unidad-05_ecuaciones_soluciones_2011-12

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Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

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Unidad 5. Ecuaciones Unidad 5. Ecuaciones

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P

ARA E

MPEZAR…

▼

▼ _{Resolución de ecuaciones al estilo árabe}_{Resolución de ecuaciones al estilo árabe}

Observa cómo resolvían los árabes, geométricamente, algunas e

Observa cómo resolvían los árabes, geométricamente, algunas ecuaciones de segun-cuaciones de

segun-do grasegun-do: las del tipo

do grado: las del tipo x x 22 ++ px px ==q q . Por ejemplo,. Por ejemplo, x x 22+ 12+ 12 x x = 64:= 64:

x x 3 3 x x 3 3 x x 3 3 x x 33 x x 3 3 3 3 x x 3 3 ÁREA

ÁREA :: x x 22 ÁREA ÁREA :: x x 22 + 12+ 12 x x (= 64)(= 64) ÁREA ÁREA : : 64 + 64 + 4 · 9 4 · 9 = 100= 100

3 3 x x 9 9 99 9 9 99 3 3 3 3 x x 3 3 x x 33 x x 22

El área del último cuadrado es 100. Su lado es 10.

3 +

3 + x x + 3 = 10+ 3 = 10 88 x x = 4= 4

■

■ Revisa minuciosamente todos los pasos anteriores y resuelve del mismo modo es-Revisa minuciosamente todos los pasos anteriores y resuelve del mismo modo

es-tas ecuaciones: tas ecuaciones: a) a) x x 22 + 8+ 8 x x = = 84 84 b)b) x x 22 + 20+ 20 x x = 169= 169 a) a) x x 22 + 8+ 8 x x = 84= 84 x x 2 2 x x 2 2 x x 2 2 x x 22 x x 2 2 2 2 x x 2 2 ÁREA

ÁREA :: x x 22 ÁREA ÁREA :: x x 22+ 8+ 8 x x (= 84)(= 84) ÁREA ÁREA : : 84 + 84 + 4 · 4 4 · 4 = 100= 100

2 2 x x 4 4 44 4 4 44 2 2 2 2 x x 2 2 x x 22 x x 22

El área del último cuadrado es 100. Por tanto, su lado mide

El área del último cuadrado es 100. Por tanto, su lado mide 10. Así:10. Así:

2 + 2 + x x + 2 = 10+ 2 = 10 88 x x = 6= 6 b) b) x x 22 + 20+ 20 x x = 169= 169 x x 5 5 x x 5 5 x x 5 5 x x 55 x x 5 5 5 5 x x 5 5 ÁREA

ÁREA :: x x 22 ÁREA ÁREA :: x x 22+ 20+ 20 x x (= 169)(= 169) ÁREA ÁREA : : 169 + 169 + 4 · 25 4 · 25 = 269= 269

5 5 x x 2 255 2255 2 255 2255 5 5 5 5 x x 5 5 x x 55 x x 22

El área del último cuadrado es 269. Por tanto, su lado mide

El área del último cuadrado es 269. Por tanto, su lado mide 16,4.16,4.

5 +

5 + x x + 5 = 16,4+ 5 = 16,4 88 x x = 6,4= 6,4

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▼

▼ _T_{Traduce a lenguaje}_{raduce a lenguaje}_simbólico_simbólico

Según la mitología griega, un epitafio sobre la tumba de Diofanto de Alejandría

re-za, más o menos, así:

za, más o menos, así:

Su juventud ocupó la sexta parte de su vida. Durante la siguiente doceava

par-te, su mejilla se cubrió de vello. Pasó una séptima parte más antes de casarse.

te, su mejilla se cubrió de vello. Pasó una séptima parte más antes de casarse.

Cinco años después tuvo un hijo. Este murió a la mitad de la edad que alcanzó

su padre. Diofanto aún vivió cuatro años después de la muerte de su hijo.

■

■TTraduce, paso a paso, a raduce, paso a paso, a lenguaje algebraico, la descripción de lenguaje algebraico, la descripción de la vida de la vida de DiofantoDiofanto

y comprueba que murió c

y comprueba que murió con 84 años.on 84 años.

■

■Supongamos que la vida entera de Diofanto Supongamos que la vida entera de Diofanto duróduró x x años. Entonces:años. Entonces:

• Juventud:

• Juventud: x x

6

• Su mejilla s

• Su mejilla se cubrió de e cubrió de vello: vello: ++ x x

12

• Antes

• Antes de de casarse: casarse: ++ x x

7

•

• TTuvo un uvo un hijo: hijo: + + 55

•

• Su hijo murió a losSu hijo murió a los x x

2

2 años.años.

•

• Diofanto vivió luego: + Diofanto vivió luego: + 44

Por tanto, Diofanto vivió:

Por tanto, Diofanto vivió: x x == x x 6 6 ++ x x 12 12 ++ x x 7 7 + 5 ++ 5 + x x 2 2 + 4+ 4 88 x x == 14 14 x x + 7+ 7 x x + 12+ 12 x x + 420 + 42+ 420 + 42 x x + 336+ 336 84 84 88 8 8 x x == 7575 x x + 756+ 756 84 84 88 8 8 8484 x x = 75= 75 x x + 756+ 756 88 99 x x = 756= 756 88 x x = 84= 84

Diofanto vivió 84 años.

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de cada epígrafe

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1

1 _{¿Es 5 solución de}_{¿Es 5 solución de}_{alguna de las siguientes}_{alguna de las siguientes}_{ecuaciones? Justifica tu respuesta:}_{ecuaciones? Justifica tu respuesta:}

a) a) 88 x x + 3 = 11+ 3 = 11 x x – – 12 12 b)b) x x 44–– x x 33= 500= 500 c) 3 c) 3 x x – 7 =– 7 = x x 22 – – 10 10 d) d) 11 x x = 5= 5 e) e) x x 22– 12 = 4– 12 = 4 x x – – 7 7 ff) ) 22 x x – 1– 1= 16= 16 g) g) x x 33++ x x 22 + 2+ 2 x x + + 1 1 = = 161 161 h) h) 1010 x x + 25 =+ 25 = x x 33 i) i) x x 22– 20 = 2– 20 = 2 x x – – 5 5 j)j) √√33 x x + 1 = 16+ 1 = 16 k) (2 k) (2 x x – 3)– 3)22= = 144 144 l) l) 3(3( x x 22 + 3) – 84 = 0+ 3) – 84 = 0 a) a) 8 · 5 + 3 = 438 · 5 + 3 = 43 11 · 5 – 12 = 43 11 · 5 – 12 = 43 ° ° ¢ ¢ £ £ 88 x

x = 5 = 5 es solución es solución de la ecde la ecuación.uación.

b) b)5544– 5– 533= 500= 500 500 500 ° ° ¢ ¢ £

£ 88 x x = 5 = 5 es solución es solución de la ecde la ecuación.uación.

c) c) 3 · 5 – 7 = 83 · 5 – 7 = 8 5 522– 10 = 15– 10 = 15 ° ° ¢ ¢ £

£ 88 x x = 5 = 5 no es sno es solución de lolución de la ecuación.a ecuación.

d) d)1155= 1= 1 5 5 ° ° ¢ ¢ £

£ 88 x x = 5 = 5 no es sno es solución de lolución de la ecuación.a ecuación.

e) e) 5522– 12 = 13– 12 = 13 4 · 4 · 5 – 5 – 7 = 17 = 133 ° ° ¢ ¢ £

f f )) 225 – 5 – 11 = 16= 16 16 16 ° ° ¢ ¢ £

g) g)5533+ 5+ 522+ 2 · 5 + 1 = 161+ 2 · 5 + 1 = 161 161 161 ° ° ¢ ¢ £

£ 88 x x = 5 = 5 es solución es solución de la ecude la ecuación.ación.

h) h)10 · 5 + 25 = 7510 · 5 + 25 = 75 5 533= 125= 125 ° ° ¢ ¢ £ £ 88 x

x = 5 = 5 no es sno es solución de lolución de la ecuación.a ecuación.

i) i) 5522– 20 = 5– 20 = 5 2 · 5 – 5 = 5 2 · 5 – 5 = 5 ° ° ¢ ¢ £

j) j) √√_{3 · 5 + 1 = 4}_{3 · 5 + 1 = 4} 16 16 ° ° ¢ ¢ £

£ 88 x x = 5 = 5 no es no es solución de solución de la ecuación.la ecuación.

k) k)(2 · 5 – 3)(2 · 5 – 3)22= 49= 49 144 144 ° ° ¢ ¢ £

£ 88 x x = 5 = 5 no es no es solución de solución de la ecuación.la ecuación.

l) l) 3(53(522+ 3) – 84 = 0+ 3) – 84 = 0 0 0 ° ° ¢ ¢ £

£ 88 x x = 5 = 5 es solución es solución de la ecude la ecuación.ación.

