Separata 2 Electricidad y Magnetismo

Electricidad y magnetismo

Electricidad y magnetismo

Docente: Christian Rivera Ascona Docente: Christian Rivera Ascona

Problemas Resueltos

Problemas Resueltos

1.

1. Dos Dos esferas esferas conductoras conductoras geom´geom´etricamente etricamente id´id´enticas sepaenticas separadas radas 0,1m 0,1m se se atraen atraen con con unauna fuerza

fuerza electroselectrost´t´atica de 2,7N. Un alambre conductor se colcoa sobre las esferas. Pasadoatica de 2,7N. Un alambre conductor se colcoa sobre las esferas. Pasado un

un tiempo se tiempo se retira el retira el alamalambre. Despu´bre. Despu´es es de de este proceso este proceso se observa que se observa que las esferas las esferas sese cargan positivamente por lo que se repelen con 0,9N. Cu´

cargan positivamente por lo que se repelen con 0,9N. Cu´ales fueron las cargas inicialesales fueron las cargas iniciales de las esferas?

de las esferas?

Soluci´ Soluci´on:on:

Al

Al iniinicio. cio. La La fuefuerza rza elel´´ectrectrica ica enentre tre las las cargcargas as se se puedpuede e obteobtener ner de de la la ecuaecuaci´ci´on deon de Cou

Coulomblomb, , asas´´ı ı tentenemoemoss

F  F 11 = = k k

||q q 11||||q q 22||

rr22 = = 22,, 7N7N

donde

donde ||q q 11|| yy ||q q 22|| es el valor absoluto de las cargas iniciales de las esferas conductoras. es el valor absoluto de las cargas iniciales de las esferas conductoras.

Reemplazando Reemplazando kk =  = 99 × × 10 1099 Nm Nm22 /C /C22 y por dato

y por dato rr =  = 00,, 1m obtenemos1m obtenemos ||q q 11||||q q 22|| =  = 33 × × 10 10−− 10 10 C C22 ..

Al inicio las esferas se atraen, esto muestra que las esferas tienen cargas diferentes, Al inicio las esferas se atraen, esto muestra que las esferas tienen cargas diferentes, por lo que podemos considerar que

por lo que podemos considerar que ||q q 11|| = = q  q 11 yy ||q q 22|| = = − −q q 22, entonces, entonces

q  q 11q q 22 == − −33 × × 10 10−− 10 10 C C22 .. (1)(1)

Al conectar las esferas con el alambre se produce un intercambio de electrones que Al conectar las esferas con el alambre se produce un intercambio de electrones que acaba cuando la distribuci´

acaba cuando la distribuci´on de cargas en las esferas son iguales, y como indica elon de cargas en las esferas son iguales, y como indica el problema, estas cargas son positivas,

problema, estas cargas son positivas, q  q . As´. As´ı, ı, despu´despu´es es de de retirretirar ar el el alambre alambre la la fuerzfuerza a dede Coulomb entre las esferas ser´

Coulomb entre las esferas ser´aa

F  F 22 == k k

q  q 22

rr22 = = 00,, 9N9N

Substituyendo valores obtenemos Substituyendo valores obtenemos

q 

q  =  = 1010−−55CC

Por la consevaci´

Por la consevaci´on de la carga sabemos queon de la carga sabemos que q  q 11 − − q  q 22 = = 22q q . Por lo que. Por lo que

q  q 11 − − q  q 22 =  = 22 × × 10 10−− 5 5 C C.. (2)(2) De (1) y (2) obtenemos que De (1) y (2) obtenemos que q q 11 =  = 33 × × 10 10−−55C C yy q q 22 = = − −1010−−55C.C.

Figura 1

2. Un capacitor esf[erico tiene entre los conductores un aislante de constante diel´ectrica κ. Demostrar que la capacitancia de este conductor es C  = κC 0, donde C 0  es la

capacitancia de un capacitor esf´erico en el vac´ıo.

Soluci´on:

Usemos la ley de Gauss para calcular el campo el´ectrico entre los conductores

 

E  ·  A = q  ε donde ε = κε0. De la ecuaci´on de Gauss obtenemos

E  = q  4πεr2.

Ahora calculemos la diferencai de potencial entre las superficies de los conductores. V a − V b =

 

 





C  = q  V a − V b = 4πεba b − a = κ 4πε0ba b − a = κC 0.

3. Un capacitor de placas paralelas de ´area A separados una distancia d se colocan dos diel´ectricos de constantes κ1 y κ2 de dos diferentes formas como se muestra en la figura.

Calcular la capacitancia en ambos casos.

Figura 2

Soluci´on:

En el caso (a), se puede considerar como si tubi´eramos dos capacitores en paralelo, entonces podemos obtener la capacitancia como

C  = C 1 + C 2 = κ1ε0(A/2) d +  κ2ε0(A/2) d = (κ1 + κ2)ε0A 2d .

