Unid ad Tema Subtemas Pagina 1. 2. 3. 4. 5. “Toma de decisiones” “Programación Lineal” “Asignación y transporte” “Lineas de espera” “Modelos de pronósticos e inventarios”
1.1 Ambientes y criterios para la toma de decisiones.
1.2 Toma de decisiones bajo modelos de certidumbre, incertidumbre y riesgo. 1.3 Enfoque cuantitativo en la toma de
decisiones.
1.4 Teoría de la utilidad.
1.5 La obtención de datos para la toma decisiones.
1.6 Arboles de decisión.
2.1 Formulación y aplicación de modelos de programación lineal. 2.2 Método Grafico. 2.3 Método Simplex. 2.3.1 Método Algebraico. 2.3.2 Método dual-simplex. 2.4 Método dual.
2.5 Método dual- simplex. 2.6 Análisis de resultados.
5.1 Método de Esquina Noroeste. 5.2 Método de costo Mínimo.
5.3 Método de Aproximación de Vogel. 5.4 Método de Asignación.
4.1 Estructura básica de los modelos de línea de espera.
4.1.1 Un servidor, una cola. 4.1.2 N servidores, una cola. 4.1.3 N servidores, n colas
4.2 Criterios bajo la distribución de Poisson y Exponencial para la selección del modelo apropiado de líneas de espera.
4.3 Aplicación de modelos de decisión en líneas de espera.
4.4 Inferencia de resultados.
5.1 Modelos de pronósticos.
5.1.1 Modelos de pronósticos para un nivel constante.
5.1.2 Efectos estacionales en los modelos de pronósticos.
5.2 Suavizado exponencial en modelos de tendencia lineal.
5.3 Errores en los pronósticos.
5.4 Pronósticos casuales con regresión lineal. 5.5 Definición y tipos de inventarios.
5.5.1 Ventajas y desventajas de los inventarios.
5.5.2 Costos de inventarios. 5.6 Modelos determinísticos. 5.7 Modelos de probabilísticas.
5.8 Planeación de requerimientos de materiales. 6.1 Grafica de grant.
6.2 Método de la ruta crítica (PERT/CPM). 6.2.1 Terminología.
6.2.2 Construcción de una red.
6.2.3 Determinación de la ruta crítica. 6.2.4 Compresión de redes.
6.2.5 Análisis de una red PERT.
6.3 Programación y control de proyectos basados en costos
1.1
Ambientes y criterios para la toma de decisiones.
UNIDAD
“Toma de
decisione
Los ambientes y criterios que se utilizan para una toma de decisiones varían dependiendo los conocimientos que se tengan para realizar alguna función y de las herramientas con las que se cuenten en ese momento, ya que las decisiones que se toman al final se componen bajo los rendimientos que se establecen con estas dos variables mencionadas.
El problema de la Decisión, motivado por la existencia de ciertos estados de ambigüedad que constan de proposiciones verdaderas (conocidas o desconocidas), es tan antiguo como la vida misma. Podemos afirmar que todos los seres vivientes, aún los más simples, se enfrentan con problemas de decisión. Así, un organismo unicelular asimila partículas de su medio ambiente, unas nutritivas y otras nocivas para él.
Conforme aumenta la complejidad del ser vivo, aumenta también la complejidad de sus decisiones y la forma en que éstas se toman. Así, pasamos de una toma de decisiones guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por un pensamiento racional en el ser humano.
Un proceso de decisión presenta las siguientes características principales: Existen al menos dos posibles
formas de actuar, que llamaremos alternativas o acciones, excluyentes entre sí, de manera que la actuación según una de ellas imposibilita cualquiera de las restantes.
Mediante un proceso de decisión se elige una alternativa, que es la que se lleva a cabo.
• La elección de una alternativa ha de realizarse de modo que cumpla un fin determinado.
1.2
Toma de decisiones bajo modelos de certidumbre,
incertidumbre y riesgo.
En todo problema de decisión pueden distinguirse una serie de elementos característicos:
El decisor, encargado de realizar la elección de la mejor forma de actuar de acuerdo con sus intereses.
Las alternativas o acciones, que son las diferentes formas de actuar posibles, de entre las cuales se seleccionará una. Deben ser excluyentes entre sí. Los posibles estados de la naturaleza, término mediante el cual se designan a todos aquellos eventos futuros que escapan al control del decisor y que influyen en el proceso.
Las consecuencias o resultados que se obtienen al seleccionar las diferentes alternativas bajo cada uno de los posibles estados de la naturaleza.
La regla de decisión o criterio, que es la especificación de un procedimiento para identificar la mejor alternativa en un problema de decisión.
CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS DE DECISIÓN
Los procesos de decisión se clasifican de acuerdo según el grado de conocimiento que se tenga sobre el conjunto de factores o variables no controladas por el decisor y que pueden tener influencia sobre el resultado final (esto es lo que se conoce como ambiente o
contexto). Así, se dirá que:
El ambiente es de certidumbre cuando se conoce con certeza su estado, es decir, cada acción conduce invariablemente a un resultado bien definido.
El ambiente de riesgo cuando cada decisión puede dar lugar a una serie de consecuencias a las que puede asignarse una distribución de probabilidad conocida.
El ambiente es de incertidumbre cuando cada decisión puede dar lugar a una serie de consecuencias a las que no puede asignarse una distribución de probabilidad, bien porque sea desconocida o porque no tenga sentido hablar de ella.
