Tema 3. Espacios de probabilidad

(1)

Espacios de probabilidad: Definici´

on axiom´

atica

y propiedadades b´

asicas de la probabilidad

1. Objetivo del C´

alculo de Probabilidades

El objetivo del C´alculo de Probabilidades es establecer y desarrollar modelos matem´aticos adaptados al estudio de situaciones que presentan cierto grado de incertidumbre.

Este tipo de situaciones son, asimismo, objeto de estudio de la Estad´ıstica, ciencia de la que puede darse la siguiente definici´on (Barnett, 1973):

”La Estad´ıstica es la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y dar una gu´ıa de acción en situaciones prácticas que envuelven incertidumbre”

As´ı, el Cálculo de Probabilidades y la Estad´ısticason disciplinas ´ıntimamente relacio-nadas en cuanto que ambas se refieren al estudio de un mismo tipo de situaciones. El Cálculo de Probabilidades desarrolla los modelos teóricos para tratar tales situaciones y la Estad´ıstica ajusta dichos modelos a situaciones concretas.

En este primer tema estableceremos las nociones básicas para el desarrollo formal del C´ alcu-lo de Probabilidades, por alcu-lo que comenzaremos describiendo el tipo de situaciones objeto de estudio; esto es, los fenómenos aleatorios. La manifestación f´ısica de una situación que envuel-ve incertidumbre es lo que en el lenguaje estad´ıstico se denomina fenómeno aleatorio, y se caracteriza esencialmente porque su desarrollo no es previsible.

2. Fen´

omenos y experimentos aleatorios

Entre los diversos fenómenos que pueden presentarse o abstraerse en un determinado campo de interés existen los denominadosfenómenos determin´ısticos, cuyo desarrollo es perfectamente previsible; y aquellos que se desarrollan en un ambiente de incertidumbre, pudiendo dar lugar a distintas manifestaciones o resultados, llamados fenómenos aleatorios.

La imposibilidad de prever el resultado de un fen´omeno aleatorio puede tener diversas causas, seg´un los casos. Por ejemplo:

Las leyes que rigen el fen´omeno pueden no ser conocidas suficientemente para ser formu-ladas matem´aticamente.

Los factores que intervienen en el desarrollo del fen´omeno son muy numerosos, o dif´ıciles de apreciar; o, incluso, no pueden medirse sin perturbar su desarrollo.

(2)

En la actividad diaria nos encontramos con cierto tipo de fenómenos que pueden ser some-tidos a experimentación con el fin de recabar información sobre ellos.

En el sentido usual del t´ermino, un experimento es un procedimiento u operaci´on que puede dar lugar a distintos resultados, todos ellos previamente identificables.

Nos ocuparemos por el momento de aquellos experimentos que pueden repetirse sucesiva-mente bajo las mismas condiciones. Entre ellos cabe distinguir igualsucesiva-mente dos tipos:

Experimentos determin´ısticos: aquellos que dan lugar al mismo resultado siempre que se realicen bajo id´enticas condiciones. Un ejemplo claro ser´ıa el experimento consistente en medir el espacio recorrido por un cuerpo, en movimiento rectil´ıneo, a velocidad constante,

v, durante un tiempot. El resultado ser´ıae=vt; es decir, fijadas las condiciones iniciales,

v y t, el espacio e queda totalmente determinado por ellas.

Experimentos aleatorios: se caracterizan porque sus resultados pueden variar, incluso si el experimento se realiza bajo id´enticas condiciones iniciales. Ser´ıan ejemplos de este tipo de experimentos el lanzamiento de una moneda, la extracci´on de una bola de una urna, etc.

As´ı, podemos definir un experimento aleatorio como aquel que satisface las siguientes condiciones:

Todos sus posibles resultados son conocidos por anticipado. Puede repetirse sucesivamente en las mismas condiciones.

Bajo las mismas condiciones, puede dar lugar a distintos resultados. No puede preverse su resultado en una experiencia particular.

Comenzaremos definiendo una serie de conceptos básicos asociados a un experimento alea-torio (espacio muestral y suceso). Señalaremos el paralelismo entre suceso y conjuntos; en definitiva, siempre podrá identificarse un suceso con un subconjunto del espacio muestral, lo que nos permitirá hacer uso de la Teor´ıa de Conjuntos para especificar las relaciones entre sucesos en términos de operaciones entre conjuntos.

Seguidamente, introduciremos dos estructuras de conjuntos, álgebra yσ-álgebra, siendo ésta ´

ultima la que constituye el soporte material sobre el que se define la funci´on de probabilidad.

2.1. Espacio muestral

(3)

•El conjunto formado todos los sucesos elementales asociados a un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral y se le designa por Ω. Por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, el espacio muestral es Ω ={1,2,3,4,5,6}.

