TEMA 5: Álgebra de Matrices. Determinantes. DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD:

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TEMA 5: Álgebra de Matrices. Determinantes.

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD:

Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas y para representar sistemas de ecuaciones lineales.

Realiza operaciones con matrices (suma, producto por un escalar, transposición, producto de matrices, reconociendo cuándo pueden realizarse y cuándo no) y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente (en particular, la no conmutatividad del producto).

Sabe calcular los determinantes de matrices cuadradas de orden dos y de orden tres.

Conoce las propiedades elementales de los determinantes y sabe aplicarlas al cálculo de éstos.

Determina el rango de una matriz con no más de tres filas o columnas, aplicando el método de Gauss o determinantes.

Conoce la matriz identidad I y la definición de matriz inversa. Determina las condiciones para que una matriz tenga inversa y la calcula empleando el método más adecuado (hasta matrices cuadradas de orden tres).

ÍNDICE:

1. Concepto de Matriz. Tipos de matrices.

2. Operaciones con matrices. Estructura algebraica.

3. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades.

4. Rango de una matriz.

5. Cálculo de la matriz inversa.

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1.- Concepto de Matriz. Tipos de matrices.

DEFINICIÓN :

(Matriz)

Se define una MATRIZ en ℝ como una tabla de números reales ordenados por filas y columnas, como sigue:

= = ⋯

⋮ ⋮ ⋮

… , ∈ ℝ, , ∈ ℕ

elemnto de la matriz que ocupa la fila nº i y la columna nº j, con : 1, … , ; : 1, …

DIMENSIÓN de la matriz : = . Nos indica que la matriz tiene m filas y n columnas.

Número de elementos de : · . EJEMPLO:

= " 1 −2 0 √2 ' 8)

*+,

= 2 3, tiene 2 filas y 3 columnas

= 1,

*

= −2, … ,

*,

= 8

CRITERIO DE IGUALDAD: Dos matices, = y . = / son iguales si:

o

Tienen la misma dimensión: = dim .

o

Los elementos que ocupan la misma posición son iguales: = / ∀ , El conjunto de las matrices de números reales de dimensión mxn se nota como 4 ℝ DEFINICIÓN :

(Matriz Traspuesta)

Se define la MATRIZ TRASPUESTA de una matriz = , como la que resulta de cambiar las filas por columnas y viceversa. Se nota como

⁵

= , también se suele notar como

⁶

.

EJEMPLO:

= 71 2 3 4 5 6;

* ,

⟹

⁵

= 1 4 2 5 3 6

, *

TIPOS DE MATRICES:

MATRIZ FILA: Matriz con una sola fila. Por ejemplo: = 1 2 4

,

MATRIZ COLUMNA: Matriz con una sola columna. Por ejemplo: = 1

−2 0

,

MATRIZ RECTANGULAR: Matriz en la que el nº de filas no coincide con el nº de columnas.

Por ejemplo: = 71 0 −1 3 4 −2;

* ,

2 ≠ 3

MATRIZ CUADRADA: Matriz en la que el nº de filas coincide con el nº de columnas.

Por ejemplo: = 72 −1 3 0 ;

* *

En las matrices cuadradas se define la DIAGONAL PRINCIPAL como el conjunto de elementos que pertenecen al

mismo nº de fila que de columnas. > ∈ ?@ = A. En el ejemplo: B2, 0C.

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MATRIZ TRIANGULAR: Matriz cuadrada en la que todos los elementos que hay por debajo (encima) de la diagonal principal son nulos. En el primer caso se llaman TRIANGULAR SUPERIOR y en el segundo TRIÁNGULAR INFERIOR.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:

_DE

= 0 F >

EJEMPLO:

= 3 4 5

0 2 3 0 0 6

, ,

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:

_DE

= 0 F <

EJEMPLO:

= 3 0 0

−1 2 0 0 3 −2

, ,

MATRIZ DIAGONAL: Matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal son nulos, es decir matriz que es a la vez triangular superior e inferior.

_DE

= 0 F ≠

EJEMPLO:

= 71 0 0 3;

* *

MATRIZ SIMÉTRICA: Matriz cuadrada que coincide con su traspuesta: = ∀ , EJEMPLO:

= 2 4 3

4 0 5 3 5 −1

, ,

2.- Operaciones con matrices. Estructura algebraica.

A: SUMA DE MATRICES:

DEFINICIÓN:

(Suma de matrices)

Sean = , . = / ∈ 4 ℝ con la misma dimensión. Se define la MATRIZ SUMA, I = + ., como la matriz cuyos elemntos se obtienen sumando los de y . que ocupan la misma posición (fila y columna).

I = F tal que: F = + / ; : 1, … ; : 1, …

I = = .

