Actividades de matemáticas
4º de E.S.O.
Autores: © Roland Calvo Calabuig Antonio M. García Barberá Jesús Molina Núñez I.S.B.N.: 84-8454-462-1
Depósito legal: A-734-2005
Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33 C/ Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)
www.ecu.fm Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.gamma.fm
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Índice
Tema 1: Números Reales 5
Tema 2: Polinomios 19
Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 41
Tema 4: Funciones 79
Tema 5: Semejanza 131
Tema 6: Trigonometría 149
Tema 7: Funciones trigonométricas 165
Tema 8: Estadística 191
Tema 1: Números Reales
En cursos anteriores hemos clasificado los números según el cuadro siguiente: : : Reales : Naturales Enteros Racionales negativos Racionales no enteros Irracionales ° ° ® ° ® ¯ ® ° ¯ ° ° ¯
Actividad 1.-
Clasifica los números atendiendo al cuadro anterior.
3 3 3 3 3 3 3 6 2; 2; ; 4; ; 8; ; 4, 25 ; 5; 2 4 2 1 9 3, 22222... ; 0; ; 2; 3,101001000....; ; 1 3 3 2 3,15222... ; 1; ; 4; 11, 23581321....; 1; 5 7 S
Para poder distinguir entre los distintos tipos de números, daremos algunas propiedades que nos serán de utilidad:
Naturales: no tienen parte decimal, son positivos, sirven para contar cosas: 3 9 ; 8 ; 4 ; 2 3
Enteros: no tienen parte decimal, pero pueden ser positivos o negativos:
3 9 ; 1 ; 8 ; 2 6 ; 4 ; 2 ; 2 3 3
Racionales: son todos los que se pueden expresar como división de dos
números enteros. En principio cualquier número decimal con una cantidad finita de cifras decimales o con un cierto periodo decimal.
; 3 1 ; 3 9 ; 1 ; ... 222222 . 3 ; 25 . 4 ; 8 ; 2 6 ; 4 ; 4 3 ; 2 ; 2 3 3
Irracionales: todos los no racionales, es decir, aquellos que no se pueden
representar como una fracción, por tanto deberán tener infinitas cifras decimales y éstas no seguir ningún periodo.
3 3 4; 2 ....; 101001000 . 3 ; 5 ; S
Actividad 2.-
Clasifica los siguientes números:
.. , ...; . ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . ....; . 10222 2 24242424 6 4 5 3 12 7 2 4 8 4 8 64 3 2 4 25 6 12345 3 3 3 3
Notación científica
A menudo es necesario debido a la magnitud de ciertas cantidades trabajar en lo que se denomina notación científica, que consiste en expresar ciertas cantidades que suelen ser muy grandes o muy pequeñas como producto de un número “pequeño” por una potencia de 10. Esto resulta bastante útil no sólo a la hora de expresarlo sino también a la hora de operar con ellos. Para hacer operaciones en notación científica es necesario dominar las propiedades de las potencias.
0 1 a an am an m n n m m a a a m 1 m a a
an m anm
7
Veamos a continuación algunos ejemplos de dichas cantidades, que en ciencia son bastante comunes:
o El radio del protón es 0,00000000005 metros.
o El tamaño del virus del resfriado común es 0,0000000022 metros. o La masa de la Tierra es 5980000000000000000000000 kilos.
o El número de partículas que hay en un litro de aire en condiciones ambientales es 2448373980000000000000.
o La distancia media de la Tierra a la Luna es 384000000 metros. o La distancia media de la Tierra al Sol es 149600000000 metros. o La masa de la Luna es 73474000000000000000000 kilos. o La masa del Sol es 1988920000000000000000000000000 kilos. o El radio del Sol es 696000000 metros.
o La velocidad de la luz es 300000 km/s. o Altitud del Everest 8846,1 metros.
o Tiempo transcurrido desde la desaparición de los dinosaurios 65000000 años
o Una diezmillonésima.
Veamos algunas de estas cantidades expresadas en notación científica: o Radio del protón: 0,00000000005 m = 5 ·10 -11
m
o Diámetro del Sol: 2 · 696000000 m. = 1392000000 m. = 1,392 ·109
m. o Masa de la Tierra: 5980000000000000000000000 Kg. = 5,98 ·10 24
Kg.
Actividad 3.-
Expresa el resto de las cantidades anteriores en notación científica.
Actividad 4.-
¿Cuántas veces pesa más la Tierra que la Luna? ¿y el Sol que la Tierra?
Actividad 5.-
Sabiendo que un año luz es la distancia que la luz recorre a lo largo de un año en kilómetros, calcula esa distancia.
