4π 2 ) Z 1 1 33. − dt t2 t4. Z √ √ 4 5 t5 + t4 dt. Z 5 39. (3x − 5) dx 40. 2t + 4 dt t Z Z π x π2 42. (cos x − 2 sen x) dx 43. +√ dx tan 3 1 − x2 Z Z Z −3 π π3 x dx π 2 − 2 dx 46. x + 2 dx 47. 45. xr x arcsen t Z √ √ 4 5 38. t7 + t6 dt. Farith J. Briceño N.. Z. [email protected].

(14) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. Z √ 1 5 x2 − √ dx 5 x3 Z 51. y 9 − 2y 5 + 3y dy 48.. 54.. Z. 57.. Z. 60.. Z. 63.. Z. 66.. Z. 69.. Z . 49.. Z. 52.. Z. (2x + sec x tan x) dx . 2. 5t − 4t + 3 dt (2x + sen x) dx. 2. Z. 61.. 2 − 2x − 2x2 dx 4. Z. 58.. 64.. . 5t − 6t + 14 dt. 67.. sen (3x) 2 − 3 sec t dt t4. Z tan 2 72. π sen x − 5 dx x csc 7 75.. Z. 2. cos t sec x dx. 76.. Z. (πx − csc x cot x) dx. Z. 55.. 14. 2 − 2x − 2x2 dx. 1 − 2x − 3x. . dx. 3t2 − 2 sen t dt. Z. Z. 53.. (3 sen t − 2 cos t) dt 2. 62.. Z 1 2 x + 1 + 2 dx x. Z. Z . 73.. Z. csc t cot t t π − arcsen x 1 + x2. √. !. . dx. 5 3 √ − dx 1 + x2 1 − x2 Z 7 65. π π − 8 + 3 cos x dx 2x Z 68. (cos θ + 2 sen θ) dθ. 70.. √. x4/3 − 2x1/3. sen x +. arcsen 2−1 arctan 3 √ − 1 + x2 1 − x2. t− 2 sen + x sen (5x). Z . 5y 4 − 5y 2 + 14 dy. Z. π. (4 cos x + 5 sen x) dx. 3t2 − 2t + 5 dt. 56.. 59.. 3t2 − 2t + 5 dt. Z. 50.. !. !. dt. dx. 74.. 71. Z. Z. sen x cos t dx. √ √ ( y + 3 y − 2) dy. dt. 11. Encuentre, √ en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (9, 4) y cuya pendiente en cada punto es 3 x. 12. El punto (3, 2) está en una curva y = f (x) y en cualquier punto (x, y) de la curva, la recta tangente tiene una pendiente igual a 2x − 3. Encontrar una ecuación de la curva. 13. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (1, 2) y cuya pendiente en cada punto es 4x2 . 14. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de una curva y = f (x) es 10 − 4x y el punto (1, −1) está en la curva. Encontrar una ecuación de la curva. 15. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (1, 5) y cuya pendiente en cada 4 punto es − 2 . x 16. Los puntos (−1, 3) y (0, 2) están en una curva y en cualquier punto (x, y) de la curva, se tiene que d2 y = 2 − 4x. Encontrar una ecuación de la curva. dx2 17. Una ecuación de la recta tangente a una curva en el punto (1, 3) es y = x + 2. Si en cualquier punto (x, y) de la curva se tiene que. d2 y = 6x, encontrar una ecuación de la curva. dx2. d2 y = 1 − x2 y una ecuación de la recta tangente dx2 a la curva en el punto (1, 1) es y = 2 − x. Encontrar una ecuación de la curva.. 18. En cualquier punto (x, y) de una curva se tiene que. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(15) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. 15. 19. Encuentre una función y = f (x), tal que f cumpla con d2 y 1 1 = 3/2 − 2 , dx2 x x tenga un punto estacionario en x = 4 y pase por el punto (1, −1). 20. Encuentre una función y = f (x), tal que f cumpla con d2 y 2 + 3x = , dx2 4x3/2 tenga un mínimo relativo. 2 4 ,− 3 3. r ! 2 . 3. d3 y = 2 y (1, 3) es un punto de inflexión en el que la dx3 pendiente de la tangente es −2. Encontrar una ecuación de la curva.. 21. En cualquier punto (x, y) de una curva se tiene. d2 y = 4 − x2 y una ecuación de la recta tangente a la curva en dx2 el punto (1, −1) es 2x − 3y = 3. Encontrar una ecuación de la curva.. 22. En cualquier punto (x, y) de una curva,. d3 y = 4x y (−1, 3) es un punto de inflexión en el que dx3 la pendiente de la tangente es 2. Encontrar una ecuación de la curva.. 23. En cualquier punto (x, y) de una curva se tiene. 24. Una partícula se mueve en línea recta, s es la distancia dirigida de la partícula desde el origen en t seg de tiempo, υ es la velocidad en p/seg de la partícula en t seg y a es la aceleración en p/seg2 de la partícula en t seg. Si a = 2t − 1 y υ = 3 y s = 4 cuando t = 1, expresar υ y s como funciones de t. 25. Se lanza una piedra hacia arriba verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial de 128 p/seg. Si la única fuerza considerada es la que se le atribuye a la aceleración de la gravedad, encontrar qué tan alto llegará la piedra y la velocidad con la que llegará al suelo. Encontrar también cuanto tiempo tomará a la piedra llegar al suelo. 26. Si el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 20 mi/h a 50 mi/h mientras recorre una distancia de 528 pies. ¿Cuál es la aceleración constante que debe mantener? 27. En los siguientes ejercicios la única fuerza considerada es la debida a la aceleración de la gravedad que tomamos como 32 p/seg2 en la dirección hacia abajo. (a) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20 p/seg. i. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ii. ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo la piedra y que tan alto llegará? (b) Un hombre en un globo suelta sus binoculares cuando se encuentra a 150 pies de altura y está subiendo a razón de 10 p/seg. ¿Cuánto tiempo tardarán los binoculares en llegar a suelo y cuál es su velocidad de impacto? 28. Si se aplican los frenos de un carro viajando a 50 mi/h y si los frenos pueden dar al carro una aceleración negativa constante de 20 p/seg2 . ¿Cuánto tardará el coche en detenerse? ¿Qué distancia recorrerá antes de parar? 29. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleración negativa constante de 20 p/seg2 . ¿Cuál es la velocidad máxima a que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 80 pies después de aplicados los frenos?. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(16) Matemática II - Guía 1.. Antiderivada.. 16. Respuestas: Ejercicios √ √ √ √ 5.1. 1 − x; 5.2. x + 2; 5.3. x − 1; 5.4. − (x + 2) ; 5.5. 1−4 x ; 5.6. 2x + 4; 5.7. x − x + 3; √ √ √ 5.8. − x − x − 1; 6.1. sen x − π; 6.2. 45 − 14 x − 3; 6.3. 5 − x − 3 − sen x + π; 6.4. 5π − 5 sen x; √ √ √ 6.5. 7 x − 3 − 35; ; 6.7. 