Calculo en Varias Variables

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(1)Juan Félix Ávila Herrera. CRESTOMAT¶IA DE ¶ CALCULO EN VARIAS VARIABLES. NOTA Este material ha sido recopilado para ser usado en el curso MA{ 1003 C¶alculo III. No tiene prop¶osito comercial y se proh¶³be su utilizaci¶on para otros ¯nes.. 2006.

(2) Juan Félix Ávila Herrera. 2.

(3) Juan Félix Ávila Herrera. ¶Indice General 1 Vectores y super¯cies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ecuaci¶on vectorial param¶etrica de rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Secciones c¶onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Traslaci¶on de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Super¯cies cu¶adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Cilindros oblicuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Conos oblicuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Super¯cies de revoluci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Gr¶a¯cos de super¯cies en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 7 17 23 32 36 49 58 64 72. 2 Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.1 Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.2 L¶³mites, derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.3 Curvatura de l¶³neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.4 Tri¶angulo intr¶³nsico de una curva en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.5 Resumen de f¶ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 L¶³mites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Incrementos y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Planos tangentes y rectas normales a las super¯cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Primer examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Parcial I del I-2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Parcial I del II-2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Ejercicios para el primer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Super¯cies en el espacio R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Curvas en el espacio R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3 L¶³mites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.4 Derivadas direccionales y planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 107 107 113 117 123 136 141 147 147 153 158 158 161 164 165.

(4) Juan Félix Ávila Herrera. ¶INDICE GENERAL. 4. 3.8.5 Regla de la cadena y derivaci¶on impl¶³cita . . . . . ÀÀÀ Hasta aqu¶³: materia del primer parcial . . . . . . . . . . 3.9 Puntos extremos de funciones de varias variables . . . . . 3.10 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Extremos con ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 F¶ormula de Taylor para las funciones de varias variables. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 167 170 170 183 192 200. 4 Integrales m¶ ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Integrales m¶ ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Evaluaci¶on de las integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¶ 4.3 Area y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Gra¯caci¶on en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¶ 4.6 Area de una super¯cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Aplicaciones de las integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Integraci¶on en coordenadas cil¶³ndricas y esf¶ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Cambio de variables en integrales m¶ ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Segundo examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.1 Parcial I del I-2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Ejercicios para el segundo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.1 M¶aximos y m¶³nimos relativos, puntos cr¶³ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.2 Multiplicadores de Lagrange, extremos con ligaduras . . . . . . . . . . . . . . 4.12.3 Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.4 Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÀÀÀ Hasta aqu¶³: materia del segundo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205 205 209 237 242 247 260 266 272 286 299 315 315 319 319 320 322 325 328. 5 An¶ alisis vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Integrales de l¶³nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Independencia de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Integrales de super¯cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 El teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Tercer examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Parcial III del I-2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2 Parcial III del II-2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3 Parcial III del I-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Ejercicios para el tercer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1 Integrales de l¶³nea y de super¯cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.2 Los teoremas de Green, Gauss y Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÀÀÀ Hasta aqu¶³: materia del tercer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 329 329 335 355 364 374 384 393 404 404 410 414 420 420 422 424.

(5) Juan Félix Ávila Herrera. ¶INDICE GENERAL. 5. 6 Usemos Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¶ 6.1 Fundamentos de Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Operaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Factorizaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ecuaciones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Derivadas y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 425 425 425 425 428 429 430 430 433 433 434 434 437 437 439 439 444 445 445 445 447 447 448 448 460 461 461 462 476 476. 7 Usando Graphing Calculator mediante GenGCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 >Qu¶e es Graphing Calculator y qu¶e es GenGCF? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Ejemplos usando graphing calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Conclusi¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 479 479 479 480 499.

(6) Juan Félix Ávila Herrera. 6. ¶INDICE GENERAL.

(7) Juan Félix Ávila Herrera. Cap¶³tulo 1 Vectores y super¯cies 1.1. Vectores. ² Algunas cantidades tales como el a¶rea, el volumen, la longitud de arco, la temperatura y el tiempo, s¶olo tienen magnitud y se pueden caracterizar completamente con un solo n¶ umero real 2 3 o (con una unidad de medida apropiada como cm , cm , cm, C. Una cantidad de este tipo es una cantidad escalar y el n¶ umero real correspondiente se llama escalar. ² Conceptos como el de velocidad o el de fuerza poseen tanto magnitud como direcci¶on y a menudo se representan por °echas o segmentos dirigidos, es decir, segmentos en los que se se~ nala un sentido y representan una direcci¶ on. A un segmento dirigido tambi¶en se le llama vector. ² Si un vector va de un punto P (el punto inicial) a un punto Q (el punto ¯nal), la direcci¶on se ¡! indica colocando una peque~ na °echa sobre el segmento P Q; el vector se denota as¶³ por P Q.. Figura 1.1: Vectores ¯¯ ¯¯ ¡! ¯¯¡!¯¯ ² La magnitud de P Q es la longitud de P Q y se denota por ¯¯P Q¯¯. Como en la Figura 1.1, para denotar vectores cuyos extremos no se especi¯can, se usan letras de tipo negro (o negrillas) ! tales como u o v. En escritos mecanogr¶a¯cos o manuscritos se puede usar la notaci¶on ¡ u o ¡ ! v. ¡¡! ¡¡! ² Los vectores que tienen la misma magnitud y direcci¶ on son equivalentes. Si P1 Q1 y P2 Q2 son dos segmentos orientados con la misma longitud y direcci¶on, diremos que representan el mismo vector. Un segmento orientado tiene una ubicaci¶on particular. Un vector no. 7.

(8) Juan Félix Ávila Herrera. 8. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. ² Entonces, los vectores pueden trasladarse de una posici¶on a otra mientras no se altere su magnitud o su direcci¶on. Hay muchos conceptos f¶³sicos que se pueden representar con vectores. ² Por ejemplo, sup¶ongase que un avi¶on desciende con una velocidad constante de 160 km/h y que la trayectoria del vuelo forma un a¶ngulo de 20o con la horizontal. En la Figura 1.2 se representan estos dos hechos por un vector v de magnitud 160. El vector v es un vector velocidad.. Figura 1.2: Avi¶on descendiendo ² Como un segundo ejemplo, supongamos que una persona levanta directamente hacia arriba un peso de 5 kg. Esto se puede indicar por el vector F de magnitud 5 en la Figura 1.3. Un vector. Figura 1.3: que representa una acci¶on de empujar o de tirar es un vector fuerza. ² Para representar la trayectoria de un punto que se mueve a lo largo de un segmento recto de A ¡! ¡! a B se puede usar un vector AB. Entonces, se dice que AB es un desplazamiento del punto. ¡! ¡! Como se ve en la Figura 1.4-(a), un desplazamiento AB seguido de un desplazamiento BC ¡! ¡! lleva al mismo punto que el desplazamiento AC solo. Por de¯nici¶on, el vector AC es la suma ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! de AB y BC, y se escribe AC = AB + BC. Como los vectores pueden ser trasladados de un lugar a otro, cualquier par de vectores se puede sumar colocando el punto inicial de uno en el punto ¯nal del otro y procediendo como en la Figura 1.4-(a). ² Si c es un n¶ umero real y v es un vector, entonces cv se de¯ne como el vector cuya magnitud es jcj veces la magnitud jjvjj de v y cuya direcci¶on es la misma que la de v si c > 0; o bien la opuesta a la de v si c < 0. En la Figura 1.4-(c) se ilustra todo esto. El vector cv se llama m¶ ultiplo escalar de v..

(9) Juan Félix Ávila Herrera. 1.1. Vectores. 9. Figura 1.4: Vectores ¡! ² Supongamos ahora que todos los vectores est¶an en un plano coordenado. Si P Q es un vector, ¡! entonces, como se indica en la Figura 1.5-(a), hay muchos vectores equivalentes a P Q; pero ¡! ¡! hay u ¶nico y s¶olo un vector equivalente a = OA con el origen como punto inicial. El vector OA ¡! se llama vector de posici¶ on de P Q. As¶³, cada vector determina un u ¶nico par ordenado de n¶ umeros reales, las coordenadas (a1 ; a2 ) del punto ¯nal de su vector de posici¶on.. Figura 1.5: Vector posici¶on ¡! ¡! ² Sean OA y OB dos vectores de posici¶on con puntos ¯nales A(a1 ; a2 ) y B(b1 ; b2 ), respectivamen¡! te, y sea OC con punto ¯nal C(a1 + b1 ; a2 + b2 ), como se ilustra en la Figura 1.5-(b). Usando las pendientes puede demostrarse que O, A, C y B son los v¶ertices de un paralelogramo; es decir: ¡! ¡! ¡! OA + OB = OC ¡! ¡! Entonces, el par ordenado determinado por OA + OB est¶a dado por (a1 + b1 ; a2 + b2 ). Tambi¶en ¡! se puede demostrar que si c es un escalar, entonces el par ordenado, determinado por c OA es (ca1 ; ca2 ). ² Para evitar confusi¶on con la notaci¶on para intervalos abiertos o puntos, se usar¶an s¶³mbolos como ha1 ; a2 i o bien hb1 ; b2 i para los vectores y se denotar¶an por a o b, respectivamente. Como antes, los n¶ umeros reales son escalares..

