Existencia y unicidad de soluciones de un problema elíptico de Kirchhoff con término singular

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Universidad del Perú. Decana de América

Facultad de Ciencias Matemáticas

Unidad de Posgrado

“Existencia y unicidad de soluciones de un problema

elíptico de Kirchhoff con término singular”

TESIS

Para optar el Grado Académico de Magíster en Matemática con

mención en Matemática Computacional

AUTOR

Jesús Virgilio LUQUE RIVERA

ASESOR

Eugenio CABANILLAS LAPA

Lima, Perú

2018

FICHA CATALOGRÁFICA

Jesús Virgilio LUQUE RIVERA Existencia y unicidad de soluciones de un problema elípti-co de Kirchhoffcon término singular, (Lima) 2018

VII, 67p , 29.7cm, (UNMSM, Magister, Matemática Aplica-da con mención en matemática computacional, 2018) Tesis, Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Facultad de Ciencias Matemáticas.

1. Unidad de Posgrado I. UNMSM/FCM II. Título (Se-ries).

DEDICATORIA

A mis padres, hermanos, a mi esposa Silvia y mis hijos Jesús, Valeri y Sergio

AGRADECIMIENTO

En primer lugar a Dios por haberme dado las fuerzas para culminar este trabajo, así mismo un agradecimiento póstumo a la memoria mi padre Julián por haber compartido mis alegrías y tristezas y por los sabios consejos que llevaré hasta el fin de mis días, mi gratitud a mis madres María(abuela) , Victoria y Adela (tía) y a mis hermanos Dina y César porque con ellos compartí una infancia feliz a pesar de las dificultades que nos dá la vida.

Asi mismo debo agradecer de manera especial a mi asesor Dr. Eugenio Cabanillas Lapa por aceptarme realizar este trabajo bajo su dirección, su apoyo y sugerencias y el tiempo dedicado a sido un aporte invaluable. Le agradezco también el haberme facilitado siempre los medios suficientes para llevar a cabo todas las actividades propuestas durante el desarrollo de este trabajo.

También quiero agradecer a mis maestros de la facultad por compartir sus conocimientos y sabiduría que han contribuido en mi desarrollo profesional, agradezco a todos los que fueron mis compañeros de clase durante todos los niveles de la universidad ya que gracias al compañerismo, amistad y apoyo moral han aportado en alto porcentaje a mis ganas de seguir adelante en mi carrera profesional. Mi gratitud y agradecimiento a mis amigos Willy Barahona, Victoriano Yauri, Leonardo Dávila, Marco Tipismana que me brindaron su amistad y apoyo incondicional en momentos difíciles, gracias amigos.

Mi agradecimiento al Vicerrectorado de Investigación y Posgrado (VRIP) por el apoyo económico para culminar este trabajo A Silvia mi amiga, mi cómplice, mi compañera y mi esposa, gracias por compartir mis sueños, gracias por todos estos años de sacrificio y privaciones y por ese apoyo incondicional; a mis hijos por ser la razón de mi existir, sin ellos las fuerza de levantarme cada día para ser mejor persona no sería una realidad, gracias Jesús, Valeri y Sergio por existir.

RESUMEN

Existencia y unicidad de soluciones de un problema elíptico

de Kirchho

ff

con término singular.

Jesús Virgilio LUQUE RIVERA

Septiembre, 2018

Asesor : Dr. Eugenio Cabanillas Lapa

Grado obtenido : Magister en Matemática Aplicada con mención en Matemática Computacional.

En este trabajo, consideramos el siguiente problema elíptico singular del tipo Kirchhoff:

−M Z Ω |∇u|2 ! ∆udx= h(x) uγ +k(x)u α _enΩ u>0 enΩ u=0 en∂Ω

Bajo apropiadas condiciones sobre los datos estudiamos la existencia y unicidad de las soluciones positivas.

PALABRAS CLAVES: Ecuación elíptica de Kirchhoffcon término singular, Solución débil, Método de Galerkin, Desigualdad de Hardy- Sobolev

ABSTRACT

Existence and uniqueness of solutions of an elliptical problem

of Kirchho

ff

with singular term

Jesús Virgilio LUQUE RIVERA

Septiembre, 2018

Assessor : Dr. Eugenio Cabanillas Lapa

degree quali f ication : Master in Matematics Applied with mention in Computational Matematics.

In this work, we consider the following singular elliptic equation of Kirchhofftype

−M Z Ω |∇u|2 ! ∆udx= h(x) uγ +k(x)u α _inΩ u>0 inΩ u=0 on_∂Ω

Under suitable condition on the data, we study both the existence and uniqueness of positive solutions

KEY WORDS: Kirchhoffelliptical equation with singular term, Weak solution, Galerkin method, Inequality of Hardy-Sobolev.

Índice general

Introducción 1

1. Preliminares 3

1.1. Espacio de funciones continuas . . . 3

1.2. Espacios de Banach . . . 5

1.2.1. EspaciosLp_{(Ω) . . . . 8}

1.2.2. La Integral de Lebesgue . . . 12

1.2.3. Espacios Reflexivos . . . 16

1.3. Distribuciones . . . 17

1.3.1. Derivada de una distribución . . . 20

1.4. Espacios de Sobolev . . . 21

2. Existencia y unicidad de soluciones de un problema elíptico de Kirchhoffcon término singular 28 2.1. Existencia de la Solución . . . 28 2.2. Pasaje al límite . . . 40 2.3. Unicidad . . . 59 3. El método numérico 60 4. Conclusiones 62 Referencias Bibliográficas 63

Introducción

Diversos procesos fundamentales en la naturaleza están descritos por ecuaciones en derivadas parciales, como difusión de calor, oscilaciones, interacción molecular, dinámi-ca poblacional, etc. Un fenómeno oscilatorio en particular fue descrito en el trabajo de Kirchhoff[8], mediante la ecuación casilineal unidimencional:

utt−M Z L 0 u2_x(x,t)dx ! uxx , en ]0,L[×]0,+∞[

Que describe las pequeñas vibraciones no lineales de una cuerda elástica. Este modelo fue generalizado más adelante por Lions [9] aRn_:

utt−M Z Ω |∇u|2dx ! ∆u= f , en Ω×]0_,+∞[_,

El estado estacionario asociado a esta ecuación es

(1) −M Z Ω |∇u|2dx ! ∆u= f , enΩ u=0 _, en_∂Ω

que es un modelo no local típico, y que reviste gran importancia en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico. En relación a este modelo se tiene la siguiente generalización −M Z Ω |∇u|2dx ! ∆u= h(x) uγ +k(x)u α _{, enΩ} u=0 , en∂Ω

conh,k∈C(Ω) _, h,k≥0 _, h,k,0 y α, γ∈]0_,1[

cuyo estudio presenta interesantes dificultades matemáticas por su naturaleza no local y término no singular, el cual en este trabajo estamos interesados en estudiar, así como investigar las posibilidades de sus aplicaciones.

En esta última década el estudio de los sistemas elípticos no locales del tipo Kirchhoff ha cobrado particular interés, sobre todo después del trabajo de Lions [21], debido a que son modelos que representan una gran variedad de situaciones físicas en Ciencias e Ingeniería y que requiere herramientas nada triviales para resolverlos. Estos modelos han sido estudiados por diversos autores, entre los que destacan [9], [5], [21], [8]y [13], con diversas técnicas. El problema fue abordado con técnicas variacionales en [2], [5], [6], [11] y [23].

El modelo (1) ha sido generalizado a una ecuación del tipo p-laplaciano.

−M Z Ω |∇u|p ! ∆_pudx= f(x,u) , enΩ×]0_,+∞[ u=0 _, en_∂Ω

Este tipo de operador aparece en diversas áreas de la ciencia tales como Astronomía, Glaciología, Climatología, Fluidos No-Newtonianos, Extracción de Petróleo etc. [3].

En particular, los sistemas elípticos no locales del tipo (1), modelan difusión de espe-cies o fenómenos físicos donde la temperatura tiene un rol central al desencadenar una reacción. Su espectro de estudio es amplio: desde la Física e Ingeniería a la Dinámica de Poblaciones. [2]

Los problemas parabólicos relacionados son de especial interés en teoría de dinámica poblacional. [13] , [25].

En este sentido los modelos, que incluyen operadores no locales del tipo Kirchhoff, han sido recientemente considerados por diversos investigadores, por lo que una exposición didáctica del articulo referencial [8], permitirá entender y explicar la metodología usada por los autores en la resolución de estos problemas, sirviendo como base de apoyo para el avance matemático en la comunidad científica de nuestro país.

Capítulo 1

Preliminares

En este capítulo estableceremos las notaciones, las hipótesis sobre los datos y presen-taremos en forma de proposiciones y teoremas los resultados básicos que serán utilizados en los capítulos posteriores.

1.1. Espacio de funciones continuas

Definición 1.1 Seaα=(α1, α2, ..., αn)∈INn. Se define los operadores:

|_α|=_α1+_α2+_...+_{αn ,} Dα = ∂ |α| ∂xα1 1 ∂x α2 2 ... ∂x αn n

Elsoporte de una función f : X → R, denotado por_Sopp(_f), es la clausura del conjunto

{x∈X: f(x),0}. Así, el soporte de f es el complemento del conjunto abierto más grande

donde f se anula.