5 − 6.6. senex−π x − 3 + sen x − π; 6.8. 5 − x − 3 − 2 sen x + 2π; 7.1. f (x) = 1; 4 √ 2 3 7.2. f (x) = m; 7.3. f (x) = x; 7.4. f (x) = x ; 7.5. f (x) = x ; 7.6. f (x) = √1x ; 7.7. f (x) = x;. √ 3 x;. 7.8. f (x) =. 1 √ 3x;. 7.9. f (x) =. 7.13. f (x) = cos x;. 7.10. f (x) = − √1 ; 7.15. f (x) = sec2 x;. 7.14. f (x) = sen x;. 2. 7.18. f (x) = csc x;. 7.11. f (x) =. x3. 7.19. f (x) = 2 cos (2x) ;. 7.24. f (x) = 2 csc (2x) cot (2x) ;. 7.27. f (x) = a sec (ax) tan (ax) ;. 7.28. f (x) =. 1 √ ; 2(1+x) x. 7.39. f (x) =. 2. 1 2. x + C;. 3 2x. 8.9.. 2/3. + C;. 8.10.. 8.15.. tan x + C;. 8.16.. 8.20.. arcsen x + C; −2. 10.6. 3 10.12.. −. + C; + C;. 10.23.. −. b3 2p2. + C;. 10.24.. − 2 cot x + C;. 10.32.. 2 3/2 3x. 10.36.. 4 9/4 9t. 10.40. t −. −. 5 2 2x. +. 5 9/5 9t. + C;. 10.44. 10.48.. 5 7/5 7x. 5 2/5 2x. 10.52. 2x − x2 − 10.56.. 3 7/3 7x. −. 2 3 3x. 10.65. xπ +. − cos x cos t + C; 3 4/3 4y. 10.69. 10.72.. + x2 −. 2 3 3x. y. 5 3 3t. 21. y = s=. t3 3. −. t2 2. + C;. 4 11/4 11 t. +. 1 3 3x. −. π3 x. + C;. 1 2 2x. 3 2/3 2r. + C;. 1 π. 3. + C;. −. +. 3 4/3 4r. −. x−2 2 arcsen t. 10.51.. 3 2 2y. −. − 5x + C;. xπ+1 (π+1) tan 3. + C;. + C; 1 6 3y. +. 1 10 10 y. 10.59. 14y −. 10.66. 14t − 2t + t + C;. 5 3 3y. + y 5 + C;. 10.63. 2x − x2 − 10.67. x −. 1 x. +. 1 3x. 3. 2 3 3x. tan 2 1 csc 7 4x4. 10.73.. −. 10.76.. 7 6;. sen. π x. . +. √. (−. 1− 2 √t 2) sen(5x). 14. f (x) = 10x − 2x2 − 9; 18. f (x) =. 1 2 2x. 5 3x. −. 22. y = x2 − 4x + 6;. 14 3 ;. 25. Máxima altura : 256 p; 77 18. √ t π+1 √ π+a). (1+x2 )(. + C; √ 11. f (x) = 2 x3 − 50;. + C;. 15. f (x) = −. 1 4 12 x. +. 9 4;. 23. y =. + C;. + C;. arctan 3 arcsen x − arcsen 2−1 arctan x + C; −. + C;. − 3 cos t − 2 sen t + C;. 5. csc t arcsen x. + C;. + C;. 3 2 2x. 10.70.. + C;. √ 2 2t2. tan x + C;. 10.43. π arcsen x −. 10.55.. + C;. + C;. 10.39.. 10.47.. 5 2 7 7a x. 10.22.. 2. + C;. 5 8/5 8x. 10.11.. + C;. 10.27.. 10.35.. 5 11/5 11 t. 2 5x5. −. − 2−5 x + C;. − 3 tan t + C;. 4x3 +2 ; 3. 26.. 5 7/5 7x. − cos x + C;. 10.5.. 10.16.. 10.62. 5 arctan x − cos x − 3 arcsen x + C;. − x2 − x +. + 3t +. Velocidad de impacto : 128 p/seg;. Última actualización: Julio 2016. x3 3. +. + C;. 8.14.. + C;. + C;. 10.31. x sen 3 +. 10.58. x − x2 − x3 + C;. + C;. 17. y = x3 − 2x + 4;. + 2;. cos x + C;. 10.54. x2 + sec x + C;. cos t tan x + C;. 13. f (x) =. √ 20. y = x3/2 − 2 x; 24. υ = t2 − t + 3. sen(3x) 3t3. 10.75.. 1 2. −. x. 4/3. arctan x + C;. 3 4/3 4ω. 10.50. 4 sen x − 5 cos x + C;. − 3 sen x + C;. − π cos x +. + C;. 12. f (x) = x2 − 3x + 2;. −. 1 2x7. 1 2x2. 10.46.. + csc x + C;. 10.61. 2 cos t + t3 + C;. 10.71.. 2 3x. − x2 + C;. 10.57. 3t − 2t2 + π. 10.21.. 3 4. 8.8.. 1 3 πx. z2 2xn. + C;. 8.2. mx + C;. sen x + C;. 10.10.. 10.15.. 10.26.. 10.38.. π. + C;. 3. 1 t3. + C;. 8.19.. + C;. ;. 8.1. x + C;. 10.4.. 10.42. 2 cos x + sen x + C;. 10.53. 5t − t2 + t3 + C;. sen θ − 2 cos θ + C;. 16. f (x) =. + C;. x. 3/2. 8.13.. + C;. −. x + C;. + C;. + C;. 3 4/3 2x. − 2y +. π 2 2x. 5 9/5 9t. 10.49.. 10.68.. 2 3/2 3y. −. 1−r π 1−r x. 10.45.. 10.64. 5t − t + t + C;. 10.74.. +. 2 3/2 3x. x 7 (n−1)x n. 10.20.. 10.34.. 2 3. + C;. 10.30. 2x − 7x + C;. + C;. 2 3/2 3x. √ 3. 1−x4. − cot x + C;. 10.9.. −. 7.42. f (x) = √ 2x. 10.3. π 3 x + C;. + C;. + C;. + C;. 10.60. x2 − cos x + C; 2. 3 2 2x. 1 t. 8.18.. −. tan 3t3 ;. . 7.38. f (t) = − csc2 t cot t;. √ sec−1 x ; (x+1)2. 8.7.. xn+1 n+1. 2. + C; −. 1 (x+1)3. √. 8.12.. 10.14.. 10.25. 12. 4 5/4 5t. 10.37.. 10.41.. √ − 4 t + C;. + C;. + C;. − 7x + C;. b3 3p3. 10.19.. 1 3t3. 10.33.. + C;. + C;. a px. 1/5. − csc x + C;. + C;. + C;. 1 ; 3x2/3 x2/3 +1. 2x. √3 ; 2 3x. 7.26. f (x) =. 7.34. f (t) = 9t2 sec2 3t3. ;. √ 8.6. 2 x + C;. 7 10/7 10 x. 10.8.. sec x csc(4π 2 ). 10.29.. 2 3/2 3t. −. −. 7.45. f (t) =. 10.2.. + C;. x2 2p2. ;. x + C;. 8.17.. 1. 7.22. y = 3 cos (3x) ;. 7.30. f (t) = sec2 t tan t;. 7.37. f (x) = − csc3 x cot x;. 7.41. f (x) =. 8.11. 5x. (n−1)/n n n−1 x. 10.18.. 10.28.. 5 3t3. 1 x. −. 10.13.. 5 3 6 3a x. + C;. sec x + C;. 10.7.. 10.17.. 2. 3 8x. ;. 4. 1 4. 8.5.. 10.1. 6x + C;. x + C; 1 w. x + C; 8/3. 9x2 +1. π|x|. 3. 1 3. 8.4.. 1−4x2. √1. 7.44. f (x) =. 7.25. f (x) = 3 csc (3x) ;. 1−x2. 2. 7.17. f (x) = csc x cot x;. 7.21. f (x) = π sec2 (πx) ; 2. 7.33. f (x) = √. x 7.36. f (x) = − tan sec x ;. 7.40. f (x) = √. −2t ; t4 +1. 7.43. f (t) = 8.3.. tan (5t) sec2 (5t) ;. t 2. 7.35. f (t) =. 7.12. f (x) = xn ;. ;. x2. 7.29. f (t) = sec2 t tan t;. 1 ; x2 +1. 2t ; t4 +1. 7.32. f (t) =. 1 √ 3. 7.16. f (x) = sec x tan x;. 7.20. f (x) = 4 sen (4x) ;. 7.23. f (x) = 5 sec (5x) tan (5x) ;. 7.31. f (x) = sec3 x tan x;. 9. 4 x. + 1;. 19. y = ln x − 1 4 6x. − x2 +. 2 3x. +. √ x;. 9 2;. Tiempo de vuelo : 8 seg,. 2. p/seg ;. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(17) Matemática II - Guía 1. 27.a.i. Tiempo de vuelo :. Antiderivada. 3 4. seg,. 27.b. Tiempo de vuelo : 3.4 seg, 29.. √ 300 2 11. Velocidad de impacto : 20 p/seg;. 17. 27.a.ii. Tiempo subiendo :. Velocidad de impacto : 99 p/seg;. 28. Tiempo :. 11 3. seg,. 5 8. seg,. Máxima altura :. Distancia :. 1210 9. 25 4. p;. p;. min/h;. Bibliografía 1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall. 2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano. 3. Thomas, George: “Cálculo de una variable”. 12ma edición. Pearson. 4. Larson - Hostetler - Edwards, “Cálculo”. Vol. 1. Mc Graw Hill. 5. Leithold, Louis, “El cálculo con geometría analítica”. Harla S.A.. Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico [email protected] indicando donde se encuentra(n) dicho(s) error(es). MUCHAS GRACIAS.. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(18) Matemática II - Guía 1.. Última actualización: Julio 2016. Antiderivada.. Farith J. Briceño N.. 18. [email protected].

