g j ={0,1 0 j m x... g 1 f 1 x 2... c n m... f i

**** A Partir de aqui 22 - Oct - 2005 ****

Campos de Galois

El grado de un polino mio es la potencia mayor de X con coeficiente

≠ 0

.

Existen

2

n

polino mi o s sobre GF(2) con grado n

Ej. si n

= 2: x

2

, 1

−x

2

, x

x

2

, 1

xx

2 Sea

f

x= f

0

 f

1

x

 f

2

x

2

... f

n

x

n

f

i

={0,1}

0≤i ≤n

g

 x= g

₀

g

₁

x

... g

_m

x

m

g

_j

={0,1

_{0≤ j≤m}

f

xg  x= f

₀

g

₀

 f

₁

 g

₁

 x...

...

 f

m gm xm

 f

_m1

x

m1

... f

_n

x

n

f

 x ⋅g x =c

₀

c

₁

x

c

₂

x

2

...c

_{n m}

x

n m

c

₀

= f

₀

g

₀

c

₁

= f

₀

g

₁

 f

₁

g

₀

c

₂

= f

₀

g

₂

 f

₁

g

₁

f

₂

g

₀

c

_i

= f

₀

g

_i

f

₁

g

_{i− 1}

 f

₂

g

_{i− 2}

... f

_i

g

₀

c

_{n m}

=f

_n

g

_m

si g

 x = 0p o r lo tanto : f x ⋅0=0

Los polino mio s sobre GF(2) satisface n las condicione s:

a

xb x=b xa x

a

 x⋅b  x=b  x ⋅a x 

2) Asociativa:

a

x[bxc x]=[axb x]c x

a

 x⋅[ b x ⋅c  x]=[ a x ⋅b x ]⋅c  x 

3) Distribu tiva:

a

 x⋅[ b x c  x ]=[ a  x⋅b  x ][ a  x⋅c  x]

Si

g

 x≠0

, cuan d o se divide

f

x

por

g

 x

se obtiene un par de polino mio s únicos:

q

 xCociente

r

 x Residuo

f

x=q x g  xr  x

_{El grado de}

r

 xes menor al de g x

Teor 2.4. -

Sea a

∈GF q por lo tantoa

q−1

=1

_{Orden de a = Entero}

mas peque ñ o tal que

a

n

=1

Teor 2.5. - Sea

a

∈GF q

, n= orde n de a, implica que

n

∣q−1n divide a q-1

_{Si a es raiz de p(x) y tiene orde n n}

p

a∣x

n

1

Ejemplo:

f

 x= 1xx

4

x

5

x

6

g

 x = 1xx

3 _, f x gx =

x

3

 x

2

x

3

 x1 x

6

x

5

 x

4

... x1

x

6

...

x

4

x

3

x

5

...

x

3

...

x1

x

5

...

x

3

x

2

x

2

x1

Se pue de verificar que:

x

6

x

5

x

4

 x1= x

3

 x1 x

3

 x

2

x

2

 x1

Si f(x) es dividido por g(x) y r(x)=0, se dice que f(x) es divisible por g(x) y que g(x)es un factor de f(x).

Si un polino mio f(x) sobre un GF(2) tiene un #par de tér min o s, es divisible por x+1

Un polino mio p(x) sobre GF(2) de grado m se dice que es irreducible sobre GF(2) si p(x) no es divisible por cualquier polino mio sobre GF(2) de grado < m pero mayor que cero.

Se ha proba d o que si

m

≥1

, exsite un polino mio irred ucible de grado m.

Teore m a 2.6. - Cualquier polino mio irred ucible (sobre GF(2)) de grado m, divide a

x

2m−1

1

ejem plo:

x

3

 x1

_{divide a}

x

7

1

x

4

 x

2

 x1

x

3

 x1 x

7

x

7

....

x

5

x

4

x

5

 x

4

1

x

5

 x

3

 x

2

x

4

 x

3

 x

2

1

x

4

 x

2

x

x

3

 x1

x

3

 x1

0

Un polino mio irred ucible P(x) de grado m se dice que es “primitiv o” si el entero positivo mas peque ñ o “n” para el cual p(x) divide a

x

n

1

es

n

=2

m

−1

.

x

3

 x1

_{es primitivo ya que no divide a ningú n polino mio}

x

n

1p a r a 1≤ n7

x

4

 x1

_{es primitivo ya que no divide a ningú n polino mio}

x

n1 para

1

≤ n1 5

x

4

 x

3

 x

2

x1

_{es irred ucible pero no primitivo ya que divide a}

x

15

1

_{y a}

x

5

1

_.

