Estimación de métricas de riesgo de mercado usando mixturas gaussianas

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ContaduríayAdministración61(2016)202–219

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Estimación

de

métricas

de

riesgo

de

mercado

usando

mixturas

gaussianas

夽

Estimating

market

risk

metrics

using

gaussian

mixtures

Jorge

Rosales

Contreras

InstitutoTecnológicoydeEstudiosSuperioresdeMonterrey,México

Recibidoel7deagostode2014;aceptadoel8dediciembrede2014 DisponibleenInternetel23deoctubrede2015

Resumen

Losprincipalesmodelosfinancierosparalaestimacióndelriesgodemercadosuponenquelosrendimientos delosactivossiguenunadistribuciónNormalosebasanenladistribuciónempírica.Confrecuencia,el supuestodenormalidadsedaporhecho;sinembargo,resultapocorealistadebidoalascaracterísticasde excesodecurtosisydeasimetríaobservadasenelcomportamientorealdelosretornos.Enestetrabajo presentamosevidenciadequelasmixturasgaussianasfinitasconstituyenunmedioeficienteparamodelarla distribucióndelosrendimientosdelosactivosfinancieros.Estudiamoselmodeloyderivamosexpresiones paralasmétricasusualesderiesgodemercado.Ilustramossuaplicación calculandométricasderiesgo paraunacarteradeactivosdelmercadomexicano,conelmodelopropuestoycomparándolasconmodelos ampliamenteusadosenelmercado.

DerechosReservados©2015UniversidadNacionalAutónomadeMéxico,FacultaddeContaduríay Admi-nistración. Este es un artículo deacceso abierto distribuidobajo lostérminos de laLicencia Creative CommonsCCBY-NC-ND4.0.

Palabrasclave: Valorenriesgo;Déficitesperado;Mixturasgaussianasfinitas;Simulaciónhistórica;Delta-Normal

Abstract

Themostcommonlyusedfinancialmodelsfortheestimationofmarketriskeitherassumethatasset returnsfollowaNormaldistributionorarebasedontheempiricaldistribution.Moreoftenthannot,the normalityassumptionistakenforgranted.However,itisnotrealisticduetoskewnessandexcesskurtosis observedintheactualbehaviorofassetreturns.InthisworkweshowevidencethatfiniteGaussianmixtures

夽 _El_autor_agradece_los_comentarios_de_dos_árbitros_anónimos.

Correoelectrónico:[email protected]

LarevisiónporparesesresponsabilidaddelaUniversidadNacionalAutónomadeMéxico. http://dx.doi.org/10.1016/j.cya.2015.09.008

0186-1042/DerechosReservados©2015UniversidadNacionalAutónomadeMéxico,FacultaddeContaduríay Admi-nistración.EsteesunartículodeaccesoabiertodistribuidobajolostérminosdelaLicenciaCreativeCommonsCC BY-NC-ND4.0.

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areanefficientmodelforthedistributionofassetreturns.Westudythemodelandobtainexpressionsto estimatetheusualmarketriskmetrics.Weillustrateitsapplicationbyestimatingriskfiguresforaportfolio ofMexicanassetsusingtheproposedmodelandcomparingthemagainstvaluesproducedwiththemost widelyusedmodels.

Keywords: Valueatrisk;Expectedshortfall;FiniteGaussianmixtures;Historicalsimulation,Delta-Normal

Introducción

Elsupuestodenormalidadesfrecuenteenlosmodelosfinancieros.Unejemplousualsurge enelcontextodeadministraciónderiesgos.Elvalordeunacarteradeinversiónaltiempot(Vt)

esfuncióndeltiempoydeunconjuntodefactoresderiesgo(Zt∈Rd):Vt=f(t,Zt).Definimoslos cambiosenlosfactoresderiesgocomoXt=Zt–Zt-1ylapérdida(positiva)delportafoliocomo Lt=-(Vt–Vt-1).LaaproximaciónlinealdeLt+1es:

Lt+1=− ft(t,Zt)+ d j=1fZj(t,Zt)Xt+1,j , (1)

dondelossubíndicesdefrepresentanderivadasparcialesysololoscambiosXt+1,jsonaleatorios. SilossuponemosNormales,entoncesLt+1esNormal(verPropiedad1,másadelante).Estoda origen almétodoDelta-Normal paraelcálculode Valor enRiesgo(VaR)descrito porJorion (2006).

Sinembargo,laevidenciaempíricamuestraquemuchosactivosfinancierostienen rendimien-tosquenosiguenladistribuciónNormal.Enparticular,lafrecuenciaobservadaderendimientos extremosesmayorquelaprobabilidaddedichosrendimientosbajolaNormal.Estacaracterística sedenomina«leptocurtosis»,colasanchasoelongaciónenexceso.Tambiénesposibleobservar alternadamenteperíodosdealtaybajavolatilidad,distribucionesasimétricasodependenciaen lascolasenlasdistribucionesconjuntas.Másgraveaúneselhechodequeelsupuestode nor-malidadconfrecuencianoseverifica.LaspruebasdebondaddeajustedelApéndiceBmuestran quelaNormalnoes unmodeloadecuado parafactoresderiesgorepresentativosdelmercado mexicano.

Por otro lado, de acuerdo con el Comitéde Basilea (BIS, 2011), «unode los principales factoresdesestabilizadoresdurantelacrisis—económicayfinancieraqueestallóen2007—fue laincapacidaddecaptarcorrectamentelosmayoresriesgosdentroyfueradelbalance».

