SEMINARIO: ANÁLISIS DE INVERSIONES

 

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN UNIDAD TEPEPAN

SEMINARIO: ANÁLISIS DE INVERSIONES

TEMA:

CARTERAS DE INVERSIÓN ÓPTIMAS CON LAS ACCIONES SERIE C DE GRUPO MODELO, SERIE B DE GCC, SERIE A DE BIMBO, SERIE A DE ALFA Y SERIE * DE GNP.

INFORME FINAL QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE CONTADOR PÚBLICO

PRESENTAN: ELIZABETH ESLAVA LEYVA

ISELA MORGA SILVA JONATHAN SAÚL ROJAS VALENCIA

SOFÍA VÁZQUEZ CAMACHO VICTORIA AGUILAR LÓPEZ

CONDUCTOR DEL SEMINARIO:

M. EN F. RAFAEL GUADALUPE RODRÍGUEZ CALVO

AGRADECIMIENTOS.

Expresamos especial agradecimiento a quienes aportaron importantes ideas para la conclusión del presente trabajo el cual no hubiera sido posible realizarlo sin el apoyo de las siguientes personas e instituciones entre ellas:

Al Instituto Politécnico Nacional por abrirnos sus puertas y permitirnos crecer y desarrollar nuestras capacidades profesionales.

A la Escuela Superior de Comercio y Administración, Unidad Tepepan por todos los gratos momentos que compartimos dentro de sus instalaciones y por ser elegidos entre tantos jóvenes, dándonos la oportunidad de realizar nuestros estudios.

A todos los profesores un agradecimiento muy especial por brindarnos un apoyo incondicional colaborando y compartiendo sus conocimientos, demostrando en todo momento su confianza y calidad como docentes, gracias profesores por darnos la oportunidad de aprender de ustedes.

INTRODUCCIÓN.

El presente trabajo está enfocado en el análisis de inversiones de capital específicamente en títulos de crédito denominados acciones, las cuales cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores, por lo que dichas acciones son llamadas acciones bursátiles.

En el capítulo uno se plantea la teoría moderna de la cartera de valores en la que explica cómo maximizar el rendimiento, y al mismo tiempo minimizar el riesgo, todo ello al diversificar portafolios de inversión; ya sea al invertir en activos riesgosos y en dos acciones combinadas con un activo con un activo libre de riesgo (CETES). Determinando la forma en que afecta la inflación el valor de las acciones, como cambia de un valor nominal a un valor real.

En el capítulo dos se enmarcará brevemente el perfil de cada una de las cinco empresas emisoras que comprenden el estudio del presente trabajo. Dichas empresas son: GRUPO MODELO, S.A.B. de C.V., que es el líder en la elaboración, y venta de cerveza en México; GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA, S.A.B. de C.V., es una Compañía líder en la producción y comercialización de cemento, concreto, agregados y servicios relacionados con la industria de la construcción en México y Estados Unidos de América; GRUPO BIMBO S.A.B. de C.V., controladora de empresas dedicadas a la elaboración y distribución de productos alimenticios; ALFA S.A.B. de C.V., controladora de empresas industriales en áreas diversificadas como la petroquímica, plásticos, alimentos refrigerados y autopartes de aluminio, GRUPO NACIONAL PROVINCIAL S.A.B. operadora en el ramo de seguros, proporcionando los servicios enmarcados en la Ley General de Instituciones de Seguros.

En el capítulo tres se hace de manera detallada un análisis de las acciones de las empresas emisoras en base a datos históricos reales dados de manera anual desde 2001 hasta 2007, según información obtenida en la Bolsa Mexicana de Valores. Por cada una de las acciones se realiza el cálculo del rendimiento esperado y su riesgo correspondiente, posteriormente se forman portafolios de inversión al combinar dos de ellas; buscando carteras idóneas para el inversionista. Tomando en cuanta que el inversionista tiene la decisión final en base a su criterio de obtención de rendimientos y el riesgo que desee asumir. Para cerrar con carteras óptimas de dos acciones y Certificados de la Tesorería de la Federación a 28 días.

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 6

CAPÍTULO 1. MARCO TEÓRICO: TERÍA MODERNA DE LA CARTERA. 7

1.1. Inversión en valores. 7

1.2. Relación de dominación entre acciones. 8

1.3. Medición del rendimiento en un periodo. 9

1.4. La inflación y el rendimiento real de las acciones. 12 1.5. Medición del rendimiento promedio esperado real, para una inversión sencilla. 14 1.6. Medición del riesgo de una inversión sencilla. 16 1.7. Rendimiento esperado de una cartera de riesgo con dos activos. 18

1.8. Riesgo de una cartera de dos activos. 19

1.9. Correlación de carteras de dos activos. 19

1.10. Carteras de dos activos, con un activo libre de riesgo. 23 1.11 Carteras de tres activos, con un activo libre de riesgo. 33 1.11. Apalancamiento de una cartera riesgosa con dos activos. 44

CAPÍTULO 2. PERFIL DE LAS EMPRESAS EMISORAS: GRUPO MODELO, S.A.B. DE C.V., GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA, S.A.B. DE C.V., GRUPO BIMBO, S.A.B. DE

C.V., ALFA, S.A.B. DE C.V. Y GRUPO NACIONAL PROVINCIAL, S.A.B. 52

2.1. GRUPO MODELO, S.A.B. DE C.V. 52

2.1.1. Historia de GRUPO MODELO. 54

2.1.2. Productos y servicios de GRUPO MODELO. 55

2.1.3. Consejo de administración de GRUPO MODELO. 60

2.2. GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA, S.A.B. DE C.V. 64

2.2.1. Historia de GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA. 64

2.2.2. Productos y servicios de GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA. 66 2.2.3. Consejo de administración de GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA. 68

2.3. GRUPO BIMBO, S.A.B. DE C.V. 70

2.3.1. Historia de GRUPO BIMBO. 70

2.3.2. Productos y servicios de GRUPO BIMBO. 71

2.4. ALFA, S.A.B. DE C.V. 81

2.4.1. Historia de ALFA. 82

2.4.2. Productos y servicios de ALFA. 86

2.4.3. Consejo de administración de ALFA. 87

2.5. GRUPO NACIONAL PROVINCIAL, S.A.B. 90

2.5.1. Historia de GRUPO NACIONAL PROVINCIAL. 90

2.5.2. Productos y servicios de GRUPO NACIONAL PROVINCIAL. 92 2.5.3. Consejo de administración de GRUPO NACIONAL PROVINCIAL. 93

CAPÍTULO 3. FORMACIÓN DE PORTAFOLIOS ÓPTIMOS CON LAS ACCIONES GRUPO

MODELO, GCC, BIMBO, ALFA, GNP. 97

3.1. Determinación del riego-rendimiento de las acciones. 97

3.1.1. Empresa GRUPO MODELO S.A.B. DE C.V. 97

3.1.1.1. Medición de rendimiento esperado de GRUPO MODELO. 97

3.1.1.2. Medición del riesgo de GRUPO MODELO. 98

3.1.2. Empresa GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA, S.A.B. DE C.V. 99 3.1.2.1. Medición de rendimiento esperado de GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA. 99 3.1.2.2. Medición del riesgo de GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA. 99

3.1.3. Empresa GRUPO BIMBO, S.A.B. DE C.V. 100

3.1.3.1. Medición de rendimiento esperado de GRUPO BIMBO. 100

3.1.3.2. Medición del riesgo de GRUPO BIMBO. 101

3.1.4. Empresa ALFA, S.A.B. DE C.V. 102

3.1.4.1. Medición de rendimiento esperado de ALFA. 102

3.1.4.2. Medición del riesgo de ALFA. 103

3.1.5. Empresa GRUPO NACIONAL PROVINCIAL, S.A.B. 103

3.1.5.1. Medición de rendimiento esperado de GRUPO NACIONAL PROVINCIAL. 104 3.1.5.2. Medición del riesgo de GRUPO NACIONAL PROVINCIAL. 104

3.2. Cartera de riesgos con dos activos. 105

3.2.1. Cartera de riesgo con las acciones GMODELO y GCC. 105 3.2.2. Cartera de riesgo con las acciones GCC y BIMBO. 108 3.2.3. Cartera de riesgo con las acciones BIMBO y ALFA. 110 3.2.4. Cartera de riesgo con las acciones ALFA y GNP. 112 3.2.5. Cartera de riesgo con las acciones GNP y GMODELO. 115 3.3. Certificados de la Tesorería de la Federación (CETES). 117

3.4.1. Carteras óptimas formadas con CETES y las acciones GMODELO y GCC. 118 3.4.2. Carteras óptimas formadas con CETES y las acciones GCC y BIMBO. 121 3.4.3. Carteras óptimas formadas con CETES y las acciones BIMBO y ALFA. 123 3.4.4. Carteras óptimas formadas con CETES y las acciones ALFA y GNP. 125 3.4.5. Carteras óptimas formadas con CETES y las acciones GNP y GMODELO. 127

CONCLUSIONES. 130

CAPÍTULO 1. MARCO TEÓRICO: TEORÍA MODERNA DE LA CARTERA.