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2

2 _{En el ejercicio anterior hay varias ecuaciones polinómicas. Escríbelas y di cuál es su}_{En el ejercicio anterior hay varias ecuaciones polinómicas. Escríbelas y di cuál es su}

grado.

a) 8

a) 8 x x + 3 = 11+ 3 = 11 x x – – 12 12 Ecuación Ecuación polinómica polinómica de de grado grado 1.1.

b)

b) x x 44–– x x 33= = 500 500 Ecuación Ecuación polinómica polinómica de de grado grado 4.4.

c) 3

c) 3 x x – 7 =– 7 = x x 22– – 10 10 Ecuación Ecuación polinómica polinómica de de grado grado 2.2.

e)

e) x x 22– 12 = 4– 12 = 4 x x – – 7 7 Ecuación Ecuación polinómica polinómica de de grado grado 2.2.

g)

g) x x 33++ x x 22+ 2+ 2 x x + + 1 1 = = 161 161 Ecuación Ecuación polinómica polinómica de de grado grado 3.3.

h) 10

h) 10 x x + 25 =+ 25 = x x 33 Ecuación polinómica de grado 3.Ecuación polinómica de grado 3.

i)

i) x x 22– 20 = 2– 20 = 2 x x – – 5 5 Ecuación Ecuación polinómica polinómica de de grado grado 2.2.

k) (2

k) (2 x x – 3)– 3)22= = 144 144 Ecuación Ecuación polinómica polinómica de de grado grado 2.2.

l) 3(

l) 3( x x 22+ + 3) 3) – – 84 84 = = 0 0 Ecuación Ecuación polinómica polinómica de de grado grado 2.2.

Pág.

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3

3 _T_T_{anteando, halla l}_{anteando, halla l}_{a solución entera de}_{a solución entera de}_{las siguientes ecuaciones:}_{las siguientes ecuaciones:}

a) a) x x 33++ x x 22= = 150 150 b) b) 33 x x = 2 187= 2 187 c) c) x x x x = = 46 46 656 656 d)d)√√77 x x + 4 + 4 = 9= 9 e) 5 e) 5 x x + 1+ 1 = = 15 15 625 625 ff))√√ x x – – 112 2 == x x – 8– 8 a) Si

a) Si x x = 4, entonces 4= 4, entonces 433 + 4+ 422= 64 + 1= 64 + 16 = 80. 6 = 80. Por tanto, la solPor tanto, la solución no es válida.ución no es válida.

Sin embargo, si

Sin embargo, si x x = = 5, 5, entonces entonces 5533+ 5+ 522 = 125 + 25 = 150. Luego= 125 + 25 = 150. Luego x x = = 5 5 es la es la solución.solución.

b) Si

b) Si x x = = 5, 5, entonces entonces 3355= 243. Por tanto, la solución no es válida.= 243. Por tanto, la solución no es válida.

Si

Si x x = = 6, 6, entonces entonces 3366= 729. Por tanto, la solución no es válida.= 729. Por tanto, la solución no es válida.

Sin embargo, si

Sin embargo, si x x = = 77, , entonceentonces s 3377 = = 2 12 18787. . LuegLuegoo x x = 7 = 7 es la es la solución.solución.

c) Si

c) Si x x = = 77, , entonceentonces s 7777 = 823 543. Por tanto, la solución no es válida.= 823 543. Por tanto, la solución no es válida.

Si

Si x x = = 6, 6, entonces entonces 6666= 46 6= 46 656. Lue56. Luegogo x x = = 6 6 es la es la solución.solución.

d) A esta solución es fácil llegar, ya que lo de dentro de la raíz debe valer 81 para que al

hacer la raíz salga 9. Si probamos con

hacer la raíz salga 9. Si probamos con x x = 1= 10, 0, tendríatendríamos 7mos 74 dentro de 4 dentro de la raízla raíz, que , que nono

vale. Sin embargo, con

vale. Sin embargo, con x x = 1= 11, 1, obtenemos 77 + 4 = 81obtenemos 77 + 4 = 81, por lo tanto,, por lo tanto, x x = 1= 11 1 es la es la solu-

solu-ción.

ción.

e) Si

e) Si x x = = 6, 6, entonces entonces 556 + 16 + 1= 5= 577= 78 125. Por tanto, la solución no es válida.= 78 125. Por tanto, la solución no es válida.

Si

Si x x = = 5, 5, entonces entonces 555 + 15 + 1 = 5= 566= = 115 65 625. Lue25. Luegogo x x = = 5 5 es la es la solución.solución.

f

f ) Lo primero ) Lo primero que vemos es que vemos es queque x x > 12, > 12, ya que sya que si no saldría la raíz de un ni no saldría la raíz de un número nega-úmero

nega-tivo, lo cual es imposible. Si probamos con

tivo, lo cual es imposible. Si probamos con x x = 13, tendríamos 1 = 5, que no vale. Si= 13, tendríamos 1 = 5, que no vale. Si

probamos con

probamos con x x = 1= 16, 6, tendríamos 2 = 8, que no vale. Ptendríamos 2 = 8, que no vale. Podemos observar que según pro-odemos observar que según

pro-bemos con númer

bemos con números más aos más altos, más dispares valtos, más dispares van a ser lan a ser las igualdades. s igualdades. PodemPodemos concluiros concluir

que esta ecuación no tiene solución.

4

4 _{Encuentra la solución, aproximando hasta las décimas, de las siguientes ecuaciones.}_{Encuentra la solución, aproximando hasta las décimas, de las siguientes ecuaciones.}

Hazlo p

Hazlo por tanteo, or tanteo, ayudándote de ayudándote de la calculadora.la calculadora.

a)

a) x x 33+ + 1 1 = = 100 100 b)b) x x 55 = = 1 1 500 500 c)c) x x 66 – 40 – 40 = 1 460= 1 460

d)

d) x x 33++ x x 22= = 200 200 e)e) x x 33 –– x x 22= 200= 200

a) Es lo mismo que hallar

a) Es lo mismo que hallar x x 33= 99.= 99.

Damos valores enteros a

Damos valores enteros a x x ::

4

433= 65 < 99= 65 < 99

5

533= 126 > 99= 126 > 99

Por tanto,

Por tanto, x x es mayor que 4 y menor que 5.es mayor que 4 y menor que 5.

Damos a

Damos a x x los valores 4,5; 4,6; 4,7…los valores 4,5; 4,6; 4,7…

4,5 4,533= 92,125 < 99= 92,125 < 99 4,6 4,633= 98,336 < 99= 98,336 < 99 4,7 4,733= 104,823 > 99= 104,823 > 99 Po

Por tanto, aproximando a las décimar tanto, aproximando a las décimas,s, x x = 4,6.= 4,6.

Pág.

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de cada epígrafe

5

b) Damos valores enteros a

b) Damos valores enteros a x x ::

4

455= 1 024 < = 1 024 < 1 1 500500

5

555= 3 12= 3 125 > 5 > 1 1 500500

Por tanto,

Damos a

4,2 4,255 = 1 306,91= 1 306,912… < 2… < 1 1 500500 4,3 4,355= = 1 41 470,084… < 70,084… < 1 51 50000 4,4 4,455 = = 1 6491 649,1,162… 62… > > 1 5001 500 Po

c) Es lo mismo que hallar

c) Es lo mismo que hallar x x 66 = = 1 51 500.00.

Damos valores enteros a

Damos valores enteros a x x ::

3

366= 729 < = 729 < 1 1 500500

4

455= 4 096 > = 4 096 > 1 1 500500

Por tanto,

Damos a

3,3

3,366= = 1 291 291,4671,467… … < < 1 5001 500

3,4

3,466= 1 544,804… > = 1 544,804… > 1 1 500500

Po

d)

d) Damos vaDamos valores enteros a lores enteros a x x ::

5

533+ 5+ 522= 150 < 200= 150 < 200

6

633+ 6+ 622= 252 > 200= 252 > 200

Por tanto,

Damos a

5,3 5,333+ 5,3+ 5,322= 176,967 < 200= 176,967 < 200 5,4 5,433+ 5,4+ 5,422= 186,624 < 200= 186,624 < 200 5,5 5,533+ 5,5+ 5,522= 196,625 < 200= 196,625 < 200 5,6 5,633+ 5,6+ 5,622= 206,976 > 200= 206,976 > 200 Po

e) Damos valores enteros a

e) Damos valores enteros a x x ::

6

633– 6– 622= 180 < 200= 180 < 200

7

733– 7– 722= 294 > 200= 294 > 200

Por tanto,

Damos a

6,1 6,133 – 6,1– 6,122= 189,771 < 200= 189,771 < 200 6,2 6,233 – 6,2– 6,222= 199,888 < 200= 199,888 < 200 6,3 6,333 – 6,3– 6,322= 210,357 > 200= 210,357 > 200 Po

Pág.

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Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

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1

1 _Resuelv_Resuelv_{e las}_{e las}_{siguientes ecuaciones:}_{siguientes ecuaciones:}

