Operadores normales

Operadores normales

Objetivos. Estudiar la definici´on y propiedades b´asicas de operadores normales en espa- cios unitarios. Demuestrar que para todo operador normal existe una base ortonormal de vectores propios.

Requisitos. Operador adjunto,operadores autoadjuntos,operadores unitarios, triangula- ci´on de Schur (triangulaci´on ortonormal) de un operador lineal.

1. Definici´on (operador normal). Sea V un espacio euclidiano o unitario. Un operador lineal T ∈ L(V ) se llama normal si conmuta con su operador adjunto:

T^∗T = T T^∗. (1)

2. Definici´on (matriz normal). Una matriz A ∈ Mn(C) se llama normal si A^∗A = AA^∗.

3. Proposici´on (criterio de operador normal en t´erminos de su matriz asociada respecto una base ortonormal). Sean V un espacio euclidiano o unitario, B una base ortonormal de V y T ∈ L(V ). Entonces:

T es normal ⇐⇒ TB es normal.

4. Ejemplos.

1. Todo operador autoadjunto (que cumple con T^∗ = T ) es normal.

2. Toda operador unitario (que cumple con T^∗T = I y T T^∗ = I) es normal.

3. Toda matriz diagonal es normal.

5. Ejercicio. Sean D ∈ M_n(C) una matriz diagonal y Q ∈ Mn(C) una matriz unitaria.

Entonces la matriz QDQ⁻¹ es normal.

6. Nota. A final de este tema vamos a demostrar que toda matriz normal se puede escribir como un producto de la forma QDQ⁻¹, donde Q es unitaria y D es normal.

7. Ejercicio. D´e un ejemplo de matriz normal que no sea autoadjunta ni unitaria.

8. Ejercicio (criterio de operador normal en t´erminos de su parte real e ima- ginaria). Sean T, A, B ∈ L(V ), T = A + i B, A^∗ = A, B^∗ = B. Entonces:

T es normal ⇐⇒ A y B conmutan.

Operadores normales, p´agina 1 de 4

9. Teorema (criterio de operador normal en t´erminos de las normas de las im´agenes). Sea V un espacio euclidiano o unitario y sea T ∈ L(V ). Entonces las siguien- tes condiciones son equivalentes:

(a) T es normal;

(b) kT vk = kT^∗vk para todo v ∈ V .

Demostraci´on. (a)⇒(b). Sea T normal. Entonces

kT vk² = hT v, T vi = hT^∗T v, vi = hT T^∗v, vi = hT^∗v, T^∗vi = kT^∗vk². (b)⇒(a). Sup´ongase que se cumple (b). Entonces para todo v ∈ V

hT^∗T v, vi = hT v, T vi = kT vk² = kT^∗vk² = hT^∗v, T^∗vi = hT T^∗v, vi.

Notemos que hv, U wi se puede expresar a trav´es de los valores hU v, vi:

hv, U wi = 1 4

3

X

k=0

hU (i^kv + w), i^kv + wi.

De aqu´ı sigue que T^∗T = T T^∗.

10. Ejercicio. Sea V un espacio euclidiano o unitario y sea T ∈ L(V ) una transformaci´on normal. Demuestre que

ker(T^∗) = ker(T ), im(T^∗) = im(T ).

11. Proposici´on (vectores propios de la adjunta de una transformaci´on normal).

Sea V un espacio euclidiano o unitario y sea T ∈ L(V ) una transformaci´on normal. Si T u = λu, entonces T^∗u = λu.

Demostraci´on. La transformaci´on T − λI es normal. Aplicamos la proposici´on anterior a la transformaci´on T − λI y al vector u:

0 = k(T − λI)uk = k(T^∗− ¯λI)uk.

De aqu´ı T^∗u = ¯λI.

12. Ejercicio (vectores propios de un operador normal asociados a diferentes valores propios son ortogonales entre si). Sean V un espacio euclidiano o unitario, T ∈ L(V ) un operador normal, u, v ∈ V tales que T u = λu, T v = µv, λ 6= µ. Demuestre que u ⊥ v.

