Jos´
e Orlando Namuche Paiva
Edinson Enrique Reyes Alva
Carlos Daniel Vel´
asquez Correa
2012
Jos´
e Orlando Namuche Paiva
Edinson Enrique Reyes Alva
Carlos Daniel Vel´
asquez Correa
Autores:
Jos´e Orlando Namuche Paiva Edinson Enrique Reyes Alva Carlos Daniel Vel´asquez Correa
La presentaci´on y disposici´on en conjunto de GEOMETR´IA ANAL´ITICA son propiedad del edi-tor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida, mediante ning´un sistema o m´etodo, electr´onico o mec´anico (incluyendo el fotocopiado, la grabaci´on o cualquier sistema de recuperaci´on y almacenamiento de informaci´on), sin consentimiento por escrito del editor o de los autores
Derechos reservados c
Primera edici´on: Setiembre 2012
Obra editada por:
Jos´e Orlando Namuche Paiva
Este texto se ha dise˜nado pensando en cubrir las necesidades b´asicas que afronta un estudiante en el nivel universitario, ya sea en Ciencias como Ingenier´ıa lo referente a Matrices, Determi-nantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Los temas est´an desarrollados en forma secuencial, dando ´enfasis al capitulo 1, que se ha con-siderado como fundamental para entender los dem´as cap´ıtulos.
Una caracter´ıstica del libro es los numerosos ejemplos, ejercicios desarrollados o demostraciones de los Teoremas, as´ı como las aplicaciones vistas en diferentes materias.
Los autores agradecemos de antemano a los colegas, estudiantes y p´ublico en general, que nos hagan llegar sus cr´ıticas y sugerencias, que lo recibiremos con mucho gusto, pues entenderemos que servir´a para enriquecer este material.
Prefacio I
1. Vectores en el plano 1
1.1. Introducci´on . . . 1
1.2. Segmento de Recta Dirigidos y Vectores . . . 2
1.3. Definici´on de vector en el plano . . . 3
1.4. Definici´on de m´odulo y de direcci´on . . . 4
1.5. Teorema . . . 4
1.6. Definici´on de la suma de vectores . . . 5
1.7. Definici´on del negativo de un vector . . . 7
1.8. Definici´on: Diferencia de dos vectores . . . 8
1.9. Definici´on del producto de un vector y un escalar . . . 9
1.10. Teorema . . . 10
1.11. Definici´on de espacio vectorial real . . . 12
1.12. Ejercicios resueltos . . . 16
1.13. Ejercicios propuestos . . . 34
2. Ecuaciones vectoriales de la recta 36 2.1. Rectas y segmentos de recta en el plano . . . 36
2.2. Puntos que est´an sobre una recta . . . 40
2.3. Pendiente de una Recta: Rectas Paralelas y Perpendiculares . . . 44
2.4. Ecuaciones Cartesianas en la recta . . . 47
2.4.1. Forma cartesiana ordinario de la ecuaci´on de una recta . . . 47
2.5. Ecuaci´on Punto y Pendiente, y Ecuaci´on de la Recta que pasa por dos Puntos Dados . . . 50
2.6. Ecuaci´on de la recta punto y pendiente en t´erminos de las intersecciones con los ejes . . . 53
2.7. Forma Sim´etrica de la Ecuaci´on de la Recta . . . 55
2.8. Resumen del cap´ıtulo . . . 56
2.9. Problemas Resueltos . . . 58
3.2.1. Trazo de una Circunferencia . . . 71
3.3. Propiedades de la circunferencia . . . 77
3.4. Propiedades . . . 78
3.4.1. Propiedad del cuadril´atero inscrito en una circunferencia . . . 78
3.4.2. Propiedad del cuadril´atero circunscrito en una circunferencia . . . 80
3.5. Forma General de la Ecuaci´on de la Circunferencia . . . 81
3.5.1. Aplicaciones . . . 81
3.5.2. Determinaci´on de una Circunferencia Sujetas a tres Condiciones Dadas . 83 3.6. Potencia de un punto con relaci´on a una circunferencia . . . 85
3.7. Familia de Circunferencia . . . 86
3.7.1. Familia de circunferencias que pasan por la intersecci´on de dos circunfer-encias dadas . . . 86 3.7.2. Eje Radical . . . 87 3.8. Problemas Resueltos . . . 88 3.9. Problemas Propuestos . . . 106 3.9.1. Grupo I . . . 106 3.9.2. Grupo II . . . 111 3.9.3. Grupo III . . . 113 3.9.4. Grupo IV . . . 115 4. Par´abola 117 4.1. Introducci´on . . . 117 4.2. Par´abola . . . 118 4.3. Elementos . . . 119
4.3.1. Ecuaci´on de la Par´abola con Eje Focal paralelo al Eje X . . . 119
4.3.2. Ecuaci´on de la Par´abola con Eje Focal paralelo al Eje Y . . . 121
4.3.3. El V´ertice en el Origen . . . 121
4.4. Teoremas . . . 122
4.5. Aplicaciones . . . 123
4.6. Problemas Resueltos y Aplicativos . . . 124
4.7. Ejercicios Propuestos . . . 162
5. Elipse 169 5.1. Introducci´on . . . 169
5.2. Definici´on de Elipse . . . 170
5.3. Rectas Directrices . . . 171
5.8. Ejercicios propuestos . . . 209 5.8.1. Grupo 1 . . . 209 5.8.2. Grupo 2 . . . 210 5.8.3. Grupo 3 . . . 211 5.8.4. Grupo 4 . . . 212 5.8.5. Soluciones Grupo 1 . . . 212 5.8.6. Soluciones Grupo 2 . . . 213 6. Hip´erbola 215 6.1. Introducci´on . . . 215
6.2. Problemas y ejercicios resueltos . . . 219
6.3. Ejercicios y problemas propuestos . . . 244
6.4. Respuestas Ejercicios Propuestos . . . 245
7. Rotaci´on y traslaci´on de los ejes coordenados 254 7.1. Introducci´on . . . 254
7.2. Rotaci´on de los Ejes Coordenados . . . 255
7.3. Traslaci´on y Rotaci´on de Ejes . . . 258
7.3.1. Introducci´on . . . 258 7.4. Transformaciones de Coordenadas . . . 260 7.4.1. Traslaciones de ejes . . . 261 7.4.2. Rotaci´on de ejes . . . 268 7.5. Problemas Desarrollados . . . 280 7.6. Problemas Propuestos . . . 321
8. Coordenadas Polares, cil´ındricas y esf´ericas 326 8.1. Coordenadas polares y gr´aficas polares . . . 326
8.1.1. Criterios de Simetr´ıa . . . 336
8.1.2. Tipos de caracoles . . . 340
8.2. Coordenadas Cil´ındricas y Esf´ericas . . . 345
8.3. Transformaciones Cil´ındricas (r, θ, z) . . . 350
8.4. Caracter´ıstica de las coordenadas cil´ındricas . . . 351
8.5. Transformaciones Esf´ericas (ρ, θ, φ) . . . 356
8.5.1. Caracter´ısticas de las coordenadas esf´ericas . . . 357
8.5.2. Jacobiano de la transformaci´on esf´erica (ρ, θ, φ) . . . 358
8.5.3. Interpretaci´on geom´etrica de la transformaci´on esf´erica . . . 358
8.5.4. Generaci´on de una esfera . . . 363
8.6. Rectas Tangentes en el Polo . . . 364
8.7. Interceptos con los Ejes Principales . . . 365
8.7.1. Rectas en coordenadas polares . . . 365
8.8. Ejercicios Resueltos . . . 366
8.9. Ejercicios Propuestos . . . 380
9. Superficies Cuadr´aticas 386 9.1. Introducci´on . . . 386
9.2. Superficies Cu´adricas . . . 387
9.2.1. Discusi´on de la Gr´afica de la Ecuaci´on de una Superficie . . . 388
9.3. Estudio de las Superficies Cuadr´aticas . . . 389
9.3.1. Elipsoide . . . 389
9.3.2. La Esfera . . . 390
9.3.3. Simetr´ıas con respecto al Origen, Ejes y Planos Coordenados . . . 391
9.3.4. Paraboloide El´ıptico . . . 392
9.4. Hiperboloide de una Hoja . . . 394
9.4.1. Gr´afica del Hiperboloide de una Hoja . . . 394
9.5. Hiperboloide de dos Hojas . . . 396
9.5.1. Discusi´on de la Gr´afica . . . 396
9.6. Paraboloide Hiperb´olico . . . 398
9.6.1. Discusi´on de la Gr´afica: El Paraboloide Hiperb´olico para su Caso c > 0 . 398 9.7. Cono El´ıptico . . . 399
9.7.1. Discusi´on de la Gr´afica . . . 400
9.8. Ejercicios Resueltos . . . 401
Vectores en el plano
1.1 Introducci´
on
Las aplicaciones matem´aticas con frecuencia se relacionan con magnitudes que poseen tanto cantidad (o intensidad) tomo direcci´on. Un ejemplo de tales magnitudes es la relatividad. As´ı, la velocidad de un avi´on tiene cantidad (la rapidez con que vuela) y direcci´on. la cual determina su curso. Otros ejemplos de dichas magnitudes son la fuerza, el desplazamiento y aceleraci´on. Los f´ısicos e ingenieros entienden por vector un segmento rectil´ıneo dirigido, y las magnitudes que poseen cantidad y direcci´on se denominan magnitudes vectoriales. En contraste, una magni-tud que tiene cantidad pero no direcci´on se llama magnimagni-tud escalar. Ejemplos de magnimagni-tudes escalares son la longitud, el ´area, el volumen, el costo, la utilidad, y la rapidez. El estudio de los vectores recibe el nombre de an´alisis vectorial. El an´alisis vectorial puede estudiarse en forma geom´etrica o anal´ıtica. Si el estudio es geom´etrico, primero se define un segmento rectil´ıneo di-rigido (o brevemente segmento didi-rigido) como un segmento de recia que parte desde un punto P y llega a un punto Q y se denota por −→P Q. El punto P se llama punto inicial, y el punto Q se denomina punto terminal. Despu´es. se dice que dos segmentos dirigidos son iguales si tienen la misma longitud y la misma direcci´on) y se escribe−→P Q = −→RS (consulte la figura 1.1). El segmento dirigido −→P Q se llama vector de P a Q. Un vector se denota por una sola letra en tipo negro A.