a) a) 33 x x 15 15 –– x x = –= – 3 3 x x 3 3 ++ 9 9 5 5 b)b) x x 3 3 ++ x x 9 9 –– 4 4 x x 27 27 == 11 11 27 27 –– x x 9 9 c) c) x x 2 2 ++ x x – 3– 3 8 8 ++ 2 2 x x + 2+ 2 16 16 == x x – 2– 2 2 2 d)d) 13 + 13 + x x 20 20 –– 5 5 x x 2 2 == 10 + 10 + x x 5 5 ++ 1 – 12 1 – 12 x x 10 10 e) e) 33 x x –– x x + 3+ 3 4 4 = = 13 13 ff) ) 4 4 –– x x + 2+ 2 4 4 == x x – 4– 4 g) g) x x 2 2 –– 2( 2( x x + 2)+ 2) 7 7 == x x – 3– 3 4 4 h)h) 1 – 1 – x x 25 25 –– x x 6 6 ++ x x + 7+ 7 9 9 == 2 2 5 5 –– 3 3 x x 15 15 i) i) (1 +(1 + x x ))22 5 5 == 2 2 x x + 4+ 4 25 25 ++ x x 22 5 5 ++ 1 1 5 5 j)j) x x – 4– 4 8 8 ++ 9 – 9 – x x 12 12 –– 2 2 x x – 7– 7 24 24 + 5 =+ 5 = x x – 8– 8 k) k) x x ++ 9(5 +9(5 + x x )) 5 5 = 9 –= 9 – x x l)l) (2 (2 x x – 1)(2– 1)(2 x x + 1)+ 1) 4 4 == 3(4 3(4 x x 22+ 1)+ 1) 12 12 –– x x m) ( m) ( x x – 3)(– 3)( x x + 3) =+ 3) = 3(3( x x – 1)– 1) 2 2 ++ x x 2 2 _n)_n) x x – 7– 7 4 4 ++ 25( 25( x x – 2)– 2) 3 3 == 5 5 x x + 35+ 35 4 4 ++ 5 5 2 2(( x x – 7)– 7) a) a) 33 x x 15 15 –– x x = –= – 3 3 x x 3 3 ++ 9 9 5 5 3 3 x x – 15– 15 x x = –15= –15 x x + 27+ 27 3 3 x x – 15– 15 x x + 15+ 15 x x = 27= 27 3 3 x x = 27= 27 x x = 9= 9 b) b) x x 3 3 ++ x x 9 9 –– 4 4 x x 27 27 == 11 11 27 27 –– x x 9 9 9 9 x x + 3+ 3 x x – 4– 4 x x = 11 – 3= 11 – 3 x x 9 9 x x + 3+ 3 x x – 4– 4 x x + 3+ 3 x x = 11= 11 11 11 x x = 11= 11 x x = 1= 1 c) c) x x 2 2 ++ x x – 3– 3 8 8 ++ 2 2 x x + 2+ 2 16 16 == x x – 2– 2 2 2 8 8 x x + 2(+ 2( x x – 3) + 2– 3) + 2 x x + 2 = 8(+ 2 = 8( x x – 2)– 2) 8 8 x x + 2+ 2 x x – 6 + 2– 6 + 2 x x + 2 = 8+ 2 = 8 x x – 16– 16 8 8 x x + 2+ 2 x x + 2+ 2 x x – 8– 8 x x = –16 + 6 – 2= –16 + 6 – 2 4 4 x x = –12= –12 x x = –3= –3 Pág. Pág.11

(8)

Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

5

d) d) 13 +13 + x x 20 20 –– 5 5 x x 2 2 == 10 + 10 + x x 5 5 ++ 1 – 12 1 – 12 x x 10 10 13 13 ++ x x – 5– 500 x x = 4(10 += 4(10 + x x ) + 2(1 – 12) + 2(1 – 12 x x )) 13 + 13 + x x – 50– 50 x x = 40 + 4= 40 + 4 x x + 2 – 24+ 2 – 24 x x x x – 50– 50 x x – 4– 4 x x + 24+ 24 x x = 40 + 2 – 13= 40 + 2 – 13 –29 –29 x x = 29= 29 x x = –1= –1 e) e) 33 x x –– x x + 3+ 3 4 4 = 13= 13 12 12 x x – (– ( x x + 3) = 52+ 3) = 52 12 12 x x –– x x – 3 = 52– 3 = 52 12 12 x x –– x x = 52 + 3= 52 + 3 11 11 x x = 55= 55 x x = 5= 5 f f ) ) 4 –4 – x x + 2+ 2 4 4 == x x – 4– 4 16 – ( 16 – ( x x + 2) = 4(+ 2) = 4( x x – 4)– 4) 16 – 16 – x x – 2 = 4– 2 = 4 x x – 16– 16 – – x x – 4– 4 x x = –16 – 16 + 2= –16 – 16 + 2 –5 –5 x x = –30= –30 x x = 6= 6 g) g) x x 2 2 –– 2( 2( x x + 2)+ 2) 7 7 == x x – 3– 3 4 4 14 14 x x – 8(– 8( x x + 2) = 7(+ 2) = 7( x x – 3)– 3) 14 14 x x – 8– 8 x x – 16 = 7– 16 = 7 x x – 21– 21 14 14 x x – 8– 8 x x – 7– 7 x x = –21 + 16= –21 + 16 – – x x = –5= –5 x x = 5= 5 h) h) 1 –1 – x x 25 25 –– x x 6 6 ++ x x + 7+ 7 9 9 == 2 2 5 5 –– 3 3 x x 15 15 18(1 – 18(1 – x x ) – 75) – 75 x x + 50(+ 50( x x + 7) = 180 – 90+ 7) = 180 – 90 x x 18 – 18 18 – 18 x x – 75– 75 x x + 50+ 50 x x + 350 = 180 – 90+ 350 = 180 – 90 x x –18 –18 x x – 7– 755 x x + 50+ 50 x x + 90+ 90 x x = 180 – 18 – 350= 180 – 18 – 350 47 47 x x = –188= –188 x x = –= –44 Pág. Pág.22

(9)

Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

5

Unidad 5. Ecuaciones Unidad 5. Ecuaciones i) i) (1 +(1 + x x ))22 5 5 == 2 2 x x + 4+ 4 25 25 ++ x x 22 5 5 ++ 1 1 5 5 5(1 + 5(1 + x x ))22= 2= 2 x x + 4 + 5+ 4 + 5 x x 22+ 5+ 5 5(1 + 2 5(1 + 2 x x ++ x x 22) = 2) = 2 x x + 5+ 5 x x 22+ 9+ 9 5 + 10 5 + 10 x x + 5+ 5 x x 22= 2= 2 x x + 5+ 5 x x 22+ 9+ 9 10 10 x x + 5+ 5 x x 22– 2– 2 x x – 5– 5 x x 22= 9 – 5= 9 – 5 8 8 x x = 4= 4 88 x x == 11 2 2 j) j) x x – 4– 4 8 8 ++ 9 – 9 – x x 12 12 –– 2 2 x x – 7– 7 24 24 + 5 =+ 5 = x x – 8– 8 3( 3( x x – 4) + 2(9 –– 4) + 2(9 – x x ) – (2) – (2 x x – 7) + 120 = 24(– 7) + 120 = 24( x x – 8)– 8) 3 3 x x – 12 + 18 – 2– 12 + 18 – 2 x x – 2– 2 x x + 7 + 120 = 24+ 7 + 120 = 24 x x – 192– 192 3 3 x x – 2– 2 x x – 2– 2 x x – 24– 24 x x = –192 + 12 – 18 – 7 = –192 + 12 – 18 – 7 – 120– 120 –25 –25 x x = –325= –325 x x = 13= 13 k) k) x x ++ 9(5 +9(5 + x x )) 5 5 = 9 –= 9 – x x 5 5 x x + 9(5 ++ 9(5 + x x ) = 5(9 –) = 5(9 – x x )) 5 5 x x + 45 + 9+ 45 + 9 x x = 45 – 5= 45 – 5 x x 5 5 x x + 9+ 9 x x + 5+ 5 x x = 45 – 45= 45 – 45 19 19 x x = 0= 0 x x = 0= 0 l) l) (2(2 x x – 1)(2– 1)(2 x x + 1)+ 1) 4 4 == 3(4 3(4 x x 22+ 1)+ 1) 12 12 –– x x 3(4 3(4 x x 22 – 1) = 3(4– 1) = 3(4 x x 22+ 1) – 12+ 1) – 12 x x 12 12 x x 22– 3 = 12– 3 = 12 x x 22+ 3 – 12+ 3 – 12 x x 12 12 x x 22– 12– 12 x x 22+ 12+ 12 x x = 3 + 3= 3 + 3 12 12 x x = 6= 6 x x == 11 2 2 m) m) (( x x – 3)(– 3)( x x + 3) =+ 3) = 3(3( x x – 1)– 1) 2 2 ++ x x 2 2 2( 2( x x 22– 9) = 3(– 9) = 3( x x – 1) + 2– 1) + 2 x x 22 2 2 x x 22– 18 = 3– 18 = 3 x x – 3 + 2– 3 + 2 x x 22 2 2 x x 22– 3– 3 x x – 2– 2 x x 22= –3 + 18= –3 + 18 –3 –3 x x = 15= 15 x x = –5= –5 Pág. Pág.33

(10)

Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

5

n) n) x x – 7– 7 4 4 ++ 25( 25( x x – 2)– 2) 3 3 == 5 5 x x + 35+ 35 4 4 ++ 5 5 2 2 (( x x – 7)– 7) 3( 3( x x – 7) + 100(– 7) + 100( x x – 2) = 3(5– 2) = 3(5 x x + 35) + 30(+ 35) + 30( x x – 7)– 7) 3 3 x x – 21 + 100– 21 + 100 x x – 200 = 15– 200 = 15 x x + 105 + 30+ 105 + 30 x x – 210– 210 3 3 x x + 100+ 100 x x – 15– 15 x x – 30– 30 x x = 105 – 210 + 21 + = 105 – 210 + 21 + 200200 58 58 x x = 116= 116 x x = 2= 2 Pág. Pág.44

(11)

Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

5

PÁGINA 98

1

a) a) x x 22– 5– 5 x x + + 6 6 = = 0 0 b) b) 99 x x 22+ 6+ 6 x x + 1 = 0+ 1 = 0 c) 9 c) 9 x x 22 – 6– 6 x x + + 1 1 = = 0 0 d) d) 55 x x 22– 7– 7 x x + 3 = 0+ 3 = 0 e) 2 e) 2 x x 22 + 5+ 5 x x – – 3 3 = = 0 0 ff) ) 66 x x 22– 5– 5 x x + 1 = 0+ 1 = 0 g) g) x x 22– 3– 3 x x + + 15 15 = = 0 0 h)h) x x 22– 0,1– 0,1 x x + 0,2 = 0+ 0,2 = 0 a) a) x x == 5 ±5 ± √√25 – 4 · 1 · 625 – 4 · 1 · 6 2 2 == 5 ± 5 ± √√25 – 2425 – 24 2 2 == 5 ± 1 5 ± 1 2 2 88 x x 11= 3 = 3 y y x x 22= 2= 2 b) b) x x == –6 ±–6 ± √√36 – 4 · 9 · 136 – 4 · 9 · 1 18 18 == –6 ± –6 ± √√36 – 3636 – 36 18 18 == –6 ± 0 –6 ± 0 18 18 88 x x == –1 –1 3

