Practica 3 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto

Práctica 3: Transformada de Fourier en tiempo discreto

Introducción.

La transformada de Fourier X(w) de una señal en tiempo discreto x[n] se calcula mediante la expresión

( ) =

[ ]

[ ] =

1

2

( )

La DTFT X(w) toma valores complejos y es una función continua y periódica en w. El periodo es 2π, representándose normalmente en el intervalo [-π, π]. Al evaluar numéricamen-te la DTFT se presentan dos problemas:

a) La secuencia x[n] puede tener un número infinito de puntos

b) X(w) es una función continua de la frecuencia w y debe ser discretizada para trabajar en un procesador digital.

Para resolver el primer problema consideraremos que la secuencia de entrada está formada por un vector de L puntos siendo 0 para los valores comprendidos entre L + 1 e infinito. Para el segundo, consideraremos que X(w) se evalúa en un numero N finito de frecuencias equitantes en el intervalo [-π, π] con incrementos de 2π/N, es decir se consideran el conjunto dis-creto de frecuencias wk = 2 π k/N con k=0,1,...N-1. Si se elige N lo suficientemente grande los

valores X[2 π k/N] se aproximan a la función X(w) continua origen del muestreo.

Al muestrear la DTFT de esta manera se obtiene la expresión correspondiente a la trasfor-mada discreta de Fourier DFT que en MATLAB se implementa mediante el algoritmo conocido como FFT (Fast Fourier Transform).

(

) = ( ) =

[ ]

_,

_{= 0,1, … ,}

_{− 1.}

Para implementar la dtft usaremos el archivo dtft.m que se lista (si es necesario use help para averiguar cómo funcionan las siguientes líneas)

function [H,W]=dtft(x,N) % uso: [H W]=dtft(x,N)

% x: muestra de longitud L, se supone que de L+1 a infinito la muestra toma va-lor 0.

% N: número de frecuencias a evaluar. N debe ser mayor que L. % H: valores complejos de la DTFT

% W: vector de frecuencias correspondiente a la los valores H calculados N=fix(N); %aproxima a entero redondeando al entero inferior

L=length(x); if(L>N)

error('DTFT: numero de muestras, L, debe ser inferior al numero de frec a calcu-lar N')

end %

% wk=2*pi*k/N con k=0,1,2, ... ,N-1 w=2*pi/N*(0:N-1);

%

medio=ceil(N/2)+1 %aproxima a entero redondeando al entero inferior % % evaluamos la DTFT de -pi a pi % W(medio:N)=W(medio:N)-2*pi; W=fftshift(W); H=fftshift(fft(x,N));

En la función anterior se realizó un desplazamiento (fftshift) en frecuencias con objeto de que los resultados de w se den en el intervalo [-, ].

Ejercicios del apartado 1:

3.1.1(*) Represente la dtft en módulo y fase de la señal x[n]= 0.88n*exp(j(2π/5)n), con L= 40 y N=128.

3.1.2 Compare los resultados y explique que sucede si se toman valores de N=40, N=64 y N=1024.

3.1.3(*) Con N = 128 cambie el valor de L, por ejemplo L=15 y L=128 y comente los resulta-dos

3.1.4 Repita los apartados anteriores para la señal x1[n] = exp(j(2π/5)n) y x2[n]=cos((2π/5)n). Explique las diferencias con los apartados anteriores.

DFT y FFT····>Algoritmto FFT para calcular la Transformada Discreta de

Fourier

El algoritmo FFT es una manera eficiente de calcular la DFT. En MATLAB la función es X=fft(x,N)

 Calcula la FFT de N puntos del vector x.

 El resultado X es un vector de números complejos ordenados con índice k=0,1,...N-1.  Si no se da el segundo parámetro se considera como N la longitud del vector. Para que el

algoritmo sea eficiente N debe ser potencia de 2.

