CAPÍTULO. Situaciones 11.4 Trigonométricas. Prob. 04. Prob. 01. Prob. 03. Prob. 06. Prob. 05. Prob. 02

Prob. 01

Simplificar la siguiente expresión:

A = sen2 x + cos2 y – 2 sen x ∙ cos y ∙ sen(x – y) A) sen2_{(x + y) B) cos}2_{(x + y)}

C) sen2_{(x – y) D) cos}2_{(x – y)} E) sec2_{(x – y)}

Ya que las alternativas están en términos de «x» e «y», evaluaremos la expresión para x = 60º, y = 30º:

A = sen2 _{60º + cos}2 _{30º – 2 sen 60º ∙ cos 30º ∙} sen(60º – 30º)

→ A = 3/4

Ahora, evaluando las alternativas con x = 60º, y = 30º hasta obtener 3/4, comprobamos que esto ocurre en (D):

cos2_{(60° – 30°) = 3/4}

Rpta. D

Prob. 02

En un triángulo ABC se cumple que:

K=_sencos_A(A B_⋅sen− _B) +_sencos_B(B C_⋅sen− _C) +_sencos(_AC A_⋅sen− _C) Luego el valor de «K» es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Tratándose de una relación general que se cumple para todo tipo de triángulo, evalua-remos la expresión para un triángulo equi-látero, es decir, para: A = B = C = 60º.

K=_sencos( º₆₀60 60_ºsen− ₆₀º)_º+_sencos( º₆₀60 60_ºsen− ₆₀º)_º+_{sen sen}cos(₆₀60ºº_º −60₆₀º)_º \ _{K = 4}

Rpta. D

Prob. 03

Si: tan x + cot x = n; determinar el valor de: E = (sec x + csc x)2

A) n2 + 2n B) n2 – 2n C) n2 + n D) n + 1 E) n – 1

En el dato calculamos el valor de «n» para x = 45º:

→ tan 45º + cot 45º = n \ n = 2 Evaluando la expresión dada para x = 45º, se tiene:

E = (sec 45º + csc 45º)2 → E = 8

Y ahora evaluamos las alternativas para n = 2, hasta obtener E = 8, comprobándose que esto se verifica en (A):

E = (2)2 _{+ 2(2) = 8}

Rpta. A

Prob. 04

Si: a ∙ sen x + b ∙ cos x = a, determinar el valor de: K = a ∙ cos x – b ∙ sen x

A) a + b B) b – a C) -a

D) -b E) a

Como las alternativas no incluyen la varia-ble «x», entonces nuestra estrategia consisti-rá en determinar un valor para «x» que sa-tisfaga a la condición dada y a partir de ese valor, evaluar la expresión dada para «K». Analicemos la condición dada:

a⋅senx b+ ⋅cosx a=

1 0

 

Observamos que ésta se verifica para: sen x = 1 ∧ cos x = 0

Resolviendo cada ecuación concluimos que la solución común es:

x = 90º

Evaluando la expresión de «K» para x = 90º, se tiene: K = ⋅a cos º90 − ⋅b sen º 0 90 1     \ K = -b       Rpta. D

Prob. 05

Determinar la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC en función de R y q.

A) R(sec q + csc q) B) R(cos q + sen q) C) R csc q + sec q D) R(sec q + csc q) E) R(cos q + sen q)

Dado que el problema está planteado para un triángulo rectángulo cualquiera, asumi-remos que se trata de un triángulo rectán-gulo isósceles: q = 45º.

Triángulo AQO: AO = R 2

Triángulo OPC: OC = R 2

Por lo tanto: AC = 2R 2

Evaluando las alternativas para q = 45º, has-ta obtener AC = 2R 2, ésta se verifica en (D):

AC=R(sec 45º+csc 45º)=2R 2

Rpta. D

Prob. 06

En la circunferencia trigonométrica determi-na el área de la región sombreada.

A) cos q B) -cos q C) cos₂ θ D) - cos θ 2 E) 2 cos q

CAPÍTULO

11.4

Situaciones

Trigonométricas

Situaciones

Trigonométricas

830

Razonamiento Matemático Und. 11 Artificios de Cálculo

831

Dado que las alternativas están en términos

de «q», elegimos q = 0º.

Como se puede notar se trata de un trián-gulo de base 2. Además su altura es 1 por lo tanto:

Área =( )( )2 1₂ =1

Evaluando las alternativas para q = 45°, en-contramos que ésta se verifica en (A):

cos 0° = 1

Rpta. A

Prob. 07

Simplificar: G x x

x =sen_2cos2 +sen₊₁ A) sen x B) cos x C) csc x D) sec x E) tan x

Ya que las alternativas están en términos de «x», elegimos un adecuado valor que no ge-nere duplicidad de valores como x = 60º. Luego: G sen = _{2 cos} 120° +_{60 1}sen _{° +} 60°= ₂3

Evaluando las alternativas para x = 60°, ob-servamos que el valor encontrado para «G» se obtiene en (A):

G sen = 60° = ₂3

Rpta. A

Prob. 08

En la siguiente identidad:

8 sen x ∙ cos3 _{x = A sen 4x + B sen 2x} Calcular: A – B

A) -2 B) 2 C) -1 D) 0 E) -1/2

Nuestras incógnitas son A y B por lo tanto en nuestra condición inicial hacemos x = 45º. Reemplazando:

8 sen 45º ∙ (cos 45º)3 _{= A sen 4(45º) + B sen 2(45º)}

8 2

( )( )

_{2 2}2 3=A sen 180° +B sen 90°

Recordemos que: sen 180º = 0; sen 90º = 1 → 8 2

( )

₂ 4=A( )0 +B( )1 → B = 2, Ahora nos falta «A» por lo cual evaluamos otra vez en la condición inicial con x = 30º: 8 sen 30º ∙ (cos 30º)3 _{= A sen 4(30º) + B sen 2(30º)} Efectuando:

8 1

( )

₂

( )

₂3 3=A sen 120 2° + sen 60°

Además: sen120° =sen60° = ₂3

Efectuando operaciones: A = 1 \ A – B = -1

Rpta. C

Prob. 09

Simplifique la siguiente expresión:

H x x x x = + − − ∈ 1 1 4 2 cos sen sen ; π π A) 2 2 sen x

( )

B) 2 2 cos x

( )

C) -2 cos x

( )

₂ D) -2 cos x E) 2 cos x

Elegimos un valor notable en el intervalo indicado como x = 53º (elegimos este valor porque facilita los cálculos).

Reemplazando: H sen sen = + ° − ° − ° 1 53 53 1 53 cos

Efectuando operaciones se obtiene:

H = 4 5

Ahora evaluando las alternativas para x = 53º hasta obtener 4 5, comprobamos que ésta se verifica en (B): 2 cos(53º/2)

\\ H == 4

5 _{Rpta. B}

Prob. 10

Sabiendo que: tan_tanA , B=r r≠ 0 Calcule el valor de «E», si:

E sen A B sen A B sen A B = ( + ) + ( 2 ) + ( − ) A) r + 1 B) r r + 1 _{C) r – 1} D) r_r−1 E) 2r

Evaluemos la condición dada para A = 60º y B = 30º:

→ r = 3

Reemplazando estos valores en la expresión dada, se tiene: E sen sen sen = ( ° + °) ° + ° (60 302 )60 30+ (60 30° − °) E= E +

( )

→ = 2 1 1 1₂ 4 3 ( ) ( )

Evaluando las alternativas con estos valores hasta obtener 4/3, comprobamos que se ve-rifica en (B): E= +3 1₃ → E=4₃ Rpta. B

Prob. 11

Si A B C+ + = π 2; calcule:

E = sen2 _{A + sen}2 _{B + sen}2 _{C + 2 senA ∙ sen B ∙ sen C} A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3/2 E) 5/2

Evaluemos para: A = 0; B = 0; C = 90º, que verifican la condición dada:

E = sen2 _{0º + sen}2 _{0º + sen}2 _{90º +}

2 sen 0º ∙ sen 0º ∙ sen 90º \ E = 1

Rpta. B

Prob. 12

Resolver la ecuación trigonométrica: 2 tan2 _{(x) + sec (x) = -1 (∀k ∈ )} A) 2 3 kπ π+ B) 2 3 kπ π− C) 2 4 kπ π+ D) 2 4 kπ π− E) 2kp + p

Dado que todas las alternativas presentan el parámetro «k», identificaremos la correcta resolviendo la ecuación dada para un valor particular, es decir, con k = 0.