3 Solución doble.Solución doble.

c) c) x x == 6 ±6 ± √√36 – 4 · 9 · 136 – 4 · 9 · 1 18 18 == 6 ± 0 6 ± 0 18 18 == 1 1 3

3 Solución doble.Solución doble.

d) d) x x == 7 ±7 ± √√49 – 4 · 5 · 349 – 4 · 5 · 3 10 10 == 7 ± 7 ± √√49 – 6049 – 60 10 10 == 7 ± 7 ± √√–1–111 10

10 No tiene solución.No tiene solución.

e) e) x x == –5 ±–5 ± √√25 – 4 · 2 · (–3)25 – 4 · 2 · (–3) 4 4 == –5 ± –5 ± √√25 + 2425 + 24 4 4 == –5 ± 7 –5 ± 7 4 4 88 x x 11== 1 1 2 2 y y x x 22 = –3= –3 f) f) x x == 5 ±5 ± √√25 – 4 · 6 · 125 – 4 · 6 · 1 12 12 == 5 ± 5 ± √√25 – 2425 – 24 12 12 == 5 ± 1 5 ± 1 12 12 88 x x 11== 1 1 2 2 y y x x 22== 1 1 3 3 g) g) x x == 3 ±3 ± √√9 – 4 · 1 · 159 – 4 · 1 · 15 2 2 == 3 ± 3 ± √√9 – 609 – 60 2 2 == 3 ± 3 ± √√–5–511 2

h) h) x x == 0,1 ±0,1 ± √√0,01 – 4 · 1 · 0,20,01 – 4 · 1 · 0,2 2 2 == 0,1 ± 0,1 ± √√0,01 – 0,80,01 – 0,8 2 2 == 0,1 ± 0,1 ± √√–0,79–0,79 2 2 No tiene solución. No tiene solución. Pág. Pág.11

(12)

Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

5

PÁGINA 99

2 2 _Resuelve:_Resuelve: a) a) 77 x x 22 – 28 = 0– 28 = 0 b) b) 77 x x 22 + 28 = 0+ 28 = 0 c) 4 c) 4 x x 22 – 9 = 0– 9 = 0 d) d) 33 x x 22 + 42+ 42 x x = 0= 0 e) 3 e) 3 x x 22 = 42= 42 x x f f) 1) 111 x x 22– 37– 37 x x = 0= 0 g) 2( g) 2( x x + 5)+ 5)22 + (+ ( x x – 3)– 3)22= 14(= 14( x x + 4)+ 4) h) h) 77 x x 22 + 5 = 68+ 5 = 68 a) 7 a) 7 x x 22 – 28 = 0– 28 = 0 7 7 x x 22 = 28= 28 x x 22= 4= 4 x x = ±= ±√√44 88 x x 1 1= 2 = 2 y y x x 22 = –2= –2 b) b) 77 x x 22 + 28 = 0+ 28 = 0 7 7 x x 22 = –28= –28 x x 22= –= –44 x

x = ±= ±√√4 4 No No tiene tiene solución.solución.

c) 4 c) 4 x x 22 – – 9 9 = = 00 4 4 x x 22 = 9= 9 x x 22== 99 4 4 x x = ±= ±



99 4 4 88 x x 11== 3 3 2 2 y y x x 22= –= – 3 3 2 2 d) d) 33 x x 22 + 42+ 42 x x = 0= 0 3 3 x x (( x x + 14) = 0+ 14) = 0 88 x x 1 1= 0 = 0 y y x x 22= –14= –14 e) 3 e) 3 x x 22 = 42= 42 x x 3 3 x x 22 – 42– 42 x x = 0= 0 3 3 x x (( x x – 14) = 0– 14) = 0 88 x x 1 1= 0 = 0 y y x x 22= 14= 14 f ) 11 f ) 11 x x 22– 37– 37 x x = 0= 0 x x (11(11 x x – 37) = 0– 37) = 0 88 x x 1 1= 0 = 0 y y x x 22== 3737₁₁₁₁ Pág. Pág.11

(13)

Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

5

Unidad 5. Ecuaciones Unidad 5. Ecuaciones g) 2( g) 2( x x + 5)+ 5)22+ (+ ( x x – 3)– 3)22= 14= 14 x x + 56+ 56 2( 2( x x 22+ 10+ 10 x x + 25) + (+ 25) + ( x x 22– 6– 6 x x + 9) = 14+ 9) = 14 x x + 56+ 56 2 2 x x 22 + 20+ 20 x x + 50 ++ 50 + x x 22– 6– 6 x x + 9 = 14+ 9 = 14 x x + 56+ 56 3 3 x x 22 + 3 = 0+ 3 = 0 x

x 22= –1= –1 88 No tiene solución.No tiene solución.

h) h) 77 x x 22 + 5 = 68+ 5 = 68 7 7 x x 22 = 63= 63 x x 22= 9= 9 x x = ±= ±√√99 88 x x ₁₁= 3 = 3 y y x x ₂₂ = –3= –3 Pág. Pág.22

(14)

Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

5

PÁGINA 100

3

a) (3 a) (3 x x + 4)(5+ 4)(5 x x – 7) = (2– 7) = (2 x x + 7)+ 7)22+ + 53 53 b)b) x x 22– 3– 3 x x 2 2 + 2 =+ 2 = x x + 12+ 12 6 6 c) c) (( x x + 1)+ 1)22 2 2 –– 3( 3( x x – 1)– 1) 4 4 ++ 3 3 x x (( x x + 1)+ 1) 2 2 == 3 3 2 2 d) d) 33 x x (( x x + 1) –+ 1) – ( ( x x – 2)– 2)22 2 2 = (= ( x x + 1)(+ 1)( x x – 1) + 15– 1) + 15 a) (3 a) (3 x x + 4)(5+ 4)(5 x x – 7) = (2– 7) = (2 x x + 7)+ 7)22 + 53+ 53 15 15 x x 22– 21– 21 x x + 20+ 20 x x – 28 = 4– 28 = 4 x x 22+ 28+ 28 x x + 49 + 53+ 49 + 53 15 15 x x 22– 4– 4 x x 22– 21– 21 x x + 20+ 20 x x – 28– 28 x x – 28 – 49 – 53 = 0– 28 – 49 – 53 = 0 11 11 x x 22– 29– 29 x x – 130 = 0– 130 = 0 x x == 29 ±29 ± √√841 – 4 · 11 · (–130)841 – 4 · 11 · (–130) 22 22 == 29 ± 29 ±√√841 – 841 – 5 5 720720 22 22 == 29 ± 29 ± √√6 5616 561 22 22 == = = 29 ± 8129 ± 81 22 22 88 x x 11= 5 = 5 y y x x 22== –52 –52 22 22 == –26 –26 11 11 b) b) x x 22– 3– 3 x x 2 2 + 2 =+ 2 = x x + 12+ 12 6 6 3( 3( x x 22– 3– 3 x x ) + 12 =) + 12 = x x + 12+ 12 3 3 x x 22 – 9– 9 x x + 12 –+ 12 – x x – 12 = 0– 12 = 0 3 3 x x 22 – 10– 10 x x = 0= 0 88 x x (3(3 x x – 10) = 0– 10) = 0 88 x x 1 1= 0 = 0 y y x x 22== 1010₃₃ c) c) (( x x + 1)+ 1)22 2 2 –– 3( 3( x x – 1)– 1) 4 4 ++ 3 3 x x (( x x + 1)+ 1) 2 2 == 3 3 2 2 2( 2( x x + 1)+ 1)22– 3(– 3( x x – 1) + 6– 1) + 6 x x (( x x + 1) = 6+ 1) = 6 2( 2( x x 22+ 2+ 2 x x + 1) – 3+ 1) – 3 x x + 3 + 6+ 3 + 6 x x 22 + 6+ 6 x x = 6= 6 2 2 x x 22 + 4+ 4 x x + 2 – 3+ 2 – 3 x x + 3 + 6+ 3 + 6 x x 22+ 6+ 6 x x – 6 = 0– 6 = 0 8 8 x x 22 + 7+ 7 x x – 1 = 0– 1 = 0 x x == –7 ±–7 ±√√49 – 4 · 8 · (–1)49 – 4 · 8 · (–1) 16 16 == –7 ± –7 ±√√8811 16 16 == –7 ± 9 –7 ± 9 16 16 88 x x 11== 1 1 8 8 y y x x 22= –1= –1 d) d) 33 x x (( x x + 1) –+ 1) – (( x x – 2)– 2)22 2 2 = (= ( x x + 1)(+ 1)( x x – 1) + 15– 1) + 15 3 3 x x 22 + 3+ 3 x x –– (( x x – 2)– 2)22 2 2 == x x 2 2_–_–_x_x₊₊_x_x_{– 1 + 15}_{– 1 + 15} 6 6 x x 22 + 6+ 6 x x –– x x 22+ 4+ 4 x x – 4 = 2– 4 = 2 x x 22– 2– 2 x x + 2+ 2 x x – 2 + 30– 2 + 30 3 3 x x 22 + 10+ 10 x x – 32 = 0– 32 = 0 x x == –10 ±–10 ± √√100 – 4 · 3 · (–32)100 – 4 · 3 · (–32) 6 6 == –10 ± –10 ± √√484484 6 6 == –10 ± 22 –10 ± 22 6 6 88 8 8 x x ₁₁ = 2 = 2 y y x x ₂₂== –32–32 6 6 == –16 –16 3 3 Pág. Pág.11

(15)

Soluciones a las actividades

de cada epígrafe

5

PÁGINA 101

1

1 _{La base de un rectángulo es 9 cm mayor que su altura. Su área mide 400 cm}_{La base de un rectángulo es 9 cm mayor que su altura. Su área mide 400 cm}22_{. Calcula}_{. Calcula}

las dimensiones de este rectángulo.

las dimensiones de este rectángulo. x x · (· ( x x + 9) = 400+ 9) = 400 x x 22+ 9+ 9 x x – 400 = 0– 400 = 0 x x 1 1= 16= 16 x x 2 2= –25= –25 x x + 9+ 9 x x •

• x x ₁₁= 16 = 16 La La altura es altura es de 16 de 16 cm y cm y la bla base es ase es de 16 de 16 + 9 + 9 = 25 = 25 cm.cm.