 Si la longitud de x es menor que N, el vector se rellena con ceros. Si es mayor el vector es truncado.

x = ifft(X)

Calcula la transformada de Fourier inversa del vector X. También se puede especificar el número de puntos N con ifft(X,N)

X=fftshift(x)

Reordena el vector X en orden creciente de frecuencias de tal manera que la componente continua queda centrada.

Ejercicios del apartado 2

3.2.1(*) Sea la secuencia x[n] = cos(0.25pn) + cos(0.5pn)+ cos(0.52pn). Se pide Calcular la DFT utilizando la función matlab fft(x,N) con N=L= longitud de las secuencia x[n] y repre-sentar su módulo para diferentes valores de número de muestras L. Pruebe por ejemplo los siguientes valores N=16, N=32, N=64, N=128. Indique a partir de qué valor de N son distin-guibles las tres frecuencias de la señal.

3.2.2 ¿Cómo están relacionados los valores de L, N y la resolución en frecuencias?

3.2.3 Compruebe que sucede en el espectro de la señal si la una secuencia de L= 100 mues-tras de x[n] se rellena con ceros hasta N=128.

3.2.4(*) Calcule la inversa de la función X(w) utilizando la función ifft(X) para recuperar la señal en el dominio de tiempos.

3.2.5 Suponga que se desea estudiar el contenido en frecuencias usando la FFT, de la siguien-te señal.

x(t) = 0.0472 cos(2(200)t + 1.5077) + 0.1362 cos(2(400)t + 1.8769) + 0.4884 cos(2(500)t - 0.1852) + 0.2942 cos(2(1600)t -1.4488) + 0.1223 cos(2(1700)t). ¿Cuál es su frecuencia fundamental? ¿Qué frecuencia de muestreo debe usarse? Estime un valor adecuado de N para obtener suficiente precisión en frecuencias. Represente |X(w)| y la fase de X(w) en función de w.

3.2.6 Calcule la inversa de la función X(w) utilizando la función ifft (X) para recuperar la se-ñal en el dominio de tiempos.

Enventanado, "Leakage" y resolución espectral.

Enventanado

Sea la secuencia x[n] = sen(2n/5)

Limitar la secuencia de entrada al intervalo 0, L-1 es equivalente a multiplicar la señal de entrada x[n] por una ventana rectangular w(n) de longitud L= 40 donde

w[n] = l para 0 <= n < L - l

w[n] = 0 para el resto

Ejercicios del apartado 3

3.3.1.(*) Represente el espectro de las señales w[n], x[n] y del producto y[n]=w[n]*x[n]. Utilice la función fft calculando un número suficiente de valores (N=128) para explicar los re-sultados anteriores.

3.3.2. Explique, a partir de los espectros anteriores, la relación del valor máximo obtenido en el eje de ordenadas al representar |Y(w)| con los parámetros L y N.

Leakage

Una consecuencia del enventanado es que el espectro de la señal no se localiza en una úni-ca frecuencia. Es decir si tenemos una señal como x(t) = sen wot que solo debería tener una

frecuencia fundamental w=wo, al calcular su FFT tomando una ventana cuadrada, aparecerán

componentes adicionales la frecuencia w y su espectro se extiende por todo el intervalo de frecuencias. Este efecto se conoce como derrame, o bien con el término inglés "Leakage"

Para comprender este efecto y estimar un valor adecuado para el tamaño de la ventana se pide realizar las siguientes representaciones y estudiar los comportamientos que se presentas en los siguientes casos.

Ejercicios

Para todo el ejercicio se considera una señal continua infinita dada por x(t) = sen(2π f t) con f = 1 KHz. El efecto de aplicar una ventana cuadrada es equivalente a reducir el intervalo de muestreo en 0 < t < tamaño de ventana. Para todos los casos se pide calcular x[n], X(w)=DTFT(x[n]), y X[k]=DFT(x[k]), Representar |X(w)| y |X[k]|.

