Facultad de Ciencias INTRODUCCIÓN A LOS CUERPOS P-ÁDICOS (INTRODUCTION TO P-ADIC FIELDS)

Facultad Ciencias de

INTRODUCCIÓN A LOS CUERPOS P-ÁDICOS

(INTRODUCTION TO P-ADIC FIELDS)

Trabajo de Fin de Grado para acceder al

GRADO EN MATEMÁTICAS

Autor: Paula Echevarría González

Director: Maria Pilar Fernández-Ferreirós Erviti

Febrero-2016

Es conocido que el cuerpo de los n´umeros reales surgi´o por la necesidad de completar el cuerpo de los n´umeros racionales y su completaci´on se construy´o gracias al valor absoluto usual. Pues bien, los cuerpos p-´adicos se obtienen al completar el cuerpo de los n´umeros racionales con respecto a los valores abso- lutos p-´adicos.

El objetivo del presente trabajo es estudiar la construcci´on y propiedades b´asicas de los cuerpos p-´adicos, prestando especial atenci´on al Lema de Hensel y mostrando algunas de sus aplicaciones a la obtenci´on de propiedades algebraicas de dichos cuerpos.

Los n´umeros p-´adicos tienen gran inter´es te´orico pero adem´as han servido como herramienta base en la obtenci´on de importantes resultados en ´Algebra, An´alisis, Aritm´etica y posteriormente, tambi´en en F´ısica.

Palabras Clave: p-´adico, valor absoluto, completaci´on, n´umeros ra- cionales, lema de Hensel, ra´ıces de la unidad.

2. Abstract

It is known that the real number field appear from the need to complete the rational number field and its completion was built from the usual absolute value. In the same way, the p-adic fields arise when the rational number field is completed from the p-adic absolute values.

The aim of this work is to study the construction and basic properties of the p-adic numbers, paying special attention to Hensel’s lemma and showing some of their applications to obtain algebraic properties of that fields.

The p-adic numbers have not only theoretical interest but they have been a useful tool to obtain important results in Algebra, Analysis, Arithmetic and later, also in Physics.

Key Words: p-adic, absolute value , completion, rational numbers, Hensel’s lemma, roots of unity.

´ Indice general

1. Historia 5

1.1. Los n´ umeros p-´ adicos . . . . 5

1.2. Biograf´ıa de Kurt Hensel . . . . 6

2. Introducci´ on a los n´ umeros p-´ adicos 9 2.1. Valor absoluto p-´ adico . . . . 9

2.2. Compleci´ on de Q . . . 14

2.3. Los enteros p-´ adicos . . . . 22

2.4. El lema de Hensel . . . . 32

2.5. Aplicaciones del lema de Hensel . . . . 38

2.5.1. Determinaci´ on y C´ alculo de las Unidades de Z

. . . . 38

2.5.2. Ra´ıces cuadradas en Q

. . . . 38

2.5.3. Ra´ıces de la unidad en Q

. . . . 42

3

Cap´ıtulo 1

Historia

1.1. Los n´ umeros p-´ adicos

Los n´ umeros p-´ adicos fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en torno al 1897. Estos n´ umeros surgieron del inter´ es por calcular la potencia exacta con la que un primo divide al discriminante de un cuerpo de n´ umeros.

El ejemplo 2 que exponemos en la secci´ on 3 de Cap´ıtulo 2 muestra c´ omo la construcci´ on de los n´ umeros p-´ adicos est´ a estrechamente relacionada con la resoluci´ on de ecuaciones en congruencias m´ odulo p

.

Para abordar este tema, Hensel comenz´ o observando las muchas propie- dades semejantes que tienen el cuerpo de los n´ umeros racionales Q y el anillo de los polinomios con coeficientes complejos C(X).

Por una parte consideramos Z junto con su cuerpo de fracciones Q y por otra C[X] junto con su cuerpo de fracciones C(X). Sean f(X) ∈ C(X) y x ∈ Q, podemos ver que ambos son muy similares:

f (X) =

x =

donde P (X), Q(X) ∈ C[X] con Q(X) ̸= 0 y p, q ∈ Z con q ̸= 0.

Adem´ as Hensel not´ o que tanto C(X) como Q son cuerpos de fracciones de un dominio de ideales principales en el cual todos los ideales primos no nulos son maximales. As´ı, observ´ o que los anillos Z y C[X] admiten factorizaci´on

´

unica. Si nos fijamos, todo n´ umero entero puede expresarse de forma ´ unica como producto de primos y, al mismo tiempo, cualquier polinomio puede expresarse de forma ´ unica del modo siguiente:

P (X) = a(x − α

)(x − α

)...(x − α

)

5

Es decir, seg´ un Hensel, los n´ umeros primos p ∈ Z son semejantes a los polinomios lineales (x − α) ∈ C[X].