(10) Juan Félix Ávila Herrera. 10. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. ² El espacio vectorial V2 de dimensi¶on 2 (o bidimensional) es el conjunto de todos los pares ordenados hx; yi de n¶ umeros reales, llamados vectores, sujetos a los siguientes axiomas: 1. Adici¶on de vectores. Si se tiene a = ha1 ; a2 i y b = hb1 ; b2 i, entonces a+b = ha1 + b1 ; a2 + b2 i. 2. Multiplicaci¶on de vectores por escalares. Si a = ha1 ; a2 i y c es un escalar, entonces ca = hca1 ; ca2 i. Los n¶ umeros a1 y a2 en ha1 ; a2 i son las componentes del vector. Entonces, para sumar dos vectores, se suman las componentes correspondientes. Para multiplicar un vector por un escalar, se multiplica cada componente del vector por el escalar. ² El vector cero 0 y el negativo ¡a de un vector a = ha1 ; a2 i se de¯nen como sigue. 0 = h0; 0i ;. ¡a = ¡ ha1 ; a2 i = h¡a1 ; ¡a2 i. ² Un vector diferente de cero a = ha1 ; a2 i en V2 se puede representar en un plano coordenado por ¡! un segmento dirigido P Q con cualquier punto inicial P (x; y) y con punto ¯nal Q(x + a1 ; y + a2 ). ¡! ¡! ² A veces se dice que P Q corresponde a a o que a corresponde a P Q. En la Figura 1.6, el s¶³mbolo a se coloc¶o junto a varios segmentos dirigidos correspondientes a ha1 ; a2 i. Si A es el punto con ¡! ¡! coordenadas (a1 ; a2 ), el vector de posici¶on OA de P Q se llama tambi¶en vector de posici¶on de ha1 ; a2 i o vector de posici¶on del punto A.. Figura 1.6: Correspondencia ² Rigurosamente hablando, el segmento P Q en la Figura 1.6 representa al vector a = ha1 ; a2 i; ¡! sin embargo, por conveniencia, a veces se designa a P Q como el vector a. Debe quedar claro por el contexto si el t¶ermino vector se re¯ere a un par ordenado o a un segmento dirigido. El vector cero 0 = h0; 0i queda representado por cualquier punto del plano. − Ejemplo 1.1. Sean a = h¡1; 3i y b = h4; 2i. 3 1. Encontrar a + b, ¡ b, y 2a + 3b. 2.

(11) Juan Félix Ávila Herrera. 1.1. Vectores. 11. 3 2. Trazar los vectores de posici¶on de a, b, a + b y ¡ b. 2 Soluci¶ on: 1. Aplicando la de¯nici¶on, a + b = h¡1; 3i + h4; 2i = h¡1 + 4; 3 + 2i = Por otro lado. D. .3;. .5.. E. D E 3 3 ¡3 ¡ b = ¡ h4; 2i = . .¡6; ........ 2 2. Finalmente 2a + 3b = 2 h¡1; 3i + 3 h4; 2i = h¡2; 6i + h12; 6i =. D. . .10; . . .12 .... E. 3 2. Los vectores de posici¶on de a, b, a + b y ¡ b se muestran en la Figura 1.7. 2. Figura 1.7: Representaci¶on. ¡! ² La magnitud jjP Qjj de un vector P Q es la longitud del segmento P Q. A continuaci¶on se de¯ne el an¶alogo de este concepto para vectores en V2 . q ² La magnitud jjajj de un vector a = ha1 ; a2 i es jjajj = a21 + a22 ..

(12) Juan Félix Ávila Herrera. 12. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. ¡! ² Si OA es el vector de posici¶on de ha1 ; a2 i entonces jjajj es la longitud de OA. N¶otese que jjajj ¸ 0 y jjajj = 0 si y s¶olo si a = 0. − Ejemplo 1.2. Calcular la magnitud de h3; ¡2i. Soluci¶ on:. jjajj = jjh3; ¡2ijj =. q. . 9. .+ . . 4. . =. q. .13 .. :. (¤) Teorema: 1.1. Si P1 (x1 ; y1 ) y P2 (x2 ; y2 ) son dos puntos, entonces el vector a en V2 que ¡¡! corresponde a P1 P2 est¶a dado por a = hx2 ¡ x1 ; y2 ¡ y1 i. ¡¡! ¶ n: El vector P1 P2 y el vector de posici¶on de a = ha1 ; a2 i son correspondientes, Demostracio necesariamente x2 = x1 + a1 y y2 = y1 + a2 . Despejando a1 y a2 , obtenemos entonces que a = hx2 ¡ x1 ; y2 ¡ y1 i.. − Ejemplo 1.3. Dados los puntos P (¡2; 3) y Q(4; 5), encontrar vectores a y b en V2 que co¡! ¡! ¡! ¡! rrespondan a P Q y QP , respectivamente. Trazar P Q, QP , y tambi¶en los vectores de posici¶on a y b. D E 5 ¡ 3 Soluci¶ on: de acuerdo con el Teorema, los vectores a y b son a = . . . .4. .¡. .(¡2); .............. = D E D E h6; 2i, b = . . . ¡2 . . . .¡. .4; . . 3. .¡ . .5. . . . = . .¡6; . . . .¡2 .... . ¡! ¡! ¡! ¡! En la Figura se muestran P Q y QP , junto con los vectores de posici¶on OA y OB de a y b, respectivamente. N¶otese que b = ¡a..

(13) Juan Félix Ávila Herrera. 1.1. Vectores. 13. (¤) Teorema: 1.2. Sean a, b y c en V2 arbitrarios. Entonces: 1. a + b = b + a 2. a + (b + c) = (a + b) + c 3. a + 0 = a 4. a + (¡a) = 0 ¶ n: Para la parte (1), supogamos que Demostracio a = ha1 ; a2 i. y b = hb1 ; b2 i. Puesto que a1 + b1 = b1 + a1 y a2 + b2 = b2 + a2 : a + b = ha1 + b1 ; a2 + b2 i = hb1 + a1 ; b2 + a2 i = b + a: El resto de la demostraci¶on se deja como ejercicio. ² La sustracci¶on de vectores, que se denota por ¡, se de¯ne como sigue. Sean a = ha1 ; a2 i y hb1 ; b2 i. La diferencia a ¡ b es a ¡ b = a + (¡b). ² Usando las de¯niciones se ve que a ¡ b = a + (¡b) = ha1 ; a2 i + h¡b1 ; ¡b2 i = ha1 ¡ b1 ; a2 ¡ b2 i : Entonces, para encontrar a ¡ b, basta restar las componentes de b de las componentes correspondientes de a. − Ejemplo 1.4. Suponga que a = h5; ¡4i y b = h¡3; 2i. Halle a ¡ b y 2a ¡ 3b. Soluci¶ on:. a ¡ b = h5; ¡4i ¡ h¡3; 2i = h5 ¡ (¡3); ¡4 ¡ 2i =. D. . 8; . . ¡6 ..... 2a ¡ 3b = 2 h5; ¡4i ¡ 3 h¡3; 2i = h10; ¡8i ¡ h¡9; 6i =. D. . .19; . . . ¡14 ....... Por otro lado:. E. E. :.

(14) Juan Félix Ávila Herrera. 14. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. Figura 1.8: b + (a ¡ b) = a. ² Si a y b son vectores arbitrarios, entonces b + (a ¡ b) = a, es decir, a ¡ b es el vector que sumado ¡! ¡! a b da a. Si se representan a y b por los vectores P Q y P R con el mismo punto inicial, como ¡! en la Fig. 1.8, entonces RQ representa a a ¡ b. ¡! ² Al principio de esta secci¶on se us¶o el s¶³mbolo cAB para denotar un vector que tiene la misma ¡! direcci¶on que AB si c > 0, o la opuesta si c < 0. A continuaci¶on se de¯ne el an¶alogo de este concepto para vectores en V2 . ² Dos vectores a y b diferentes de cero en V2 tienen la misma direcci¶on si b = ca para alg¶ un escalar c > 0 y la direcci¶on opuesta si b = ca para alg¶ un escalar c > 0. ² Sean a = ha1 ; a2 i y b = hb1 ; b2 i. Si b = ca, entonces b1 = ca1 y b2 = ca2 , y los vectores de ¡! ¡! posici¶on OA y OB de a y b est¶an contenidos en una misma recta que pasa por el origen. M¶ as a¶ un, si c > 0, entonces los puntos A y B est¶an en el mismo cuadrante (o sobre el mismo eje coordenado positivo o negativo). Si c < 0, y A no est¶a en un eje coordenado, entonces A y B se encuentran en cuadrantes diagonalmente opuestos. Por convenci¶ on, se dir¶a que el vector 0 tiene todas las direcciones. ² Dos vectores a y b son paralelos si y s¶olo si b = ca para alg¶ un escalar c. Entonces, dos vectores a y b diferentes de cero son paralelos si tienen la misma direcci¶on o direcciones opuestas. El siguiente teorema muestra la relaci¶on entre las magnitudes de a y de ca. (¤) Teorema: 1.3. Si a es un vector y c es un escalar, entonces jjcajj = jcj jjajj. ² El teorema anterior implica que la longitud de un segmento dirigido que representa a ca es jcj veces la longitud del segmento dirigido que representa a a. ² En el siguiente teorema se enuncian algunas propiedades de la multiplicaci¶on de vectores en V2 por escalares. En ¶el, a y b son dos vectores arbitrarios y c y d, dos escalares cualesquiera. (¤) Teorema: 1.4. 1. c(a + b) = ca + cb 2. (c + d)a = ca + da 3. (cd)a = c(d a) = d(c a).