•El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio puede ser de tres tipos, dependiendo de su cardinal:

Espacio muestral finito, cuando tiene un n´umero finito de elementos. Por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, el espacio muestral es finito Ω = {1,2,3,4,5,6}.

Espacio muestral infinito numerable, si tiene un número infinito numerable de ele-mentos; o, dicho de otra forma, si se puede establecer una aplicación biyectiva entre los elementos del espacio muestral y los números naturales.

Como ejemplo de un espacio muestral infinito numerable, consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado hasta que aparezca un 1. En este caso el espacio muestral es

Ω = {1,21,31,41,51,61,221,231,241,251,261,321,331,341,351,361,421,431,

441,451,461,521,531,541,551,561,621,631,641,651,661,2221,2231, . . .}

Si consideramos como elementos del espacio muestral el n´umero de lanzamientos necesa-rios hasta obtener un 1, entonces se tiene

Ω1 ={1,2,3,4,5,6,7,8, . . .}

Tambi´en se suele llamar espacio muestral discretoindistintamente a los casos finito e infinito numerable.

Espacio muestral continuo, si tiene un número infinito no numerable de elementos. Es decir, si no se puede establecer una correspondencia biun´ıvoca entre los elementos del espacio muestral y los números naturales. Por ejemplo, si lanzamos un dardo a un diana y estamos interesados en la posición que ocupará el dardo que puede ser cualquier punto de la superficie de la diana; en este caso, el espacio muestral es

Ω ={todos los puntos de la superficie de la diana}.

Otro ejemplo, ser´ıa la observaci´on de la duraci´on de una bombilla; en este caso Ω =_R+

2.2. Sucesos

(4)

concreta que puede consistir en m´as de un suceso elemental. Por ejemplo en el experimento aleatorio de lanzar un dado, consideramos el hecho de que salga un n´umero par.

Llamaremos suceso aleatorio o simplemente suceso a cualquier caracter´ıstica, hecho o proposición lógica que pueda formularse en relación a un experimento aleatorio, cuya ocurrencia o no pueda ser observada tras la realización del experimento. As´ı, todo suceso puede identificarse con un subconjunto del espacio muestral, el conjunto de resultados o sucesos elementales cuya aparición implica la ocurrencia del suceso. Esta identificación de un suceso con un subconjunto del espacio muestral hace posible el uso de la Teor´ıa de Conjuntos para especificar las relaciones y operaciones entre sucesos.

Cabe destacar, en principio, cuatro tipos de sucesos, seg´un el n´umero de elementos que lo constituyan:

Suceso elemental, suceso simple o punto muestral es cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio; es decir, un suceso elemental consta de un solo elemento del espacio muestral Ω.

Suceso compuesto, es el que consta de dos o m´as sucesos elementales.

Suceso seguro, cierto o universal, es aquel que ocurre siempre. Consta de todos los sucesos elementales del espacio muestral y se identifica con el espacio muestral total Ω. Suceso imposible, es el que no ocurre nunca. No contiene ning´un elemento del espacio muestral y se identifica con ∅.

Ejemplo.- Supongamos el experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el n´umero que aparece. El espacio muestral es Ω ={1,2,3,4,5,6} y algunos posibles sucesos son

A1 = que aparezca el 1 ={1}

A2 = que aparezca un n´umero par ={2,4,6}

A3 = que aparezca un n´umero mayor que 4 ={5,6}

A4 = que aparezca un n´umero mayor que 6 =∅

A5 = que aparezca un n´umero entre 1 y 6 = Ω

El sucesoA1 es simple, los sucesosA2 yA3 son compuestos, el suceso A4 es el suceso imposible

y A5 el suceso seguro.

Nota.- Observemos que el suceso aparecer un número mayor que 8 será un suceso que, en principio, podr´ıa parecer distinto de A4; sin embargo, en la práctica se identifica con el mismo

subconjunto del espacio muestral.

2.3. Operaciones y relaciones entre sucesos

Como ya hemos indicado, la identificaci´on de un suceso con un subconjunto del espacio muestral hace posible el uso de la Teor´ıa de Conjuntos para especificar matem´aticamente las relaciones y operaciones entre sucesos.

(5)

Las operaciones básicas entre conjuntos: complementación, unión e intersección, equivalen, en el lenguaje probabil´ıstico a la no ocurrencia de un suceso, la ocurrencia alternativa y a la ocurrencia simultánea, respectivamente.

Suceso complementario o contrario. Dado un sucesoA, se define el suceso complementario o contrario de A como aquel suceso que ocurre si y s´olo si no ocurre el suceso A; o bien, es el suceso constituido por los sucesos elementales del espacio muestral Ω que no pertenecen a A. Lo notaremos por A.

