1. Formulario y Ejercicios Teoría de Exponentes - 4to Sec

(1)

Potencia de Potencia:

Potencia de Potencia: Es igual a una potencEs igual a una potencia de laia de la misma base, cuyo exponente resulta de multiplicar los misma base, cuyo exponente resulta de multiplicar los exponentes iniciales.

exponentes iniciales. [4]

[4] .. mm nn a a nn m m

Si se tiene una potencia cuyo exponente es el producto Si se tiene una potencia cuyo exponente es el producto de dos o más factores, se determina que

de dos o más factores, se determina que proviene deproviene de la “Potencia de Potencia” la “Potencia de Potencia” [5] [5] n n

m

b

Potencia de Exponentes:

Potencia de Exponentes: se resuelven las potencias se resuelven las potencias d

de e 2 2 en en 2 2 y y dde e ararrriibba a aabbaajjoo; ; sse e ddiifeferreenncciiaan n dde e llaa “Potencia de Potenc

“Potencia de Potenc ia” en que ia” en que los exponentes los exponentes no estánno están separados mediante signos de colección (paréntesis, separados mediante signos de colección (paréntesis, corchetes, llaves) corchetes, llaves) [6] [6] .. .. .. .. m m nn a a aa n n nn nn n n a a bb cc aa bb cc ;; . . .. .. .. .. .. .. .. .. n n nn nn nn q q rr pp qq rr n pn p nn qq nn rr a a bb cc aa bb cc aa bb cc

Potencia del Producto de dos o más Factores: Potencia del Producto de dos o más Factores: EsEs igual al producto de sus factores, cada uno afectado igual al producto de sus factores, cada uno afectado del exponente inicial.

del exponente inicial. [7]

[7] nn aa b.. ..b cc n n

El producto de dos o

El producto de dos o más potencias de diferente base,más potencias de diferente base, pero con exponentes iguales, es equivalente a otra pero con exponentes iguales, es equivalente a otra p

pootteenncciia a ccuuyya a bbaasse e ees s eel l pprroodduucctto o dde e llaas s bbaasseess iniciales y cuyo exponente es el exponente común a iniciales y cuyo exponente es el exponente común a las primeras

las primeras (Proviene de la “Potencia del(Proviene de la “Potencia del Producto de dos o más Factores”)

Producto de dos o más Factores”) [8] [8] mm m-m- nn n n a a = = aa a a ;; m m nn mm--nn a a aa == aa

División de Potencias con Bases Iguales:

División de Potencias con Bases Iguales: Es Es iguigualal a otra potencia con la misma base, cuyo exponente a otra potencia con la misma base, cuyo exponente resulta de restar los exponentes iniciales.

resulta de restar los exponentes iniciales. [9]

[9] a a 00

1

Potencia con Exponente Nulo:

Potencia con Exponente Nulo: Todo término con Todo término con exponente cero, es igual a la unidad, siempre que la exponente cero, es igual a la unidad, siempre que la base sea diferente de cero.

base sea diferente de cero. [10] [10] == 11 == 11 ; ; :: == == n n nn n n _n_n n n n n n n a a bb b b a a ttaammbbiiéénn a

a _a_a bb a a _a_a

Potencia con Exponente Negativo:

Potencia con Exponente Negativo: Toda potencia Toda potencia co

con n exexpoponenentnte e nenegagatitivo vo es es igiguaual l a a la la ininveversrsa a dde e lala base, afectado del mismo exponente, PERO, positivo. base, afectado del mismo exponente, PERO, positivo. [11] [11] == n n n n n n a a a a b b _b_b ;; n n _n_n _n_n a a bb aa bb

Potencia de una Fracción:

Potencia de una Fracción: El exponente afecta tanto El exponente afecta tanto al numerador como

al numerador como al al denomdenominadoinador. r. TambiéTambién n llamadallamada

convi

convierte en el erte en el radicaradicando;ndo; e

el l ddeennoommiinnaaddoor r ddeel l eexxppoonneenntte e y y e le l

El radical El radical

q

quue e sse e rreeppiitte e een n lloos s rraaddiiccaalle se s (Proviene del “Radical del (Proviene del “Radical del

El

El raradidicacal l afeafectcta a tatantnto o alal “Radical de una “Radical de una

dos o

dos o más radicales con igual índice, esmás radicales con igual índice, es q

quue e sse e rreeppiitte e een n lloos s rraaddiiccaalle se s (Proviene del “Radical de (Proviene del “Radical de también llamado

también llamado “Radical de una “Radical de una

Es igua

Es igual l a a un solo radun solo radicaical l cuycuyoo

. . nn.. n n

a b c

un radical donde la base se un radical donde la base se ssu u íínnddiicce e ees s

numerador se convierte en el exponente del radicando. numerador se convierte en el exponente del radicando. [14]

[14] n n

a b

a

.. ..

b c

c

.. ..

b c

c

El producto de dos o más radicales con igual índice, es El producto de dos o más radicales con igual índice, es equivalente a un solo radical cuyo índice es el índice equivalente a un solo radical cuyo índice es el índice ccoommúún n ((eel l íínnddiicce e

iniciales) y su radicando es el producto de los iniciales) y su radicando es el producto de los radicandos iniciales

radicandos iniciales

Producto de Varios Factores”) Producto de Varios Factores”) [16] [16]