(15) Juan Félix Ávila Herrera. 1.1. Vectores. 15. 4. 1a = a 5. 0a = 0 = c0 ¶ n: Se deja como ejercicio. Demostracio ² No es dif¶³cil recordar las propiedades enunciadas en el teorema anterior porque se parecen a algunas propiedades conocidas de los n¶ umeros reales. ² Los vectores i y j se usar¶an m¶as adelante: i = h1; 0i ;. j = h0; 1i. ² Los dos vectores i y j tienen magnitud 1. ² Se pueden usar i y j para denotar de otra forma los vectores en V2 como se muestra en el siguiente teorema. (¤) Teorema: 1.5. Si a = ha1 ; a2 i es un vector en V2 entonces a = a1 i + a2 j. ¶ n: Se deja como ejercicio. Demostracio. (¤) Teorema: 1.6. Si a es un vector diferente de cero, entonces puede de¯nirse un vector unitario a u con la misma direcci¶on que a por medio de u = . jjajj ² NOTA: Todo lo que hemos estudiado hasta ahora se generaliza de forma natural para V3 y Vn . ² Dos de los conceptos importantes relacionados con dos vectores a y b son el producto escalar, que es desde luego escalar, y el producto vectorial, que es un vector. ² Sean a = ha1 ; a2 ; a3 i y b = hb1 ; b2 ; b3 i, el producto escalar de a y b es: a ¢ b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 : ² En el siguiente teorema se enuncian algunas de las propiedades del producto escalar para cualesquiera vectores a, b y c, y cualquier escalar ¸. (¤) Teorema: 1.7. 1. a ¢ a: = jjajj2. 2. a ¢ b = b ¢ a. 3. a ¢ (b + c) = a ¢ b + a ¢ c. 4. (¸ a) ¢ b = ¸(a ¢ b) = a ¢ (¸ b) 5. 0 ¢ a = 0. ² El producto escalar y el ¶ angulo entre dos vectores est¶an estrechamente relacionados..

(16) Juan Félix Ávila Herrera. 16. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. ¡! ¡! ² Sean a y b dos vectores diferentes de cero. Si b no es un m¶ ul1iplo escalar de a y si OA y OB son los vectores de posici¶on de a y b, respectivamente entonces el a¶ngulo µ entre a y b (o entre ¡! ¡! OA y OB) es el a¶ngu1o AOB del tri¶angulo determinado por estos puntos. ² Si b = ca para un escalar c (es decir, si a y b son paralelos), entonces µ = 0 si c > 0 y µ = ¼ si c < 0. ² Se dice que dos vectores a y b son ortogonales (o perpendiculares), si µ = ¼=2. Por convenci¶on, se dice que el vector cero 0 es paralelo y tambi¶en perpendicular a todo vector a. (¤) Teorema: 1.8. Si µ es el a¶ngulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces a ¢ b = jjajj jjbjj cos(µ) ² En el archivo \¶angulo entre dos vectores.nb", del disco compacto, se muestra como realizar algunos de estos c¶alculos usando Mathematica. − Ejemplo 1.5. Calcular el a¶ngulo entre a = h4; ¡3; 1i y b = h¡1; ¡2; 2i.. Soluci¶ on: Aplicando el teorema tenemos: p a¢b 2 26 = cos µ = jjajj jjbjj . . .39 ..... o bien µ ¼ arccos(0:2615) ¼ 74:84o . (¤) Teorema: 1.9. Dos vectores a y b son ortogonales si y s¶olo si a ¢ b = 0. ² Sean a = ha1 ; a2 ; a3 i y b = hb1 ; b2 ; b3 i dos vectores en V3 , se de¯ne el producto vectorial de estos vectores como: ¯ ¯ ¯ i j k ¯ ¯ ¯ a £ b = ¯¯ a1 a2 a3 ¯¯ ¯ b1 b2 b3 ¯. − Ejemplo 1.6. Encontrar a £ b para a = h2; ¡1; 6i y b = h¡3; 5; 1i.. Soluci¶ on: Escribiendo. ¯ ¯ i j k ¯ ¯ a £ b = ¯ 2 ¡1 6 ¯ ¡3 5 1. ¯ ¯ ¯ ¯ = (¡1 ¡ 30)i ¡ ( . .2. + . . .18 . . . )j + (10 ¡ 3)k ¯ ¯ D E o bien a £ b = ¡31i . . .¡20j . . . . .+ . . .7k . . . . = ¡31; . .¡20; . . . . .7. . . (¤) Teorema: 1.10. El vector a £ b es ortogonal a a y a b..

(17) Juan Félix Ávila Herrera. 1.2. Ecuaci¶ on vectorial param¶etrica de rectas y planos. 17. ² En t¶erminos geom¶etricos el Teorema anterior implica que si dos vectores a y b diferentes de ¡! ¡! cero corresponden a vectores no paralelos P Q y P R con el mismo punto inicial P , entonces ¡! a £ b corresponde a un vector P S que es perpendicular al plano determinado por P , Q y R, como se ilustra en la Fig. 1.9. Se escribe entonces. ¡! ¡! ¡! P S = P Q £ P R:. Figura 1.9: \Regla de la mano derecha". ¡! La direcci¶on de P S puede encontrarse usando la regla de la mano derecha que se ilustra en la ¡! ¡! Figura. Concretamente, si µ denota el a¶ngulo entre P Q y P R, y los dedos de la mano derecha ¡! se curvan apuntando en el sentido de la rotaci¶on de un a¶ngulo µ que lleve a P Q a tener la ¡! ¡! ¡! misma direcci¶on que P R, entonces el pulgar extendido apunta en la direcci¶on de P Q £ P R. (¤) Teorema: 1.11. Si µ es el a¶ngulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces jja £ bjj = jjajj jjbjj sen(µ). 1.2. Ecuaci¶ on vectorial param¶ etrica de rectas y planos. ² En esta secci¶on se describen las rectas y los planos mediante los conceptos vectoriales de paralelismo y ortogonalidad, respectivamente. Se hace la suposici¶ on de que las rectas y los planos est¶an en un sistema de coordenadas rectangulares en tres dimensiones. ¡! ² Sean a = ha1 ; a2 ; a3 i un vector diferente de cero en V3 , P1 (x1 ; y1 ; z1 ) un punto arbitrario y OA el vector de posici¶on de a. Ver Fig. 1.10. ² La recta l que pasa por P1 (x1 ; y1 ; z1 ) y es paralela a a se de¯ne como el conjunto de todos los ¡! ¡¡! puntos P (x; y; z) tales que P1 P es paralelo a OA, es decir, ¡! ¡¡! P1 P = tOA para un escalar t:.

(18) Juan Félix Ávila Herrera. 18. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. Figura 1.10: Recta. ² En t¶erminos de vectores en V3 , hx ¡ x1 ; y ¡ y1 ; z ¡ z1 i = t ha1 ; a2 ; a3 i = ha1 t; a2 t; a3 ti : Igualando las componentes y despejando x, y y z se obtiene 8 < x = x1 + a1 t; y = y1 + a2 t; : z = z1 + a3 t para cualquier n¶ umero real t. ² Estas son ecuaciones param¶etricas para la recta l, con t como par¶ametro. Los puntos P (x; y; z) en l se obtienen variando t sobre todos los n¶ umeros reales. (¤) Teorema: 1.12. La recta que pasa por P1 (x1 ; y1 ; z1 ) y es paralela a a = ha1 ; a2 ; a3 i tiene ecuaciones param¶etricas x = x1 + a1 t;. y = y1 + a2 t;. z = z1 + a 3 t. − Ejemplo 1.7. 1. Encontrar param¶etricas para la recta l que pasa por P (5; ¡2; 4) y es paralela − 1 ecuaciones ® 2 a a = 2 ; 2; ¡ 3 .. 2. >En qu¶e punto l corta al plano xy?. 3. Trazar el vector de posici¶on de a y la recta l. Soluci¶ on:. D E 1. Para evitar las fracciones, utilizamos el vector b = 6a, o bien b = . .3; en vez . . 12; . . . .¡4 .... de a. De acuerdo con el Teorema, la recta l tiene ecuaciones param¶etricas x = . 5. .+ . . 3t ... ;. y = . . ¡2 . . . .+. .12t ..... ;. z = 4 ¡ 4t;. t 2 IR.