(19) Matemática II - Guía 2. Método de integración: Manipulación algebraica. Objetivos a cubrir. Código : MAT-CI.2. • Método de integración: Manipulación algebraica. Ejemplo 15 : Integre. Z. (at). 1/n. Ejercicios resueltos. dt.. Solución : Es conocido, por propiedades de potencias que n. (ab) = an bn , entonces Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Z. ↓ Z z}|{ Z 1 1 t n +1 t n +1 na1/n 1 +1 (at)1/n dt = a1/n t1/n dt = a1/n t1/n dt = a1/n + C = a1/n +C = t n + C. 1 1+n n+1 + 1 | {z } n n ↑ Z. Luego,. tk dt =. tk+1 +C k+1. Z. Ejemplo 16 : Integre. Z. u. con. 1/n. (at). k=. dt =. 1 n. na1/n 1 +1 t n + C. n+1 ⋆. √ √ u + 3 u du.. Solución : Al aplicar la ley distributiva, a (b + c) = ab + ac, se obtiene u lo cual se escribe como. √ √ √ √ u + 3 u = u u + u 3 u, Propiedades de potencias an am = an+m. ↓ √ √ 1 1 u u + u 3 u = uu1/2 + uu1/3 = u1+ 2 + u1+ 3 = u3/2 + u4/3 , por lo que u Al integrar. Z. u. √ √ u + 3 u du =. √ √ u + 3 u = u3/2 + u4/3 .. Z . Z Z u3/2 + u4/3 du = u3/2 du + u4/3 du ↑. Z. Última actualización: Julio 2016. Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(20) Matemática II - Guía 2.. Método de integración: Manipulación algebraica.. donde. Z. 3. u. |. mientras que,. Z. Z. u. du = {z } ↑ Z. un du =. un+1 +C n+1. + C1 =. con. n=. 4. u. |. entonces. u 2 +1 3 +1 2. 3/2. u 3 +1 4 +1 3. 4/3. du = {z } ↑ Z. un du =. un+1 +C n+1. + C2 =. con. 20. u5/2 2 + C1 = u5/2 + C1 , 5 5 2 3 2. u7/3 3 + C2 = u7/3 + C2 , 7 7 3. n=−. 4 3. √ √ 2 3 2 3 u + 3 u du = u5/2 + C1 + u7/3 + C2 = u5/2 + u7/3 + (C1 + C2 ) | {z } 5 7 5 7 ↑ Constante C. Luego,. Z. Ejemplo 17 : Integre. Z. u. √ √ 2 3 u + 3 u du = u5/2 + u7/3 + C. 5 7. ⋆. tan2 x dx.. Solución : Por identidades trigonométricas, es conocido que tan2 x + 1 = sec2 x, por lo que, al despejar tan2 x queda tan2 x = sec2 x − 1,. así, al integrar. Z. tan2 x dx =. Z. donde. Z. 2. sec x dx = tan x + C1 | {z } ↑ (tan x)′ = sec2 x. Z. sec2 x − 1 dx = ↑. Z. sec2 x dx −. Z. 1 dx. Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx. (f (x) + g (x)) dx =. Z. y. Z. n. x dx =. 1 dx = | {z } ↑. xn+1 +C n+1. con. x0+1 0+1. + C2 = x + C2 ,. n=0. entonces Z. tan2 x dx = tan x + C1 − (x + C2 ) = tan x + C1 − x − C2 = tan x − x + (C1 − C2 ) | {z } ↑ Constante C. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(21) Matemática II - Guía 2.. Método de integración: Manipulación algebraica.. Luego,. Z. Ejemplo 18 : Integre. Z. 21. tan2 x dx = tan x − x + C. ⋆. (ax + b)2 dx.. Solución : Es conocido que. 2. (x + y) = x2 + 2xy + y 2 , por lo que. (ax + b)2 = (ax)2 + 2 (ax) b + b2 ,. es decir,. (ax + b)2 = a2 x2 + 2abx + b2 .. Al integrar Z. Z. 2. (ax + b) dx =. Z. Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx. (f (x) + g (x)) dx =. 2 2. a x + 2abx + b. 2. . ↓ Z Z Z 2 2 dx = a x dx + |{z} 2ab x dx + b2 dx ↑ ↑ ↑ Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. = a2 donde, Z Z. x2 dx = | {z } ↑ xn dx =. x2+1 2+1. xn+1 +C n+1. + C1 =. con. y por último. x3 + C1 , 3. Z. Z. dx = | {z } ↑. Z. entonces. Z. n. x dx =. (ax + b)2 dx = a2 = a2 = a2. x0+1 0+1. + C3 =. xn+1 +C n+1. . x3 + C1 3. con. . x2 dx + 2ab. Z. mientras que. n=2. Z. x dx = | {z } ↑. xn dx =. xn+1 +C n+1. Z. x dx + b2. x1+1 1+1. con. Z. + C2 =. dx,. x2 + C2 , 2. n=1. x + C3 = x + C3 . 1. n=0. + 2ab. . x2 + C2 2. . + b2 (x + C3 ). x3 + a2 C1 + ab x2 + 2ab C2 + b2 x + b2 C3 3 x3 + ab x2 + b2 x + a2 C1 + 2ab C2 + b2 C3 3 | {z } ↑ Constante C. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(22) Matemática II - Guía 2.. Método de integración: Manipulación algebraica.. Luego,. Z. 2. (ax + b) dx = a2. 22. x3 + ab x2 + b2 x + C. 3 ⋆. Z √ x−x √ dx. Ejemplo 19 : Integre 3 x Solución : Es conocido que. a+b a b = + , c c c. por lo que,. con c 6= 0,. √ √ x−x x x √ = √ − √ , 3 3 3 x x x. puesto que,. √. x = x1/2. se tiene. √ 3 x = x1/3 ,. y. √ x x x1/2 x √ − √ = 1/3 − 1/3 , 3 3 x x x x. por propiedades de potencias, se escribe la expresión anterior como x1/2 x 1 1 1 − 1/3 = x 2 − 3 − x1− 3 = x1/6 − x2/3 , 1/3 x x ↑ Propiedades de potencias an /am = an−m. es decir,. Al integrar. √ √ x−x x x √ √ = − √ = x1/6 − x2/3 . 3 3 3 x x x Z √ Z Z Z x−x 1/6 2/3 1/6 √ dx = x −x dx = x dx − x2/3 dx, 3 x ↑ Z. donde,. Z |. mientras que,. 1. 1/6. x. Z. dx = {z } ↑ n. x dx =. Z. x 6 +1 1 +1 6. xn+1 +C n+1. x7/6 6 + C1 = x7/6 + C1 , 7 7 6. + C1 =. con. n=. 1 6. 2. x2/3 dx = | {z } ↑ Z. entonces,. Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx. n. x dx =. x 3 +1 2 +1 3. xn+1 +C n+1. x5/3 3 + C2 = x5/3 + C2 , 5 5 3. + C2 =. con. n=−. 5 3. Z √ x−x 6 7/6 3 5/3 6 3 √ dx = x + C1 − x + C2 = x7/6 − x5/3 + C. 3 x 7 5 7 5. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(23) Matemática II - Guía 2.. Método de integración: Manipulación algebraica.. Luego,. 23. Z √ x−x 6 3 √ dx = x7/6 − x5/3 + C. 3 7 5 x ⋆. Ejemplo 20 : Integre. Z p 4 2p3 x dx.. Solución : Por propiedades de radicales Propiedades de radicales √ √ √ n n ab = n a b. ↓ p p √ 4 2p3 x = 4 2p3 4 x,. entonces, Z p Z p Z Z p p p √ √ 4 5/4 4 4 4 4 4 1/4 4 4 3 3 3 3 3 2p x dx = 2p x dx = 2p x dx = 2p x dx = 2p x + C1 . | {z } 5 | {z } ↑ ↑ Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Finalmente,. donde C =. p 4 2p3 C1 .. Ejemplo 21 : Integre. Z. xn dx =. xn+1 +C n+1. con. n=. 1 4. Z p 4 p 4 4 2p3 x dx = 2p3 x5/4 + C, 5. ⋆. Z p 4 2p3 x dp.. Solución : Por propiedades de radicales Propiedades de radicales √ √ √ n n ab = n a b. ↓ √ p p 4 2p3 x = 4 2x 4 p3 ,. entonces. Z p Z √ Z p Z p √ √ √ 4 7/4 4 4 4 4 4 4 4 3/4 3 3 3 2p x dp = |{z} 2x p dp = 2x p dp = 2x p dp = 2x p + C1 . 7 | {z } ↑ ↑ Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Finalmente. donde C =. √ 4. 2x C1 .. Última actualización: Julio 2016. Z. xn dx =. xn+1 +C n+1. Z p 4 √ 4 4 2p3 x dp = 2x p7/4 + C, 7. Farith J. Briceño N.. con. n=. 1 4. ⋆. [email protected].

