Prácticas de circuitos como sistemas lineales. Ejercicios sencillos con Matlab 83

5 Exámenes prácticos

5.1 Examen 1

A

¿Cuál es la transformada inversa de Laplace de la siguiente función?

F(s) = 22s2 + 60s + 58 s3 _{+ 5s}2 _{+ 9s + 5} a: b: c: d:

20e-t _{+ 40e}-2t_{cos(t + 53.13 °)} 10e-t _{+ 20e}-t_{cos(2t - 53.13 °)} 10e-t _{+ 20e}-2t_{cos(t + 53.13 °)} 20e-t _{+ 40e}-t_{cos(2t - 53.13 °)} El primer paso para contestar esta pregunta consiste en descomponer la función en fracciones simples. Para ello se utiliza la rutina

%%%%% DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES %%%%%

clear all;

P1 = [22 60 58]; P2 = [1 5 9 5];

[num, raices, cociente] = residue (P1, P2) clear all;

que proporciona los siguientes resultados:

num = 6.0000+ 8.0000i 6.0000- 8.0000i 10.0000 raices = -2.0000+ 1.0000i -2.0000- 1.0000i -1.0000 cociente = [] Es decir, F(s) = 22s2 + 60s + 58 s3 _{+ 5s}2 _{+ 9s + 5} = K s + α - β + s + K*α + jβ + 10s + 1 α = 2 s-1; β = 1 rad/s

Por otro lado, K = a + jb K = a2 _{+ b}2 _{= 10} a = 6; b = 8 θ = arctg b a = 53.13 ° En consecuencia (utilizando tablas de transformadas de Laplace),

f(t) = L-1{F(s)} = L-1 10

s + 1 + 2Ke

-αt_{cos(βt + θ) = 10e}-t _{+ 20e}-2t_{cos(t + 53.13 °)}

Es decir, la respuesta correcta es la c.

Obsérvese que el argumento del coseno contiene un término expresado en radianes y otro en grados sexagesimales.

B

Dado el circuito de la figura, la transformada de Laplace de la función de transferencia (v_o/v_i) es R_G + v_o(t) -L C R_L + v_i(t) -L = 1 H, C = 1 F, R_G = R_L = 1 Ω a: b: c: d: s s2 _{+ 2s + 100} 100s s2 _{+ 0.02s + 100} 10s s2 _{+ 0.2s + 100} s s2 _{+ 2s + 1} Resolviendo el circuito utilizando transformadas de Laplace se obtiene

Z = 1 sL + sC + 1R_L -1 H(s) = Vo(s) V_i(s) = Z R_G + Z = 1 1 + RG Z = s R_GC s2 _{+ s} C 1 R_G + 1R_L + 1LC = s s2 _{+ 2s + 1}

C

Dado el circuito de la figura, la transformada de Laplace de la tensión de salida (v_o(t)) es v_g(t) t = 0 RG _vo+_(t) -L C R_L v_g(t) = V_D + V_Acos(ωt) V_D = 1 V = V_A; R_G = 1 Ω = R_L L = 1 H, C = 1 F, ω = 1 rad/s a: b: c: d: 10(2s2 _{+ 100)} (s2 _{+ 100) (s}2 _{+ 20s + 100)} 2s2 _{+ 1} (s2 _{+ 1) (s}2 _{+ 2s + 1)} 100(2s2 _{+ 1)} (s2 _{+ 100) (s}2 _{+ 200s + 100)} 2s2 _{+ 100} (s2 _{+ 100) (s}2 _{+ 2s + 100)}

Dado que están aplicadas dos excitaciones diferentes hay que utilizar el principio de su-perposición. V_i(s) = V_iD(s) + V_iA(s) V_iD(s) = L{V_D} = VD s = 1s ViA(s) = L{VAcos(ωt)} = V_As s2 _{+ ω}2 = s s2 _{+ 1} H(s) = Vo(s) V_i(s) = s R_GC s2 _{+ s} C 1 R_G + 1R_L + 1LC = s

s2 _{+ 2s + 1} como se vio en la pregunta anterior

V_o(s) = V_i(s) H(s) = 2s2 + 1

(s2 _{+ 1) (s}2 _{+ 2s + 1)} Es decir, la respuesta correcta es la b.