Apesardeloanterior,elVaReslamedidaderiesgoquelosreguladoresdemuchospaíses promuevenparamonitorearycontrolarelriesgodemercado(ver,porejemplo,CNBV,2005)y queelComitédeBasilea(BIS,2011)empleaparafijarrequerimientosmínimosdecapital.Como partedelarespuestaalasdeficienciasdetectadas,elpropioComitéhapropuestorecientemente sustituirelVaRporeldéficitesperado(ES,porsussiglaseninglés)comométricaderiesgode mercado(BIS,2013).

Enestecontexto,BehryPoetter (2009)modelan rendimientosdiariosde10índices accio-narioseuropeosusandolasdistribucioneshiperbólica,logFymixturasgaussianas,concluyendo que elajustede estas últimases ligeramentesuperior en todoslos países. Tan y Chu(2012)

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modelan los retornos deunacartera deinversión usandouna mixtura gaussianay estiman el VaR.Kamaruzzaman,IsaeIsmail(2012)ajustanunamixturagaussianade2componentesalos retornoslogarítmicosmensuales de3 índicesaccionarios enMalasia,y enuntrabajo distinto (KamaruzzamaneIsa, 2013)estiman VaRy ES (usandounaexpresión quees un caso parti-culardelaecuación(7),másadelante)paralosretornossemanalesy mensualesdeuníndice, encontrandomediantebacktestingquelasmixturasgaussianassonunmodeloapropiado.Zhangy Cheng(2005)usanmixturasgaussianascondistintonúmerodecomponentesparaestimarelVaR dealgunosíndicesdemercadochinos,acotándoloconelVaRdelascomponentesyvinculándolo conelcomportamientodelosmovimientosdeprecioylapsicologíadelosinversionistas.

AlexanderyLazar(2002)usanunmodeloGARCH(1,1)demixturasgaussianasparatiposde cambio.Encuentranqueunmodelode2componentessedesempe˜namejorqueotroscon3omás componentesyqueunmodeloGARCHt-Student.Haas,Mittniky Paolella(2004)introducen una clase generalde modelosGARC(p,q) con mixturas gaussianas para índices accionarios. Susmodelosincluyenprocesosindividualesdevarianzamuyflexiblesperoalcostodeperder parsimonia,yaquesusmejoresmodelosrequieren entre17y 22parámetrosparamodelarlos retornosdesolouníndice.Hardy(2001)ajustaunmodelolog-Normaldecambioderégimena losretornosmensualesde2índicesaccionariosyestimatantoVaRcomoESusandodirectamente lafuncióndepagosdeunaopcióndeventaeuropeasobreuníndice.

Enestetrabajopostulamoslasmixturasgaussianafinitascomounmodeloalternativoalosmás ampliamenteutilizados:SimulaciónHistórica(SH)yDelta-Normal,quepreservalaparsimonia delosanterioresperocapturaexplícitamentelosperíodosdealtavolatilidad.Así,comparamos 3modelosparalaestimacióndemétricasderiesgo,unodeellosnoparamétrico,basadoenla distribuciónempíricadelosretornosdelosfactoresderiesgo,y2másparamétricos,unobasado enlaNormalyotroenunamixturagaussianafinita.

Estetrabajoseorganizaen6seccionesy3apéndices.Enlasección2estudiamoslasmixturas gaussianasfinitasyalgunaspropiedadesrelevantes,yluego,enlasección3,revisamoselalgoritmo EM parala estimaciónde parámetros.Más adelante,enla sección4 construimos lavariable aleatoriadepérdidasparaunacarteracuyovalorfluctúasegúnlosretornosdelosfactoresderiesgo eintroducimos2métricasderiesgodemercadoysusestimadores.Enlasección5proponemos una carteraficticia peroplausible y calculamos sus métricas de riesgobajo cada uno de los modelosconsiderados.Enlasección6exponemosalgunasconclusiones.ElApéndiceAcontiene eldesarrollodelasexpresionesparaelESdelaNormalylamixturaGaussiana,yenelApéndice BserealizanlaspruebasdebondaddeajusteparalaNormalylamixturagaussiana.Finalmente, elApéndiceCmuestraelcódigodesarrolladoparaloscálculos.

Mixturasgaussianasﬁnitas

DecimosqueunvectoraleatorioX:→Rdsedistribuyedeacuerdoaunamixtura(finita) gaussiana(MG)cuandosufuncióndedensidadsepuedeescribircomo:

fX(x;Ψ)= k i=1 πiφi x;μi,i ,

donde k_i₌1πi=1, πi∈(0,1)yφi(·,μi,i), i=1,...,k son densidades Normales d

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Enesteesquema,seinterpretaqueexisteunaparticióndelespaciomuestralΩ=∪i_i=₌11Ωi,Ωh∩

Ωl=∅,h=/ l,talquecadaunadelasdensidadesφirigesobreelsubconjuntoΩi.Adicionalmente,

πi =P(Ωi) ylaprobabilidadposteriordecadasubconjuntoes:

PΩj|X=x = πjφj(x) _k i=1πiφi(x) .

Debidoalalinealidaddelaintegral,ladefiniciónanteriorsepuedeescribirentérminosdela funcióndedistribuciónacumuladaenlugardeladensidad.Esimportantedestacarquelafamilia de mixturasgaussianasfinitases unmodelomuyflexible,porlocuallistamosalgunasdesus propiedades(verMcLachlanyPeel,2000):

1. IncluyealadistribuciónNormal(conk=1).

2. Una mixturagaussiana finitaunivariadade kcomponentesadmite3k-1 parámetros,por lo queesútilparamodelardiscrepanciascontinuasdelaNormalcomoasimetría,leptocurtosis, modelosdecontaminación,multimodalidad,etc.,confrecuenciaconk=2únicamente. 3. Noesdifícildesimular,porloquesepuedeusarenprocesosdeMonteCarlooenbootstrap. 4. Seajustaahechosestilizadosenfinanzas,adiferenciadeotrasdistribucionescomolat-Student olafamiliadedistribucioneshiperbólicas;notoriamente,regímenesdevolatilidaddemercado. 5. Escerradabajoconvolución.

Estaúltimapropiedadesmuyimportantey seusarámásadelanteparaobtenermedidasde riesgoagregadas.DadoquelaheredadelaNormal,laenunciamosparaambasdistribuciones:

Propiedad1(casoNormal).SiX∼Nd(μ,)yl(_x)=−(c+ωx),entoncesl(X)∼N(μl,σ_l2),

dondeμl=−(c+ωμ)yσ_l2=ωω.

Propiedad2(casomixturagaussiana).SiX∼MGd(π,{μi}ki=1,{Σi}ki=1)yl(x)=−ωx,

enton-cesl(X)∼MG(π,{μlj}k_j=1,{σ 2 lj} k j=1),dondeμlj =−ω _μ jyσ2lj =ω jω,j=1,...,k.

Estimacióndeparámetrosybondaddeajuste

Enlamedidaquecadaunadelasdensidadesestáespecificadasalvoporelvalordeunconjunto deparámetrosΨ =πi,μi,σi2

_k

i=1,laestimacióndedichosparámetrospuederealizarsemediante

máximaverosimilitud.Dadaunamuestraaleatoria,lafuncióndeverosimilitudysulogaritmose puedenescribircomo:

L(Ψ)= n j=1 k i=1 πiφi xj , L(Ψ)=lnL(Ψ)= n j=1 ln k i=1 πiφi xj .

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Parasimplificarlanotación,trabajaremosenunadimensión(d=1).Losestimadores delos parámetrosseobtienenresolviendoelproblemadeoptimización:

MaxΨL(Ψ)s.a. k

i=1 πi=1.

UtilizandomultiplicadoresdeLagrangeelproblema setransformaenencontrar lasolución delsistemade2k+1ecuaciones:

n j=1 φ_h xj _i₌1 k πiφi xj =0, h=1,2,...,k n j=1 φh xj _i₌1 k πiφi xj =λ, h=1,2,...,k k i=1 πi =1,

Estesistemanotienesolucióncerrada,perosepuederesolverdeformaiterativaaplicandoel algoritmodeEsperanzayMaximización(EM)deDempster,LairdyRubin(1977).

EnelpasodeEsperanzaseestimalaprobabilidadposterior,dadalamuestra,decadaunode lossubconjuntosdelaparticióndelespaciomuestral,mediante:

πh = 1 n n i=1 P(Ωh|X=xi), para h=1,2,...,k.

EnelpasodeMaximizaciónseobtienenlosestimadoresdelosparámetrosdecadaunadelas kdensidadesindividuales,dadaslasprobabilidadesestimadasarriba.

n i=1 P(Ωh|X=xi) ∂ ∂Ψh lnφh(xi)=0, para h=1,2,...,k.

Paraunamixturagaussianafinitaunivariadaarbitraria,laaplicacióndelalgoritmoEMresulta en: 1. PasodeEsperanza: πh= 1 n n i=1P(Ωh|X=xi), donde P(Ωh|X=xi)= πh σhφ xi−μh σh _k j=1π_σj_jφ xi−μj σj .

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Tabla1

Estimadores(×10−4₎_para_la_Normal_con_errores_estándar

␮

0.70(0.03) −0.60(0.03) 47.10(8.30) 0.80(2.30) 2.90(4.10) −2937.40(972.40) 2.30(0.09) −74.30(14.80)

126604.10(4894.80) Fuente:elaboraciónpropia

Tabla2

Estimadores(×10−4₎_de_la_mixtura_gaussiana_con_errores_estándar

j ␲j ␮j j 0.32(0.00) −0.21(0.00) 3.71(0.00) 1 8111(1.14) −1.30(0.00) 7.82(0.00) −487.00(0.19) 0.85(0.00) −0.31(0.01) 26770.00 (8.10) 2.33(0.00) −2.43(0.00) 245.00(0.11) 2 1889(1.14) 9.83(0.01)−18.84(0.00) −13460.00(7.05) 8.22(0.00) −419.00(0.23) 541220.00(269.20)

Fuente:elaboraciónpropia

2. PasodeMaximización: μj= n i=1 PΩj|X=xi _n h=1P Ωj|X=xh xi, σ_j2= n i=1 PΩj|X=xi _n h=1P Ωj|X=xh xi−μj 2 .

El usodel algoritmo EM paramixturas gaussianasfinitaspuede resumirsede lasiguiente manera: dadoun conjuntode valoresinicialesπ(0)_j ,μ(0)_j y σ_j2(0) (j=1,...,k),encada itera-ciónseestimansecuencialmentelasprobabilidadesposterioresdecadaelementodelapartición

PΩj|X=xi

, las probabilidades de membresía πj, las medias μj y las varianzas σ_j2. Las iteracionesse repiten hastaquesealcance algúncriteriode convergencia.Para unadiscusión detalladasobre laeleccióndevaloresiniciales,criteriosdeconvergenciay algunasestrategias paraincrementarlarapidezdeconvergencia,consultarMcLachlanyKrishnan(1997).

Paraestimarlosparámetrosdelasdistribucionessupuestas(Normalymixturagaussiana)se hatomadounamuestra1de1,339retornosdiarios(64mesesapartirdeenerode2008)delatasa soberanamexicanaenpesosde6meses(Cetes),eltipodecambioUSDMXNyelNaftrac02.Los estimadoresparaelsupuestodenormalidadsonlosestimadoresinsesgadosusuales.Enelcaso delamixtura gaussianaseprogramóenVBAdeMicrosoftExcelunarutinaparaimplementar elalgoritmoEMmultivariadoyseajustóunamixturaNormaltridimensionalde2 componen-tes. Enlastablas 1 y2 se muestran losestimadores tanto delaNormal comode lamixtura, respectivamente,conerroresestándarentreparéntesis.

Obsérvesequelosestimadoresdelamixturagaussianasatisfacenlainterpretaciónusualpara elcasode2componentes:unadelascomponentesmuestraelcomportamientoobservadodelos

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retornosdurantelamayorpartedeltiempo,mientrasquelaotracomponenteexponelosretornos ensituacionesdeestrés,porloquetieneunamediabiendiferenciadadelaprimeracomponentey unadispersiónsignificativamentemayor.Así,porejemplo,paraelfactorderiesgoUSDMXNse tienequeduranteelperíododemuestraelpesosedeprecióaunritmopromedio0.080%diario, locualsedescomponeenunaapreciaciónpromediodiariade0.013%duranteel81%deltiempo, conunavolatilidadanualde8.97%yunadepreciaciónpromediodiariade0.098%duranteel restante19%deltiempo,conunavolatilidadanualde24.12%,2.7veceslavolatilidadentiempos usuales.

LatablaB.2delApéndiceBmuestraquelamixturagaussianade2componentesesunmodelo adecuadoparalosretornostantodeltipodecambioUSDMXNcomodelNaftrac02,noasípara latasaCetes,siempredeacuerdoalapruebadeKolmogorov-Smirnov.LafiguraB.3delmismo Apéndicemuestra que,apesardenopasarlapruebadehipótesis,labondadde ajusteconla mixturagaussianaesmejorqueconladistribuciónNormal.Quedaabiertalapreguntadelnúmero decomponentesaincluirenlamixturagaussianaparapasarlaprueba.

Distribucióndepérdidasymétricasderiesgo

Enestasecciónconstruimoslavariablealeatoriadepérdidasmedianteunoperadorlinealque laaproximaparacambiospeque˜nosenlosfactoresderiesgoydefinimoslasmedidasderiesgoa sercalculadassobredichadistribución,asícomosusestimadoresparacadaunodelosmodelos analizados.

Dadaunacarteradeactivossujetosariesgodemercado,considéreselavariablealeatoriade pérdidasdiariasdelacartera.Enconcordanciaconlaliteraturadedistribucionesdepérdidase supondráquelaspérdidassonpositivasylasutilidadesnegativas.Suaproximaciónlineal(delta, enlanomenclaturadecoberturaconderivados),entérminosdelasderivadasparcialesrespecto deltiempoylosfactoresderiesgo,estádadaporlaecuación(1).Silafunciónftienederivadas desegundoordennodespreciables,laaproximación(1)puedeincluirlas,conloquesetendría unmodeloDelta-Gamma.

Losmomentosdelavariablealeatoriadepérdidason,apartirdelaecuación(1)ysuponiendo queft=0(locualesciertoparaincrementospeque˜nosdetiempo):

E(Lt+1)=− _d j=1fZj(t,Zt)EXt+1,j=ωtμ=μL Var(Lt+1)=Var( _d j=1fZj(t,Zt)EXt+1,j)=ωtωt =σL2μl con μ=(EXt+1)d_j₌₁ y Σ_ij=cov(X_t₊1_,i,X_t₊1_,j). (2)

EnadelantesupondremosquelosretornosXtprovienendeunprocesoestacionario,esdecir, sonvariablesaleatorias(Va)independienteseidénticamentedistribuidas(iid)ypodemoseliminar elsubíndicet.AcontinuaciónsedefinenlasmétricasderiesgoVaRyES.

SeaLlavadepérdidayFL:R→[0,1]sufuncióndedistribución.ElVaRparaunnivelde confianzaα∈(0,1) sedefinecomo:

VaR(α)= inf

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SupóngaseademásqueE|L|<+∞.El ESparaunniveldeconfianzaα∈(0,1) sedefine como: ES(α)= 1 1−α 1 α VaR(u)du.

ObsérvesequeelVaRnoesmásqueelpercentilαdeladistribucióndepérdidayqueelESesel promediodelospercentilessobretodoslosnivelesdeconfianzasuperioresoigualesaα,siempre queladistribucióndepérdidaseacontinua.Entalcaso,lasiguientepropiedad(verMcNeil,Frey yEmbrechts,2005)proveeunaherramientaútildecálculo:

ES(α)=E[L|L>VaR(α) ]. (3) Pasamosahoraalaestimacióndelasmétricasderiesgo.SiladistribucióndeLesdelocalización yescala,elcálculodelVaRsolodependedelosmomentosdescritosenlaecuación(2):

VaR(α)=ωμ+qα

ωω1/2=μL+qασL, (4)

dondeq_αeselpercentilαdeunadistribuciónFLconparámetrosdelocalizaciónyescalaceroy uno,respectivamente.

LaPropiedad1garantizaquebajoelmodeloparamétricoDelta-NormalLsedistribuyecomo unaNormalunivariada,yenestecasolaecuación(4)proveeelestimadordeVaR.Auncuandola evidenciaestadísticaindicaqueladistribucióndeLnoesNormal(verApéndiceB),conservamos estemodelocomoparámetrodecomparación.ParaelmodeloSHladistribucióndeLeslaempírica ybastacontomarelestadísticodeordenadecuadoparaobtener:

VaR(α)=L(nα), (5)

dondeL(j)eselj-ésimoestadísticodeorden,neseltama˜nodelamuestrayueselmayorentero queesmenoroigualau.Finalmente,paraelmodeloDelta-mixturagaussiana(quedenotaremos Delta-MG),laPropiedad2garantizaqueladistribucióndeLesunamixturagaussianaunivariada finita,yentalcasoesnecesarioresolvernuméricamenteparaq_αlaecuación:

FL(qα;Ψ)−α=0. (6)

Por loquerespecta alES, en el ApéndiceA se derivan lasexpresiones para los modelos paramétricosconsiderados,mientrasqueparaelmodeloSHelestimadorseconstruyeusandola distribuciónempíricaapartirdelaecuación(3).Lasexpresionesparalos3modelosselistana continuación: SH ES(α)= 1 n−nα n j=nα+1L(nα) Delta-Normal ES(α)= μ+ σ 1−αφ Φ−1(α) Delta-MG ES(α)= 1 1−α k j=1 πjΦ −zj,α μj+σj φzj,α Φ−zj,α (7) dondezj,α= qα−μj /σjyqαsatisfacelaecuación(6).

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Tabla3

Carteravalorizadaamercadoysensibilidades Activo Instrumento Nominal

(millones) Precio (MXN) MtM(MXN mln) Sensibilidad (MXNmln) Cambios USDMXN 50 12.14 607 607.0

Rentavariable Naftrac02 10 42.26 423 423.0

Deuda Cetes 25000 9.81 24524 −1.2

Fuente:elaboraciónpropiacondatosdeBloomberg.

EstimacióndeValorenRiesgoydéﬁcitesperado

Enesta secciónse proponeunacarterade activosconexposiciónalos 3 tiposusuales de factoresderiesgo(tasasdeinterés,preciosdeaccionesytiposdecambio).Luegoseempleael modeloDelta-MGparaelcálculotantodeVaRcomodeESapartirdelassensibilidadesdela carteraalosfactoresderiesgo.Esteresultadosecomparaconlosmismoscálculosusandolos métodosdeSHyDelta-Normal.

Lacarteraconsideradacontiene3instrumentos:unaposiciónde50millonesdedólares(USD), 25,000millonesnominales(MXN)deunbonosoberanocupóncero(Cetes)convencimientoen 6mesesy10millonesdetítulosdeNaftrac02,unfondolistadoenelmercadobursátil(ETF)que replicaeldesempe˜nodelÍndicedePreciosyCotizaciones(IPC)delaBolsaMexicanadeValores. Porsimplicidad,esteinstrumentoserátratadocomounaacciónindividualynocomounfondo. Asílacarteraconstade3instrumentos.Latabla3muestraparacadaunoelvaloramercadoal 30deabrilde2013ylassensibilidadesalosfactoresderiesgoconsiderados.

Unaspectoadestacaresquetantobajoelsupuestodenormalidadcomousando elmodelo demixturagaussiana,lamediadeladistribucióndepérdidasdelacartera(Propiedades1y2) eslamisma(MXN−533mildiarios),mientraslasdesviacionesestándardedichadistribución sonmuysimilares:MXN7.325millonesbajonormalidadyMXN7.308millones.Esdecir,el modelodemixturasgaussianasnomodificanielcentrodemasaniladispersióndeladistribución deinterés,sinoquetansololossegmentaencomponentes.

Pasamosahoraalaestimacióndemedidasderiesgousandolos3métodos:SH,Delta-Normal yDelta-MG.Enlos3casosconsideramoselvectordeponderacionescomolaúltimacolumna (sensibilidad) delatabla3.ElVaRse haestimadocomoelpercentil 99deladistribuciónde pérdidasde lacartera. El cálculo es directo tanto paraladistribución empírica como parala Normal(ecuaciones4y5),peronoasíparalamixturagaussiana,porloquesehadesarrollado uncódigoenMatlabparaestimarelpercentildeseadodeunamixturagaussianaunivariadacon unnúmeroarbitrariodecomponentesusandolaecuación6.Latabla4resumeelVaRparacada instrumentoylacarteraensuconjunto.

Tabla4

VaR(99%)paralacarteraconsiderada(MXNmln)

Instrumento SH Delta-Normal Delta-MG

USDMXN 13.816 11.792 14.386

Naftrac02 18.588 14.647 20.369

Cetes 9.665 9.870 13.041

Cartera 19.364 16.507 21.242

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Tabla5

ES(99%)paralacarteraconsiderada(MXNmln)

Instrumento SH Delta-Normal Delta-MG

USDMXN 18.790 13.614 19.487

Naftrac02 25.357 17.041 23.915

Cetes 16.685 11.360 16.877

Cartera 27.086 18.990 27.176

Fuente:Elaboraciónpropia

Enlatabla5seapreciaelESparacadainstrumentoylacarteraparacadaunodelos3modelos estimadossegúnlaecuación7.

Conclusiones

LaspruebasdebondaddeajustedelApéndiceBmuestranquelaNormalnoesunmodelo adecuadoparaningunodelosfactoresderiesgoconsiderados.Lasmixturasgaussianas,encambio, muestranadecuadamentelosretornostantodeltipodecambiocomodelETF,noasílos dela tasadeinterés,conunajusteevidentementemejorquelaNormal.Unaposiblecausadeestafalta deajusteeslacombinaciónde2factores:muchosdíasconcambiosmuypeque˜nosenlastasas yqueelperíodoelegidoincluyetodalacrisiscrediticiainternacional,enelquehuboconstantes cambiosenlatasadepolíticamonetaria.Ambassituacionesintroducensaltosdiscretosenlatasa delosbonosdecortoplazo.

Lacomparacióndelastablas4y5nospermiteafirmarqueentrelos3modelosderiesgo con-siderados,Delta-Normaleselmásagresivo,enelsentidoquereportalamenorpérdidapotencial tantoparaVaRcomoparaES.Consideramos,sinembargo,quesumayordebilidadradicaenque alposeermuypocamasaenlacoladeladistribución,detalsuertequeelcambio(propuesto porBasileaIII)demigrardeVaRaEScomométricaestándarderiesgodemercadosignificaun incrementopeque˜node15%enlacarteraestudiada.Sibienestopuedeserbenéficoentérminos deahorrodecapital,porotroladopuedeexponeralasinstitucionesapérdidassignificativasal ocurrirrachasdealtavolatilidad.

Porsu parte,elmodelode SHsufreunajustesignificativo del 40%entreVaRy ES. Esto confirmasufuertedependenciadelamuestrautilizadadadalaventanahistóricaelegidaparael ejercicioactual,enlaqueseobservaronretornosmuygrandesencomparaciónconlamediade ladistribuciónempírica.

Por último,elmodelode mixturasgaussianas finitas,al incorporarde formaexplícita una componenteparalosperíodosdealtavolatilidad,entregalosdatosdeVaRmásconservadores: 10%másgrandesqueSHy29%mayoresqueDelta-Normal.Estaesunadistribuciónleptocúrtica quesinembargoesmuyversátilyseadaptaalavolatilidadobservadaparacadafactorderiesgo. Así,enlacarteraestudiada,elESparaelNaftrac02essolo17%mayorqueelVaR,paraelCete es29%mayoryparaeltipodecambioes35%.EncontrasteconelmodeloNormal,lasmedidas crecenuniformementeun15%,comoseindicóantes.

Sibienlasmedidasderiesgoobtenidasbajounmodelouotropuedenparecermásomenos conservadoras,tratándosederequerimientosdecapitalparaunainstituciónfinanciera,nosedesea serdemasiadoconservador,porlaimplicaciónquetienemantenercapitalimproductivo.Eneste sentido,yconsiderandoquenohasidoposibleobtenerunmodelosatisfactorioparalosretornos delastasasdeinterés,elcriterioóptimodedecisiónentremodelosdeberíafundamentarseenuna

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pruebadevalidacióncomparandolasfrecuenciasesperadasyobservadasdepérdidasenexceso alaspronosticadas.Estoconstituyeeltrabajoinmediatofuturoparadiscriminarobjetivamente entremodelos.

ApéndiceA. Derivacionesdedéﬁcitesperado(ES)

EnesteapéndicesederivanexpresionesparaelESdelosmodelosparamétricosconsiderados. PrimerosehaceparaladistribuciónNormal,llenandolosdetallesdelademostraciónquesepuede encontrarenMcNeiletal.(2005).Larazóndeelloesqueelprocedimientoresultadeutilidad paraobtenerelresultadocorrespondienteparaladistribucióndemixturagaussianafinita.

ESparaNormal.

SeaL∼N(μ,σ2)y qα =VaR(α) elpercentil αde FL,estoes, FL(qα)=α.SeafL(·)=

φ·;μ,σ2ladensidaddeLyφ(·)=φ(·;0,1) ladensidaddelaNormalestándarconpercentil

αigualaz_α.Usandolaecuación(3)yladistribucióndeL,setiene:

ES(α)=E[L|L>VaR(α) ]= 1 1−α +∞ qα ufL(u)du= 1 1−α +∞ qα uφ u;μ,σ2 du, (8) luegosehaceelcambiodevariableu=σz+μ(zα =(qα−μ)/σ,du=σdz) :

ES(α) = 1 1−α _+∞ zα (σz+μ)φ(z)dz= 1 1−α σ _+∞ zα zφ(z)dz+μ _+∞ zα φ(z)dz = 1 1−α[−σφ(z)+μΦ(z)]| +∞ zα = 1 1−α[σφ(zα)+μ(1−Φ(zα))] = 1 1−α σφ Φ−1(α) +μ(1−α) =μ+ σ 1−αφ Φ−1(α) . (9)

ESparamixturagaussiana.

SeaahoraL∼MG(π,μ,σ).Antesvimosqueqα =VaR(α) seobtieneresolviendolaecuación

(6).DeladefinicióndeES(α),laecuación(3)yladistribucióndeL,setiene

ES(α) = 1 1−α _+∞ qα ufL(u)du= 1 1−α _+∞ qα uk j=1πjφ u;μj,σj2 du = 1 1−α k j=1πj _+∞ qα uφ u;μj,σj2 du. (10)

La integral dentro de la sumaes lamisma que en (8), conla diferencia queel límite de integracióndependedelacomponenteespecífica.Hacemoselcambiodevariableu=σjz+μjy definimoszj,α=

qα−μj

/σjparaobtenerelresultadoanálogoa(9):

ES(α) = 1 1−α _k j=1πj σjφ zj,α +μj 1−zj,α = 1 1−α k j=1πj −zj,α μj+σj φzj,α −zj,α . (11)

Obsérvesequezj,αdependedeαatravésdeqαydelacomponenteatravésdelosparámetros

(12)

casoqueΦzj,α

=α.Dichodeotraforma,μj+σjφ

zj,α /Φ−zj,α noeselES(α) dela j-ésimacomponente.

ApéndiceB. Pruebasdebondaddeajuste

Eneste apéndicerealizamosdiversaspruebas debondadde ajusteparalosretornos delos factoresderiesgoparacadaunodelosmodelosparamétricosconsiderados.

LafiguraB.1muestralosgráficoscuantil-cuantil(QQ)paralosrendimientosdelosfactores de riesgoenconsideración y ladistribuciónNormal. Comose puedeapreciar, elajustedela distribuciónNormalparecepobre,particularmenteenlascolasdelasdistribuciones.

AlaplicarlapruebadeKolmogorov-Smirnov,elvalordepesmenora0.05,locualpermite rechazarlahipótesisdenormalidaddelosdatosenlos3casos.Lomismoocurreconlaspruebas Jarque-BerayAnderson-Darling,comoseobservaenlatablaB.1.

Enla figuraB.2 se puedeapreciar queelajusteconmixturas gaussianasde 2 componen-teses muchomejorqueconladistribuciónNormal, sibienpersisteunafaltade ajusteenlas colas.

AlrealizarlapruebadebondaddeajustedeKolmogorov-Smirnov(tablaB.2)sepuedeconcluir queelmodelodemixturasgaussianasfinitasesrazonableparadescribirlosretornosdeltipode cambio yelETF. Enelcasodelatasa deCetesa6 meses, existeevidencia pararechazarla

0.08 0.06 0.04 0.02 0 –0.02 –0.04 –0.06 –0.08 –4 –2 0 2 4 –4 –2 0

Cuantiles Normal estándar

Cuantiles muestrales

2 4 –4 –2 0 2 4

USDMXN Naftrac02 Cetes

0.12 30 20 10 0 –10 –20 –30 –40 –50 –60 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 –0.02 –0.04 –0.06 –0.08

FiguraB.1.GráficosQQNormales.

TablaB.1

PruebasdeNormalidad

Activo KS AD JB

Estadístico Valorp Estadístico Valorp Estadístico Valorp

USDMXN 0.086 <0.001 4.190 <0.010 2472 0

Naftrac02 0.095 <0.001 11.260 <0.010 917 0

Cetes 0.187 <0.001 39.380 <0.010 11103 0

(13)

0.08 0.06 0.04 0.02 0 –0.02 –0.04 –0.06 –0.08 –0.08 –0.04 0 0.04 0.08 –0.08–0.04 0 0.04 0.08 0.12 –60 –40 –20 0 20

Cuantiles mixtura gaussiana

USDMXN Naftrac02 Cetes

0.12 30 20 10 0 –10 –20 –30 –40 –50 –60 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 –0.02 –0.04 –0.06 –0.08 Cuantiles muestrales

FiguraB.2.GráficosQQmixturagaussiana.

TablaB.2

PruebasKSparamixturasgaussianas

Activo USDMXN Naftrac02 Cetes

Estadístico 0.0215 0.0207 0.1414

Valorp 0.5589 0.6076 <0.0010

Fuente:Elaboraciónpropia.

hipótesisdequelamixturagaussianamuestrasusretornos.Apesardeello,lafiguraB.3expone queelajusteconmixturasgaussianasessensiblementemejorqueconlaNormal.LafiguraB.3y latablaB.3muestranquelacurtosisenexcesocontribuyealafaltadeajuste.Lacurtosisestimada es3.6vecesladelaNormal,perolaobservadaes6.29vecesmayoralaestimada.

1 Empírica Mixtura gaussiana Normal 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 –15 –10 –5 0 Retornos diarios Probabilidad acumulada 5 10 15

(14)

TablaB.3

Momentosempíricosyestimados(×104₎

Modelo Empírico Mixturagaussiana

Activo USDMXN Naftrac02 Cetes USDMXN Naftrac02 Cetes

Media 0.81 2.86 −2939 0.80 2.78 −2938

Varianza 0.85 2.10 126510 0.70 2.25 126528

Simetría 6706 2148 −33697 1752 −2676 −6862

Curtosis 124740 99984 685974 68017 79773 109083

Fuente:Elaboraciónpropia.

ApéndiceC. CódigoEsperanzayMaximización(EM)yValorenRiesgo(VaR)para

mixturasgaussianas

EnesteapéndicesemuestraelcódigoVBAdesarrolladoparaajustarunamixturagaussiana finitamultivariadasinrestriccionesenelnúmerodecomponentesnienlosparámetros,asícomoel códigoMatlabescritoparaencontrarunpercentilarbitrarioparaunamixturagaussianaunivariada arbitraria.

AlgoritmoEMparamixturasgaussianasﬁnitasmultivariadas.

SubEMd() n=WorksheetFunction.Count(Range(«A:A»)) d=WorksheetFunction.CountA(Range(«1:1»)) tol=0.00000001 maxiter=200 g=2 ’Leelosdatos

Sheets(«Datos»).Activate Forj=1Ton

Forl=1Tod

datos(j,l)=Cells(j+1,l).Value Nextl

Nextj ren=2

’Leevaloresinicialesdelosestimadores itera=0

Fork=1Tog

pr(itera,k)=Sheets(«Iteracion»).Cells(2,1+k).Value Fori=1Tod

mu(itera,k,i)=Sheets(«Iteracion»).Cells(2,1+g+(k-1)*d+i).Value Forj=1Tod

vr(itera,k,i,j)=Sheets(«Iteracion»).Cells(2,1+(d+1)*g+(k-1)*d*d+(i-1)*d+j).Value Ifi>jThenvr(itera,k,i,j)=vr(itera,k,j,i)

Nextj Nexti

(15)

Nextk

’Calculalog-verosimilituddelaiteracióninicial logver(itera)=0

Forj=1Ton Forl=1Tod y(l)=datos(j,l) Nextl

sumando=mix(y,pr,mu,vr,g,itera,d) logver(itera)=logver(itera)+Log(sumando) Nextj logverA(itera)=logver(itera) bandera=True Whilebandera itera=itera+1 Fork=1Tog T1(itera,k)=0 Fori=1Tod T2(itera,k,i)=0 Forl=1Tod T3(itera,k,i,l)=0 Nextl Nexti Forj=1Ton Forl=1Tod y(l)=datos(j,l) Nextl

tauij=tau(y,pr,mu,vr,k,itera-1,g,d) T1(itera,k)=T1(itera,k)+tauij Forl=1Tod

T2(itera,k,l)=T2(itera,k,l)+tauij*y(l) Nextl

yxyt=WorksheetFunction.MMult(WorksheetFunction.Transpose(y),y) Fori=1Tod

Forl=1Tod

T3(itera,k,i,l)=T3(itera,k,i,l)+tauij*yxyt(i,l) Nextl

Nexti Nextj

pr(itera,k)=T1(itera,k)/n Forl=1Tod

mu(itera,k,l)=T2(itera,k,l)/T1(itera,k) Nextl Forl=1Tod y(l)=T2(itera,k,l) Nextl yxyt=WorksheetFunction.MMult(WorksheetFunction.Transpose(y),y) Fori=1Tod Forl=1Tod

vr(itera,k,i,l)=(T3(itera,k,i,l)-yxyt(i,l)/T1(itera,k))/T1(itera,k) Nextl

(16)

Nextk logver(itera)=0 Forj=1Ton Forl=1Tod y(l)=datos(j,l) Nextl

sumando=mix(y,pr,mu,vr,g,itera,d) logver(itera)=logver(itera)+Log(sumando) Nextj

Ifitera>2Then

ak=(logver(itera)-logver(itera-1))/(logver(itera-1)-logver(itera-2)) logverA(itera)=logver(itera-1)+(logver(itera)-logver(itera-1))/(1-ak) Else

logverA(itera)=logver(itera) EndIf

IfAbs(logverA(itera)-logverA(itera-1))<tolOritera=maxiterThenbandera=False Wend

EndSub

Functiontau(y(),pr(),mu(),var(),comp,itera,g,d)AsDouble Fori=1Tod

vmu(i)=mu(itera,comp,i) Forj=1Tod

cov(i,j)=var(itera,comp,i,j) Nextj

Nexti

tau=pr(itera,comp)*fi(y,vmu,cov,d)/mix(y,pr,mu,var,g,itera,d) EndFunction

Functionmix(y(),pr(),mu(),var(),g,itera,d)AsDouble mix=0 Forh=1Tog Fori=1Tod vmu(i)=mu(itera,h,i) Forj=1Tod cov(i,j)=var(itera,h,i,j) Nextj Nexti

mix=mix+pr(itera,h)*fi(y,vmu,cov,d) Nexth

EndFunction

Functionfi(y(),mu(),var(),d)AsDouble Forl=1Tod z(l,1)=y(l)-mu(l) zt(1,l)=y(l)-mu(l) Nextl varinv=Application.WorksheetFunction.MInverse(var) z=Application.WorksheetFunction.MMult(varinv,z) exponente=Application.WorksheetFunction.MMult(zt,z) fi=(2*3.14159)ˆ(-d/2)*(WorksheetFunction.MDeterm(var))ˆ-0.5*exp(-0.5*exponente(1)) EndFunction

(17)

CódigoMatlabparaVaRdemixturasgaussianasﬁnitasunivariadas.

function[VaR,ES]=GaussianMixtureRisk(GMdist,alpha) ifnargin<2

alpha=[0.990.975]; else

ifsize(alpha)==1 alpha=[alphaalpha]; end end VaR=nan(GMdist.NDimensions,1); ES=nan(GMdist.NDimensions,1); forj=1:GMdist.NDimensions mu=GMdist.mu(:,j); sigma=GMdist.Sigma(j,j,:);

GMdistobj=gmdistribution(mu,sigma,GMdist.PComponents); VaR(j)=fzero(@(x)cdf(GMdistobj,x)-alpha(1),0); qalpha=fzero(@(x)cdf(GMdistobj,x)-alpha(2),0); sigmav=nan(GMdist.NComponents,1); fori=1:GMdist.NComponents sigmav(i)=sqrt(sigma(1,1,i)); end

zeta=(q alpha-mu)./sigmav; piv=GMdistobj.PComponents’;

ES(j)=sum(piv.*normcdf(-zeta).*(mu+sigmav.*normpdf(zeta)./normcdf(-zeta)))/(1-alpha(2)); end

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