(24) Matemática II - Guía 2.. Ejemplo 22 : Integre. Método de integración: Manipulación algebraica.. Z. 24. cos (t − x) dx.. Solución : Es conocida la identidad trigonométrica cos (t − x) = cos t cos x + sen t sen x, entonces,. Z. Z. cos (t − x) dx =. Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx. Z ↓ Z cos x dx + sen (cos t cos x + sen t sen x) dx = cos t |{z} |{z}t sen x dx ↑ ↑. Z. Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. = cos t Finalmente. Ejemplo 23 : Integre. Z Z. Z. cos x dx + sen t. Z. sen x dx = − cos t sen x + sen t cos x + C. cos (t − x) dx = cos t sen x − sen t cos x + C. ⋆. x2 + 2x − 3 dx. x−1. x2 + 2x − 3 , una x−1 opción es dividir los polinomios y la otra opción es factorizar el polinomio del numerador, por ser un polinomio de segundo grado usamos la resolvente para a = 1, b = 2 y c = −3, para obtener las raíces del mismo.  −2 + 4 q   x= =1 √ √  2  2 − (2) ± (2) − 4 (1) (−3) −2 ± 4 + 12 −2 ± 16 = = =⇒ x=  2 (1) 2 2    x = −2 − 4 = −3, 2 Solución : Se tiene dos opciones para obtener la familia de primitivas de la función f (x) =. luego, la factorización de p es. p (x) = x2 + 2x − 3 = (x − 1) (x + 3) ,. entonces, al integrar. Z. Z. x2 + 2x − 3 dx = x−1. Z. Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx. (f (x) + g (x)) dx =. Z Z Z Z Z ↓| (x − 1) (x + 3) dx = (x + 3) dx = x dx + 3 dx = x dx + 3 dx, x−1 | {z } ↑ Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(25) Matemática II - Guía 2.. donde Z. x dx = | {z } ↑ Z. xn dx =. entonces,. Z. Método de integración: Manipulación algebraica.. x1+1 1+1. + C1 =. xn+1 +C n+1. con. x2 + C1 2. Z. y. Z. n=1. dx = | {z } ↑ xn dx =. x0+1 0+1. xn+1 +C n+1. 25. + C2 =. con. x + C2 = x + C2 , 1. n=0. x2 + 2x − 3 x2 x2 x2 dx = + C1 + 3 (x + C2 ) = + 3x + C1 + 3C2 = + 3x + C, x−1 2 2 2. donde C = C1 + 3C2 . Finalmente. Z. Ejemplo 24 : Integre. Z. x2 + 2x − 3 x2 dx = + 3x + C. x−1 2. ⋆. 3x2 dx. x2 + 1. Solución : Se tiene dos opciones para obtener la familia de primitivas de la función f (x) = opción es dividir los polinomios y la otra opción es escribir la función f de la siguiente manera. 3x2 , una +1. x2. Sumar y restar 3. 3x2 ↓ 3x2 + 3 − 3 = , x2 + 1 x2 + 1 con lo que, Factor común 3. ↓ z }| { 3 x2 + 1 − 3 3 x2 + 1 3x2 + 3 −3 3x2 3 3 = = = − 2 =3− 2 , 2+1 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 x x + 1 x +1 ↑ Propiedades de los racionales a+b a b = + c c c. es decir,. 3x2 3 =3− 2 . 2 x +1 x +1. Al integrar Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Z. 3x2 dx = x2 + 1. Z . 3 3− 2 x +1 Z. Última actualización: Julio 2016. . ↓ Z ↓ Z Z Z 3 1 dx = 3 dx − dx = 3 dx − 3 dx, 2 +1 2+1 x x ↑. Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(26) Matemática II - Guía 2.. Método de integración: Manipulación algebraica.. 26. donde Z. dx = | {z } ↑. Z. xn dx =. entonces,. x0+1 0+1 xn+1 +C n+1. Z. Luego,. + C1 =. con. x + C1 = x + C1 1. |. dx = arctan x + C2 , +1 {z } ↑. x2. (arctan x)′ =. n=0. 1 x2 + 1. 3x2 dx = 3 (x + C1 ) − 3 (arctan x + C2 ) = 3x − 3 arctan x + C. +1. x2. Z. Ejemplo 25 : Integre. Z. y. Z. 3x2 dx = 3x − 3 arctan x + C. x2 + 1 ⋆. sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 dx. cos2 x. Solución : Es conocido que cos2 x = 1 − sen2 x. así, la integral se puede escribir como Z Z sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 dx = dx 2 cos x 1 − sen2 x Observemos que la expresión del numerador se puede factorizar como Factor común sen x. Factor común −1. ↓ ↓ z }| { z }| { 3 2 sen x + 2 sen x + − sen x − 2 = sen2 x (sen x + 2) − (sen x + 2) = (sen x + 2) sen2 x − 1 , | {z } ↑ Factor común sen x + 2. mientras que, en el término del denominador podemos sacar −1 como factor común y nos queda 1 − sen2 x = − sen2 x − 1. la integral se escribe Z Z Z (sen x + 2) sen2 x − 1 sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 dx = dx = − (sen x + 2) dx 1 − sen2 x − (sen2 x − 1) Z Z = − sen x dx − 2 dx = cos x − 2x + C. ↑ Z. Finalmente. Última actualización: Julio 2016. Z. Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx. sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 dx = cos x − 2x + C. cos2 x ⋆. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(27) Matemática II - Guía 2.. Ejemplo 26 : Integre. Método de integración: Manipulación algebraica.. Z. 27. 2. (x − 1) dx √ . √ 4 x3 ( x − 1). √ Solución x − 1, es decir, multiplicamos y dividimos por el √ : Aplicamos la conjugada de la expresión término x + 1 √ Z Z Z 2 2 2 √ (x − 1) dx (x − 1) ( x + 1) (x − 1) ( x + 1) dx √ √ √ = dx = √ √ √ 4 4 √ 2 4 x3 ( x − 1) x3 ( x − 1) ( x + 1) x3 ( x) − (1)2 =. Z. √ Z 2 √ (x − 1) ( x + 1) (x − 1) ( x + 1) √ √ dx = dx, 4 4 x3 (x − 1) x3. desarrollamos el término del numerador √ √ √ (x − 1) x + 1 = x x + x − x − 1 = x3/2 + x − x1/2 − 1, entonces,. Z. √ Z 3/2 (x − 1) ( x + 1) x + x − x1/2 − 1 √ √ dx = dx 4 4 x3 x3 Z 3/2 x x x1/2 1 = + − − dx x3/4 x3/4 x3/4 x3/4 Z = x3/2−3/4 + x1−3/4 − x1/2−3/4 − x−3/4 dx. Finalmente. Ejemplo 27 : Integre. Z. Z. =. Z. =. 4 7/4 4 5/4 4 3/4 x + x − x − 4x1/4 + C 7 5 3. x3/4 dx +. Z. x1/4 dx −. Z. x−1/4 dx −. Z. x−3/4 dx. 2. (x − 1) dx 4 4 4 √ = x7/4 + x5/4 − x3/4 − 4x1/4 + C. √ 4 3 7 5 3 x ( x − 1). ⋆. x2 − 16 √ dx. 2− x. √ Solución √: Aplicamos la conjugada de la expresión 2 − x, es decir, multiplicamos y dividimos por el término 2 + x √ √ √ Z Z Z Z 2 x2 − 16 (2 + x) x2 − 16 (2 + x) x2 − 16 (2 + x) x − 16 √ dx = √ √ dx = dx = dx √ 2 2 4−x 2− x (2 − x) (2 + x) (2) − ( x) Observemos que el polinomio del numerador se puede factorizar como. x2 − 16 = (x − 4) (x + 4) = − (4 − x) (x + 4) , así,. √ √ Z Z √ x2 − 16 (2 + x) − (4 − x) (x + 4) (2 + x) dx = dx = − (x + 4) 2 + x dx, 4−x 4−x desarrollando esta expresión √ √ √ (x + 4) 2 + x = 2x + x x + 8 + 4 x = 2x + x3/2 + 8 + 4x1/2 Z. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(28) Matemática II - Guía 2.. Método de integración: Manipulación algebraica.. la integral nos queda Z Z √ (x + 4) 2 + x dx = 2x + x3/2 + 8 + 4x1/2 dx =. Z. 2x dx +. Finalmente,. Z. x3/2 dx +. Z. Z. 8 dx +. 4x1/2 dx = x2 +. 2 5/2 8 x + 8x + x3/2 + C 5 3. x2 − 16 2 8 √ dx = − x2 + x5/2 + 8x + x3/2 + C. 2− x 5 3. Z. Ejemplo 28 : Integre. Z. 28. ⋆. sen2 x dx . cos2 (x/2). Solución : Es conocido que (1). sen 2 (·) = 2 sen (·) cos (·) , por otro lado, sen x = sen 2 por la ecuación (1) se tiene sen x = 2 sen así,. x 2. cos. Z. como. x 2. x 2. x x 2 x x sen2 x = 2 sen cos = 4 sen2 cos2 2 2 2 2. =⇒. Z 4 sen2 x cos2 x Z sen x dx 2 2 dx = 4 sen2 x dx = 2 2 cos (x/2) cos (x/2) 2 2. sen2 (·) =. 