P R
Q S
−→ P Q =−→RS Figura 1.1:
−→
P Q es el vector A, y −→P Q =−→US, entonces el segmento dirigido−→RS tambi´en es el vector A. Por esto se considera que un vector permanece sin cambio si se mueve paralelamente a s´ı mismo. Con esta interpretaci´on de vector, se puede suponer, por conveniencia, que cada vector tiene su punto inicial en alg´un punto de referencia fijo. Si se, considera este punto como el origen del sistema coordenado cartesiano rectangular, entonces un vector puede definirse anal´ıticamente en t´erminos de n´umeros reales. Tal definici´on permite el estudio del an´alisis vectorial desde un punto de vista puramente algebraico.
En este trabajo se emplea el estudio anal´ıtico, mientras que la interpretaci´on geom´etrica se utiliza con fines ilustrativos. Un vector en el plano se denota por un par ordenado de n´umeros reales y la notaci´on hx, yi se emplea en lugar de (x, y) para evitar la confusi´on entre vector y punto, V2 es el conjunto de todos los pares ordenados hx, yi.
1.2 Segmento de Recta Dirigidos y Vectores
Puesto que cantidades como fuerza, velocidad y aceleraci´on tiene direcci´on y magnitud, conviene representarlas en forma geom´etrica. Para hacerlo emplearemos el concepto de vectores, que tienen tanto magnitud, como direcci´on. Los vectores no s´olo son importantes en f´ısica e ingenier´ıa; muchos problemas geom´etricos pueden simplificarse con su uso, en especial los de geometr´ıa anal´ıtica de s´olidos. Una de las razones por las que los vectores son tan ´utiles es la diversidad de interpretaciones que se les puede dar. Como nos interesan principalmente las aplicaciones geom´etricas, representaremos en forma geom´etrica a los vectores mediante segmentos de recta dirigidos.
Supongamos que A y B son puntos (no necesariamente distintos) en el espacio. El segmento de recta dirigido de A a B se representa mediante −→AB; a B se le llama punta y a a A la cola del segmento. Dos segmentos de recta dirigidos−→AB y −−→CD son equivalentes, −→AB =−−→CD
1. Si ambos tienen longitud cero, o
2. si ambos tiene la misma longitud positiva, quedan e la misma recta o rectas paralelas, y si tienen tambi´en la misma direcci´on (ver figura 2.1, en la cual −→AB =−−→CD y −→EF = −−→GH). Con esta informaci´on podremos demostrar f´acilmente el siguiente teorema
Teorema 1.1. a) −→AB =−→AB para todo segmento de recta dirigido −→AB b) Si −→AB =−−→CD, entonces −−→CD =−→AB
c) Si −→AB =−−→CD y −−→CD =−→EF , entonces−→AB =−→EF
Elijamos ahora un segmento se recta dirigido−→AB. Sea M1 el conjunto de los segmentos de recta dirigido equivalentes a −→AB. Ahora seleccionemos otro segmento, −−→CD, que no est´e en M1, y sea
M2 el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos en una serie de subconjuntos, y ninguno de ellos tiene elemento alguno en com´un. A estos subconjuntos los llamaremos vectores. As´ı, un vector es determinado conjunto de segmentos de recta dirigidos, mutuamente equivalentes
1.3 Definici´
on de vector en el plano
Un vector en el plano es un par ordenado de n´umeros reales hx, yi. Los n´umeros x y y son las componentes del vector hx, yi.
De esta definici´on, dos vectores ha1, a2i y hb1, b2i son iguales si y s´olo si a1 = b1 y a2 = b2. Existe una correspondencia entre los vectores hx, yi del plano y los puntos (x, y) del plano. Sea el vector A el par ordenado de n´umeros reales ha1, a2i. Si A es el punto (a1, a2), entonces el vector A puede representarse geom´etricamente por el segmento dirigido −→OA. Este segmento dirigido es una representaci´on del vector A. Cualquier segmento dirigido a −→OA tambi´en es una representaci´on del vector A. La representaci´on particular de un vector con su punto inicial en el origen se denomina representaci´on de posici´on del vector.
Ejemplo 1.1. El vector h2, 3i tiene como su representaci´on de posici´on el segmento dirigido desde el origen hasta el punto (2, 3). La representaci´on del vector h2, 3i cuyo punto inicial es (h, k) tiene como punto terminal (h + 2, k + 3) consulte la figura 1.2.
b b 0 (h, k) (2,3) (h + 2, k + 3) y x Figura 1.2:
El vector (0,0) se denomina vector cero y se denota por 0, esto es 0 = h0, 0i. Cualquier punto es una representaci´on del vector cero.
1.4 Definici´
on de m´
odulo y de direcci´
on
El m´odulo de un vector A, denotado por kAk, es la longitud de cualquiera de sus representa-ciones, y la direcci´on de un vector diferente del vector cero es la direcci´on de cualquiera de sus representaciones.
1.5 Teorema
Si kAk es el vector ha1, a2i, entonces kAk = p
a2 1+ a22
Demostraci´on. De la definici´on kAk es la longitud de cualquiera de las representaciones de A. entonces kAk ser´a la longitud de la representaci´on de posici´on de A, la cual es la distancia del origen al punto (a1, a2). De la f´ormula de la distancia entre dos puntos, se obtiene
kAk = p(a1− 0)2+ (a2− 0)2 = q a2 1+ a22 kAk (a1, a2)
Observe que kAk es un n´umero no negativo y no un vector. Del teorema, se tiene k0k = 0 Ejemplo 1.2. Si A = h−3, 5i, entonces
kAk = p(−3)2 + 52 = √32
El ´angulo director de cualquier vector diferente del vector cero es el ´angulo θ medido desde la parte positiva del eje x en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj hacia la representaci´on de posici´on del vector.
Si θ se mide en radianes, entonces 0 ≤ θ < 2π. Si A = ha1, a2i, entonces
tan θ = a2 a1
θ (a1, a2) Figura 1.3: θ (a1, a2) Figura 1.4: θ Figura 1.5:
Si a1 = 0 y a2 > 0, entonces θ = 12π; si a1 = 0 y a2 < 0, entonces θ = 32π. Las figuras 1.3 a 1.5 muestran el ´angulo director θ para vectores espec´ıficos cuyas representaciones de posici´on est´an dibujadas en ellas.
Observe que si A = ha1, a2i y θ es el ´angulo director de A entonces
a1 = kAk cos θ y a2 = kAk sen θ (1.2)
refi´erase a la figura 1.6, donde el punto (a1, a2) est´a en el primer cuadrante.
kAk θ a1 a2 (a1, a2) Figura 1.6:
Si el vector A = ha1, a2i, entonces la representaci´on de A cuyo punto inicial es (x, y) tiene como punto terminal al punto (x + a1, y + a2) de tal manera, un vector puede considerarse como una traslaci´on del punto es s´ı mismo. La figura 1.7 muestra cinco representaciones del vector A = ha1, a2i. En cada caso A traslada el punto (xi, yi) en el punto (xi+ a1, yi+ a2)
La definici´on siguiente proporciona el m´etodo para sumar dos vectores
1.6 Definici´
on de la suma de vectores
La suma de los vectores A = ha1, a2i y B = hb1, b2i es el vector A + B definido por
b b b b b (x1+ a1, y1+ a2) (x2+ a1, y2+ a2) (a1, a2) (x3+ a1, y3+ a2) (x4+ a1, y4+ a2) (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) (x4, y4) Figura 1.7:
Ejemplo 1.3. Si A = h3, 1i y B = h4, 5i, entonces
A + B = h3 + (−4), −1 + 5i = h1, 4i R (x + (a1+ b1), y + (a2+ b2)) P (x, y) Q(x + a1, y + a2) A B Figura 1.8:
La interpretaci´on geom´etrica de la suma de dos vectores, se muestra en la figura 1.8. Sean A = ha1, a2i y B = hb1, b2i, y sea P el punto (x, y). Entonces A traslada el punto P al punto (x + a1, y + a2) = Q. El vector B traslada el punto Q al punto ((x + a1) + b1, (y + a2) + b2) o
equivalentemente, (x + (a1 + b1), y + (a2+ b2)) = R. Adem´as.
A + B = ha1+ b1, a2+ b2i
En consecuencia, el vector A + B traslada el punto P al punto (x + (a1+ b1), y + (a2+ b2)) = R. As´ı en la figura 1.8. −→P Q es una representaci´on de A. −→QR es una representaci´on del vector B, y −→
P R es una representaci´on A+B. Las representaciones de los vectores A y B son lados adyacentes de un paralelogramo, y la representaci´on del vector A + B es es una diagonal del paralelogramo. Esta diagonal se denomina resultante de los vectores A y B. La regla para la adici´on de vectores tambi´en se conoce como ley del paralelogramo.
La fuerza es una magnitud vectorial donde la cantidad se expresa en unidades de fuerza y el ´angulo director se determina mediante la direcci´on de la fuerza. En f´ısica se demuestra que dos fuerzas aplicadas aun objeto en un punto particular pueden reemplazarse por una fuerza equivalente, la cual es su resultante.
1.7 Definici´
on del negativo de un vector
Si A = ha1, a2i, entonces el negativo de A, denotado por −A, es el vector h−a1, −a2i.
