Semana 1:Lunes 26 – viernes 30 de marzo
Ejercicios
1. Seax0un n ´umero real, mostrar que si|x0|< rpara todor >0entoncesx0 = 0.
2. Muestre que sia, b∈Rentonces
a2+b2
2 ≥ab
3. Probar que six, y, z∈Rentonces
x2+y2+z2 ≥xy+yz+zx
utilizar esta desigualdad para concluir que six, y, z∈R+∪ {0}yx+y+z6= 0
entonces
x4+y4+z4 x+y+z ≥xyz Ejercicio 1
1. Resolver la inecuaci ´on
|x+ 1− |x−3||<|x−2|+|x−1|
2. Muestre que si|x−1|<1entonces 2−x x+ 1− 1 2 < A|x−1|
para alg ´un valor deA∈R. 3. Resolver la ecuaci ´on
q
x+ 3−4√x−1 +
q
x+ 8−6√x−1 = 1
Luego de un crimen se comprueban los siguientes hechos: 1. El asesino de Don Juan es su hijo Pedro o su sobrino Diego.
2. Si Pedro asesin ´o a su padre entonces el arma est´a escondida en la casa. 3. Si Diego dice la verdad entonces el arma no est´a escondida en su casa. 4. Si Diego miente entonces a la hora del crimen, ´el se encontraba en la casa. 5. Diego no esta en la casa a la hora del crimen.
¿Qui´en es el asesino? Ejercicio 3
Consideremos el nuevo conectivo l ´ogico↓,(p↓q)se lee nip, niq.(p↓q)es verdadera si y solo sipyqson ambas falsas, demostrar las siguientes equivalencias l ´ogicas:
1. p≡(p↓p)
2. p∨q≡((p↓q)↓(p↓q))
3. p∧q≡((p↓p)↓(q↓q))
Ejercicio 4
Determinar una forma proposicionalA(p, q, r)cuya tabla de verdad sea la siguiente: p q r A(p, q, r) V V V F V V F F V F V F V F F V F V V V F V F V F F V F F F F V Ejercicio 5
Soluciones
1. Este primer ejercicio tiene relaci ´on con las propiedades de orden en los n ´umeros reales:
a) Seax0 ∈Run n ´umero real tal que, para todor > 0se cumple|x0|< rentoncesx0 = 0.
En efecto, el contrarec´ıproco de esta proposici ´on es: Six06= 0entonces existe unr >0tal
que|x0| ≥r, podemos demostrar el contrarec´ıproco por m´etodo directo six0 6= 0entonces
|x0|>0luego existe unr= |x20| >0tal que
|x0| ≥r =
|x0|
2 >0
luego la proposici ´on inicial es verdadera. b) Muestre que sia, b∈Rentonces
a2+b2
2 ≥ab
Desarrollo: Sabemos que para todox∈Rse cumplex2 ≥0, luego sia, b∈R
(a−b)2≥0
de esto obtenemos
a2−2ab+b2≥0
al sumar un n ´umero a ambos lados de una desigualdad esta no cambia a2+b2 ≥2ab
como2 = 1 + 1>0se sigue que su inverso multiplicativo es positivo 12 >0(si es negativo entonces1 = 2 12<0lo que es una contradicci ´on), as´ı, al multiplicar la desigualdad por 12 esta no cambia
a2+b2
2 ≥ab
c) Probar que six, y, z ∈Rentonces
x2+y2+z2 ≥xy+yz+zx
utilizar esta desigualdad para concluir que six, y, z∈R+∪ {0}yx+y+z6= 0entonces
x4+y4+z4
x+y+z ≥xyz
Desarrollo: De la parte b) tenemos que parax, y, z ∈Rse cumple x2+y2 2 ≥ xy x2+z2 2 ≥ xz y2+z2 2 ≥ yz
sabemos que sia≤byc≤dentoncesa+c≤b+dse sigue x2+y2 2 + x2+z2 2 + y2+z2 2 ≥xy+xz+yz
sumando se obtiene
x2+y2+z2 ≥xy+xz+yz
para la desigualdad que sigue podemos hacer lo siguiente, pongamosx=a2, y=b2, z=c2 en la desigualdad anterior (entonces estamos asumiendo quex, y, z≥0) luego
a4+b4+c4 ≥a2b2+a2c2+b2c2
pero note que
a2b2+a2c2+b2c2 = (ab)2+ (ac)2+ (bc)2
y aplicando otra vez la desigualdad se obtiene
(ab)2+ (ac)2+ (bc)2 ≥ (ab) (ac) + (ab) (bc) + (ac) (bc) = abc(a+b+c)
as´ı
a4+b4+c4 ≥abc(a+b+c)
sia, b, c ≥ 0ya+b+c 6= 0, se tienea+b+c >0 y luego podemos multiplicar por su inverso y no cambia la desigualdad
a4+b4+c4 a+b+c ≥abc
2. Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto de primer orden. a) Resolver la inecuaci ´on
|x+ 1− |x−3||<|x−2|+|x−1|
Desarrollo: Un camino para resolver esta inecuaci ´on es utilizar las propiedades del valor absoluto y resolver varias inecuaciones, aqu´ı vamos a emplear la t´ecnica de quitar los valores absolutos restringiendo x a intervalos convenientes. En la inecuaci ´on aparecen los t´erminosx −3, x−2 y x −1 conocemos el comportamiento de cada uno de ellos (cuando es positivo o negativo) parax∈R, vamos a crear una tabla donde se analiza el comportamiento de estos t´erminos de manera simult´anea
1 2 3
x−1 − − − 0 + + + + + + + + + + +
x−2 − − − − − − − 0 + + + + + + +
x−3 − − − − − − − − − − − 0 + + +
vamos a buscar soluciones de la inecuaci ´on en 4 casosx≤1,1< x≤2,2< x≤3yx≥3
1) Parax≤1; En este caso los tres factoresx−3, x−2yx−1son negativos, se sigue que |x−3|=−(x−3),|x−2|=−(x−2)y|x−1|=−(x−1)(note que six= 1se sigue cumpliendo la igualdad|x−1|=−(x−1)), luego la inecuaci ´on en este intervalo es:
|x+ 1 + (x−3)| < −(x−2)−(x−1)
⇔
|2x−2| < 3−2x
note quex−1≤0luego
−(2x−2)<3−2x resolvemos
2<3
2) Si1< x≤2entonces la inecuaci ´on es |x+ 1 +x−3|<−(x−2) +x−1 esto es |2x−2|<1 esto es −1<2x−2<1 as´ı 1<2x <3 luego 1< x < 3 2
luego en el intervalo1< x≤2para1< x < 32 se cumple la inecuaci ´on. 3) Si2< x≤3la inecuaci ´on queda
|x+ 1 +x−3|< x−2 +x−1
lo que es equivalente a
|2x−2|<2x−3
en este intervalo podemos quitar el valor absoluto
2x−2<2x−3
as´ı
−2<−3
lo cual es una contradicci ´on, no hay soluciones en este intervalo. 4) Six >3la inecuaci ´on queda
|x+ 1−(x−3)|< x−2 +x−1
o equivalentemente
4<2x−3
lo que tiene por soluci ´on
x > 7
2
luego en este intervalo tenemos las solucionesx > 72.