Alguno s polino mio s primitivos de 3 términ o s:

m P(x) 3

1

 x x

3 4

1

 x x

4 5

1

 x

2

x

5 6

1

 x x

6 7

1

 x

3

 x

7 9

1

 x

4

 x

9 10

1

 x

3

 x

10 11

1

 x

2

x

11 15

1

 x x

15 17

1

 x

3

 x

17 18

1

 x

7

x

18

Constr uc ción de camp o s de Galois.

GF

2

m



0*0 =0

0*1 =1*0 = 0 1*1 =1

0

⋅=⋅0= 0

1

⋅=⋅1=



2

=⋅



3

=⋅⋅



j

=⋅...⋅ j veces 

De la definición de multiplicación se ded uc e:

0

⋅

j

=

j

⋅0= 0

1

⋅

j

=

j

⋅1=

j



i

⋅

j

=

j

⋅

i

=

i j

Se tiene un conju n t o de eleme n t o s sobre los cuales se define la operación “

⋅

”

F

{0,1 , , 

2

,...



j

,...

}

Enseguid a se pone una condición sobre el eleme n t o



, tal que el conju n t o F contiene solo

2

m

eleme n t o s y es cerra d o bajo la multiplicación.

Sea P(x) un polino mio primitivo de grado m sobre GF(2), supo n e m o s

p

=0

_{puest o que P(x) divide a}

_x

2m−1

1

por lo que:

x

2m−1

1=q x p x

Se se ree m pla z a x por



:



2m−1

1=q  p

puest o que

P

=0 , 

2m−1

usan d o suma mód ulo 2:



2m−1

=1

por lo tant o, bajo la condición de que

p

=0

, el conju n t o F se torna finito y contiene los siguient e s eleme n t o s:

F

={0,1,  ,

2,.

.. ,



2

m

−2

_}

*** A Partir de aqui 26 - Oct - 2005 **** Ejemplo

GF

2

4



_{genera d o por}

p

 x = 1xx

4

Repres. en Repres. en Repres en

pote ncias polino mio tuplas de 4

0 0 0000 1 1 1000





0100



2



2 0010



3



3 0001



4

1



₁₁₀₀



5



2 0110



6



2



3 0011



7

1



3 ₁₁₀₁



8

1



2 ₁₀₁₀



9



3 0101



10

1



2 ₁₁₁₀



11



2



3 0111



12

1



2



3 ₁₁₁₁



13

1



2



3 ₁₀₁₁



14

1



3 ₁₀₀₁



15

=1

Un polino mio con coeficiente s sobre GF(2) pue d e no tener raices en GF(2) pero (irred ucible) pue de tener raices sobre un camp o - exten sió n de GF(2).

x

4

x

3

 1

_{No tiene raices sobre GF(2) porq u e es irred ucible, pero} tiene raices (4) del camp o

GF

2

4



Para

GF

2

4



_{const r ui d o con el polino mio}

1

 x x

4 _{se tiene:}



2m−1

1=0

_{por lo que:}



15

=1

por lo tant o



7,



11,



13

y



14 _{son raices de}

_x

4

 x

3

1

Prueba:



7



4



7



3

1=

28



21

1

=

1 5

∗

1 3



1 5

∗

6

1= 1∗

1 3

 1∗

6

 1

= 1

2



3



2



3

1= 0

 x

7

∗ x

1 1

∗ x

1 3

∗ x

1 4

=x

4

x

3

1

Prueba:

x

2



8

x



3

x

2



2

x



12

...

=x

4



8



2

 x

3



1 2



1 0



3

 x

2



2 0



5

 x

1 5

=x

4

x

3

1

Teore m a 2.7: Sea f(x) un polino mi o con coeficiente s de GF(2). Sea



un eleme n t o en un camp o - exten sió n de GF(2). Si



es una raíz de

f

 x 

_{, ento nce s para cualquier}

l

≥0, 

2 l

es tambié n una raiz de

f

 x 

_.