Definición 1.2 Sea Ω un abierto de R _{y m ∈} N_{. se designa con C}0(_Ω) _{el espacio de todas las}

funciones continuas definidas enΩ con valores en R_{. Se designan los siguientes subespacios de}

C0(Ω): Cm_(Ω)=ϕ∈C0_{(Ω) ; D}α_{ϕ ∈C}0_{(Ω) ∀ |α| ≤m} C∞_(Ω)= ∞ \ m=0 Cm(Ω)

C0(Ω)= ϕ∈C0(Ω) ; soporte de ϕ es compacto en Ω

Cm₀(Ω)=Cm(Ω)TC0(Ω)

Ck

0(Ω) :=Ck(Ω)∩ {u/sopp(u) es compacto, sopp(u)⊆Ω}

C∞_{(Ω) :=}T∞ m=0Cm(Ω). C∞ 0(Ω)=C∞(Ω) T C0(Ω)

Sobre C∞_{(Ω)se define la norma de convergencia uniforme, como}

kfk∞:=sup

x∈Ω

|f(x)|,

con el cual es un espacio de Banach.

Definición 1.3 Sea Ωun abierto de Rn _{y m} ∈ N_{. Se designa con C}0(Ω)el espacio vectorial de todas las funciones continuas que son acotadas y uniformemente contínuas enΩ.

Cm_(Ω)=n_ϕ∈C0_{(Ω) ; D}α_ϕ∈C0_{(Ω) , ∀ |α| ≤m}o C∞(Ω)= ∞ \ m=0 Cm(Ω) C0(Ω)= n ϕ ∈C0(Ω) ; soporte de ϕ , es compacto en Ωo Cm 0(Ω)=Cm(Ω) T C0(Ω) C∞ 0(Ω)=C∞(Ω) T C0(Ω) donde:Ωes la clausura deΩ.

Proposición 1.1 El espacio vectorial Cm(Ω)es un espacio de Banach con la norma ϕ _Cm_(Ω) =m´ax x∈Ω |α|≤m Dαϕ(x)

1.2. Espacios de Banach

Aquí hacemos una introducción a los Espacios de Banach, espacios que reciben su nombre en honor a Stefan Banach.

Definición 1.4 Un espacio vectorial V se dice normado si existe una función k · k : V → R

(denominada norma en V) tal que, para todo u,v∈V satisface: (i) (Positividad)kuk ≥0ykuk=0si, y solo si, u=0_V. (ii) (Cambio de escalar)k_αuk=|_α| kukpara cualquierα∈R_.

(iii) (Desigualdad triangular)ku+vk ≤ kuk+kvk.

Al par (V,kk) se le conoce con el nombre deEspacio vectorial normado.

Definición 1.5 La distancia asociada a una normak · kes d(x,y)=kx−yk. Se verifica fácilmente

que d es una métrica. La topología asociada a una norma es la topología de espacio métrico inducida por la distancia asociada.

Los límites de sucesiones en espacio normados y de funciones entre espacio normados, se expresan en términos de la norma. Por ejemplo, la continuidad de una función f entre dos espacio normados X, Y en un punto a∈ X se expresa: Para cadaε >0existe unδ >0tal que

kx−ak< δ⇒ kf(x)− f(a)k< ε.

El espacio normado es completo, si, toda sucesión de Cauchy en X converge, es decir ∀(xn)⊆X : l´ım

n,m→∞kxn−xmk=0 ⇒ ∃nl´ım→∞xn=x∈X. Todo espacio normado completo es unEspacio de Banach.

Si X,Y son espacio vectoriales, ambos sobre el campo real, la función T : X → Y que

satisface T(αx+_βz) = _αT(x)+_βT(z), para escalares α, β y x,z ∈ X, es llamadooperador lineal.

Definición 1.6 Sean X,Y dos espacios normados. Un operador T : X → Y lineal es acotado si existe una constante M≥0tal que

kTxk_Y ≤Mkxk_X, para todo x∈ X.

Si no existe una constante que satisfaga esta desigualdad diremos que T es no acotado. Si T: X→Y es un operador lineal acotado, definimos la norma del operador T mediante

kTk:=sup

x,0

kTxk_X

kxk =_ksup_xk≤1kTxk=sup_kxk=1kTxk. Teorema 1.1 Un operador lineal es acotado si, y solo si, es continuo.

El conjunto L(X,Y) denota el conjunto de todos los operadores lineales que aplican X en Y, y B(X,Y) el conjunto de todos los operadores enL(X,Y) que son acotados. Éste

último es un espacio de Banach siYes un espacio de Banach, con respecto a la norma del

operador.

Definición 1.7 (Inmersión) Sean X,Y espacios normados, se dice que X está inmerso continua-mente en Y, y se denota X֒→Y, si:

(i) X es subespacio vectorial de Y.

(ii) El operador identidad I definido sobre X es continuo, esto es: ∃C>0, kuk_Y ≤Ckuk_{X ,} ∀u∈X

Definición 1.8 Sea X un espacio vectorial sobreK =R_óC_{. Unproducto escalaroproducto} internodefinido en X es una aplicaciónh·_,·i :X×X→ K_{que verifica:}

(i) (Aditiva)hu+v,wi=hu,wi+hv,wipara todo u,v,w∈X. (ii) (Homogénea)h_αu,vi=_αhu,vipara todo u,v∈X y todoα∈K_.

(iii) (Hermítica)hu,vi=hv,uipara todo u,v∈X.

(iv) (Definida positiva)hu,ui ≥0yhu,ui=0si y solo si u=0.

Toda aplicación que verifica (i), (ii) y (iii) se llama formasesquilineal hermítica.En este caso X es llamado espacio conproducto internooPre-Hilbert.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Sea V un espacio vectorial con producto interno.

Para cualquieru,v:

|hu,vi| ≤ kuk kvk_.

Definición 1.9 Un espacio de Hilbert es un espacio pre-Hilbert completo con respecto a la métrica asociada. Por tanto, todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach en el que se ha definido un producto interior.

Definición 1.10 Una sucesión (fn)n∈N en un espacio normado es llamada convergente a un

elemento f del espacio si, dadoε >0, existe N∈N_{tal que para todo n>N tenemoskf − fnk< ε.}

Si fnconverge a f escribimos f =l´ım fnó fn→ f .

Definición 1.11 Dado X,Y espacios normados, se dice que hay una inmersión compacta de X en Y, denotado por X֒→−c Y, si:

(a) X֒→− Y

(b) I:X −→Y es compacta, es decir∀ B acotado⊆X:I(B)es compacto en Y

Observación 1.1 De (b) se deduce que si xn ⇀ x en X entonces existe una subsucesión(xnk)k∈N

de(xn)n≥1 tal que(xnk)−→x en Y

Definición 1.12 Se dice que un espacio de Hilbert H es separable, si existe un conjunto denso y numerable en H.

Definición 1.13 Base Hilbertiana Sea H un espacio de Hilbert separable, se llama base Hil-bertiana (o base ortonormal) de H a toda sucesión(ψn)n≥1 de elementos de H, que constituye un

sistema completo en H y que verifica: (i) (ψn, ψm)=0,∀m,n ψn =1

(ii) El espacio vectorial generado por(ψn)n≥1 es denso en H

Teorema 1.2 Todo espacio de Hilbert separable admite una base Hilbertiana.

1.2.1. Espacios

L

(

Ω

)

Definición 1.14 SeaΩ un abierto deRN _y1 ≤ p < ∞. Se designa al espacio vectorial de todas las clases de equivalencia de funciones medibles u definidas enΩcon valores enR_{tal que}

Z

Ω

|u(x)|pdx<∞

siendo la integral en el sentido de Lebesgue. La norma en Lp_{(Ω)está dado por:}

kuk_Lp_(Ω)= "Z Ω |u(x)|pdx #1 p

Para el caso p=∞,se define L∞_{(Ω)el espacio vectorial de funciones medibles que son esencialmente} acotadas y para u∈L∞_{(Ω)definimos}

kuk_L∞_(Ω)=´ınf{c / |u(x)| ≤c c.s. enΩ}

Proposición 1.2 :

i) Si1≤p≤ ∞, Lp_{(Ω)es un espacio de Banach con la norma}

kuk_Lp_(Ω)= "Z Ω |u(x)|pdx #1 p ii) Si p=2, L2(Ω)es un espacio de Hilbert con el producto interno

(u,v)=

Z

Ω

u(x)v(x)dx y la norma inducida es,

kuk_L2_(Ω)= "Z Ω |u(x)|2dx #1 2 Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 57 ].

Teorema 1.3 SeaΩun abierto acotado deRn_{,1≤p≤q ≤ ∞. Entonces se tiene}

Proposición 1.3 (Desigualdad de Hölder) Si u∈Lp(Ω)y v ∈Lq(Ω)con16_p6_{∞ y} 1 p+ 1 q =1entonces Z Ω |uv| ≤ kuk_Lp_(Ω)kvk_Lq_(Ω) (si p=1_,q= +∞) Demostracion´ .- Ver [ 15 Pág. 56 ].

Proposición 1.4 (Desigualdad de Hölder Generalizada) Sean f1, f2, ... , fk,funciones tales que fi ∈Lp(Ω),con1≤i≤k,

donde 1 p = 1 p1 + 1 p2 +...+ 1 pk ≤1. Entonces el producto f = f1 f2 f3...fk ∈Lp(Ω) y f _Lp_(Ω)≤ f1 _Lp_1(Ω) f2 _Lp_2(Ω) f3 _Lp_3(Ω)... fk _Lpk(Ω) Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 57 ].

Teorema 1.4 (Desigualdad de Minkowski) Si1≤p<∞entonces

ku+vk_Lp_(Ω)≤ kuk_Lp_(Ω)+kvk_Lq_(Ω)

Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 57 ].

Teorema 1.5 (Desigualdad de interpolación)

Sea u∈Lp_(Ω)∩Lq_{(Ω)con1≤p≤q ≤ ∞entonces u∈L}r_{(Ω)para todo p≤r≤q y se tiene}

kuk_Lr_(Ω) ≤ kuk_pθ.kuk1_L−q_(Ω)θ donde0≤θ≤1y 1 r = θ p + 1−θ q . Demostracion´ .- Ver [ 24 Pág. 4 ].

