INTEGRALES PROPIEDADES
1.-
adx
a
dx
ax
C
.
2.-
x
dx
n
x
1
C
,
si
n
1
.
1 n n
3.-
f
x
f
x
dx
f
n
x
1
C
,
si
n
1
.
1 n n
4.-
f
f
x
x
dx
L
f
x
C
.
5.-
e
xdx
e
x
C
.
6.-
e
f
xf
x
dx
e
f
x
C
.
7.-
C
,
si
a
0
,
a
1
.
La
a
dx
x
f
a
f x f x8.-
senxdx
cos
x
C
.
9.-
sen
f
x
f
x
dx
cos
f
x
C
.
10.-
cos
xdx
sen
x
C
.
11.-
cos
f
x
f
x
dx
sen
f
x
C
.
12.-
cos
f
2
x
f
x
dx
tg
f
x
C
.
13.-
sen
f
2
x
f
x
dx
cot
g
f
x
C
.
14.-
.
C
x
f
arcsen
dx
x
f
1
x
f
2
15.-
.
C
x
f
arccos
dx
x
f
1
x
f
2
16.-
1
f
f
x
x
2dx
arctg
f
x
C
.
17.-
tgxdx
L
cos
x
C
.
18.-
cot
gxdx
L
senx
C
.
19.-
.
C
4
2
x
tg
L
.
C
tgx
x
sec
L
xdx
sec
20.-
C
.
2
x
tg
L
.
C
gx
cot
ecx
cos
L
ecxdx
cos
21.-
sec
2xdx
tgx
C
.
22.-
cos
ec
2xdx
cot
gx
C
.
23.-
sec
xtgxdx
sec
x
C
.
24.-
cos
ecx
cot
gxdx
cos
ecx
C
.
25.-
cos
senx
2x
dx
sec
x
C
.
27.-
.
C
a
x
f
x
f
L
a
x
f
dx
x
f
2 22 2
28.-
.
C
a
x
f
x
f
L
a
x
f
dx
x
f
2 22 2
29.-
1
arc
sec
x
C
.
x
x
dx
2
30.-
C
.
a
x
f
sec
arc
a
1
a
x
f
x
f
dx
x
f
2
2
31.-
.
C
ecx
arccos
1
x
x
dx
2
32.-
C
.
2
a
x
f
arcsen
a
2
x
f
a
x
f
dx
x
f
a
2 2
2 2
2
33.-
.
C
2
a
x
f
x
f
L
a
2
a
x
f
x
f
dx
a
x
f
2 2 2
2 2 2
2
34.-
C
.
2
a
x
f
x
f
L
a
2
a
x
f
x
f
dx
a
x
f
2 2 2
2 2 2
2
35.-
INTEGRACIÓN POR PARTES:
Si
u
y
v
son funciones de x tales que [
u = f(x), v = g(x)
], por la fórmula de la
diferencial de un producto de funciones, tendremos:
d(u·v) = u·dv + v·du
u·dv = d(u·v)
– v·du
, de donde, integrando en ambos
miembros:
u·dv =
d(u·v) -
v·du
, con lo que nos quedará la fórmula de la integración por
partes:
.
NOTA:
Para la elección de las partes, podemos seguir el orden de las reglas siguientes:
ALPES rica
trigonométfunción x cos senx
.. onencial expfunción
a
.. polinómicafunción
x f
...x loglogx
Lx
x ... arc arctgxx arccosarcsenx
S E
x f P
L
b A
36.-
INTEGRALES RACIONALES:
Son de la forma
Q
P
(
(
x
x
)
)
dx
,
siendo
P
x
y
Q
x
,
polinomios de coeficientes reales y
exponentes naturales.
Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser de este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:
A) El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar al resultado siguiente:
P
x Q
xCx R
x
CR
x
x CocienteResto dedelaladivisióndivisión..dividiendo ambos miembros por Q
x :
Q
P
(
(
x
x
)
)
C
(
x
)
R
Q
(
(
x
x
)
)
Integrando
en
ambos
miembros
Q
P
(
(
x
x
)
)
dx
C
(
x
)
dx
R
Q
(
(
x
x
)
)
dx
B) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se iguala el polinomio del denominador, Q(x), a cero y se obtienen sus raices. Esto puede dar lugar a cuatro resultados diferentes:
1) RAICES REALES SIMPLES ( RRS ). 2) RAICES REALES MÚLTIPLES ( RRM ). 3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES ( RIS ).
4)
RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES ( RIM ).Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos a seguir así como las operaciones a realizar.
1) RAICES REALES SIMPLES: ( RRS ).- Supongamos que resolvemos Q(x)=0:
...
dx
c
x
C
b
x
B
a
x
A
dx
...
c
x
b
x
a
x
x
P
dx
x
Q
x
P
....
c
x
b
x
a
x
0
x
NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... se siguen los siguientes pasos:
1) Descomposición de QP xx en suma de fracciones simples
QP xx
xAa
xBb
xCc
...
2) Se expresan ambos términos con un común denominador que es Q(x).3) Se multiplican ambos miembros por Q(x).
4) Se calculan los coeficientes A, B, C, ...mediante la identificación de los numeradores. 5) Una vez obtenidos estos coeficientes, se integra en ambos miembros, quedando finalmente:
2) RAICES REALES MÚLTIPLES: ( RRM ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0:
dx
...
b
x
a
x
x
P
a
1
dx
...
b
x
a
x
a
x
P
dx
x
Q
x
P
....
b
x
b
x
a
x
0
x
Q
2 0 2 0
x
b
...
dx
C
b
x
B
a
x
A
a
1
2o
NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los mismos pasos que en el caso de ( RRS ).
a0 es el coeficiente de la variable de mayor grado.
Finalmente, quedará:
3)
RAICES IMAGINARIAS SIMPLES: ( RIS ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0, sindo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose una RRS, dos RRM, y un polinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :
4 2 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1z
x
z
x
dx
N
Mx
b
x
Cdx
b
x
Bdx
a
x
Adx
dx
x
Q
x
P
bi
a
z
bi
a
z
b
x
b
x
a
x
0
x
Q
Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación del tipo siguiente:
dx
...
c
x
C
dx
b
x
B
dx
a
x
A
dx
x
Q
x
P
dx
...
(x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 = (x-a)2 +b2 .
Con lo cual, la 4, nos queda así:
3 2
2 2
2
2 2
2
1 2
2
2 2 2
2
2 2
I
...
...
...
...
b
a
x
dx
N
dx
b
a
x
N
I
dx
b
a
x
a
2
2
M
I
dx
b
a
x
a
2
x
2
2
M
dx
b
a
x
x
M
dx
b
a
x
Mx
b
a
x
dx
N
Mx
4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES: ( RIM ).- Método de HERMITE:
La descomposición de
)
(
)
(
x
Q
x
P
según HERMITE, es tal como sigue:
1) Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea, coeficiente indeterminado entre x menos la raiz.
Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin tener en cuenta el grado de multiplicidad).
Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso ( RIS ) visto anteriormente.
Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen simples, es decir como hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener en cuenta su grado de multiplicidad).
El último término característico de esta descomposición de HERMITE es:
La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.
A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese resultado en el denominador.
Método de HERMITE
2) Se deriva a continuación este último término con respecto a x.
3) Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).
4) Se multiplican ambos miembros por Q(x),
x
a
b
.
L
2
M
I
INMEDIATA TIPO LOGARÍTMICO 2 21
.
b
a
x
arctg
b
N
Ma
b
a
x
dx
N
Ma
I
I
2 2 TANGENTE
ARCO TIPO 3
5) Se calculan los coeficientes indeterminados.