Según sea el contexto, diremos que el proceso de decisión (o la toma de decisiones) se realiza bajo certidumbre, bajo riesgo o bajo incertidumbre, respectivamente.
TOMA DE DECISIÓN BAJO MODELOS DE CERTIDUMBRE
En los procesos de decisión bajo certidumbre se supone que el verdadero estado de la naturaleza es conocido por el decisor antes de realizar su elección, es decir, puede predecir con certeza total las consecuencias de sus acciones. Esto es equivalente a considerar n =1 en la descripción de la tabla de decisión, dando lugar a siguiente tabla trivial:
Estado de la Naturaleza Alternativas e1 a1 x11 a2 x21 . . . . . . am xm1
Conceptualmente, la resolución de un problema de este tipo es inmediata: basta elegir la alternativa que proporcione un mejor resultado, es decir:
Se selecciona como alternativa óptima aquella alternativa ak tal que xk1 = max {xi1 : 1 i m}
El problema de decisión se reduce, por tanto, a un problema de optimización, ya que se trata de escoger la alternativa que conduzca a la consecuencia con mayor valor numérico asociado.
Básicamente, un problema de optimización puede expresarse en forma compacta como sigue:
max { f(x) : x ∈S} donde:
S es el conjunto de alternativas o conjunto factible. Se trata de un subconjunto del espacio euclídeo ℜn, que puede contener un número finito o infinito de
elementos.
f: S ℜ es la denominada función objetivo, que asigna a cada alternativa una valoración, permitiendo su comparación.
x representa el vector n-dimensional que describe cada elemento del conjunto factible. Cada una de sus componentes recibe el nombre de variable de decisión.
TOMA DE DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre cuál de ellos ocurrirá. No sólo es incapaz de predecir el estado real que se presentará, sino que además no puede cuantificar de ninguna forma esta incertidumbre. En particular, esto excluye el conocimiento de información de tipo probabilística sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado.
REGLAS DE DECISIÓN
A continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente de incertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas al ejemplo de construcción del hotel. Criterio de Wald Criterio Maximax Criterio de Hurwicz Criterio de Savage Criterio de Laplace 1.- CRITERIO DE WALD
Bajo la alternativa ai, el peor resultado posible que puede ocurrir tiene una valor para el decisor dado por:
El valor si se denomina nivel de seguridad de la alternativa ai y representa la cantidad mínima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa.
En 1950, Wald sugiere que el decisor debe elegir aquella alternativa que le proporcione el mayor nivel de seguridad posible, por lo que S(ai)=si. Así, la regla de decisión de Wald resulta ser:
Este criterio recibe también el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una alternativa.
EJEMPLO
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes alternativas: Alternativas Terreno comprado Estados de la Naturaleza Aeropuerto en A Aeropuerto en B s i A 13 - 12 -12 B - 8 11 -8 A y B 5 - 1 -1 Ninguno 0 0 0
La alternativa óptima según el criterio de Wald sería no comprar ninguno de los terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad.
2.- CRITERIO MAXIMAX
Bajo la alternativa ai, el mejor resultado posible que puede ocurrir tiene un valor para el decisor dado por:
El valor oi se denomina nivel de optimismo de la alternativa ai y representa la recompensa máxima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa.
El criterio maximax consiste en elegir aquella alternativa que proporcione el mayor nivel de optimismo posible, por lo que S(ai)=oi. Esta regla de decisión puede enunciarse de la siguiente forma:
Este criterio corresponde a un pensamiento optimista, ya que el decisor supone que la naturaleza siempre estará de su parte, por lo que siempre se presentará el estado más favorable.
EJEMPLO
Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de optimismo de las diferentes alternativas: Alternativas Terreno comprado Estados de la Naturaleza Aeropuerto en A Aeropuerto en B o i A 13 - 12 13 B - 8 11 11 A y B 5 - 1 5 Ninguno 0 0 0
La alternativa óptima según el criterio maximax sería comprar la parcela en la ubicación A, pues proporciona el mayor de los niveles de optimismo.
3.- CRITERIO DE HURWICZ
Se trata de un criterio intermedio entre el criterio de Wald y el criterio maximax. Dado que muy pocas personas son tan extremadamente pesimistas u optimistas como sugieren dichos criterios, Hurwicz (1951) considera que el decisor debe ordenar las alternativas de acuerdo con una media ponderada de los niveles de seguridad y optimismo:
donde es un valor específico elegido por el decisor y aplicable a cualquier problema de decisión abordado por él, por lo que T(ai) = s i + (1- o i. Así, la regla
de decisión de Hurwicz resulta ser:
Los valores de próximos a 0 corresponden a una pensamiento optimista, obteniéndose en el caso extremo =0 el criterio maximax.
• Los valores de próximos a 1 corresponden a una pensamiento pesimista, obteniéndose en el caso extremo =1 el criterio de Wald.
TOMA DE DECISIÓN BAJO RIESGO
Los procesos de decisión en ambiente de riesgo se caracterizan porque puede asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturaleza, probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del proceso de toma de decisiones.
REGLAS DE DECISIÓN
Los diferentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. Algunos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo no que están presentes en el proceso de toma de decisiones.