Teorema 1.6 .

Sean1≤p<∞y u∈Lp(Ω)entonces C0(Ω)es denso en Lp(Ω)

Demostracion´ .- Ver [ 1 Pág. 28 ].

Teorema 1.7 .

Lp_{(Ω)es separable para1≤p<∞.}

Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 62 ].

Teorema 1.8 (Teorema de la Representación de Riesz) Sean1<p<∞ ,ϕ ∈(Lp_(Ω))′ _y 1

p+

1

q =1.Entonces existe una única función u∈ L

q_(Ω)tal que ϕ,v= Z Ω u(x)v(x)dx, ∀v∈Lp(Ω) y kuk_Lq_(Ω) = ϕ _(Lp_(Ω))′ Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 61 ].

Proposición 1.5 Seaϕ∈(L1(Ω))′ entonces existe una única función u∈L∞_{(Ω)tal que} ϕ,v= Z Ω u(x)v(x)dx, ∀v∈L1(Ω) y kuk_L∞_(Ω) = ϕ _(L1_(Ω))′ Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 63 ].

El espacio de las funciones localmente integrables enΩes el conjunto

L1_loc(Ω)={u:Ω−→R_/u es medible y

Z

K

|u|dx<∞, ∀K compacto⊆Ω} Proposición 1.6 Sea(fn)n∈N una sucesión de funciones acotada en Lp(Ω)y sea

f ∈Lp_{(Ω)tal que} fn− f

_Lp_(Ω)−→0.Entonces existe una subsucesión(fnk)tal que

(a) fnk(x)−→ f(x)c.s. enΩ (b) fnk(x) ≤h(x), ∀k∈N y c.s. enΩ, con h∈Lp(Ω). Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 58 ].

Corolario. C∞

0 (Ω) es denso enLp(Ω), 1≤p<∞.

Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 58 ].

Teorema 1.9 (Teorema de Lusin) Si f es una función medible, f(x) = 0 para x < A donde m(A)<∞yε >0, entonces existe una función g∈C0(Rn)tal que

sup x∈Rn g(x)≤sup x∈Rn f(x) y m {x∈Rn: _f(_x), _g(_x)} _{< ε.} Demostracion´ .- Ver [ 1 Pág. 15 ].

Definición 1.2.1 SeaΩ⊆Rn_,Ω∈M∗_{; M}∗ _{={Ω⊆ R}n _{/ Ω medible}; se llamafunción simple}

enΩa una función medible s:Ω→R_{que solo toma un número finito de valores, es decir, tal que}

s(Ω)={a1,a2, ...,ak}. En este caso s puede expresarse de la forma

s(x)=

k

X

i=1

aiχAi(x)

donde Ai =s−1({ai})={x∈Ω: s(x)=ai}yχAi es la función característica del conjunto Ai.

Para construir la integral de Lebesgue, necesitamos el siguiente resultado fundamental, que nos permite aproximar funciones medibles.

Teorema 1.10 SeanΩ⊆Rn_,Ω∈M∗_{y f : Ω→Runa función medible no negativa. Existe una} sucesión de funciones simples deΩenR_{tales que}

1. 0≤sn(x)≤sn+1(x)para todo x∈ Ωy todo n∈N.

2. l´ım

n sn(x)= f(x)para todo x∈ Ω.

1.2.2. La Integral de Lebesgue

Definición 1.15 Una colección M de subconjuntos de un conjunto X se dice que es unaσ-álgebra en X si M tiene las siguientes propiedades:

1. X∈M. 2. Si A∈M entonces Ac ∈M 3. Si A= +∞ [ i=1 Ai , Ai ∈M , i=1,2,3, ...entonces A∈ M

Definición 1.16 Si M es unσ-álgebra en X entonces se dice que X es un espacio medible y a los elementos de M se llaman conjuntos medibles en X.

Definición 1.17 Sea M un σ-álgebra sobre X. La función µ : M −→ [0_,+∞] es una medida positiva si satisface la propiedad de aditividad numerable, es decir, dada una familia numerable y disjunta{An}∞_n=1de elementos de M, entonces

µ       +∞ [ n=1 An      = ∞ X n=1 µ(An)

Definición 1.18 Sea Ω ⊆ Rn_{. Se define la medida exterior de Lebesgue de Ω, denotado m}∗_(Ω), mediante m∗(Ω)=´ınf        ∞ X n=1 Vol(Qn) , Ω⊆ ∞ [ n=1 Qn , Qn rectángulos cerrados        Observación: m∗ _{: P(R}n_{)−→ [0,+∞ >} Ω7−→ m∗_(Ω)

dondeP(Rn): conjunto de partes deRn.

Teorema 1.11 . (i) m∗(φ)=0

(iii) Sea{Ω_n}_n∈Nuna familia numerable de conjuntos; entonces m∗       ∞ [ n=1 Ω      ≤ ∞ X n=1 m∗(Ωn) (iv) m∗_{(Ω)=´ınf{m}∗_{(G) / G abierto Ω⊆G}} (v) para todo conjuntoΩy para todo x∈Rn

m+(x+ Ω)=M∗(Ω) Demostracion´ .- Ver [ 26 Pág. 32 ].

Definición 1.19 Un conjuntoΩse dice Lebesgue medible, si verifica la siguiente propiedad para todo conjunto E

m∗(E)=m∗(E∩Ω)+m∗(E−Ω) SeaM∗_={Ω⊆Rn _{/ Ω es medible}}

Definición 1.20 Se llama medida de Lebesgue en Rn _{a la restricción de la medida exterior m}∗ _a M∗_{, es decir m=m}∗_|

M∗; se tiene así la función:

m: M∗_{−→ [0,+∞]} A7−→ m(A)=m∗_(A)

Definición 1.21 Sea Ω ⊆ Rn _{, Ω ∈ M}∗ _{y f} : _{Ω −→} R_{. Se dice que f es Lebesgue medible o}

simplemente medible si para todo abierto G deR_{, la imagen inversa}

f−1(G)={x∈Ω _/ f(x)∈G} es un conjunto medible enRn_.

Definición 1.22 SeaΩ⊆Rn _, Ω∈M∗ _{y s: Ω−→R. Una función simple no negativa,} s= k X i=1 aiχAi , Ai∩Aj = Φ , i, j ∞ [ n=1 Ai = Ω

se define la integral de s enΩpor

Z Ω s= k X i=1 aim(Ai)

Definición 1.23 SeaΩ⊆Rn _, Ω∈M∗ _{y f :Ω−→R. Una función medible con} f(x)≥0 ∀x∈Ω, se define la integral de f enΩ, denotada

Z Ω f , mediante Z Ω f =sup (Z Ω s / s es función simple , 0≤s≤ f )

Definición 1.24 SeaΩ⊆Rn _, Ω∈M∗ _{y f :Ω−→R, una función medible. Definimos} f+(x)=m´ax{0, f(x)}

f−(x)=m´ax{0_,−f(x)}_.

De esta manera se tiene que f = f+_{− f}− _{donde f}+_{, f}− _{son las funciones (no negativas) arriba} definidas.

Definición 1.25 Sea Ω ⊆ Rn _{, Ω ∈ M}∗ _{y f : Ω −→ R, una función medible. Se define la} integral de f enΩ, denotada Z Ω f , mediante Z Ω f = Z Ω f+− Z Ω f− .

Esta integral recibe el nombre de integral de Lebesgue de f enΩ.

Teorema 1.12 (Convergencia Monótona-Lema de Fatou) Si(fn)n∈Nes una sucesión de

fun-ciones integrables no negativas, entonces Z Ω l´ım inf n→∞ fndx≤l´ım infn→∞ Z Ω fndx. Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 55 ].

Teorema 1.13 (Convergencia Dominada de Lebesgue) Sea (fn)n∈N es una sucesión de

fun-ciones integrables. Supongamos que: i) fn(x)→ f(x)c.t.p. enΩ.

ii) Existe una función g∈L1(Ω)tal que, para todo n;|f(x)| ≤ g(x)c.t.p. enΩentonces:

l´ım n→∞ Z Ω fn(x)dx= Z Ω f(x)dx.

Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 54 ].

Teorema 1.14 Sea f :Rm+k _→[0_,+∞]_{medible. Entonces:}

(i) La función de la variable y∈Rk_{, f(x,·) : y7−→ f(x,y), es medible para casi todo x∈R}m_.

(ii) La función g, definida para casi todo x por g(x)=

Z f(x,y)dy es medible. (iii) Z g dx= Z

f , es decir la integral de f coincide con sus integrales iteradas.

Demostracion´ .- Ver [ 15 Pág. 18 ].

La demostración de este teorema generalmente se reduce al caso en que f =_χE, la función característica de un conjunto medibleEy se hace uso de los siguientes hechos:

(a) Si una función f ≥0 satisface el teorema de Tonelli, entonces también lo satisface la

funciónc f ≥0, cualquiera que sea la constantec≥0.

(b) Si (fk)k∈N es una sucesión de funciones no negativas que satisfacen el teorema de

Tonelli, entonces también lo satisface la funciónX fk.

Teorema 1.15 (Teorema de Fubini) Sea f :Rm+k _−→[0_,+∞]_{integrable. Entonces:}

(i) La función de la variable y∈Rk_{, f(x,·) : y7−→ f(x,y), es integrable para casi todo x∈R}m_.

(ii) La función g, definida para casi todo x por g(x)=

Z f(x,y)dy es integrable. (iii) Z g dx= Z f . Demostracion´ .- Ver [ 15 Pág. 19 ].

Teorema 1.16 (Teorema de representación de Riesz) Sea X un espacio de Hilbert y x∗_{∈ X}∗_. Entonces existe un único y∈X tal que x∗_{(x)=hx,yi, para todo x∈X y en este casokx}∗_k

X∗ =kyk_X.