1 − cos 2 (·) , 2. entonces, sen2. x 2. =. 1 − cos 2 2. x 2. =. 1 − cos x , 2. esto implica Z Z Z Z Z x 1 − cos x 4 sen2 dx = 4 dx = 2 (1 − cos x) dx = 2 dx − cos x dx = 2x − 2 sen x + C 2 2 Finalmente. Z. Ejemplo 29 : Integre. Z. sen2 x dx = 2x − 2 sen x + C. cos2 (x/2) ⋆. cos2 (arcsen x) dx. x5. Solución : Es conocido que cos2 (·) = 1 − sen2 (·). y. entonces. sen (arcsen x) = x, 2. cos2 (arcsen x) = 1 − sen2 (arcsen x) = 1 − (sen (arcsen x)) = 1 − x2 , Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(29) Matemática II - Guía 2.. Método de integración: Manipulación algebraica.. por lo tanto, Z. Z. cos2 (arcsen x) dx = x5. = es decir,. 1 − x2 dx = x5. Z . 1 x2 − x5 x5. . dx. Z. 1 dx − x5. Z. cos2 (arcsen x) 1 1 dx = − 4 + 2 + C. x5 4x 2x. Z. x2 dx = x5. Z. −5. x. 29. dx −. Z. x−3 dx = −. 1 1 + 2 + C, 4 4x 2x. ⋆. √ Z √ 3 x −x−5 x+2 √ dx. x−3 x+1 √ √ 3 √ 2 Solución : Es conocido que x3 = ( x) y que x = ( x) , así, √ √ 3 √ √ 2 √ ( x) − ( x) − 5 x + 2 x3 − x − 5 x + 2 √ = √ 2 √ x−3 x+1 ( x) − 3 x + 1. Ejemplo 30 : Integre. Se observa que la expresión del numerador se factoriza como √ 2 √ 3 √ 2 √ √ √ x − x −5 x+2= x+2 x −3 x+1 ,. así, el integrando queda. √ √ √ 2 √ √ ( x + 2) ( x) − 3 x + 1 3 √ x −x−5 x+2 √ = = x+2 √ 2 √ x−3 x+1 ( x) − 3 x + 1 de aquí,. √ Z √ 3 Z x −x−5 x+2 √ dx = x−3 x+1. Luego,. √ 2 x + 2 dx = x3/2 + 2x + C. 3. √ Z √ 3 x −x−5 x+2 2 √ dx = x3/2 + 2x + C. 3 x−3 x+1. Ejemplo 31 : Integre. Z. ⋆. cos (2x) dx . cos x − sen x. Solución : Es conocida la identidad trigonométrica cos (x + y) = cos x cos y − sen x sen y, por lo tanto, cos (2x) = cos (x + x) = cos x cos x − sen x sen x = cos2 x − sen2 x.. Por otra parte, también es conocido que. a2 − b2 = (a − b) (a + b) , así, entonces,. cos2 x − sen2 x = (cos x − sen x) (cos x + sen x) , cos (2x) = (cos x − sen x) (cos x + sen x) .. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(30) Matemática II - Guía 2.. Al integrar Z. Método de integración: Manipulación algebraica.. cos (2x) dx = cos x − sen x. Z. Z (cos x − sen x) (cos x + sen x) dx = (cos x + sen x) dx cos x − sen x Z Z = cos x dx + sen x dx = sen x − cos x + C.. Luego,. Z. Ejemplo 32 : Integre. Z. 30. cos (2x) dx = sen x − cos x + C. cos x − sen x. ⋆. 1 − x2 dx. 1 − x−1. Solución : Por propiedad de potencias, se tiene que x−1 =. 1 , x. 1 − x−1 = 1 −. de aquí,. 1 x−1 = , x x. entonces, 1 − x2 = 1 − x−1. 1 − x2 x−1 x. =. x 1 − x2 x (1 − x) (1 + x) −x (x − 1) (1 + x) = = = − x (1 + x) , x−1 x−1 x−1. es decir,. 1 − x2 = − x (1 + x) . 1 − x−1. Al integrar Z. 1 − x2 dx = 1 − x−1. Luego,. Z. − x (1 + x) dx = − Z. Z. 2. x+x. . dx = −. . x2 x3 + 2 3. . + C.. 1 − x2 x2 x3 dx = − − + C. 1 − x−1 2 3. ⋆. Z √ 1 − x2 dx Ejemplo 33 : Integre . 1 − x2. Solución : Al racionalizar se obtiene √ Z √ Z √ Z Z 1 − x2 dx 1 − x2 1 − x2 1 − x2 1 √ √ √ = dx = dx = dx = arcsen x + C. 1 − x2 1 − x2 1 − x2 (1 − x2 ) 1 − x2 1 − x2. Luego,. Ejemplo 34 : Integre. Z √ 1 − x2 dx = arcsen x + C. 1 − x2 Z. ⋆. sen2 (x/2) − sen4 (x/2) dx. 1 + cos x. Solución : Se tiene que x x x x x x x x 2 sen2 − sen4 = sen2 1 − sen2 = sen2 cos2 = sen cos 2 2 2 2 2 2 2 2 Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(31) Matemática II - Guía 2.. Método de integración: Manipulación algebraica.. 31. Es conocido que. por lo tanto, sen así, sen2. x 2. − sen4. x 2. =. . sen 2 (·) = sen (·) cos (·) , 2. es decir,. sen 2 (·) = 2 sen (·) cos (·) , x 2. cos. x 2. x 1 1 sen 2 = sen x 2 2 2. =. 2 1 sen x 2. sen2. =⇒. por lo que, la integral se transforma en Z. sen2 (x/2) − sen4 (x/2) dx = 1 + cos x. Z. Para la familia de primitivas de la función f (x) =. x 2. − sen4. x 2. =. 1 sen2 x, 4. 1 Z sen2 x 1 sen2 x 4 dx = dx 1 + cos x 4 1 + cos x. sen2 x , por la identidad trigonométrica básica 1 + cos x. sen2 (·) + cos2 (·) = 1, se obtiene que sen2 x = 1 − cos2 x. lo cual se escribe como. sen2 x = (1 − cos x) (1 + cos x) ,. por lo tanto,. f (x) = y la integral queda Z. sen2 x dx = 1 + cos x. Z. (1 − cos x) (1 + cos x) = 1 − cos x, 1 + cos x. (1 − cos x) dx =. Z. dx −. Z. cos x dx = x − sen x + C1 ,. entonces Z. 1 sen2 (x/2) − sen4 (x/2) dx = 1 + cos x 4. Luego,. Ejemplo 35 : Integre. Z Z . cos2. Z. sen2 x 1 x sen x dx = (x − sen x + C1 ) = − + C. 1 + cos x 4 4 4. sen2 (x/2) − sen4 (x/2) x sen x dx = − + C. 1 + cos x 4 4 ⋆. x 2. − sen. π 4. − x dx.. Solución : Se tiene que Z Z Z π π 2 x 2 x cos − sen − x dx = cos dx − sen − x dx, 2 4 2 4 Z x Para resolver cos2 dx, se procede de la siguiente manera, es conocida la identidad trigonométrica 2 cos2 (·) =. Última actualización: Julio 2016. 1 + cos 2 (·) , 2. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(32) Matemática II - Guía 2.. Método de integración: Manipulación algebraica.. por lo que, cos2 así,. x 2. 1 + cos 2 =. 2. cos2 Al integrar Z. 2. cos. Luego,. x 2. dx =. Por otra parte, para resolver trigonométrica. Z. Z. x 2. =. 1 + cos x 1 dx = 2 2 Z. sen. cos2 π 4. x. dx =. Z. x 2. =. 32. 1 + cos x , 2. 1 + cos x . 2. (1 + cos x) dx =. 1 (x + sen x) + C1 . 2. 1 (x + sen x) + C1 . 2. 2 − x dx, se procede de la siguiente manera, es conocida la identidad. sen (x − y) = sen x cos y − cos x sen y,. así,. π π − x = sen cos x − cos sen x, 4 4 4 √ π π 2 puesto que, sen = cos = , se concluye que 4 4 2 √ √2 π √2 π 2 sen −x = cos x − sen x =⇒ sen −x = (cos x − sen x) . 4 2 2 4 2 sen. π. Al integrar √ Z √ Z Z √ π 2 2 2 sen − x dx = (cos x − sen x) dx = (cos x − sen x) dx = (sen x + cos x) + C2 . 4 2 2 2 Luego,. Z. Entonces. √ 2 − x dx = (sen x + cos x) + C2 . sen 4 2 π. √ 1 2 − x dx = (x + sen x) − (sen x + cos x) + C 2 4 2 2 √ √ x 1− 2 2 sen x − cos x + C. = + 2 2 2 √ √ Z π x 1− 2 2 2 x cos − sen − x dx = + sen x − cos x + C. 2 4 2 2 2. Z . Finalmente. cos2. x. − sen. π. ⋆ Ejercicios. Calcular las siguientes integrales por manipulación algebraica Z Z Z 6 √ √ √ t − t2 3 1. x x dx 2. u u + u du 3. dt t4 6.. Z. 2. (ax + b) dx. 7.. Última actualización: Julio 2016. Z. 2. (a + bt) dt. 8.. Z. 2. (a − bt) da. Farith J. Briceño N.. 4.. Z 9.. 2. (x + 4) dx Z. 2. x −1. 2. 5.. dx. Z. 2. (3 − 2t) dt 10.. Z √ 3 t. t. dt. [email protected].