(19) Juan Félix Ávila Herrera. 1.2. Ecuaci¶ on vectorial param¶etrica de rectas y planos. 19. 2. La recta corta al plano xy en el punto R(x; y; z) cuando z = 4 ¡ 4t = 0; es decir, si t = 1. Usando las ecuaciones param¶etricas de la parte (1) se obtienen las coordenadas x y y de R: x = . . . 5. .+. .3(1) y y = . . .¡2 . . . . .=. . 8. . . . . . .+ . . .12(1) . . . . . . . = 10: Por lo tanto, R es el punto con coordenadas (8; 10; 0). 3. Para trazar la recta l se sit¶ ua el punto P (5; ¡2; 4) y el punto R(8; 10; 0) que se encontr¶o en la parte (2). Haga el dibujo.. ² Para hallar ecuaciones param¶etricas de la recta que pasa por dos puntos arbitrarios P1 (x1 ; y1 ; z1 ) ¡¡! y P2 (x2 ; y2 ; z2 ), como se se usa el vector a correspondiente a P1 P2 o sea a = hx2 ¡ x1 ; y2 ¡ y1 ; z2 ¡ z1 i Sustituyendo en el Teorema se obtienen las ecuaciones param¶etricas x = x1 + (x2 ¡ x1 )t;. y = y1 + (y2 ¡ y1 )t;. t 2 IR. Obs¶ervese que t = 0 da el punto P1 , t = punto P2 .. 1 2. z = z1 + (z2 ¡ z1 )t ¡¡! da el punto medio de P1 P2 y t = 1 da el. ² En el archivo \recta conociendo dos puntos.nb", del disco compacto, se muestra como realizar algunos de estos c¶alculos usando Mathematica. − Ejemplo 1.8. Hallar ecuaciones param¶etricas para la recta l que pasa por P1 (3; 1; ¡2) y P2 (¡2; 7; ¡4). Soluci¶ on:. El vector a en V3 correspondiente a P1 P2 es D E ¡2 ¡ 3; 7 ¡ 1; ¡4 + 2 a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = h¡5; 6; ¡2i : Seg¶ un el Teorema, la recta l tiene ecuaciones param¶etricas x = . 3. .¡ . . 5t ... ;. y = 1 + .6t; ... z = . .¡2 . . .¡ . . .2t ... ;. t 2 IR. ² Recordemos que, en IR3 , tres puntos no alineados determinan un plano. El siguiente teorema da una caracterizaci¶on en t¶erminos de un vector normal al plano. (¤) Teorema: 1.13. El plano que pasa por P1 (x1 ; y1 ; z1 ) y P2 (x; y; z) y tiene el vector normal a = ha1 ; a2 ; a3 i, tiene como ecuaci¶on a1 (x ¡ x1 ) + a2 (y ¡ y1 ) + a3 (z ¡ z1 ) = 0. ¡¡! o bien ha1 ; a2 ; a3 i ¢ hx ¡ x1 ; y ¡ y1 ; z ¡ z1 i = 0 o m¶as concisamente a ¢ P1 P2 = 0.

(20) Juan Félix Ávila Herrera. 20. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. − Ejemplo 1.9. Encontrar una ecuaci¶on del plano que pasa por el punto (5; ¡2; 4) y tiene el vector normal a = h1; 2; 3i. Soluci¶ on: Aplicando el Teorema obtenemos:. 1(x ¡ 5) + . . . . .2(y . . . .+. .2) ..+ . . .3(z ...¡ . . .4) ...... = 0 lo cual se simpli¯ca a . . .x. .+. .2y . . .+ . . 3z . . . . . ¡ 13 = 0. ² En el archivo \plano conociendo normal y un punto.nb", del disco compacto, se muestra como realizar algunos de estos c¶alculos usando Mathematica. − Ejemplo 1.10. Encontrar una ecuaci¶on del plano determinado por los puntos P (4; ¡3; 1), Q(6; ¡4; 7) y R(1; 2; 2).. Soluci¶ on: Los puntos P , Q y R determinan D un plano queEcontiene D al tri¶angulo.ELos vectores ¡! ¡! a y b correspondientes a P Q y P R son a = yb= . .2;. .¡1; . . . .6. . . .¡3; . . . .5;. .1. . . El vector a £ b es normal al plano determinado por P , Q y R. En este caso, a £ b = ¡31i ¡ 20j + 7k. Usando el punto P1 = P (4; ¡3; 1) obtenemos la ecuaci¶on ¡31(x ¡ 4) ¡ 20(y + 3) + . . 7(z . . . .¡ . . 1) .... = 0. o bien . .¡31x . . . . . . ¡ 20y + 7z + 57 = 0. ² En el archivo \plano conociendo 3 puntos.nb", del disco compacto, se muestra como realizar algunos de estos c¶alculos usando Mathematica. (¤) Teorema: 1.14. La gr¶a¯ca de toda ecuaci¶on lineal ax + by + cz + d = 0 es un plano con vector normal ha; b; ci. ² Para trazar m¶as f¶acilmente la gr¶a¯ca de un plano es conveniente encontrar la traza de la gr¶ a¯ca en cada plano coordenado, es decir, la recta de intersecci¶ on del plano de la gr¶a¯ca con el plano coordenado. Para encontrar la traza en el plano xy se sustituye z por 0, pues esto genera los puntos de la gr¶a¯ca que est¶an en el plano xy. An¶alogamente, para encontrar la traza en el plano yz o en el plano xz, se toma x = 0 o bien y = 0, respectivamente, en la ecuaci¶on ax + by + cz + d = 0. − Ejemplo 1.11. Trazar la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on 2x + 3y + 4z = 12 Soluci¶ on: Hay tres puntos del plano que podemos ubicar f¶acilmente: los puntos de intersecci¶on del plano con los ejes coordenados. Sustituyendo y y z por 0 en la ecuaci¶on obtenemos 2x = 12,.

(21) Juan Félix Ávila Herrera. 1.2. Ecuaci¶ on vectorial param¶etrica de rectas y planos. 21. Figura 1.11: Dibujando un plano. o sea x = 6. Entonces, el punto (6; 0; 0) est¶a en la gr¶a¯ca. El n¶ umero 6 es la coordenada x de intersecci¶on de la gr¶a¯ca con el eje x. An¶alogamente, sustituyendo x y z por 0 obtenemos que la coordenada y de la intersecci¶on de la gr¶a¯ca con el eje y es 4, y por lo tanto, el punto (0; 4; 0) est¶a en la gr¶a¯ca. Reemplazando x y y por 0 se obtiene el punto (0; 0; 3). La traza en el plano xy se encuentra sustituyendo z por 0 en la ecuaci¶on dada. Al hacerlo obtenemos . . . 2x . . .+ . . .3y . . .=. .12 . . . . . , que tiene como gr¶a¯ca en el plano xy a una recta con abscisa en el origen 6 y ordenada en el origen 4. Esta y las otras trazas de la gr¶a¯ca en los planos xzy yz se indican en la Fig. 1.11. ² Dos planos con vectores normales a y b, respectivamente, son paralelos si a y b son paralelos, y ortogonales si a y b son ortogonales. − Ejemplo 1.12. Demostrar que las gr¶a¯cas de las ecuaciones 2x ¡ 3y ¡ z ¡ 5 = 0 y ¡6x + 9y + 3z + 2 = 0 son planos paralelos. D E 2; ¡3; ¡1 Soluci¶ on: Las gr¶a¯cas son planos con vectores normales a = y b = ............. D E . .¡6; . . . .9;. .3. . . Como b = ¡3a, los vectores a y b son paralelos y entonces los planos son paralelos.. − Ejemplo 1.13. Encontrar una ecuaci¶on del plano que pasa por P (5; ¡2; 4) y es paralelo al plano 3x + y ¡ 6z + 8 = 0. D E 3; 1; ¡6 Soluci¶ on: El plano 3x + y ¡ 6z + 8 = 0 tiene un vector normal a = . . . . . . . . . . . Por lo tanto, un plano paralelo a ¶este tendr¶a una ecuaci¶on de la forma . . .3x . . .+ . . y. .¡ . . 6z ..... + d = 0. para alg¶ un n¶ umero real d. Si P (5; ¡2; 4) est¶a en este plano, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuaci¶on; es decir, 3(5) + (¡2) ¡ 6(4) + d = 0. o bien d = 11. Esto nos da. . . . .3x . . .+ . . y. .¡ . . 6z . . .+ . . 11 . . . . . . = 0.. − Ejemplo 1.14. Trazar la gr¶a¯ca de 3x + 5z = 10..

(22) Juan Félix Ávila Herrera. 22. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. Soluci¶ on: La gr¶a¯ca es un plano ortogonal al plano xz cuya intersecci¶on con el eje x tiene , y su intersecci¶on con el eje z tiene elevaci¶on (o coordenada abscisa (o coordenada x) igual a 10 3 z) igual a 2. N¶otese que la traza en el plano yz tiene la ecuaci¶on 5z = 10 y por lo tanto, es una recta paralela al eje y cuya intersecci¶on con el eje z tiene coordenada z igual a 2.. Figura 1.12: Gra¯cando un plano. An¶alogamente, la traza en el plano xy tiene ecuaci¶on 3x = 10 y es una recta paralela al eje y . La Fig. 1.12 muestra una parte de la cuya intersecci¶on con el eje x tiene abscisa igual a 10 3 gr¶a¯ca y las trazas en los tres planos coordenados. ² Si una recta l est¶a dada param¶etricamente como x = x1 + a1 t;. y = y1 + a2 t;. z = z1 + a 3 t. Si a1 , a2 , a3 son diferentes de cero, puede despejarse t de cada ecuaci¶on y obtener: t=. y ¡ y1 z ¡ z1 x ¡ x1 = = a1 a2 a3. ² Resulta entonces que un punto P (x; y; z) est¶a en l si y s¶olo si se satisfacen estas ecuaciones, llamadas forma sim¶etrica de la ecuaci¶on de l. ² La forma sim¶etrica no es u ¶nica para una recta dada, pues en se pueden usar otros tres n¶ umeros b1 ; b2 ; b3 en vez de a1 ; a2 ; a3 con tal de que sean proporcionales a aqu¶ellos, y tambi¶en es posible usar otro punto de l en lugar de (x1 ; y1 ; z1 ). − Ejemplo 1.15. Encontrar la forma sim¶etrica de la ecuaci¶on de la recta que pasa por P1 (3; 1; ¡2) y P2 (¡2; 7; ¡4). ¡¡! Soluci¶ on: El vector a correspondiente a P1 P2 es D E D E ¡ 3; 7 ¡ 1; ¡4 + 2 ¡5; 6; ¡2 a = . . . . . ¡2 = .......................... ............. : La recta tiene la representaci¶on param¶etrica x = 3 ¡ 5t;. y = 1 + 6t;. z = . .¡2 . . .¡ . . .2t . . . ; t 2 IR:.