Operadores normales, p´agina 2 de 4

13. Teorema (toda matriz normal triangular es diagonal). Sea A ∈ Mn(C) una matriz normal y triangular superior. Entonces A es diagonal.

Demostraci´on. Denotemos por E = (e₁, . . . , e_n) a la base can´onica de Cⁿ. Primer paso. Como A es triangular superior,

Ae1 =

n

X

j=1

Aj,1ej = A1,1e1.

Por la proposici´on anterior,

A^∗e₁ = A_1,1. (2)

Por otro lado,

A^∗e1 =

n

X

j=1

(A^∗)j,1ej =

n

X

j=1

A1,jej.

Comparando con la igualdad (2) concluimos que A_1,2 = . . . = A_1,n= 0.

Segundo paso. Ya sabemos que A_3,2 = . . . = A_3,n= 0 (por la hip´otesis que A es triangular superior) y A_1,2 = 0 (por el resultado del primer paso). Por lo tanto,

Ae₂ = A_2,2e₂. Por la proposici´on anterior, A^∗e₂ = A_2,2e₂. Por otro lado,

A^∗e2 =

n

X

j=1

(A^∗)j,2ej =

n

X

j=1

A2,jej.

As´ı que A2,3= . . . = A2,n = 0.

Continuando este procedimiento (o razonando por inducci´on matem´atica) se demuestra que A_j,k = 0 para todo par de ´ındices (j, k) con j < k.

14. Corolario. Toda matriz normal y triangular inferior es diagonal.

15. Ejercicio. D´e un ejemplo de matriz A ∈ M₂(C) tal que A² sea normal y A no sea normal.

16. Teorema (para todo operador normal en un espacio unitario existe una base ortonormal que consiste en sus vectores propios). Sea V un espacio unitario y sea T ∈ L(V ) un operador normal. Entonces existe una base ortonormal B de V cuyos elementos son vectores propios de T .

Demostraci´on. Sigue inmediatamente del teorema sobre la triangulaci´on ortonormal de un operador lineal y del teorema 13 de una matriz normal y triangular superior.

En efecto, primero construimos una base ortonormal B del espacio V tal que TB es triangular superior. Como T es normal y la base B es ortonormal, la matriz TB es nor- mal. Pero toda matriz normal y triangular superior es diagonal. As´ı que la matriz T_B es diagonal. Esto significa que B consiste en vectores propios de T .

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17. Tarea adicional. Demuestre el teorema por inducci´on sobre dim(V ) sin usar el teorema de la triangulaci´on ortonormal (pero usando algunas ideas de su demostraci´on).

18. Ejercicio. Demuestre el teorema rec´ıproco: Si T es un operador lineal en un espacio unitario V y existe una base ortonormal de V que consta de vectores propios de T , entonces T es normal.

19. Corolario (diagonalizaci´on de Schur de una matriz normal). Sea A ∈ M_n(C).

Entonces existe una matriz unitaria Q tal que Q⁻¹AQ es diagonal.

20. Ejercicio. Encuentre una diagonalizaci´on de Schur de la matriz A = 1 i

i 1

 .

21. Ejercicio. Construya una matriz A ∈ M₂(C) tal que A² sea normal pero A no sea normal.

22. Ejercicio (operadores normales nilpotentes). Sea V un espacio unitario, sea T ∈ L(V ) un operador normal y nilpotente. Lo ´ultimo significa que T^k= 0 para alg´un k.

Demuestre que T = 0.

23. Ejercicio (n´ucleo de las potencias de un operador normal). Sean V un espacio unitario y T ∈ L(V ) un operador normal. Demuestre que para todo k ∈ {1, 2, . . .}

ker(T^k) = ker(T ).

24. Sea V un espacio unitario, sea T ∈ L(V ) un operador normal y sea f ∈ P(C) un polinomio. Demuestre que la transformaci´on f (T ) es normal.

25. Tarea adicional. Sea A ∈ M_n(C) una matriz normal. Demuestre que existe un polinomio f ∈ P(C) tal que

A^∗ = f (A).

Indicaci´on: primero considere el caso cuando A es una matriz diagonal.

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