Sea P (X) ∈ C[X] y α ∈ C, es posible escribir su desarrollo en serie de potencias de (x − α) (por ejemplo con el desarrollo en serie de potencias de Taylor)

P (X) = ∑

i=0

a

(x − α)

con a

∈ C. De esta forma, tenemos que el an´alogo a este desarrollo es el desarrollo de un entero positivo m en potencias de p con p primo, es decir,

m = ∑

i=0

a

p

con a

∈ Z y 0 ≤ a

< p. Esta expresi´ on es la que se denomina desarrollo p-´ adico de m.

Finalmente, dado f (X) ∈ C(X) y α ∈ C, es posible expandir f(X) como una serie de Laurent en torno a α

f (X) = ∑

i≥n0

a

(X − α)

Y dado x ∈ Q se puede operar an´alogamente y obtener una serie de Laurent en potencias de p:

x = ∑

i≥n0

a

p

De este modo fue como Hensel vio que el conjunto de todas las series formales de Laurent en p forman un cuerpo, al que denominaremos cuerpo de los n´ umeros p-´ adicos y denotaremos por Q

. Este cuerpo contiene al cuerpo de los n´ umeros racionales pero es estrictamente mayor que ´ el.

1.2. Biograf´ıa de Kurt Hensel

Kurt Hensel naci´ o el 29 de diciembre de 1861 en Prusia Oriental donde vivi´ o 9 a˜ nos, edad a la que se traslad´ o a Berl´ın. Su padre era terrateniente en Prusia pero al mudarse a Berl´ın se convirti´ o en director de una empresa de construcci´ on.

Durante el tiempo que vivi´ o en Prusia no fue a la escuela, sino que

fue educado por sus padres en casa. A los 9 a˜ nos pis´ o por primera vez un

colegio, Friedrich-Wilhelm Gymnasium, donde descubri´ o su pasi´ on por las

matem´ aticas gracias a su profesor, K. H. Schellbach. Schellbach no tard´ o

en darse cuenta de que Hensel no era un alumno cualquiera, sino que era

1.2. BIOGRAF´ IA DE KURT HENSEL 7 un alumno muy aventajado en lo que a matem´ aticas se refer´ıa. Por ello, Schellbach le proporcionaba material m´ as t´ ecnico y avanzado. Cuando lleg´ o la hora de pasar a la universidad Hensel no ten´ıa ninguna duda de qu´ e carrera estudiar´ıa, matem´ aticas. En esta ´ epoca los estudiantes alemanes no eleg´ıan una sola universidad en la que cursar sus estudios, sino que escog´ıan varias y se iban moviendo por las diferentes clases. Hensel escogi´ o las universidades de Berl´ın y Bonn. Entre otros muchos profesores, tuvo la suerte de coincidir con Lipschitz, Weierstrass, Borchardt, Kirchhoff, Helmholtz y Kronecker.

Pero sin duda fue Kronecker quien m´ as influencia tuvo sobre ´ el, por eso fue quien dirigi´ o su tesis doctoral en 1884 en la universidad de Berl´ın, donde continu´ o trabajando.

Entre 1895 y 1930 public´ o 5 vol´ umenes en los que recopil´ o la obra de Kronecker. El trabajo que hizo Weierstrass en 1897 del desarrollo en series de potencias de las funciones algebraicas, le llev´ o a definir los n´ umeros p-´ adicos debido a su inter´ es por calcular la potencia exacta con la que un primo divide al discriminante de un cuerpo de n´ umeros. Con esta t´ ecnica pudo probar muchos resultados sobre formas cuadr´ aticas y teor´ıa de n´ umeros. La enorme potencia de su t´ ecnica no fue valorada hasta 1921 cuando Hasse prob´ o el llamado principio local-global: demostr´ o que una forma cuadr´ atica tiene una soluci´ on racional si y s´ olo si la tiene en los n´ umeros reales y en los p-´ adicos para todo primo p.

En su obra “Theorie der algebraischen Zahlen” publicada en 1908 desa- rrolla toda su teor´ıa sobre los n´ umeros p-´ adicos. En esta obra y en la siguiente

“Zahlentheorie” publicada en 1917 muestra toda la fuerza de esta t´ ecnica para abordar problemas de divisibilidad en un cuerpo de n´ umeros.