(23) Juan Félix Ávila Herrera. 1.3. Secciones c¶ onicas. 23. Despejando t de cada ecuaci¶on e igualando los resultados obtenemos la forma sim¶etrica: z+2 x¡3 y¡1 = = . . .¡2 ..... ¡5 6. 1.3. Secciones c¶ onicas. ² La circunferencia: La circunferencia se de¯ne como el lugar geom¶etrico de un punto P (x; y) que se mueve de modo que siempre se mantiene equidistante de un punto ¯jo. Esta distancia constante se denomina radio, y el punto ¯jo se denomina centro de la circunferencia. As¶³, usando esta de¯nici¶on, y llamando (h; k) al punto ¯jo y r al radio, tenemos p (x ¡ h)2 + (y ¡ k)2 = r o bien, elevando al cuadrado, (x ¡ h)2 + (y ¡ k)2 = r2 .. ² El c¶³rculo es una secci¶on c¶onica porque puede obtenerse al cortar cono con un plano tal como se muestra en la Fig. 1.13.. Figura 1.13: C¶³rculo obtenido al cortar un cono.. Nota: En el archivo \c¶³rculo.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator..

(24) Juan Félix Ávila Herrera. 24. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. − Ejemplo 1.16. Hallar la ecuaci¶on de la circunferencia con centro en (2; 1) y que pasa por (4; 8). La ecuaci¶on quedar¶a determinada para esta circunferencia si podemos hallar h, k y r. Por la informaci¶on dada, h = 2 y k = 1. Para hallar r, usaremos el hecho de que todos los puntos de la circunferencia deben satisfacer su ecuaci¶on. El punto (4; 8) debe satisfacer la ecuaci¶on con h = 2 y k = 1. As¶³: 2 2 2 ( . 4. .¡ . . 1. . ) = r . . 2. . ) + ( . 8. .¡ Por esta relaci¶on obtenemos que r2 = 53. La ecuaci¶on de la circunferencia es (x¡2)2 +(y¡1)2 = .53 .. . ² Si efectuamos las operaciones indicadas en la ecuaci¶on, podemos combinar los t¶erminos resultantes para obtener x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 La ecuaci¶on se denomina ecuaci¶on general de la circunferencia. Esto nos dice que cualquier ecuaci¶on que se pueda escribir en esa forma representar¶a una circunferencia. ² La par¶ abola: se de¯ne como el lugar geom¶etrico de un punto P (x; y) que se mueve de modo que est¶a siempre equidistante de una recta y de un punto dados. La recta dada se denomina directriz, y el punto dado se denomina foco. La recta que pasa por el foco y que es perpendicular a la directriz se denomina eje de la par¶abola. El punto medio entre la directriz y el foco es el v¶ertice de la par¶abola.. Usando la de¯nici¶on, hallaremos la ecuaci¶on de la par¶abola cuyo foco es el punto (p; 0) y cuya directriz es la recta x = ¡p. Con esta elecci¶on del foco y de la directriz, podremos hallar una representaci¶on general de la ecuaci¶on de una par¶abola con su v¶ertice en el origen. De acuerdo con la de¯nici¶on, la distancia desde un punto P (x; y) de la par¶abola hasta el foco (p; 0) debe ser igual a la distancia desde P (x; y) hasta la directriz x = ¡p. La distancia desde P hasta el foco se puede encontrar mediante la f¶ormula de la distancia. La distancia desde P hasta la directriz es la distancia perpendicular, la cual se puede determinar como la distancia entre dos puntos pertenecientes a una recta paralela al eje x. Estas distancias est¶an indicadas en la ¯gura. As¶³,' tenemos p (x ¡ p)2 + (y ¡ 0)2 = x + p.

(25) Juan Félix Ávila Herrera. 1.3. Secciones c¶ onicas. 25. Elevando al cuadrado los dos miembros de esta ecuaci¶on, tenemos (x ¡ p)2 + y 2 = (x + p)2. o bien x2 ¡ 2px + p2 + y 2 = x2 + 2px + p2 Simpli¯cando, obtenemos y 2 = 4px. ² La ecuaci¶on anterior se denomina forma est¶andar de la ecuaci¶on de una par¶abola cuyo eje coincide con el eje x y cuyo v¶ertice es el origen. Se puede demostrar que esta curva es sim¶etrica con respecto al eje x, porque (¡y)2 = 4px es lo mismo que y 2 = 4px. ² La par¶abola es una secci¶on c¶onica porque puede obtenerse al cortar cono con un plano tal como se muestra en la Fig. 1.14.. Figura 1.14: Par¶abola obtenida al cortar un cono.. Nota: En el archivo \parabola.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator. − Ejemplo 1.17. Hallar las coordenadas del foco, la ecuaci¶on de la directriz y trazar la gr¶a¯ca de la par¶abola y 2 = 12x.. Figura 1.15: Par¶abola Soluci¶ on: Por la forma de la ecuaci¶on, sabemos que el v¶ertice est¶a en el origen. El coe¯ciente 12 nos indica que el foco es . (3; . . . 0) . . . , porque 4p = 12. Adem¶as, esto signi¯ca que la directriz es la recta x = ¡3. Ver Fig. 1.15..

(26) Juan Félix Ávila Herrera. 26. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. − Ejemplo 1.18. Si el foco est¶a a la izquierda del origen, con la directriz a la misma distancia a la derecha, el coe¯ciente del t¶ermino en x ser¶a negativo. Esto nos dice que la par¶abola se abre hacia la izquierda y no hacia la derecha, como es el caso cuando el foco est¶ a a la derecha del origen. Por ejemplo, la par¶abola. Figura 1.16: Par¶abola y 2 = ¡8x. tiene su v¶ertice en el origen, su foco en (¡2; 0) y su directriz es la recta x = 2. Por lo tanto, 4p = ¡8, o p = ¡2. La par¶abola se abre hacia la izquierda. Ver Fig. 1.16. ² Si escogemos como foco el punto (0; p) y como directriz la recta y = ¡p, hallaremos que la ecuaci¶on resultante es x2 = 4py Esta es la forma est¶andar de la ecuaci¶on de la par¶abola cuyo eje coincide con el eje y, y cuyo v¶ertice est¶a en el origen. Se puede demostrar su simetr¶³a con respecto al eje y, porque (¡x)2 = 4py es igual a x2 = 4py. x2 = 4py. y 2 = 4px. Figura 1.17: Dos par¶abolas. − Ejemplo 1.19. La par¶abola x2 = 4y tiene su v¶ertice en el origen, su foco en el punto ( .0;. .1. ) y su directriz es la recta . .y. .=. .¡1 .... ..

(27) Juan Félix Ávila Herrera. 1.3. Secciones c¶ onicas. 27. ² La elipse: La elipse se de¯ne como el lugar geom¶etrico de un punto P (x; y) que se mueve de modo que la suma de sus distancias a dos puntos ¯jos es constante. Ver Fig. 1.18. Estos dos puntos ¯jos se denominan focos de la elipse. Llamando 2a a la suma ¯ja y tomando como focos los puntos(c; 0) y (¡c; 0), por la de¯nici¶on de la elipse, tenemos p. (x ¡ c)2 + y 2 +. p. (x + c)2 + y 2 = 2a. ² Si hacemos a2 ¡ c2 = b2 , obtenemos: x2 y 2 + 2 =1 a2 b. Figura 1.18: Elipse.. ² Si hacemos y = 0, hallamos que las intersecciones con el eje x son (¡a; 0) y (a; 0). Estos dos puntos se denominan v¶ertices de la elipse, y el segmento de recta comprendido entre ellos se denomina eje mayor de la elipse. ² Si hacemos ahora x = 0, hallamos que las intersecciones con el eje y son (0; ¡b) y (0; b). El segmento de recta que une estos dos puntos se denomina eje menor de la elipse. ² Si escogemos los focos en el eje y, la ecuaci¶on est¶andar de la elipse con centro en el origen y eje mayor en el eje y, es y 2 x2 + 2 =1 a2 b ² En este caso, los v¶ertices son (0; a) y (0; ¡a), los focos son (0; c) y (0; ¡c), y los extremos del eje menor son (b; 0) y (¡b; 0). ² La elipse es una secci¶on c¶onica porque puede obtenerse al cortar cono con un plano tal como se muestra en la Fig. 1.19. Nota: En el archivo \elipse.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator..