Definición 1.26 Sea X un espacio vectorial sobre un campo R_{; llamamos espacio dual} alge-bráicode X, que denotamos por, X∗_{, al espacio vectorial}

X∗={x∗ :X→R_/x∗ _{es lineal y continuo}.}

En este espacio disponemos de una norma

kx∗k=´ınf{K>0 : |x∗| ≤Kkxk para todo x∈X}

=sup{|f(x)|: x∈X, kxk ≤1} para todo x∗_∈X∗_.

La completitud deR_{nos asegura que X}∗_{es un espacio completo. El espacio de Banach X}∗_{recibe el} nombre dedual topológicodel espacio normado X.

1.2.3. Espacios Reflexivos

SiXes un espacio normado, el espacio bidual, también llamado segundo dual de X, es

el espacio de BanachX∗∗ _:=(X∗₎∗_=L(X∗_{,R), con norma}

kx∗∗k:=sup{|x∗∗(x∗)|: x∗ ∈BX∗}

=m´ın{K>0 : |x∗∗(x∗)| ≤Kkx∗k para todo x∗ ∈X∗}.

De la desigualdad ,|x∗_{(x)| ≤ kx}∗_{k kxk}

X, válida para cualquierx ∈ X y x∗ ∈ X∗, deducimos

que los elementos deXson funcionales lineales continuos enX∗_. Observación:Definiendo el operador

J : X−→ X∗∗

x7−→ Jx : X∗−→R

f : 7−→Jx, f=f,x

resulta que es lineal, inyectivo e isométrico.

Este operador se llama la inyección conónica deXenX∗∗

Definición 1.27 Se dice que un espacio de Banach es reflexivocuando la inyección canónica de X en X∗∗ _{es sobreyectiva, es decir, cuando J(X)=X}∗∗_.

Teorema 1.17 Sea1<p<+∞:Lp_{(Ω)es reflexivo.}

Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 59 ].

Proposición 1.7 Sea(fn)n∈Nuna sucesión creciente en C₀(Ω), que converge puntualmente a una

función f ∈C0(Ω). Entonces(fn)n∈N converge uniformemente a f.

Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 14 ].

1.3. Distribuciones

Definición 1.28 La n-upla α = (_{α1, α2, ..., αn}) se llama multi-índice natural si αi ∈ N,

i=1,2, ...,n. El orden deαes el mínimo |α|= n X j=1 αj

La suma de dos multi-índices,α, βesα+β=(α1+β1, α2+β2, ..., αn+βn). Decimos queβ≤αsi

βj ≤αj para todo j=1,2, ...,n. Para denotar la derivada parcial haremos

Dαφ= ∂ α1 ∂xα1 1 · ∂ α2 ∂xα2 2 · · · ∂ αn ∂xαn n =Dα1 1 ·Dα22 · · ·Dαnn, conviniendo que D(0,0,...,0)φ=φ.

Por otra parte, el gradiente de una función de valores realesφes denotado por Dφ(x) :=(D1φ(x),D2φ(x), ...,Dnφ(x)).

Definición 1.29 (Continuamente compacto) Si G ⊂ Rn_{es no vacío, diremos que G es}

conti-nuamente compacto enΩy denotado por G⋐_{Ω , si G⊂Ωy G es compacto.}

Sea Ω un dominio en Rn_{, una sucesión} n_φ j

o

j∈N de funciones en C

∞

0 (Ω) es llamada

con-vergente en el sentido del espacioD(Ω) a la función_φ∈C∞

0 (Ω) si satisface las siguientes

propiedades:

(ii) l´ım

j→∞D

α_φ

j(x)=Dαφ(x) uniformemente enKpara cada multi-índiceα∈Nn.

Las propiedades de la convergencia denφj

o

j∈Ndefinen una topologíaτlocalmente convexa

en el espacio vectorialC∞

0 (Ω). Por lo tantoC∞0(Ω) dotado de esta topología es un espacio

vectorial topológico, que denotamosD(Ω), asíD(Ω)=(C∞

0(Ω), τ).

El espacio de distribuciones (o espacio de Schwartz) enΩes el conjunto

D′(Ω)={T: D(Ω)−→N: _Tes lineal y continua}

que es un espacio vectorial con las operaciones usuales de aplicaciones; ParaS,T∈ D′_{(Ω) yc ∈R :}

(S+T)(φ)=S(φ)+T(φ), para cadaφ∈ D(Ω). (cT)(φ)=cT(φ), para cadaφ∈ D(Ω) yc ∈R.

El espacio D′_{(Ω) es dotado con una convergencia: una sucesión {T}

n}j∈N converge a

T ∈ D′(Ω) si Tn(φ) → T(φ) en R para toda φ ∈ D(Ω). En este caso, se dice que {Tn}j∈N

converge aTen el sentido distribucional.

Una funciónudefinida en casi todas partes (ctp) enΩ, es llamada localmente integrable

enΩsiempre queu∈L1(U) para cada abiertoU⋐_Ω, en este caso denotaremos_{u∈ L}1

loc(Ω).

Ejemplo. Para cadau∈L1_loc(Ω). El funcionalTu: D(Ω)−→Rdefinida por

Tu(φ) := Z Ω u(x)φ(x)dx, φ∈ D(Ω), (1.1) es una distribución. En efecto, seanφ1, φ2∈ D(Ω) yβ ∈C Tu(φ1+βφ2)= Z Ω u(x)(φ1+βφ2)(x)dx = Z Ω u(x)(φ1(x)+βφ2(x))dx = Z Ω u(x)φ1(x)dx+β Z Ω u(x)φ2(x)dx =Tu(φ1)+βTu(φ2).

Por lo tanto se verifica queTues lineal.

Observación. No todas las distribucionesT∈ D′_{(Ω) tienen la formaT}

udefinida en (1.1)

para algúnu∈L1_loc(Ω).

En efecto, seaδ: D(Ω)→Rdada por_δ(_φ)_=φ(0), para toda_{φ∈ D}(_Ω).

Siφ1, φ2 ∈ D(Ω) yβ∈C

δ(φ1+βφ2)=(φ1+βφ2)(0)=φ1(0)+βφ2(0)=δ(φ1)+βδ(φ2).

por lo tantoδes lineal.

Además, si nφj

o

j∈N es una sucesión en D(Ω) tal que φj → φ en el sentido D(Ω), existe

K ⋐ _Ωtal que_Sopp(_{φj −φ}) _{⊂ K}para cada _jy l´ım

j→∞D

α_φ

j(x) = Dαφ(x) uniformemente en K

para cada multi-índiceα. Por lo tanto

|_δ(_φj)−_δ(_φ)|=|_φj(0)−_φ(0)| →0_,cuandoj→ ∞

En consecuencia,δ∈ D′_(Ω).

Veamos queδ(0)es una distribución que no satisface (1.1). En efecto, supongamos queδ(0)

satisface (1.1), entonces existe una funciónu∈L1_loc(Ω) de manera que:

φ(0)=

Z

Ω

u(x)φ(x)dx , para todo φ∈ D(Ω)_. (1.2) Consideremos la función de prueba definida por:

φa(x)=          e a 2 kxk2−a2, si kxk<a 0, si kxk>a

cona>0, notemos que

φa(0)=e−1 >0 (1.3)

Z Rn u(x)φa(x)dx ≤ Z Rn |u(x)| |φa(x)|dx = Z kxk<a |u(x)| |_φa(x)|dx ≤ Z kxk<a |u(x)|e−1dx =e−1 Z kxk<a |u(x)|dx.

Siues localmente integrable entonces l´ım

a→0

Z kxk<a

|u(x)|dx=0 se sigue entonces que l´ım a→0 Z Ω |u(x)|_φa(x)dx=0_, lo cual contradice (1.2)

1.3.1. Derivada de una distribución

Definición 1.30 Sea Ω ⊆ Rn _{un conjunto abierto y T ∈ D}′_{(Ω) una distribución. Dado un} multi-índiceαdefinimos laα−ésima derivada de T como

(DαT) (φ)=(−1)|α|T(Dαφ), para todo φ∈ D(Ω).

Observación. Dα_{Tes una distribución, para todaT ∈ D}′_(Ω). Ejemplo.

1. Si 0∈Ωyδ∈ D′_{(Ω) es la distribución de Dirac entonces,D}α_{δviene dada por:}

Dαδ(φ)=(−1)|α|Dα(0).

2. SiΩ =Ry_H∈L1

loc(Ω) es la función definida por:

H(x)=          1, si x≥0 0, si x<0.

hallemosH′ enD′_(R)

Seaφ∈ D(R) con soporte compacto en [_−a,a] entonces

(TH)′φ=(−1)|1|TH(φ′) =−TH(φ′) =− Z R H(x)φ′(x)dx =− Z a −a H(x)φ′_(x)dx =− Z 0 −a H(x)φ′(x)dx− Z a 0 H(x)φ′(x)dx =− Z a 0 H(x)φ′(x)dx =− Z a 0 φ ′₍ x)dx =−_φ(x) a 0 =−(φ(a)−φ(0)) =φ(0)=δ(φ).

Por lo tanto (TH)′ es la distribución de Dirac por lo que (TH)′ es una distribución.

Definición 1.31 SeaΩ⊆Rn_{un conjunto abierto, u∈L}1

loc(Ω)yαun multi-índice. Si existe una

función vα∈ L1_loc(Ω)de tal manera que

Tvα(φ)=D

α_T

u(φ) para todo φ∈ D(Ω),

entonces vαes llamada laα−ésima derivada (distribucional) débil de Tu.