Veamos ahora algunos ejemplos de cómo operar en notación científica: a) En el caso de las multiplicaciones y divisiones, bastaría con aplicar las
propiedades de potencias y agrupar las potencias de base 10, multiplicando o dividiendo también los números que acompañan a éstas:
20 5 15 5 15 2 10 8 10 8 9 3 6 3 6 10 76 2 10 3 2 2 1 10 3 2 10 2 1 iii 10 3 10 1 2 3 6 10 1 2 10 3 6 ii 10 32 21 10 2 5 1 4 10 2 5 10 1 4 i y y · , · , · , · , · · , ) · · , , · , · , ) · , · , · , · , · · , )
b) En el caso de sumas y diferencias, para poder resolverlas los sumandos deben tener la misma potencia de 10, en caso contrario deberemos de convertir una de ellas. Veamos algunos ejemplos:
4 4 4 4 3 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 3 33 10 3 1 10 32 10 3 1 10 2 3 iii 10 6 32 10 4 2 35 10 4 2 10 35 10 4 2 10 5 3 ii 10 8 6 10 4 8 2 10 4 10 8 2 i · , · , · · , · , ) · , · , · , · · , · , ) · , · , · · , )
Actividad 6.-
Resuelve las operaciones siguientes:
32
31 4 3 25 25 18 20 31 30 9 9 10 2 1 10 2 7 f 10 2 10 8 7 c 10 4 10 5 1 e 10 5 10 5 2 b 10 5 2 10 5 2 d 10 5 10 3 a y y y · , · , ) · · · , ) · · · , ) · · , ) · , · , ) · · · )
Actividad 7.-
Resuelve las operaciones siguientes:
31 32 4 3 25 25 18 20 31 30 9 9 10 6 1 10 8 7 f 10 6 1 10 78 2 c 10 6 4 10 5 6 e 10 4 2 10 5 2 b 10 64 2 10 5 d 10 5 4 10 7 3 a · , · , ) · , · , ) · , · , ) · , · , ) · , · ) · , · , )
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Números racionales
Los números racionales podemos expresarlos de dos formas distintas: de forma decimal o como fracción de dos números enteros.
Ejemplo:
5 17 4 3,
Veamos el paso de decimal a fracción, ya que el paso contrario sólo consiste en realizar la división.
Supongamos que tenemos un número con una cantidad finita de cifras decimales; multiplicándolo por una potencia de 10 obtendremos un número entero, por tanto sólo nos queda “despejar” el número y lo tendremos en forma de fracción. Veamos un ejemplo: 2500 4189 10000 28756 28756 10000 8756 , 2 x x x
Supongamos ahora que tenemos un número con una cantidad infinita de cifras decimales que tiene algún periodo. La idea consiste en obtener dos números periódicos puros con el mismo periodo (multiplicando el número por dos potencias de 10 distintas); una vez hecho esto restaremos dichas cantidades y obtendremos un múltiplo de nuestro número, que en realidad es un número entero, así pues sólo nos queda despejar nuestro número.
Veamos un ejemplo:
x 23222990 11611495 0000 23222 x 990 5656 234 x 10 5656 23456 x 1000 45656 23 x ¯® ... , ... , ... , .. ,
Actividad 8.-
Expresa los siguientes números como fracciones de números enteros:
... 12345 , 2 ) ... 67888 , 5 ) 999 , 2 ) .... 271271 , 381 ) ... 234141 , 29 ) 575 , 5 ) ... 2323 , 31 ) ... 999 , 1 ) 32 , 2 ) i h g f e d c b a
Números irracionales
Al igual que cuando trabajamos con números racionales, normalmente en nuestros cálculos no solemos trabajar con números en expresión decimal (trabajamos con las fracciones). Con los números irracionales intentaremos hacer lo mismo siempre que esto sea posible. Pero los números irracionales tienen diversas procedencias, por lo que no existe una forma general de expresarlos. .... , ....; , ; ; ; ; ; ; ; ; 455 1235813213 1 0001 0100100010 1 2 5 1 3 2 7 5 3 2 3 4 M S
Muchos de los números irracionales aparecen en forma de radical. Por tanto nos interesa recordar la equivalencia entre los radicales y las potencias. Así expresaremos la raíz enésima de un número en forma exponencial
n n a a 1 n m n m a a
Usando dicha relación, se puede comprobar que se cumplen las propiedades siguientes: a) n a b n a n b b) n n n b a b a c)
n a p n ap d) m n a mxn a
Partiendo de estas propiedades se podrán realizar algunos cálculos y simplificaciones que serán muy útiles.