1 C  = 1 C 1 + 1 C 2 = κ11ε0A a + κ11ε0A b entonces C  = κ1κ2ε0A κ2a + κ1b .

4. Un alambre conductor de longitus L y secci´on transversal circular de radio r tiene una resistencia R0. Qu´e ocurre con la resistencia si:

a ) Se se duplica la longitud del alambre.

b) Se disminuye el radio a la mitad.

c ) Se duplica L y r

Soluci´on:

La resistencia del conductor es

R0 =

ρL

A , A = πr

2

Ahra vemos que sucede cuando se aplican los cambios.

a ) R = ρ2L A = 2 ρL A = 2R0 . b) R = ρ2L π





5. Se tiene un cilindro conductor hueco de radio interno a   y externo b, longitud L y resistividad ρ. Se establece una diferencia de potencial entre las superficies interna y externa del cilindro, produciendo de esta manera una corriente el´ectrica radial. Calcule la resistencia del conductor.

Soluci´on:

Tomemos una superficie cil´ındrica que tenga una superficie circular de radio r (a < r < b) y longitud L. El diferencial de resistencia de esta superficie cil´ındrica es

dR = ρdr

A =

ρdr 2πrL Para obtener la resistencia total integramos

R = ρ 2πL

 

Figura 3

6. Dos cilindros conductores de diferente resistividad ρ1 y ρ2 y longitud L, pero con la

misma ´area transversal A se unen para formar un solo alambre conductor. Si se aplica una diferencia de potencial entre los extremos libres. Calcular la resistencia total del alambre.

Figura 4

Soluci´on:

Sea V 1 y V 2 las diferencias de potencial entre los conductores 1 y 2. Entonces

V  = V 1 + V 2 = I R1 + IR2 = I (R1 + R2).

Entonces podemos obtener la resistencia total como R = R1 + R2 =

ρ1L1

A +

ρ2L2

A . 7. Reducir el siguiente circuito de resistores.

Figura 5

1. Calcular el la carga, la corriente el´ectrica y el voltaje en el capacitor 10 segundos despu´es de cerrar el switch. Considerar que el capacitor est´a inicialmente descargado.

figii1.png

2. En el circuito mostrado en la figura calcular la intensidad de la corrientes el´ectricas que pasas por las resistencias.

3. Calcular las intensidades de las corrientes I 1, I 2 e I 3 en el circuito.

4. En el circuito RC mostrado en la figura calcular la expresi´on del voltaje y la corriente el´ectrica en el capacitor durante el proceso de carga. Considerar que el capacitor esta descargado al inicio.

5. Calcular la energ´ıa potencial el´ectrico generado por tres cargas q 1 = 4µC ubicada en

(0, 0)cm, q 2 = 2µC ubicada en (2, 0)cm y q 3 = 1µC ubicada en (0, 2)cm.

6. Se tiene una capacitor de placas paralelas que tienen un ´area de 10cm2

y que est´an separadas 1mm. Al capacitor se le aplica una diferencia de potencial de 20V. Calcular la capacitancia, la carga en el capacitor y el campo el´ectrico entre las placas.

7. Un capacitor esf´erico tiene un radio interno de 5cm y un radio externo de 10cm. Cu´al tiene que ser la diferencia de potencial en el capacitor para obtener una carga de 2µC. 8. Un capacitor formado por dos placas rectangulares de largo a  y ancho b  forman un determinado ´angulo como se muestra en la figura. La separaci´on entre un extremo es

c y en el otro extremo es 2c. Demostrar que la capacitancia de este capacitor es C  = 0 ln(2)ab

c

9. Reducir el siguiente sistema de capacitores si C  = 1µF. 10. A un capacitor de placas paralelas de ´areas A = 0, 1m2

y que est´an separadas una distancia d = 0, 01m se le aplica una diferencia de potencial de 90V mediante una bater´ıa. Cuando el capacitor est´a cargado se retira la bater´ıa. Entonces se le coloca un diel´ectrico de espesor a = 0, 007m y constante diel´ectrica κ = 2, 5.

a ) Calcular la capacitancia antes de colocar el diel´ectrico.

b) Obtener la carga entre las placas.

c ) Calcular el campo el´ectrico entre el diel´ectrico y las placas conductoras.

d ) Calcular el campo el´ectrico dentro del diel´ectrico.

e ) Obtener la diferencia de potencial despu´es de colocar el diel´ectrico.

 f ) Determinar la capacitancia al colocar el diel´ectrico.

11. En la figura se muestra una esfera maciza de radio a que est´a hecha de un material diel´ectrico de constante diel´ectrica κ y que tiene una distribuci´on de carga volum´etrica homog´enea ρ. Demostrar que el campo el´ectrico dentro y fuera de la esfera es

E  = ρr

12. La resistencia el´ectrica de un cilindro conductor de longitud L y secci´on transversal S  var´ıa con la longitud del conductor de forma lineal. Considerar que la resistividad en uno de los extremos del conductor es ρ0 y en el otro ρ1. Calcular la resistencia total

del conductor.

13. Un capacitor esf´erico de radio interno a y exterior b tiene entre los conductores dos cancarones esf´ericos diel´ectricos de constantes κ1 y κ2, como se muestra en la figura.

Demostrar que la capacitancia de este capacitor es C −1 = 1 4πε0

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14. Dos conductores de forma de medio cascar´on esf´erico de conductividad σ1 y σ2 se unen

para formar una esfera. Demostrar que la resistencia de la esfera es

R = b − a

2π(σ1 + σ2)ba

.

15. Dos conductores esf´ericos de conductividades σ1 y σ2, son colocados como se muestra

en la figura. Demostrar que la resitencia total del sistema es

R = 1 4π



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