Representaremos por R(ai) los resultados asociados a la alternativa ai, y por P(ai) la distribución de probabilidad correspondiente a tales resultados, esto es, el conjunto de valores que representan las probabilidades de ocurrencia de los diferentes estados de la naturaleza:
R xi1 xi1 . . . xi1
P p1 p2 . . . pn
Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo son:
Criterio del valor esperado
Criterio de mínima varianza con media acotada Criterio de la media con varianza acotada Criterio de la dispersión
Todos estos criterios serán aplicados al problema de decisión bajo riesgo cuya tabla de resultados figura a continuación:
Decisión bajo riesgo: Ejemplo
Estados de la Naturaleza
a1 11 9 11 8
a2 8 25 8 11
a3 8 11 10 11
Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1
EJEMPLO
Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas.
Criterio de la media con varianza acotada Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)] V a1 11 9 11 8 10.3 1.21 a2 8 25 8 11 11.7 45.01 a3 8 11 10 11 9.9 1.09 Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1
Si el decisor selecciona un valor 20 para la constante K, quedaría excluida del proceso de decisión la alternativa a2, que es la que posee mayor valor esperado.
Excluida ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a1, pues es la que
posee mayor valor esperado entre las que cumplen la condición V.
1.3
Enfoque cuantitativo en la toma de decisiones.
Estas herramientas ayudan a aplicar el pensamiento racional para que guíe, ayude y automatice las decisiones y sirvan al gerente a descubrir la solución deseada al problema
de la mejor forma, mediante la división de problemas en fragmentos menores, lo cual facilita el diagnóstico.
Las técnicas cuantitativas facilitan el diagnóstico de problemas pero no permite el análisis de los aspectos cualitativos como los aspectos humanos que no se pueden contar en términos numéricos.
La toma de decisiones no es fácil, pues se enfrenta a la incertidumbre y muchas veces los gerentes ven la conducta pasada como un indicador del futuro.
Algunos elementos de apoyo cuantitativos en la toma de decisiones gerenciales son: 1. Matriz de resultados
2. Árboles de decisiones
3. Modelos de tamaños de inventarios 4. Programación lineal 5. Teoría de colas 6. Teoría de redes 7. La programación entera 8. La simulación 9. El análisis de Markov
1.4
Teoría de la utilidad.
Hasta ahora hemos supuesto que el pago esperado en términos monetarios es la medida adecuada de las consecuencias de tomar una acción.
Sin embargo en muchas situaciones esto no es así y se debe utilizar otra escala de medida para las acciones que realizamos.
Suponga que se le ofrece a una persona, 50% de posibilidades de ganar $100000, 50% de posibilidades de no ganar nada y Ganar $40000 fijos.
E {p(a1 ,q)}= 0.5* $100000 + 0.5*0= $50000 E {p(a2 ,q)}= 1* $40000 = $40000
Aunque la alternativa 1 tiene un pago esperado mayor, muchas personas preferirán los $400
En muchas ocasiones los tomadores de decisiones no están dispuestos a correr riesgos aunque la ganancia esperada sea mucho mayor. Se pueden transformar los valores monetarios a una escala apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones, llamada función de utilidad del dinero.
Una función de utilidad para el dinero de este tipo nos muestra una utilidad marginal decreciente para el dinero.
La pendiente de la función disminuye conforme aumenta la cantidad de :
dinero M 2a derivada < 0 cuando ésta existe
No todas las personas tienen una utilidad marginal decreciente
para el dinero. Hay personas que tienen funciones de utilidad marginal creciente para éste.
El hecho de que distintas personas tienen funciones de utilidad diferentes para el dinero tienen una aplicación importante para el tomador de decisiones cuando se enfrenta a la incertidumbre.
Cuando una función de utilidad para el dinero se incorpora en un análisis de decisiones para un
problema, esta función de utilidad debe construirse de manera que se ajuste a las preferencias y valores del tomador de decisiones.
La clave para considerar que la función de utilidad para el dinero se ajusta al tomador de decisiones es la siguiente propiedad de las funciones de utilidad.
Propiedad.
Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada.
Además se le ofrece:
Ganar $100000 con probabilidad p (utilidad = 4)
No ganar nada con probabilidad 1-p; (utilidad = 0) El valor esperado de la utilidad con esta oferta es:
E(utilidad) = 4 * p
El tomador de decisiones será entonces indiferente ante cualquiera de estos 3 pares de alternativas
Ganar $100000 con Definitivamente probabilidad 0.25 obtener $10000
E(utilidad = 1) (utilidad = 1)
Ganar $100000 con Definitivamente probabilidad 0.5 obtener $30000
E(utilidad = 2) (utilidad = 2)
Ganar $100000 con Definitivamente probabilidad 0.75 obtener $60000
E(utilidad = 3) (utilidad = 3)
Para construir una función de utilidad para el dinero se hace lo siguiente:
1. Se le hace al tomador de decisiones una oferta hipotética de obtener una gran suma de dinero con probabilidad p o nada.
2. Para cada una de las pequeñas cantidades se le pide al tomador de decisiones que elija un valor de p que lo vuelva indiferente ante la oferta y la obtención
definitiva de esa cantidad de dinero.
Cuando se usa la función de utilidad para el dinero, del tomador de decisiones, para medir el valor relativo de los distintos valores monetarios posibles, la regla de Bayes sustituye los pagos monetarios por las utilidades correspondientes. Por lo tanto, la acción (o la serie de acciones) óptima es la que maximiza la utilidad esperada.
1.5
La obtención de datos para la toma de decisiones.
Para tomar decisiones acertadas, es mejor basarse en la frialdad y objetividad de los datos, mas que intuiciones, deseos y esperanzas. Los datos, plantean varios problemas:
• El modo de obtenerlos • Su fiabilidad
• Darles una interpretación adecuada.