Su representaci´on viene dada por

Si consideramos el suceso

A= obtener un n´umero par ={2,4,6}

el suceso complementario es

A={1,3,5}= obtener un n´umero impar.

Propiedades

∅= Ω Ω = ∅

A =A

Unión de sucesos. Dados dos sucesosA y B de un experimento aleatorio, se define la unión de ambos sucesos como aquel suceso que ocurre siempre que ocurra el sucesoA, o elB o ambos a la vez y se denota porA∪B. Está compuesto por los sucesos elementales que pertenecen a

A, o a B o a ambos a la vez.

(6)

Por ejemplo, dados los sucesos

A= obtener un n´umero impar al lanzar un dado

B = obtener un número mayor que 4 el suceso unión será

A∪B ={1,3,5} ∪ {5,6}={1,3,5,6}.

Propiedades

Conmutativa A∪B =B∪A

Asociativa A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

Idempotente A∪A=A A∪A= Ω

A∪Ω = Ω

A∪ ∅=A

En general, dadosn sucesosA1, A2, . . . , An, su uni´onA1∪A2∪ · · · ∪An= n

[

i=1

Ai es aquel suceso que ocurre cuando ocurre al menos uno de los sucesosAi. Esta constituido por los resultados o sucesos elementales que pertenecen al menos a uno de los sucesosAi, i= 1,2, . . . , n, es decir, el suceso que ocurre cuando ocurre al menos uno de los sucesosAi.

(7)

Intersección de sucesos. Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se define la intersección de ambos sucesos como aquel suceso que ocurre cuando ocurren A y B si-multáneamente y se denota por A∩B. Está constituido por los resultados elementales que pertenecen simultáneamente a A y a B.

Gr´aficamente usando un diagrama de Venn se representa como

Por ejemplo, dados los sucesos

A= obtener un n´umero impar al lanzar un dado

B = obtener un número mayor que 4 el suceso intersección será

A∩B ={1,3,5} ∩ {5,6}={5}.

Propiedades

Conmutativa A∩B =B∩A

Asociativa A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

Idempotente A∩A=A A∩A=∅

A∩Ω =A A∩ ∅=∅

Distributiva

A1∪(A2∩A3) = (A1∪A2)∩(A1∪A3)

(8)

Leyes de De Morgan

A∪B =A∩B A∩B =A∪B

En general, dadosn sucesosA1, A2, . . . , An, su intersecci´onA1∩A2∩ · · · ∩An= n

\

i=1

Ai es otro suceso formado por los resultados o sucesos elementales que pertenecen a todos los sucesos

Ai, i= 1,2, . . . , n, es decir, el suceso que ocurre cuando ocurren todos los sucesos Ai.

De manera análoga se puede definir la intersección para un número infinito numerable o no numerable de sucesos.

En este caso las leyes de De Morgan quedan n

[

i=1

Ai = n

\

i=1

Ai

n

\

i=1

Ai = n

[

i=1

Ai

o bien,

∞

[

i=1

Ai =

∞

\

i=1

Ai

∞

\

i=1

Ai =

∞

[

i=1

Ai

Diferencia de sucesos. Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se define la diferenciaA−B como aquel suceso que ocurre siempre que ocurraAy no ocurraB. Est´a cons-tituido por los sucesos elementales que pertenecen a A y no pertenecen aB.

Su representaci´on viene dada por

Adem´as, la diferencia de dos sucesos se puede expresar como

A−B =A∩B.

(9)

A−B 6=B−A

ni la asociativa

(A−B)−C 6=A−(B−C)

y que el complementario de un suceso se puede expresar en t´erminos de diferencias como

A= Ω−A

Por ejemplo, dados

A= que aparezca el 2 ´o el 4 ={2,4}

B = que aparezca un n´umero par ={2,4,6}

la diferencia B−A es

B−A={6}.

Diferencia sim´etrica de sucesos. Dados dos sucesosA y B, se define la diferencia sim´etrica

A4B como el suceso que ocurre si ocurre uno y sólo uno de los dos. Está constituido por los sucesos elementales deB que no están en A y los de A que no están en B

A4B = (A−B)U(B−A) Su representaci´on viene dada por

Esta operaci´on cumple la propiedad conmutativa pero no la asociativa.

(10)

el suceso A, también ocurre el suceso B. En la identificación con conjuntos, si cada suceso elemental perteneciente aA pertenece también a B, es decir. Por ejemplo, dados

A= que aparezca el 2 ´o el 4 ={2,4}

B = que aparezca un n´umero par ={2,4,6}

entoncesA ⊂B. Tambi´en se dice que A implicaB y se denota por A⇒B.