Analicemos la ecuación dada: 2 tan2 _{(x) + sec (x) = -1}

De acuerdo con las propiedades de los nú-meros reales, reconocemos que:

tan2 _{(x) ≥ 0} Luego: 2 0 1 1 2 tan ( ) sec( )_{  }x + x =

-Observamos que la ecuación se verifica para: tan2 _{(x) = 0 ∧ sec (x) = -1}

Resolviendo cada ecuación concluimos que la solución común es:

x = 180º = p

Finalmente evaluamos cada alternativa para k  = 0 hasta obtener «p», lo cual ocurre en (E):

2(0)p + p = p

Rpta. E

Prob. 13

En un triángulo rectángulo ABC recto en «B», determinar el valor de:

G A C

A C

= 2 sec_{tan +}⋅_tansec

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Ya que el valor de «G», según las alternati-vas, no depende de los valores particulares de los ángulos «A» y «C», y tratándose de un triángulo rectángulo elegimos A = 45º; C = 45º.

Reemplazando en «G»:

G=2_tan sec º sec₄₅45_{° +} ⋅_tan4545_°° → G=2 2

( )

_{( ) ( )1 +}⋅

( )

₁ 2

\ G = 2

Rpta. B

Prob. 14

Dado: sen_senx_x−₊cos_cosx_x=n; obtener «tan x» en términos de «n». A) 1 1−+ n n B) 1₁ 2 2 − + n n C) 1 1+−nn D) 1 – n E) 1 + n

En la condición dada evaluamos para x = 53º (porque simplifica los cálculos), entonces nos da: n= ° −_{° +} °_° → n= − + sen cos sen5353 cos5353 4 5 35 4 5 35 → n == 1₇

Asimismo el valor de la tangente resulta:

tan º53 4=₃

Evaluando las alternativas con n = 1/7, has-ta obtener 4/3, comprobamos que éshas-ta se verifica en (C): 1 1₇ 1 1₇ 4 3 + − = _{Rpta. C}

Prob. 15

Si: x ≤ -1, simplificar: G x arc sen x x = + + 2 2 1 2 arc tan

A) p B) 2 arc tan x C) 4 arc tan x D) -p E) 0

Como la condición indica x ≤ -1 elegimos x = - 3 (porque es un valor de un ángulo notable para la tangente y el seno).

G - sen -=

(

)

+

(

)

+

(

)

2 3 2 3 1 3 2

arctan arc

G=2arctan

(

- 3

)

+arcsen -

( )

₂3 . . . ( )∗

Recordemos: arc tan(-x) = -arc tan x arc sen(-x) = -arc sen x Aplicándolos en (*), se tiene:

G -= 2arctan

( )

3 −arcsen_{ 2}3_

Además: tan 60° = 3 ∧ sen60° = ₂3

G = -2(60º) – (60º) \ G = -180º = -p

Rpta. D

Prob. 16

En un triángulo ABC, simplificar:

a b

(

2₊c2

)

_cosA b c₊

(

2₊a2

)

_cosB c a₊

(

2₊b2

)

_cosC

A) abc B) 2abc C) 3abc

D) 4abc E) a2 _{+ b}2 _{+ c}2

Por tratarse de un problema general, es de-cir, considerando que la relación dada se verifica para cualquier tipo de triángulo, evaluaremos para el caso de un triángulo equilátero, es decir, para A = B = C = 60º. Por lo tanto: a = b = c, entonces la expresión queda:

a a

(

2₊a2

)

_{cos60° +}a a

(

2₊a2

)

_{cos60° +}

a a

(

2₊a2

)