Si el segmento dirigido−→P Q es una representaci´on del vector A, entonces el segmento dirigido−→QP es una representaci´on de −A. Cualquier segmento dirigido paralelo a −→P Q, que tenga la misma longitud de −→P Q y sentido contrario de −→P Q, es tambi´en una representaci´on de −A. Refi´erase a la figura 1.9
P
Q
A −A
Figura 1.9:
La diferencia de los vectores A y B definida por A − B, es el vector que se obtiene al sumar A al negativo de B; es decir,
A − B = A + (−B) As´ı, si A = ha1, a2i y B = hb1, b2i, entonces −B = h−b1, −b2i
A − B = ha1 − b1, a2− b2i Ejemplo 1.4. Si A = h4, −2i y B = h6, −3i. entonces
A − B = h4, −2i − h6, −3i = h4, −2i + h−6, 3i = h−2, 1i
A fin de interpretar geom´etricamente la diferencia de dos vectores, considere que las representa-ciones de los vectores A y B tienen el mismo punto inicial. Entonces el segmento dirigido desde el punto terminal de B al punto terminal del segmento dirigido de la representaci´on de A es una representaci´on del vector A − B. Esto obedece a la ley del paralelogramo B + (A − B) = A. Consulte la figura 1.10.
A
B
A − B
Figura 1.10:
Ejemplo 1.5. Si P es el punto (−6, 7) y Q es el punto (2, 9), entonces V (−→P Q) = h2 − (−6), 9 − 7i
= h8, 2i
Suponga que P es el punto (a1, a2) y Q es el punto (b1, b2). Se emplear´a la notaci´on V (−→P Q) para denotar el vector que tiene el segmento dirigido−→P Q como una representaci´on. Consulte la figura 1.11, la cual muestra la representaci´on de los vectores V (−→P Q), V (−→OP ) y V (−→OQ). Observe que:
V (−→P Q) = V (−→OQ) − V (−→OP ) V (−→P Q) = hb1, b2i − ha1, a2i V (−→P Q) = hb1− a1, b2 − a2i
Otra operaci´on con vectores es la multiplicaci´on escalar (o multiplicaci´on por un escalar) que implica el producto de un vector y un escalar (un n´umero real).
Q(b1, b2)
P (a1, a2)
O
Figura 1.11:
1.9 Definici´
on del producto de un vector y un escalar
Si c es un escalar y A es el vector ha1, a2i. entonces el producto de c y A, denotado por cA, es el vector definido por
cA = c ha1, a2i = hca1, ca2i
Ejemplo 1.6. Si A = h4, −5i, entonces
3A = c h4, −5i = h12, −15i El m´odulo del vector cA se calcula como sigue:
kcAk = p(ca1)2+ (ca2)2 = q c2(a2 1+ a22) = √c q a2 1+ a22 = ckAk
Por tanto el m´odulo de cA es el valor absoluto de c por el m´odulo de A. La interpretaci´on geom´etrica del vector cA se presenta en las figuras 1.12 y 1.13. Si c > 0, entonces cA es un vector cuya representaci´on tiene una longitud de c veces el m´odulo de A y tiene la misma direcci´on de A; un ejemplo de esto se muestra en la figura 1.12, donde c = 3. Si c < 0, entonces cA es un vector cuya representaci´on tiene una longitud que es |c| veces el m´odulo de A y posee direcci´on opuesta a la de A. Esta situaci´on se ilustra en la figura 1.13 donde c = 1
2. El teorema siguiente proporciona las leyes que satisfacen las operaciones de adici´on vectorial y multiplicaci´on por un escalar de vectores de V2.
3A A Figura 1.12: A 1 2A Figura 1.13:
1.10 Teorema
Si A, B y C son tres vectores cualesquiera de R2, y c y d son dos escalares cualesquiera, entonces la adici´on vectorial y la multiplicaci´on por escalar satisfacen las siguientes propiedades:
(i) A + B = B + A (ley conmutativa)
(ii) A + (B + C) = (A + B) + C (ley asociativa)
(iii) Existe un vector 0 en V2 para el cual A + 0 = A (existencia del id´entico aditivo)
(iv) Existe un vector −A en V2 tal que A + (−A) = 0 (existencia del inverso aditivo o negativo)
(vi) c(A + B) = cA + cB (ley distributiva)
(vii) (c + d)A = cA + dA (ley distributiva)
(viii) 1(A) = A (existencia del id´entico multiplicativo escalar)
Demostraci´on. Se presentar´an las demostraciones de (i) y (vi), las dem´as se dejan como ejercicios. En la demostraci´on de (i) se utiliza la propiedad conmutativa para los n´umeros reales, y en la demostraci´on de (vi) se emplea la propiedad distributiva para los n´umeros reales. Sean A = ha1, a2i y B = hb1, b2i. Demostraci´on de (i) A + B = ha1, a2i + hb1, b2i = ha1+ b1, a2+ b2i = hb1+ a1, b2+ a2i = hb1+ b2i + ha1, a2i = B + A Demostraci´on de (vi) c(A + B) = c(ha1, a2i + hb1, b2i) = c(ha1+ b1, a2 + b2i) = hc(a1+ b1), c(a2+ b2)i = hca1+ cb1), ca2+ cb2)i = hca1, ca2i + hcb1, cb2i = c ha1, a2i + c hb1, b2i) = cA + cB
El teorema es muy importante debido a que cualquier Ley algebraica para las operaciones de adici´on vectorial y multiplicaci´on por un escalar en V2. se puede deducir a partir de las ocho propiedades establecidas en el teorema. Estas leyes son semejantes a las leyes de la aritm´etica de n´umeros reales. Adem´as, en ´algebra lineal, un espacio vectorial real se define como un conjunto de vectores junto con el conjunto do n´umeros reales (escalares) y las dos operaciones de adici´on vectorial y multiplicaci´on por un escalar que satisfacen las ocho propiedades presentadas en el teorema
Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos, llamados vectores, junto con el con-junto de n´umeros reales denominados escalares, con dos operaciones llamadas adici´on vectorial y multiplicaci´on vectorial por un escalar, tal que para cada par de vectores A y B en V y para cualquier escalar c, se definen los vectores A + B y cA de modo que las propiedades (i)-(viii) del teorema se cumplan.
De esta definici´on, V2 es un espacio vectorial.
Ahora se considerar´a un vector arbitrario de 2 y se expresar´a en una forma especial:
ha1, a2i = ha1, 0i + h0, a2i
= a1h1, 0i + a2h0, 1i (1.3)
Debido a que el m´odulo de cada uno de los dos vectores h1, 0i y h0, 1i es una unidad, se les conoce como vectores unitarios. A continuaci´on se presenta la notaci´on para estos dos vectores unitarios:
i = h1, 0i j = h0, 1i Con estas notaciones se tiene (1.3)
ha1, a2i = a1i + a2j (1.4) i j 1 1 Figura 1.14:
la representaci´on de posici´on de los vectores i y j se muestra en la figura 1.14. La ecuaci´on (1.4) establece que cualquier vector de V2 puede escribirse como una combinaci´on lineal de i y j. De esta proposici´on y del hecho de que i y j son independientes (es decir, sus representaciones de posici´on no son colineales), se dice que los vectores i y j forman una base para el espacio vectorial V2). El n´umero de elementos de una base del espacio vectorial se denomina dimensi´on del espacio vectorial. Por tanto V2 es un espacio vectorial bidimensional o de dos dimensiones. Ejemplo 1.7. De (1.4)
kAk θ a2 a1 (a1, a2) Figura 1.15:
Sean A el vector ha1, a2i y θ el ´Angulo director de A. Observe la figura 1.15, donde el punto (a1, a2) est´a en el segundo cuadrante y se muestra la presentaci´on de posici´on de A. Como A = a1i + a2j, a1 = kAk cos θ y a2 = kAk sen θ, entonces se puede escribir
A = kAk cos θi + kAk sen θj
= kAk(cos θi + sen θj) (1.5)
Esta ecuaci´on expresa el vector A en t´erminos de su m´odulo del coseno y seno de su ´angulo director, y de los vectores unitarios i y j.
Teorema 1.2. Si el vector A = a1i + a2j es diferente del vector cero, entonces el vector unitario U tiene la misma direcci´on y el mismo sentido de A definido por
U = a1 kAki +
a2 kAkj
Demostraci´on. Se demostrar´a que U es un vector unitario que tiene la misma direcci´on de A.
kUk = a1 kAk 2 + a2 kAk 2 U = 1 kAk(a1i + a2j) = p a2 1+ a22 kAk = kAk kAk = 1
Como kUk = 1, U es un vector unitario, y debido a que U es igual al producto de un escalar positivo y el vector A, la direcci´on y el sentido de U son los mismos que los de A.
Teorema 1.3. Si A y B son dos vectores cualesquiera de V2 o V3, y c es cualquier escalar,
i) c(A > ·B) = (cA) · B ii) 0 · A = 0
iii) A · A = kAk2
Las demostraciones se dejan como ejercicio.
Ahora se considerar´a el significado de ´angulo entre dos vectores, el cual conduce a otra expresi´on para el producto punto de vectores.