EJEMPLO:

71 −1 0 2 3 1;

* ,

+ 71 0 0 2 3 −1;

* ,

= 72 −1 0 4 6 0;

* ,

PROPIEDADES: Sean

, ., K ∈ 4 ℝ

I. ASOCIATIVA: + . + K = + . + K

II. ELEMENTO NEUTRO: Matriz nula: L = 0 ⋯ 0

⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0

+ L = L + = III. CONMUTATIVA: + . = . +

IV. ELEMENTO OPUESTO: El elemento opuesto de = es la matriz – = −

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+ − = − + = L

NOTA: Igual que en los números reales la diferencia de matrices se entenderá como la suma de una matriz con la opuesta de otra: − . = + −.

ESTRUCTURA ALGEBRAICA: El conjunto de las matrices de dimensión mxn, con la suma tiene estructura de GRUPO

ABELIANO.

4 ℝ , + es un GRUPO ABELIANO.

B: PRODUCTO DE ESCALARES (NÚMEROS REALES) POR MATRICES:

DEFINICIÓN:

(Producto por escalares)

Sean O ∈ ℝ, = ∈ 4 ℝ . Se define el producto del número real O por la matriz , como la matriz que resulta de multiplicar todos los elementos de la matriz por el número real.

O · = O · O · = EJEMPLO:

3 · 2 1

−3 2 0 1

, *

= 6 3

−9 6 0 3

, *

, . ∈ 4 ℝ ; O, ℎ ∈ ℝ I. DISTRIBUTIVAS:

O + ℎ · = O · + ℎ · O · + . = O · + O · . II. PSEUDOASOCIATIVA: O · ℎ · = O · ℎ ·

III. ELEMENTO UNIDAD: 1; 1· =

ESTRUCTURA ALGEBRAICA: El conjunto de las matrices de dimensión mxn, con el producto por escalares, tiene estructura

de ESPACIO VECTORIAL.

4 ℝ , +,· es un ESPACIO VECTORIAL.

C: PRODUCTO DE MATRICES:

DEFINICIÓN:

(Producto por escalares)

Sean dos matrices = ; . = /

_R

, de modo que el nº de columnas de es igual al nº de filas de ..

Se define el producto de por ., la matriz S = · . = T

_R

que resulta de multiplicar escalarmente la filas de por las columnas de ., como sigue:

T = … · U /

/ ⋮ V = · / + ⋯ + · /

· . = T EJEMPLO:

73 −2 1 0 2 1;

* ,

· 1 2 −1 0 4 3

1 2 1

,+,

= 74 0 −8 1 10 7 ;

* ,

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, ., K tres matrices con las dimensiones adecuadas.

I. ASOCIATIVA: · . · K = · . · K

II. ELEMNTO NEUTRO: Matriz Identidad: Es una matiz cuadrada, diagonal con todos los elemento de la diagonal principal igual a 1.

X · = · X =

MATRIZ IDENTIDAD DE ORDEN 3: X

,

= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 III. DISTRIBUTIVAS:

· . + K = · . + · K + . · K = · K + . · K

IV. NO CONMUTATIVA: NO siempre es cierta la propiedad conmutativa: · . = . · EJEMPLO:

Sean = 72 1 0 −1;

* *

, . = 71 3 5 3 0 1;

* ,

· . = 72 1 0 −1;

* *

· 71 3 5 3 0 1;

* ,

= 7 5 6 11 −3 0 −1;

* ,

. · = 71 3 5 3 0 1;

* ,

· 72 1 0 −1;

* *

no existe porque el nº de columnas de 3 no coincide con el nº de filas de 2

Por tanto: · . ≠ . ·

V. Existen matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula.

Por ejemplo: = 74 2 0 0; , . = 7 0 −3

0 6 ; , · . = 70 0 0 0;

VI. No es cierta la propiedad simplificativa: · K = . · K , K ≠ L ⇏ = ..

VII. No son ciertasen general las identidades notables.

VIII. No todas las matrices tienen inversa:

DEFINICIÓN:

(Matriz Inversa)

Dada una matriz cuadrada , se dice que es INVERTIBLE (Regular) si ∃

^[

tal que:

·

^[

=

^[

· = X.

Se dice que

^[

es la MATRIZ INVERSA de . Si la matriz no es invertible se dice que es Singular.

EJEMPLO: Calculamos la inversa de = 7 2 1 −1 0; , aplicando la condición anterior.

Sea

^[

= 7 \ ] ^; ⟹ ·

^[

= X

*

con X

*

= 71 0 0 1;

·

^[

= 7 2 1 −1 0; · 7 \

] ^; = " 2 + ] 2\ + ^

− −\ )

"2 + ] 2\ + ^ − −\ ) = 7 1 0

0 1; ⟹ = 0, \ = −1, ] = 1, ^ = 2 Por tanto es invertible (regular):

^[

= 70 −1 1 2 ;

Si el sistema fuera incompatible la matriz no es invertible y se dice que es singular.