•

• x x ₂₂= = –25 –25 No es una soluNo es una solución válida, porque los lación válida, porque los lados no pueden tener una medida dos no pueden tener una medida

negativa.

2

2 _{Al mezclar 60 kg de café de 7,20}_{Al mezclar 60 kg de café de 7,20} €€_{/kg con café superior de 9,60}_{/kg con café superior de 9,60} €€_{/kg, resulta una}_{/kg, resulta una}

mezcla de 8,70

mezcla de 8,70€€_{/kg. ¿Cuánto café superior se ha util}_{/kg. ¿Cuánto café superior se ha util}_izado?_izado?

Coste café barato + Coste café superior

Coste café barato + Coste café superior = Coste de la mezcla = Coste de la mezcla

60 · 7,20 +

60 · 7,20 + x x · 9,60 = (60 +· 9,60 = (60 + x x ) · 8,70) · 8,70

0,9

0,9 x x = 90= 90 88 x x = 100= 100

Se han utilizado 100 kg de café superior.

Pág.

(16)

Soluciones a “Ejercicios y problemas”

5

P

ÁGINA

102

■ ■

Practica

Ecuaciones: soluciones por tanteo

Ecuaciones: soluciones por tanteo 1

1 _{¿Es 3 ó –2 solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo.}_{¿Es 3 ó –2 solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo.}

a) a) 3 –3 – x x 5 5 ++ x x 3 3 == 1 1 3 3 b) b) 22 x x + 2 + 2 x x – 1– 1 – 2 – 2 x x + 1+ 1 = – = – 44 c) c)√√14 –14 – x x = = 4 4 d) d) (2 (2 –– x x ))33+ 3+ 3 x x == x x 22– 1– 1 a) a) x x = 3= 3 88 3 – 33 – 3 5 5 ++ 3 3 3 3 ?? 1 1 3 3 88 0 + 10 + 1?? 1 1 3 3 88 3 no es solución.3 no es solución. x x = –2= –2 88 3 – (–2)3 – (–2) 5 5 ++ –2 –2 3 3 = 1 –= 1 – 2 2 3 3 == 1 1 3 3 88 –2 sí es solución.–2 sí es solución. b) b) x x = 3= 3 88 2233+ 2+ 222– 2– 244= 8 + 4 – 1= 8 + 4 – 16 = –6 = –44 88 3 es solución.3 es solución. x x = –2= –2 88 22–2–2 + 2+ 2–3–3 – 2– 2–1–1 == 11 4 4 ++ 1 1 8 8 –– 1 1 2 2 ?? ––44 88 –2 no es solución.–2 no es solución. c) c) x x = 3= 3 88 √√14 – 314 – 3 ?? 44 88 3 no es solución.3 no es solución. x x = –2= –2 88 √√14 – (–2) =14 – (–2) = √√16 = 416 = 4 88 –2 es solución.–2 es solución. d) d) x x = 3= 3 88 (2 – 3)(2 – 3)33 + 3 · 3 = –1 + 9 = 8+ 3 · 3 = –1 + 9 = 8 3 322– 1 = 8– 1 = 8 ° ° ¢ ¢ £ £ 88 3 es solución.3 es solución. x x = –2= –2 88 (2 – (–2))(2 – (–2))33+ 3(–2) = 64 – 6 = 58+ 3(–2) = 64 – 6 = 58 (–2) (–2)22– 1 = 3– 1 = 3 ° ° ¢ ¢ £ £ 88 –2 no es solución.–2 no es solución. 2

2 _{Resuelto en el libro del alumno.}_{Resuelto en el libro del alumno.}

3

3 _Resuelv_Resuelv_{e mentalmente y}_{e mentalmente y}_{explica el proceso que has}_{explica el proceso que has}_seguido._seguido.

a) a) (( x x – 2)– 2)22 = = 100 100 b) b) 7 7 –– x x + 2+ 2 3 3 = 4= 4 c) c) 55 x x – 13– 13 4 4 = = 3 3 d)d) x x 44+ 2+ 2 3 3 = 6= 6 e) 3 – 2 e) 3 – 2 x x – 5– 5 = = 2 2 f f ))√√ x x – 7 = 5– 7 = 5 a)

a) x x – – 2 2 puede puede ser ser 10 10 o o –10–10 22 x x – 2 = 10– 2 = 10 88 x x = 12= 12 x x – 2 = –10– 2 = –10 88 x x = –8= –8 b) b) x x + 2+ 2 3

3 tiene que ser igual a 3tiene que ser igual a 3 88 x x + 2 + 2 tiene que tiene que valer 9valer 9 88 x x = 7= 7

c) 5

c) 5 x x – 13 – 13 tiene que stiene que ser igual a er igual a 1212 88 55 x x tiene que ser igual a 25tiene que ser igual a 25 88 x x = 5= 5

Pág.

(17)

Soluciones a “Ejercicios y problemas”

5

Unidad 5. Ecuaciones

d)

d) x x 44+ 2 + 2 tiene que ser tiene que ser igual a igual a 1818 88 x x 44 tiene que valer 16tiene que valer 16 88 x x = 2 = 2 oo x x = –2= –2

e) 2

e) 2 x x – 5– 5

tiene que valer 1

tiene que valer 1 88 x x – 5 tiene que ser igual a 0– 5 tiene que ser igual a 0 88 x x = 5= 5

f

f )) x x – 7 – 7 tiene que tiene que ser 25ser 25 88 x x = 32= 32

4

4 _{Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones:}_{Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones:}

a) a) 33 x x – 5– 5 = = 27 27 b)b)√√ x x + 9 = 13+ 9 = 13 c) ( c) ( x x + 1)+ 1)33= = 216 216 d)d) x x 33–– x x 22–– x x = 15= 15 a) a) x x = = 8 8 b)b) x x = 160= 160 c) c) x x = = 5 5 d)d) x x = 3= 3 5

5 _{Busca por tanteo una solución a}_{Busca por tanteo una solución a}_{proximada de las siguientes ecuaciones:}_{proximada de las siguientes ecuaciones:}

a) a) x x 33= = 381 381 b)b) x x 44–– x x 22 = = 54 54 c)c) x x –– √√ x x + 5 = 0+ 5 = 0 d) d) 33 x x – 1– 1 = = 0,005 0,005 e) e) 55 x x = = 0,32 0,32 f f )) x x 0,750,75 = 17= 17 a) a) x x ≈≈ 7,25 7,25 b)b) x x ≈≈ 4,14 4,14 c)c) x x ≈≈ 33 d) d) x x ≈≈ –4 –4 e)e) x x ≈≈ –0,7 –0,7 f f )) x x ≈≈ 4444

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado 6

6 _Resuelv_Resuelv_{e las siguientes ecuaciones}_{e las siguientes ecuaciones}_{y comprueba la solución de}_{y comprueba la solución de}_{cada una:}_{cada una:}