(33) Matemática II - Guía 2.. 11.. Z. 15.. Z. Método de integración: Manipulación algebraica.. 2 x3 − x dx a + bt. 3 2. dt. 19.. Z. (x + 4) dx. 23.. Z. y 2 + 4y −2. 3. 2. 12.. Z. 16.. Z. Z. 20. dy. y 2 y 2 − 3 dy a + bt. 3 2. da. 17.. 3. (3 − 2x) dx. 24.. Z. a + bt3. Z. 21. 2. Z. 13.. dt. Z. √. 1 x x2 − dx x 3. (x + 1) dx 3. Z. a + bt3. 14.. 22. 2. Z. da. Z. y 2 + 4y. 2 Z 3 dx x− x. 18.. (a + bt) dt. 25.. 33. 2. dy. 4. (a − bt) dt 26.. 3 Z 1 x+ dx x. Z √ Z √ Z 4 3 x−x x − x2 − π s −8 √ dx 29. dx 30. ds 3 2 x s2 x Z Z Z t2 + 1 t2 − 2 √ √ √ 31. (x + 5) (2x − 3) dx 32. dt 33. y ( y + 3 y − 2) dy 3 2 t Z Z Z √ √ x + 1 x − x + 1 dx 36. x (x + a) (x + b) dx 34. (x − 1) (3x + 2) dx 35. 27.. Z. x3 − 1 √ dx x. 37.. Z. (at). 1/n. dt. 28.. Z. 38.. 41.. Z. cos (t − x) dx. 45.. Z. x2 + 1 √ dx x. 46.. Z p 4 2p3 x dx. 50.. 49.. 42. Z. (nx) Z. 1−n n. dx. Z. x4 − 1 dx 40. x2 + 1 Z 43. sen (t − x) dt. 39.. cos (t − x) dt. x−1 √ dx 3 x2. Z. 47.. Z p 4 2p3 x dp. 51.. √ 3 x + x4 √ dx x. Z. Z. sen2 t + cos2 t dt 44.. Z. sen (t − x) dx. Z. 4x6 + 3x5 − 8 dx x5 Z 3 x − 3x2 + 1 √ 52. dx x. 48.. x4 − 2x2 + 1 dx x2. 77.. Z. 2 Z Z √ 2 1 x+ dx 56. 2 − t dt x 3 Z Z 2 Z √ 3 1 x −4 1−x 2 t− √ dt 58. x x + 1 dx 59. dx 60. dx 5 2 x−2 1 − x−1 t Z Z Z 2 2 1 − x2 1 − x−2 (xm + xn ) (xm − xn ) √ dx 62. dx 63. dx 64. dx 1 − x−1 1 − x−4 x2 x Z 4 Z 3 Z x4 − 2x2 + 1 x − 2x2 + 1 t −1 dx 66. dx 67. dt 68. tan2 t dt x+1 x−1 t−1 Z Z Z π π cot2 x dx 70. cot2 x + 1 dx 71. cos + x dx 72. sen − x dx 4 3 Z Z Z x3 − 8 x3 + 27 x4 + x2 + 3 x3 − x2 + x − 3 dx 74. dx 75. dx 76. dx 2 x−2 x+3 x +1 x2 + 1 Z Z x4 + x3 − 2x2 + 2x − 8 sec2 x − tan2 x 1 − cos2 x − sen x √ dx 78. dx 79. dx 2 2 x +2 1 − sen x 1−x. 80.. Z. x6 − 8 dx x2 − 2. 81.. Z. cot x dx tan x. 84.. Z. sen (2t) dt sen t. 85.. Z. cos2 x dx 1 + sen x. 53.. Z. 57.. Z. 61.. Z. 65.. Z. 69.. Z. 73.. Z. x2 + 1. 2. dx. Última actualización: Julio 2016. Z. 54.. x3 − 1. 2. dx. 82.. 55.. √ 3 ( 3 x − 1) √ dx x Z t 2 86. cos dt 2 Z. Farith J. Briceño N.. 83. 87.. Z Z. √ 4 x3 − 5 √ dx √ 4 x− 35. cos (2x) dx √ 1 − 2 cos x [email protected].

(34) Matemática II - Guía 2.. 88. 91.. 94. 97. 100. 103. 107. 110. 114. 117. 120.. 123.. 126. 129. 133.. 34. Z Z Z x π cos (2t) 5x + 8x2 − 3x3 − 6 − sen − x dx 89. dt 90. dx cos2 2 2 4 sen t x5 − 3x4 √ Z Z √ Z √ 3 5 2 sen2 x + 5 sen x − 3 x3 (x − 1) 5 x2 − 3x 3 x + 2 √ √ dx 92. dx dx 93. √ sen x + 3 x−1 2− 3x Z Z Z 2 (x − 1) dx cos2 (arcsen x) cos2 (arcsen x) − 7 √ dx 96. dx 95. √ 4 x5 x5 x3 ( x − 1) Z Z Z cos2 (arcsen x) + 2x4 cos4 (arcsen x) + π 2 sec4 (arctan x) dx 98. dx 99. dx x6 2x6 sen2 (arctan x2 ) Z √ Z Z √ 4 5 x3 (x − 1) x2 − 2x + 1 x − 3x3 + 3x2 − x √ √ √ dx 101. dx dx 102. √ 4 3 x−1 x−1 x3 ( 3 x − 1) Z Z Z Z cos (2t) cos (2x) dx cos (2t) dt sen2 x dt 104. 105. 106. dx 2 cos t cos x − sen x cos t + sen t cos2 (x/2) Z 2 Z Z x − 16 dx 2 sec4 x + 3 sec2 x − 2 √ dx 108. 109. dx 4 4 2 2− x sen x − cos x − sen x sec2 x + 2 Z Z Z Z 3 cos2 x + 5 cos x − 2 3 dx t tan x 2 dx 111. 112. sen dt 113. dx cos x + 2 sec2 (x/2) 2 cot x Z Z Z cos2 x 2 tan4 x + 7 sec2 x − 22 cos (2x) csc2 x 4 x sen − dx 115. dx 116. dx 2 4 sec2 x + 4 sen4 x − cos4 x Z Z Z sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 sen (4x) x−8 √ dx 118. dx 119. dx 3 2 cos x cos (2x) cos x x−2 √ Z Z Z √ 3 x3 tan x dx sen2 (x/2) − sen4 (x/2) x −x−5 x+2 √ √ 121. dx 122. dx cos2 (x/2) x−3 x+1 x sec2 x − x ! √ √ √ 2 Z Z Z √ x sec2 x − x x4 − 2x2 + 1 csc x tan x ( a − x) √ dx 124. − dx 125. dx sec x x3 tan x dx 1 − x4 ax Z. Z Z. 137.. Z. 141.. Z. 144.. Z. 1.. 5 2 2 5x. 6.. 1 2 3 3a x. 10. 3. Método de integración: Manipulación algebraica.. √ 3. Z sen2 (x/2) − sen4 (x/2) 2 csc2 x − 3 csc x − csc3 x + 6 dx 128. dx 1 + cos x csc x − 2 Z Z Z dx π dx tan a sen x √ dx 130. dx 131. 132. 2 2 2 2 cos x sen x cos x csc2 (x/2) 1−x √ √ Z Z Z x−1 x−1 3x2 dx 2 − x2 √ √ dx 134. dx 135. 136. dx 4 x−1 x2 ( 4 x − 1) x2 + 1 x2 + 1 Z Z Z 5 + x2 1 − 3x2 2 + 5x2 sen3 x − cos3 x dx 138. dx 139. dx 140. dx 2 2 2 x +1 x +1 x +1 2 + sen (2x) √ √ Z Z 2 cos (2x) cos (2x) sen x x + 4x + 3 − 2 x3 − 2 x √ dx 142. dx 143. dx √ cos4 x − sen4 x sen4 x − cos4 x x3 − 2x + 3 x √ Z 1 − x2 sen (arcsen x) + x2 dx 145. dx 1 − x2 arctan (tan (x4 )) Respuestas: Ejercicios x2 dx x2 + 1. + C;. 127.. 2 5/2 5u. 2. 2. +. 2. + abx + b x + C;. t + C;. 11.. 1 7 7x. −. Última actualización: Julio 2016. Z. 3 7/3 7u. + C; 2. 3. 2. 7. a t + abt + 2 5 5x. +. 1 3 3x. + C;. 1 3 3t. +. 1 t. + C;. 1 2 3 3b t. + C;. 12.. 1 5 5y. 4. 8.. 1 3 3x. 1 3 3a. − y 3 + C;. + 4x2 + 16x + C; 2. 2 2. 5. 9t − 6t2 +. − a bt + ab t + C; 9. √ 13. 72 x7/2 − 2 x + C;. Farith J. Briceño N.. 1 5 5x. 14.. −. 2 3 3x. 1 5 5y. 4 3 3t. + C;. + x + C;. + 2y 4 +. 16 3 3 y. + C;. [email protected].