(6)

OTRAS PROPIEDADES: Sean

, . matrices con las dimensiones adecuadas y O ∈ ℝ.

I.

^{5 5}

=

II. + .

⁵

=

⁵

+ .

⁵

III. O ·

⁵

= O ·

⁵

IV. · .

⁵

= .

⁵

·

⁵

V. es simétrica sii =

⁵

VI. · .

^[

= .

^[

·

^[

VII. O ·

^[

= O

^[

·

^[

, O ≠ 0 VIII.

^{[ [}

=

IX. X

^[

= X X.

^{[ 5}

=

^{5 [}

3.- Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades.

DETERMINANTE DE ORDEN 2:

DEFINICIÓN:

(Determinante de orden 2)

Se define el DETERMINANTE de la matriz cuadrada = 7

_* _**^*

; como el número real:

_^ = | | = a

_* _**^*

a = ·

**

−

*

·

*

EJEMPLO:

= 71 3 2 −1;, | | = a 1 3

2 −1a = −1 − 6 = −7

DETERMINANTE DE ORDEN 3: (Regla de Sarrus) DEFINICIÓN:

(Determinante de orden 3)

Se define el DETERMINANTE de la matriz cuadrada =

^* ^**^* ^*,^,

, ,* ,,

como el número real:

_^ = | | = b

^* ^**^* ^*,^,

, ,* ,,

b =

= ·

**

·

,,

+

*

·

,*

·

,

+

,

·

*

·

*,

−

,

·

**

·

,

−

*,

·

,*

· −

,,

·

*

·

*

EJEMPLO:

= 3 5 1

4 −2 −1

2 −3 −4 , | | = b 3 5 1 4 −2 −1

2 −3 −4 b = 24 − 12 − 10 + 4 − 9 + 80 = 77

DETERMINANTE DE ORDEN SUPERIOR: ( Desarrollo por una fila o columna )

El desarrollo lo haremos para una matriz cuadrada de dimensión 4x4, sin pérdida de generalidad.

= c

* , d

* ** *, *d

, d

,*

d*

,, d,

,d dd

e

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DEFINICIONES:

(Matriz complementaria y Adjunto de un elemento)

 Se define la MATRIZ COMPLEMENTARIA del elemento , f , como la matriz que resulta de suprimir la fila nº i y la columna nº j.

 Se define el ADJUNTO del elemento , como el nº real: = g hf h F + _F T i

−hf h F + _F T i j Signos de los adjuntos: U

+ − + −

− + − + + − −

+ + −

− + V

Se define el DETERMINANTE de una matriz como la suma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos correspondientes:

Si tomamos la primera fila:

| | = k

* , d

* ** *, *d

, d

,*

d*

,, d,

,d dd

k = · +

*

·

*

+

,

·

,

+

d

·

d

EJEMPLO:

l

2 −1 1 2 1 6 1 0 3 2 −1

−1 −1

0 3 1

l = 2 b 6 1 0

−1 −1 3

−1 0 1 b − −1 b 1 1 0 3 −1 3

2 0 1 b + b 1 6 0 3 −1 3

2 −1 0 b − 2 b 1 6 1 3 −1 −1 2 −1 0 b = 34

Interesa tomar una fila o columna que tenga ceros para facilitar el cálculo. Se logrará transformando los elementos de la matriz aplicando las propiedades que siguen:

PROPIEDADES:

I. Dadas dos matrices con las dimensiones adecuadas, y .

| · .| = | | · |.|

|

⁵

| = | |

|

^[

| = | |

^[

si existe

^[

II. Si permutamos dos filas o columnas, el detreminante cambia de signo.

EJEMPLO:

b 1 2 3 3 4 5

1 1 0 b = − b 3 4 5 1 2 3 1 1 0 b

III. Si descomponemos una fila o una columna en dos sumando, el determinante es igual a la suma de los determinantes.

EJEMPLO:

b 3 6 9 1 3 5

7 4 8 b = b 1 + 2 2 + 4 3 + 6

1 3 5

7 4 8 b = b 1 2 3

1 3 5

7 4 8 b + b 2 4 6 1 3 5 7 4 8 b

IV. Si sacamos un factor común en una fila o columna, el determinante queda multiplicado por el factor.

EJEMPLO:

a5 10 4 5 a = a 5 · 1 5 · 2

4 5 a = 5 · a 1 2

4 5a

V. Si una matriz tiene una fila o columna nula, su determinante es cero.

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VI. Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es cero.

VII. Si una matriz tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es cero.

EJEMPLO:

b O

* * ,

O

** ** *,

O

,* ,* ,,

b = 0, O ∈ ℝ

VIII. Si una matriz tiene una fila o columna combinanción lineal de otras, el determianate es nulo; y reciprocamente: si el determinate de una matriz es cero, entonces hay una fila o columna que es combinanción lineal de otras.