1.4. Espacios de Sobolev

Los espacios de Sobolev constituyen una herramienta matemática importante en el desarrollo de la teoría de las ecuaciones diferenciales, el análisis, Física matemática, geo-metría diferencial y otros campos de las ciencias e ingeniería.

A continuación introducimos los espacios de Sobolev de orden entero y establecemos algunas de sus más importantes propiedades.

Definición 1.32 SeanΩ ⊆ Rn _{un conjunto abierto , 1 ≤ p ≤ ∞y m un entero no negativo. El}

conjunto

Wm,p(Ω)={u∈Lp(Ω)_/Dαu∈Lp(Ω)_,|u| ≤m} es llamadoEspacios de Sobolev sobreΩ. Dotado del funcional

kuk_m,p =        X 0≤|α|≤m kDαukp_p        1 p , si 1≤p<∞_. (1.5)

resulta ser un un espacio normado.

Es evidente que kukm,p ≥ 0, además si kukm,p = 0 implica que

       X 0≤|α|≤m kDαukp_p        1 p = 0, y en consecuenciakDα_ukp

p=0, para todo 0≤ |α| ≤m. En particular paraα=0 se tiene que

kDαukp_p =kD0ukp_p=kukp_p =0,

de lo cual se obtieneu=0.

La homogeneidad del funcional se verifica, dado que la derivada y de la norma satisfacen dicha propiedad: kβukm,p =        X 0≤|α|≤m kDα(βu)kp_p        1 p =        X 0≤|α|≤m k_βDαukp_p        1 p =        X 0≤|α|≤m |β|pkDαukp_p        1 p =|β|        X 0≤|α|≤m kDαukp_p        1 p .

y para finalizar, la desigualdad de Hölder, nos garantiza que el funcional satisface la desigualdad triangular: ku+vk_m,p =        X 0≤|α|≤m kDα(u+v)kp_p        1 p =        X 0≤|α|≤m kDαu+Dαvkp_p        1 p ≤        X 0≤|α|≤m kDαukp_p        1 p +        X 0≤|α|≤m kDαvkp_p        1 p =kukm,p+kvkm,p

Teorema 1.18 Wm,p_{(Ω)es un espacio de Banach.}

Demostracion´ .- Ver [ 24 Pág. 57 ]. Observación: (1) Wm,p(Ω) es un subespacio cerrado deLp_(Ω). (2) Sip=2 tenemos Wm,2(Ω)=nu∈ L2(Ω)_/Du∈L2(Ω) _, |u| ≤m ∀mo=Hm(Ω) es un espacio de Hilbert.

En este espacio introducimos la forma bilineal (u,v)Hm_(Ω) = X |α|≤m (Dαu,Dαv)L2(Ω) = X |α|≤m Z Ω Dαu.Dαvdx

que resulta ser un producto interno inducido por la norma

kuk_Hm_(Ω) =(u,u)1/2=        X |α|≤m Z Ω |Dαu|2dx        1/2

(3) Sim=1 tenemos H1(Ω)=nu∈L2(Ω)/Du∈L2(Ω), |u| ≤2o kuk_H1_(Ω) = kuk2_L2_(Ω)+k∇uk2_L2_(Ω) 1/2 .

Proposición 1.8 Sea α un multi-índice, (un)n∈N ⊆ Lp(Ω) y u,vα ∈ Lp(Ω) tal que un → u y

Dα_u

n→vα en Lp(Ω). Entonces vα =Dαu.

Demostracion´ .- Ver [ 24 Pág. 27 ].

Teorema 1.19 SeanΩ⊆Rn_{un conjunto abierto no vacío, k ≥1un entero y p∈[1,∞). Se tiene}

(a) Wk,p_{(Ω)es un espacio reflexivo si p∈(1,∞).}

(b) Wk,p_{(Ω)es un espacio separable si p∈[1,∞).}

Demostracion´ .- Ver [ 1 Pág. 121 ].

Observación. Los espaciosWk,1_{(Ω) yW}k,∞_{(Ω) no son reflexivos.}

Definición 1.33 Sea k≥1un entero y p∈[1,∞). Definimos W₀k,p(Ω)como la clausura deD(Ω)

en Wk,p_{(Ω), es decir,}

W₀k,p(Ω)≡ D(Ω)k·kk,p.

En el caso particular en que p=2, es usual usar la notación H0k(Ω)≡Wk,02(Ω).

Observación.

1. u ∈ W₀k,p(Ω) si y solo si existe una sucesión (ϕn)n∈N ⊆ D(Ω) tal que ϕ_n → u en

Wk,p_{(Ω), esto es: existe (u}

ν)ν∈N, tal queDαϕn →DαuenLp(Ω), para todo 0≤ |α| ≤k.

2. Utilizando la convolución con una sucesión regularizaste, podemos comprobar que

Ck

0(Ω)⊆W

k,p

0 (Ω), para todok≥1,p∈[1,∞).

Teorema 1.20 (Desigualdad de Poincaré) Sea Ω abierto acotado de Rn _{de frontera Γ bien}

regular, entonces existe C∗>0tal que

kuk_p ≤C∗       n X i=1 ∂u ∂xi p p dx       1/p ∀u ∈W₀1,p(Ω) ; 1 <p<∞ =k∇uk_p

Si p=2entonces W₀1,2(Ω)=H₀1(Ω)por teorema de Poincare kuk₂≤ k∇uk₂ ∀u ∈ H1₀(Ω)

Demostracion´ .- Ver [ 4 Pág. 134 ].

Observación. ∃C0,C1 >0 tal que

C0kukH₀1(Ω)≤ k∇ukL2 ≤C1kukH₀1(Ω) , ∀u∈H10(Ω)

Asociado a esta norma tenemos el producto interno ((u,v))H1₀(Ω) =(∇u,∇v)L2(Ω)

Proposición 1.9 (Desigualdad de Hardy-Sobolev) Si u ∈ H₀1(Ω), entonces u ϕ1 ∈ Lq(Ω) donde 1 q = 1 2 − 1−r

N , 0 < r ≤ 1, y entonces existe una constante C>0tal que

u ϕr 1 _Lq_(Ω) ≤Ck∇uk_L2_(Ω) ∀u ∈ H1₀(Ω) Demostracion´ .- Ver [ 8 Pág. 2 ].

Proposición 1.10 SeaΩun conjunto abierto deRn_{,de clase C}1_{,con frontera acotada. sean m≥}1

un entero y1≤p<∞_.Entonces tenemos las siguientes inmersiones continuas: Si 1 p − m N >0, entonces W m,p_(Ω)֒→Lq_(Ω)donde 1 q = 1 p − 1 N, Si 1 p − m N =0, entonces W m,p_{(Ω)֒→ L}q_{(Ω)∀q∈p,+∞,} Si 1 p − m N <0, entonces W m,p_{(Ω)֒→ L}∞_(Ω)

Demostracion´ .- Ver [ 15 Pag. 168].

Teorema 1.21 (Inmersión Compacta)

SeaΩabierto acotado deRn_{bien regular j ≥0,m≥1 , 1≤p<+∞entonces}

(i) si m< n

p ⇒ W

j+m,p_{(Ω)֒→−}c _Wj,q_{(Ω) 1≤q <} np

(ii) si m= n p ⇒ W j+m,p_{(Ω)֒→−}c _Wj,q_{(Ω) 1≤q <∞} (iii) si m> n p ⇒          a) Wj+m,p_{(Ω)֒→−}c _Wj,q_{(Ω) ; 1≤q<∞} b) Wj+m,p_{(Ω)֒→−}c _Wj_(Ω)

Demostracion´ .- Ver [ 12 Pag. 102].

En particular, se tiene las siguientes dos proposiciones:

Proposición 1.11 Sea Ω un conjunto abierto de Rn_{, de clase C}1_{, con frontera acotada. Sean}

1≤p≤ ∞, entonces tenemos las siguientes inmersiones continuas: Si 1≤p<N, entonces W1,p_(Ω)֒→Lp∗ (Ω)donde 1 p∗ = 1 p − 1 N, Si p=N, entonces W1,p_(Ω)֒→Lq_{(Ω)∀q∈p,+∞,} Si p>N, entonces W1,p_(Ω)֒→L∞_(Ω)

Demostracion´ .- Ver [ 4 Pag. 168].

Proposición 1.12 (Rellich-Kondrachov) SeaΩun conjunto abierto y acotado de Rn_{, de clase}

C1.Entonces tenemos las siguientes inmersiones compactas: Si p<N, entonces W1,p(Ω)֒→c Lq_{(Ω)∀q∈1,p}∗_donde 1 p∗ = 1 p − 1 N, Si p=N, entonces W1,p_(Ω)֒→c _Lq_{(Ω)∀q∈[1,+∞[} Si p>N, entonces W1,p_(Ω)֒→c _C(Ω)

Demostracion´ .- Ver [ 24 Pag. 89].

Teorema 1.22 (Principio del máximo fuerte)

SeaΩ⊂Rn _{un abierto acotado y u}∈ C(Ω)∪C2(Ω)tal que∆u≤ 0 (∆u≥0)enΩy suponga que existe un punto y∈Ωtal que u(y)=sup

∂Ω

u , (u(y)=´ınf

∂Ω u). entonces u es constante.

Teorema 1.23 (Principio del máximo débil)

SeaΩ⊆Rn_{un abierto acotado y u ∈C}(Ω)_∩C2(Ω)_{tal que∆u≤} 0 (_∆u≥0)_{enΩ, entonces .}

sup Ω u=sup ∂Ω u , (´ınf Ω u=´ınf∂Ω u).

Demostracion´ .- Ver [ 20 Pag. 15].