El sistema de gestión de la calidad, mejora la calidad de la información obtenida, y mejora los cauces para su obtención. Con buena información, se pueden hacer estudios y análisis de futuro, y mejora del producto a corto plazo.
Otro problema que presentan los datos, es su aceptación por parte de los miembros de la organización. Los datos, son fríos y basados en hechos reales. Por tanto, son objetivos. Quien no quiera aceptar los resultados, debe de realizar un esfuerzo para mejorar por si mismo los datos, hasta obtener el resultado esperado o exigido.
No hay que perder el tiempo, ni perderse en recriminaciones si los datos son negativos. Los miembros de la organización, han de autoanalizarse con la ayuda del resto del colectivo para intentar mejorar los resultados. Conseguir las metas y objetivos marcados en el plan de la organización. No hay que tener reparo en tratar estos temas, ni sentir vergüenza. El intercambio de información, positiva o negativa, debe de fluir por la organización. Han de señalarse los defectos y poner un pronto remedio sin perjudicar a ningún miembro o proceso de la organización. Los hechos, son los hechos. Y es responsabilidad de todos aceptarlos y ponerles remedio.
Es habitual que se omita que en esta definición en el procedimiento, aunque está implícito: la información es la herramienta o materia prima fundamental al tomar decisiones de la empresa. A mayor calidad de la información, mejor calidad en las resoluciones. Se pueden seguir criterios analíticos cuantificables y exactos, si se tiene información perfecta. La información, vale tanto como el beneficio, o ausencia de pérdidas que se obtengan en base a esa información
El arte de tomar decisiones está basado en cinco ingredientes básicos: a. Información:
Estas se recogen tanto para los aspectos que están a favor como en contra del problema, con el fin de definir sus limitaciones. Sin embargo si la información no puede obtenerse, la decisión entonces debe basarse en los datos disponibles, los cuales caen en la categoría de información general.
b. Conocimientos:
Si quien toma la decisión tiene conocimientos, ya sea de las circunstancias que rodean el problema o de una situación similar, entonces estos pueden utilizarse para seleccionar un curso de acción favorable. En caso de carecer de conocimientos, es necesario buscar consejo en quienes están informados.
c. Experiencia:
Cuando un individuo soluciona un problema en forma particular, ya sea con resultados buenos o malos,
esta experiencia le
proporciona información para la solución del próximo problema similar. Si ha encontrado una solución aceptable, con mayor razón tenderá a repetirla cuando surja un problema parecido. Si carecemos de experiencia entonces tendremos que experimentar; pero sólo en el
caso en que las
consecuencias de un mal experimento no sean
desastrosas. Por lo tanto, los problemas más importantes no pueden solucionarse con experimentos.
d. Análisis:
No puede hablarse de un método en particular para analizar un problema, debe existir un complemento, pero no un reemplazo de los otros ingredientes. En ausencia de un método para analizar matemáticamente un problema es posible estudiarlo con otros métodos diferentes. Si estos otros métodos también fallan, entonces debe confiarse en la intuición. Algunas personas se ríen de la intuición, pero si los otros ingredientes de la toma de decisiones no señalan un camino que tomar, entonces ésta es la única opción disponible.
El juicio es necesario para combinar la información, los conocimientos, la experiencia y el análisis, con el fin de seleccionar el curso de acción apropiado. No existen substitutos para el buen juicio.
1.6 Árboles de decisión.
Este método ha sido empleado desde los años 50 por los administradores de organizaciones complejas, en todos sus sistemas o funciones básicas, en especial en las áreas de investigación y desarrollo, en el análisis del presupuesto de inversión y en la investigación de mercados.
Consiste en asignar probabilidades a eventos en condiciones de riesgos o incertidumbre mediante la representación gráfica que ilustra cada estrategia o alternativa a través de una ramificación, parecidas a las ramas de un árbol. Los vértices o nodos representan los eventos de decisión utilizando para esto un cuadro. Los efectos derivados de la decisión se denominan acontecimientos y se representan por medio de un círculo en la siguiente forma
La técnica permite seleccionar la mejor alternativa mediante la comparación de los beneficios económicos de cada rama a partir de:
• Los costos condicionales de cada decisión
• El cálculo o estimación de probabilidad designada a cada alternativa originada en cada decisión
• El valor esperado de cada rama.
Cuando una secuencia de decisiones necesita ser tomada, los árboles de decisión son la herramienta más poderosa que las tablas de decisión. Decimos que la Cafetera tiene dos decisiones a tomar, con la segunda decisión dependiendo del resultado de la primera. Antes de decidirse por una nueva planta, la Cafetera tiene la opción de conducir su propia inspección de la investigación del mercado, con un costo de $ 10.000.La información de su inspección puede llevarlo a decidir si construir una planta larga, una planta pequeña o no construir nada. la Cafetera reconoce, que una inspección general del mercado no le proveería la información perfecta, pero puede ayudar no obstante un poco.
“ Todos los resultados y alternativas deben ser considerados”.