1.1. INVERSIÓN EN VALORES.

Una inversión es sacrificar dinero actual por futuro. Existen diversos tipos de inversiones financieras, como por ejemplo, acciones, bonos o Certificados de la Tesorería de la Federación, pero todas requieren de un sacrificio en el consumo presente con la esperanza de incrementar las oportunidades de consumo en el futuro. Este aumento en el consumo a futuro lo da el rendimiento sobre la inversión.

En todo tipo de inversión, se corre un determinado riesgo y el inversionista puede elegir, de acuerdo a sus propios objetivos, desde una inversión que prácticamente no tenga riesgo alguno hasta aquellas con un alto nivel de riesgo que tienen un rendimiento esperado alto.

El problema básico al que se enfrenta todo inversionista es cómo asegurar el rendimiento deseado, al mismo tiempo que el riesgo mínimo, lo ideal siempre será invertir en valores que ofrezcan altos rendimientos con un riesgo bajo, pero desafortunadamente las oportunidades de inversión con altos rendimientos esperados van acompañados por lo regular de un alto riesgo, de ahí que se tenga que buscar la mejor combinación entre riesgo y rendimiento.

Un valor es un derecho financiero, que por lo general está representado por una hoja de papel, sobre algún otro bien, es decir, es un derecho financiero sobre ciertos activos, generalmente representados por un certificado. Por ejemplo una acción representa la propiedad fraccional sobre todos los activos reales y recursos productivos de una empresa. Pero también otros activos pueden ser estrictamente derechos financieros, que requieren el pago de efectivo bajo circunstancias específicas, como el caso de los Certificados de la Tesorería de la Federación.

Parecería fácil fijarse el objetivo de invertir en valores. Pero para invertir es necesario tomar en cuenta que se tiene que elegir el nivel de riesgo.

En primer lugar, el inversionista está interesado en las ganancias de la inversión, más no en estar cuidando sus carteras de inversión. En segundo lugar su objetivo es tener más riquezas y no pérdidas, y por último, trata de evitar el mayor riesgo posible.

Al querer mayor riqueza y menor riesgo, nos presenta una tensión fundamental, que es lo que caracteriza la inversión en valores, ya que al aumentar la riqueza indudablemente también aumenta el riesgo. Si no existiera este problema de querer ganancias y el riesgo que lleva consigo, sería más fácil establecer la meta de la inversión.

Conociendo que el inversionista desea altas ganancias y al mismo tiempo trata de controlar el riesgo, la meta de la inversión se puede expresar como sigue:

Para un determinado nivel de rendimiento esperado, asegurar el mínimo riesgo posible.

1.2. RELACIÓN DE DOMINACIÓN ENTRE ACCIONES.

El concepto del dominio se observa en la gráfica que sigue, que muestra valores en el espacio riesgo – rendimiento. En base a las suposiciones de que los inversionistas prefieren rendimientos esperados más altos y desean evitar riesgos, es evidente que cualquier inversionista preferiría el valor A al C. El valor A ofrece rendimientos esperados más altos que el valor C, pero ambos tienen el mismo nivel de riesgo.

Si se comparara el valor de A con el valor de B también es obvio que todo inversionista preferiría el valor de A al valor de B. Aunque A y B ofrecen el mismo nivel de rendimientos esperados, A tiene menos riesgo que B. Por razones semejantes también es evidente que todos los inversionistas preferirían el valor de C al valor D y que todos, preferirían el valor B al valor D.

De igual forma, todo inversionista preferiría el valor A al valor D, debido a que A ofrece tanto mayores rendimientos esperados como menor riesgo que D.

Eliminado: O

Relaciones del predominio entre valores en el espacio riesgo-rendimiento esperado 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Riesgo R e ndi m ie n to A C B D

Estas relaciones ayudan a formular una definición de predominio.

Un valor domina a otro si cumple con cualquiera de las condiciones siguientes:

1. A igual nivel de riesgo, un inversionista prefiere las acciones con mayor rendimiento.

2. A igual nivel de rendimiento, el inversionista prefiere las acciones con menor riesgo.

3. Cuando el rendimiento de una acción es mayor al de otra y su riesgo es menor, el inversionista prefiere esa acción.

Sin embargo en ocasiones no es posible predecir que todos los inversionistas preferirían un valor a otro. Si comparan los valores C y B en la gráfica anterior, quizás algunos inversionistas preferirían al valor C, mientras que otros bien podrían preferir el valor B. Sus preferencias dependerán de su disposición a correr riesgos adicionales con el fin de obtener rendimientos esperados adicionales. En otras palabras la selección entre C y B depende del intercambio de riesgo – rendimiento de cada inversionista en particular.

Eliminado: a Eliminado: precios

1.3. MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO DE UN PERIODO.

El rendimiento en el periodo de tenencia (R) de una acción se puede expresar de la siguiente manera:

Pc

D

P

P

P

R

C c v n 1

+

−

=

Donde: n

R

= Rendimiento nominal. v

P

= Precio de venta. c

P

= Precio de compra. 1

D

= Dividendo obtenido.

Ejemplo número 1. Se compró una acción serie A en el periodo de enero del 2003 y se mantuvo hasta el 31 de diciembre del mismo año. Los datos relevantes para su análisis se presentan en la siguiente tabla:

Fecha Precio Dividendos

Código de campo cambiado

Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial, 10 pt, Español (España - alfab. tradicional), Subíndice , Disminuido 6 pto Código de campo Eliminado: O Eliminado: o

P

Eliminado: ¶

1o de enero del 2003 80.0 0.0 Fin del 2003 88.0 4.0 Fin del 2004 93.0 4.5 Fin del 2005 98.0 6.0 Fin del 2006 108.0 7.0 Fin del 2007 118.0 8.0

Los rendimientos nominales para cada año son los siguientes:

Año Rendimiento por capital Rendimiento por dividendos Rendimiento nominal anual 2003 0.100 0.050 0.150 2004 0.057 0.051 0.108 2005 0.054 0.065 0.118 2006 0.102 0.071 0.173 2007 0.093 0.074 0.167

Ejemplo número 2. Se compró una acción serie B en el periodo de enero del 2003 y se mantuvo hasta el 31 de diciembre 2007 Los datos relevantes para su análisis se presentan en la siguiente tabla:

Fecha Precio Dividendos

1o de enero del 2003 30.0 0.0

Fin del 2003 40.0 1.0

Fin del 2004 50.0 1.2

Fin del 2005 60.0 1.4

Fin del 2007 80.0 1.8

Los rendimientos nominales para cada año son los siguientes:

Año Rendimiento por capital Rendimiento por dividendos Rendimiento nominal anual 2003 0.333 0.033 0.367 2004 0.250 0.030 0.280 2005 0.200 0.028 0.228 2006 0.167 0.027 0.193 2007 0.143 0.026 0.169

Ejemplo número 3. Se compró una acción C en el periodo de enero del 2003 y se mantuvo hasta el 31 de diciembre del 2007. Los datos relevantes para su análisis se presentan en la siguiente tabla:

Fecha Precio Dividendos

1o de enero del 2003 $100.0 $0.0 Fin del 2003 $120.0 $10.0 Fin del 2004 $125.0 $12.0 Fin del 2005 $130.0 $14.0 Fin del 2006 $138.0 $15.0 Fin del 2007 $140.0 $15.5