3.3.3.(*) Suponga que toma N= 8 muestras considerando el intervalo 0 < t < 1 ms. ¿Cuál es la frecuencia de muestreo Fs?

3.3.4.(*) Suponga que toma N= 8 muestras considerando el intervalo 0 < t < 0.5 ms. ¿Cuál es la frecuencia de muestreo Fs?

3.3.5. Suponga que toma N= 24 muestras considerando el intervalo 0 < t < 1.5 ms. 3.3.6. Suponga que toma N= 64 muestras considerando el intervalo 0 < t < 4 ms.

3.3.7.(*) Explique que valores de tamaño de la ventana son los adecuados para reducir el efecto de "Leakage"

Resolución espectral

El enventanado reduce la resolución espectral (diferencia entre la frecuencia de dos señales para que pueden ser distinguidas). Para ello considerar que la señal de entrada viene dada por

[ ] = exp( 0.2 π n) + exp( 0.22 π n) + exp( 0.6 π n)

3.3.8 Representar la dtft de esta señal para N=128 y para L=25, 50 y 100. ¿Qué relación hay entre L y la resolución en frecuencia?

Con el fin de reducir el derrame es posible elegir una ventana w(n) cuya dtft W(w) tenga lóbu-los laterales más pequeños, pero esto provoca un aumento en la anchura del lóbulo principal, lo que provoca una disminución en la resolución espectral.

3.3.9 Comprobar este efecto para la señal x[n] anterior usando una ventana de Hamming de-finida por

w(n) = 1/2(1-cos(2exp( 0.2 π n)n/(L - 1)) para 0<= n <L-l w(n) = 0 en el resto

3.3.10 Comparar la dfft de una ventana rectangular y de una ventana de Hamming usando el mismo valor de L=50

Analizador de Espectros.

Un analizador de espectro es un sistema que permite obtener las frecuencias que están pre-sentes en una señal discreta.

El sistema más simple que nos permite verificar si una señal tiene una componente con fre-cuencia w1 sería

donde se multiplica la señal de entrada por e-jw

1n para desplazar la componente con frecuencia

w=w1 al origen de frecuencias w=0 y al aplicar el filtro pasa bajas se obtendrá la contribución

de la componente de la señal con w= w1.

Repitiendo este proceso para cada frecuencia w= wk, se obtendría el espectro del sistema.

Un sistema como el descrito adolece de dos grandes inconvenientes:  Implica que se conocen las frecuencias presentes en la señal.

 La respuesta en frecuencia del filtro pasa baja debe ser cero salvo para w=0.

No obstante tiene su utilidad si se pretende conocer si determinadas frecuencias están pre-sentes en la señal y solo interesa la contribución de estas componentes.

Para señales periódicas de periodo N el FPBJ puede sustituirse simplemente por un acumu-lador que suma L puntos

En el caso N=L el comportamiento de este sistema es un filtro pasa baja ideal. El sistema an-terior tiene h[n]= [1, 1, 1,...1] con L puntos distintos de 0 y su H(w) para L=10 es

Ejercicios del apartado 4

Considere la señal discreta con periodo N=10.

x[n] = 8 + 10sen(2π/10)n

3.4.1 Represente la señal x[n] en un rango adecuado de valores para verificar que es periódi-ca

3.4.2 Utilizando el sistema descrito obtenga los componentes X[k]. Recuerde que el caso es-tudiado en el ejemplo corresponde con N=L=10. ¿Qué componentes de frecuencia son distin-tos de cero? ¿Qué valores toman y por qué?

3.4.3 Compare los resultados con los obtenidos mediante la fft

3.4.4 Conocido el espectro exacto de x[n] y del acumulador empleado, explique razonadamen-te el funcionamiento del sisrazonadamen-tema. ¿Por qué el acumulador se puede utilizar como FPBJ? Repre-sente en el dominio de frecuencias los diferentes espectros que resultan después de aplicar el desplazamiento en frecuencias y su posterior filtrado.