(28) Juan Félix Ávila Herrera. 28. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. Figura 1.19: Elipse obtenida al cortar un cono. − Ejemplo 1.20. La elipse. x2 y 2 + =1 25 9. tiene sus v¶ertices en ( .5;. .0. ) y ( . ¡5; . . . . 0. . ).. Su eje menor est¶a comprendido entre (0; 3) y (0; ¡3), como se ve en la ¯gura. Esta informaci¶on se obtiene directamente de la ecuaci¶on, porque el 25 nos indica que a2 = 25, o a = 5. En la misma forma tenemos que b = 3. Como sabemos a2 yb2 , podemos hallar c2 por la relaci¶on an en c2 = a2 ¡ b2 . As¶³, c2 = 16, o c = 4. Esto nos dice a su vez que los focos de la elipse est¶ 4; 0 ¡4; 0 ( . . . . ) y ( . . . . . . . ). − Ejemplo 1.21. La elipse de la Fig. 1.20 x2 y 2 + =1 4 9 tiene sus v¶ertices en (0; 3) y (0; ¡3). El eje menor est¶a comprendido entre (2; 0) y (¡2; 0). Esto se puede obtener directamente por la ecuaci¶ on, porque a2 = 9 y b2 = 4. Cabr¶³a preguntar por qu¶e escogemos a2 = 9 en este ejemplo y a2 = 25 en el ejemplo anterior. Como a2 = b2 + c2 , a es siempre mayor que b. As¶³, podemos decir en cu¶al de los ejes (x o y) est¶a el eje mayor, observando cu¶al de los n¶ umeros (en el denominador) es mayor, cuando la ecuaci¶ on esta escrita 2 en la forma est¶andar. El n¶ umero mayor corresponde a a . p p En este ejemplo, los focos son ( . 0; . . . . 5. . ) y ( . .0;. .¡ . . . .5. . )..

(29) Juan Félix Ávila Herrera. 1.3. Secciones c¶ onicas. 29. Figura 1.20: Gr¶a¯ca de la par¶abola. ² La hip¶ erbola: La hip¶erbola se de¯ne como el lugar geom¶etrico de un punto P (x; y) que se mueve de tal manera que la diferencia de las distancias a dos puntos ¯jos es constante. Estos puntos ¯jos son los focos de la hip¶erbola. Suponiendo que los focos de la hip¶erbola est¶an en los puntos (c; 0) y (¡c; 0) (ver la ¯g.) y que la diferencia constante es 2a, tenemos. Figura 1.21: Hip¶erbola. p p (x + c)2 + y 2 ¡ (x ¡ c)2 + y 2 = 2a ² La ecuaci¶on de la hip¶erbola es. x2 y 2 ¡ 2 =1 a2 b. ² Cuando se deduce esta ecuaci¶on, se tiene una de¯nici¶on de la relaci¶on entre a, b y c, que es diferente de la de la elipse. Esta relaci¶on es c2 = a2 + b2 . ² Haciendo y = 0, hallamos que las intersecciones con el eje x son (a; 0) y (¡a; 0), tal como ocurri¶o con la elipse. Estos puntos se denominan v¶ertices de la hip¶erbola. ² Haciendo x = 0, hallamos que las soluciones para y son imaginarias, lo cual signi¯ca que no hay puntos en la curva correspondientes al valor de x = 0..

(30) Juan Félix Ávila Herrera. 30. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. ² Para encontrar el signi¯cado de b, despejaremos y en la ecuaci¶on bx y=§ a. r. 1¡. x2 y 2 ¡ 2 = 1. Obtenemos: a2 b. a2 x2. Notamos que si se toman valores grandes para x, la cantidad bajo el radical se aproxima a 1. As¶³, tenemos que para valores grandes de x, y¼§. bx a. bx representa a dos rectas que pasan por el origen. La pendiente de una de a ellas es b=a y la de la otra es ¡b=a. Estas rectas se denominan as¶³ntotas de la hip¶erbola. Ver ¯g. 1.22.. ² Las rectas y = §. Figura 1.22: As¶³ntotas ² Tiene un eje transverso de longitud 2a a lo largo del eje x, y un eje conjugado de longitud 2b a lo largo del eje y. Esto signi¯ca que a representa la longitud del semieje transverso, y b representa la longitud del semieje conjugado. La relaci¶ on entre a, b y c est¶a dada por la 2 2 ecuaci¶on xa2 ¡ yb2 = 1. ² Si el eje transverso est¶a en el eje y, y el eje conjugado est¶a en el eje x (ver Fig.1.23), la ecuaci¶on de una hip¶erbola con centro en el origen es y 2 x2 ¡ 2 =1 a2 b ² La hip¶erbola es una secci¶on c¶onica porque puede obtenerse al cortar cono con un plano tal como se muestra en la Fig. Nota: En el archivo \hiperbola.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator..

(31) Juan Félix Ávila Herrera. 1.3. Secciones c¶ onicas. 31. Figura 1.23: Hip¶erbola con eje transverso en el eje y.. Figura 1.24: Hip¶erbola obtenida al cortar un cono. − Ejemplo 1.22. La hip¶erbola. x2 y 2 ¡ =1 16 9. tiene sus v¶ertices en ( .4;. .0. ) y ( . ¡4; . . . . 0. . ). Su eje transverso est¶a comprendido entre estos v¶ertices. Su eje conjugado se extiende desde (0; 3) hasta (0; ¡3). Como c2 = a2 + b2 , hallamos que c = 5, de donde resulta que los focos son los puntos (5; 0) y (¡5; 0). Trazando el rect¶angulo y luego las as¶³ntotas, dibujamos la hip¶erbola desde cada v¶ertice hacia las as¶³ntotas (¯g.1.25). De este modo, queda trazada la curva. − Ejemplo 1.23. Lahip¶erbola. y 2 x2 ¡ =1 4 16 tiene sus v¶erticespen (0; 2) y (0; ¡2)psu eje conjugado se extiende desde (4; 0) hasta (¡4; 0). Los focos son ( . .0;. .2. . .5. . ) y ( . . 0; . . ¡2 . . . . . 5. . . ). Como 2a se extiende a lo largo del eje y, vemos que las ecuaciones de las as¶³ntotas son y = §(a=b)x. Esta es una extensi¶on para el caso en que el.

(32) Juan Félix Ávila Herrera. 32. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. Figura 1.25: Gr¶a¯ca de la hip¶erbola.. Figura 1.26: Gr¶a¯ca de la hip¶erbola. eje transverso est¶a en el eje y. La raz¶on a=b expresa simplemente la pendiente de la as¶³ntota (ver la ¯g. 1.26).. 1.4. Traslaci¶ on de ejes. ² Empecemos con el caso de dos variables. La ecuacion m¶as general de segundo grado en x y y tiene la forma Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (1.1). Si se pudiera factorizar (1.1) en la forma (ax + by + c)(dx + ey + f ) = 0 el conjunto de puntos consistir¶³a en dos rectas; si B = 0, A = C, el conjunto es un c¶³rculo; en otro caso es una de las c¶onicas vistas ya. ² Se puede veri¯car, por ejemplo, que el conjunto de puntos de la ecuaci¶ on 20x2 ¡ 24xy + 27y 2 + 24x ¡ 54y ¡ 369 = 0. (1.2). obtenida y el de la ecuaci¶on 11x2 + 36y 2 ¡ 369 = 0. (1.3).

(33) Juan Félix Ávila Herrera. 1.4. Traslaci¶ on de ejes. 33. Figura 1.27: obtenida son elipses id¶enticas. Ver Fig. 1.27. La diferencia en las ecuaciones se debe a sus posiciones con respecto a los ejes de coordenados. ² Para hacer un estudio detalllado de los conjuntos representados por (1.1), como el (1.2), por ejemplo, habr¶a que introducir alg¶ un procediento para cambiar (1.2) en (1.3). Las operaciones, que son dos, mediante las, cuales (1.2) se puede transformar en (1.3), se llaman justamente transformaciones. El efecto general de ¶estas se puede interpretar as¶³: Cada punto (x; y) del plano queda, ¯jo, pero cambia de nombre, esto es, de coordenadas, seg¶ un una cierta ley dada por las llamadas ecuaciones de la transformaci¶on. ² Traslaci¶ on de los ejes de coordenadas. La transformaci¶on que mueve los ejes, de coordenadas a una nueva posici¶on manteni¶endolos siempre paralelos a su posici¶on primitiva se llama traslaci¶on.. Figura 1.28: Traslaci¶on de ejes. ² Nota: por comodidad usaremos u en lugar de x0 y v en lugar de y 0 . ² En la ¯gura 1.28, Ox y Oy son los ejes y O es el origen del sistema primitivo, en tanto que O0 u y O0 v son los ejes y O0 el origen del nuevo sistema (trasladado). ² Cada punto del plano tendr¶a ahora dos pares de coordenadas: el primitivo, que consiste en las distancias dirigidas de los ejes primitivos al punto, dadas en su orden apropiado, y el nuevo par.