a) a) 33 x x – 2(– 2( x x + 3) =+ 3) = x x – 3(– 3( x x + 1)+ 1) b) b) 4 4 ++ x x – 4(1 –– 4(1 – x x ) + 5(2 +) + 5(2 + x x ) = 0) = 0 c) 2 c) 2 x x + 7 – 2(+ 7 – 2( x x – 1) = 3(– 1) = 3( x x + 3)+ 3) d) 4(2 d) 4(2 x x – 7) – 3(3– 7) – 3(3 x x + 1) = 2 – (7 –+ 1) = 2 – (7 – x x )) a) 3 a) 3 x x – 2(– 2( x x + 3) =+ 3) = x x – 3(– 3( x x + 1)+ 1) 88 33 x x – 2– 2 x x – 6 =– 6 = x x – 3– 3 x x – 3– 3 88 33 x x = 3= 3 88 x x = 1= 1 Comprobación: Comprobación: 3 · 1 – 2(1 + 33 · 1 – 2(1 + 3) = 1 – 3(1 + 1)) = 1 – 3(1 + 1) 88 –5 = –5–5 = –5 b) 4 + b) 4 + x x – 4(1 –– 4(1 – x x ) + 5(2 +) + 5(2 + x x ) = 0) = 0 88 4 +4 + x x – 4 + 4– 4 + 4 x x + 10 + 5+ 10 + 5 x x = 0= 0 88 8 8 ₁₀₁₀ x x = –10= –10 88 x x = –1= –1 Comprobación: Comprobación: 4 – 1 – 4(1 + 4 – 1 – 4(1 + 1) + 5(2 – 1) = 4 1) + 5(2 – 1) = 4 – 1 – 8 + 5 = 0– 1 – 8 + 5 = 0 c) 2 c) 2 x x + 7 – 2(+ 7 – 2( x x – 1) = 3(– 1) = 3( x x + 3)+ 3) 88 22 x x + 7 – 2+ 7 – 2 x x + 2 = 3+ 2 = 3 x x + 9+ 9 88 0 = 30 = 3 x x 88 x x = 0= 0 Comprobación: Comprobación: 2 · 0 + 7 – 22 · 0 + 7 – 2(0 – 1) = 3 · (0 + (0 – 1) = 3 · (0 + 3)3) 88 9 = 99 = 9 d) 4(2 d) 4(2 x x – 7) – 3(3– 7) – 3(3 x x + 1) = 2 – (7 –+ 1) = 2 – (7 – x x )) 88 88 x x – 28 – 9– 28 – 9 x x – 3 = 2 – 7 +– 3 = 2 – 7 + x x 88 8 8 _–2_–2 x x = 26= 26 88 x x = –13= –13 Comprobación: Comprobación: 4[2(–13) – 7] – 34[2(–13) – 7] – 3[3(–13) + 1] = 2 – [3(–13) + 1] = 2 – [7 – (–13)][7 – (–13)] 88 8 8 _{–132 + 114 = 2 – 20}_{–132 + 114 = 2 – 20} 88 _{–18 = –18}_{–18 = –18} Pág. Pág.22

(18)

Soluciones a “Ejercicios y problemas”

5

7

7 _{Comprueba si estas dos ecuaciones son}_{Comprueba si estas dos ecuaciones son}_{equivalentes:}_{equivalentes:}

2( 2( x x – 1) +– 1) + x x + 1 = 2+ 1 = 2 x x + 1+ 1 2 2 x x – 1 – (– 1 – ( x x – 1) = 2(3– 1) = 2(3 x x – 5)– 5) • • 2(2( x x – 1) +– 1) + x x + 1 = 2+ 1 = 2 x x + 1+ 1 88 22 x x – 2 +– 2 + x x + 1 = 2+ 1 = 2 x x + 1+ 1 88 x x = 2= 2 • • 22 x x – 1 – (– 1 – ( x x – 1) = 2(3– 1) = 2(3 x x – 5)– 5) 88 22 x x – 1 –– 1 – x x + 1 = 6+ 1 = 6 x x – 10– 10 88 –5–5 x x = –10= –10 88 x x = 2= 2

Son equivalentes, porque tienen la

Son equivalentes, porque tienen la misma solución.misma solución.

8

a) 2(2 – 3 a) 2(2 – 3 x x ) – 3(3 – 2) – 3(3 – 2 x x ) = 4() = 4( x x + 1) + 3(4 – 5+ 1) + 3(4 – 5 x x )) b) b) x x – 3– 3 5 5 == x x + 1+ 1 3 3 – 2– 2 c) 1 = c) 1 = x x + 3+ 3 3 3 –– x x 2 2 d) d) 33 x x + 4+ 4 5 5 == x x + 2+ 2 2 2 e) e) 55 x x – 16– 16 6 6 = –= – x x + 8+ 8 12 12 ++ x x + 1+ 1 3 3 f f )) 22 x x – 4– 4 3 3 = 3 –= 3 – 4 + 4 + x x 2 2 a) 2(2 – 3 a) 2(2 – 3 x x ) – 3(3 – 2) – 3(3 – 2 x x ) = 4() = 4( x x + 1) + 3(4 – 5+ 1) + 3(4 – 5 x x )) 4 – 6 4 – 6 x x – 9 + 6– 9 + 6 x x = 4= 4 x x + 4 + 12 – 15+ 4 + 12 – 15 x x 88 1111 x x = 21= 21 88 x x == 2121 11 11 b) b) x x – 3– 3 5 5 == x x + 1+ 1 3 3 – 2– 2 88 1515



x x – 3– 3 5 5



= 15= 15



x x + 1+ 1 3 3 – 2– 2



3( 3( x x – 3) = 5(– 3) = 5( x x + 1) – 30+ 1) – 30 88 33 x x – 9 = 5– 9 = 5 x x + 5 – 30+ 5 – 30 88 16 = 216 = 2 x x 88 x x = 8= 8 c) 1 = c) 1 = x x + 3+ 3 3 3 –– x x 2 2 88 6 · 1 = 66 · 1 = 6



x x + 3+ 3 3 3 –– x x 2 2



88 6 = 2(6 = 2( x x + 3) – 3+ 3) – 3 x x 88 8 8 _{6 = 2}_{6 = 2} x x + 6 – 3+ 6 – 3 x x 88 x x = 0= 0 d) d) 33 x x + 4+ 4 5 5 == x x + 2+ 2 2 2 88 2(32(3 x x – 4) = 5(– 4) = 5( x x + 2)+ 2) 88 66 x x – 8 = 5– 8 = 5 x x + 10+ 10 88 x x = 18= 18 e) e) 55 x x – 16– 16 6 6 = –= – x x + 8+ 8 12 12 ++ x x + 1+ 1 3 3 88 1212



5 5 x x – 16– 16 6 6



= 12= 12



–– x x + 8+ 8 12 12 ++ x x + 1+ 1 3 3



88 8 8 ₂₍₅₂₍₅ x x – 16) = –(– 16) = –( x x + 8) + 4(+ 8) + 4( x x + 1)+ 1) 88 8 8 ₁₀₁₀ x x – 32 = –– 32 = – x x – 8 + 4– 8 + 4 x x + 4+ 4 88 77 x x = 28= 28 88 8 8 x x = 4= 4 f f )) 22 x x – 4– 4 3 3 = 3 –= 3 – 4 + 4 + x x 2 2 88 66



2 2 x x – 4– 4 3 3



= 6= 6



3 –3 – 4 + 4 + x x 2 2



88 8 8 ₂₍₂₂₍₂ x x – 4) = 18 – 3(4 +– 4) = 18 – 3(4 + x x )) 88 8 8 ₄₄ x x – 8 = 18 – 12 – 3– 8 = 18 – 12 – 3 x x 88 77 x x = 14= 14 88 x x = 2= 2 Pág. Pág.33

(19)

Soluciones a “Ejercicios y problemas”

5

Unidad 5. Ecuaciones

9

9 _Resuelv_Resuelv_{e y comprueba la}_{e y comprueba la}_{solución de cada una}_{solución de cada una}_{de las siguientes ecuaciones:}_{de las siguientes ecuaciones:}

a) a) x x + 2+ 2 2 2 –– x x + 3+ 3 3 3 = –= – x x – 4– 4 4 4 ++ x x – 5– 5 5 5 b) b) 33 x x + 2+ 2 5 5 –– 4 4 x x – 1– 1 10 10 ++ 5 5 x x – 2– 2 8 8 == x x + 1+ 1 4 4 c) c) x x + 5+ 5 5 5 –– x x + 5+ 5 24 24 == x x + 6+ 6 10 10 ++ x x + 4+ 4 60 60 a) a) x x + 2+ 2 2 2 –– x x + 3+ 3 3 3 = –= – x x – 4– 4 4 4 ++ x x – 5– 5 5 5 88 6060



x x + 2+ 2 2 2 –– x x + 3+ 3 3 3



= 60= 60



–– x x – 4– 4 4 4 ++ x x – 5– 5 5 5



30( 30( x x + 2) – 20(+ 2) – 20( x x + 3) = –15(+ 3) = –15( x x – 4) + 12(– 4) + 12( x x – 5)– 5) 88 8 8 ₃₀₃₀ x x + 60 – 20+ 60 – 20 x x – 60 = –15– 60 = –15 x x + 60 + 12+ 60 + 12 x x – 60– 60 88 8 8 ₃₇₃₇ x x = 0= 0 88 x x = 0= 0 Comprobación: Comprobación: 0 + 20 + 2 2 2 –– 0 + 3 0 + 3 3 3 = –= – 0 – 4 0 – 4 4 4 ++ –5 –5 5 5 88 1 – 1 = 1 – 11 – 1 = 1 – 1 88 0 = 00 = 0 b) b) 33 x x + 2+ 2 5 5 –– 4 4 x x – 1– 1 10 10 ++ 5 5 x x – 2– 2 8 8 == x x + 1+ 1 4 4 88 4040



3 3 x x + 2+ 2 5 5 –– 4 4 x x – 1– 1 10 10 ++ 5 5 x x – 2– 2 8 8



= 40= 40



x x + 1+ 1 4 4



8(3 8(3 x x + 2) – 4(4+ 2) – 4(4 x x – 1) + 5(5– 1) + 5(5 x x – 2) = 10(– 2) = 10( x x + 1)+ 1) 88 8 8 ₂₄₂₄ x x + 16 – 16+ 16 – 16 x x + 4 + 25+ 4 + 25 x x – 10 = 10– 10 = 10 x x + 10+ 10 88 8 8 ₂₃₂₃ x x = 0= 0 88 x x = 0= 0 Comprobación: Comprobación: 22 5 5 –– –1 –1 10 10 ++ –2 –2 8 8 == 2 2 5 5 ++ 1 1 10 10 –– 1 1 4 4 == 1 1 4 4 c) c) x x + 5+ 5 5 5 –– x x + 5+ 5 24 24 == x x + 6+ 6 10 10 ++ x x + 4+ 4 60 60 88 120120



x x + 5+ 5 5 5 –– x x + 5+ 5 24 24



= 120= 120



x x + 6+ 6 10 10 ++ x x + 4+ 4 60 60



24( 24( x x + 5) – 5(+ 5) – 5( x x + 5) = 12(+ 5) = 12( x x + 6) + 2(+ 6) + 2( x x + 4)+ 4) 88 8 8 ₂₄₂₄ x x + 120 – 5+ 120 – 5 x x – 25 = 12– 25 = 12 x x + 72 + 2+ 72 + 2 x x + 8+ 8 88 8 8 ₅₅ x x = –15= –15 88 x x = –3= –3 Comprobación: Comprobación: –3 + 5–3 + 5 5 5 –– –3 + 5 –3 + 5 24 24 == 2 2 5 5 –– 1 1 12 12 == 19 19 60 60 –3 + 6 –3 + 6 6 6 ++ –3 + 4 –3 + 4 60 60 == 3 3 10 10 ++ 1 1 60 60 == 19 19 60 60 10