Los rendimientos nominales para cada año son los siguientes:

Tabla con formato

Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial

Eliminado: Año

Eliminado: Rendimiento por

capital

Eliminado: Rendimiento por

dividendos Eliminado: Rendimiento nominal anual Eliminado: 2004 Eliminado: 0.250 Eliminado: 0.030 Eliminado: 0.280 Eliminado: 2005 Eliminado: 0.200 Eliminado: 0.028 Eliminado: 0.228 Eliminado: 2006 Eliminado: 0.167 Eliminado: 0.027 Eliminado: 0.193 Eliminado: 2007 _{... [1]}

Año Rendimiento por capital Rendimiento por dividendos Rendimiento nominal anual 2003 0.200 0.100 0.300 2004 0.042 0.100 0.142 2005 0.040 0.112 0.152 2006 0.062 0.115 0.177 2007 0.014 0.112 0.127

Ejemplo número 4. Se compró una acción D en el periodo de enero del 2003 y se mantuvo hasta el 31 de diciembre del 2007. Los datos relevantes para su análisis se presentan en la siguiente tabla:

Fecha Precio Dividendos

1o de enero del 2003 $18.0 $0.0 Fin del 2003 $19.0 $1.9 Fin del 2004 $18.0 $1.8 Fin del 2005 $20.0 $2.0 Fin del 2006 $22.0 $2.2 Fin del 2007 $23.0 $2.3

Los rendimientos nominales para cada año son los siguientes:

Año Rendimiento por capital Rendimiento por dividendos Rendimiento nominal anual

2003 0.056 0.106 0.161

2004 -0.053 0.095 0.042

2006 0.100 0.110 0.210

2007 0.045 0.105 0.150

Ejemplo número 5. Se compró una acción E en el periodo de enero del 2003 y se mantuvo hasta el 31 de diciembre del 2007. Los datos relevantes para su análisis se presentan en la siguiente tabla:

Fecha Precio Dividendos

1o de enero del 2003 $30.0 $0.0 Fin del 2003 $35.0 $0.5 Fin del 2004 $40.0 $0.5 Fin del 2005 $45.0 $0.5 Fin del 2006 $50.0 $0.5 Fin del 2007 $55.0 $0.5

Los rendimientos nominales para cada año son los siguientes:

Año Rendimiento por capital Rendimiento por dividendos Rendimiento nominal anual

2003 0.167 0.017 0.183

Año Rendimiento por capital Rendimiento por dividendos Rendimiento nominal anual

2004 0.143 0.014 0.157

2005 0.125 0.013 0.138

2006 0.111 0.011 0.122

2007 0.100 0.010 0.110

1.4. LA INFLACIÓN Y EL RENDIMIENTO REAL DE LAS ACCIONES.

Ahora bien, desde hace tiempo los inversionistas han reconocido que los precios de bienes, servicios y activos, deben corregirse debido a los efectos de la inflación para poder hacer comparaciones económicas significativas. Para reconocer los efectos de la inflación se distinguen los precios nominales o precios en términos de alguna moneda, y precios reales o precios en términos del poder adquisitivo de bienes y servicios.

El rendimiento real de una acción se define como el rendimiento nominal que se obtiene de una inversión, corregido por el cambio del poder adquisitivo del dinero.

Para determinar el rendimiento real de una acción es necesario; primero conocer el rendimiento nominal y segundo, la tasa de inflación de un periodo dado. El rendimiento real de una acción se expresa de la siguiente forma:

π

π

+

−

=

1

n r

R

R

Donde: r

R

= Rendimiento real. n

R

= Rendimiento nominal.

π

= Tasa de inflación. Código de campo Eliminado: B

La tasa de inflación de un periodo se determina comparando el Índice Nacional de Precios al Consumidor de un periodo con la relación a otro. La tasa de inflación

( )

π

de un periodo se expresa de la siguiente forma:

or

INPCAnteri

or

INPCAnteri

INPCActual

−

=

π

El ÍndiceNacional de Precios al Consumidor a diciembre de los años 2003 a 2007 fue el siguiente:

Año Índice nacional de precios al consumidor

Fines de diciembre del 2002 90.0

Fines de diciembre del 2003 104.0

Fines de diciembre del 2004 108.0

Fines de diciembre del 2005 115.0

Fines de diciembre del 2006 122.0

Fines de diciembre del 2007 134.0

Por lo que los rendimientos reales anuales de lasacciones A, B, C, D, Y E son los siguientes:

Ejemplo número 1. Acción A.

Año Tasa de inflación Rendimiento real de la acción

2003 0.156 -0.0048

2004 0.038 0.067

2005 0.065 0.050

Tabla con formato

Con formato: Izquierda Eliminado: Ejemplo número

1. Eliminado: índice Eliminado: n Eliminado: p Eliminado: c Eliminado: ¶ Año¶ Eliminado: ¶

Índice nacional de precios al consumidor¶ Eliminado: Fines de diciembre del 2005 Eliminado: 115.0 Eliminado: Fines de diciembre del 2006 Eliminado: 122.0 Eliminado: acción

2006 0.061 0.106

2007 0.098 0.062

Ejemplo número 2. Acción B.

Año Tasa de inflación Rendimiento real de la acción

2003 0.156 0.183

2004 0.038 0.233

2005 0.065 0.153

2006 0.061 0.125

2007 0.098 0.064

Ejemplo número 3. Acción C.

Año Tasa de inflación Rendimiento real de la acción

2003 0.156 0.125

2004 0.038 0.099

2005 0.065 0.082

2006 0.061 0.109

2007 0.098 0.026

Ejemplo número 4. Acción D.

Año Tasa de inflación Rendimiento real de la acción

Con formato Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial

Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial

Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial

Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial

Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial

Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial

Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial

Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial Con formato Con formato Con formato Con formato Con formato Con formato Con formato Con formato Con formato Con formato Con formato Con formato

Tabla con formato Con formato

Eliminado: Ejemplo número

2. El índice nacional de precios al consumidor a diciembre de los años 2003 a 2007 fue el siguiente:¶

¶ Año

Eliminado: Por lo que los

rendimientos reales anuales de la acción B son los siguientes:¶

Eliminado: Ejemplo número

3. El índice nacional de precios al consumidor a diciembre de los años correspondientes de 2003 a 2007 fue el siguiente:¶ ¶

Eliminado: ¶

Eliminado: Ejemplo número

... [10] ... [11] ... [2] ... [12] ... [3] ... [13] ... [4] ... [14] ... [5] ... [15] ... [6] ... [16] ... [7] ... [17] ... [8] ... [18] ... [9]

2003 0.156 0.0048

2004 0.038 0.0035

2005 0.065 0.148

2006 0.061 0.141

2007 0.098 0.047

Ejemplo número 5. Acción E.

Año Tasa de inflación Rendimiento real de la acción

2003 0.156 0.024

2004 0.038 0.114

2005 0.065 0.068

2006 0.061 0.058

2007 0.098 0.011

1.5. MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO PROMEDIO ESPERADO REAL, PARA UNA INVERSIÓN SENCILLA.

Nominalmente los inversionistas en valores conservan una inversión durante un número de períodos determinados y tienen información del rendimiento de estas acciones para cada uno de los periodos correspondientes

La fórmula para calcular el rendimiento esperado para una inversión sencilla es la siguiente:

n

R

R

n i i r

∑

=

=

1 , Con formato Con formato

Con formato: Izquierda

Con formato Con formato: Izquierda Con formato: Izquierda Con formato

Con formato Con formato: Izquierda Con formato: Izquierda Con formato Con formato: Izquierda Con formato

Con formato: Izquierda Con formato: Izquierda Con formato: Izquierda Con formato

Con formato: Izquierda Con formato: Izquierda Con formato: Izquierda

Con formato: Izquierda

Con formato: Izquierda Con formato: Izquierda Con formato: Izquierda

Con formato Eliminado: Año

Eliminado: Tasa de Inflación Eliminado: Rendimiento real

de la acción Eliminado: 2004 Eliminado: 0.038 Eliminado: 0.0035 Eliminado: 2005 Eliminado: 0.065 Eliminado: 0.148 Eliminado: 2006 Eliminado: 0.061 Eliminado: 0.141 Eliminado: 2007 Eliminado: .