Hensel muri´ o el 1 de junio del 1941 a los 79 a˜ nos.

Cap´ıtulo 2

Introducci´ on a los n´ umeros p-´ adicos

2.1. Valor absoluto p-´ adico

Definici´ on 2.1.1 Sea K un cuerpo, se denomina valor absoluto sobre K a una funci´ on

| | : K → R

que ∀x, y ∈ K verifica las siguientes propiedades:

1. |x| ≥ 0; |x| = 0 si y s´olo si x = 0

2. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad triangular) 3. |xy| = |x||y|

Definici´ on 2.1.2 Un valor absoluto | | en un cuerpo K es no arquimediano si para x ∈ K se cumple

|x| ≤ 1 ⇒ |1 + x| ≤ 1

Lema 2.1.1 El valor absoluto | | en un cuerpo K es no arquimediano si y s´ olo si cumple la desigualdad triangular fuerte, es decir, si ∀x, y ∈ K

|x + y| ≤ max{|x|, |y|}

9

Dem: Queremos demostrar que

|x| ≤ 1 ⇒ |x + 1| ≤ 1 si y s´olo si |x + y| ≤ max{|x|, |y|}

La implicaci´ on de derecha a izquierda es trivial tomando y = 1, por tanto vamos a probar la otra implicaci´ on.

Vamos a suponer que xy ̸= 0 (si xy = 0 es trivial). Tambi´en vamos a suponer, sin p´ erdida de generalidad, que |x| ≤ |y|.

|x + y||y|

= |

| = |

+ 1 | Como |x| ≤ |y| entonces

≤ 1 y por tanto  

  ≤ 1.

As´ı, como  

  ≤ 1 entonces |

+ 1 | ≤ 1, es decir, |x + y||y|

≤ 1. Por tanto,

|x + y| ≤ |y| = max{|x|, |y|}

Adem´ as se cumple que, si |x| ̸= |y| entonces |x + y| = max{|x|, |y|}.

Ahora vamos a introducir la definici´ on de valor absoluto p-´ adico en Q.

Para ello vamos a comenzar dando la definici´ on de valoraci´ on y cuerpo valua- do, luego introduciremos la definici´ on de valoraci´ on p-´ adica en Z y veremos c´ omo extenderla a Q.

Definici´ on 2.1.3 Si K es un cuerpo, se denomina valoraci´ on sobre K a una funci´ on

v : K → R ∪ {∞}

que verifica las siguientes propiedades: si x, y ∈ K 1. v(x) = ∞ ⇔ x = 0

2. v(xy) = v(x) + v(y)

3. v(x + y) ≥ min {v(x), v(y)}

En este caso diremos que el par (K, v) es un cuerpo valuado.

Definici´ on 2.1.4 Dado un n´ umero primo p ∈ Z, cualquier entero no nulo

a se expresa de una ´ unica manera en la forma a = p

a

con r entero no

negativo y a

no divisible por p. De acuerdo con esta propiedad, se denomina

valoraci´ on p-´ adica en Z a la funci´on

2.1. VALOR ABSOLUTO P - ´ ADICO 11 v

: Z\ {0} → R

que asocia, a cada entero no nulo a ∈ Z, el ´unico entero no negativo v

(a) tal que a = p

a

donde (p, a

) = 1.

Veamos ahora c´ omo se puede extender v

al cuerpo de los n´ umeros ra- cionales.

Si x ∈ Q, x =

con a, b ∈ Z. Entonces, se tiene a = p

a

b = p

b

Por tanto, se puede escribir x = p

y con a

y b

primos con p.

Veamos ahora que esta expresi´ on es ´ unica. Suponemos que hay dos ex- presiones distintas,

x = p

= p

con a

, a

, b

y b

primos con p. As´ı tenemos, p

a

b

= p

a

b

de donde r = s y nos queda a

b

= b

a

. Por tanto

=

. As´ı que la expresi´ on es ´ unica y no depende de la representaci´ on de x como cociente de dos enteros.

Definici´ on 2.1.5 Sea x =

∈ Q

, la valoraci´ on p-´ adica de Q viene deter- minada por la formula

x =

= p

donde (p, a

) = 1 y (p, b

) = 1.

Lema 2.1.2 Para todo x, y ∈ Q

se tiene 1. v

(xy) = v

(x) + v

(y)

2. v

(x + y) ≥ min {v

(x), v

(y) }.

Si adem´ as v

(x) ̸= v

(y), se cumple que v

(x + y) = min {v

(x), v

(y) }.