_cos60°

Efectuando operaciones: 6a3 _{cos 60º → 3a}3

Evaluando las alternativas para a  =  b  =  c, hasta obtener 3a3_{, comprobamos que ésta se} verifica en (C):

3abc = 3a· a· a = 3a3

Rpta. C

Prob. 17

En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, determinar: R = cot a + tan b

A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 1/2

Ya que las medidas relativas de los ángu-los trigonométricos en posición normal a y b, dependen directamente del cuadrado ABCD, podemos acomodar la figura de modo que el triángulo rectángulo AOB sea isósceles, o de 45º, entonces obtenemos el siguiente gráfico: Coordenadas de C = (-1; 2) y D = (-2; 1) por lo tanto: cotα=-₂1 → cotα=-1₂ tanβ=_-1₂ → tanβ=-1₂ \ R = -1 Rpta. B

834

Razonamiento Matemático Und. 11 Artificios de Cálculo

835

Prob. 18

Reducir:

G = sen 5x ∙ sen 4x + sen 4x ∙ sen 3x – sen 2x ∙ sen x A) 2 sen 5x ∙ cos 3x ∙ sen x

B) 2 sen 5x ∙ sen 3x ∙ cos x C) 2 cos 5x ∙ sen 3x ∙ cos x D) 2 cos 5x cos 3x sen x E) 2 cos 5x cos 3x cos x

Ya que las alternativas están expresadas en términos de «x», elegimos x = 30º para eva-luar a la expresión dada:

G = sen 5(30º) ∙ sen 4(30º) + sen 4(30º) ∙ sen 3(30º) – sen 2(30º) ∙ sen(30º) G = sen 150º ∙ sen 120º + sen 120º ∙ sen 90º – sen 60º ∙ sen 30º

G =

( )

1₂

( )

₂3 +

( )

₂3 ( )1 −

( )

₂3

( )

1₂ → G= ₂3

Evaluando las alternativas para x = 30º has-ta obtener G = 3₂ , comprobamos que ésta se verifica en (B):

G = 2 sen 150º ∙ sen 90º ∙ cos 30º

\\ G == 3₂

Rpta. B

Prob. 19

Indicar una de las soluciones de la ecuación: sen2 ₂cos2 1sen

2 2 0

x− x+ x=

A) 30º B) 15º C) 60º D) 0º E) 45º

Para poder identificar la alternativa correc-ta evaluaremos la ecuación dada para cada valor de las alternativas, encontrando que para x = 45º la ecuación se verifica:

sen2( º)45 −2cos ( º)2 45 +₂1sen 2( º)45 =0 2 2 2 22 12 1 0 2 2

( )

−

( )

+ ( )= Rpta. E

Prob. 20

Determinar el dominio de la función, definida por: F x x ( ) = − 8 2 _sec2 A) R – {kp} B)  −

{

(2 +1)

}

4 k π C) R −

{ }

k π₄ D) R −

{

(2k+1)₂π

}

E) R −

{

(2 +1) ( + )

}

2 2 1 4 k π; k π

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que asume la variable «x» excepto aquellos para los cuales la función no está determinada. En nuestro caso, se debe de evitar que el denominador sea 0. Inspeccionando las alternativas reconoce-mos que todas corresponden a números reales que exceptúan algunos valores. Evaluando cada alternativa para k = 0, com-probamos que con x = p/4, se obtiene en el denominador de «F»:

2_{−sen π}2

( )

_{4 =}0

Rpta. E

01.- Si: x – y = 60º, determina el valor de:

A = (cos x + cos y)2 _{+ (sen x + sen y)}2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2 E) 4 02.- Si A + B + C = 90º, simplifica: K A B A B B C B C C A A = cos( + ) + + + + cos cos cos( ) cos cos cos( ) cos co ss C A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 03.- En la identidad: sen cos

sen cos sen cos

x x

x x a x b x c

1− + = + +

Luego al calcular «b + c», se obtiene:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 1/2 E) 3/2

04.- Al simplificar la siguiente expresión:

M = cot4 _{x csc}2 _{x – cot}2 _{x csc}2 _{x + csc}2 _{x – 1,}

se obtiene:

A) 0 B) tan2 _{x C) cot}2 _x

D) cot6 x E) tan6 x

05.- Del gráfico, calcular la relación: CD/AB

en términos de «q». A) cos2 _q B) tan2 _q C) sec2 _q D) sen2 q E) cot2 _q

06.- Del gráfico mostrado, calcule el área del

cuadrilátero sombreado. A) 0,5(sen q + cos q) B) 0,5(sen q – cos q) C) 0,5(cos q + sen q) D) -0,5(sen q + cos q) E) 0,5 sen q cos q

07.- Simplificar: G sen cos sen = + + 2 2 1 x x x A) sen x B) cos x C) csc x D) sec x E) tan x 08.- En la siguiente identidad:

8 sen3 _{x · cos x = A sen 4x + B sen 2x}

Calcular: A – B A) -2 B) 2 C) -1 D) 1 E) -1/2 09.- Si: 0< <A π 2 , simplificar: K A A A A = + + − cos sen sen sen 2 1 2 1

A) cos A B) sen A C) sec A

D) csc A E) tan A

10.- Si: _sensen₍(_{x y z}x y z− +_{+ −} )₎=_cos cos 2₂y_z, calcular: W = tan (y + z) · tan x

A) -2 B) 2 C) -1 D) 1 E) -1/2

Práctica

11.- Si: A B+ = 2₃π, determinar el valor de: E = sen2 _{A + sen}2 _{B – sen A · sen B}

A) 5/4 B) 3/4 C) 7/4 D) 1/2 E) 1/4

12.- Resolver la ecuación trigonométrica:

cos ( )2 5 2( )3 3cos( ), ( ) 2 2 x =sen x − x ∀ ∈k  A) (2 1) 2 k+ π B) (2 1) 4 k+ π C) (2 1) 3 k+ π D) (2 1) 5 k+ π E) (2k+ π1)₈

13.- Dado un triángulo rectángulo ABC recto

en «C», se pide reducir la expresión: G = c2 _{sen A + b}2 _{csc B – a}2 _{csc A}

A) ab B) bc C) ac D) a E) ab2

14.- Si: tan x m n

= ₋₁; determine:

K = sen2 _{x + m sen x ∙ cos x + n cos}2 _x

A) m B) n C) 1

D) m2 _{+ n}2 _{E) m}2 _{+ mn + n}2

15.- Simplificar:

G sen=

(

3 _arccos

(

1−_x2

)

+_cos(3 _arccosx)

)

Donde: x ∈ 〈0; 1〉

A) -6x – 8x3 _{B) 6x – 8x}3

C) -6x + 8x3 _{D) 6x + 8x}3

E) 0

16.- En un triángulo ABC, se cumple que:

G A B C

A B C

=a3 cos_{1 4+ cos cos cos}+b3 cos +c3 cos

Al simplificar se obtiene:

A) abc B) 2ab C) 3abc

D) 6abc E) 4abc

17.- Si: sen 3q ∙ cos 2q = sen q,

determinar el valor de: G sen sen

sen sen = 3₃θ_θ+_{− θ}θ

A) 1/2 B) -1 C) 1 D) -2 E) 3

18.- Sabiendo que: sen _sen 5₃x_x=k

Evaluar: tan 4x ∙ cot x

A) k B) k + 1 C) k – 1

D) k

k+−11 E) k k−+11

19.- Indicar una de las soluciones de la ecuación:

cos 2x = sen x + cos x

Calcule las tres primeras soluciones positivas.

A) 0º; 135º; 180º B) 0º; 135º; 270º

C) 0º; 90º; 270º D) 90º; 135º; 270º

E) 135º; 270; 315º

20.- Determinar el dominio de la función,

de-finida por: F(x) = cot (p cos x)

A)  – {kp} B)  – {2kp} C) R −

{ }

k π 2 D)  E) R −

{

(2 +1)

}

2 k π

Claves:

20 B 19 B 18 D 17 E 16 A 15 E 14 B 13 B 12 B 11 B 10 D 09 C 08 D 07 B 06 D 05 D 04 D 03 A 02 B 01 C