 

2l se llama conjuga d o de



. Si



es una raiz de

x

2m−1

1

ento nce s:



2m− 1

 1= 0

Teore m a 2.8: Los

2

m

−1

eleme n t o s

≠ 0

de

GF

2

m



_{forma n}

toda s las raices de

X

2m−1

1

.

Corolario 2.8.1

Los eleme n t o s de

GF

2

m



_{form a n todas las raices de}

x

2m

x

_.

Por tanto, si

 x

es el polino mio de mas peque ñ o grado sobre

GF

 2

tal que

=0

,

 x

se llama el polino mi o míni m o.

Teorema 2.14. - Sea

 x

el polino mio mínimo de un eleme n t o



en

GF

2

m



_{, y sea “e” el entero mas peque ñ o tal que}



2e

= x=

∏

i=0 e−1

x

2i



. Ejemplo: Considere el cam p o

GF

2

4



_{dado en la tabla, sea}

=

3

; los conjuga d o s de



son:



2

=

6 ;



22

=

3



4

=

1 2 ,



23

=

3



8

=

2 4

=

9



24

=

3



1 6

=

4 8

=

3

El polino mio mínimo es (de

=

3 )



3

 x= x

3

 x

6

 x

12

 x

9



= x

2



2

x



9

 x

2



8

x



6



=x

4



2



8

 x

3



6



1 0



9

 x

2



1 7



8

 x

1 5

=x

4

x

3

x

2

x1

El orden de



es el más peque ñ o entero n, tal que



n

=1

_{por lo}

tanto, el orde n de un cam p o es el # de eleme n t o s - 1

2

m

−1

Espacios Vectoriales.

Sea V un conju n t o de eleme n t o s sobre los cuales se define una operación binaria llama d a “sum a” (+). Sea F un camp o. Se define una operación “multiplicación” (*) entre los eleme n t o s en F y los eleme n t o s en V. Al conju n t o V se llama “Espacio vectorial” sobre F si satisface:

i) V es un grup o con m u t a tivo bajo la sum a.

ii) Para cualquier eleme n t o a en F y

v

en V,

a

∗v

es un eleme n t o en V.

iii)(Ley distrib u tiva) Para cualquier eleme n t o

u y v

en V, y cualquier eleme n t o a & b en F

a

∗ uv =a∗ua∗v

 ab ∗v= a∗v b∗v

iv) (Ley asociativa) Para cualquier

v

en V y a & b en F,

 a∗b∗v =a∗ b∗v 

v) Sea 1 el eleme n t o unitario de F. Entonces, para cualquier

v

_{en V}

1

∗v =v

Los eleme n t o s de V se llama n vectore s y los elemen t o s del camp o F escalares . La sum a sobre V se llama suma vectorial y la multiplicación que combin a un escalar en F y un vector en V hacia un vector en V se

llama multiplicación escalar ( o prod u c t o )

Propie da d I) Sea 0 el eleme n t o cero del camp o F. Para cualquier vector

v

_{en V}

0

∗v =0

Propie da d II) Para cualquier escalar c en F

c

∗0=0

Propie da d III) para cualquier escalar c en F y cualquier vector

v

en V

−c ∗v=c∗−v =−c∗v 

−c ∗v ó c∗−v 

_{es el inverso aditivo del vector}

c

∗v

Sea

v

n _{el conju n t o de}

2

n

distin ta s tuplas de n bits para cualquier

u

= u

_{0 ,}

u

_1,.

.. u

_n−1



_y

v

= v

_{0 ,}

v

_1,.

.. v

_{n− 1}



_{ambo s en}

V

_{n :}

u

v = u

₀

 v

_{0 ,}

u

₁

 v

_1,.

.. u

_{n− 1}

 v

_{n− 1}



u

v

_{es tambíen una n - tupla sobre GF(2) y se dice que}

V

n _es

cerra d o bajo la definición de la sum a.

u

 u= v v= 0

_{El inverso aditivo de cada n - tupla de}

V

n _{es el}

mism o

a

∗v= a∗v

_{0 ,}

a

∗v

_1,.