Definici´on del ´Angulo entre Vectores
Sean A y B dos vectores diferentes del vector cero.
i) Si A no es un m´ultiplo escalar de B y si −→OP es la representaci´on de posici´on de A y −→OQ es la representaci´on de la posici´on de B, entonces el ´angulo entre los vectores A y B es el ´angulo de medida positiva entre −→OP y −→OQ e interior al tri´angulo determinado por O, P y Q
ii) Si A = cB, donde C es un escalar, entonces si c > 0, el ´angulo entre los vectores mide 0 radianes; y si c < 0, entonces el ´angulo entre los vectores mide π radianes
El s´ımbolo empleado para denotar al ´angulo entre dos vectores tambi´en se utiliza para representar la medida del ´angulo. De la definici´on, si θ es la medida en radianes del ´angulo entre dos vectores, entonces 0 ≤ θ ≤ π. La figura 1 muestra el ´angulo θ entre los vectores A y B (donde A no es un m´ultiplo escalar de B) de V2, y la figura 2 muestra el ´angulo cuando los vectores pertenecen a V3
Teorema 1.4. Si θ es el ´angulo entre los vectores A y B, diferentes del vector cero, entonces
A · B = kAkkBk cos θ (1.6)
Demostraci´on. La figura 3 muestra la representaci´on de posici´on −→OP de A, la representaci´on de posici´on −→OQ de B, la representaci´on −→P Q de B − A, y el ´angulo θ en el origen, dentro del tri´angulo P OQ. De la ley de los cosenos se tiene
cos θ = kAk
2+ kBk2− kB − Ak2 2kAkkBk
Al aplicar las propiedades del producto punto, de los teoremas, resulta
kB − Ak2 = (B − A) · (B − A)
= (B − A) · B − (B − A) · A = B · B − A · B − B · A + A · A = kBk2− 2A · B + kAk2
Si se sustituye de 1.7 en 1.6, se obtiene cos θ = kAk 2+ kBk2− (kBk2− 2A · B + kAk2) 2kAkkBk cos θ = 2A · B 2kAkkBk A · B = kAkkBk cos θ
El teorema afirma que el producto punto de dos vectores es el producto de los m´odulos de los vectores y el coseno del ´angulo entre ellos
Definici´on de Vectores Ortogonales
Se dice que dos vectores A y B son ortogonales(o perpendiculares) si y s´olo si A · B = 0 Definici´on de la Proyecci´on Escalar de un Vector sobre otro
Si A y B son dos vectores diferentes del vector cero, entonces la proyecci´on escalas de B sobre A se define como kBk cos θ, donde θ es el ´angulo entre A y B.
Observe que la proyecci´on escalar puede ser positiva o negativa, dependiendo del signo de cos θ
A · B = kAk(kBk cos θ)
De modo que el producto punto de A y B es el m´odulo de A multiplicado por la proyecci´on escalar de B sobre A. Consulte las figuras 6(a) y (b). Como el producto punto es conmutativo, A · Btambi´en es igual al m´odulo de B multiplicado por la proyecci´on escalar de A sobre B. Si B = b1i + b2j + b − 3k, entonces
i · B = b1, j · B = B2, k · B = b3
En consecuencia, del producto punto de B y uno de los vectores unitarios i, j o k, se obtiene la componente de B en direcci´on de ese vector unitario. Con el fin de generalizar este resultado, sea U cualquier vector unitario, entonces de (3), si θes el ´angulo entre U y B
U · B = kUkkBk cos θ = kBk cos θ
Por lo tanto U · B es la proyecci´on escalar de B sobre U, a la cual se le llama componente del vector B en la direcci´on de U. De manera m´as general, la descomposici´on de un vector B sobre un vector unitario en la direcci´on de A.
El teorema siguiente puede emplearse para calcular la proyecci´on escalar de un vector sobre el otro.
La proyecci´on escalar del vector B sobre el vector A es A · B
Demostraci´on. De la definici´on , la proyecci´on escalar de B sobre A es kBk cos θ, donde θ es el ´angulo entre A y B
kAkkBk cos θ = A · B
kBk = A · B
kAk
Consulte otra vez la figura 5. Si C es el vector que tiene a−→OR como su representaci´on de posici´on, entonces C se denomina vector proyecci´on de B sobre A. Para determinar C, se multiplica kBk cos θ por el vector unitario la misma direcci´on de A. As´ı:
C = (kBk cos θ) A kAk = kAk(kBk cos θ) kAk A = A · B kAk2 A
Este resultado se establece en el siguiente teorema
Teorema 1.5. El vector proyecci´on del vector B sobre el vector A es A · B
kAk2
A
1.12 Ejercicios resueltos
Ejercicio 1.1. Sean A el vector h−4, 5i y P el punto (6, −2) (a) Dibuje la representaci´on de posici´on de A y tambi´en la representaci´on particular de A que tiene a P como su punto inicial. (b) Determine el m´odulo de A.
Soluci´on.
(a) Sea A el punto (−4,5). La figura 1.16 muestra el segmento dirigido −→OA es la representaci´on de posici´on del vector A. Sea −→P Q la representaci´on particular del vector A que tiene a P como su punto inicial. Si Q = (x, y) entonces
x − 6 = −4 y + 2 = 5
x = 2 y = 3
b b b A(−4, 5) Q(2, 3) P (6, −2) Figura 1.16: (b) Del teorema 1.3. kAk = p(−4)2+ (5)2 = √41
Ejercicio 1.2. Determine la medida en radianes del ´angulo director de cada uno de los siguientes vectores (a) h−1, 1i; (b) h0, −5i; (c) h1, −2i.
Soluci´on. Las representaciones de posici´on de los vectores de (a) a (c) se muestran en las figuras 1.17, 1.18 y 1.19 respectivamente. θ (a1, a2) Figura 1.17: θ (1, 1) Figura 1.18: θ (a1, a2) Figura 1.19: (a) tan θ = −1, y 1 2π < θ < π; de modo que θ = 3 4π (b) tan θ no existe, y a2 < 0; por lo que θ = 32π (c) tan θ = −2, y 3
2π < θ < 2π; por tanto θ = tan−1(−2) + 2π se tiene θ =5.176
Ejercicio 1.3. Suponga que P es el punto (−1, 8) y Q es el punto (3, 2). Determine el vector A que tiene a −→P Q como una representaci´on.
Soluci´on. La figura 1.20 muestra el segmento dirigido P Q Sea el vector A = ha1, a2i. Como −→
P Q es una representaci´on del vector A, el vector A traslada el punto P (−1, 8) al punto Q(3, 2). Pero el vector ha1, a2i traslada el punto (−1, 8) al punto (−1 + a1, 8 + a2). As´ı,
−1 + a1 = 3 8 + a2 = 2
a1 = 4 a2 = −6
Por tanto, A = h4, −6i.
b b b (4, −6) Q(3, 2) P (−1, 8) Figura 1.20:
Ejercicio 1.4. Dos fuerzas de 200 lb y 250 lb forman un ´angulo de 13π entre s´ı y est´an aplicadas a un objeto en el mismo punto. Determine (a) la intensidad o m´odulo de la fuerza resultante, y (b) el ´angulo que forma la resultante con la fuerza de 200 lb.
B A θ α A + B (200,0) (250 cos13π, 250 sen13π) Figura 1.21:
Soluci´on. Consulte la figura 1.21, donde los ejes se han elegido de modo que la representaci´on de posici´on de la fuerza de 200 lb coincida con la parte positiva del eje x. El vector A denota
esta fuerza, por lo que A = h200, 0i. El vector B representa la fuerza de 250 lb. De las formulas (1.2), si B = hb1, b2i, entonces
b1 = 250 cos13π b2 = 250 sen13π
b1 = 125 a2 = 216. 5
As´ı, B = h125, 216. 5i. La fuerza resultante es A + B, por lo que A + B = h200, 0i + h125, 216. 5i
= h325, 216. 5i (a) kA + Bk =p(325)2+ (216. 5)2 = 390,5
(b) Si θ es el ´angulo que el vector A + B forma con el vector A, entonces tan θ = 216. 5
325 tan θ = 0. 6662
θ = 0. 5877
El ejemplo siguiente, que involucra la diferencia de dos vectores trata acerca de la navegaci´on a´erea. La velocidad del aire (o con respecto al aire) de un avi´on es su velocidad con relaci´on a la velocidad del aire en que navega y la velocidad a tierra (o con respecto a la tierra) es su velocidad considerada desde el suelo. Cuando hay viento, la velocidad del avi´on relativa al suelo es la resultante del vector que representa la velocidad del aire y el vector que representa la velocidad del avi´on relativa al aire. En navegaci´on, el curso de un barco o un avi´on es el ´angulo medido en grados en el sentido en que giran las manecillas del reloj desde el norte a la direcci´on en la que se encamina la nave. El ´angulo se considera positivo aunque se recorre en el sentido del giro de las manecillas del reloj.
Ejercicio 1.5. Un avi´on puede volar a 300 mi/h. Si el viento sopla hacia hacia el este a 50 mi/h. ¿Cu´al debe ser el enfilamiento del avi´on para que el curso sea de 30o? ¿Cu´al sera la velocidad a tierra del avi´on si vuela en este curso?
Soluci´on. Refi´erase a la figura 1.22, la cual muestra las representaciones de posici´on de los vectores A y B as´ı como una representaci´on de A − B. El vector A representa la velocidad del avi´on sobre un curso de 30o. El ´angulo director de A es 60o. El vector B representa la velocidad del viento. Como B tiene una intensidad de 50 y un ´angulo director de 0o, entonces B = h50, 0i. El vector A − B representa la velocidad del avi´on al aire, as´ı kA − Bk = 300. Sea θ el ´angulo director de kA − Bk. De la figura 1.22 se obtiene el tri´angulo mostrado en la figura 1.23. Al aplicar la ley de los senos a este tri´angulo se tiene
sen φ 50 = sen 60o 300 sen φ = 50 sen 60 o 300 sen φ = 0,1433 φ = 8,3o
O y x 60º 30º A−B A B θ 90−θ Figura 1.22: 60º θ φ ||Α|| 50 300 Figura 1.23: Por tanto θ = 60o+ 8,3o = 68,3o
Si se aplica otra vez la ley de senos al tri´angulo de la figura ??, se tiene kAk sen(180 − θ) = 300 sen 60o kAk = 300 sen 117,7 o sen 60o kAk = 322
Conclusi´on: El enfriamiento del avi´on debe ser 90o− θ, el cual es 21.7o, y si el avi´on vuela en este curso, su velocidad a tierra ser´a de 322 mi/h.