EJEMPLO:

b

^*

O + ℎ

*

* **

O

*

+ ℎ

**

, ,*

O

,

+ ℎ

,*

b = 0, O, ℎ ∈ ℝ

IX. Si en una matriz cambiamos una fila o columna por la que resulta de una combinación lineal de ella con otras, el determinante no varía.

EJEMPLO:

b 1 2 3 3 4 5

1 1 0 b = b 7 10 13

3 4 5

1 1 0 b

Se ha cambiado la primera fila por la que resulta de sumar la primera con la segunda multiplicada por dos.

X. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal.

b 0 0

* **

0

, ,* ,,

b = ·

**

·

,,

Aplicando adecuadamente algunas de estas propiedades podemos transformar la matriz dada en otra triangular para que el cálculo de su determinante sea más inmediato. A este método se le llama CÁLCULO DEL DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUSS.

4.- Rango de una matriz. Cáculo por determinantes.

Si consideramos a las filas, m o columnas, K de una matriz, como vectores, decimos que una fila m es combinación lineal de otras si se puede expresar como suma de otroas multiplicadas por números reales.

m = · m + ⋯ +

n

· m

n

, , … ,

n

∈ ℝ

Así, diremos que un conjunto de filas o columnas son linealmente independientes si una de ellas se puede expresar como combinación lineal del resto. En caso contrario diremos que es linealmente independiente.

DEFINICIÓN:

(Rango de una matriz)

Se define el RANGO de una matriz, , de dimensión , como el número de filas o columnas linealmente independientes. Se nota como i .

Es evidente que el rango de la matriz tiene que ser menor o igual que el nº de filas o columnas, i ≤ ,

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PROCEDIMIENTO PARA SU CÁLCULO CON DETERMINANTES:

DEFINICIÓN:

(Menor de orden k)

Dada una matriz de dimensión , se definen los MENORES de orden k como los determinantes de las submatrices cuadradas de dimensión O O de , con O ≤ , .

El rango se obtiene como el orden de menor de mayor orden distinto de cero. Si existe un menor de orden O no nulo y todos los menores de orden mayor que O, son nulos, entonces el rango es O.

EJEMPLO:

= 1 2 3

1 2 4 2 4 7

 Menores de orden 3: b 1 2 3 1 2 4 2 4 7 b = 0

 Menores de orden 2: a1 2 1 2a = 0, a 1 3

1 4a = 1 ≠ 0 i = 2

5.- Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada por determinantes.

Cuando analizamos las propiedades del producto de matrices establecimos la definición de matriz inversa y enunciamos que no todas las matrices admiten inversa. Veamos la condición que tiene que cumplir una matriz cuadrada para que tenga inversa y un procedimiento práctico para su cálculo cuando exista.

TEOREMA:

Dada una matriz cuadrada

∈ 4 ℝ .

es INVERTIBLE (Regular) si | | ≠ 0 DEFINICIÓN:

(Matriz Adjunta)

Dada una matriz cuadrada ∈ 4 ℝ .

Se define la MATRIZ ADJUNTA de , , como la matriz que resulta de sustituir los elementos de la matriz , , por sus correspondientes adjuntos, , definidos anteriormente.

= ⋯

⋮ ⋱ ⋮

⋯ EJEMPLO:

= 2 −2 2

2 1 0 3 −2 2

= a 1 0 −2 2a = 2

^*

= − a2 0 3 2a = −4

^,

= a2 1 3 −2a = −7

*

= − a−2 2 −2 2a = 0

^**

= a2 2 3 2a = −2

^*,

= − a2 −2 3 −2a = −2

,

= a−2 2 1 0a = −2

^*

= − a2 2 2 0a = 4

^,,

= a2 −2 2 1 a = 6

= 2 −4 −7

0 −2 −2

−2 4 6

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CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA INVERTIBLE:

Dada una matriz cuadrada, ∈ 4 ℝ tal que: | | ≠ 0. Entonces:

[

= 1

| | ·

⁵

EJEMPLO:

= 73 2 1 4;

| | = 10 ≠ 0

= 7 4 −1 −2 3 ;

[

= 1

| | ·

⁵

= 1

10 · 7 4 −1

−2 3 ;

5

= 1

10 · 7 4 −2

−1 3 ; = c 2

5 −1

−1 5

10 3

10 e

Comprobemos la condición de inversa:

·

^[

= 73 2 1 4; · 1

10 7 4 −2

−1 3 ; = 1

10 7 10 0

0 10; = 7 1 0 0 1; = X

^*

[

· = 1

10 · 7 4 −2

−1 3 ; · 7 3 2 1 4; = 1

10 7 10 0

0 10; = 7 1 0

0 1; = X

^*