La nueva decisión del árbol está representada en la figura siguiente. Miremos cuidadosamente a este árbol más complejo. Se nota que todas las posibles soluciones y alternativas están incluidas en su secuencia lógica. Esta es una de las ventajas de usar el árbol de decisión en la toma de decisiones. El usuario es forzado a examinar todos los resultado posibles, incluyendo los desfavorables. El o ella son forzados a hacer decisiones de una manera lógica y secuencial. Examinando el árbol, vemos que la primera decisión de la Cafetera es conducir o no las $ 10.000 de la inspección del mercado. Si él escoge no hacer el estudio( la parte de abajo del árbol ), él puede entonces construir una planta larga, una pequeña o no construir. Este es el segundo punto de decisión. El mercado así puede ser favorable (50 % de probabilidad ) o desfavorable (50 % de probabilidad), si él construye. El pago adecuado de cada una de las consecuencias posibles están al lado derecho. De hecho su baja porción del árbol de la Cafetera es idéntica a la más simple decisión
del árbol mostrado en la
primera figura. Por qué es
así?. La parte superior de la segunda figura refleja la decisión de conducir la supervisión del mercado. El estado
de naturaleza del nodo
número uno tiene dos ramas
que salen de él. Hay un
45% de chance que el
resultado del estudio indicara un mercado favorable por cubrimiento del almacenamiento. Nosotros notamos también que la probabilidad es de 55% de que el resultado de
Unidad 2
Unidad 2
“Programa
cion
2.1 Formulación y aplicación de modelos de programación lineal.
Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelomatemático que represente la esencia del problema. Antes de analizar como
formular los modelos de este tipo, se explorará la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos matemáticos.
El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas (ecuaciones y desigualdades) establecidas en términos de variables, que representa la esencia el problema que se pretende solucionar.
Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en función de las cuales será establecido. Luego, se procede a determinar matemáticamente cada una de las dos partes que constituyen un modelo: a) la medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una función (ecuación) llamada función objetivo; b) las limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.
Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema. Una ventaja obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma mucho más concisa. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea más comprensible y ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y
efecto. De esta manera, indica con más claridad que datos adicionales son importantes para el análisis. También facilita simultáneamente el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interpelaciones. Por último, un modelo matemático forma un puente para poder emplear técnicas matemáticas y computadoras de alto poder, para analizar el problema. Sin duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes de software para muchos tipos de modelos matemáticos, para micro y minicomputadoras.
Por otro lado, existen obstáculos que deben evitarse al usar modelos matemáticos. Un modelo es, necesariamente, una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificación si se quiere que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representación válida del problema. El criterio apropiado para juzgar la validez de un modelo es el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de acción, para poder tomar una decisión que tenga sentido. En consecuencia, no es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de efectividad sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos (es decir, las diferencias entre sus valores) sean bastante preciso. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlación entre la predicción del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un número considerable de pruebas del modelo y las modificaciones consecuentes. Aunque esta fase de pruebas se haya colocado después en el orden del libro, gran parte del trabajo de validación del modelo se lleva a cabo durante la etapa de construcción para que sirva de guía en la obtención del modelo matemático.
OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.
La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo. Muchos de los procedimientos de solución tienen la característica de ser iterativos, es decir buscan la solución en base a la repetición de la misma regla analítica hasta llegar a ella, si la hay, o cuando menos a una aproximación.
PRUEBA DEL MODELO
El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de
manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente, después de una larga serie de programas mejorados, el programador (o equipo de programación) concluye que el actual da, en general, resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunas fallas ocultas en el programa (y quizá nunca se detecten, se habrán eliminado suficientes problemas importantes como para que sea confiable utilizarlo. De manera similar, es inevitable que la primera versión de un modelo matemático grande tenga muchas fallas. Sin duda, algunos factores o interpelaciones relevantes no se incorporaron al modelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Esto no se puede eludir dada la dificultad de la comunicación y la compresión de todos los aspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, así como la dificultad de recolectar datos confiables. Por lo tanto, antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Con el tiempo, después de una larga serie de modelos mejorados, el equipo de IO concluye que el modelo actual produce resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quizá nunca se detecten), las fallas importantes se habrán eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validación del modelo.
Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas del modelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los árboles". Entonces, después de completar los detalles ("los árboles") de la versión inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma global ("el bosque") para verificar los errores u omisiones obvias. El grupo que hace esta revisión debe, de preferencia, incluir por lo menos a una persona que no haya participado en la formulación. Al examinar de nuevo la formulación del problema y comprarla con el modelo pueden descubrirse este tipo de errores. También es útil asegurarse de que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible. Con frecuencia, esto es especialmente revelador cuando se asignan a los parámetros o a las variables valores extremos cercanos a su máximo o a su mínimo.
Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. La comparación de la efectividad de este desempeño hipotético con lo que en realidad ocurrió, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la práctica actual. Puede también indicar áreas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es más, el emplear las alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción. Cuando se determina que el modelo y la solución no son válidos, es necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodología de la investigación de operaciones.
ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCION
Una solución establecida como válida para un problema, permanece como tal siempre y cuando las condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los parámetros, las relaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situación
se vuelve más factible cuando algunos de los parámetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. usualmente esto se conoce como análisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema.
IMPLANTACION DE LA SOLUCION
El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado éste obstáculo, se debe traducir la solución encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los individuos que intervienen en la operación y administración del sistema. La etapa de implantación de una solución se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la participación de todos los involucrados en el problema en cada fase de la metodología. Preparación para la aplicación del modelo
Esta etapa es crítica, ya que es aquí, y sólo aquí, donde se cosecharán los beneficios del estudio. Por lo tanto, es importante que el equipo de IO participe, tanto para asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo, como para corregir cualquier defecto en la solución que salga a la luz en este momento.
El éxito de la puesta en práctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la alta administración como la gerencia operativa. Es más probable que el equipo de IO obtenga este apoyo si ha mantenido a la administración bien informada y ha fomentado la guía de la gerencia durante el estudio. La buena comunicación ayuda a asegurar que el estudio logre lo que la administración quiere y por lo tanto merezca llevarse a la práctica. También proporciona a la administración el sentimiento de que el estudio es suyo y esto facilita el apoyo para la implantación.
La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigación de operaciones de una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relación con la realidad operativa. En seguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operación. La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de acción. Si tiene éxito, el nuevo sistema se podrá emplear durante algunos años. Con esto en mente, el equipo de IO supervisa la experiencia inicial con la acción tomada para identificar cualquier modificación que tenga que hacerse en el futuro.
A la culminación del estudio, es apropiado que el equipo de investigación de operaciones documento su metodología con suficiente claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible. Poder obtener una réplica debe ser parte del código de ética profesional del investigador de operaciones. Esta condición es crucial especialmente cuando se estudian políticas gubernamentales en controversia.
1. ¿Qué es la Programación Lineal?.
En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, etc, se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. De la solución de estos problemas se encarga la Programación Lineal.
En este tema estudiaremos el caso más fácil: Programación Lineal con dos variables. Veamos un ejemplo:
Un laboratorio de farmacia fabrica dos complejos vitamínicos constituidos ambos por vitamina A y vitamina B. El primero está compuesto por 2 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B y el segundo por 1 unidad de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Sabiendo que sólo se dispone de 1000 unidades de vitamina A y 1800 unidades de vitamina B y que el beneficio del primer complejo es de 400 pesetas y el del segundo 300 pesetas. Hallar el número de complejos vitamínicos de cada tipo que deben fabricarse para obtener un beneficio máximo. ¿Cuál será dicho beneficio máximo?.
En primer lugar es conveniente resumir los datos en una tabla:
C1 C2 Disponible
Vitamina A 2 1 1000
Vitamina B 2 3 1800
Beneficio 400 300
Ahora planteamos el problema:
1. Nombrar las incógnitas: x= número de complejos C1 ; y= número de complejos C2
2. Función objetivo ( función que queremos que sea máxima o mínima) en nuestro caso las Ganancias que hay que maximizar: 3. Las restricciones del problema que vienen dadas por las
2.- Resolución del Problema
1. Representamos gráficamente las restricciones. Los puntos que cumplen todas las restriciones se llaman Soluciones Factibles
2.
1.- Utilizando lo aprendido en la página de INECUACIONES representa las restricciones.
2.- Para recordarlo, aumentando el valor del control S se van representando sucesivamente todas las restricciones.
3.- Para ver todo el proceso pulsa animar.
4.- Traslada todo esto a tu cuaderno y tendrás el conjuto de Soluciones Factibles (el recinto turquesa)
3. Buscamos la solución óptima que es la solución factible que hace máxima la función objetivo.(Se puede demostrar que la función objetivo alcanza el máximo ó mínimo en alguno de los vértices del recinto). Existen dos métodos
para encontrarla: 4.
0. Método Analítico. Se calcula el valor de la función en cada uno de los vértices para ver cual es el valor máximo ó mínimo:
b. Máx.
Solución
a. Método Gráfico. Se representa la recta de la función objetivo, se trazan rectas paralelas a ella que pasen por cada uno de los vértices y se observa cual de las rectas trazadas tiene mayor o menor ordenada en el origen. En nuestro caso la solución es B. El beneficio máximo que se alcanza en el punto B será :
2.2 Método Grafico.
El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo.
El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Los pasos necesarios para realizar el método son nueve:
2. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.
3. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.
4. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan
sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.
5. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.
6. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.
7. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de
soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.
8.
Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la
dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
Ejemplo. Maximizar Z = 3X1 + 2X2 restricciones : X1 + 2X2 <=6 (1) 2X1 + X2 <=8 (2) -X1 + X2 <=1 (3) X2 <= 2 (4) X1 >= 0 (5) X2 >= 0 (6)
Convirtiendo las restricciones a igualdad y representándolas gráficamente se tiene: X1 + 2X2 = 6 (1) 2X1 + X2 = 8 (2) -X1 + X2 = 1 (3) X2 = 2 (4) X1 = 0 (5) X2 = 0 (6)
Figura 2 Determinación de soluciones
Maximizar Z = 3X1 + 2X2
Punto (X1, X2) Z A (0, 0) 0
B (4, 0) 12 C (3.3, 1.3) 12.6 ( óptima ) D (2, 3) 12 E (1, 3) 9 F (0, 2) 4
Tabla 2. Solución Método Gráfico
Para obtener la solución gráfica, después de haber obtenido el espacio de solución y graficada la función objetivo el factor clave consiste en decidir la dirección de mejora de la función objetivo.
2.3 Método simplex.
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de
programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.
El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.
Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.
Resolver mediante el método simplex el siguiente problema:
MaximizarZ = f(x,y) = 3x + 2y sujeto a: 2x + y ≤ 18 2x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24 x ≥ 0 , y ≥ 0
Se consideran las siguientes fases:
1. Convertir las desigualdades en igualdades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:
2x + y + r = 18 2x + 3y + s = 42
3x +y + t = 24
2. Igualar la función objetivo a cero
- 3x - 2y + Z = 0
En las columnas aparecerán todas las variables básicas del problema y las variables de holgura/exceso. En las filas se observan, para cada restricción las variables de holgura con sus coeficientes de las igualdades obtenidas, y la última fila con los valores resultantes de sustituir el valor de cada variable en la función objetivo, y de operar tal como se explicó en la teoría para obtener el resto de valores de la fila: Tabla I . Iteración nº 1 3 2 0 0 0 Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P3 0 18 2 1 1 0 0 P4 0 42 2 3 0 1 0 P5 0 24 3 1 0 0 1 Z 0 -3 -2 0 0 0 4. Condición de parada
Cuando en la fila Z no existe ningún valor negativo, se ha alcanzado la solución óptima del problema. En tal caso, se ha llegado al final del algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos.
5. Condición de entrada y salida de la base
A. Primero debemos saber la variable que entra en la base. Para ello escogemos la columna de aquel valor que en la fila Z sea el menor de los negativos. En este caso sería la variable x (P1) de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde).
B. Una vez obtenida la variable que entra en la base, estamos en condiciones de deducir cual será la variable que sale. Para ello se divide cada término independiente (P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que el resultado sea mayor que cero, y se escoge el mínimo de ellos. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente,
y caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición tendríamos una solución no acotada y terminaríamos el problema. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya que 8 es el menor cociente, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, t (P5). Esta fila se llama fila
pivote (En color verde).
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (si es posible).
C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote, 3.
6. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.
Los nuevos coeficientes de la fila pivote, t (P5), se obtienen dividiendo todos los coeficientes de dicha fila entre el elemento pivote, 3, que es el que hay que convertir en 1.
A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.
También se puede hacer de la siguiente manera: Fila del pivote:
Nueva fila del pivote = (Vieja fila del pivote) / (Pivote)
Resto de las filas:
Nueva fila = (Vieja fila) -(Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) x (Nueva fila del pivote)
Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x (P1) en la Tabla II):
Vieja fila de P4 42 2 3 0 1 0
- - -
-Coeficiente 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
Nueva fila pivote 8 1 1/3 0 0 1/3
Nueva fila de P4 26 0 7/3 0 1 -2/3 Tabla II . Iteración nº 2 3 2 0 0 0 Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P3 0 2 0 1/3 1 0 -2/3 P4 0 26 0 7/3 0 1 -2/3 P1 3 8 1 1/3 0 0 1/3 Z 24 0 -1 0 0 1
Se puede observar que no hemos alcanzado la condición de parada ya que en los elementos de la última fila, Z, hay uno negativo, -1. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es y (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1.
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3 [=6] ,
26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24]
y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable que sale es r
(P3).
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:
Tabla III . Iteración nº 3
3 2 0 0 0
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5
P2 2 6 0 1 3 0 -2
P4 0 12 0 0 -7 1 4
Z 30 0 0 3 0 -1
Como en los elementos de la fila Z hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es t (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1.
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] ,
12/4 [=3], y 6/1 [=6]
y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable que sale es s (P4).
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla: Tabla IV . Iteración nº 4 3 2 0 0 0 Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P2 2 12 0 1 -1/2 1/2 0 P5 0 3 0 0 -7/4 1/4 1 P1 3 3 1 0 3/4 -1/4 0 Z 33 0 0 5/4 1/4 0
Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos, por lo tanto se cumple la condición de parada, obteniendo la solución óptima.
La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: (x,y) = (3,12)
2.3.1 Método algebraico.
Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.
El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.
Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema:
MaximizarZ= f(x,y)= 3x + 2y sujeto a: 2x + y 18 2x + 3y 42 3x + y 24 x 0 , y 0 Se consideran las siguientes fases:
1. Convertir las desigualdades en igualdades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:
2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42
3x +y + d = 24
2. Igualar la función objetivo a cero
- 3x - 2y + Z = 0
En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo:
Tabla I . Iteración nº 1
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x Y h s d
h 2 1 1 0 0 18
s 2 3 0 1 0 42
d 3 1 0 0 1 24
Z -3 -2 0 0 0 0
4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base
A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto). En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.
Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado).
B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean
mayores que cero. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.
El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado).
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base.
C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.
5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.
Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila
d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.
A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.
También se puede hacer utilizando el siguiente esquema: Fila del pivote:
Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote)
Resto de las filas:
Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)
II):
Vieja fila de s 2 3 0 1 0 42
- - -
-Coeficiente 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 8
= = = = = =
Nueva fila de s 0 7/3 0 1 -2/3 26
Tabla II . Iteración nº 2
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x Y h s d
h 0 1/3 1 0 -2/3 2
s 0 7/3 0 1 -2/3 26
x 1 1/3 0 0 1/3 8
Z 0 -1 0 0 1 24
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:
y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h.
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:
Tabla III . Iteración nº 3
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x Y h s d
y 0 1 3 0 -2 6
s 0 0 -7 0 4 12
x 1 0 -1 0 1 6
Z 0 0 3 0 -1 30
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:
6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6]
y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s.
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla:
Tabla IV . Final del proceso
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x Y h s d
y 0 1 -1/2 0 0 12
d 0 0 -7/4 0 1 3
x 1 0 -3/4 0 0 3
Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima.
Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12)
* Si en el problema de maximizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: ax + by c; multiplicándolas por - 1 se transforman en inecuaciones de la forma - ax - by - c y estamos en el caso anterior
* Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la función objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son negativos
2.3.2 La tabla simplex.
La resolución de programas lineales mediante el método Simplex implica la realización de gran cantidad de cálculos, sobre todo cuando el número de variables y/o restricciones es relativamente elevado. Sin embargo, estos cálculos no son complejos y pueden realizarse en modo sistemático utilizando una forma tabular. Así surgen las conocidas como tablas del Simplex, que no son más que una forma de organizar los cálculos. Sobre las tablas del Simplex comentar que su interés es totalmente pedagógico, ya que en los casos reales la magnitud de los problemas que suelen aparecer hace que nadie las utilice de forma directa para resolverlos. En tales casos, ha de recurrirse al uso del computador.
min cx
Ax=b con b >= 0 x >= 0
en primer lugar se construye la tabla siguiente:
c1 c2 ... cn cb1 cb2 . . . cbm xb1 xb2 . . . xbm b1 b2 . . . bm
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn v y1 y2 ... ym
z1 z2 ... zm Tabla del Simplex Donde:
• v es el producto escalar de los vectores (cb1,cb2,...,cbm) y (b1,b2,...,bm)
• yk es el producto escalar de los vectores (cb1,cb2,...,cbm) y (a1k,a2k,...,amk) para k=1,2,...m.
• zk=ck-yk para k=1,2,...,m.
Observar la forma en que se construye esta tabla:
• En la primera fila de la tabla se colocan los coeficientes de las variables en la función objetivo.
• En las tres primeras columnas aparecen los coeficientes de las variables básicas en la función objetivo, las variables básicas iniciales y el vector de términos independientes de las restricciones, respectivamente.
• La parte central de la tabla está formada por la matriz de coeficientes A. • Los elementos de la penúltima fila son los productos escalares del vector de
la primera columna con los vectores de la tabla que quedan encima de cada uno de esos elementos.
• Finalmente, en la última fila aparece la diferencia de las filas primera y penúltima.
Cada tabla del Simplex está asociada a una solución básica factible. De forma que, una vez construida la tabla inicial, deben establecerse las reglas que permitan obtener las tablas asociadas a las siguientes soluciones básicas, así como saber la solución básica que lleva asociada cada tabla. Además es necesario saber cuando una tabla corresponde a la solución óptima, esto último se consigue analizando los signos de la última fila de la tabla:
Si todos los elementos de la última fila de la tabla son mayores o iguales que cero, el óptimo ha sido alcanzado.
Cuando alguno de los elementos de la última fila es negativo, el valor óptimo puede mejorarse y por tanto debe construirse una nueva tabla de la manera siguiente:
• Se selecciona de la última fila el elemento negativo de mayor valor absoluto. La variable correspondiente al índice del zi seleccionado es la que pasará a ser básica.
• Para saber a que variable básica sustituye, se dividen los valores de la tercera columna entre los valores positivos de la columna de A seleccionada en el paso anterior (la que corresponde al elemento negativo de mayor valor absoluto). En caso de no existir valores positivos, puede asegurarse que el problema no tiene óptimo finito.
• De todos los cocientes calculados se selecciona el mínimo, el elemento de la matriz A que ha servido para construir ese valor mínimo es el que actuará como pivot y la variable de la segunda columna de la tabla en la posición de la fila del pivot es la que deja de ser básica.
• Mediante transformaciones elementales de filas sobre el bloque central de la tabla (el bloque de fondo amarillo en la tabla) se llega a transformar en 1 el pivot y anular los restantes elementos de la correspondiente columna. Las únicas transformaciones que son permitidas son:
o Multiplicar por constantes la fila que contiene el pivot.
o Sumar o restar a una fila un múltiplo de la fila que contiene el pivot.
• Intercambiar las variables básicas en la segunda columna al mismo tiempo que se modifica el correspondiente elemento de la primera columna.
• Calcular los nuevos valores de las dos últimas filas de la tabla de acuerdo a las instrucciones ya indicadas.
Se repiten todos estos procesos y se van transformando las tablas hasta que el test de parada sea positivo (todos los elementos de la última fila mayores o iguales que cero) en cuyo caso se tiene:
• El óptimo se alcanza en el punto cuyas coordenadas son nulas excepto las correspondientes a las variables básicas, cuyos valores aparecen en la tercera columna de la tabla óptima.
• El valor de la función en el óptimo es el que aparece en el último elemento de esa misma columna
Todas las tablas que se van obteniendo tienen dos características en común: los elementos de la tercera columna son todos ellos mayores o iguales que cero, salvo el último (el que indica el valor de la función objetivo) que pudiera ser negativo. Por otro lado, las columnas de A asociadas a las variables básicas siempre forman una matriz identidad.
Analizando más en profundizar cada una de las etapas expuestas, se puede comprobar la correspondencia con el método Simplex enunciado de una forma más teórica anteriormente. Por supuesto, la mejor manera de comprender la resolución mediante tablas es con ejemplos particulares; a continuación se exponen dos de estos ejemplos.
Ejemplo:
Programa lineal Tabla Inicial
min 2x1-x2 -x1+x2+x3=2 2x1+x2+x4=6 x1,x2,x3,x4 >= 0 2 -1 0 0 0 0 x3 x4 2 6 -1 1 1 0 2 1 0 1 0 0 0 0 0 2 -1 0 0
Se toman como variables básicas x3 y x4 porque llevan asociadas como matriz de base la identidad.
El elemento señalado en color rojo en la tabla es el que actuará como pivot, ha sido determinado teniendo en cuenta que en la última fila de la tabla solo hay un elemento negativo; tras esto se debe calcular min{2/1,6/1}, dicho mínimo se obtiene a partir del pivot.
La posición del pivot dentro de la tabla indica: • La variable x3 dejará de ser básica. • La variable que la sustituye es x2