Soluci´on. Al calcular el m´odulo y el coseno y el seno del ´angulo director se tiene k h−5, −2i k = p(−5)2+ (−2)2 = √29 cos θ = −√5 29 y sen θ = − 2 √ 29 Por tanto de (??) h−5, −2i =√29 −√5 29i − 2 √ 29j
Ejercicio 1.7. Dados A = 3i + j y B = −2i + 4j, obtenga el vector unitario que tiene la misma direcci´on de A − B Soluci´on. A − B = (3i + j) − (−2i + 4j) = 5i − 3j as´ı A − B = p52+ (−3)2 = √34
Por teorema 1.10 el vector unitario requerido es
U = √5 34i +
3 √
34j
Ejercicio 1.8. Sean −→a y −→b vectores en R2. Utilizando las propiedades del punto escalar, demostrar: a) k−→a +−→b k2− k−→a −−→b k2 = 4−→a ·−→b b) k−→a +−→b k2+ k−→a −−→b k2 = 2(k−→a k2+ k−→b 2k) Soluci´on. a) k−→a +−→b k2− k−→a −−→b k2 = (−→a +−→b )(−→a +−→b ) − (−→a −−→b )(−→a −−→b ) = −→a2+ −→a−→b +−→b −→a +−→b2− (−→a2− −→a−→b −−→b −→a +−→b2) = k−→a k2+ −→a→−b +−→b −→a + k−→b k2− k−→a k2+ 2−→a−→b − k−→b 2k ≤ 4−→a−→b b) k−→a +−→b k2+ k−→a −−→b k2 = (−→a +−→b )(−→a +−→b ) + (−→a −−→b )(−→a − b) = −→a2+ −→a−→b +−→b −→a +−→b2+ (−→a2− −→a−→b −−→b −→a +−→b 2) = k−→a k2+ −→a→−b +−→b −→a + k−→b k2+ k−→a k2− 2−→a−→b + k−→b 2k ≤ 2(k−→a k2+ k−→b k2)
Ejercicio 1.9. Demostraremos que los vectores −→a y−→b en R2 son ortogonales, si y s´olo si: k−→a +−→b k2 = k−→a k2
Soluci´on. (⇒) k−→a +−→b k2 = kak2+ kbk2 ⇒ a ⊥ b. Si −→a ⊥ −→b demostraremos que −→a ·−→b = 0. En efecto k−→a +−→b k2 = (−→a +−→b )(−→a +−→b ) = −→a2+ −→a ·−→b +−→b · −→a +−→b 2 = k−→a k2+ 2−→a ·−→b + k−→b k2 = k−→a +−→b k2 + 2−→a ·−→b ⇒ 0 = −→a ·−→b (⇐) −→a ⊥−→b ⇒ k−→a +−→b k2 = k−→a k2+ k−→b k2. Se sabe que −→a ⊥−→b ⇔ −→a ·−→b = 0. Luego
k−→a +−→b k2 = (−→a +−→b )(−→a +−→b )
= −→a2+ −→a ·−→b +−→b · −→a +−→b 2 = k−→a k2+ 2−→a ·−→b + k−→b k2 = k−→a k2+ 2 · 0 + k−→b k2 ⇒ k−→a +−→b k2 = k−→a k2+ k−→b k2
Ejercicio 1.10. Deducir la desigualdad triangular que si −→a y −→b est´an en R2, entonces: |k−→a k − k−→b k| ≤ k−→a +−→b k ≤ k−→a k + k−→b k Soluci´on. k−→a k = k−→a +−→b −−→b k ≤ k−→a +−→b k + k−→b k ⇒ k−→a k − k−→b k ≤ k−→a +−→b k (1.8) k−→b k = k−→b − −→a + −→a k = k−→a +−→b − −→a k = k(−→a +−→b ) − −→a k ≤ k−→a +−→b k + k−→a k ⇒ −k−→a +−→b k ≤ k−→a k − k−→b k (1.9) De (3.19) y (3.20) −k−→a −−→b k ≤ k−→a k − k−→b k ≤ k−→a +−→b k = |k−→a k − k−→b k| ≤ k−→a +−→b k
Por desigualdad triangular
⇒ |k−→a k − k−→b k| ≤ k−→a +−→b k ≤ k−→a k + k−→b k
Ejercicio 1.11. Hallar la medida del ´angulo entre los vectores −→a y −→b , si −→a va de A(2, 5) a B(4, 4) y−→b de C(3, −2) a D(2, 1) Soluci´on. − →a = −→AB = B − A = (4, 4) − (2, 5) = (2, −1) − →b = −−→ CD = D − C = (2, 1) − (3, −2) = (−1, 3) ⇒ cos θ = −→a · − →b |−→a | · |−→b | = (2, −1) · (−1, 3) (√5) · (√10) = −2 − 3 5√2 = − 1 2 = − √ 2 2 ∴ θ = π 2 + π 4 = 3π 4 = 135 o
Ejercicio 1.12. Si ABC es un tri´angulo es un tri´angulo y−→AC = (4, 1), −→AB = (−4, −3), hallar el coseno del ´angulo que forma el vector −−→BC con el vector unitario−→j = (0, 1).
A B C a b c Soluci´on. −→ AB = B − A −→ AC = C − A B − A = (−4, −3) A − C = (−4, −1) B − C = (−8, −4) −−→ CB = (−8, −4) −−→ BC = (8, 4) ⇒ cos θ = (0, 1) · (8, 4) (1)(√80) = 4 4√5 = √ 5 5
Ejercicio 1.13. En un tri´angulo ABC se tiene: −→AB = (2√6, 2√2) y −→AC = (√6, −√2). Deter-minar la medida del ´angulo formado por −−→BC y el semieje positivo de las abscisas
A B C a b c Soluci´on. −→ AB = B − A −→ AC = C − A B − A = (2√6, 2√2) A − C = (−√6,√2) B − C = (√6, 3√2) −−→ CB = (√6, 3√2) −−→ BC = (−√6, −3√2) ⇒ cos θ = (1, 0) · (− √ 6, −3√2) (1)(√24) = −√6 2√6 = − 1 2 ∴cos θ = cos 120o → θ = 120o Ejercicio 1.14. Si −→a = (a1, a2), |−→a | = 2, a1/a2 = 4, hallar −→a Soluci´on. −→a = (a1, a2) =?, |−→a | = 2, a1 a2 = 4 → a 1 = 4a2 |−→a | = 2 → a21 + a22 = 4 → 16a22+ a22 = 4 a2 2 = 4 17 a2 = ± 2 √ 17 a1 = ± 8 √ 17 ⇒ −→a = (8, 2)√ 17
Ejercicio 1.15. Un vector −→a tiene longitud 5 y el punto de apoyo en (1, −1). Encontrar el vector −→a si la abscisa del punto terminal es cuatro.