(34) Juan Félix Ávila Herrera. 34. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. de coordenadas que consiste en las distancias dirigidas desde los nuevos ejes al mismo punto. Para evitar errores, escribiremos las coordenadas de un punto referidas a un sistema primitivo como A(a; b), por ejemplo, y las coordenadas referidas a un nuevo sistema como A(c; d)0 . A veces tambi¶en ser¶a c¶omodo, hablar de sistema sin tildes o con tildes (letras sin primas o con primas). ² Si los ejes, junto con el origen O, se trasladan a una nueva posici¶on con el origen O0 de coordenadas (h; k) respecto del primer sistema y si las coordenadas de un punto son (x; y) antes de la traslaci¶on y (u; v)0 despu¶es de la traslaci¶on, entonces las ecuaciones de transformaci¶on son x = u + h;. y = v + k:. (1.4). − Ejemplo 1.24. Mediante una traslaci¶on, transformar la ecuaci¶on 3x2 + 4y 2 ¡ 12x + 16y ¡ 8 = 0 en otra que carezca de t¶erminos de primer grado. Soluci¶ on: Hay dos formas de hacerlo. Primera soluci¶ on. Si se sustituyen los valores de x y y seg¶ un la (1.4) en la ecuaci¶on dada, se obtiene: 3(u + h)2 + 4(v + k)2 ¡ 12(u + h) + . . .16(v . . . . .+ . . k) . . .¡ . . 8. . . . = 0 o bien 2 2 2 2 . . .3u ...+ . . .4v . . . . . + (6h ¡ 12)u + (8k + 16)v + 3h + 4k ¡ 12h + 16k ¡ 8 = 0. La ecuaci¶on carecer¶a de t¶erminos de primer grado si . .6h . . .¡ . . 12 . . . . = 0;. y. . .8k . . .+ . . 16 .... = 0. es decir, si h = 2 y k = ¡2. As¶³ que la traslaci¶on x = .u. .+ . . 2. . ; y = . v. .¡ . . 2. . reduce la ecuaci¶on dada a la 2. 2 .3u . . . . + 4v ¡ 36 = 0. El conjunto que representa, una elipse, junto con el sistema primitivo y el nuevo, se muestran en la ¯gura 1.29..

(35) Juan Félix Ávila Herrera. 1.4. Traslaci¶ on de ejes. 35. Figura 1.29: Traslaci¶on. Segunda soluci¶ on: Se pone la ecuaci¶on dada en la forma 3(x2 ¡ 4x) + 4(y 2 + 4y) = 8 y se completan los cuadrados para obtener 2 2 3( . . .x. . .¡. .4x . . .+ . . 4. . . . ) + 4( . . .y. . + . . .4y ..+ . . .4. . . ) = 8 + 3(4) + 4(4) = 36. o sea 3(x ¡ 2)2 + 4(y + 2)2 = 36. La transformaci¶on x ¡ 2 = u, y + 2 = v o sea x = u + 2, y = v ¡ 2 reduce a 3u2 + 4v 2 ¡ 36: = 0, como antes. ² La otra forma de transformaci¶on de coordenadas es la de rotaci¶on de ejes coordenados. La transformaci¶on que deja ¯jo el origen, pero hace girar los ejes de coordenadas un a¶ngulo dado, se llama rotaci¶on. ² Si con el origen ¯jo se giran los ejes en sentido contrario de las agujas del reloj un a¶ngulo µ y si las coordenadas de un punto P son (x; y) antes y (u; v)0 despu¶es de la rotaci¶on las ecuaciones de transformaci¶on son: x = u cos µ ¡ v sen µ y = u sen µ + v cos µ − Ejemplo 1.25. Transformar la ecuaci¶on p x2 + 3xy + 2y 2 ¡ 5 = 0 girando los ejes de coordenadas 60o . Soluci¶ on: Las ecuaciones de transformaci¶on son p 1 (u ¡ 3v) . . .2. . . . . . . . . . . . . . 1 p ( 3u + v) y = u sen 60o + v cos 60o = . . .2. . . . . . . . . . . . . . x = u cos 60o ¡ v sen 60o =.

(36) Juan Félix Ávila Herrera. 36. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. Llevando estos valores de x y y a la ecuaci¶on dada, se obtiene p p p 1p 1 p 1 3(u ¡ 3v)( 3u + v) + ( 3u + v)2 ¡ 5 = 0 (u ¡ 3v)2 + 4 4 2 o bien 5u2 + v 2 = 10, que representa una elipse.. Figura 1.30: Rotaci¶on. En la ¯gura 1.30 se muestra ¶esta junto con los sistemas primitivo y nuevo de coordenadas.. 1.5. Super¯cies cu¶ adricas. ² En general, la traza (o corte) de una super¯cie en un plano es la l¶³nea de intersecci¶on de la super¯cie con el plano. Para esquematizar una super¯cie se hace uso frecuente de las trazas. Son de especial importancia las trazas en los planos coordenados. Estas tres l¶³neas se llaman traza xy, traza yz y traza xz, y sus ecuaciones pueden encontrarse a partir de la ecuaci¶on de la super¯cie tomando z = 0, x = 0 y y = 0, respectivamente. − Ejemplo 1.26. Encontrar las trazas, en varios planos, de la super¯cie con ecuaci¶on z = x2 +y 2 y esquematizar la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on. Soluci¶ on: Para encontrar la traza yz tomamos x = 0 en la ecuaci¶on z = x2 + y 2 y as¶³ z = y 2 . Por lo tanto, la traza de la super¯cie en el plano yz es una par¶abola con v¶ertice en el origen y que abre hacia arriba, como se muestra en la Figura Para encontrar la traza xz tomamos 2 y = 0 en z = x2 + y 2 , y obtenemos . .z. = . . .x. . . . Por lo tanto, tambi¶en la traza en el plano 2 2 xz es una par¶abola. Para la traza xy, se toma z = 0 y resulta . . .x. . + . . .y. . = . . .0. . . . La gr¶a¯ca de esta ecuaci¶on consta de un solo punto, el origen. Ahora encontraremos las trazas en planos paralelos al plano xy; es decir, planos con ecuaciones de la forma z = z0 . Sustituyendo z por z0 en la ecuaci¶on dada, obtenemos x2 + y 2 = z0 . Entonces, si z0 > 0, la traza en el plano z = z0 es p una circunferencia de radio z0 , En la Figura 1.31 se muestran varias de estas circunferencias. Si z0 < 0, entonces x2 + y 2 = z0 no tiene gr¶a¯ca y por lo tanto, la super¯cie no tiene puntos abajo del plano xy. Las trazas en planos paralelos al plano xz o al plano yz son par¶abolas. 2 Por ejemplo, la traza en el plano y = 1 est¶a dada por la par¶abola . . .z. = . . .x. . .+. .1. . . . No se.

(37) Juan Félix Ávila Herrera. 1.5. Super¯cies cu¶ adricas. 37. Figura 1.31: Haciendo trazas. representan estas par¶abolas pues las trazas circulares que se obtuvieron son su¯cientes para mostrar la gr¶a¯ca. Se puede considerar que la super¯cie de este ejemplo fue generada haciendo girar la par¶abola z = y 2 en el plano yz, alrededor del eje z. Esta super¯cie se llama paraboloide de revoluci¶on (o paraboloide circular). Nota: En el archivo \z=x^2+y^2.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator. ² Sea C una curva en un plano, y l una recta que no est¶a en un plano paralelo. El conjunto de los puntos en todas las rectas paralelas a l que cortan a C se llama cilindro. ² La curva C es una directriz del cilindro y cada una de las rectas paralelas a l que pasan por C es una generatriz del citado cilindro. ² El tipo com¶ un de super¯cie cil¶³ndrica es el cilindro circular recto que se obtiene cuando C es una circunferencia en un plano y l es una recta perpendicular al plano, como se ve en la Figura 1.32. ² Aunque en la ¯gura el cilindro aparece cortado en sus extremos, las generatrices se extienden inde¯nidamente. Como se ilustra en la Figura 1.32 (b), la directriz C de una super¯cie cil¶³ndrica no tiene que ser una curva cerrada. ² Consideremos el caso en que la directriz C est¶a en el plano xy y tiene por ecuaci¶on y = f (x) para alguna funci¶on f . Supongamos tambi¶en que las generatrices son paralelas al eje z. Entonces, como se ilustra en la Figura 1.32-(c), un punto P (x; y; z) est¶a en el cilindro si y s¶olo si Q(x; y; 0) est¶a en C; es decir, si y s¶olo si las dos coordenadas x, y de P satisfacen la ecuaci¶on y = f (x). Por lo tanto, y = f (x) es una ecuaci¶on del cilindro adem¶as de ser la ecuaci¶on de la directriz en el plano xy. x2 y 2 + = 1 en tres dimensiones. 4 9 Soluci¶ on: De acuerdo con los comentarios anteriores, la gr¶ a¯ca es un cilindro con generatrices paralelas al eje z. Comenzamos por trazar la gr¶a¯ca de (x2 =4) + (y 2 =9) = 1 en el plano xy. Esta elipse es la directriz C del cilindro. Todas las trazas en planos paralelos al plano xy son. − Ejemplo 1.27. Esquematizar la gr¶a¯ca de.

(38) Juan Félix Ávila Herrera. 38. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. Figura 1.32: Cilindro circular recto. elipses congruentes con esta directriz. En la Figura 1.33 se muestra una parte de la gr¶ a¯ca.. Figura 1.33: Cilindro el¶³ptico. Nota: En el archivo \x^2 div 4 +y^2 div 9 =1.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator. − Ejemplo adicional 1.1. Esquematizar la gr¶a¯ca de y = x2 en tres dimensiones.. Soluci¶ on: De acuerdo con los comentarios anteriores, la gr¶ a¯ca es un cilindro con generatrices paralelas al eje z. Comenzamos por trazar la gr¶a¯ca de y = x2 en el plano xy. Esta par¶abola es la directriz C del cilindro. Todas las trazas en planos paralelos al plano xy son par¶abolas congruentes con esta directriz. En la Figura 1.34 se muestra una parte de la gr¶ a¯ca. Nota: En el archivo \y=x^2.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator..