Teorema 1.24 (Teorema de Green)

SeaΩabierto acotado, bien regular, de fronteraΓ =∂Ω. Entonces Z Ω (−∆u)vdx= Z Ω ∇u.∇vdx− Z Γ ∂u ∂v.vdΓ ,∀ u∈H 2_{(Ω), ,∀ v∈ H}1_(Ω)

Demostracion´ .- Ver [ 26 Pag. 102].

Teorema 1.25 (Teorema del ángulo agudo)

Sea F : Rm −→ Rm _{una aplicación contínua, si existe R >} 0 _{tal quehF}(_ξ)_{, ξi ≥} 0_,∀|_ξ| = R, entonces existeξ0∈ B(0,R)tal que F(ξ0)=0

Capítulo 2

Existencia y unicidad de soluciones de

un problema elíptico de Kirchho

ff

con

término singular

2.1. Existencia de la Solución

(2) −M Z Ω |∇u|2 ! ∆udx= h(x) uγ +k(x)u α _enΩ u>0 enΩ u=0 en∂Ω

dondeΩes un abierto, acotado, bien regular deRn, con frontera_∂Ω,_M: R_−→Res una

función continua satisfaciendo

(M1) existemo yθ1 >0 tal que

M(t)≥m0 si t≥θ1

(M2) θ2=sup{t>0 ; M(t)≤0}>0

Nuestro problema consiste en determinar la existencia de soluciones débiles de éste siste-ma; también investigaremos la unicidad de la solución, para

M(s)=m0+bs , s∈R+ , m0 >0 , b≥0. En adelante denotaremos kuk= Z Ω |∇u|2dx !1/2 , ∀u∈H₀1(Ω) _, kuk_H1 0(Ω) =kuk

Teorema 2.1.1 Sea h,k:Ω−→R_{funciones continuas y positivas.α, γ∈}(0_,1)_y

M:R+ →R_{una función continua, donde}R+ =[0_,+∞_>que satisface (M1) ∃ mo >0,θ1 >0tal que M(t)≥m0 si t≥θ1

(M2) θ2=sup{t>0 ; M(t)≤0}>0

entonces el problema(2)posee una solución positiva.

Para demostrar el teorema (2.1.1) consideremos cuatro lemas.

Lema 2.1 Para cada número fijoε >0, el problema: −M(kuk2)∆u= h(x) (ε+u)γ +k(x)u α en Ω u>0 en Ω u=0 en ∂Ω (2.1)

posee una solución uε

Demostracion´ .- Para la demostración del Lema consideramos el siguiente problema:

−M+(kuk2)∆u= h(x) (ε+|u|)γ +k(x)|u| α _{en Ω} u>0 en Ω u=0 en _∂Ω (2.2)

dondeM+ _:R+ _{−→Res dado por}

M+(t)=                0 si 0≤t≤θ2 M(t) si t> θ2

Primero motivaremos la construcción de la definición de solución débil de (2.2), de una manera formal.

Multiplicando la ecuación (2.2) con v suficientemente regular y luego integrando en Ω obtenemos: −M+_(kuk2₎ Z Ω ∆u.vdx= Z Ω h(x) (ε+|u(x)|)γv(x)dx+ Z Ω k(x)|u(x)|α v dx M+_(kuk2₎ Z Ω −∆u vdx= Z Ω h(x) (ε+|u|)γvdx+ Z Ω k(x)|u|αv dx

Parau∈C2(Ω)∩C1(Ω) yv∈ C1(Ω)∩C(Ω), por teorema de Green se tiene

Z Ω −∆u vdx= Z Ω ∇u.∇v dx− Z Γ ∂u ∂ηv dΓ (2.3) Utilizando (2.3) tenemos: M+_(kuk2₎ "Z Ω ∇u.∇vdx− Z Γ v∂u ∂ηdΓ # = Z Ω h(x) (ε+|u|)Γvdx+ Z Ω k(x)|u(x)|αv dx

Como no conocemosven la frontera∂Ω = Γentonces imponemosv|_∂Ω =0 Luego tenemos M+(kuk2) Z Ω ∇u.∇vdx= Z Ω h(x) (ε+|u|)γvdx+ Z Ω k(x)|u|αv dx (2.4)

Lo que permite dar la siguiente definición.

i) u∈H1₀(Ω) ii) M+_(kuk2₎ Z Ω ∇u.∇vdx= Z Ω h(x) (ε+|u|)γvdx+ Z Ω k(x)|u|αv dx , ∀v∈H₀1(Ω)

Veamos que esta definición es consistente, esto es

Z Ω ∇u.∇vdx , Z Ω h(x) (ε+|u|)γvdx , Z Ω k(x)|u|αv(x)dx son finitos (a) Z Ω ∇u.∇vdxes finito, pues Z Ω ∇u.∇vdx ≤ Z Ω |∇u| |∇v|dx ≤ Z Ω |∇u|2 !1/2 Z Ω |∇v|2 !1/2

por desigualdad de Holder = k∇uk_L2k∇vk_L2 = kuk_H1 0(Ω) kvkH10(Ω) <∞ (b) Z Ω h(x) (ε+|u|)γvdxes finito, pues khk_∞=supnh(x)/x∈Ωo ε≤ |u(x)|+_ε⇔(_ε)γ ≤ (|u(x)|+_ε)γ Ahora 1 (|u(x)|+_ε)γ ≤ 1 εγ entonces |v(x)| |u(x)|+ε ≤ |v(x)| εγ ; para v∈H 1 0(Ω) luego Z Ω h(x).v(x) (ε+|u(x)|)γ ≤ Z Ω h(x)|v(x)| (ε+|u(x)|)γdx ≤ khk_∞ Z Ω |v(x)| (ε+|u(x)|)γdx ≤ khk_∞ Z Ω |v(x)| εγ dx

= khk∞ εγ Z Ω |v(x)|dx = Cε Z Ω |v(x)|dx ; Cε = khk_∞ εγ = Cε Z Ω

1. |v(x)|dx ; por desigualdad de Holder ≤ Cε Z Ω 12 _dx !1/2 . Z Ω |v|2dx !1/2 = Cε(m(Ω) )1/2kvkL2(Ω) ≤ CεC1(m(Ω) )1/2kvkH1₀(Ω) = Ckvk_H1 0(Ω) <∞ , pues H 1 0(Ω)֒→L2(Ω) , C=CεC1(m(Ω) )1/2 entonces Z Ω h(x).v(x) (ε+|u(x)|)γdx ≤CkvkH10(Ω) <∞ (c) Z Ω k(x) |u(x)|α v(x)dx es finito. En efecto, Z Ω k(x) |u(x)|α v(x)dx ≤ Z Ω |k(x)| |u|α |v| dx ≤ kkk_∞ Z Ω |u|α|v|dx ≤ kkk_∞ Z Ω |u| |v| dx pues 0< α <1 , |u|α ≤ |u| ≤ kkk_∞ Z Ω |u|2 dx !1/2 Z Ω |v|2 !1/2

por desigualdad de Holder

≤ kkk_∞kuk_L2_(Ω).kvk_L2_(Ω)

≤ kkk_∞Ckuk_H1

0(Ω).kvkH10(Ω) pues H

1

0(Ω)֒→L2(Ω)

Z Ω k(x) |u(x)|α v(x)dx ≤ C ∗_k uk_H1 0(Ω).kvkH10(Ω) <∞ donde C ∗_=k kk_∞C

Continuemos con la prueba del Lema 2.1.

Para probar la existencia de solución débil de (2.3) emplearemos el Método de Galerkin. ComoH₀1(Ω) es un espacio de Hilbert separable entonces tiene una base Hilbertiana_{ψn n≥1} tal que (i) (ψi, ψj)=0 ; i, j (ii) ψi =1

Denotamos para cadam∈N

Vm = gen{ψ1, ψ2, ψ3, ..., ψm} ≡[ψ1, ψ2, ψ3, ..., ψm]⊆H₀1(Ω) Seau∈ Vm ; u= m X j=1 ξjψj Definamos Φ: Vm −→ Rm u 7−→ Φ(u)=(ξ1, ξ2, ..., ξm)

Resulta queΦes un isomorfismo isométrico, ya que:

(i) Φes una transformación lineal, suryectiva.

(ii) kuk2_H1

0(Ω) =kξkR

m dondeξ=(ξ₁, ξ₂, ..., ξ_m)

Probemos cada caso.

(i) Seau= m X j=1 ξjψj , v= n X j=1 ηjψj Φ(_αu+_βv) = Φ        α m X j=1 ξjψj+β n X j=1 ηjψj         = Φ         m X j=1 αξj+βηj ψj         = αξ1+βη1, αξ2+βη2, ..., αξm+βηm = (_{αξ1, αξ2, ..., αξm})+ _{βη1, βη2, ..., βηm} = α(ξ1, ξ2, ..., ξm)+β η1, η2, ..., ηm = _αΦ(u)+_βΦ(v)

Además paraξ=(ξ1, ξ2, ..., ξm)∈Rm , ∃u= m X i=1 ξjwj ∈Vm : Φ(u)=ξ. (ii)Sea u∈Vm kuk2 H₀1(Ω)= Z Ω |∇u|2dx=(u,u)=         m X i=1 ξiψi, m X j=1 ξjψj         H1₀(Ω) = m X i=1 ξi        ψi, m X j=1 ξjψj         = m X i=1 ξi         m X j=1 ξj ψi, ψj         = m X i=1 ξiξ1 ψi, ψ1+ξ2 ψi, ψ2+...+ξi ψi, ψi+...+ξm ψi, ψm = m X i=1 ξi.ξi = m X i=1 |_ξi |2=k_ξk2Rm , donde , ξ=(ξ1, ξ2, ..., ξm) entonces tenemos , kuk2 H1₀(Ω) =kξk 2 Rm,

De (i) y (ii)Φes un isomorfismo isométrico. Así identificamosu≡_ξ.