Dem: Consideramos x, y ∈ Q. Por comodidad vamos a llamar r = v

(x) y s = v

(y).

1. v

(xy) = v

(x) + v

(y) Escribimos

x = p

x

y = p

y

As´ı, por una parte tenemos

xy = p

(xy)

Y por otra

xy = p

p

x

y

= p

x

y

2. v

(x + y) ≥ min {v

(x), v

(y) }.

Sean

x =

= p

y =

= p

. con (a

b

, p) = 1 = (c

d

, p) y r, s ∈ Z.

Primero vamos a suponer que r < s,

x + y = p

+ p

=

=

= p

donde tanto el numerador como el denominador son primos con p. Por tanto, v

(x + y) = r = min {r, s}.

Veamos ahora que ocurre cuando r = s.

x + y = p

+ p

=

= p

donde sabemos que b

d

es primo con p pero a

d

+ b

c

no tiene por que serlo. Por tanto, vamos a escribir a

d

+ b

c

= p

e con t ≥ 0 y (e, p) = 1. Entonces,

p

= p

As´ı, en este caso v

(x + y) = r + t ≥ r = min {r, s}

Definici´ on 2.1.6 Para cada x ∈ Q con x ̸= 0, definimos valor absoluto p-´ adico en Q como

|x|

= p

Si x = 0 definimos |x| = 0, es decir v

(0) = ∞

Ahora nos falta comprobar que lo que acabamos de definir es de verdad un valor absoluto.

Proposici´ on 2.1.1 La funci´ on | |

es un valor absoluto no arquimediano.

2.1. VALOR ABSOLUTO P - ´ ADICO 13 Dem: Vamos a comprobar las 3 propiedades que tiene que cumplir para ser un valor absoluto. Sean x, y ∈ Q

1. |x|

≥ 0; |x|

= 0 ⇔ x = 0

Como p es un n´ umero primo p > 1, por tanto |x|

= p

≥ 0 . Por definici´ on est´ a claro que |x|

= 0 ⇔ x = 0

2. |x + y|

≤ |x|

+ |y|

Por el lema 2.1.2 sabemos que v

(x + y) ≥ min {v

(x), v

(y) }; adem´as vamos a suponer, sin p´ erdida de generalidad, que v

(x) ≤ v

(y)

|x + y|

= p

≤ p

= p

≤

≤ p

+ p

= |x|

+ |y|

3. |xy|

= |x|

|y|

Por el lema 2.1.2 sabemos que v

(xy) = v

(x) + v

(y) por tanto tene- mos,

|xy|

= p

= p

= p

p

= |x|

|y|

Para comprobar que es no arquimediano basta ver que se cumple la condici´ on siguiente

|x + y|

≤ max {|x|

, |y|

}

Para demostrarlo, utilizamos la desigualdad ya probada en 2:

|x + y|

≤ p

Entonces

|x + y|

≤ p

= max {

p

, p

}

= max {|x|

, |y|

}

Por tanto, hasta ahora conocemos los siguientes valores absolutos defi- nidos sobre Q:

El valor absoluto trivial.

El valor absoluto usual, que representaremos por | |

.

Para cada primo p, el valor absoluto p-´ adico, | |

.

Para compararlos y estudiar la posible existencia de otros, se introduce el concepto de valores absolutos equivalentes, es decir, aquellos que definen la misma topolog´ıa.

Lema 2.1.3 Sean | |

y | |

dos valores absolutos en un cuerpo K. Las condiciones siguientes son equivalentes:

| |

y | |

son valores absolutos equivalentes.

Para cada x ∈ K tenemos |x|

< 1 si y s´ olo si |x|

< 1.

Existe α ∈ R tal que ∀x ∈ K se tenga que

|x|

= |x|

Proposici´ on 2.1.2 Un valor absoluto p-´ adico no es equivalente al valor absoluto usual. Adem´ as, si p, q son primos distintos, los valores absolutos p-´ adico y q-´ adico no son equivalentes.

Dem: La primera afirmaci´ on es obvia ya que para cualquier valor absoluto p-´ adico se cumple, por ser no-arquimediano, que |n| ≤ 1 ∀n ∈ Z.

Si p, q son primos distintos, se cumple que |p|

= p

< 1 y |p|

= 1. Por tanto | |

y | |

no son equivalentes.