Igualdad de sucesos. Dados dos sucesosAy B de un experimento aleatorio, diremos que son iguales si siempre que ocurre el sucesoA ocurre el suceso B y siempre que ocurre el suceso B

ocurre el sucesoA y lo notaremos por A =B. Es decir, se verifica

A=B ⇐⇒

A⊂B B ⊂A

En la identificación con conjuntos coincide con la definición de igualdad de conjuntos, es decir, dos sucesos serán iguales si contienen exactamente los mismos puntos muestrales. Por ejemplo, los sucesos

A= obtener un n´umero par al lanzar un dado

B = obtener un 2, 4 o 6 son iguales.

Adem´as, son de inter´es los siguientes conceptos:

Sucesos disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes.

Dos sucesos A y B son disjuntos o incompatibles si no pueden ocurrir simult´aneamente; o bien, dicho de otra forma, si siempre que ocurre uno de los sucesos no se verifica el otro, o sea, la ocurrencia de uno excluye la posibilidad de que ocurra el otro.

En t´erminos de conjuntos, dados dos sucesosAyB de un experimento aleatorio, diremos que son disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes si su intersecci´on es el suceso imposible

(11)

En el ejemplo considerado del lanzamiento de un dado los sucesos

A= obtener un n´umero impar

B = obtener un n´umero par verifican A∩B =∅, es decir, son excluyentes o disjuntos.

En general, dados n sucesosA1, A2, . . . , An diremos que son mutuamente excluyentes, dis-juntos o incompatibles dos a dos, si cada pareja de sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, si

Ai∩Aj =∅, ∀i6=j (i, j = 1,2, . . . , n).

Sistema exhaustivo de sucesos. Si los sucesos A1, A2, . . . , An son tales que verifican que la uni´on de ellos es igual al espacio muestral

A1∪A2∪ · · ·An = Ω

se dice que forman una colecci´on o sistema exhaustivo de sucesos.

Sistema completo de sucesos o partición del espacio muestral. Si un conjunto de sucesos constituyen un sistema exhaustivo de sucesos y, además, son mutuamente excluyentes entonces, se dice que forman unsistema completo de sucesoso una partición deE. Por ejemplo, el conjunto formado por todos los sucesos elementales constituye un sistema completo o partición de Ω.

Ejemplo.

Sean A1, A2 y A3 tres sucesos de un espacio muestral Ω. Expresar los siguientes sucesos en

t´erminos de ellos.

1) Los tres sucesos ocurren: A1∩A2∩A3.

2) No ocurre ninguno de los tres: A1 ∩A2∩A3, que usando las leyes de Morgan se puede

escribir tambi´en como A1∪A2∪A3.

3) Exactamente ocurre uno: (A1∩A2∩A3)∪(A1 ∩A2∩A3)∩(A1∩A2∩A3)

4) Exactamente ocurren dos: (A1∩A2∩A3)∪(A1∩A2∩A3)∩(A1∩A2∩A3)

5) Ocurre A1 y A2 o A3, pero no ambos: A1∩(A2∪A3)∩(A2∩A3) =A1∩(A24A3)

(12)

2.4. ´

Algebra y

σ

-´

algebra de sucesos

• En ciertas ocasiones, al considerar un experimento aleatorio, podemos no estar interesados en calcular la probabilidad de cualquier subconjunto del espacio muestral sino que sólo serán de interés una determinada familia de sucesos. La finalidad de la definición axiomática de la probabilidad es formalizar la asignación de probabilidades a los sucesos de interés, de modo que esta asignación de probabilidades sea consistente con las operaciones lógicas de sucesos. Para ello es necesario dotar de una estructura algebraica adecuada a la familia de sucesos a los que se va a aplicar la probabilidad.

•Antes de definir las estructuras básicas (álgebra para espacios muestrales finitos yσ-álgebra para espacios muestrales arbitrarios) definiremos una Clase de conjuntos a un conjunto cuyos elementos son conjuntos, esto es, dado un espacio arbitrario Ω, una clase de conjuntos de Ω será un subconjunto de P(Ω) (partes de Ω, esto es, el conjunto formado por todos los subconjuntos de él). Se dice que una clase de conjuntos es cerrada para una determinada operación si al realizar dicha operación con elementos de la clase, el resultado sigue siendo un elemento de la clase. A una clase de conjuntos del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio se le denomina clase de sucesos.

´

Algebra de Boole (Campo). Una clase no vac´ıa de conjuntos de Ω, A ⊂ P(Ω), tiene estructura de Algebra de sucesos o ´´ Algebra de Boole, si es cerrada para uniones finitas y para la operaci´on de complementario, esto es, si

1. ∀A ∈ A se verifica que su complementarioA∈ A. 2. ∀A1, A2, . . . An ∈ A se verifica que A1∪A2∪ · · · ∪An =

n

[

i=1

Ai ∈ A.