Nuestro objetivo es encontraru=

m

X

j=1

ξjψj ∈ Vm que verifique el sistema

aproxima-do: (S.A) M+_(kuk2₎ Z Ω ∇u.∇ψjdx= Z Ω h(x)ψj(x) (ε+|u|)γdx+ Z Ω k(x)|u|α.ψj(x)dx ∀j=1,2, ...,m Explicitamente                                      M+_(kuk2₎ Z Ω ∇u.∇_ψ1(x)dx= Z Ω h(x)ψ1(x) (ε+|u|)γdx+ Z Ω k(x)|u|α_.ψ1(x)dx M+_(kuk2₎ Z Ω ∇u.∇_ψ2(x)dx= Z Ω h(x)ψ2(x) (ε+|u|)γdx+ Z Ω k(x)|u|α_.ψ2(x)dx ... M+_(kuk2₎ Z Ω ∇u.∇ψm(x)dx= Z Ω h(x)ψm(x) (ε+|u|)γ dx+ Z Ω k(x)|u|α.ψm(x)dx

Para encontrar una solución de (S.A) usaremos el teorema del ángulo agudo. SeaF: Rm −→Rmtal que

F(ξ)=(F1(ξ),F2(ξ,F3(ξ)), ...,Fm(ξ)) dondeξ=(ξ1, ξ2, ..., ξm) Definimos Fj(ξ)=M+(kuk2) Z Ω ∇u.∇ψjdx− Z Ω h(x)ψj(x) (ε+|u|)γdx− Z Ω k(x)|u|α.ψj(x)dx ; ∀j=1,2, ...,m Luego hF(ξ), ξiRm = m X j=1 Fj(ξ)ξj = m X j=1 M+(kuk2) Z Ω ∇u.∇_ψjdx− Z Ω h(x)ψj(x) (ε+|u|)γdx− Z Ω k(x)|u|α_.ψj(x)dx ! ξj = m X j=1 ξj h M+(kuk2)i Z Ω ∇u.∇_ψjdx− m X j=1 Z Ω h(x)ξjψj(x) (ε+|u|)γ dx − m X j=1 Z Ω k(x)|u|αξjψj(x)dx = M+(kuk2) Z Ω ∇u.∇         m X j=1 ξjψj         dx− Z Ω h(x) (ε+|u|)γ m X j=1 ξjψjdx − Z Ω k(x)|u(x)|α m X j=1 ξjψjdx = M+(kuk2) Z Ω ∇u∇udx− Z Ω h(x)u(x) (ε+|u|)γdx− Z Ω k(x)|u(x)|αudx = M+(kuk2)kuk2− Z Ω h(x)u(x) (ε+|u|)γdx− Z Ω k(x)|u(x)|αu dx

Luego tenemos que

hF(ξ), ξi=M+_(kuk2_)kuk2₋ Z Ω h(x)u(x) (ε+|u|)γdx− Z Ω k(x)|u|αu dx (2.5)

Con la finalidad de conseguirhF(ξ), ξi ≥0, hacemos estimaciones para cada uno de

los términos a la derecha de (2.5). Probemos que: (a) Z Ω h(x)u (ε+|u|)γ ≤ khk∞ Z Ω |u| εγ ≤Cξkuk (b) Z Ω k(x)|u|αu dx≤ kkk_∞ Z Ω |u|α+1 ≤Ckukα+1 . En efecto: (a) ε ≤ ε+|u(x)| entonces (ε)γ _{≤ (ε+|u(x)|)}γ así 1 (ε+|u(x)|)γ ≤ 1 εγ como u(x)≤ |u(x)| entonces u(x) (ε+|u(x)|)γ ≤ |u(x)| (ε+|u(x)|)γ ≤ |u(x)| εγ luego h(x)u(x) (ε+|u(x)|)γ ≤ h(x)|u(x)| εγ pues h(x)≥0 integrando Z Ω h(x)u(x) (ε+|u|)γdx ≤ Z Ω h(x)|u(x)| εγ dx ≤ khk∞ εγ Z Ω |u(x)|dx entonces Z Ω h(x)u(x) (ε+|u|)γdx ≤ khk∞ Z Ω |u(x)| εγ dx ≤ khk∞ εγ Z Ω |u(x)|dx = khk∞ εγ kukL1(Ω) ≤ C khk∞ εγ kukH01(Ω) pues H 1 0(Ω)֒→ L1(Ω)

Así tenemos Z Ω h(x)u(x) (ε+|u|)γdx≤CεkukH10(Ω) , donde Cε = C khk_∞ εγ . y − Z Ω h(x)u(x) (ε+|u|)γdx≥ −Cεkuk . (2.6)

(b) Probaremos ahora que

Z Ω k(x)|u|αu dx≤Ckukα+1 En efecto u(x)≤ |u(x)| ⇔u(x)|u(x)|α ≤ |u(x)|α+1 k(x)u(x)|u(x)|α ≤ k(x)|u(x)|α+1 pues k(x)≥0 integrando Z Ω k(x)u(x)|u(x)|αdx ≤ Z Ω k(x)|u(x)|α+1dx ≤ kkk_∞ Z Ω |u(x)|α+1dx = kkk_∞kukα_L+1α+1_(Ω) como 0 < α <1⇒1_{< α}+1_<2 entonces H1₀(Ω)֒→L2(Ω)֒→Lα+1_(Ω)

entonces existe C1 >0 tal que kukα_Lα+1+1_(Ω) ≤ C1kukα_H+11

0(Ω) y Z Ω k(x)u(x)|u(x)|αdx ≤ kkk_∞kukα_L+1α+1_(Ω) ≤ C1kkk∞kukα+1 ≤ Ckukα+1

Así tenemos, que

Z Ω k(x)u(x)|u(x)|αdx ≤ Ckukα+1 ; C=C1kkk∞ , y − Z Ω k(x)u(x)|u(x)|αdx≥ −Ckukα+1 (2.7)

Seakuk_H1 0(Ω) =kuk hF(ξ), ξi = M+(kuk2)kuk2− Z Ω h(x)u(x) (ε+|u|)γdx− Z Ω k(x)|u|αu(x)dx

≥ M+(kuk2)kuk2−Cεkuk −Ckukα+1por las desigualdades (2.6) y (2.7)

Como : M+(t)=                0 si 0≤t≤θ2 M(t) si t≥θ2 Si tomamoskuk2 ≥_θ1 entonces M+_(kuk2_)=M(kuk2_)≥m 0 entonces hF(ξ), ξi ≥ M+(kuk2)kuk2−Cεkuk −Ckukα+1 ≥ m0kuk2−Cεkuk −Ckukα+1

Si consideramoskuk=|_ξ|=r ; pues Vm ≈Rm, donderes suficientemente grande

entonces hF(ξ), ξi ≥ m0r2−Cεr−Crα+1, ∀ |ξ|=r Sea p(r)=r2m0−Cεr−Crα+1 , donde r>0 ; r=|u|2 ≥θ1 queremos que r2m0−Cεr−Crα+1≥0 ⇔ r[rm0−Cε−C rα]≥0 ⇔ rm0−C rα ≥Cε ⇔ m0−C rα−1 ≥ Cε r >0 pues Cε>0 ⇔ m0 > C r1−α ⇔ r > _C m0 1−1α , 0<1−_{α <}1 pararε = _C m0 +1 1−1α > _C m0 1−1α

Así tenemos quehF(ξ), ξi ≥0 para |_ξ|=rε, donde rε >m´ax       θ1, _C m0 1−1α       

Luego por el teorema del ángulo agudo tenemos que existeεm

0 ∈Br(0) ; F(εm₀)=0 ComoVm ≈Rm ⇒ εm₀ ≡um ∈Vm ; εm₀ =kumk ≤rε, donderεno depende dem EntoncesF(um)=θ ⇒ Fj(um)=0 para j=1,2,3, ...,m.

Por lo que (S.A) admite una solución.

Observación:En (S.A) podemos reemplazarψj, porψ∈Vm.

En efecto M+_(ku mk2) Z Ω ∇um.∇ψj(x)dx− Z Ω h(x)ψj(x) (ε+|um|)γ dx− Z Ω k(x)|um|α.ψj(x)dx=0 M+(kumk2) Z Ω ∇um.∇ψj(x)dx= Z Ω h(x)ψj(x) (ε+|um|)γ dx+ Z Ω k(x)|um|α.ψj(x)dx (2.8)

Aplicando sumatoria a (2.8) tenemos

m X j=1 ηjM+(kumk2) Z Ω ∇um.∇ψj(x)dx = m X j=1 ηj Z Ω h(x)ψj(x) (ε+|um|)γ dx + m X j=1 ηj Z Ω k(x)|um|α.ψj(x)dx M+(kumk2) Z Ω ∇um.∇( m X j=1 ηjψj(x))dx = m X j=1 ηj Z Ω h(x)( m X j=1 ηjψj(x)) (ε+|um|)γ dx + m X j=1 ηj Z Ω k(x)|um|α.( m X j=1 ηjψj(x))dx M+(kumk2) Z Ω ∇um.∇ψ(x)dx= Z Ω h(x)ψ(x) (ε+|um|)γ dx+ Z Ω k(x)|um|α.ψ(x)dx (2.9) dondeψ = m X j=1 ηjψj(x)∈Vm.

2.2. Pasaje al límite

En adelante consideraremos la base Hilbertina{_ψν}_ν≥1deH₀1(Ω), constituido por los

autovalores del problema

−∆u =_λu enΩ u =0 enΓ Elegimosℓ≤m, luegoVℓ ⊂Vm, pues

siu∈Vℓ ⇒ u= ℓ

X

j=1

ηjψj+0ψj+1+...+0ψm ∈Vm.