(35) Matemática II - Guía 2.. 15. a2 t + 19.. 1 4 4x. 4 1 2 abt. 25.. 1 3a. 1 4 5 5b t 2. 3 2x2/3. −. 33.. 2 5/2 5y n n+1. 1 3 3a. 16.. − 2a3 bt2 − ab3 t4 + 2a2 b2 t3 + C;. 3. 2 6. −x+ 3 7/3 7y. +. + a2 bt3 + ab2 t6 + C;. 1 a1/n t n +1. π x. 1 3 3s. 30.. − y 2 + C; + C;. 1 4x. 26.. + C;. 4. +. + 8 s. 34. x3 −. 3 2x. 2. 2 3x. 31.. 3. − 2x + C;. 2 7x. 27.. 1 3 4 4b t. 4 1 2 abt. 3 13 t. 1 4 4x. 36.. 40. t + C;. 41.. +. 1 3 3x. 18.. 3 2 2 2 a bt. +. 13/4. 32.. + x + C;. − x + C;. + x + C;. 1 2 7 7b t. +. 9 x. + C;. 3 7/3 7t. 3 1 3 ax. + C; 6 7/6 7x. 28. −. − 6x −. + ab2 t3 + C;. √ − 2 x + C;. 7/2. − 15x + C;. 2 5/2 5x. 35.. 1 3 3x. 39.. 7 2x. +. 3 2 2x. 35. 24. a2 t +. + C;. + C; 2. + x3 +. 21. a3 t +. 16 3y3. + 8y − 1 2x2. + 3 ln |x| −. + C; 1 2 2x. 1 5 5y. 23.. (nx)1/n + C;. 38.. 1 4 4x. 17.. 20. 27x − 27x2 + 12x3 − 2x4 + C;. + a bt + ab t + C;. 29.. 37.. + C;. + 4x3 + 24x2 + 64x + C;. 22. a4 t + 3. 1 2 7 7b t. +. Método de integración: Manipulación algebraica.. −6. √ 3. 3 1 3 bx. +. 3 5/3 5x. −. + C;. t + C; 2 1 2 abx. +. + C;. cos t sen x − sen t cos x + C;. 42.. sen t cos x − cos t sen x + C; 43. − cos t cos x − sen t sen x + C; 44. sen t sen x + cos t cos x + C; √ √ 11/6 2 5/2 3 2 3/2 6 3 45. 5 x + 2 x + C; 46. x 4 x − 3 + C; 47. 3 x + 11 x + C; 48. 3x + 2x2 + x24 + C; p √ √ 1 49. 45 4 2p3 x5/4 + C; 50. 47 4 2xp7/4 + C; 51. 13 x3 − x − 2x + C; 52. 72 x7/2 − 65 x5/2 + 2 x + C; 53.. 1 5 5x. 57.. 2 5/2 5t. 61.. x2 2. 64.. −. +. 2 3 3x. −. + x + C;. 15 8/5 8 t x3 3. −. 30 7/10 7 t. +. + C;. 2m+1/2 2 4m+1 x. −. 76.. x2 2. 68.. 93.. − cot x − x + C;. 97.. 1 1 2x2 3x3. −. 86.. −. 100.. +. 102.. 2 5/2 5x. 2 3/2 3x. 15 29/15 29 x. +. + C;. 129. 134.. −. −. 4 3x3/4. − 4x + 18 7/6 7 x. sen t + C; 1 2x2. 5 8/5 8x. −. 2 3x3. 4 7/4 7x. 98.. 107.. 1 3x3. −. −. + C;. 121. 2 √ x3/2 3 a. − 3x 2. 111.. 2 5/2 5x. +. 3 2. +. 1 2x. 1 2. + C;. + C;. 138. 4 arctan x − 3x + C; √ 143. 2 x + 23 x3/2 + C;. 130.. + C;. 78.. 4 5/4 5x. e2 10x5. 91.. 1 2x. −. +4. 1 10x5. 104.. −. −. 3 2 2x. 112.. 117.. 131.. −. t 2. −. 1 2. 108.. +. 88.. 1 2x. 1 4x. 127.. −. 1 4x4. + C;. 2 3 3x. +. 1 5 5x. −. +. 12 19/12 19 x. 140. −. 1 x. −. − 1 2x2. 2 x. x3 3. +. √. 2 2. 80. 4x +. +. √. 2x + 1 2x2. −. 1 3x3. +. 12 23/12 23 x. 2 3 3x. +. x5 5. + C;. + C;. √ 9 2 5/3 5 x 3 2x4. +. + C;. + C;. + C; + C;. 109. 2 tan x − x + C; 114.. 119.. 2 3x3/2. x 4. +. −. 1 2. 3 2x. 4/3. 128. 3x − cot x + C;. −. π 2. sen x + C;. sen x + C; + 4x + C;. − arctan x + C;. 124.. sen x + C;. −. 3 5x. 5/3. 1 4. cos x −. cos x + C;. 84. 2 sen t + C;. 123. x + C;. 1 2. − x + C;. cos t + sen t + C;. tan x − x + C;. π 2x. x2 2. −. sen x +. 96.. − 4 cos x + C;. 132.. + C;. + 3 arctan x + C;. 3 4/3 4x. −. 136. 3 arctan x − x + C;. 139. 5x − 3 arctan x + C;. +. − tan x + C;. tan x − cot x + C; 1 2. 3 2 2x. 105.. 118.. 2 2. cos x + C;. 1 2x2. 113.. x4 4. √. 1 3 3x. x2 2. −. + C;. √ 3 25 x + 4 5 5 x5/4 + C; √ √ + 1−2 2 sen x − 22 cos x. 92.. 12 11/12 11 x. 60.. 66. 71.. + C;. √ 3. 2 3/2 3x. sen t + C;. + 2x + C;. 2n−1 1 2n−1 x. 75.. 79.. 8 3/2 3t. −. + 2x + C;. + x + C;. + 9x + C;. 99. 2x +. 12 7/12 7 x. +. 1 2 2t. − cot x + C;. sen x − cos x + C;. 2 3/2 3x. 145.. −. 95.. cos x − 2x + C;. 122.. x2 2. arcsen x + C;. x + C;. 1 2 2x. 59.. x3 3. 70.. + C;. 126. x − arctan x + C;. arcsen x + C;. + C;. x4 4. − x2 + 8x + C;. 135. 3x − 3 arctan x + C;. 144.. √ 4. √ −44x−. 4 5/4 5x. 56. 4t +. − 2 cos x − x + C;. 4 3/4 3x. −. −. 8 3/2 3x. sec x + C;. + C;. m+n−1 2 m+n−1 x. +. 1 3 3x. 74.. 1 x. √ 83. + 32 x3/2 − 2 x + C; √ 87. − x − 2 sen x + C;. + C;. sen x + C;. +. 65.. + C;. sen x + C;. cot x + C;. −. +. 1 2 2x. − cot x − x + C;. 1 3 3x. 101.. 116.. tan a arcsen x + C; 1 x. 69.. 3 4 4x. + 2x −. 2m−1 1 2m−1 x. 63.. 103. 2t − tan t + C;. 115. 2 tan x − 5x + C; √ 125. 2 ax − 2x +. +. 94.. + C;. 110. 3 sen x − x + C;. 120.. 3 x. + C;. 106. 2x − 2 sen x + C;. 2 7/2 7x. +. 1 2. + C;. 1 5x5. 15 34/15 34 x. −. 90.. 5 8/5 8x. 2 x. 1 2t. −. +. + x2 + 4x + C;. x2 2. 18 5/6 5 x. 1 6 2x. 2n+1/2 2 4n+1 x. +. 1 3 3x. 55.. 1 8 8x. 58.. 1 3 3x. 77.. 82.. − cot t − 2t + C; +. + C;. 73.. − x − 2 arctan x + C;. 10 21/10 21 x. + x + C;. tan t − t + C;. + C;. 85. x + cos x + C; 89.. +. m+n+1/2 4 2m+2n+1 x. 72.. 81.. 5 √ 5t. 1 4 2x. −. 62. x − arctan x + C;. t3 t2 3 + 2 + t + C; √ 3 1 2 sen x + 2 cos x. 67.. 1 7 7x. 54.. 133.. 4 5/4 5x. + x + C;. 137. x + 4 arctan x + C;. sen x + C;. + C;. 141. x + C;. 142.. cos x + C;. Bibliografía. 1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall. 2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.. Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico [email protected] indicando donde se encuentra(n) dicho(s) error(es). MUCHAS GRACIAS. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(36) Matemática II - Guía 2.. Última actualización: Julio 2016. Método de integración: Manipulación algebraica.. Farith J. Briceño N.. 36. [email protected].