De estas propiedades se deducen las siguientes

a) El espacio muestral Ω ∈ A. En efecto, dado un suceso A ∈ A, por la condici´on 1 se verifica que A∈ A y por la condici´on 2, A∪A= Ω∈ A.

b) El suceso imposible ∅ ∈ A. En efecto, Ω =∅

c) En funci´on de las leyes de De Morgan, la condici´on 2 se puede intercambiar por:

∀A1, A2, . . . An ∈ A se verifica

A1∩A2∩ · · · ∩An = n

\

i=1

Ai ∈ A

d) Si A, B ∈ A, entonces

• A−B =A∩B ∈ A

(13)

Si extendemos las propiedades de ser cerrada para uniones o intersecciones finitas al caso infinito numerable aparece una nueva estructura algebraica que recibe el nombre de σ−´algebra.

σ- ´ALGEBRA (σ-CAMPO). Diremos que una clase de sucesos no vac´ıa, A ⊂ P(Ω), tiene es-tructura deσ-´algebrasi se verifica que es cerrada para complementarios y uniones numerables, esto es, si verifica las condiciones:

1. ∀A ∈ A se verifica que su complementarioA∈ A.

2. Dada una colecci´on numerable de sucesos, {Ai}i∈_N⊂ A, se verifica que

A1∪A2∪A3 ∪ · · ·=

∞

[

i=1

Ai ∈ A.

De la misma forma que en el caso de álgebra se puede comprobar que el vac´ıo y el total pertenecen a cualquier σ−álgebra, y que, aplicando las leyes de De Morgan, la condición 2 se puede intercambiar con la condición de ser una clase cerrada para intersecciones numerables. Notemos además que toda σ-álgebra es un álgebra.

Por último, al par formado por un espacio muestral Ω y una clase de conjuntos A con estruc-tura de σ−álgebra, esto es (Ω,A), se le denomina espacio medible y a los conjuntos de A, conjuntos medibles. Estudiaremos cómo es posible definir sobre esta estructura una medida, y en particular, una medida de probabilidad.

Observemos previamente que es posible tener espacios medibles distintos asociados a un mismo espacio Ω. Por ejemplo

Ω ={1,2,3,4}

A ={∅,Ω,{1},{2,3,4}} A0 ={∅,Ω,{1,2},{3,4}}

Entonces (Ω,A) es un espacio medible distinto de (Ω,A0₎

Si recordamos la definición de suceso: caracter´ıstica, hecho o proposición lógica de interés en relación a un experimento aleatorio, cuya ocurrencia o no pueda ser observada tras la realización del experimento, desde una perspectiva intuitiva notamos que la clase de sucesos a considerar en un experimento aleatorio debe tener estructura de álgebra (en espacios muestrales finitos) o deσ-álgebra (en espacios muestrales infinitos). En efecto, siA es un suceso (nos interesamos por su ocurrencia o no) también lo será A, cuya ocurrencia o no está totalmente determinada por la deA. Por otra parte, si{An}nes una colección numerable de sucesos, también puede ser de interés el hecho de que ocurra o no alguno de esos sucesos, esto es, S

(14)

3. Distintas concepciones de Probabilidad

Debemos indicar desde un principio que no existe en la actualidad una definición universal del concepto probabilidad. De hecho, a lo largo de la historia se han dado diferentes interpre-taciones y definiciones de este concepto y aún hoy en d´ıa existe una gran controversia entre los probabilistas sobre cómo debe interpretarse la probabilidad y dar una definición formal de acuerdo a la interpretación, as´ı como el tipo de situaciones a las que debe aplicarse. Antes de establecer la definición axiomática de probabilidad, que nos proporcionará las bases para el desarrollo matemático formal de la Teor´ıa de la Probabilidad (que será nuestro objetivo en este curso) vamos a exponer dos de las interpretaciones más significativas más significativas de la probabilidad, cada una de las cuales, como veremos, es apropiada para aplicar la Teor´ıa de la Probabilidad a distintas situaciones.

3.1. Concepci´on cl´asica: Regla de Laplace (1812)

Consideremos un experimento aleatorio con un n´umero finito de posibles resultados (espacio muestral finito) de forma que todos ellos seanigualmente factibles, esto es, todos tienen la misma posibilidad de aparecer en una realizaci´on particular del experimento.

Sea A un suceso arbitrario asociado al experimento, que se puede presentar en m de los n

posibles resultados del experimento. Se define la probabilidad del suceso A como

P(A) = m

n =

n´umero de resultados favorables n´umero de resultados posibles .