Hemos buscado partes de la soluci ´on de la inecuaci ´on en distintos intervalos convenientes luego la soluci ´on es la uni ´on de las soluciones encontradas:
S = −∞,3 2 ∪ 7 2,+∞
b) Muestre que si|x−1|<1entonces existeA∈Rpara el cual 2−x x+ 1− 1 2 < A|x−1|
Desarrollo: Notemos que
2−x x+ 1− 1 2 = 3 2 |x−1| |x+ 1|
pero si|x−1|<1entonces −1< x−1<1 ⇒ 1< x+ 1<3 ⇒ 1 3 < 1 x+ 1 <1
y as´ı, para|x−1|<1se cumple 2−x x+ 1− 1 2 = 3 2 |x−1| |x+ 1| < 3 2|x−1|
c) Resolver la ecuaci ´on q
x+ 3−4√x−1 +
q
x+ 8−6√x−1 = 1
Desarrollo: Reordenemos la ecuaci ´on en la forma q (x−1) + 4−4√x−1 + q (x−1) + 9−6√x−1 = 1 y pongamosk=√x−1≥0entonces p k2+ 4−4k+pk2+ 9−6k= 1
completamos los cuadrados q
(k−2)2+
q
(k−3)2 = 1
luego la ecuaci ´on es
|k−2|+|k−3|= 1
la resolvemos utilizando tabla
2 3 x−2 − − − 0 + + + + + + + x−3 − − − − − − − 0 + + + 1) Si0≤k≤2la ecuaci ´on es −(k−2)−(k−3) = 1 es decir −k+ 2−k+ 3 = 1⇒k= 2
como estoy dentro de la restricci ´on0≤k≤2obtengo la soluci ´onk= 2es decirx= 5. 2) Si2< k <3entonces la ecuaci ´on queda
[(k−2)−(k−3) = 1]⇒[1 = 1]
3) es decir, todos los elementos de este intervalo son soluci ´on, se sigue que5< x <10
esta en el conjunto soluci ´on de la ecuaci ´on. 4) Si3≤kentonces la ecuaci ´on es
[(k−2) + (k−3) = 1]⇒k= 3
De todo esto el conjunto soluci ´on de la ecuaci ´on es[5,10]. 3. Usaremos los siguientes s´ımbolos:
p:El asesino es su hijo Pedro q:El asesino es su sobrino Diego r:El arma esta escondida en la casa. s:Diego dice la verdad
t:Diego estaba en la casa a la hora del crimen
Entonces las siguientes proposiciones son verdaderas:p∨q, p→r, s→r,s→t,tse sigue,tes falsa,s→tes verdadera perotes falsa luegoses falsa, as´ıses verdadera, sises verdadera y s→res verdadera entoncesres verdadera luegores falso, esto permite concluir quepes falsa y as´ı comop∨qes verdadera se sigue queqes verdadera, El asesino es su sobrino Diego. 4. Se pueden construir tablas de verdad para demostrar estas propiedades:
a) p p (p↓p) V F F F V V se siguep≡(p↓p) b) p q (p∨q) (p↓q) (p↓q)↓(p↓q) V V V F F V F V F F F V V F F F F F V V c) p q (p∧q) (p↓p) (q ↓q) (p↓q)↓(p↓q) V V V F F V V F F F V F F V F V F F F F F V V F se sigue(p↓q)↓(p↓q)≡(p∧q)
5. Mirando las l´ıneas de la tabla en las cualesAes verdadera podemos interpretarApor:
(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r) =A(p, q, r)
esta expresi ´on se puede simplificar a
A(p, q, r) = (p∧q)∨(q∧r)
Explicaci ´on un poco m´as detallada: La forma(p∧q∧r)es verdadera si y solo sipes verdadera, q es falsa y r es falsa, lo que hacemos es crear formas que sean verdaderas solo para una combinaci ´on en la cualA(p, q, r)es verdadera, despu´es conectamos tales formas con el conectivo ∨esta forma ser´a verdadera si alguna de ellas es verdadera.