(37) Matemática II - Guía 3. Método de integración: u-sustitución. Objetivos a cubrir. Código : MAT-CI.3. • Método de integración: u-sustitución. Ejemplo 36 : Integre. Z. Ejercicios resueltos. 2. (ax + b) dx.. Solución : En el ejemplo 18 se aplica manipulación algebraica para obtener la familia de primitivas de la 2 función f (x) = (ax + b) , más precisamente, se desarrolla el producto notable y por linealidad de la integral indefinida se obtiene la familia de primitivas (ver Ejemplo 18). A continuación se resuelve la integral por medio de un cambio de variable. Se propone el cambio de variable Calculo del. −−−−−−−−−→. u = ax + b. du = a dx. diferencial. =⇒. dx =. du , a. entonces, la integral queda Cambio u = ax + b. Diferencial du dx = a. Integral de una potencia. Integral de tabla.. ↓ ↓ zZ }| { Z z }| Z { 2 1 1 u3 1 2 du ax + b dx = u = u2 du = +C = (ax + b)3 + C. a a a 3 3a | {z } ↑ Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Luego,. Z. Z. (ax + b)2 dx =. un du =. un+1 +C n+1. con. n=2. 1 (ax + b)3 + C. 3a. Compare el resultado obtenido en este ejemplo, usando el método de u−sustitución con el resultado que se obtiene en el Ejemplo 18, usando manipulación algebraica. Según su opinión ¿Cuál método le parece más sencillo? ¿Cuál método le parece más natural aplicar? ⋆ Ejemplo 37 : Integre. Z. (at)1/n dt.. Solución : En el ejemplo 15 se aplica manipulación algebraica para obtener la familia de primitivas de la 1/n función f (t) = (at) , más precisamente, se aplica propiedades de potencias y por linealidad de la integral indefinida se obtiene la familia de primitivas (ver Ejemplo 15). A continuación se resuelve la integral por medio de un cambio de variable. Se propone el cambio de variable u = at. Última actualización: Julio 2016. Calculo del. −−−−−−−−−→ diferencial. du = a dt. Farith J. Briceño N.. =⇒. dt =. du , a [email protected].

(38) Matemática II - Guía 3.. Método de integración: u-sustitución.. 38. entonces, la integral queda Cambio u = at. Diferencial du dt = a. Integral de una potencia. Integral de tabla.. ↓ ↓ Z zZ }| { Z z}|{ 1/n 1 1 1/n du = at dt = u u1/n du = a a a | {z } ↑ Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Z. um du =. 1. u n +1 1 +1 n. um+1 +C m+1. = Luego,. Z. 1/n. (at). dt =. con. +C =. m=. 1 u(n+1)/n +C a n+1 n. 1 n. 1 nu(n+1)/n n +C = (at)(n+1)/n + C. a n+1 a (n + 1). n (n+1)/n (at) + C. a (n + 1). Compare el resultado obtenido en este ejemplo, usando el método de u−sustitución con el resultado que se obtiene en el Ejemplo 15, usando manipulación algebraica. Según su opinión ¿Cuál método le parece más sencillo? ¿Cuál método le parece más natural aplicar? ⋆ Ejemplo 38 : Integre. Z. cos (t − x) dx.. Solución : En el ejemplo 22 se aplica manipulación algebraica para obtener la familia de primitivas de la función f (x) = cos (t − x), más precisamente, se aplica la identidad trigonométrica el coseno de la diferencia de ángulos y por linealidad de la integral indefinida se obtiene la familia de primitivas (ver Ejemplo 22). A continuación se resuelve la integral por medio de un cambio de variable. Se propone el cambio de variable u= t−x. Calculo del. −−−−−−−−−→ diferencial. du = − dt. =⇒. dt = −du,. entonces, la integral queda Cambio u=t−x. Z. Diferencial dx = −du. Integral del coseno. Integral de tabla.. z }| { ↓ ↓ Z Z z }| { cos t − x dx = cos u (−du) = − cos u du = − sen u + C = − sen (t − x) + C. ↑ | {z } Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. Luego,. Z. [sen u]′ = cos u. cos (t − x) dx = − sen (t − x) + C.. Compare el resultado obtenido en este ejemplo, usando el método de u−sustitución con el resultado que se obtiene en el Ejemplo 22, usando manipulación algebraica. Según su opinión Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].

(39) Matemática II - Guía 3.. Método de integración: u-sustitución.. 39. ¿Cuál método le parece más sencillo? ¿Cuál método le parece más natural aplicar? ⋆ Z p 4 Ejemplo 39 : Integre 2p3 x dx.. Solución : Enpel ejemplo 20 se aplica manipulación algebraica para obtener la familia de primitivas de la función f (x) = 4 2p3 x, más precisamente, se aplica propiedades de radicales y por linealidad de la integral indefinida se obtiene la familia de primitivas (ver Ejemplo 20). A continuación se resuelve la integral por medio de un cambio de variable. Se propone el cambio de variable u = 2p3 x. Calculo del. du = 2p3 dx. −−−−−−−−−→ diferencial. =⇒. dx =. du , 2p3. entonces, la integral queda Diferencial du dx = 2p3. Integral de una potencia. Integral de tabla.. z }| { ↓ Z r Z Z Z √ √ du 1 1 1 u5/4 1 4u5/4 3 4 4 4 2p x dx = u 3 = 3 u du = 3 u1/4 du = 3 +C = 3 + C, | {z } 2p 2p 2p 2p 5/4 2p 5 | {z } ↑ ↑ Cambio 3. u = 2p x. Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración. como u = 2p3 x, entonces, Z p 1 4 4 2p3 x dx = 3 2p 5 Finalmente,. Z. un du =. 5/4 2 2p3 x +C = 3 5p Z p 4x 4 2p3 x dx = 5. un+1 +C n+1. con. 5/4 4x 2p3 x +C = 5. n=. 1 4. 1/4 2p3 x + C.. 1/4 2p3 x + C.. Compare el resultado obtenido en este ejemplo, usando el método de u−sustitución con el resultado que se obtiene en el Ejemplo 20, usando manipulación algebraica. Según su opinión ¿Cuál método le parece más sencillo? ¿Cuál método le parece más natural aplicar? ⋆ Ejemplo 40 : Integre. Z. sen6 x cos x dx.. Solución : Se observa que en el integrando aparece la función seno y su correspondiente derivada, la función coseno, así, es natural proponer el cambio de variable u = sen x. Calculo del. −−−−−−−−−→ diferencial. du = cos x dx,. con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualización: Julio 2016. Farith J. Briceño N.. [email protected].