Eliminado: El índice nacional

Eliminado: o ... [24] ... [21] ... [25] ... [19] ... [22] ... [27] ... [26] ... [20] ... [23] ... [28] ... [29]

Donde:

i r

R

_, = Rendimiento real en el año i.

n

= Número de periodos.

R

= Rendimiento promedio esperado real.

Ejemplo número 1. El rendimiento esperado de largo plazo de la acción A es el siguiente:

Año Rendimiento real de la acción

2003 -0.0048 2004 0.067 2005 0.050 2006 0.106 2007 0.062 Suma 0.281 Rendimiento esperado 0.056

Ejemplo número 2. El rendimiento esperado de largo plazo de la acción B es el siguiente:

Año Rendimiento real de la acción

Código de campo cambiado

Código de campo

Código de campo cambiado

2003 0.183 2004 0.233 2005 0.153 2006 0.125 2007 0.064 Suma 0.757 Rendimiento esperado 0.151

Ejemplo número 3. El rendimiento esperado de largo plazo de la acción C es el siguiente:

Año Rendimiento real de la acción

2003 0.125 2004 0.099 2005 0.082 2006 0.109 2007 0.026 Suma 0.442 Rendimiento esperado 0.088

Ejemplo número 4. El rendimiento esperado de largo plazo de la acción D es el siguiente:

Año Rendimiento real de la acción

2003 0.0048

2004 0.0035

2006 0.141

2007 0.047

Suma 0.344

Rendimiento esperado 0.069

Ejemplo número 5. El rendimiento esperado de largo plazo de la acción E es el siguiente:

Año Rendimiento real de la acción

2003 0.024 2004 0.114 2005 0.068 2006 0.058 2007 0.011 Suma 0.275 Rendimiento esperado 0.055

1.6. MEDICIÓN DEL RIESGO DE UNA INVERSIÓN SENCILLA.

Existen diversas formas para medir el riesgo que se corre cuando se decide invertir en ciertas acciones, pero la mayor parte de ellas llevan a conclusiones contradictorias hasta cierto grado. Es por esto que para una mayor eficacia el método de medición del riesgo debe ser estandarizado y preciso. El método que trataremos se enfoca principalmente en la varianza representada de la siguiente forma

( )

σ

2 y la desviación estándar

( )

σ

del rendimiento. De esta manera la desviación estándar mide la posibilidad de que el rendimiento real, se desvíe del rendimiento esperado.

Código de campo cambiado Código de campo Eliminado: Eliminado: M Eliminado: ¶

n

R

R

n i i r

∑

=

−

=

1 2 , 2

)

(

σ

Donde: 2

σ

= Varianza. i r

R

_,= Rendimiento real en el periodo i.

R

= Rendimiento promedio esperado.

n

= Número de periodos.

La fórmula de desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

2

σ

σ

=

Ejemplo número 1. Acción A.

Año Rendimiento real

Rendimiento real menos rendimiento

esperado

Cuadrado de las diferencias del rendimiento real respecto del

rendimiento esperado

Código de campo

Código de campo

Código de campo cambiado

Con formato: Centrado Con formato: Fuente:

(Predeterminado) Arial, 10 pt, Español (España - alfab. tradicional), Disminuido 4 pto

Eliminado: o

2003 -0.0048 -0.061 0.0037 2004 0.067 0.011 0.00012 2005 0.050 -0.0059 0.000035 2006 0.106 0.050 0.0025 2007 0.062 0.0061 0.000037 Suma 0.0064 Suma / 5 0.0013 Riesgo 0.036

Ejemplo número 2. Acción B.

Año Rendimiento real

Rendimiento real menos rendimiento

esperado

Cuadrado de las diferencias del rendimiento real respecto del

rendimiento esperado 2003 0.183 0.031 0.0010 2004 0.233 0.081 0.0066 2005 0.153 0.0018 0.0000032 2006 0.125 -0.027 0.00071 2007 0.064 -0.088 0.0077 Suma 0.016 Suma / 5 0.0032 Riesgo 0.056

Ejemplo número 3. Acción C.

Eliminado: u

Año Rendimiento real

Rendimiento real menos rendimiento

esperado

Cuadrado de las diferencias del rendimiento real respecto del

rendimiento esperado 2003 0.125 0.037 0.0013 2004 0.099 0.011 0.00012 2005 0.082 -0.0064 0.000041 2006 0.109 0.021 0.00044 2007 0.026 -0.0624 0.0039 Suma 0.0058 Suma / 5 0.0012 Riesgo 0.034

Ejemplo número 4. Acción D.

Año Rendimiento real

Rendimiento real menos rendimiento

esperado

Cuadrado de las diferencias del rendimiento real respecto del

rendimiento esperado 2003 0.0048 -0.064 0.0041 2004 0.0035 -0.065 0.0043 2005 0.148 0.079 0.0063 2006 0.141 0.072 0.0052 2007 0.047 -0.022 0.00047 Suma 0.020 Suma / 5 0.004 Riesgo 0.064

Ejemplo número 5. Acción E.

Eliminado: u

Año Rendimiento real

Rendimiento real menos rendimiento

esperado

Cuadrado de las diferencias del rendimiento real respecto del

rendimiento esperado 2003 0.024 -0.031 0.0010 2004 0.114 0.059 0.0035 2005 0.068 0.013 0.00018 2006 0.058 0.0028 0.00001 2007 0.011 -0.044 0.002 Suma 0.0066 Suma / 5 0.0013 Riesgo 0.036

1.7. RENDIMIENTO ESPERADO DE UNA CARTERA DE RIESGO CON DOS ACTIVOS.

Si tenemos una cartera integrada por dos activos, el rendimiento esperado dependerá de los rendimientos obtenidos en cada uno de ellos por separado y del porcentaje invertido en cada uno de ellos.

El rendimiento esperado de una cartera de dos activos se obtiene con la siguiente fórmula:

Donde:

1

=

+

_B A

W

W

P

R

= 

W

_A

R

A+  

W

_B

R

B 

B

R

= Rendimiento esperado real del portafolio.

A

W

= Proporción que se invierte en el activo A.

A

R

= Rendimiento esperado real del activo A.

B

W

= Proporción que se invierte en el activo B.

B

R

= Rendimiento esperado real del activo B.

1.8. RIESGO DE UNA CARTERA DE DOS ACTIVOS.

El riesgo de una cartera de dos activos depende del porcentaje invertido en cada uno de los activos, de sus riesgos individuales, pero sobre todo de la correlación entre sus rendimientos.

La fórmula de riesgo de una cartera de dos activos, medido a partir de su desviación estándar y utilizando el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los activos, es la siguiente:

Donde:

P

=

A

σ

Desviación estándar del rendimiento A.

=

B

σ

Desviación estándar del rendimiento B.

=

B A

r

_, Coeficiente de correlación de los rendimientos de A con B.

1.9. CORRELACIÓN DE CARTERAS DE DOS ACTIVOS.

Así mismo el coeficiente de correlación se define de la siguiente manera:

B A B A B A

COV

r

σ

σ

, ,

=

Donde:

=

B A

COV

_, Covarianza de los rendimientos de A con B

Es decir, el coeficiente de correlación es fundamentalmente una covarianza graduada, el cual se encuentra entre los valores -1 y +1.

1. Si la correlación es mayor que cero, esto significa que los rendimientos de las dos acciones tienden a moverse en la misma dirección cuando cambian.

moverse en direcciones opuestas.

3. Si la correlación es igual a cero, significa que los rendimientos de las dos acciones no siguen un patrón definido entre ellas y se consideran independientes.

El riesgo de una cartera depende en este sentido de la tendencia de los rendimientos de los activos en la cartera a moverse en forma conjunta.

Matemáticamente esta tendencias de los rendimientos a moverse en forma conjunta, se mide mediante la “covarianza” de los rendimientos, la cual se traduce en el coeficiente de correlación.