Por otro lado, para cualquier primo p, es |p|

= p

< 1 y |p|

= p > 1 Teorema 2.1.1 (Ostrowski) Todo valor absoluto no trivial en Q es equiva- lente a un valor absoluto | |

donde p es un n´ umero primo o p = ∞

2.2. Compleci´ on de Q

Definici´ on 2.2.1 Sea K un cuerpo y sea | | un valor absoluto en K. Una sucesi´ on (x

) se llama sucesi´ on de Cauchy si ∀ϵ > 0 existe un ´ındice n

(que depende de ϵ) tal que ∀n, m con n ≥ n

y m ≥ n

se verifica

|x

− x

| < ϵ

Definici´ on 2.2.2 Sea K un cuerpo y sea | | un valor absoluto en K. Se

dice que K es completo con respecto a | | si toda sucesi´on de Cauchy de

elementos de K es convergente.

2.2. COMPLECI ´ ON DE Q 15 Es conocido por todos que el cuerpo de los n´ umeros racionales Q no es completo con respecto al valor absoluto usual y que el cuerpo de los n´ umeros reales R es su completado respecto a este valor absoluto.

Probaremos en esta secci´ on que el cuerpo Q tampoco es completo res- pecto de ning´ un valor absoluto p-´ adico y construiremos su completado, el llamado cuerpo de los n´ umeros p-´ adicos .

Lema 2.2.1 Una sucesi´ on de n´ umeros racionales (x

) es de Cauchy con respecto a un valor absoluto no arquimediano | | si y s´olo si

lim

|x

− x

| = 0

Dem: La implicaci´ on de derecha a izquierda es trivial, por definici´ on de sucesi´ on de Cauchy.

Para probar la otra implicaci´ on suponemos que l´ım

|x

− x

| = 0.

Entonces, para ϵ > 0, existe n

tal que |x

− x

| < ϵ para cada n ≥ n

. Si n, m ≥ n

con m = n + r > n, se cumple que

|x

− x

| = |x

− x

+ x

− x

+ ... + x

− x

| ≤

≤ max{|x

− x

|, |x

− x

|, ..., |x

− x

|} < ϵ y (x

) es de Cauchy.

Lema 2.2.2 El cuerpo Q no es completo respecto de ning´un valor absoluto p-´ adico.

Dem: Consideramos | |

para alg´ un primo p y construiremos una sucesi´ on de Cauchy en Q cuyo l´ımite no est´e en Q. Para ello vamos a buscar una sucesi´ on de soluciones m´ odulo p

de una ecuaci´ on que no tenga soluci´ on en Q.

Lo probamos en primer lugar cuando p es un primo impar y luego lo veremos para p = 2:

Sea a ∈ Z cumpliendo las condiciones siguientes:

a no es cuadrado en Q.

a primo con p.

a residuo cuadr´ atico m´ odulo p, es decir, existe soluci´ on de la ecuaci´ on

x

≡ a m´od p.

Para elegir dicho entero a, basta escoger el cuadrado de cualquier entero b que sea primo con p y elegir un entero t de forma que a = b

+ tp no sea cuadrado en Q.

Construimos ahora la sucesi´ on de Cauchy del modo siguiente:

escogemos x

= b que es soluci´ on de x

≡ a m´od p escogemos x

tal que

x

≡ x

m´ od p y x

≡ a m´od p

en general, escogemos x

tal que

x

≡ x

m´ od p

y x

≡ a m´od p

.

La existencia de los x

elegidos anteriormente la vamos a probar por induc- ci´ on.

Para n = 1 es x

= b y x

= a + pc con c ∈ Z. Para encontrar x

tal que x

≡ x

m´ od p, vale cualquiera de la forma x

= x

+ tp con t ∈ Z. As´ı que vamos a tratar de calcular dicho t para que se cumpla x

≡ a m´od p

.

x

= (x

+ tp)

≡ x

+ 2x

tp = a + pc + 2x

tp m´ od p

y entonces

x

≡ a m´od p

⇔ pc+2tx

p = p(c + 2tx

) ≡ 0 m´od p

⇔ c+2tx

≡ 0 m´od p Como 2x

es primo con p entonces existe (2x

)

m´ od p y por tanto ya tenemos que t = −c(2x

)

existe y es ´ unico.

Ahora vamos a suponer que existe x

tal que

x

≡ x

m´ od p

y x

≡ a m´od p

Vamos a trabajar de forma an´ aloga al caso n = 1. Como sabemos que x

≡ a m´od p

entonces x

= a + cp

con c ∈ Z.