Esta es la denominadaRegla de Laplace para el c´alculo de las probabilidades de los distintos sucesos en la situaci´on descrita previamente.

Ejemplo: Sea A el suceso de que aparezcan los n´umeros 1 ´o 2 al lanzar un dado no cargado. Calcular la probabilidad de que ocurra A y de que no ocurra A .

P(A) = 2

6 P(A

c_{) =} 4

6 = 1− 2 6. Objeciones a la definici´on cl´asica

El espacio muestral ha de ser finito.

S´olo es aplicable en el caso de resultados elementales equiprobables.

El concepto de equiprobabilidad se basa, en esencia, en el concepto de probabilidad que queremos definir.

(15)

3.2. Concepci´on frecuentista

La concepción frecuentista de la probabilidad se desarrolló a partir de las cr´ıticas realizadas a la definición clásica de Laplace que acabamos de comentar.

La definici´on fue formalmente establecida por R. von Mises en 1928, y se basa en el con-cepto de frecuencia relativa de un suceso asociado a un experimento aleatorio que se repite sucesivamente bajo id´enticas condiciones.

Si se realizanN repeticiones de un experimento, y un determinado sucesoAse ha presentado enNA ocasiones, se define la frecuencia relativa de A en las N pruebas como

fN(A) =

NA

N .

Supongamos que el n´umero de realizaciones del experimento crece indefinidamente y consi-deremos la sucesi´on de frecuencias relativas deA:

fN(A), fN+1(A), . . . , fN+k(A), . . .

Estas frecuencias relativas tienden a aproximarse a un valor fijo cuando aumenta el n´umero de repeticiones del experimento, lo que se conoce como principio de estabilidad o regulari-dad de las frecuencias. De hecho, la teor´ıa frecuentista asegura que existe el l´ımite de esas frecuencias relativas, y define la probabilidad de un suceso como dicho l´ımite; esto es,

P(A) = l´ım

N→∞fN(A)

Objeciones a la definici´on frecuentista

Las principales cr´ıticas a esta definici´on se refieren a su irrelevancia en la realidad.

Se define la probabilidad como l´ımite de frecuencias cuando el número de pruebas crece inde-finidamente. Ya que en la realidad, no puede asegurarse la existencia de una sucesión ilimitada de repeticiones idénticas de un experimento, nunca podrá saberse si existe una probabilidad (el l´ımite de las frecuencias), cuánto vale (no hay una indicación clara del número de pruebas que deben realizarse para obtener la probabilidad de un suceso) o si el valor asignado a una probabilidad es o no correcto.

Otra de las cr´ıticas frecuentes a esta definición de probabilidad se refiere a su alcance. Aunque, indudablemente, esta definición cubre un gran número de situaciones prácticas, no puede aplicarse a situaciones en las que no pueda realizarse un gran número de pruebas.

De hecho, no puede aplicarse para calcular probabilidades de sucesos individuales no sus-ceptibles de repetición como, por ejemplo, que gane uno u otro equipo al disputar un partido, si un determinado proyecto de investigación va a concluir con éxito, si mañana lloverá, etc..

(16)

4. Definici´

on axiom´

atica de probabilidad (Kolmogorov, 1932)

Es, quizás, la más simple de todas las definiciones y, de hecho, la menos controvertida ya que se basa en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos m´ınimos para dar una definición de probabilidad.

La principal ventaja de esta definición es que permite llegar a un desarrollo matemático riguroso de la Teor´ıa de la Probabilidad y, por otra parte, la definición es tan general que permite incorporar las distintas interpretaciones de probabilidad que se han mencionado anteriormente. Esto es, la probabilidad definida según cada una de las concepciones anteriores, satisface los axiomas de probabilidad de Kolmogorov.

Definición Dado un espacio muestral Ω asociado a un determinado experimento aleatorio y una clase de conjuntos de Ω con estructura de σ−álgebra, A, (esto es, (Ω,A) un espacio medible) se define una función de probabilidad, medida de probabilidado simplemente probabilidadcomo una función de conjunto P definida sobre A y con valores en [0,1]

P :A −→_R

que verifica los siguientes axiomas: I. Axioma de no negatividad

P(A)≥0, ∀A ∈ A

II. Axioma del suceso seguro

P(Ω) = 1

III. Axioma deσ−aditividad o aditividad numerable

Dada una colecci´on numerable de sucesos,{Ai}i∈N⊂ A, incompatibles dos a dos, es decir,

Ai∩Aj =∅ ∀i6=j, entonces

P

∞

[

i=1

Ai

!

=

∞

X

i=1

P(Ai).

As´ı,P(A) ∀A∈ A denota la probabilidad del suceso A.