Para calcular la covarianza de los rendimientos de dos activos, el inversionista necesita conocer los rendimientos de cada acción en cada periodo y aplicar la siguiente fórmula:

n

R

R

R

R

COV

n i B i B A i A B A

∑

=

−

−

=

1 , , ,

)

)(

(

A su vez la siguiente fórmula desplegada se puede usar en el cálculo de la correlación de los rendimientos entre dos acciones:

n

R

R

n

R

R

n

R

R

R

R

r

n i B i B n i A i A n i rB i rB rA i rA B A

∑

∑

∑

= = =

−

−

−

−

=

1 2 , 1 2 , 1 , , ,

)

(

)

(

)

)(

(

Ejemplo 1. Acción A con B. Año

R

A,i

R

B,i

R

A,i

−

R

A

R

B,i

−

R

B

(

R

A,i

−

R

A

)(

R

B,i

−

R

B

)

(

)

2 ,i A A

R

R

−

(

R

_B,i

−

R

B

)

2 2003 -0.005 0.183 -0.061 0.031 -0.0019 0.0037 0.001 2004 0.067 0.233 0.011 0.081 0.00088 0.00012 0.0066 2005 0.050 0.153 -0.0059 0.0018 -0.000011 0.000035 0.0000032 2006 0.106 0.125 0.050 -0.027 -0.0013 0.0025 0.00071 2007 0.062 0.064 0.0061 -0.088 -0.00053 0.000037 0.0077 Suma 0.281 0.757 -0.0029 0.0064 0.016

=

R

0.056 0.151

COV

A,B

=

-0.00058

σ

A

=

0.036

σ

B

=

0.056

Sustituyendo los valores calculados en nuestro ejemplo se tiene:

(

)(

)

0

.

287

056

.

0

036

.

0

00058

.

0

,

=

−

−

=

B A

r

Lo que significa que los rendimientos de las acciones A y B tienden a moverse en direcciones opuestas.

Con una correlación menor que uno es suficiente para tener un efecto deseable para el inversionista, ya que puede invertir en cartera de acciones, obteniendo un mejor intercambio entre riesgo y rendimiento que si invierte en una sola acción.

Año

R

B,i

R

C,i

R

B,i

−

R

B

R

C,i

−

R

C

(

R

B,i

−

R

B

)(

R

C,i

−

R

C

)

(

)

2 ,i B B

R

R

−

(

R

_C,i

−

R

C

)

2 2003 0.183 0.125 0.031 0.037 0.0011 0.001 0.0013 2004 0.233 0.099 0.081 0.011 0.0009 0.0066 0.00012 2005 0.153 0.082 0.0018 -0.0064 -0.000011 0.0000032 0.000041 2006 0.125 0.109 -0.027 0.021 -0.00056 0.00071 0.00044 2007 0.064 0.026 -0.088 -0.062 0.0055 0.0077 0.0039 Suma 0.757 0.442 0.0069 0.016 0.0058

=

R

0.151 0.088

COV

B,C

=

0.0014

σ

_B

=

0.056

σ

C

=

0.034

Sustituyendo los valores calculados en nuestro ejemplo se tiene:

(

)(

)

0

.

718

034

.

0

056

.

0

001

.

0

,C

=

=

B

r

Lo que significa que los rendimientos de las acciones B y C tienden a moverse en la misma dirección cuando cambian.

Ejemplo 3. Acción C con D.

Año

R

C,i

R

D,i

R

_C,i

−

R

C

R

_D,i

−

R

D

(

R

_C,i

−

R

C

)(

R

_D,i

−

R

D

)

(

)

2 ,i C C

R

R

−

(

R

_D,i

−

R

D

)

2 2003 0,125 0,005 0,037 -0,064 -0,0023 0,0013 0,0041

2004 0,099 0,004 0,011 -0,065 -0,00072 0,00012 0,0043 2005 0,082 0,148 -0,0064 0,079 -0,0005 0,000041 0,0063 2006 0,109 0,141 0,021 0,072 0,0015 0,00044 0,0052 2007 0,026 0,047 -0,062 -0,022 0,0014 0,0039 0,00047 Suma 0,442 0,344 -0,00071 0,0058 0,020

=

R

0,088 0,069

COV

C,D

=

0.00014

σ

C

=

0.034

σ

D

=

0.064

Sustituyendo los valores calculados en nuestro ejemplo se tiene:

(

)(

)

0

.

065

064

.

0

034

.

0

00014

.

0

,

=

−

−

=

D C

r

Lo que significa que los rendimientos de las acciones C y D tienden a moverse en direcciones opuestas.

Ejemplo 4. Acción D con E.

Año

R

_D,i

R

_E,i

R

_D,i

−

R

D

R

_E,i

−

R

E

(

R

_D,i

−

R

D

)(

R

_E,i

−

R

E

)

(

R

_D,i

−

R

D

)

2

(

)

2 ,i E E

R

R

−

2003 0.0048 0.024 -0.064 -0.031 0.00198 0.0041 0.00096 2004 0.004 0.114 -0.065 0.059 -0.0039 0.0043 0.00351 2005 0.148 0.068 0.079 0.013 0.00105 0.0063 0.00018 2006 0.141 0.058 0.072 0.0028 0.000203 0.0052 0.00001 2007 0.047 0.011 -0.022 -0.044 0.00096 0.00047 0.00197 Suma 0.344 0.275 0.00033 0.0202 0.0066

=

R

0.069 0.055

COV

D,E

=

0.000066

σ

D

=

0.064

σ

E

=

0.036

Sustituyendo los valores calculados en nuestro ejemplo se tiene:

(

)(

)

0

.

028

036

.

0

064

.

0

000066

.

0

,E

=

=

D

r

Lo que significa que los rendimientos de las acciones D y E tienden a moverse en la misma dirección cuando cambian.

Ejemplo 5. Acción E con A.

Año

R

E,i

R

A,i

R

E,i

−

R

E

R

A,i

−

R

A

(

R

E,i

−

R

E

)(

R

A,i

−

R

A

)

(

)

2 ,i E E

R

R

−

(

R

_A,i

−

R

A

)

2 2003 0.024 -0.005 -0.031 -0.061 0.0019 0.001 0.0037 2004 0.114 0.067 0.059 0.011 0.00064 0.0035 0.00012 2005 0.068 0.050 0.013 -0.0059 -0.0001 0.00018 0.000035 2006 0.058 0.106 0.003 0.050 0.00014 0.00001 0.0025 2007 0.011 0.062 -0.044 0.0061 -0.00027 0.002 0.000037 Suma 0.275 0.281 0.0023 0.0066 0.0064

=

R

0.055 0.056

COV

E,A

=

0.00046

σ

E

=

0.036

σ

A

=

0.036

(

)(

)

0

.

356

036

.

0

036

.

0

00046

.

0

,A

=

=

E

r

Lo que significa que los rendimientos de las acciones E y A tienden a moverse en la misma dirección cuando cambian.

1.10. CARTERAS DE DOS ACTIVOS, CON UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO

Un activo libre de riesgo es uno que está libre de riesgo de falta de pago, por lo que hay la seguridad de que pague su rendimiento esperado. Por la misma razón tampoco puede existir varianza de los rendimientos del activo libre de riesgo. Por lo tanto, el rendimiento esperado del activo libre de riesgo es un rendimiento cierto y su desviación estándar es cero.

El rendimiento esperado de una cartera compuesta por el activo libre de riesgo F y un activo riesgoso B es tan solo el promedio ponderado de los dos rendimientos esperados, siendo las ponderaciones los porcentajes de los fondos asignados a los dos activos. Sin embargo, en el caso del activo libre de riesgo el rendimiento esperado es seguro, debido a que no existe riesgo de falta de pago. Por lo tanto el rendimiento esperado para la cartera que incluye el activo libre de riesgo es:

B B F F P

W

R

W

R

R

=

+

De igual forma sigue en vigor la ecuación original para la varianza de la cartera de dos activos, tal como se determinó mediante la ecuación siguiente:

B F B F B F B B F F P

W

W

W

W

r

, 2 2 2 2 2

2

σ

σ

σ

σ

σ

=

+

+

No obstante, el hecho de que

R

_F está libre de riesgo tiene efectos dramáticos sobre la evaluación de la ecuación anterior. Debido a que

R

_F está libre de riesgo:

0

2

₌

F

σ

=

2 F

σ

La varianza

R

_F

0

,B

=

F

r

El coeficiente de correlación entre una constante

R

_F, y una variable aleatoria, en este caso los rendimientos del activo B son siempre cero. Así tiene que ser debido a que una constante no tiene covarianza con ningún otro activo. Como su nombre lo implica, una constante es un valor exacto constante. En la ecuación de la varianza cualquier término multiplicado por

σ

2_F ó

r

_F,B será cero. Esto significa que los términos primero y tercero se eliminarán y el riesgo de una cartera de dos activos, que incluye

R

_F, será:

2 2 2 B B P

W

σ

σ

=

Y como este es un cuadrado perfecto, la desviación estándar de la cartera será:

B B

P

W

σ

σ

=

solo depende del nivel de riesgo del activo riesgoso y de la proporción de los fondos asignados al mismo.