Para que x

≡ x

m´ od p

, debe ser x

= x

+ tp

para alg´ un t ∈ Z. As´ı que vamos a calcular t para que se cumpla x

≡ a m´od p

. x

= (x

+ tp

)

= x

+ t

p

+ 2x

tp

= x

+ t

p

p

+ 2x

tp

≡ x

+ 2x

tp

= a + bp

+ 2x

tp

m´ od p

2.2. COMPLECI ´ ON DE Q 17 y entonces

x

≡ a m´od p

⇔ p

(b + 2tx

) ≡ 0 m´od p

⇔ b + 2tx

≡ 0 m´od p Continuando de la misma forma que en el caso anterior tenemos que

t = −b(2x

)

existe y adem´ as es ´ unico. As´ı queda demostrado que la sucesi´ on existe siem- pre que exista el elemento x

inicial. Pero falta comprobar que la sucesi´ on es de Cauchy.

Gracias al lema 2.2.1, basta comprobar que lim

|x

− x

| = 0

Como para cada n, es x

≡ x

m´ od p

se cumple que

|x

− x

| = |tp

| ≤ p

entonces lim

|x

− x

| = 0 y (x

) es una sucesi´ on de Cauchy.

Adem´ as, como, para cada n, es x

≡ a m´od p

, se cumple que

|x

− a| = |cp

| ≤ p

Por tanto, lim

|x

−a| = 0, es decir, el l´ımite de (x

), en caso de existir, tiene que ser la ra´ız cuadrada de a. Como hab´ıamos escogido a de forma que no fuese ra´ız cuadrada en Q, entonces la sucesi´on no tiene l´ımite en Q.

Probamos ahora que Q no es completo respecto del valor absoluto | |

construyendo una sucesi´ on de Cauchy (x

) de forma que (x

+ 7) → 0.

Para x

= 1 se cumple que x

+ 7 ≡ 0 m´od 2

y x

+ 7 = 2

b

con b

= 1.

Buscamos x

tal que x

≡ x

m´ od 4 y x

+ 7 ≡ 0 m´od 2

. Entonces x

= x

+ 4t y

x

+ 7 = (x

+ 4t)

+ 7 = x

+ 7 + 16t

+ 8tx

= 2

b

+ 16t

+ 8tx

Se cumple que

x

+ 7 = 2

+ 16t

+ 8t ≡ 0 m´od 2

⇔ 1 + t ≡ 0 m´od 2

Para t = 1, se obtiene x

= 5 con x

+ 7 ≡ 0 m´od 2

.

En general, si n > 1 y existe x

de forma que x

≡ x

m´ od 2

y x

+ 7 ≡ 0 m´od 2

con x

+ 7 = 2

b

, x

es impar y para el elemento x

= x

+ 2

b

se cumple que x

≡ x

m´ od 2

y

x

+ 7 = x

+ 7 + 2

b

+ 2

b

x

= 2

b

+ 2

b

+ 2

b

x

=

= 2

b

+ 2

b

(1 + x

) ≡ 0 m´od 2

Se obtiene as´ı una sucesi´ on de enteros (x

) que es de Cauchy y cumple que |x

+ 7 |

< 2

para cada n. Adem´ as no tiene l´ımite en Q puesto que no existe a ∈ Q tal que a

= −7.

As´ı queda demostrado que Q no es completo con respecto a ning´un valor absoluto p-´ adico.

Para construir su completado nos basaremos en la construcci´ on de R a partir de Q. Es decir, vamos a tratar de “a˜nadir” a Q los l´ımites de todas las sucesiones de Cauchy.

Definici´ on 2.2.3 Si | |

es un valor absoluto p-´ adico en Q, denotamos por C al conjunto de todas las sucesiones de Cauchy de elementos de Q

C = {(x

) : (x

) es una sucesi´ on de Cauchy con respecto a | |

} Proposici´ on 2.2.1 Si definimos la suma y el producto de sucesiones del modo siguiente

(x

) + (y

) = (x

+ y

) (x

)(y

) = (x

y

) entonces C es un anillo conmutativo con unidad.

Dem: Es f´ acil ver que tanto para la suma como para el producto se cum- plen la propiedad asociativa y conmutativa, al igual que la distributiva.

Adem´ as est´ a claro que para la suma existe elemento neutro (la sucesi´ on constante cero) y elemento opuesto y que el elemento neutro para el pro- ducto es la sucesi´ on constante 1.