A la terna formada por el espacio muestral Ω, la σ−´algebra A y la probabilidad P, (Ω,A, P) se le denomina espacio probabil´ısticoo espacio de probabilidad.

(17)

4.2. Propiedades: Consecuencias de la definici´on axiom´atica de la probabilidad

I. Reglas para calcular probabilidades de sucesos expresados en t´erminos de otros

I1. La probabilidad del suceso imposible es nula:

P(∅) = 0.

I2. Aditividad finita

A1, . . . , An∈ A y Ai∩Aj =∅, ∀i6=j ⇒ P n

[

i=1

Ai

!

= n

X

i=1

P(Ai).

I3. Para cualquier sucesoA∈ A se verifica que la probabilidad de su complementario P(Ac₎ es

P(Ac) = 1−P(A).

I4. Para dos sucesos cualesquieraA, B ∈ A se verifica que

P(A−B) =P(A)−P(A∩B).

I5. Para dos sucesos cualesquieraA, B ∈ A, con A⊂B,

P(A−B) = P(A)−P(B).

I6. Regla de adici´on: Para dos sucesos cualesquiera A, B ∈ A se verifica que

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

I7. Principio de inclusi´on-exclusi´on Sean A1, A2, . . . , AN ∈ A, entonces

P

N

[

i=1

Ai

!

= N

X

i=1

P(Ai)−

N

X

i<j

P(Ai∩Aj)+ N

X

i<j<k

P(Ai∩Aj∩Ak)+. . .+(−1)N+1P N

\

i=1

Ai

!

II. Otras propiedades

(18)

II2. Monoton´ıa: La probabilidad P es mon´otona no decreciente, es decir

∀A, B ∈ A, con A⊂B ⇒ P(A)≤P(B).

II3. Subaditividad:

i) Dados A1, A2, . . . , AN ∈ A se verifica

P N [ i=1 Ai ! ≤ N X i=1

P(Ai)

ii) Dada una colecci´on numerable de sucesos {Ai}i∈_N⊂ A se verifica

P ∞ [ i=1 Ai ! ≤ ∞ X i=1

P(Ai)

II4. Desigualdad de Bonferroni

Sean A1, A2, . . . , AN ∈ A, entonces

P N [ i=1 Ai ! ≥ N X i=1

P(Ai)− N

X

i,j=1

i<j

P(Ai∩Aj).

II5. Desigualdad de Boole

i) Dados A1, A2, . . . , AN ∈ A se verifica

P N \ i=1 Ai !

≥1−

N

X

i=1

P(Ac_i).

ii) Dada una colecci´on numerable de sucesos {Ai}i∈N⊂ A se verifica

P ∞ \ i=1 Ai !

≥1−

∞

X

i=1

P(Ac_i).

EJEMPLO 1

Sean los sucesos A, B y C con probabilidades P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 y P(C) = 1/4 y supongamos queP(A∩B) = 1/6, queAy C son incompatibles y que B y C son incompatibles. Calcular:

(19)

2) Probabilidad de que ocurra A pero no B. 3) Probabilidad de que no ocurran ni A niB. 4) Probabilidad de que ocurra alguno de los tres.

Soluci´on 1)P A∩B

= 1−P (A∩B) = 1−1/6 = 5/6.

2)P A∩B=P(A−B) = P (A−(A∩B)) =P(A)−P(A∩B) = 1/2−1/6 = 2/6 = 1/3. 3)P A∩B=P A∪B= 1−P(A∪B) = 1−P(A)−P(B)+P(A∩B) = 1−1/2−1/3+1/6 = 2/6 = 1/3.

4)P(A∪B∪C) = P(A) +P(B) +P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C) +P(A∩B∩C) = 1/2 + 1/3 + 1/4−1/6−0−0 + 0 = 11/12

EJEMPLO 2

La probabilidad de que un estudiante A apruebe un determinado examen es 0.7, la de otro estudianteB es 0.5 y la probabilidad de que aprueben los dos es 0.4. Obtener las probabilidades de los siguientes sucesos:

1) Que apruebe al menos uno de los dos. 2) Que no apruebe ninguno.

3) Que s´olo apruebe uno.

Soluci´on

En primer lugar, notamos los sucesos

A: que apruebe el alumno A

B : que apruebe el alumno B 1)P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B) = 0.7 + 0.5−0.4 = 0.8 2)P(A∩B) = 1−P A∩B= 1−P(A∪B) = 0.2

3)P (A∩B)∪(A∩B)=P(A∩B) +P(A∩B) Por una parte

P(A∩B) =P(A)−P(A∩B) = 0.7−0.4 = 0.3 y, por otra

(20)

P (A∩B)∪(A∩B)= 0.4

5. Asignaci´

on de probabilidades

5.1. Espacios muestrales discretos

La probabilidad de un suceso proporciona una medida del grado de incertidumbre de dicho suceso.