10 _{Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla sus so-}_{Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla sus}

so-luciones: luciones: a) (4 a) (4 x x – 3)(4– 3)(4 x x + 3) – 4(3 – 2+ 3) – 4(3 – 2 x x ))22 = 3= 3 x x b) b) 22 x x (( x x + 3) + (3 –+ 3) + (3 – x x ))22= 3= 3 x x (( x x + 1)+ 1) c) (2 c) (2 x x – 3)– 3)22+ (+ ( x x – 2)– 2)22 = 3(= 3( x x + 1) + 5+ 1) + 5 x x (( x x – 1)– 1) d) d) x x (( x x + 1)+ 1) 2 2 –– (2 (2 x x – 1)– 1)22 8 8 == 3 3 x x + 1+ 1 4 4 –– 1 1 8 8 Pág. Pág.44

(20)

Soluciones a “Ejercicios y problemas”

5

a) (4 a) (4 x x – 3)(4– 3)(4 x x + 3) – 4(3 – 2+ 3) – 4(3 – 2 x x ))22= 3= 3 x x 88 8 8 ₁₆₁₆ x x 22 – 9 – 4(9 + 4– 9 – 4(9 + 4 x x 22 – 12– 12 x x ) = 3) = 3 x x 88 8 8 ₁₆₁₆ x x 22 – 9 – 36 – 16– 9 – 36 – 16 x x 22+ 48+ 48 x x = 3= 3 x x 88 4545 x x = 45= 45 88 x x = 1= 1 b) b) 22 x x (( x x + 3) + (3 –+ 3) + (3 – x x ))22 = 3= 3 x x (( x x + 1)+ 1) 88 8 8 ₂₂ x x 22+ 6+ 6 x x + 9 ++ 9 + x x 22– 6– 6 x x = 3= 3 x x 22 + 3+ 3 x x 88 9 = 39 = 3 x x 88 x x = 3= 3 c) (2 c) (2 x x – 3)– 3)22+ (+ ( x x – 2)– 2)22= 3(= 3( x x + 1) + 5+ 1) + 5 x x (( x x – 1)– 1) 88 8 8 ₄₄ x x 22+ 9 – 12+ 9 – 12 x x ++ x x 22+ 4 – 4+ 4 – 4 x x = 3= 3 x x + 3 + 5+ 3 + 5 x x 22 – 5– 5 x x 88 8 8 _{13 – 16}_{13 – 16} x x = –2= –2 x x + 3+ 3 88 10 = 1410 = 14 x x 88 x x == 1010 14 14 == 5 5 7 7 d) d) x x (( x x + 1)+ 1) 2 2 –– (2 (2 x x – 1)– 1)22 8 8 == 3 3 x x + 1+ 1 4 4 –– 1 1 8 8 88 8 8 ₈₈



x x (( x x + 1)+ 1) 2 2 –– (2 (2 x x – 1)– 1)22 8 8



= 8= 8



3 3 x x + 1+ 1 4 4 –– 1 1 8 8



88 8 8 ₄₄ x x (( x x – 1) – (2– 1) – (2 x x – 1)– 1)22= 2(3= 2(3 x x + 1) – 1+ 1) – 1 88 8 8 ₄₄ x x 22– 4– 4 x x – (4– (4 x x 22+ 1 – 4+ 1 – 4 x x ) = 6) = 6 x x + 2 – 1+ 2 – 1 88 8 8 _{–1 = 6}_{–1 = 6} x x + 1+ 1 88 –2 = 6–2 = 6 x x 88 x x = –= – 22 6 6 = –= – 1 1 3 3 Pág. Pág.55

(21)

Soluciones a “Ejercicios y problemas”

5

P

ÁGINA

103

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 11

11

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de

resolución:

a)

3

x x 22

– 12

x x

=

0

0 b)

b)

x x

– 3

x x 22

= 0

c) 2

x x 22

– 5

x x

=

0

0 d)

d)

2

x x 22

– 8 = 0

e) 9

x x 22

–

25

25 =

=

0

0 f

f

)

4

x x 22

+ 100 = 0

g) 16

x x 22

=

100

100 h)

h)

3

x x 22

– 6 = 0

a) 3 a) 3 x x 22_{– 12}_{– 12} x x _{= 0}_{= 0} 88 ₃₃ x x ₍₍ x x _{– 4) = 0}_{– 4) = 0} x x = 0= 0 x x _{= 4}_{= 4} b) b) x x _{– 3}_{– 3} x x 22_{= 0}_{= 0} 88 x x _{(1 – 3}_{(1 – 3} x x _{) = 0}_{) = 0} x x = 0= 0 x x _{= 1/3}_{= 1/3} c) 2 c) 2 x x 22_{– 5}_{– 5} x x _{= 0}_{= 0} 88 x x ₍₂₍₂ x x _{– 5) = 0}_{– 5) = 0} x x = 0= 0 x x _{= 5/2}_{= 5/2} d) d) 22 x x 22_{– 8 = 0}_{– 8 = 0} 88 ₂₂ x x 22_{= 8}_{= 8} 88 x x 22 _{= 4}_{= 4} x x = 2= 2 x x _{= –2}_{= –2} e) 9 e) 9 x x 22_{– 25 = 0}_{– 25 = 0} 88 ₉₉ x x 22_{= 25}_{= 25} 88 x x 22₌₌ 2525 9 9 x x _{= 5/3}_{= 5/3} x x _{= –5/3}_{= –5/3} f)

f) 44 x x 22_{+ 100 = 0}_{+ 100 = 0} 88 ₄₄ x x 22 _{= –1}_{= –1}₀₀₀₀ _{No tiene}_{No tiene}_solución._solución.

g) 16 g) 16 x x 22_{= 100}_{= 100} 88 x x 22 ₌₌ 100100 16 16 x x _{= 10/4 = 5/2}_{= 10/4 = 5/2} x x _{= –104 = –5/2}_{= –104 = –5/2} h) h) 33 x x 22_{– 6 = 0}_{– 6 = 0} 88 ₃₃ x x 22_{= 6}_{= 6} 88 x x 22 _{= 2}_{= 2} x x ₌₌ √√₂₂ x x _{= –}_{= –}√√₂₂ 12 12

Resuelve.

a)

x x 22

+ 4

x x

–

21

21 =

=

0

0 b)

b)

x x 22

+ 9

x x

+ 20 = 0

c) 9

x x 22

– 12

x x

+

4

4 =

=

0

0 d)

d)

x x 22

+

x x

+ 3 = 0

e) 4

x x 22

+ 28

x x

+

49

49 =

=

0

0 f

f

)

x x 22

– 2

x x

+ 3 = 0

g)

4

x x 22

– 20

x x

+

25

25 =

=

0

0 h)

h)

–2

x x 22

+ 3

x x

+ 2 = 0

a) a) x x 22_{+ 4}_{+ 4} x x _{– 21 = 0}_{– 21 = 0} 88 x x ₌₌ – – 4 ±4 ± √√16 + 21 · 416 + 21 · 4 2 2 == – – 4 ± 4 ± 1010 2 2 x x _{= 3}_{= 3} x x _{= –7}_{= –7} b) b) x x 22_{+ 9}_{+ 9} x x _{+ 20 = 0}_{+ 20 = 0} 88 x x ₌₌ – – 9 ±9 ± √√81 – 4 · 2081 – 4 · 20 2 2 == – – 9 ± 9 ± 11 2 2 x x _{= –}_{= –}₄₄ x x _{= –5}_{= –5} c) 9 c) 9 x x 22_{– 12}_{– 12} x x _{+ 4 = 0}_{+ 4 = 0} 88 x x ₌₌ 12 ±12 ± √√144 – 4 · 9 · 4144 – 4 · 9 · 4 18 18 == 12 ± 0 12 ± 0 18 18 == 2 2 3 3 Pág. Pág.11

(22)

Soluciones a “Ejercicios y problemas”