Por tanto, lo ´ unico que tenemos que probar es que la suma y producto de sucesiones de Cauchy es de Cauchy. Aplicando el lema 2.2.1 basta probar para dos sucesiones de Cauchy (x

), (y

) las dos propiedades siguientes:

lim

|(x

+ y

) − (x

+ y

) |

= 0

0 ≤ |(x

+ y

) − (x

+ y

) |

= |(x

− x

) + (y

− y

) |

≤

≤ (|x

− x

|

+ |y

− y

|

) = |x

− x

|

+ |y

− y

|

= 0

2.2. COMPLECI ´ ON DE Q 19 lim|x

y

− x

y

|

= 0

|x

y

− x

y

|

=

= |x

(y

− y

) + x

y

− x

y

|

=

= |x

(y

− y

) + y

(x

− x

) |

≤

≤ [|x

(y

− y

) |

+ |y

(x

− x

) |

] =

= |x

(y

− y

)|

+ |y

(x

− x

)|

] =

= [ |x

|

|y

− y

|

] + [ |y

|

|x

− x

|

] =

= |x

|

lim |y

− y

|

+ |y

|

lim |x

− x

|

= 0 El prop´ osito final de este cap´ıtulo es llegar a construir la completaci´ on de Q y por tanto no debemos olvidar que dicha construcci´on debe extender a Q. As´ı que ahora vamos ver que existe una inclusi´on de Q en C. Para ello basta considerar, para cada x ∈ Q, la sucesi´on de Cauchy x, x, x, x, x... a la que denominaremos sucesi´ on constante asociada a x y denotaremos por (x).

As´ı tenemos que la funci´ on x −→ (x) es claramente una inclusi´on de Q en C.

En un principio dijimos que ´ıbamos a tratar de “a˜ nadir” a Q los l´ımites de todas las sucesiones de Cauchy. Para ello hemos construido el anillo C.

El problema que ahora surge con este anillo es que, diferentes sucesiones de Cauchy cuyos t´ erminos se van acercando, deber´ıan de tener el mismo l´ımite, pero en nuestro anillo son objetos diferentes. Es decir, podemos encontrar dos sucesiones distintas convergiendo al mismo valor en C.

Sabemos que dos sucesiones tienen el mismo l´ımite cuando sus t´ erminos est´ an cada vez m´ as cerca, es decir, cuando su diferencia tiende a cero. As´ı vamos a analizar las sucesiones que tienden a cero.

Definici´ on 2.2.4 Sea N ⊂ C el ideal que contiene a las sucesiones que tienden a cero con respecto al valor absoluto | |

N = {(x

) : x

→ 0} = {(x

) : lim

|x

|

= 0 } Lema 2.2.3 N es un ideal maximal de C

Dem: Es f´ acil comprobar que N cumple las condiciones para ser un ideal de C. Veamos ahora que efectivamente es maximal.

Sea (x

) ∈ C\N , es decir, (x

) es una sucesi´ on de Cauchy cuyo l´ımite es

distinto de cero. Probaremos que el ideal I generado por (x

) y N , coincide

con C. Para ello, basta probar que (1) ∈ I.

Como (x

) es de Cauchy pero no converge a cero, entonces tienen que existir c > 0 y N ∈ N tales que |x

| ≥ c > 0, ∀n ≥ N. En particular, si n ≥ N entonces x

̸= 0. As´ı que vamos a definir una nueva sucesi´on (y

) como

(y

) =

{ 0 si n < N

1

xn

si n ≥ N

Vamos a probar ahora que (y

) es de Cauchy. Al igual que en ocasiones anteriores, como | |

es no arquimediano, apoyandonos en el lema 2.2.1, basta probar que

|y

− y

| −→ 0

Por como hemos definido y

, es suficiente con probarlo cuando n > N .

|y

− y

| = |

−

| = |

| =

≤

−→ 0 Por tanto, (y

) es una sucesi´ on de Cauchy. As´ı,

x

y

=

{ 0 si n < N 1 si n ≥ N

Por tanto, si a la sucesi´ on (1) le restamos el producto de (x

) e (y

), obte- nemos una sucesi´ on que tiende a cero. Es decir,

(1) − (x

)(y

) ∈ N

Esto quiere decir que la sucesi´ on constante 1 se puede escribir como m´ ultiplo de (x

) m´ as un elemento de N y por tanto (1) ∈ I.

Como lo que queremos conseguir es identificar las sucesiones que tienen el mismo l´ımite, es decir, aquellas que difieren en elementos de N , lo que haremos ser´ a utilizar la herramienta algebraica de pasar al cociente. Vamos a hacer el cociente del anillo C por el ideal N . Como hemos probado que el ideal es maximal, entonces dicho cociente es un cuerpo.