Ejemplo 1. Acción A con B.

Como ejemplo de estos principios se considera una cartera que se va a integrar con el activo libre de riesgo F y una cartera con riesgo A, donde la información para F y para A se encuentra en las siguientes tablas y su correspondiente grafica:

Activo F A

Rendimiento 4.0% 5.6%

Riesgo 0.0% 3.6% Correlación F,A 0.0% 0.0%

Portafolio Wf Wa Riesgo Rendimiento

F 1.0 0.0 0.0% 4.0% a1 0.8 0.2 0.7% 4.3% a2 0.6 0.4 1.4% 4.6% a3 0.4 0.6 2.1% 5.0% a4 0.2 0.8 2.9% 5.3% A 0.0 1.0 3.6% 5.6%

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo A A a4 a3 a2 F a1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 Riesgo R e n d im ie n to

En la grafica se muestra el activo libre de riesgo F, el activo riesgoso A y las carteras combinadas, a1, a2, a3, a4, en el espacio riesgo-rendimiento. Mediante la combinación de F y A se han obtenido dichas carteras que se encuentran en una línea recta en el espacio riesgo-rendimiento entre F y A. Cualquier punto sobre la línea entre F y A se puede lograr creando una cartera integrada solamente de F y A.

En el ejemplo anterior se combinó el activo riesgoso A con el activo libre de riesgo F, para formar carteras. Sin embargo, los inversionistas pueden tener motivos para preferir utilizar otros activos riesgosos, además de A, para combinarlas con F.

Del mismo modo que se pueden combinar F y B para lograr carteras en línea FB. Tal como se muestra en las siguientes tablas y la gráfica posterior a las mismas:

Activo F B

Rendimiento 4.0% 15.1% Riesgo 0.0% 5.6% Correlación F,B 0.0% 0.0%

Portafolio Wf Wb Riesgo Rendimiento F 1.0 0.0 0.0% 4.0% b6 0.8 0.2 1.1% 6.2% b7 0.6 0.4 2.3% 8.5% b8 0.4 0.6 3.4% 10.7% b9 0.2 0.8 4.5% 12.9% B 0.0 1.0 5.6% 15.1%

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo A y B B A F 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Riesgo R endi m ie n to

En esta grafica puede verse que cada cartera en línea FA está dominada por una cartera en la línea FB. Esto significa que todos los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FB en lugar de las carteras riesgosas FA, debido a que siempre se encontrarán en mejor situación en cuanto al riesgo y rendimiento.

Como ejemplo de estos principios se considera una cartera que se va a integrar con el activo libre de riesgo F y una cartera con riesgo B, donde la información para F y para B se encuentra en las siguientes tablas y su correspondiente grafica:

Activo F B

Rendimiento 4.0% 15.1% Riesgo 0.0% 5.6% Correlación F,B 0.0% 0.0%

Portafolio Wf Wb Riesgo Rendimiento

F 1.0 0.0 0.0% 4.0% b1 0.8 0.2 1.1% 6.2% b2 0.6 0.4 2.3% 8.5% b3 0.4 0.6 3.4% 10.7% b4 0.2 0.8 4.5% 12.9% B 0.0 1.0 5.6% 15.1%

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo B

B b4 b3 b2 F b1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Riesgo R endi m ient o

En la grafica se muestra el activo libre de riesgo F, el activo riesgoso B y las carteras combinadas, b1, b2, b3, b4, en el espacio riesgo-rendimiento. Mediante la combinación de F y B se han obtenido dichas carteras que se encuentran en una línea recta en el espacio riesgo-rendimiento entre F y B. Cualquier punto sobre la línea entre F y B se puede lograr creando una cartera integrada solamente de F y B.

En el ejemplo anterior se combinó el activo riesgoso B con el activo libre de riesgo F, para formar carteras. Sin embargo, los inversionistas pueden tener motivos para preferir utilizar otros activos riesgosos, además de B, para combinarlas con F.

Del mismo modo que se pueden combinar F y C para lograr carteras en línea FC. Tal como se muestra en las siguientes tablas y la grafica posterior a las mismas:

Activo F C

Rendimiento 4.0% 8.8%

Riesgo 0.0% 3.4% Correlación F,C 0.0% 0.0%

Portafolio Wf Wc Riesgo Rendimiento

F 1.0 0.0 0.0% 4.0%

c6 0.8 0.2 0.7% 5.0%

c7 0.6 0.4 1.4% 5.9%

Portafolio Wf Wc Riesgo Rendimiento

c8 0.4 0.6 2.1% 6.9%

C 0.0 1.0 3.4% 8.8%

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo B y C C F B 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Riesgo Re n d im ie n to

En esta grafica puede verse que cada cartera en línea FC está dominada por una cartera en la línea FB. Esto significa que todos los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FB en lugar de las carteras riesgosas FC, debido a que siempre se encontrarán en mejor situación en cuanto al riesgo y rendimiento.

Ejemplo 3. Acción C con D.

Como ejemplo de estos principios se considera una cartera que se va a integrar con el activo libre de riesgo F y una cartera con riesgo C, donde la información para F y para C se encuentra en las siguientes tablas y su correspondiente grafica:

Activo F C

Rendimiento 4.0% 8.8%

Correlación F,C 0.0% 0.0%

Portafolio Wf Wc Riesgo Rendimiento

F 1.0 0.0 0.0% 4.0% c1 0.8 0.2 0.7% 5.0% c2 0.6 0.4 1.4% 5.9% c3 0.4 0.6 2.1% 6.9% c4 0.2 0.8 2.7% 7.9% C 0.0 1.0 3.4% 8.8%

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo C

C c4 c3 c2 F c1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 Riesgo R endi m ient o

En la grafica se muestra el activo libre de riesgo F, el activo riesgoso C y las carteras combinadas, c1, c2, c3, c4, en el espacio riesgo-rendimiento. Mediante la combinación de F y C se han obtenido dichas carteras que se encuentran en una línea recta en el espacio riesgo-rendimiento entre F y C. Cualquier punto sobre la línea entre F y C se puede lograr creando una cartera integrada solamente de F y C.

En el ejemplo anterior se combinó el activo riesgoso C con el activo libre de riesgo F, para formar carteras. Sin embargo, los inversionistas pueden tener motivos para preferir utilizar otros activos riesgosos, además de

C, para combinarlas con F.

Del mismo modo que se pueden combinar F y D para lograr carteras en línea FD. Tal como se muestra en las siguientes tablas y la gráfica posterior a las mismas:

Activo F D

Rendimiento 4.0% 6.9%

Riesgo 0.0% 6.4% Correlación F,D 0.0% 0.0%

Portafolio Wf Wd Riesgo Rendimiento

F 1.0 0.0 0.0% 4.0% d6 0.8 0.2 1.3% 4.6% d7 0.6 0.4 2.5% 5.1% d8 0.4 0.6 3.8% 5.7% d9 0.2 0.8 5.1% 6.3% D 0.0 1.0 6.4% 6.9%

En esta grafica puede verse que cada cartera en línea FD está dominada por una cartera en la línea FC. Esto significa que todos los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FC en lugar de las carteras riesgosas FD, debido a que siempre se encontrarán en mejor situación en cuanto al riesgo y rendimiento.

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo C y D D C F 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Riesgo R e ndi m ie n to

Ejemplo 4. Acción D con E.