Hasta ahora conocemos las reglas (axiomas) que debe cumplir una función de probabilidad pero no disponemos de un método general que permita asignar una probabilidad a cada suceso. Este es un problema que conecta directamente con la interpretación de la probabilidad según las distintas concepciones. As´ı, bajo una perspectiva clásica, el método para asignar probabilidades es la Regla de Laplace, y bajo la perspectiva frecuentista las probabilidades se determinan a partir de lasfrecuencias relativas.

Todas estas concepciones son compatibles con los axiomas de Kolmogorov y, seg´un hemos visto en los ejemplos anteriores, las propiedades de la probabilidad permiten calcular proba-bilidades de sucesos que puedan expresarse en t´erminos de otro, una vez que se conocen las probabilidades de los primeros, denominadas probabilidades iniciales.

Existen casos en los que no es preciso realizar una asignaci´on de probabilidad a cada suceso, sino que un conjunto de probabilidades iniciales determina la probabilidad de cualquier suceso. Esto ocurre en los espacios muestrales discretos en los que basta asignar una probabilidad a cada suceso elemental con la condici´on de que la suma de todas ellas sea la unidad.

En efecto, cada suceso se puede expresar como uni´on disjunta de los resultados elementales que lo constituyen y, al ser el espacio muestral discreto, dicha uni´on ser finita o, a lo sumo, numerable. Entonces, a partir de la probabilidad de los sucesos elementales, por la propiedad de

σ-aditividad, queda determinada la probabilidad de cada suceso.

Vamos a exponer a continuación un método de asignación, que se denomina asignación uniforme, aplicable a espacios muestrales finitos, que conduce a la definición clásica de proba-bilidad. La extensión de este método a espacios muestrales continuos conduce a las denominadas probabilidades geométricas.

Asignaci´on uniforme en espacios finitos

Ω ={a1, . . . , an}, A=P(Ω)

Si no hay raz´on para suponer que un suceso elemental sea m´as probable que otro, todos deben tener la misma probabilidadP(ai) =p, i= 1, . . . , n y, entonces,

P(Ω) = n

X

i=1

P(ai) = np= 1 =⇒ p= 1

n

(21)

A={ai1, . . . , aim} =⇒P(A) =

X

a_ij∈A

P(aij) =mp =

m n

es decir, la Regla de Laplace. Entonces, el cálculo de la probabilidad de un suceso se reduce al conteo del número de elementos que tiene ese suceso. A este efecto, hemos recordamos las nociones básicas de Combinatoria.

5.2. Probabilidad Geom´etrica

En todo espacio muestral continuo donde se pueda definir una medida de forma que el propio espacio muestral tenga medida finita (tal como longitud, ´area, volumen, etc..) es posible establecer espacios probabil´ısticos equiprobables, asignando igual probabilidad a conjuntos con la misma medida.

En estos espacios, se define la probabilidad de un suceso A como la raz´on:

P(A) = medida(A) medida(Ω).

Estas probabilidades se conocen con el nombre de probabilidades geom´etricas.

As´ı, por ejemplo, la probabilidad de que al seleccionar un número real cualquiera en el intervalo [0,1], éste sea mayor que 1/3, será el cociente entre la longitud del intervalo [1/3,1] y la del propio espacio muestral [0,1]; esto es, 2/3.

EJEMPLO 3

Se considera un dado cargado de forma que la probabilidad de que salga un número es direc-tamente proporcional a dicho número. Sea A el suceso “salir número par”, B el suceso “salir número primo” y C el suceso “salir número impar”.

1) Calcular la probabilidad de cada suceso elemental. 2) Calcular P(A), P(B) y P(C).

3) Calcular la probabilidad de que salga un n´umero par o primo. 4) Calcular la probabilidad de que salga un n´umero par pero no primo.

Soluci´on

1)El espacio muestral es

Ω ={1,2,3,4,5,6}

y las probabilidades de cada suceso elemental son

P{n}=kn n= 1,2,3,4,5,6.

(22)

P(Ω) =k+ 2k+ 3k+ 4k+ 5k+ 6k = 1 es decir

6 + 1

2 6k= 21k = 1 ⇒ k = 1 21 Por tanto

P{n}= n

21 n= 1,2,3,4,5,6 2)

P(A) = P({2,4,6}) = 2 21 +

4 21 +

6 21 =

12 21

P(B) = P({1,2,3,5}) = 1 21+

2 21+

5 21 =

11 21

P(C) =P({1,3,5}) = 1 21+

3 21+

5 21 =

9 21 3)P({1,2,3,4,5,6}) = 1