(4,x) (1,−1) Soluci´on. |−→a | = 5 ⇒p(4 − 1)2+ (x + 1)2 = 5 9 + (x + 1)2 = 25 (x + 1)2 = 16 x + 1 = ±4 ⇒ −→a = (4, x) − (1, −1) = (4 − 1, x + 1) ∴ −→a = (3, ±4)
Ejercicio 1.16. Probar que si P0 6= P1 entonces los puntos que trisecan al segmento que va de P0 a P1 tienen la forma (P0+ 2P1)/3 y (2P0+ P1)/3 P P P P1 2 3 0 Soluci´on. P2 = P3+P2 0 ∧ P3 = P20 2P2 = P2+P2 1 + P0 ∧ P3 = P1+2P0 3 +P1 2 4P2 = P2+ P1+ 2P0 ∧ P3 = 4P1+2P6 0 3P2 = P1+ 2P0 ∧ P3 = 2(2P16+P0) P2 = P1+2P3 0 ∧ P3 = 2P13+P0
Ejercicio 1.17. Si L, M, N son puntos medios de los segmentos−−→BC,−→CA y−→AB respectivamente y Q es un punto cualquiera demuestre que
a) −→QA +−−→QB +−→QC = −→QL +−−→QM +−−→QN b) −→AL +−−→BM +−−→CN = 0
A B C L M N Q Soluci´on. a) −→ QA +−−→QB +−→QC = A − Q + B − Q + C − Q = A 2 + A 2 − Q + B 2 + B 2 − Q + C 2 + C 2 − Q = A + B 2 − Q + A + C 2 − Q + B + C 2 − Q = N − Q + M − Q + L − Q = −−→QN +−−→QM +−→QL b) −→ AL +−−→BM +−−→CN = L − A + M − B + N − C = B + C 2 − A + A + C 2 − B + A + B 2 − C = A − A + B − B + C − C = 0
Ejercicio 1.18. Conociendo los v´ertices adyacentes de un paralelogramo A = (2, 0), B = (−3, 3) y el punto de intersecci´on de sus diagonales Q = (−1, 0), hallar los otros dos v´ertices
Soluci´on. Q = C+A 2 Q = D+B 2 2(−1, 0) = C + (2, 0) 2(−1, 0) = D + (−3, 3) (−2, 0) = C + (2, 0) (−2, 0) = D + (−3, 3) (−2, 0) − (2, 0) = C (−2, 0) − (−3, 3) = D (−4, 0) = C (1, −3) = D
Ejercicio 1.19. Hallar los v´ertices de un tri´angulo, sabiendo que los puntos medios de sus lados son M = (−1, 7)/2, N = (−3, −4)/2 y P = (4, 3)/2
A B C M N P M = A+B 2 N = B+C 2 P = A+C 2 (−1, 7) = A + B (−3, −4) = B + C (4, 3) = A + C −1 = a1+ b1 −3 = b1+ c1 4 = a1+ c1 7 = a2+ b2 −4 = b2+ c2 3 = a2+ c2 ⇒ −1 = a1 + b1 7 = a2+ b2 −3 = b1+ c1 7 = b2+ c2 4 = a1 + c1 −4 = a2+ c2 0 = a1 + b1+ c1 3 = a2+ b2+ c2 a1 = 3 a2 = 7 b1 = −4 b2 = 0 c1 = 1 c2 = −4
∴los v´ertices son: A = (3, 7), B = (−4, 0), C = (1, −4)
Ejercicio 1.20. Hallar la longitud de la mediana del lado−→P Q en el tri´angulo cuyos v´ertices son P = (3, 7), Q = (−4, 0) y R = (1, −4) P Q R M Soluci´on. M = P + Q 2 = 3 − 4 2 , 7 + 0 2 = −1 2 , 7 2 |−−→MQ| = s 1 + 1 2 + −4 − 72 = r 9 4 + 225 4 = r 234 4 = 3 2 √ 26
Soluci´on. −→b (−→a · −→c ) − −→c (−→a ·−→b ) es perpendicular a −→a [−→b (−→a · −→c ) − −→c (−→a ·−→b )] ⊥ −→a ⇔ [−→b (−→a · −→c ) − −→c (−→a ·−→b )] · −→a = 0 [−→b (−→a · −→c ) · −→c (−→a ·−→b )] · −→a = [(−→a · −→c )−→b − (−→a ·−→b )−→c ] · −→a prop. conmutativa = [(−→a · −→c )−→b ] · −→a − [(−→a ·−→b ) · −→c ]−→a = (−→a · −→c )(−→b · −→a ) − (−→a ·−→b )(−→c · −→a ) = (−→a ·−→c) (−→a ·−→b ) − (−→a ·−→b )(−→a · −→c ) = 0
Ejercicio 1.22. Demuestre que el vector→−b −→|−a ·→a |−→b2 −→a es ortogonal al vector −→a Soluci´on. b − (a · b) |a|2 · a · a = b · a − (a · b) |a|2 · a = ba − a · b |a|2 · a2 = ba − a · b |a|2 · a2 = ba − a · b = ab − ba = 0
Ejercicio 1.23. Demuestre la desigualdad triangular para todo par de vectores −→a y −→b : |−→a + − → b | ≤ |−→a | + |−→b | Soluci´on. |a + b|2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = |a|2+ ab + ba + |b|2 ≤ |a|2+ |ab| + |ba| + |b|2 = |a|2+ 2|ab| + |b|2 = (|a| + |b|)2
⇒ |a + b| ≤ |a| + |b| Ejercicio 1.24. Demuestre que:
a) (−→a +−→b )⊥ = −→a⊥+−→b ⊥ b) −→a ·−→b ⊥= −−→a⊥·−→b
c) (−→a⊥)⊥ = −−→a d) −→a⊥·−→b⊥ = −→a ·−→b e) (r−→a )⊥= r−→a⊥ f) k−→a | − |−→b k ≤ |−→a −−→b | Soluci´on. a) (a + b)⊥ = ((a1, a2) + (b1, b2))⊥ = (a1 + b1, a2+ b2)⊥ = (−(a2+ b2), (a1+ b1)) = (−a2 − b2, a1+ b1) = (−a2, a1) + (−b2, b1) = a⊥+ b⊥ b) a · b⊥ = (a1, a2) · (b1, b2)⊥ = (a1, a2) · (−b2, b1) = −a1b2+ a2b1 (1.10) −a⊥· b = −(a 1, a2)⊥· (b1, b2) = −(−a2, a1) · (b1, b2) = (a2, −a1) · (b1, b2) = a2b1− a1b2 = −a1b2+ a2b1 (1.11) De (1.10) y (1.11) a · b⊥ = −a⊥· b c) (A⊥)⊥ = ((a 1, a2)⊥)⊥ = ((−a2, a1))⊥ = (−a1, −a2) = (a1, a2) = a
d) − →a⊥·−→b ⊥= −→a ·−→b a⊥· b⊥ = (a1, a2)⊥· (b1, b2)⊥ = (−a2, a1) · (−b2, b1) = (−a2)(b2) + (a1)(b1) = (a2b2) + a1b1 = a1b1+ a2b2 = (a1, a2) · (b1, b2) = a · b e) (ra)⊥ = ra⊥ ra⊥ = r(a1, a2)⊥ = r(−a2, a1) = (r(−a2), rd1) = (−ra2, ra1) = (ra)⊥ f) |a| = |a + b − b| ≤ |a − b| + |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a − b| (1.12) b = b − a + a = |a + b − a| = | − (a − b) + a| ≤ | − (a − b)| + |a| = | − 1||a − b| + |a| = |a − b| + |a| −|a − b| ≤ |a| − |b| (1.13) De (1.12) y (1.13) −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b| ⇒ ||a| − |b|| ≤ |a − b|
Ejercicio 1.25. Pruebe que en cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las longi-tudes de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de los lados adyacentes
b d d1 2 a Soluci´on. |d1|2+ |d2|2 = 2(|a|2+ |b|2) |d1|2+ |d2|2 = |a + b|2+ |a − b|2 = |a|2+ 2ab + |b2| |a|2− 2ab + |b|2 = 2(|a|2+ |b|2)
Ejercicio 1.26. Dados los puntos P = (1, 2), Q = (2, 5), R = (5, 8), S = (9, 10) que forman un trapecio , encontrar los puntos M y N sobre las diagonales, si se sabe −−→MN = (−→P S −−→QR)/3.
P Q R S M N Soluci´on. −→ P S = S − P = (9, 10) − (1, 2) = (8, 8) −→ QR = R − Q = (5, 8) − (2, 5) = (3, 3) M = P + r−→P R N = S + t−→SQ −−→ MN = N − M = S + t−→SQ − P − r−→P R = (9, 10) + t((2, 5) − (9, 10)) − (1, 2) − r((5, 8) − (1, 2)) (8, 8) − (3, 3) 3 = (8, 8) + t(−7, −5) − r(4, 6) (5, 5) 3 = (8 − 7t − 4r − 8 − 5t − 6r)
5 3 = 8 − 7t − 4r 5 3 = 8 − 5t − 6r 5 = 24 − 21t − 12r 5 = 24 − 15t − 18r 21t + 12r = 19 15t + 18r = 19 21t + 12r = 15t + 18r 6t = 6r t = r = 19 33 M = (1, 2) + 1933(4, 6) N = (9, 10) − 1933(7, 5) = 33+7633 ,66+11433 = 297−13333 ,330−9533 = 109 33, 180 33 = 164 33, 235 33
Ejercicio 1.27. En el tri´angulo ABC se tiene 3−−→EC =−→AE, hallar s y t si −−→EB = s−→BA + t−−→BC
A B C E Soluci´on. 3−−→EC = −→AE −−→ EB = s−→BA + t−−→BC −−→ EB = −→EA +−→AB = −−→BA −−→AE = −−→BA − 34−→AC = −−→BA − 34(−→AB +−−→BC) = −−→BA − 34(−−→BA +−−→BC) = − −→ BA 4 − 3 4 −−→ BC S = −1 4 t = −3 4
A B C 3x M 4x Soluci´on. −−→ AM = 34−−→MC −−→−→AC M C = 7x 4x −−→ BM = r−→BA + t−−→BC −−→MC = 4 7 −→ AC −−→ BM = −→BA +−−→AM = −→BA +3 4 −−→ MC = −→BA +3 7 −→ AC = −→BA +3 7( −−→ BC +−→AB) = −→BA +3 −−→ BC − 3−→BA 7 = 4 7 −→ BA +3 7 −−→ BC = r − t = 4 7 − 3 7 = 1 7
Ejercicio 1.29. En el tri´angulo ABC, las longitudes de los segmentos −−→BD y −−→DA son como 3 y 5 respectivamente; si−−→CD = m−→AB + n−→AC. Determinar: 8m+12n
A
B
C 3x
Soluci´on. −→ AB −−→ AD = 8x 5x −−→ AD = 5 8 −→ AB −−→ BD −−→ DA = 3 5 −−→ BD = 3x −−→DA = 5x −→ AB −−→ BD = 8x 3x −→ AB = 8 3 −−→ BD −−→ CD = −−→AD +−→CA −−→ CD = 5 8 −→ AB −−→AC 8 5 8 − 2(1) = −7
1.13 Ejercicios propuestos
En los ejercicios del (1) al (4), (a) dibuje la representaci´on de posici´on del vector A y tambi´en la representaci´on particular que pasa por el punto A y tambi´en la representaci´on particular que pasa por el punto P . (b) calcule el m´odulo de A
1. A = h3, 4i, P = (2, 1). 2. A = h−2, 5i, P = (−3, 4). 3. A = he, −1/2i, P = (−2, −e). 4. A = h4, 0i, P = (2, 6).
En los ejercicios 5 y 6 obtenga la medida exacta en radianes del ´angulo director del vector. En el inciso (c) aproxime la medida a cent´esimos de radi´an.
6. (a) √3, 1 (b) h0, 4i (c) h−3, 2i
En los ejercicios 7 a 10, obtenga el vector A que tiene al segmento dirigido −→P Q como una representaci´on. Dibuje−→P Q y la representaci´on de posici´on de A.
7. P = (3, 7), Q = (5, 4)
8. P = (5, 4), Q = (3, 7)
9. P = (−5, −3), Q = (0, 3) 10. P = (−√2, 0), Q = (0, 0)
En los ejercicios 11 a 14, determine el punto S de modo que−→P Q y−→RS sean representaciones del mismo vector
11. P = (2, 5), Q = (1, 6); R = (−3, 2) 12. P = (−2, 0), Q = (−3, −4); R = (4, 2) 13. P = (0, 3), Q = (5, −2); R = (7, 0) 14. P = (−1, 4), Q = (2, −3); R = (−5, −2)
Ecuaciones vectoriales de la recta
2.1 Rectas y segmentos de recta en el plano
En estudios anteriores de geometr´ıa plana se menciona que una recta es un conjunto de puntos del plano.