D

La transformada de Laplace de f(t) es

F(s) = s

s2 _{+ 2s + 1} Por tanto, la transformada de Laplace de la función y(t) = e-at_f(kt) a = 1, k = 2 será a: b: c: d: Y(s) = s + 2 s2 _{+ 5s + 6.25} Y(s) = s + 1 s2 _{+ 3s + 2.25} Y(s) = s +1 s2 _{+ 6s + 9} Y(s) = s +2 s2 _{+ 8s + 16}

Utilizando tablas de transformadas de Laplace se obtiene: g(t) = e-at_{f(t) ⇒ G(s) = F(s + a) =} s + a (s + a)2 + 2(s + a) + 1 y(t) = g(kt) ⇒ Y(s) = 1 kG sk = 1k s k + a s k + a 2 + 2 s k + a + 1 = s + 2 s2 _{+ 8s + 16}

5.2 Examen 2

A

Dado el circuito de la figura

+ v_R1(t) -R₁ L₁ R_G vG(t) C1 + v_RG(t) -C2 + v_C2(t) -L₂ + v_L2(t) -en el que v_G(t) = V_Gcos(ωt + ϕ) V_G= 1 V, ω = 100 kHz, ϕ= 0 º R_G= 1 Ω = R₁ L₁= L₂= 10 µH, C₁ = C₂ = 10 µF la expresión temporal de v_RG(t) es a: b: c: d: v_RG(t) = 0 V v_RG(t) = cos(ωt) V v_RG(t) = cos(ωt - 90 º) V v_RG(t) = 2cos(ωt) V

Se utiliza notación fasorial. Las incógnitas son las corrientes de malla, que circulan en sentido horario. El circuito queda caracterizado por las siguientes ecuaciones de malla (se muestran las expresiones algebraicas y sus equivalentes numéricos):

V_G = I_G(R_G + R₁ + jωL₁) - I₁(R₁ + jωL₁) 0 = -I_G(R₁ + jωL₁) + I₁ R₁ + jωL₁ + 1 jωC₁ - I₂ jωC₁ 0 = - I1 jωC₁ + I2 1 jωC₁ + 1jωC₂ + jωL2 1 = (2 + j)I_G - (1 + j)I₁ 0 = -(1 + j)I_G + I₁ + jI₂ 0 = jI₁ - jI₂

Para resolver este sistema de ecuaciones se utiliza la siguiente rutina:

%%%%% RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES %%%%%

clear all; V = [1; 0; 0]

Z = [2+i -1-i 0; -1-i 1 i; 0 i -i] I = Z\V

que proporciona los siguientes resultados: V = 1 0 0 Z = 2.0000+ 1.0000i -1.0000- 1.0000i 0 -1.0000- 1.0000i 1.0000 0+ 1.0000i 0 0+ 1.0000i 0- 1.0000i I = 1.0000+ 0.0000i 1.0000- 0.0000i 1.0000- 0.0000i En consecuencia, I_G = 1 A ⇒ V_RG = I_GR_G = 1 V ⇒ v_RG(t) = Re{V_RGejωt_{} = cos(ωt)} con lo que la respuesta correcta es la b.

B

Las primeras componentes espectrales de un tren periódico de pulsos como el mostrado en la figura son las indicadas en las figuras adjuntas

v(t) V_M t₁ t₂ t₃ T₀ 0 t V_L A_k (V) ω (rad/s) 0 6.28 _{12.56 18.84 25.12 31.40 37.68} 2.5 4.5 3.2 1.5 0.90 1.08 0.64 ϕk (º) ω (rad/s) 45 90 135 0 6.28 _{12.56 18.84 25.12 31.40 37.68} 45 90 135

¿Cuáles son los parámetros que definen el tren de pulsos?

a: b: c: d: V_L = 0 V, V_M = 10 V, T₀= 1 s, t₁= T₀/4 V_L = 1 V, V_M = 20 V, T₀= 2 s, t₁= T₀/4 V_L = 0 V, V_M = 10 V, T₀= 1 s, t₁= T₀/2 V_L = 1 V, V_M = 20 V, T₀= 2 s, t₁= T₀/2

Se trata de construir la señal

v_F(t) = A₀ + A

_∑

_kcos(kω₀t - ϕ_k) k=1

n

donde A_ky ϕk tienen los valores indicados en las representaciones espectrales, y n = 8 es el número de componentes (se excluye A₀) que deben ser consideradas.