(39) Juan Félix Ávila Herrera. 1.5. Super¯cies cu¶ adricas. 39. Figura 1.34: Cilindro el¶³ptico. ² La gr¶a¯ca de una ecuaci¶on que s¶olo contiene las variables y y z es un cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje x y cuya traza (directriz) en el plano yz es la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on dada. An¶alogamente, la gr¶a¯ca de una ecuaci¶on que no contiene a la variable y es un cilindro con generatrices paralelas al eje y y cuya directriz es la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on dada en el plano xz. − Ejemplo 1.28. Esquematizar las gr¶a¯cas en tres dimensiones de las siguientes ecuaciones. (a) y 2 = 9 ¡ z (b) z = sen x. Soluci¶ on: (a) La gr¶a¯ca es un cilindro con generatrices paralelas al eje x y que tiene como directriz en el plano yz a la gr¶a¯ca de y 2 = 9 ¡ z. En la Figura 1.35-(a) se muestra una parte de la gr¶a¯ca (que es un cilindro parab¶olico).. Figura 1.35: Gr¶a¯cas. (b) La gr¶a¯ca es un cilindro con generatrices paralelas al eje y y cuya directriz en el plano xz es la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on dada por z = sen x. En la Figura 1.35-(b) aparece una parte de la gr¶a¯ca. Nota: En el archivo \y^2 = 9-z.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator. ² Se sabe que, en dos dimensiones, la gr¶a¯ca de cualquier ecuaci¶on de segundo grado en x, y Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.

(40) Juan Félix Ávila Herrera. 40. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. es una secci¶on c¶onica (excepto en los casos degenerativos). ² En tres dimensiones, la gr¶a¯ca de una ecuaci¶on de segundo grado en x, y, z Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz +J = 0; {z } | es una super¯cie cu¶adrica (excepto en los casos degenerativos). Restringiremos el an¶alisis de las super¯cies cu¶adricas al caso en que los coe¯cientes D, E, F , G, H e I son todos cero, es decir no consideraremos el caso en que haya t¶erminos mixtos. ² Hay tres tipos de super¯cies cu¶adricas: { elipsoides (la esfera es un caso particular de un elipsoide) { hiperboloides { y paraboides. Los nombres provienen del hecho de que las trazas en los planos paralelos a los planos coordenados son elipses, hip¶erbolas y par¶abolas, respectivamente. umeros reales positivos, es un Elipsoide ² La gr¶a¯ca de la siguiente ecuaci¶on, en la que a, b y c son n¶ elipsoide. x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c x2 y2 z2 ² Las trazas del elipsoide 2 + 2 + 2 = 1 en los tres planos coordenados se indican en la a b c siguiente tabla: Traza Traza xy Traza xz Traza yz. Ecuaci¶on de la traza Gr¶a¯ca x2 y 2 + 2 =1 a2 b 2 z2 x + =1 a2 c2 y2 z 2 + 2 =1 b2 c. Elipse Elipse Elipse. ² La Figura 1.36-(a) muestra una gr¶a¯ca t¶³pica de un elipsoide con sus trazas en los planos coordenados. ² Para encontrar la traza en un plano arbitrario z = z0 paralelo al plano xy, sustituimos z por z0 en la ecuaci¶on del elipsoide y as¶³ z02 x2 y 2 + = 1 ¡ a2 b2 c2.

(41) Juan Félix Ávila Herrera. 1.5. Super¯cies cu¶ adricas. 41. Figura 1.36: Elipsoides. z2 ² Si jz0 j > c, entonces 1 ¡ 02 < 0 y no hay gr¶a¯ca. Por lo tanto, la gr¶ a¯ca se encuentra entre los c planos z = ¡c y z = c. z02 > 0 y por lo tanto, la traza en el plano z = z0 es una elipse, como c2 se ilustra en la Figura 1.36-(b). En la ¯gura tambi¶en se muestran las partes visibles de otras trazas en planos paralelos al plano xy.. ² Si jz0 j < c, entonces 1 ¡. ² Para un plano y = y0 paralelo al plano xz, tenemos la siguiente relaci¶on: y02 x2 z 2 + = 1 ¡ a2 c2 b2 La Figura 1.36-(b) muestra tambi¶en las partes visibles de varias de estas trazas (que son elipses) para ¡b < y0 < b. ² Finalmente, tomando x = x0 con ¡a < x0 < a, vemos que las trazas en planos paralelos al plano yz son elipses. (Estas elipses no est¶an en la Figura) ² Si a = b = c, la gr¶a¯ca es una esfera de radio a con centro en el origen. Ver 1.37.. Figura 1.37: Esfera. ² A veces las trazas en los tres planos coordenados son su¯cientes para indicar la forma general de una super¯cie cu¶adrica, como en la Figura 1.36..

(42) Juan Félix Ávila Herrera. 42. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. Nota: En el archivo \elipsoide con par¶ametros.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator. − Ejemplo 1.29. Elaborar la gr¶a¯ca de. x2 y 2 z 2 + + =1 4 9 25. Soluci¶ on: En este caso a = 2. , b = 3. , c = 5. . La traza sobre el plano xy es la elipse x2 z2 y2 z2 x2 y 2 + = 1. La del plano xz es la elipse + = 1 y la del plano yz es + = 1. La 4 9 4 25 9 25 gr¶a¯ca de la traza en el plano xy se muestra en la Fig. 1.38.. Figura 1.38: Traza en el plano xy. La gr¶a¯ca del parabolide se muestra en la Fig. 1.39.. Figura 1.39: Elipsoide Nota: En el archivo \elipsoide.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator..

(43) Juan Félix Ávila Herrera. 1.5. Super¯cies cu¶ adricas. 43. ² La gr¶a¯ca de la siguiente ecuaci¶on, en la que a, b y c son n¶ umeros reales positivos, es un hiperboloide de un manto. x2 y 2 z 2 + 2 ¡ 2 =1 a2 b c. Figura 1.40: Hiperboloide de un manto x2 y 2 z 2 ² Las trazas del hiperboloide 2 + 2 ¡ 2 = 1 en los tres planos coordenadas se indican en la a b c siguiente tabla: Traza Traza xy Traza xz Traza yz. Ecuaci¶on de la traza Gr¶a¯ca x2 y 2 + 2 =1 a2 b x2 z 2 ¡ 2 =1 a2 c y2 z2 ¡ 2 =1 b2 c. Elipse Hip¶erbola Hip¶erbola. ² La gr¶a¯ca est¶a en la Figura 1.41 junto con estas trazas. ² El eje z es el eje del hiperboloide. La traza en un plano z = z0 paralelo al plano xy tiene una ecuaci¶on de la forma x2 y 2 z02 + = 1 + a2 b2 c2 y es por lo tanto una elipse (v¶ease la Figura 1.41). Las trazas en los planos x = x0 bien y = y0 ; es decir, en planos paralelos al plano yz o al plano xz, respectivamente, son hip¶erbolas (verif¶³quese este hecho)..

(44) Juan Félix Ávila Herrera. 44. Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies. Figura 1.41: Hiperboloide de un manto ² Las gr¶a¯cas de. x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 ¡ + = 1 y ¡ + 2 + 2 =1 a2 b2 c2 a2 b c tambi¶en son hiperboloides de un manto, pero en el primer caso el eje del hiperboloide es el eje y, y en el segundo, el eje del hiperboloide es el eje x. Por lo tanto, el t¶ermino negativo en estas ecuaciones indica el eje del hiperboloide.. Nota: En el archivo \hiperboloide de un manto.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator. ² El siguiente es un hiperboloide de otro tipo: hiperboloide de dos mantos ¡. x2 y 2 z 2 ¡ 2 + 2 =1 a2 b c.

(45) Juan Félix Ávila Herrera. 1.5. Super¯cies cu¶ adricas. 45. ² Las trazas en los planos coordenadas son las siguientes: Traza Traza xy Traza xz Traza yz. Ecuaci¶on de la traza Gr¶a¯ca x2 y 2 + 2 = ¡1 a2 b 2 x z2 ¡ 2 + 2 =1 a c 2 y z2 ¡ 2 + 2 =1 b c. No hay gr¶a¯ca Hip¶erbola Hip¶erbola. ² Las intersecciones con el eje z tienen coordenadas z = §c y no hay intersecciones con el eje x ni con el eje y. Como no hay traza en el plano xy, se ve si hay traza en un plano z = z0 paralelo al plano xy. Sustituyendo z por z0 en la ecuaci¶on dada se obtiene x2 y 2 z02 x2 y 2 z 2 ¡ + = 1 ¡! + = ¡1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Si jz0 j > c, entonces la traza es una elipse, como se indica en la Figura 1.42. Las trazas en los ¡. Figura 1.42: Hiperboloide de dos mantos. planos paralelos al plano yz o al plano xz son hip¶erbolas (verif¶³quese este hecho). El eje z es el eje del hiperboloide. ² Poniendo los signos negativos en otros t¶erminos se obtienen hiperboloides de dos mantos cuyo eje es el eje x o el eje y. (>Qu¶e t¶erminos deben ser negativos en cada caso?) Ver Fig. 1.43. Nota: En el archivo \hiperboloide de dos mantos.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calculator. ² Un cono (de dos mantos) puede considerarse como un hiperboloide degenerativo que se obtiene sustituyendo por 0 el n¶ umero 1 en la ecuaci¶on de hiperboloide de uno o dos mantos. Esto da la siguiente ecuaci¶on. x2 y 2 z 2 + 2 ¡ 2 =0 a2 b c.