En la expresión (2.9) hacemos el pasaje al límite.

Como kumk ≤ rε entonces (kumk)m∈N es una sucesión acotada de números reales,

entonces tiene una subsucesión convergente umk

que aún la denotamos conkumk.

luego

Seakumk −→t1 ⇒ kumk2 −→t0.

Comoum ∈Vm ⊂H1₀(Ω)⇒ (um)m≥1⊂H₀1(Ω). Además ya se vio quekumk ≤rε

ComoH1₀(Ω) es reflexivo, entonces por teorema Alaugla-Bourbaki posee una

subsu-cesión (umk)⊂H

1

0(Ω) de (un)n≥1, que aún denotaremos con (um)m≥1 tal que

um ⇀ u en H01(Ω), (2.10)

Como H1₀(Ω) _֒→−c L2(Ω) (inmersión compacta) entonces um −→ u en L2(Ω)

⇒ um(x) −→ u(x) c.s en Ω

Por otro lado kumk2 −→ t0 en R (2.11)

Veamos las convergencias en cada uno de los términos de (2.9) • Z Ω ∇um.∇ψdx−→ Z Ω ∇u.∇ψdx m−→+∞ ∀ψ∈Vℓ. En efecto, de (2.11) um, ψ_H1 0 −→ u, ψ H1₀ , ∀ ψ∈H 1 0(Ω) Pero u, ψ_H1 0 = Z Ω

∇u.∇ψdxes un producto interno enH1₀(Ω) equivalente al producto

interno natural deH1(Ω). Luego

Z Ω ∇um.∇ψdx−→ Z Ω ∇u.∇ψdx ∀ ψ ∈H1₀(Ω) (2.13) • Z Ω h(x)ψ(x) (ε+|um(x)|)γ dx−→ Z Ω h(x)ψ(x) (ε+|u(x)|)γdx , ∀ ψ ∈Vℓ En efecto, comoum(x)−→u(x) c.s. enΩ entonces| |um(x)| − |u(x)| | ≤ |um(x)−u(x)| −→0 c.s. enΩ m−→+∞ entonces|um(x)| −→ |u(x)|c.s. enΩ ⇒ _ε+|um(x)| −→ε+|u(x)|c.s. enΩ ⇒ (_ε+|um(x)|)γ −→(ε+|u(x)|)γc.s. enΩ ⇒ 1 (ε+|um(x)|)γ −→ 1 (ε+|u(x)|)γ c.s. enΩ ⇒ h(x)ψ(x) (ε+|um(x)|)γ −→ h(x)ψ(x) (ε+|u(x)|)γ c.s. enΩ Además h(x)ψ(x) (ε+|um(x)|)γ es integrable

Pues Z Ω h(x)ψ(x) (ε+|um(x)|)γ dx ≤ Z Ω |h(x)||ψ(x)| (ε+|um(x)|)γ dx ≤ kh(x)k_∞ Z Ω |ψ(x)| (ε+|um(x)|)γ dx ≤ kh(x)k_∞ Z Ω |ψ(x)| εγ dx ≤ kh(x)k∞ εγ Z Ω |ψ(x)|dx ≤ C εγ Z Ω |_ψ(x)|dx = C εγ ψ _L1 ≤ C1C εγ ψ _L2 = k ψ _H1 0(Ω)< ∞, ya que H₀1(Ω)֒→− L2(Ω)֒→− L1(Ω) Luego hψ (ε+|um|)γ es integrable; además h(x)ψ(x) (ε+|um(x)|)γ ≤ C εγ|ψ(x)|c.s. enΩ También: C εγ ψ ∈L 1_{(Ω), pues :} comoψ∈Vℓ ⇒ C εγ ψ∈Vℓ ⊂H 1 0(Ω)֒→− L2(Ω)֒→− L1(Ω) entonces C εγ ψ∈L 1_(Ω) Resumiendo tenemos (i) h(x)ψ(x) (ε+|um(x)|)γ es integrable (ii) h(x)ψ(x) (ε+|um(x)|)γ −→ h(x)ψ(x) (ε+|u(x)|)γ c.t.p. x∈Ω (iii) Existe C εγ ψ∈L 1_{(Ω) tal que} h(x)ψ(x) (ε+|um(x)|)γ ≤ C εγ |ψ(x)| ; m∈N

Luego por el teorema de la convergencia dominada hψ (ε+|u|)γ es integrable y Z h(x)ψ(x) (ε+|um(x)|)γ dx−→ Z h(x)ψ(x) (ε+|u(x)|)γdx ; ∀ψ∈Vℓ . (2.14) • Z Ω k(x)|um|αψdx−→ Z Ω k(x)|u|α_ψdx ; ∀_ψ ∈Vℓ,

En efecto, tenemos que um ⇀ u en H1₀(Ω). Como H1₀(Ω) c ֒→− Lq_{(Ω) ; 1 ≤ q <} 2n n−2 entoncesum →uenL1(Ω). Ahora definimos ϕ: L1(Ω)−→ L1/α(Ω) |u| 7−→ |u|α

Evidentementeϕestá bien definidas, pues

Z Ω ϕ(u) 1/α dx= Z Ω (|u|α)1/αdx= Z Ω |u|dx=|u|_L1_(Ω) <∞ Además, como xα−yα ≤c x−y α , ∀α >0 , ∀x,y≥0 haciendox=|u|, y=|v|, resulta Z Ω |u|α− |v|α 1/α dx≤c Z Ω (| |u| − |v| |α)1/αdx≤ Z Ω | |u| − |v| |dx−→0 si|u| −→ |v|enL1(Ω) Es decir: |u| −→ |v| en L1(Ω) =⇒ ϕ(|u|)−→ϕ(|u|) en L1/α(Ω)

por lo queϕes continua.

Así, si |un| −→ |u| en L1(Ω) entonces |un|α −→ |u|α en L1/α(Ω), pero de la inmersión

continuaL1/α(Ω)_֒→L1(Ω) resulta

Luego Z Ω h(x)|un|αψdx− Z Ω k(x)|u|α_ψdx ≤ Z Ω |h(x)| |un|α− |u|α |ψ|dx ≤ |h|_L∞ m´ax x∈Ω ψ Z Ω |un|α− |u|α −→0 Así Z Ω k(x)|um|αψdx−→ Z Ω k(x)|u|αψ(x)dx De la igualdad (2.9) tenemos M+(kunk2) Z Ω ∇um∇ψdx= Z Ω h(x)ψ (ε+|um|)γ dx+ Z Ω k(x)|um|αψdx ; ∀ψ∈Vℓ

Por los calculos anteriores tenemos

M+(kumk)−→t0 (2.15) Z Ω ∇um∇ψdx−→ Z Ω ∇u∇ψdx ; m−→+∞ (2.16) Z Ω h(x)ψ (ε+|um|)γ dx−→ Z Ω h(x)ψ (ε+|u|)γdx ; m−→+∞ (2.17) Z Ω k(x)|um|αψdx−→ Z Ω k(x)|u|αψdx ; m−→+∞ (2.18)

Aplicamos límite a ambos lados de (2.9) y utilizando (2.15), (2.16), (2.17) y (2.18) tenemos: M+(kumk2) Z Ω ∇um∇ψdx = Z Ω h(x)ψ (ε+|um|)γ dx+ Z Ω k(x)|um|αψdx ↓ ↓ ↓ m−→+∞ M+(t0) Z Ω ∇u∇ψdx= Z Ω h(x)ψ (ε+|u|)γdx+ Z Ω k(x)|u|αψdx ; ∀ψ∈Vℓ (2.19)

Luego (2.19) es válida para ψ ∈

∞ [ ℓ=1 Vℓ . Como ∞ [ ℓ=1 Vℓ = H1₀(Ω), se obtiene por densidad y continuidad: M+_(t 0) Z Ω ∇u∇ψdx= Z Ω h(x)ψ (ε+|u|)γdx+ Z Ω k(x)|u|αψdx; ∀ψ∈ H₀1(Ω) . (2.20)

Si fueraM+(t0)=0, resulta Z Ω h(x) (ε+|u|)γ +h(x)|u| α ! ψdx=0 _, ∀_ψ∈H₀1(Ω) Luego

0<h(x)=−h(x)|u|α_(ε+|u|)γ _{≤0 c.s. enΩ lo que es una contradicción.}

AsíM+_(t

0)>0, por lo quet0 > θ2yM(t0)=M+(t0)

En (2.20) sustituimosψ =uy tenemos la igualdad M(t0) Z Ω ∇u∇udx= Z Ω h(x)u (ε+|u|)γdx+ Z Ω k(x)|u|αudx M(t0)kuk2 = Z Ω h(x)u (ε+|u|)γdx+ Z Ω k(x)|u|αdx (2.21)

Por otro lado, en la ecuación (2.9) consideramosψ= um, entonces tenemos la

igual-dad M+(kumk2) Z Ω ∇um∇umdx= Z Ω h(x)um (ε+|um|)γ dx+ Z Ω k(x)|um|αumdx Luego tenemos M+(kumk2)kumk= Z Ω h(x)um (ε+|um|)γ dx+ Z Ω k(x)|um|αumdx (2.22)

Aplicando límite a ambos lados de (2.22) y por (2.11) y (2.12) Tenemos M+(kumk2)kumk2 = Z Ω h(x)um (ε+|um|)γ dx+ Z Ω k(x)|um|αumdx ↓ ↓ ↓ ↓ m−→+∞ M+(t0) t0 = Z Ω h(x)u (ε+|u|)γdx+ Z Ω k(x)|u|αudx M(t0) t0 = Z Ω h(x)u (ε+|u|)γdx+ Z Ω k(x)|u|αudx (2.23) De (2.21) y (2.23) tenemos: