Estadística Inferencial.
Contextualización.
Se denomina estadístico a un estimador insesgado de un parámetro poblacional si la media o la esperanza del estadístico es igual al parámetro.
En esta sesión definiremos los conceptos de estimación puntal y por intervalos, veremos las características principales de las estimaciones por intervalos del tipo de la media de una población y la proporción de una población; así como las formulas necesarias para el cálculo de la confiabilidad del estimador.
Introducción.
En la actualidad la palabra confiabilidad no es muy común ya que se tiene una gran desconfianza en la mayoría de los procesos de trabajo, más si hablamos en términos de gobierno. Pero esta palabra tiene gran valor y aprecio en términos de calidad de los productos que adquirimos para nuestras necesidades y estos productos típicamente están diseñados bajo normas de calidad, las cuales se apoyan en la estadística inferencial para su mejor control.
Por ejemplo, en estadística inferencial es muy común casos como este que se presenta a continuación:
Si se dice que una distancia es de 5.28 pies, se proporciona una estimación puntual. Si, por otro lado, se dice que la distancia es de 5.28 ± 0.03 pies, esto es, la distancia se ubica entre 5.25 y 5.31 pies, se da una estimación por intervalo.
Introducción.
¿Cuál es la verdadera utilidad de conocer el valor de un parámetro
poblacional?
¿Cuándo debemos de utilizar estos métodos de estimación?
Explicación.
Estimación puntual.
Un estimador puntual es un estadístico muestral que se usa para estimar un
parámetro poblacional. Por ejemplo, la media muestral 𝑥 es un estimador
puntual de la media poblacional µ y la proporción muestral 𝑝 es un estimador
puntual de la proporción poblacional p.
Como no se puede esperar que un estimador puntual suministre el valor exacto
del parámetro poblacional, se suele calcular una estimación por intervalo al
sumar y restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error.
La fórmula para la estimación por intervalo es: Estimación puntal ± Margen de error
Explicación.
El objetivo de la estimación por intervalo es aportar información de que tan cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del parámetro poblacional.
Estimación por intervalo para la media poblacional (µ). Su fórmula es:
𝑥 ± Margen de error
Estimación por intervalo para la proporción población (p), su fórmula es:
𝑝 ± Margen de error
Las distribuciones muestrales de 𝑥 y 𝑝 son clave para calcular estas
Explicación.
Intervalo de confianza para la media µ con σ conocido o desconocida pero n≥30. Se usa la fórmula: 𝑥 − 𝑧𝑎 2 𝜎 𝑁 < 𝜇 < 𝑥 + 𝑧𝑎2 𝜎 𝑁 ; donde: = Promedio de la muestra
Z= valor de z que deja un área de α/2 a la derecha
σ= desviación estándar de la población(o estándar de la muestra en el caso n≥30)
Explicación.
Error estándar es: 𝑧𝑎
2
𝜎 𝑁
Ilustración:
En este caso el verdadero valor para µ estaría ubicado en la región central, es decir dentro de la
probabilidad de 1-α llamado también intervalo de confianza.
Explicación.
Valores de z
α/2para los niveles de confianza más usados:
Nivel de
confianza
α
α/2
z
α/290%
.10
.05
1.645
95%
.05
.025
1.960
99%
.01
.005
2.576
Explicación.
Ejemplo: un fabricante de focos industriales desea conocer la duración
de su producto por experiencia sabe que el tiempo de duración de un
foco es una variable aleatoria normal. Para efectos de estimación toma
una muestra de n= 36 focos, lo cual arrojo una media de 5230 hrs. con
una desviación estándar de 215 hrs. Calcula un intervalo de confianza
de 95% para la verdadera duración promedio de estos focos.
Como sabemos que el tiempo de duración es una variable aleatoria
normal, usaremos la fórmula:
𝑥 − 𝑧
𝑎 2𝜎
𝑁
< 𝜇 < 𝑥 + 𝑧
𝑎2𝜎
𝑁
Explicación.
Tomando los datos que el problema nos da, tenemos que:
1 – α = 95% = .95, por lo tanto α = 1 - .95 = .05 𝑧𝑎 2 = 𝑧 .05 2 = 𝑧 .025 2 = 1.96; 𝑥 = 5230; σ = 215; n= 36 Fuente: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/odontologia/2002890/lecciones/estimacion/estimacion_clip_image030.jpg
Explicación.
Sustituyendo los valores en la formula tenemos que:
5230 − 1.96
215
36
< 𝜇 < 5230 + 1.96
215
36
Haciendo los cálculos el intervalo de confianza quedara así:
5159.77< µ < 5300.23
Esperaríamos que 95% de las veces el verdadero valor de la media µ
estuviera entre 5159 y 5300.
Explicación.
Intervalo de confianza para la proporción p.
𝑝 − 𝑧
𝑎 2 𝑝 1−𝑝 𝑛< 𝑝 < 𝑝 + 𝑧
𝑎2 𝑝 1−𝑝 𝑛 ; Donde:Ejemplo: Un estudio en estados unidos encuesto a 900 golfistas para conocer su opinión acerca de cómo se les trataba en los cursos de golf. En el estudio se encontró que 396 golfistas estaban satisfechas con la disponibilidad de horarios de salida. Por lo tanto, la estimación puntual de la proporción poblacional de golfistas satisfechas con la disponibilidad de horario de salida es 396/900 = 0.44. Calcula un intervalo de confianza del 95% de la proporción de golfistas satisfechas con la disponibilidad de horarios de salida.
Explicación.
Datos: 1 – α = 95% = .95, por lo tanto α = 1 - .95 = .05 𝑧𝑎 2 = 𝑧 .05 2 = 𝑧.025 2 =1.96; 𝑥 = 0.44Sustituyendo lo datos, tenemos que:
0.44 − 1.96 0.44 1 − 0.44
900 < 𝑝 < 0.44 + 1.96
0.44 1 − 0.44 900
Haciendo los cálculos, tenemos el siguiente intervalo de confianza: 0.4076 < p < 0.4724
Esto permite decir con 95% de confianza que entre 40.76 y 47.24% de las golfistas están satisfechas con la disponibilidad de horarios de salida.
Conclusión.
En esta sesión se presentaron los métodos para obtener estimaciones por intervalo de la media poblacional y de la proporción poblacional un estimador puntual puede o no proporcionar una buena estimación de un parámetro poblacional. Un intervalo de estimación suministra una medida de la precisión de una estimación.
Tanto la estimación por intervalo de una media poblacional como la de
una proporción poblacional tienen la forma: Estimación puntal ± Margen
de error.
En la siguiente sesión estaremos trabajando nuevamente las estimaciones por intervalo pero ahora para la Diferencia entre dos medias poblacionales, la diferencia de dos proporciones poblacionales y la Varianza poblacional.
Bibliografía.
Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning. ISBN: 970-686-278-1
Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y
Estadística.(3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-607-15-0270-4