Definici´ on 2.2.5 Definimos el cuerpo de los n´ umeros p-´ adicos como el co- ciente del anillo C y su ideal maximal N :

Q

= C/N

Notemos que dos sucesiones constantes distintas nunca difieren en un

elemento de N y por tanto continuamos teniendo la inclusi´on

2.2. COMPLECI ´ ON DE Q 21 Q −→ Q

simplemente enviando a cada x ∈ Q a la clase de equivalencia de (x).

As´ı ya tenemos un cuerpo y una inclusi´ on de Q en dicho cuerpo. Ahora tenemos que comprobar que se cumplen las propiedades de la completaci´ on y para ello lo primero que vamos a ver es que el valor absoluto | |

se extiende a Q

Lema 2.2.4 Sea (x

) ∈ C\N , la sucesi´on |x

|

de n´ umeros reales es esta- cionaria, es decir, existe N ∈ Z tal que, si n, m ≥ N entonces

|x

|

= |x

|

Dem: Como (x

) es una sucesi´ on de Cauchy que no converge a cero existen c > 0 y N

∈ Z tales que |x

| ≥ c > 0, ∀n ≥ N

. Por otro lado, tambi´ en existe N

∈ Z tal que |x

− x

| < c, ∀n, m ≥ N

.

Si consideramos N = max {N

, N

}, ambas condiciones se cumplen y tenemos que ∀n, m ≥ N,

|x

− x

| < max {|x

|, |x

|}

As´ı, por la propiedad no arquimediana vista en el Lema 2.1.1, se tiene que

|x

| = |x

|

Del resultado anterior se deduce que si (x

) ∈ C\N , la sucesi´on |x

|

es convergente en R, lo que nos permite dar la siguiente definici´on

Definici´ on 2.2.6 Si x ∈ Q

y (x

) es una sucesi´ on de Cauchy represen- tando a x, definimos

|x|

= lim

|x

|

Es inmediato comprobar que, con esta definici´ on, el valor de | |

no depende del representante (x

) elegido y que | |

es un valor absoluto de Q

.

Teorema 2.2.1 Para cada primo p, | |

es un valor absoluto en Q

que extiende al valor absoluto p-´ adico de Q. Adem´as

1. Cada elemento de Q

es el l´ımite de alguna sucesi´ on de Cauchy de

elementos de Q. Por tanto, la imagen de Q en Q

es densa en Q

.

2. Q

es completo con respecto al valor absoluto | |

.

Dem:

1. De la definici´ on 2.2.6 se deduce que cada elemento x = (x

) + N ∈ Q

es el l´ımite de una sucesi´ on de Cauchy (x

) de elementos de Q ya que

|(x

) + N |

= lim

|x

|

⇒ (x

) + N = l´ım

n→∞

(x

)

2. Sea (x

) una sucesi´ on de Cauchy de elementos en Q

. Como Q es denso en Q

, para cada x

existe y

∈ Q tal que l´ım

|x

− (y

) |

= 0.

Se comprueba ahora que la sucesi´ on (y

)

es una sucesi´ on de Cauchy de elementos de Q. Si λ = (y

) +N , se cumple que l´ım

(x

) = λ.

Definici´ on 2.2.7 Si K es un cuerpo valuado con un valor absoluto | |, el conjunto V

= {|a| : a ∈ K

} es un subgrupo del grupo multiplicativo de los reales positivos y se llama grupo de valores de K.

Corolario 2.2.1 El grupo de valores de | |

en Q

coincide con el de | |

en Q.

Dem: Sean V

, V

, respectivamente, los grupos de valores de Q y Q

res- pecto del valor absoluto p-´ adico. Es obvio que V

⊆ V

.

Por otro lado, si 0 ̸= λ ∈ Q

, λ = lim

(x

) siendo (x

) una sucesi´ on de Cauchy de elementos de Q.

Para cada ϵ > 0 existe entonces un entero N tal que |λ−x

| < ϵ ∀n > N.

Eligiendo ϵ tal que 0 < ϵ < |λ|

, resulta que, para cada n > N ,

|x

|

= |x

− λ + λ|

= m´ ax{|x

− λ|

, |λ|

} = |λ|

Por tanto, V

⊆ V

y V

= V

.

Ahora vamos a analizar la estructura de Q

.

2.3. Los enteros p-´ adicos

Proposici´ on 2.3.1 a) El subconjunto de Q

, Z

= {λ ∈ Q

/|λ|

≤ 1} es

un subanillo de Q

llamado anillo de los enteros p-´ adicos. Adem´ as,

P

= {λ ∈ Q

/ |λ|

< 1 } es el ´unico ideal maximal de Z

.