La ecuaci´on lineal cuya forma cartesiana ordinaria es:
Ax + By + C = 0
donde A o B es diferente de 0. (la condici´on de que A o B es diferente de 0 se expresa equiva-lentemente en la forma “A2+ B2 6= 0”). M´as adelante se discutir´an en detalle ecuaciones de esta forma, pero ahora se emplear´a la rotaci´on, que existe entre los puntos del plano los vectores, para demostrar que una recta queda definida tambi´en mediante una ecuaci´on vectorial.
Al estudiar a los puntos del plano y su relaci´on con los vectores resulta ´util denotar al vector que va del origen a su punto S del plano mediante la letra min´uscula s.
T(5,4) S(4,2) x y Figura 2.1: T(5,4) S(4,2) x y s t v=(1,2) Figura 2.2:
hecho para obtener la ecuaci´on vectorial de una recta. Consid´erese la Fig. 2.1, en la cual se muestran los puntos S(4,2) y T (5,4), as´ı como a la recta L que contiene s estos puntos. Si las representaciones geom´etricas ordinarias de los vectores s = (4,2) y t = (5,4) se agregan a esta figura.
Se obtiene la Fig. 2.2. Obs´ervese que en la Fig. 2.2 el vector V = t − s = (5,4) − (4,2) = (1,2) tiene una representaci´on geom´etrica que esta sobre L.
En la Fig 2.3 se muestra la misma configuraci´on, excepto que se ha ubicado el punto U(x, y) sobre la recta L y se ha trazado el vector correspondiente u. (habi´endose omitido el vector t para simplificar la figura).
En esta figura se aprecia que el vector w = u − s tiene una representaci´on geom´etrica que est´a tambi´en sobre L y que por lo tanto w es paralela a v.
T(5,4) S(4,2) x y s u U(x,y) w=r(1,2) v=(1,2) Figura 2.3: T(5,4) S(4,2) x y s u U(x,y) v=(1,2) w Figura 2.4:
En la fig. 2.4 se muestra la misma situaci´on que en la fig. 2.3 excepto que ahora el punto U(x, y) no est´a sobre L. En este caso se ve que la representaci´on geom´etrica de w = u − s no est´a sobre L y por lo tanto w no es paralelo a v.
Es decir, U(x, y) est´a sobre L si y s´olo si w es paralelo a v o bien si y s´olo si u − s es paralelo a t − s. w es paralela a v si y s´olo si w = rv, donde r es un escalar. Entonces Y est´a sobre L si y s´olo si
w = rv o bien
u − s = r(t − s)
Ejemplo 2.1. Obtenga la ecuaci´on param´etrica vectorial de la recta L que pasa por S(3. − 2) y T (4,4)
Soluci´on. Tr´acese un diagrama. Se tiene. Se tiene s = (3. − 2) y t = (4,4). Entonces t − s = (4,4) − (3. − 2)
= (1,6)
Ahora, usando la Ecuaci´on (1) se tiene que la ecuaci´on param´etrica vectorial de L es u = (3. − 2) + r(1,6) x y T(4,4) U(x,y) S(3,−2) t u s Figura 2.5:
Si v un vector de direcci´on de la recta L que contiene al punto S, entonces un punto U est´a sobre L si y s´olo si
(u − s) · vp = 0 (2.1)
En particular, si se sabe que L contiene a dos puntos S y T , entonces un punto U est´a sobre L si y s´olo si
(u − s) · (t − s)p = 0 (2.2)
Obs´ervese que aunque las ecuaciones (2.1) y (2.2) contienen vectores, dichas ecuaciones son ecuaciones escalares de L puesto que contienen s´olo productos escalares.
Ejemplo 2.2. Demuestre que si L es una recta cuya ecuaci´on param´etrica vectorial es u = (3,2) + r(−1,2)
entonces (a) el punto cuyas coordenadas son (6.1) no est´a sobre L y (b) el punto de coordenadas (5.-2) est´a sobre L
Soluci´on. Por inspecci´on de la ecuaci´on dada de L, se ve que L pasa por el punto S(3,2) y que v = (−1,2) es un vector de direcci´on de L. Se tiene pues que vp = (−2. − 1).
(a) Para u = (6,1) se tiene
u − s = (6,1) − (3,2) = (3. − 1) y
(u − s) · vp = (3. − 1) · (−2. − 1) = −6 + 1 = −5 6= 0
Por lo tanto, u − s es no paralela a v, y entonces el punto coordenadas (6.1) no est´a sobre L.
(b) Para u − s = (5. − 2) se tiene
u − s = (5. − 2) − (3,2) = (2. − 4) y
(u − s) · vp = (2. − 4) · (−2. − 1) = −4 + 4 = 0 Entonces, u − s es paralelo a v y el punto de coordenadas (5,-2) sobre L. Si d vector de direcci´on v en —a ecuaci´on
u = s + rv
es un vector unidad, entonces para cualquier punto U sobre la gr´afica de la ecuaci´on, |r| es la distancia que separa a S de U (Figura 2.6). Esto se sigue del hecho que
d(S · U) = ku − sk = krvk = |r|kvk = |r|(1) = |r| U u−s=rv x y u s v (||v||=1) 0 Figura 2.6:
Ejemplo 2.3. Obtenga el sistema de ecuaciones para m´etricas cartesianas de la recta que pasa por los puntos S(2. − 1) y T (5,3)
Soluci´on. Si se sustituye a x1, y1, x2y2, por 2. − 1,5 obteni´endose
x = 2 + r(5 − 2) y y = −1 + r[3 − (−1)] o bien
x = 2 + 3r y y = −1 + 4r
2.2 Puntos que est´
an sobre una recta
En la Secci´on 2-1 se emplearon los siguientes hechos, que intuitivamente parecen obvios, para obtener la ecuaci´on param´etrica vectorial de una recta: Si un vector v tiene una representaci´on geom´etrica cuyos extremos est´an sobre una recta dada L, entonces v es paralelo a cualquier otro vector que tenga una representaci´on geom´etrica similar; pero al menos que v = 0, v es no paralelo a cualquier vector que tenga una representaci´on geom´etrica con un extremo sobre L y el otro fuera de L.
Se dice que la recta L es paralela a cualquier vector v cuya representaci´on geom´etrica tenga sus extremos sobre L, y que todo vector tal, es paralelo a L. Cualquier vector no nulo v que sea paralelo a L se llamar´a vector de direcci´on de L.
En la Secci´on 2.1 se vio que la ecuaci´on param´etrica vectorial, o que el sistema de ecuaciones param´etricas cartesianas, de una recta L queda determinada si se conocen las coordenadas de dos puntos de L. Estas ecuaciones tambi´en se pueden determinar si se conocen las coordenadas de un punto de L y un vector de direcci´on de L. Consideremos la recta L que pasa por el punto S(x1, y1)
U(x,y) u s v rv=r(h,k) 0 y x Figura 2.7:
y que es paralela al vector no nulo v = (h, k). (V´ease la Figura 2.7). De los comentarios hechos anteriormente se puede afirmar que un punto U(x, y) est´a sobre L si y s´olo si
u − s = rv o bien
u = s − rv (2.3)
donde r es un escalar. La Ecuaci´on (2.3) recibe el nombre de ecuaci´on param´etrica vectorial ordinaria de la recta que pasa por S y es paralela a v. Puesto que la Ecuaci´on (2.3) se puede escribir en forma
(x, y) = (x1, y1) + r(h, k)
el sistema de ecuaciones param´etricas cartesianas correspondiente para L es
x = x1+ rh, y = y1+ rk, r ∈ R (2.4)
Ejemplo 2.4. Obtenga la ecuaci´on param´etrica vectorial y el sistema de ecuaciones param´etricas cartesianas de la recta que pasa por el punto S(7. − 1) y que es paralela al vector v = (−2,3). Soluci´on. Tr´acese un diagrama. Directamente de la Ecuaci´on (2.3) se tiene
u = (7. − 1) + r(−2,3) An´alogamente, de la ecuaci´on 2.4 se tiene
x = 7 − 2r, y = −1 + 3r x y U(x,y) S(7,−1) u s v=(−2,3) Figura 2.8:
Claro est´a que una recta tiene un n´umero infinito de vectores de direcci´on, puesto que existe un n´umero infinito de vectores no nulos paralelos a la recta dada, y cada uno de ellos es un vector de direcci´on de la recta. En particular L P y Q son dos puntos cualesquiera sobre la recia L,
entonces, tanto p − q como q − p son vectores de direcci´on de la recta.
Para determinar si un punto S(x1, y1) est´a sobre la recta L cuya ecuaci´on cartesiana es Ax + By + C = 0 · A2+ B2 6= 0, hay que sustituir las coordenadas x
1 y y1 en la ecuaci´on y notar que se obtiene una igualdad. Para el caso de una ecuaci´on param´etrica vectorial, o para un sistema de ecuaciones param´etricas cartesianas, el problema es diferente. Por ejemplo, para determinar si T (3, 6) est´a o no sobre la recta cuya ecuaci´on param´etrica vectorial es
(x, y) = (1,3) + r(1,1)
se pueden sustituir las coordenadas de T en lugar de x y y en la ecuaci´on dada y entonces determinar si existe un escalar r para el cual
(3,6) = (1,3) + r(1,1) (2.5) es decir (3,6) = (1 + r, 3 + r) o bien 3 = 1 + y 6 = 3 + r de donde, r = 2 y r = 3
Puesto que 2 6= 3, no existe un n´umero real r para el cual se cumpla la Ecuaci´on (2.5), y se puede concluir que T (3, 6) no est´a sobre L.