Como ejemplo de estos principios se considera una cartera que se va a integrar con el activo libre de riesgo F y una cartera con riesgo D, donde la información para F y para D se encuentra en las siguientes tablas y su correspondiente grafica:

Activo F D

Rendimiento 4.0% 6.9%

Riesgo 0.0% 6.4% Correlación F,D 0.0% 0.0%

Portafolio Wf Wd Riesgo Rendimiento

F 1.0 0.0 0.0% 4.0%

d1 0.8 0.2 1.3% 4.6%

d3 0.4 0.6 3.8% 5.7%

d4 0.2 0.8 5.1% 6.3%

D 0.0 1.0 6.4% 6.9%

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo D

D d4 d3 d2 F d1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Riesgo R e ndi m ien to c

En la grafica se muestra el activo libre de riesgo F, el activo riesgoso D y las carteras combinadas, d1, d2, d3, d4, en el espacio riesgo-rendimiento. Mediante la combinación de F y D se han obtenido dichas carteras que se encuentran en una línea recta en el espacio riesgo-rendimiento entre F y D. Cualquier punto sobre la línea entre F y D se puede lograr creando una cartera integrada solamente de F y D.

En el ejemplo anterior se combinó el activo riesgoso D con el activo libre de riesgo F, para formar carteras. Sin embargo, los inversionistas pueden tener motivos para preferir utilizar otros activos riesgosos, además de D, para combinarlas con F.

Del mismo modo que se pueden combinar F y E para lograr carteras en línea FE. Tal como se muestra en las siguientes tablas y la gráfica posterior a las mismas:

Activo F E

Rendimiento 4.0% 5.5%

Riesgo 0.0% 3.6% Correlación F,E 0.0% 0.0%

Portafolio Wf We Riesgo Rendimiento F 1.0 0.0 0.0% 4.0% e1 0.8 0.2 0.7% 4.3% e2 0.6 0.4 1.5% 4.6% e3 0.4 0.6 2.2% 4.9% e4 0.2 0.8 2.9% 5.2% E 0.0 1.0 3.6% 5.5%

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo D y E E D F 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Riesgo R endi m ient o

En esta grafica puede verse que cada cartera en línea FE está dominada por una cartera en la línea FD. Esto significa que todos los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FD en lugar de las carteras riesgosas FE, debido a que siempre se encontrarán en mejor situación en cuanto al riesgo y rendimiento.

Como ejemplo de estos principios se considera una cartera que se va a integrar con el activo libre de riesgo F y una cartera con riesgo A, donde la información para F y para A se encuentra en las siguientes tablas y su correspondiente grafica:

Activo F E

Rendimiento 4.0% 5.5%

Riesgo 0.0% 3.6% Correlación F,E 0.0% 0.0%

Portafolio Wf We Riesgo Rendimiento

F 1.0 0.0 0.0% 4.0% e1 0.8 0.2 0.7% 4.3% e2 0.6 0.4 1.5% 4.6% e3 0.4 0.6 2.2% 4.9% e4 0.2 0.8 2.9% 5.2% E 0.0 1.0 3.6% 5.5%

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo E E e4 e3 e2 F e1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 Riesgo R e nd im ie nt o

En la grafica se muestra el activo libre de riesgo F, el activo riesgoso E y las carteras combinadas, e1, e2, e3, e4, en el espacio riesgo-rendimiento. Mediante la combinación de F y E se han obtenido dichas carteras que se encuentran en una línea recta en el espacio riesgo-rendimiento entre F y E. Cualquier punto sobre la línea entre F y E se puede lograr creando una cartera integrada solamente de F y E.

En el ejemplo anterior se combinó el activo riesgoso E con el activo libre de riesgo F, para formar carteras. Sin embargo, los inversionistas pueden tener motivos para preferir utilizar otros activos riesgosos, además de E, para combinarlas con F.

Del mismo modo que se pueden combinar F y A para lograr carteras en línea FA. Tal como se muestra en las siguientes tablas y la gráfica posterior a las mismas:

Activo F A

Rendimiento 4.0% 5.6%

Riesgo 0.0% 3.6% Correlación F,A 0.0% 0.0%

Portafolio Wf Wa Riesgo Rendimiento F 1.0 0.0 0.0% 4.0% a6 0.8 0.2 0.7% 4.3% a7 0.6 0.4 1.4% 4.6% a8 0.4 0.6 2.1% 5.0% a9 0.2 0.8 2.9% 5.3% A 0.0 1.0 3.6% 5.6%

Riesgo-rendimiento del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo E y A E A F 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

Riesgo

R endi m ient o

En esta gráfica puede verse que cada cartera en línea FE está dominada por una cartera en la línea FA. Esto significa que todos los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FE en lugar de las carteras riesgosas FA, debido a que siempre se encontrarán en mejor situación en cuanto al riesgo y rendimiento.

1.11. CARTERA DE TRES ACTIVOS, CON UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO.

Los inversionistas por lo regular están interesados en formar carteras con más de un activo de riesgo. Por lo que ahora trataremos el tema de la formación de carteras con dos activos riesgosos y un activo libre de

riesgo.

Al considerar invertir en un activo libre de riesgo que se integre a la cartera con dos activos riesgosos se presenta la situación de que solo un portafolio de los mejores portafolios de riesgo encontrados es que todo inversionista racional elegiría para integrar su cartera.

El portafolio óptimo de riesgo O se encuentra trazando una línea recta tangente a la curva de los portafolios de riesgo que parte del activo libre de riesgo F, como puede observarse en la siguiente gráfica:

Combinación del activo libre con cartera óptima O.

A O B 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% Riesgo R e ndi m ient o

El riesgo de la cartera formada por el portafolio riesgoso O y el activo libre de riesgo F se calcula desde luego con la fórmula siguiente:

O O

P

W

σ

σ

=

=

O

W

Proporción de fondos invertidos en el portafolio riesgoso O.

=

O

σ

Riesgo del portafolio riesgoso O.

Para el caso del rendimiento esperado del portafolio se obtiene con la siguiente fórmula de términos ya conocidos: O O F F

R

W

R

W

R

=

+

Sin embargo, para calcular las proporciones de inversión que le corresponden de cada peso a los activos riesgosos A y B que forman la cartera O, se debe considerar que:

( )

A A

W

W

W

*

=

₀ Y que:

W

_B*

=

W

₀

( )

W

_B Donde:

W

_F

+

W

_A*

+

W

_B*

=

1

=

A

W

La proporción de inversión en el activo riesgoso A en la cartera riesgosa O.

=

B

Para ver como operan estas fórmulas consideramos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1. Acción A con B.

En la siguiente tabla se presentan los parámetros tanto de los activos riesgosos A y B, como del activo libre de riesgo F. Activo F A B Rendimiento 4.0% 5.5% 15.1% Riesgo 0.0% 3.6% 5.6% Correlacion F,A 0 Correlacion F,B 0 Correlacion A,B -0.287

Si formamos portafolios de inversión solamente con los dos activos riesgosos A y B, se podrían obtener los siguientes portafolios con diferencias de veinte centavos por cada peso invertido:

Portafolio

W

_A

W

B Riesgo

σ

P Rendimiento P

R

A 1 0 3.6% 5.6% 0.8 0.2 2.8% 7.5% 0.6 0.4 2.6% 9.4% O 0.4 0.6 3.3% 11.3% 0.2 0.8 4.3% 13.2%

B 0 1 5.6% 15.1%

En nuestro ejemplo es el portafolio óptimo en el que se invierte el 40% en A y el 60% en B. Esto es así por que si se elige cualquier otro portafolio de riesgo, las líneas rectas de portafolios posibles que se formarían con el activo libre de riesgo serían líneas dominadas por la línea de portafolios posibles FO. Como puede verse en la siguiente gráfica:

Combinación del activo libre con cartera óptima O.

B O A 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% Riesgo R endi m ient o F

Para crear carteras que se encuentren en la línea desde F hasta O, el inversionista tiene que conservar la cartera riesgosa O y también invertir algunos fondos en un activo libre de riesgo.

La siguiente tabla muestra los diferentes portafolios con sus rendimientos esperados y riesgos.

F

W

W

O

σ

P

R

P

1 0 0.0% 4.0%

0.8 0.2 0.7% 5.5%

0.4 0.6 2.0% 8.4%

0.2 0.8 2.6% 9.8%

0 1 3.3% 11.3%

A continuación mostramos a detalle el desglose de la proporción de inversión en el portafolio, indicando la proporción a invertir en la acción A y B, así como la proporción de inversión en el activo libre de riesgo F.