Para ello se utiliza la rutina

%%%%% RECONSTRUCCIÓN DE UNA SEÑAL %%%%%

clear all; t = linspace(-0.2, 1.2, 1000); T0 = 1; w0 = 2*pi/T0; v0 = 2.5; v1 = 4.5*cos(w0*t + pi/4); v2 = 3.2*cos(2*w0*t + pi/2); v3 = 1.5*cos(3*w0*t + 3*pi/4); v4 = 0; v5 = 0.9*cos(5*w0*t + pi/4); v6 = 1.08*cos(6*w0*t + pi/2); v7 = 0.64*cos(7*w0*t + 3*pi/4); v8 = 0; v = v0 + v1 + v2 + v3 + v4 + v5 + v6 + v7 + v8; plot(t, v, 'b', 'LineWidth', 2) grid on;

xlabel('Tiempo (s)', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14); ylabel('Señal (V)', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14); clear all;

Para determinar el valor del periodo puede observarse en las figuras del enunciado que la frecuencia angular de la primera componente es 6.28 rad/s. Es decir,

6.28 rad/s = ω₁ = 2πk T₀ = 2

π

T₀ ⇒ T0 = 1 s

Con la rutina indicada se obtiene la señal mostrada en la figura adjunta. En ella puede verse que, prescindiendo del rizado provocado por el truncamiento de la serie, los valores máximo y mínimo de la señal son 10 y 0 V, respectivamente. Por otro lado, entre las opcio-nes que da el enunciado para el valor de t₁el más próximo al obtenido en la figura es T₀/4.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2 0 2 4 6 8 10 12 Tiempo (s) Señal (V)

C, D

_R G + v_o(t) -L C R_L + v_i(t) -L = 1 H, C = 1 F, R_G = R_L = 1 Ω

Como puede observarse en la pregunta B del Examen 1, la función de transferencia del circuito de la figura es

s s2 _{+ 2s + 1}

C

¿Cuál de las curvas de la figura representa la variación

con la frecuencia del módulo

de la función de transferencia (v_o/v_i) del circuito de la figura

cuando funciona en régimen sinusoidal permanente? 0.01 0.1 1 10 100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

frecuencia angular (rad/s)

módulo a a b c d d

Ejecutando la rutina

%%%%% MÓDULO DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA %%%%%

clear all;

inicial = -3; final = 3; puntos = 1000; w = logspace (inicial, final, puntos); s = i*w;

Hs = s./(s.^2 + 2*s + 1); moduloh = abs(Hs);

semilogx (w, moduloh, 'b', 'LineWidth', 2);

xlabel ('Frecuencia angular (rad/s)', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14); ylabel ('Módulo', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14);

axis ([w(1) w(puntos) (1/3)*min(moduloh) (3/2)*max(moduloh)]); grid on; clear all; se obtiene la figura 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Frecuencia angular (rad/s)

Módulo

que, comparada con las indicadas en el enunciado, permite concluir que la respuesta

D

¿Cuál de las curvas de la figura representa la variación

con la frecuencia de la fase

de la función de transferencia (v_o/v_i) del circuito de la figura

cuando funciona en régimen sinusoidal permanente? 0.01 0.1 1 10 100 0 - 80 - 60 - 40 - 20 0 20 40 60 80 100

frecuencia angular (rad/s) a a b b c c d d

fase (grados sexagesimales)

Ejecutando la rutina

%%%%% FASE DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA %%%%%

clear all;

inicial = -3; final = 3; puntos = 1000; w = logspace (inicial, final, puntos); s = i*w;

Hs = s./(s.^2 + 2*s + 1);

fase = (180/pi)*unwrap(angle(Hs));

semilogx (w, fase, 'b', 'LineWidth', 2);

xlabel ('Frecuencia angular (rad/s)', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14); ylabel ('Fase (º)', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14);

axis ([w(1) w(puntos) -180 180]); grid on;

clear all;

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 -150 -100 -50 0 50 100 150

Frecuencia angular (rad/s)

F

ase

(º)

que, comparada con las indicadas en el enunciado, permite concluir que la respuesta