.. a

∗v

_{n− 1}



por lo tant o el conju n t o

V

n _{de todas las tuplas sobre GF(2) form a un}

**** A Partir de aqui 28 - Oct - 2005 ****

Ejemplo: Sea n = 5, el espacio vectorial

V

5 _{de todas las 5- tuplas} sobre GF(2) consiste n t e de 32 vectores.

00000 00001 .... 11111

La sum a vectorial de (10111) y (11001) es (01110)



perte n ece a

V

₅

0*(10111) = (00000) 1*(10111) = (10111) ....

Teore m a 2.8. - Sea S un subco nj u n t o del espacio vetorial V sobre un camp o F, ento nce s S es un sube s p a cio de V si se satisface n las siguien te s condicione s:

i) Para cualquier 2 vectore s

u

y

v

en S,

u

v

es tam bién un vector en S.

ii) Para cualquier eleme n t o a en F y cualquier vector

u

u en S,

a

∗u

_{tam bié n perte n e ce a S.}

Ejemplo: Del conju n t o

V

5 _{, el subco nj u n t o de vectores} {(00000),(00111),(11010),(1110 1)} satisface amba s condicione s (i & ii) y por lo tant o es un “Subesp acio” de

V

5

00111 11010 00111

+1 1 0 1 0 +1 1 1 0 1 +1 1 1 0 1

Sea

v

1

, v

2

,... , v

k _{k vectore s en un espacio vectorial V sobre F.}

Sea

a

1,

a

2

,... , a

k _{k escalare s del cam p o F. La sum a}

a

₁

v

₁

 a

₂

v

₂

... a

_k

v

_{k se llama “combinación lineal” de}

v

₁

, v

₂

,... v

_{k .}

La su ma de dos combinacion e s lineales

 a

₁

v

₁

a

₂

v

₂

... a

_k

v

_k

 b

₁

v

₁

b

₂

v

₂

...b

_k

v

_k



.

= a

₁

b

₁

 v

₁

... a

_k

b

_k

 v

_{k es tambié n una combinación} lineal de

v

1

, v

2

,... , v

k _.

El prod u c t o de un escalar c en F y una combin ació n lineal de :

v

₁

, v

₂

,... , v

_{k :}

c

 a

₁

v

₁

 a

₂

v

₂

... a

_k

v

_k

=c∗a

₁

 v

₁

...c∗a

_k

 v

_{k es} tam bié n una combinación lineal.

Teore m a 2.19. - Sea

v

1

, v

2

,... , v

k _{k vectore s en un espacio}

vectorial V sobre un camp o F. El conju n t o de toda s las combinacio ne s lineales de

v

1

, v

2

,... , v

k _{forma un subes p a cio de V.}

Ejemplo: Considere el espacio vectorial

V

5 _{de todas las 5- tuplas} sobre GF(2). Las combinacion e s lineales de (00111) y (11101) son:

0*(00111) + 0*(11101) = (00000) 0*(00111) + 1*(11101) = (11101) 1*(00111) + 0*(11101) = (00111) 1*(00111) + 1*(11101) = (11010)

Estas form a n el mism o subes p acio del ejem plo anterior.

se dice que es

v

1

, v

2

,... , v

k _{linealme n t e depe n die n t e si existen k}

escalares

a

1,

a

2

,... , a

k _{del camp o F, no todo s cero tal qe:}

a

₁

v

₁

 a

₂

v

₂

... a

_k

v

_k

= 0

Ejemplo:

Los vectore s (10110), (01001) y (11111) son linealme n t e depe n die n t e s puest o que 1*(10110) + 1*(01001) + 1*(11111) = (00000) sin embarg o, (10110), (01001) y (11011) son linealme n t e inde pe n d ie n t e s. Las ocho combinacio ne s lineales de los tres vectores son:

0

∗v

₁

 0∗v

₂

0∗v

₃

=0 0 0 0 0

0

∗v

1

 0∗v

2

1∗v

3

=1 1 0 1 1

0

∗v

1

 1∗v

2

0∗v

3

=0 1 0 0 1

0

∗v

₁

 1∗v

₂

1∗v

₃

=1 0 0 1 0

1

∗v

₁

 0∗v

₂

0∗v

₃

=1 0 1 1 0

1

∗v

₁

 0∗v

₂

1∗v

₃

=0 1 1 0 1

1

∗v

₁

 1∗v

₂

0∗v

₃

=1 1 1 1 1

1

∗v

₁

 1∗v

₂

1∗v

₃

=0 0 1 0 0

Un conju n t o de vectores se dice que se expan d e a un espacio vectorial V si cada vector en V es una combin ació n lineal de los vectores en el conju n t o. En cualquier espacio o subes p a cio vectorial existe el meno s un conju n t o B de vectore s linealme n t e inde pe n d ie n t e s que expan d e n el espacio. Este conju n t o es llama d o base del espacio vectorial. El nú me r o de vectore s en una base de un espacio vectorial se llama la dime n sió n del espacio vectorial.

Consider a n d o el espacio vectorial

V

n _{de toda s las n tuplas sobre}

e

₀

=1,0,0,...0 , 0

e

₁

=0,1,0,...0 , 0

...

e

_{n− 1}

=0,0,0,. ..0 , 1

Donde cada tupla

e

i _{tiene solo un comp o n e n t e difere n t e de 0 en la}

posición i- ésima.

Cada n - tupla

a

0,

a

1,

a

2

,... , a

n−1 _en

V

n _{pue de ser expre sa d a como}

una combinació n lineal de

e

0

, e

1

, ... e

n− 1 _{de la siguient e mane ra:}

a

_{0 ,}

a

_{1 ,}

a

₂

, ... , a

_{n− 1}

= a

₀

e

₀

a

₁

e

₁

...a

_{n− 1}

e

_{n− 1}

e

₀

, e

₁

, ... e

_{n− 1 expan d e n el espacio vectorial de toda s las n - tuplas} sobre GF(2) y por lo tanto son

e

0

, e

1

, ... e

n− 1 _{linealme n t e} inde pe n di e n t e s. En consecu e n cia, forma n la base para

V

n _{. Si k< n,}

v

₁

, v

₂

,... , v

_{k son k vectores linealme n t e inde pe n d ie n t e s en}

V

_n



_{toda s las combinacion e s lineales de}

v

₁

, v

₂

,... , v

_{k de la forma:}

u

=c

₁

v

₁

c

₂

v

₂

...c

_k

v

_k

Forma n un subes p a cio de k dime n sio n e s S en

V

n _{. Existen}

2

k

posibles combinacio ne s distint a s de

v

1

, v

2

,... , v

k _{, por lo tanto, S}

consiste de

2

k

**** A Partir de aqui 10 - Nov - 2005 ****

Sea

u

= u

0 ,

u

1,.

.. u

n−1



_&

v

= v

0 ,

v

1,.

.. v

n− 1



_{dos n - tuplas en}

V

_{n .}

Se define el prod u c t o intern o (o prod u c t o punt o)

u

⋅v= u

₀

v

₀

 u

₁

v

₁

... u

_{n− 1}

v

_{n−1 (* multiplicación mod ulo 2)}

u

⋅v

: Escalar en GF(2)

Si

u

⋅v= 0

;

 u y v

son ortogo n ales.

El prod u c t o intern o tiene las siguien te s característica s.

i)

u

⋅v= v⋅u

ii)

u

⋅ v  w = u⋅v  u⋅w

iii)

 a u⋅v =a  u⋅v 

Sea S un subes p a cio k- dime n sio n al de

V

n _{y sea}

S

d _{el conju n t o de}

vectore s en

V

n _{tal que para cualquier}

u

∈S

_y

v

∈S

d _.

u

⋅v= 0

. El conju n t o

S

d _{es llama d o el espacio dual o nulo de S.}

Si

v y w

∈S

d _{, para cualquier vector}

u

∈S

_.

u

⋅ v  w = u⋅v  u⋅w =0 0= 0

Si

v y w

son ortogo n ales a

u

, la su ma vectorial

v

 w

es tam bié n ortogo n al a

u

, por lo tanto,

 v  w ∈S

d _{(vector que}

perte n ece a

S

d _).