11
Para calcular de raíces (de cualquier índice) descompondremos el radicando en factores primos y utilizaremos las propiedades de las raíces.
Ejemplo, cuando es exacta:
a) 2500 2 5 2 52 21 52 50 4 2 2 4 2 · · · b) 729 3 33 32 9 6 3 6 3 c) 1024 2 25 22 4 10 5 10 5 d) 1764 2 3 7 2 3 72 42 2 2 2 2 2 2 2 2 · · · ·
Actividad 9.-
Calcula las siguientes raíces:
a) 144 b) 3
1000
c) 196 d) 3
1728
e) 676 f) 225
Ejemplo, cuando la raíz no es exacta:
En este caso extraemos factores de la raíz simplificándola.
a) 8 2 2 2 22 2 2 1 2 2 2 · · b) 320 2 5 2 52 23 5 8 5 1 2 6 6 · · c) 3 3 2 3 2 6 4 6 4 6 9 3 3 3 3 81 d) 512 2 2 2 2 22 2 2 1 2 2 2 3 6 9 6 9 6 ·
Actividad 10.-
Extrae factores de las raíces y simplifica cuando sea posible: a) 4 324 b) 6 1000 c) 216 d) 3 576 e) 32 f) 4 8100 g) 375 h) 3 375
En la comparación de radicales, es decir, para determinar si un radical es mayor que otro, procederemos del siguiente modo:
Ejemplo: Ordena los radicales 28 y 3128
6 6 6 2 6 3 6 2 6 3 3 1 2 1 3 16384 y 21952 128 y 28 128 y 28 128 y 28 128 y 28
Claramente llegados aquí, resulta que 3
128 28 !
Ejemplo: Ordena los radicales 4 8 y 6 32
4 6 12 9 12 10 12 3 12 2 4 1 6 1 4 6 8 32 2 y 2 8 y 32 8 y 32 8 y 32 !
Actividad 11.-
Compara las siguientes raíces:
65 4000 ) 10 60 ) 32 5 ) 4 3 4 y c y b y a
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Para multiplicar y dividir raíces del mismo índice, operaremos de la manera siguiente, multiplicamos o dividimos los radicandos y después simplificamos la nueva raíz.
Ejemplo: a) 4 2 4 2 2 2 2 8 18 8 · 18 144 2 ·3 2 · 3 2 ·3 12 b) 32 10 320 2 5 2 5 2 52 8 5 1 3 2 1 2 6 6 · · · c) 8 2 2 9 72 9 72 3 3 3 3 3 3 d) 3 2 3 2 3 3 2 3 4 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 72 81 6 72 81 6 · · · ·
Actividad 12.-
Resuelve y simplifica los siguientes productos y cocientes:
a) 12 75 b) 8 54 c) 3 3 4 500 d) 4 4 4 162 1250 8 e) 3 9 3 648 f) 3 54 316 g) 27 192 h) 8 6 32 i) 192 27 j) 32 6 8 k) 3 500 3 4 l) 4 4 4 162 1250 8 m) 12 75 n) 8 54
En la multiplicación y división de raíces de distinto índice convertimos las raíces en potencias, reducimos los exponentes al mismo denominador, volvemos a la notación con radicales y simplificamos si se puede.
12 11 12 23 12 23 12 15 30 8 4 5 2 5 3 2 4 5 2 5 3 2 4 1 2 1 3 1 4 3 3 3 1 3 1 1 3 2 2 2 3 3 3 2 2 1 2 3 1 3 2 2 1 3 1 3 15 15 15 5 3 15 3 15 5 5 1 3 1 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 32 4 32 32 4 c 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 9 72 9 72 b 25000 8 3125 2 5 2 5 2 5 2 5 a · · ) · · · · ) · · · · )
Actividad 13.-
Resuelve y simplifica los siguientes productos y cocientes:
24 9 64 d 54 9 b 8 500 c 16 12 a 3 4 3 3 3 ) ) ) )
No existen propiedades para sumar ni restar raíces. No obstante para realizar operaciones de este tipo simplificamos y extraemos factores. Nos podemos encontrar con dos casos:
Radicandos distintos, ejemplo:
3 2 2
no podemos hacer nada, (si acaso calcular una aproximación). Radicandos iguales, ejemplo:
2 2 3 2 2 2 3 2 18 8 3 2·
15 Veamos ahora otros ejemplos donde también se podrá simplificar:
3 2 2 12 2 8 3 2 2 4 2 4 3 2 2 8 4 3 2 32 d 5 2 3 56 5 2 12 2 10 3 2 5 2 6 5 2 3 2 25 8 6 200 3 2 c 5 3 6 5 6 5 2 5 6 5 2 5 36 20 b 3 3 3 10 3 2 3 5 3 2 5 3 2 3 5 12 5 3 2 75 a 3 5 3 2 3 2 2 2 ) · ) · ) · · )
Actividad 14.-
Resuelve y simplifica las sumas y restas siguientes:
a) 9 20 500 5 b) 752 123 27 c) 323 8 50 12 d) 12 75 300 e) 20 45 605 9 f) 44 99 176 g) 3 3 24 375 h) 3 3 1024 1458
Racionalización
Cuando tenemos una fracción con algún radical en el denominador, buscaremos una fracción equivalente en la que no aparezca el radical en el denominador. Para conseguirlo usaremos las propiedades siguientes:
a a a a 2 n p a a a a n n p n n n p
2 2 2 b a b a b a b a
a b
a b
a 2 b 2 ab
Veamos algunos ejemplos de racionalización:
6 3 1 6 3 2 3 6 9 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 d 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 c 3 3 4 3 3 4 3 3 3 4 3 4 b 5 5 2 5 5 2 5 5 5 2 5 2 a 2 2 2 2 4 2 4 4 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 ) ) ) )
Actividad 15.-
Racionaliza las siguientes fracciones con radicales:
2 5 1 5 h 3 3 2 2 1 g 1 2 1 f 3 2 2 1 6 e 6 2 1 d 2 18 c 3 5 b 2 2 a ) ) ) ) ) ) ) )
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Actividades de refuerzo
1. Clasifica los números:
3 ; 9 ; 8 ; 875 , 2 ; 27 ; 9 ; 2 8 ; 8 2 ; 33 , 4 ...; 333 , 2 3
2. Realiza las operaciones en notación científica:
15 18 22 10 24 22 23 10 1 2 10 2 4 c 10 6 5 10 2 4 b 10 5 0 10 5 4 10 9 2 a · , · , ) · , · · , ) · , · , · , )
3. Expresa en forma de fracción las expresiones decimales:
... 25777 , 2 ) .... 333 , 4 ) 222 , 3 ) b c a
4. Extrae fuera de la raíz todos los factores que sea posible y simplifica:
4 3 3 48 d 729 b 80 c 8600 a ) ) ) )
5. Compara las raíces:
5 3 3 256 y 16 b 1400 y 130 a ) )
6. Realiza las operaciones y simplifica: 3 3 3 3 3 4 108 72 4 d 32 25 100 b 10 100 c 6 24 a ) ) ) )
7. Resuelve y simplifica las sumas y restas de radicales:
1000 400 10 169 3 2 c 48 8 27 b 25 18 200 2 72 a ) ) )
8. Racionaliza las expresiones:
3 3 4 2 c 3 3 1 b 3 1 a ) ) )
9. Racionaliza las expresiones:
1 2 3 2 1 c 2 3 3 1 b 2 2 3 a ) ) )
Tema 2: Polinomios
Actividad 1.-
Expresa en el lenguaje algebraico las expresiones siguientes: a) El doble de un número.
b) El perímetro de un triángulo equilátero es de 18 metros. c) El doble de un número menos su quinta parte.
d) El doble de un número menos otro.
La respuesta a cada una de estas preguntas es una expresión algebraica en la que intervienen uno o más términos. Efectivamente, en el apartado último de la actividad anterior la expresión es 2x – y, donde intervienen dos variables.
Actividad 2.-
Expresa mediante el lenguaje algebraico cada uno de los enunciados siguientes:
a) El área de un cuadrado de lado x. b) El área de un círculo de radio x. c) El perímetro de un cuadrado de lado x. d) El volumen de una esfera de radio x.
Cada una de las expresiones anteriores es una expresión algebraica que consta de un solo término.
La expresión Sx2 que nos proporciona el área de un círculo de radio x, está formada por el producto de una parte numéricaS y una parte literal x2. A la letra asociada (x) o parte literal se le denomina indeterminada.
Un monomio es una expresión algebraica de la forma axn, donde a es un número real y n un número natural.
Actividad 3.-
Indica cuales de las expresiones algebraicas siguientes son monomios. a) Sx2 b) x2 +3x – 1 c) 2x – 3 d) 32x4 e) 21 5 3 x
En cada monomio nos encontraremos la indeterminada acompañada de un factor numérico que llamaremos coeficiente y un exponente al que va elevada, al que llamaremos grado del monomio.
Actividad 4.-
Indica cuales de las expresiones son monomios y el grado de los mismos. a) 12x5
b) 3x4 c) 3x4 + 2x3 d) 5x312 e) 7