5

d)

d) x x 22₊₊ x x _{+ 3 = 0}_{+ 3 = 0} 88 x x ₌₌ –1 ±–1 ±√√1 – 4 · 31 – 4 · 3

2

e) 4 e) 4 x x 22_{+ 28}_{+ 28} x x _{+ 49 = 0}_{+ 49 = 0} 88 x x ₌₌ –28 ±–28 ± √√784 – 4 · 4 · 49784 – 4 · 4 · 49 8 8 == –28 ± 0 –28 ± 0 8 8 = –= – 7 7 2 2 f) f) x x 22_{– 2}_{– 2} x x _{+ 3 = 0}_{+ 3 = 0} 88 x x ₌₌ 2 ±2 ± √√4 – 4 · 34 – 4 · 3 2

g) g) 44 x x 22_{– 20}_{– 20} x x _{+ 25 = 0}_{+ 25 = 0} 88 x x ₌₌ 20 ±20 ± √√400 – 4 · 4 · 400 – 4 · 4 · 2525 8 8 == 20 ± 0 20 ± 0 8 8 == 5 5 2 2 h) –2 h) –2 x x 22_{+ 3}_{+ 3} x x _{+ 2 = 0}_{+ 2 = 0} 88 x x ₌₌ –3 ±–3 ± √√9 – 4(–2) · 29 – 4(–2) · 2 – – 44 == –3 ± 5 –3 ± 5 – – 44 x x _{= –2/4 = –1/2}_{= –2/4 = –1/2} x x _{= 2}_{= 2} 13

13

Resuelve igualando a cero cada uno de

los factores:

a)

x x

(3

x x

–

1)

=

0

0 b)

b)

3

x x

(

x x

+ 2) = 0

c) (

x x

+ 1)(

x x

+

3)

=

0

0 d)

d)

(

x x

– 5)(

x x

+ 5) = 0

e) (

x x

– 5)

22

=

0

0 f

f

)

(2

x x

– 5)

22

= 0

a) a) x x ₌₌_0;_0; ₃₃ x x _{– 1 = 0}_{– 1 = 0} 88 x x ₌₌ 11 3 3 Soluciones Soluciones :: x x = 0;= 0; x x == 1 1 3 3 b) b) 33 x x _{= 0;}_{= 0;} x x _{+ 2 = 0}_{+ 2 = 0} 88 x x _{= –2}_{= –2} Soluciones Soluciones _:_: x x _{= 0;}_{= 0;} x x _{= –2}_{= –2} c) c) x x _{+ 1 = 0;}_{+ 1 = 0;} x x _{+ 3 = 0}_{+ 3 = 0} Soluciones Soluciones _:_: x x _{= –1;}_{= –1;} x x _{= –3}_{= –3} d) d) x x _{– 5 = 0;}_{– 5 = 0;} x x _{+ 5 = 0}_{+ 5 = 0} Soluciones Soluciones _:_: x x _{= 5;}_{= 5;} x x _{= –5}_{= –5} e) e) x x _{– 5 = 0}_{– 5 = 0} SoluciónSolución_:_: x x _{= 5}_{= 5} f f ) 2) 2 x x _{– 5 = 0}_{– 5 = 0} SoluciónSolución_:_: x x ₌₌ 55 2 2 14

14

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (2

x x

+ 1)(

x x

– 3) = (

x x

+ 1)(

x x

– 1) – 8

b) (2

x x

– 3)(2

x x

+ 3) –

x x

(

x x

+ 1) – 5 = 0

c) (2

x x

+ 1)

22

= 4 + (

x x

+ 2)(

x x

– 2)

d)

(

x x

+ 4)

22

– (2

x x

– 1)

22

= 8

x x a) (2 a) (2 x x _{+ 1)(}_{+ 1)(} x x _{– 3) = (}_{– 3) = (} x x _{+ 1)(}_{+ 1)(} x x _{– 1) – 8}_{– 1) – 8} 88 ₂₂ x x 22_{– 6}_{– 6} x x ₊₊ x x _{– 3 =}_{– 3 =} x x 22_{– 1 – 8}_{– 1 – 8} 88 8 8 x x 22_{– 5}_{– 5} x x _{+ 6 = 0}_{+ 6 = 0} 88 x x ₌₌ 5 ±5 ± √√25 – 4 · 625 – 4 · 6 2 2 88 x x == 5 ± 1 5 ± 1 2 2 x x _{= 3}_{= 3} x x _{= 2}_{= 2} b) (2 b) (2 x x _{– 3)(2}_{– 3)(2} x x _{+ 3) –}_{+ 3) –} x x ₍₍ x x _{+ 1) – 5 = 0}_{+ 1) – 5 = 0} 88 8 8 ₄₄ x x 22_{– 9 –}_{– 9 –} x x 22_–_– x x _{– 5 = 0}_{– 5 = 0} 88 ₃₃ x x 22_–_– x x _{– 14 = 0}_{– 14 = 0} 88 8 8 x x ₌₌ 1 ±1 ± √√1 – 4 · 3 · (–14)1 – 4 · 3 · (–14) 6 6 == 1 ± 1 ± √√116969 6 6 == 1 ± 13 1 ± 13 6 6 x x _{= 7/3}_{= 7/3} x x _{= –2}_{= –2} Pág. Pág.22

(23)

Soluciones a “Ejercicios y problemas”

5

Unidad 5. Ecuaciones Unidad 5. Ecuaciones c) (2 c) (2 x x _{+ 1)}_{+ 1)}22_{= 4 + (}_{= 4 + (} x x _{+ 2)(}_{+ 2)(} x x _{– 2)}_{– 2)} 88 8 8 ₄₄ x x 22_{+ 1 + 4}_{+ 1 + 4} x x _{= 4 +}_{= 4 +} x x 22_{– 4}_{– 4} 88 ₃₃ x x 22_{+ 4}_{+ 4} x x _{+ 1 = 0}_{+ 1 = 0} 88 8 8 x x ₌₌ – – 4 ±4 ± √√16 – 4 · 3 · 116 – 4 · 3 · 1 6 6 == – – 4 ±4 ± √√44 6 6 == – – 4 ± 4 ± 22 6 6 x x _{= –1/3}_{= –1/3} x x _{= –1}_{= –1} d) d) (( x x _{+ 4)}_{+ 4)}22_{– (2}_{– (2} x x _{– 1)}_{– 1)}22_{= 8}_{= 8} x x 88 8 8 x x 22_{+ 16 + 8}_{+ 16 + 8} x x _{– (4}_{– (4} x x 22_{+ 1 – 4}_{+ 1 – 4} x x _{) – 8}_{) – 8} x x _{= 0}_{= 0} 88 8 8 x x 22_{+ 16 + 8}_{+ 16 + 8} x x _{– 4}_{– 4} x x 22_{– 1 + 4}_{– 1 + 4} x x _{– 8}_{– 8} x x _{= 0}_{= 0} 88 _–3_–3 x x 22_{+ 4}_{+ 4} x x _{+ 15 = 0}_{+ 15 = 0} 88 8 8 x x ₌₌ – – 4 ±4 ± √√16 – 4 · (–3) · 1516 – 4 · (–3) · 15 – – 66 == – – 4 ±4 ± √√119696 – – 66 == – – 4 ± 4 ± 1414 – – 66 x x _{= –5/3}_{= –5/3} x x _{= 3}_{= 3} 15

15

Resuelve las ecuaciones siguientes:

a)

(5

x x

– 4)(5

x x

+ 4)

4

4 =

=

(3

x x

– 1)

22

– 9

2

2 b)

b)

x x

3

3 (

(

x x

– 1) –

x x

4

4 (

(

x x

+ 1) +

3

x x

+ 4

12

12 = 0

= 0

c)

(

x x

– 1)(

x x

+ 2)

12

12 –

–

(

x x

+ 1)(

x x

– 2)

6

6 – 1 =

– 1 =

x x

– 3

3

3 d)

d)

(

x x

– 1)

22

– 3

x x

+ 1

15

15 +

+

x x

+ 1

5

5 = 0

= 0

e)

x x

+ 1

2

2 –

–

(

x x

– 1)

22

4

4 –

–

x x

+ 2

3

3 +

+

(

x x

– 2)

22

6

6 =

=

1

6

a) a) (5(5 x x – 4)(5– 4)(5 x x + 4)+ 4) 4 4 == (3 (3 x x _{– 1)}_{– 1)}22_{– 9}_{– 9} 2 2 88 8 8 2525 x x 22– 16– 16 4 4 == 2(9 2(9 x x 22_{+ 1 – 6}_{+ 1 – 6} x x _{– 9)}_{– 9)} 4 4 88 8 8 ₂₅₂₅ x x 22 _{– 16 = 18}_{– 16 = 18} x x 22 _{+ 2 – 12}_{+ 2 – 12} x x _{– 18}_{– 18} 88 ₇₇ x x 22_{+ 12}_{+ 12} x x _{= 0}_{= 0} 88 8 8 x x ₍₇₍₇ x x _{+ 12) = 0}_{+ 12) = 0} x x = 0= 0 x x _{= –12/7}_{= –12/7} b) b) x x 3 3(( x x – 1) –– 1) – x x 4 4(( x x + 1) ++ 1) + 3 3 x x _{+ 4}_{+ 4} 12 12 = 0= 0 88 8 8 ₁₂₁₂



x x 3 3(( x x – 1) –– 1) – x x 4 4 (( x x + 1) ++ 1) + 3 3 x x _{+ 4}_{+ 4} 12 12



88 8 8 ₄₄ x x ₍₍ x x _{– 1) – 3}_{– 1) – 3} x x ₍₍ x x _{+ 1) + 3}_{+ 1) + 3} x x _{+ 4 = 0}_{+ 4 = 0} 88 ₄₄ x x 22_{– 4}_{– 4} x x _{– 3}_{– 3} x x 22_{– 3}_{– 3} x x _{+ 3}_{+ 3} x x _{+ 4 = 0}_{+ 4 = 0} 88 8 8 x x 22_{– 4}_{– 4} x x _{+ 4 = 0}_{+ 4 = 0} 88 x x ₌₌ 4 ±4 ± √√16 – 4 · 416 – 4 · 4 2 2 = 2= 2 Pág. Pág.33