Teore m a 2.20. - Sea S un espacio k- dimen sio n al del espacio vectorial

V

_{n sobre GF(2). La dime n sió n del espacio dual (de S)}

S

_{d es n - k.}

d i m

S d i mS

_d

= n

Ejemplo: Conside re el espacio vectorial

V

5 _{sobre GF(2) del ejem plo} 2.11. Los 8 vectore s siguient e s form a n un subes p a cio 3- dimen sio n al S

de

V

5 _.

(00000), (11100), (01010), (10001), (10110), (01101), (11011), (00111).

El espacio nulo

S

d _{de S consiste de los 4 vectore s}

(00000), (10101), (01110), (11011)

genera d o s o expan di d o s por (10101) & (01110), los cuáles son linealme n t e indep e n di e n t e s por lo que la dime n sió n de

S

d

=2

(...MATRICES)

Códigos de Bloque.

Un código de bloque de longitu d n y

2

k

palabra s de código se llama código lineal (n,k), sus

2

k

palabra s de código forma n un subes p a cio k- dime n sio n al del espacio vectorial de toda s las n - tuplas sobre GF(2) (k<n).

Un código de bloque s es lineal si la sum a mód ulo 2 de dos palabra s de código es también una palabra de código.

Es poscible encon t r a r k palabra s de código linealme n t e inde pe n di e n t e s

g

0

, g

1

, ... g

k− 1 _{en C, tal que cada palabra de código}

v

= u

₀

g

₀

 u

₁

g

₁

... u

_{k− 1}

g

_{k− 1}

Si

u

= u

0 ,

u

1,.

.. u

k− 1



_{es el men saje para codificar, la palabra de}

código:

v

= u⋅G

 u

0

, u

1

, ... u

k− 1

⋅ g

0 ,

g

1 ,

... , g

k− 1



T

= u

₀

g

₀

 u

₁

g

₁

... u

_{k− 1}

g

_{k− 1}

Los renglone s de “G” genera n (o expan d e n) el código lineal (n,k) por lo que G: Matriz Genera d o r a de C.

Cualquier k palabr a s de código linealme n t e indep e n di e n t e s de un código lineal (n,k) pue d e n ser usa da s para forma r la matri z genera d o r a de C.

Matrices: A(m x n) =

a

11

.... a

1n _{m renglo ne s X n}

colum n a s

a

m1

.... a

mn

multi. A(m x n)*B(n x p) = C(m x p) Se puede multiplicar si el # de colum n a s de A(n) es igual al # de renglo ne s de B

C

_jk

=

∑

l=1 n

a

_jl

b

_lk ; si

A

= a

j k

 A

T

= a

_{k j}



Ejemplo:

G

=

[

g

₀

g

₁

g

₂

g

₃

]

=

[

1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1

]

ó bien:

G

'

₌

[

1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 0 1

]

genera un código lineal C(7,4)

Si

u

=1 1 0 1

es el men saje para codificar, su palabra de código

v

= 1⋅g

₀

1⋅g

₁

 0⋅g

₂

 1⋅g

_{3 =}

11010000110100101001=0001101

Una pro pie d a d desea ble para un código de Bloques lineal es que tenga una estruc t u r a siste m á tica (k dígitos altera d o s y u - k dígitos de parida d).

[ Parte de verif. redundante][ parte de mensaje]

n

−k...k

n dígitos

Un código lineal siste m á tico (n,k) se especifica comple ta m e n t e por una matriz G( k x n ) de la siguient e form a:

G

=

[

g

₀

g

₁

⋅

⋅

⋅

g

_k−1

]

=

[

P

_0,0

P

_0,1

⋅ ⋅ ⋅

P

_0,n−k−1

∣ 1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0

P

_1,0

P

_1,1

⋅ ⋅ ⋅

P

_1,n−k−1

∣ 0 1 ⋅ ⋅ ⋅ 0

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

∣ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

∣ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

∣ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

P

_k−1,0

P

_k−1,1

⋅ ⋅ ⋅

P

_{k−1,n−k−1}

∣ 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 1

]