F

W

* A

W

W

_B*

σ

P

R

P 1 _{0 0} 0.0% 4.0% 0.8 _{0.12 0.08 0.01% 5.1%} 0.6 0.24 0.16 0.03% 6.2% 0.4 0.36 0.24 0.04% 7.2% F

W

* A

W

* B

W

σ

P

R

P 0.2 _{0.48 0.32 0.06% 8.3%} 0.0 _{0.60 0.40 0.07% 9.4%}

En esta tabla se corrobora que cada peso invertido se desglosa en F, A y B de tal manera que la suma de proporciones de la unidad. Además de que la proporción 20% en A y 80% en B se mantiene de manera independiente del monto de cada peso que se invierta en la cartera riesgosa O.

Ejemplo 2. Acción B con C.

En la siguiente tabla se presentan los parámetros tanto de los activos riesgosos B y C, como del activo libre de riesgo F.

Activo F B C Rendimiento 4.0% 15.1% 8.8% Riesgo 0.0% 5.6% 3.4% Correlacion F,B 0 Correlacion F,C 0 Correlacion B,C 0.718

Si formamos portafolios de inversión solamente con los dos activos riesgosos B y C, se podrían obtener los siguientes portafolios con diferencias de 20 centavos por cada peso invertido.

Portafolio

W

_B

W

C Riesgo

σ

P Rendimiento P

R

B O 1 0 5.6% 15.2% 0.8 0.2 5.03% 13.9% 0.6 0.4 4.5% 12.6% 0.4 0.6 4.0% 11.4% 0.2 0.8 3.6% 10.1% C 0 1 3.4% 8.8%

En nuestro ejemplo es el portafolio óptimo en el que se invierte el 100% en B y el 0% en C. Esto es así porque si se elige cualquier otro portafolio de riesgo, las líneas rectas de portafolios posibles que se formarían con el activo libre de riesgo serían líneas dominadas por la línea de portafolios posibles FO. Como puede verse en la siguiente gráfica.

Para crear carteras que se encuentren en la línea desde F hasta O, el inversionista tiene que conservar la cartera riesgosa O y también invertir algunos fondos en un activo libre de riesgo.

Combinación del activo libre de riesgo con la cartera óptima

B O C F 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% Riesgo R e nd im ie nt o

La siguiente tabla muestra los siguientes portafolios con sus rendimientos esperados y riesgos.

F

W

W

O

σ

P

R

P 1 0 0,0% 0.0% 0.8 0.2 1.1% 0.09% 0.6 0.4 2.3% 0.1% 0.4 0.6 3.4% 0.1% 0.2 0.8 4.5% 0.09% 0 1 5.6% 0,0%

A continuación mostramos a detalle el desglose de la proporción de inversión en el portafolio O, indicando la proporción a invertir en la acción B y C, así como la proporción de inversión en el activo libre de riesgo

F

W

* B

W

W

C*

σ

P

R

P 1 0 0 0.0% 0.0% 0.8 0.2 0.12 1.1% 0.09% 0.6 0.4 0,.24 2.3% 0.1% 0.4 0.6 0.36 3.4% 0.1% 0.2 0.8 0.48 4.5% 0.09% 0 1 0.6 5.6% 0.0%

En esta tabla se corrobora que cada peso invertido se desglosa en F, B y C de tal manera que la suma de proporciones de la unidad. Además de que la proporción 100% en B y 0% en C se mantiene de manera independiente del monto de cada peso que se invierte en la cartera riesgosa O.

Ejemplo 3. Acción C con D.

En la siguiente tabla se presentan los parámetros tanto de los activos riesgosos C y D, como del activo libre de riesgo F. Activo F C D Rendimiento 4.0% 8.8% 6.9% Riesgo 0.0% 3.4% 6.4% Correlacion F,C 0 Correlacion F,D 0

Correlacion C,D -0.065

Si formamos portafolios de inversión solamente con los dos activos riesgosos C y D, se podrían obtener los siguientes portafolios con diferencias de veinte centavos por cada peso invertido:

Portafolio

W

_C

W

_D Riesgo

σ

_P Rendimiento P

R

C 1 0 3.4% 8.8% O 0.8 0.2 2.9% 8.4% 0.6 0.4 3.2% 8.0% 0.4 0.6 4.0% 7.7% 0.2 0.8 5.1% 7.3% D 0 1 6.4% 6.9%

En nuestro ejemplo es el portafolio óptimo en el que se invierte el 80% en C y el 20% en D. Esto es así por que si se elige cualquier otro portafolio de riesgo, las líneas rectas de portafolios posibles que se formarían con el activo libre de riesgo serían líneas dominadas por la línea de portafolios posibles FO. Como puede verse en la siguiente gráfica:

Combinación del activo libre de riesgo con la cartera óptima O. C O D F 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0% Riesgo R endi m ient o

Para crear carteras que se encuentren en la línea desde F hasta O, el inversionista tiene que conservar la cartera riesgosa O y también invertir algunos fondos en un activo libre de riesgo.

La siguiente tabla muestra los diferentes portafolios con sus rendimientos esperados y riesgos.

F

W

W

O

σ

P

R

P 1 0 0.0% 4.0% 0.8 0.2 0.6% 4.9% 0.6 0.4 1.2% 5.8% 0.4 0.6 1.8% 6.6% 0.2 0.8 2.3% 7.5% 0 1 2.9% 8.4%

A continuación mostramos a detalle el desglose de la proporción de inversión en el portafolio, indicando la proporción a invertir en la acción C y D, así como la proporción de inversión en el activo libre de riesgo F.

F

W

* C

W

* D

W

σ

P

R

P 1 0.0 0.0 0.0% 4.0% 0.8 0.16 0.04 0.6% 4.9% 0.6 0.32 0.08 1.2% 5.8% 0.4 0.48 0.12 1.8% 6.6% 0.2 0.64 0.16 2.3% 7.5% 0 0.8 0.2 2.9% 8.4%

En esta tabla se corrobora que cada peso invertido se desglosa en F, C y D de tal manera que la suma de proporciones de la unidad. Además de que la proporción 80% en C y 20% en D se mantiene de manera independiente del monto de cada peso que se invierta en la cartera riesgosa O.

Ejemplo 4. Acción D con E.

En la siguiente tabla se presentan los parámetros tanto de los activos riesgosos D y E, como del activo libre de riesgo F. Activo F D E Rendimiento 4.0% 6.9% 5.5% Riesgo 0.0% 6.4% 3.6% Correlacion F,D 0 Correlacion F,E 0 Correlacion D,E 0.028

Si formamos portafolios de inversión solamente con los dos activos riesgosos D y E, se podrían obtener los siguientes portafolios con diferencias de 20 centavos por cada peso invertido.

Portafolio

W

_D

W

_E Riesgo

σ

_P Rendimiento

R

P

D 1 0 6.4% 6.9% 0.8 0.2 5.2% 6.6% 0.6 0.4 4.1% 6.3% O 0.4 0.6 3.4% 6.05% 0.2 0.8 3.2% 5.8% E 0 1 3.6% 5.5%

En nuestro ejemplo es el portafolio óptimo en el que se invierte el 40% en D y el 60% en E. Esto es así porque si se elige cualquier otro portafolio de riesgo, las líneas rectas de portafolios posibles que se formarían con el activo libre de riesgo serían líneas dominadas por la línea de portafolios posibles FO. Como puede verse en la siguiente gráfica:

Combinación del activo libre de riesgo con la cartera óptima F E O D 0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0% Riesgo R e ndi m ient o

Para crear carteras que se encuentren en la línea desde F hasta O, el inversionista tiene que conservar la cartera riesgosa O y también invertir algunos fondos en un activo libre de riesgo.

La siguiente tabla muestra los siguientes portafolios con sus rendimientos esperados y riesgos.

F

W

W

_O

σ

_P

R

P 1 0 0.0% 0.0% 0.8 0.2 0.7% 0.04% 0.6 0.4 1.4% 0.06% 0.4 0.6 2.04% 0.06% 0.2 0.8 2.7% 0.04% F

W

W

O

σ

P

R

P 0 1 3.4% 0.0%