6) Se integra en la expresión de la descomposición inicial.
Notas: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, no pueden aparecer nunca integrales inmediatas de tipo potencial.
.
37.-
INTEGRALES IRRACIONALES:
Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:
1. Si
a
0
se efectua el cambio:ax
2
bx
c
a
.
x
t
.2. Si
a
0
.
x
t
x
x
a
c
bx
ax
:
cambio
0
c
;
c
x
.
t
c
bx
ax
:
cambio
0
c
2 2
Algunas de estas integrales, operando convenientemente, se pueden llevar a la forma del número
14.
38.-
INTEGRALES BINOMIAS:
Son de la forma donde m, n, p
Q. Pueden ocurrir los casos siguientes:1. Si p Z
.
n
y
m
de
adores
min
deno
los
de
Cambio
x
t
,
siendo
el
m
.
c
.
m
.
:
0
p
.
Newton
de
binimio
el
por
r
Desarrolla
:
0
p
De este modo se reduce el problema a una integral racional.
2. Si
Z
Cambio
:
a
bx
t
,
siendo
el
deno
min
ador
de
p
.
n
1
m
n
3. Si
.
p
de
siendo
el
deno
min
ador
,
x
.
t
bx
a
:
Cambio
Z
p
n
1
m
n n
39.-
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:
Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:
1. La función R(senx, cosx) es IMPAR en senx, es decir, si la función cambia de signo al sustituir (senx) por (-senx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
x
,
ax
bx
c
dx
R
2
x
ma
bx
n pdx
R
senx
,
cos
x
dx
.
t
1
dt
dx
.
t
1
senx
t
x
cos
2. La función R(senx, cosx) es IMPAR en cosx, es decir, si la función cambia de signo al sustituir (cosx) por (-cosx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
3. La función R(senx, cosx) es PAR en senx, cosx, es decir, si la función no se altera al sustituir (senx) y (cosx) simultáneamente por (-senx) y (-cosx) respectivamente, entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
4. La función R(senx, cosx) no obedece a ninguno de los 3 casos anteriores, entonces, podemos realizar el cambio siguiente:
PARA RECORDAR
1
tg
(
)
.
)
(
tg
2
)
(
sen
)
(
cos
)
cos(
)
(
sen
2
senx
2 x 2
2 x
2 x 2 2
x 2
2 x 2 x
.
)
(
tg
1
)
(
tg
1
)
(
sen
)
(
cos
)
(
sen
)
(
cos
x
cos
2 x 2
2 x 2
2 x 2 2
x 2
2 x 2 2
x 2
40.-
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES:
Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:
.
t
1
dt
dx
.
t
1
x
cos
t
senx
2 2
.
t
1
dt
dx
.
t
1
1
x
cos
.
t
1
t
senx
t
tgx
2 2 2
.
t
1
dt
2
dx
.
t
1
t
1
x
cos
.
t
1
t
2
senx
t
2
x
tg
2 2 2 2
1. Si m es IMPAR, entonces, se hace el cambio:
cos
senxdx
x
t
.
dt
.
2. Si n es IMPAR, entonces, se hace el cambio:
.
dt
xdx
cos
t
.
senx
3. Si m y n son de IGUAL PARIDAD, se hace :
.
dt
x
cos
dx
t
.
tgx
2
NOTA: No siempre, en este tipo y mediante los cambios anteriores, se llega a una integral racional sencilla, siendo entonces preciso resolverlas mediante fórmulas de integración por REDUCCIÓN. Veámoslas:
4. Cuando (m+n) 0 y los tres cambios anteriores no resultan eficaces:
(A) Reduciendo el exponente del seno:
m n m1 n1 m 2,n n,
m
m
n
I
1
m
n
m
x
cos
.
x
sen
dx
.
x
cos
.
x
sen
I
(B) Reduciendo el exponente del coseno:
m n m 1 n 1 m,n 2 n,
m