=

[

P

_{k ,n−k}

∣

I

_k

]

k n - k k

Ejemplo 3.2. - Dada la matriz G en forma siste m á tica (si no está en esta form a, pued e pone rs e sum a n d o renglone s) sea

u

= u

_{0 ,}

u

_{1 ,}

u

_{2 ,}

u

₃



_{el mens aje y}

v

= v

_{0 ,}

v

_{1 ,}

v

_{2 ,}

v

₃



_{la palabra} código:

v

=

u

_0,

u

_1,

u

_2,

u

₃

⋅

[

1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1

]

Usando multiplicación matricial

v

= u

₀

 u

₂

 u

₃

, u

₀

 u

₁

 u

₂

, u

₁

 u

₂

 u

₃

, u

₀

, u

₁

, u

₂

, u

₃



Para cualquier matriz (k x n) G con k renglone s linealme n t e inde pe n di e n t e s existe una matri z H de ( n - k ) x n eleme n t o s, con n - k renglone s linealme n t e inde pe n d ie n t e s tal que cualquier vector -renglón en G es ortogo n al a los reglone s en H y cualquier vector que es ortogo n al a los renglone s de H está en el espacio de renglone s de G.

Ua n - tupla

v

es una palabra código genera d a por

G

⇔ v⋅H

T

= 0

H: “Matriz verificad o r a de parida d de G”

las

2

n−k

combinacio ne s lineales de renglone s de H forma n un código lineal

C

d

 n , n− k

_.

C

d _{es el espacio nulo de C}

(genera d o por G). Por tanto,

∀ v ∈C y w ∈C

d _,

v

⋅w=0

n

−k

k

H=

[

I_n−k∣PT

]

=

[

1 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 ∣ P_0,0 P_1,0 ⋅ ⋅ ⋅ Pk−1,0 0 1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 ∣ P_0,1 P_1,1 ⋅ ⋅ ⋅ Pk−1,1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∣ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∣ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∣ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 1 ∣ P_0,n−k−1 P_1,n−k−1 ⋅ ⋅ ⋅ P_{k−1,n−k−1}

]

C

_{d es llama d o el código dual de C}

G

⋅H

T

=0

Ejemplo 3.3

Considere el código lineal (7,4) genera d o por

G

=

[

1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1

]

=

[

P

_{k, n−k}

∣

I

_k

]

H

=

[

1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1

]

;

H

T

=

[

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 0

0 1 1

1 1 1

1 0 1

]

=

[

I

n−k

P

_{k , n−k}

]

Por lo tanto para cualquier código de bloque lineal C(n,k), existe una matri z [k x n], cuyo espacio de renglone s pro p o rcio n a C. Adema s existe una matri z H[n- k x n] tal que un código

v

(n- tupla) es un código de

C

⇔ v⋅H

T

Circuito codificado r.

Para el código (7,4) en form a siste m á tica.

Síndrome y detección de errores.

Considere C(n,k) código lineal con matriz genera d o r a

G

 P

k

, I

n−k



_y

Sea

v

= v

0,.

.. v

n− 1



_{palabra s código trans m i ti d a s sobre un canal} ruidos o

r

= r

_0,.

.. r

_{n− 1}



_{vector recibido a la salida del canal y pue d e ser}

≠ v

debido al ruido en el canal.

Vector de error:

e

= r v =e

0

, ... e

n−1

 ei

=1

_{para todo}

r

_i

≠v

_i

por lo que

r

=v e

(El recep t o r no conoce

v n i e

).

Al recibir “

r

”, el decodifica d o r debe deter mi n a r si

r

contiene errores de tx. Si detecta la prese ncia de errore s, el deco dificad o r pued e:

– localizar los errore s y corregisrlo s (FEC).

– pedir una retra n s m i sió n de

v

(ARQ).

Al recibir

r

, el deco dificad o r calcula la (n- k)- tupla:

“Síndro m e”:

s

= r⋅H

T

=s

₀

, s

₁

, ... , s

_{n− k− 1}



por lo que si

s

= 0

“

r

” es una palabra de código (sin error). si

s

≠ 0

“

r

” no es una palabra de código (hay error).

Es posible que

s

= 0

y aún así haya errores – errores no detecta bles.

e

=

_{palabra de código (mas de un error en general) por lo que los} “Patro ne s de error no - detecta bles” implican “Error de deco dificación” existe n

2

k