Hay una manera m´as sencilla de llegar a esta conclusi´on. Obs´ervese primero que el resultado expresado por la Ecuaci´on (2.3) se puede expresar como sigue:
Si v es un vector de direcci´on de una recta L que contiene al punto S. entonces un punto U est´a sobre L si y s´olo si u − s es paralelo a v.
Ejemplo 2.5. Calcule las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento de recta cuyos extremos son S(3, −4) y T (6, 2).
Soluci´on. Se tiene s = (3, −4) y t = (6, 2). Por lo tanto, el vector que va de S a T es t − s = (6,2) − (3. − 4) = (3,6)
Entonces, los puntos del segmento ST est´an dados por
u = (3. − 4) + r(3,6), 0 ≤ r ≤ 1
Las coordenadas del punto que est´a a una tercera parte de la distancia que separa a S de T son
(3. − 4) +13(3,6) = (3. − 4) + (1,2) = (4. − 2)
y aqu´ellas del punto que est´a a dos terceras partes de la distancia que separa a S de T son
(3. − 4) +2
Es decir, las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento son (4,-2) y (5,0).
Si se escribe la Ecuaci´on (2.3) en t´erminos del par´ametro r y de las coordenadas de S, T y U se tiene
(x, y) = (x1, y1) + r[(x2, y2) − (x1, y1)] = (x1, y1) + r(x2− x1, y2− y1)
o bien
(x, y) = (x1+ r(x2− x1), y1+ r(y2− y1)) Esta ecuaci´on vectorial es equivalente a las ecuaciones
x = x1+ r(x2− x1) y y = y1+ r(y2− y1), r ∈ R
Estas ecuaciones reciben el nombre de sistema de ecuaciones param´etricas cartesianas de la recta que pasa por S y T . En la Secci´on 2-5 se ver´a que este sistema est´a relacionado con la forma cartesiana ordinaria de la ecuaci´on de una recta.
Ejemplo 2.6. Si L es la recta cuya ecuaci´on es u = (1, 6) + r(3, 4). obtenga las coordenadas de los puntos de L que est´an a 10 unidades de distancia del punto S(1,6).
Soluci´on. Primero calc´ulese cu´al es el vector unidad en la direcci´on de (3.4). Este vector es 3 √ 9 + 16, 4 √ 9 + 16 = 3 5, 4 5 Otra ecuaci´on de L es u = (1,6) + r 3 5. 4 5
Se desea calcular las coordenadas de los puntos U(x, y) tales que |r| = 10, es decir, para los cuales r = 10 ´o r = −10. Se tiene pues
r = 10 r = −10 (x1, y1) = (1,6) + 10 35,45 (x2, y2) = (1,6) − 10 35.45 = (1,6) + (6,8) = (1,6) − (6,8) = (7,14) = (−5. − 2)
Por lo tanto, U1(7, 14) y U2(−5, −2) son los puntos requeridos.
2.3 Pendiente de una Recta: Rectas Paralelas y
Perpendiculares
Recu´erdese de estudios anteriores de matem´aticas que el cociente de la altura de un segmento y la base del segmento recibe el nombre de pendiente del segmento y que a la pendiente de un segmento se le designa mediante la letra m. Se tiene pues altura
m = altura base
Si v = (h, k) es el vector de direcci´on de una recta L que contiene al punto S, entonces L tiene una ecuaci´on param´etrica vectorial de la forma
u = s + r(h, k), r ∈ R (2.6)
Si se asigna el valor l a r se ve que las coordenadas de otro punto Q que este sobre L, se puede calcular sumando h a la primera coordenada y k a la segunda coordenada del punto dado S. Por lo tanto, h y k son la altura y la respectivamente del segmento SQ, y si h 6= 0, entonces kh es la pendiente de SQ. x y s altura=k base=h v=(h,k) S Q x y s altura=k/h base=1 v=(h,k) S T (a) (b) Figura 2.9:
Nuevamente, para h 6= 0, si se asigna el valor h1 a r, se ve de la Ecuaci´on 2.6 que las coordenadas de un segundo punto T que este sobre L se puede calcular sumando 1h(h, k) = 1 −
k h
a s, es decir, sumando 1 a la primera coordenada de S y kh a la segunda coordenada de S. Puesto que 1 se suma a la primera coordenada de S y kk se suma a la segunda coordenada, se puede pensar que kh es el cambio, a lo largo de L, en la direcci´on vertical por unidad de cambio en la direcci´on horizontal.
Obs´ervese que el n´umero kh no depende de la elecci´on del punto S sobre L; depende s´olo del vector de direcci´on (h, k). Tampoco hk depende del vector de direcci´on (h, k) espec´ıfico de L que se haya escogido, puesto que cualquier vector de direcci´on de L es de la forma c(h, k), o bien de la forma (ch, ck), donde c 6= 0, y que ckch =
k
h. Por lo tanto, se define la pendiente de una recta como sigue:
Si L es una recta tal que uno de sus vectores de direcci´on es (h, k) con h 6= 0, entonces la pendiente m de L est´a dada por
m = k h
De esta definici´on se sigue que m es la pendiente de una recta L si y s´olo si (l, m), o bien l,k h
, es un vector de direcci´on de L. Esto indica que la Ecuaci´on (2.6) de la anterior se puede escribir en la forma
u = s + r(1.m), r ∈ R
Ejemplo 2.7. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos S(5,1) y T (3, −2), y obtenga la ecuaci´on param´etrica vectorial de la forma u = s + r(l, m) que describa esta recta.
Soluci´on. Un vector de direcci´on de esta recta es
t − s = (3. − 2) − (5,1) = (−2. − 3)
Entonces, por definici´on, m = −3−2 = 32. Puesto que S(5, 1) esta sobre la recta, una ecuaci´on param´etrica vectorial de esta recta es u = (5, 1) + r(l, f ).
El m´etodo empleado para desarrollar el Ejemplo 2.7 sugiere que resultar´ıa ´util conocer una expresi´on de la pendiente de la recta que pasa por dos puntos en t´erminos de las coordenadas de dichos puntos. Puesto que un vector de direcci´on de la recta que pasa por los puntos S(x1, y1) y T (x2, y2) es
v = t − s = (x2, y2) − (x1, y1) = (x2− x1, y2− y1)
se sigue de la definici´on de pendiente que si x2 6= x1, entonces la pendiente de L est´a dada por
m = y2− y1 x2− x1
una recta con un vector de direcci´on (h, k) es o bien vertical (si h = 0) o tienen una pendiente k
h (si h 6= 0). Entonces las rectas L1 y L2 son paralelas si y s´olo si (i) ambas verticales o (ii) si tienen la misma pendiente kh
Ejemplo 2.8. Si L1 contiene a S(3, −1), L2 contiene a T (2,5) y L1 y L2 tiene ambas al vector v = (1,2) como vector de direcci´on. ¿Coinciden ambas rectas?
Soluci´on. Por definici´on las rectas L1 y L2 son paralelas. Coincidir´an si y s´olo si S y T est´an sobre ambas. Por consiguiente, coinciden si y s´olo si t − s es paralelo a ambas, es decir, si y s´olo si (t − s) · vp = 0. Se tiene que (t − s) − vp = [(2, 5); −(3, −1)] · (−2, 1) = (−1, 6) · (−2, 1) = 8 6= 0. Por lo tanto L1 y L2 no coinciden
Ejemplo 2.9. Demuestre que la recta L1con ecuaci´on param´etrica vectorial u = (3, −1)+r(2, 3), es perpendicular a la recta L cuya ecuaci´on param´etrica vectorial es u = (2, −1) + r(6, −4). Soluci´on. De las ecuaciones dadas se ve que (2,3) es un vector de direcci´on de L1, y que (6,-4) es un vector de direcci´on de L2. Puesto que (2, 3) · (6, −4) = 12 − 12 = 0. L1 y L2 son perpendiculares. En forma an´aloga podemos definir perpendicularidad de dos rectas en t´erminos de sus vectores de direcci´on.
de la recta. Por consiguiente, si L1 es una recta no vertical cuya pendiente es m1 y L2 es una recta no vertical cuya pendiente es m2, entonces (1, m1) y (1, m2) son vectores de direcci´on de L1 y L2, respectivamente. Como L1 y L2 son perpendiculares si y solo si (1, m1) y (1, m2) son Perpendiculares, es decir, si y s´olo si
(1, m1) · (1, m2) = 0 1 + m1m2 = 0 m1m2 = −1 o bien m = −m12 y m2 = − 1 m1 Se tiene:
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y s´olo si la pendiente de una es el negativo del rec´ıproco de la pendiente de la otra.
Las rectas verticales son perpendiculares a las rectas horizontales. Como se vio anteriormente no se puede definir la pendiente de las rectas verticales mientras que la pendiente de las rectas horizontales es cero. Para estos tipos de rectas el criterio anterior no es aplicable.
Una recta cuya pendiente es positiva se “eleva”de izquierda a derecha, mientras que una recta cuya pendiente es negativa “cae”de izquierda a derecha. En la Figura 2.10 se muestra que la recta L1 tiene una pendiente, mientras que L2 tiene una pendiente negativa.
m>0 m<0 L1 L 2 x y 0 Figura 2.10:
Se dice que una recta con un vector de direcci´on de la forma (h, 0), h 6= 0, es una recta horizontal, y su pendiente es 0h = 0. Puesto que el vector (h, 0) tiene una representaci´on geom´etrica que est´a sobre el eje x (v´ease la siguiente de definici´on). Si una recta tiene un vector de direcci´on de la forma (0, k), k 6= 0 dice que la recta es vertical. La pendiente de una recta vertical no est´a definida (pues k0 no esta definido) y dichas rectas son paralelas al eje y.