=

n n n n n n

a

b

_b

;;

=

n n

_a

_b

nn

_a

n n

_b

Radical de una Fracción: Radical de una Fracción:

numerador, como al denominador. (Si estuviera numerador, como al denominador. (Si estuviera indicada como una división, se diría:

indicada como una división, se diría: División o Cociente”

División o Cociente”: : eel l rraaddiiccaal l aaffeecctta a tta na ntto o a la l dividendo, como al divisor.)

dividendo, como al divisor.) [17] [17]

=

n n n n n n

a

b

;; n n

_a

nn

_b

n n

_a

_b

La divisi La división de ón de

equivalente a un solo radical cuyo índice es el índice equivalente a un solo radical cuyo índice es el índice ccoommúún n ((eel l íínnddiicce e

iniciales) y su radicando es el cociente o la división de iniciales) y su radicando es el cociente o la división de los radicandos iniciales

los radicandos iniciales una Fracción”, una Fracción”, División o Cociente”) División o Cociente”) [18] [18] .. ..

m

m n

n p

p

m

m n

n

a

Radical de Radical: Radical de Radical:

índice es el producto de los índices iniciales. índice es el producto de los índices iniciales.

Ecuaciones Exponenc

Ecuaciones Exponenciales

tal caso se “cancelan” los exponentes.

Lic

(2)

(3)

NOMBRES Y APELLIDOS:

NOMBRES Y APELLIDOS: FECHA:FECHA:

AULA:

AULA: GRADO: 4TOGRADO: 4TO NIVEL: SECUNDARIANIVEL: SECUNDARIA ASIGNATURA: ÁLGEBRA

ASIGNATURA: ÁLGEBRA ÁREA: MATEMÁTICAÁREA: MATEMÁTICA PROFESOR:PROFESOR:

1. 1. Reducir:

Reducir:

2 2 2 2 2 2

45

45 ..

35

49

49 ..

25

25 ..

15

15 M

M

========

a)

3

11 b)

b)

2

11 c)

c)

9

11 d)

d)

5

11 e)

e) 5

5

2. 2. Simplificar:

Simplificar:

4 4 n n 3 3 n n 4 4 n n

2

2 N

N

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +++ + + − − − −−− − − = = = === = =

a)

a) 2

2 b)

b) 3

3 c)

c) 1/3

1/3

d)

d) 1/2

1/2

e)

e) 1/5

1/5

3. 3. Calcular:

Calcular:

11 3 3 8 8 25 25

32

32 F

F

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = = = = = = = =

a)

a) 1

1 b)

b) 2

2 c)

c) 3

3 d)

d) 4

4 e)

e) 5

5

4. 4. Efectuar:

Efectuar:

37 37 7 7 5 5 3 3 40 40 10 10 8 8 6 6 4 4

x

...

x

..

x

..

x

..

x

...

x

..

x

..

x

..

x

M

========

a) x

6060

_{b) x}

5454

_{c) x}

5757

d) x

6363

e) x

5151

5. 5. Simplificar:

Simplificar:

11 4 4 11 11 3 3 11 11 2 2 11

4

11

3

11

2

11 N

N

− − − − − − − −                           − − − − − − − − − − − − − − − −                           − − − −−− − − − − − − − − − −                           − − − − − − − −





























+ + + +++ + +





























+ + + + + + + +





























= = = === = =

a)

a) 287

287 b)

b) 281

281 c)

c) 235

235 d)

d) 123

123 e)

e) 435

435

6. 6. alle el exp!"e"te fi"al de #x$.

alle el exp!"e"te fi"al de #x$.

7. 7. Si:

Si:

x

xxxx ========

2

2 Calcular:

Calcular:

_P

₌₌₌₌₌₌₌₌

_x

xxxx++++++++xxxx

a)

a) 2

2 b)

b) 1/2

1/2

c)

c) 4

4 d)

d)

2

2 e)

e)

44

2

8. 8. Si:

Si:

2

11 aa

5

5 b

b

aa ======== ∧∧∧∧∧∧∧∧ −−−−−−−−bb ========

Calcular:

11 aa b b

aa

R

+ + + + + + + + = = = === = =

a)

a) 3%

3%

b)

b) 32

32 c)

c) 34

34 d)

d) 35

35 e)

e) 33

33 &.

&. Calcular:

Calcular:





























+ + + ++++ + = = = = = = = = 7 7 60 60 50 50 2 2

7

42

49

49 ..

7

7 ..

7

7 E

E

a) 6

5050

b) 7

5454

c) 7

5555

d) 7

4141

e) 1

1%.

Si: 2

nn

' 3

mm

( reducir:

11 m m 2 2 3 3 m m n n 2 2 11 n n n n 2 2

3

3 ..

2

3

2

2 ..

3

2

2 ..

5

5 L

L

+ + + +++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − −−− − − − − − − − − − − + + + + + + + + = = = = = = = =

a)

a) 3/4

3/4

b)

b) 4/3

4/3

c)

c) 6/5

6/5

d)

d) 2/&

2/&

e)

e) 7/5

7/5

11.

11. Si:

Si:

3

3 x

x

11 x

x

++++++++ ========

( allar el al!r de:









































+ + + + + + + +









































+ + + +++ + + = = = === = =                                                     x x x x 11 x x 11 x x

x

11 x

x

11 x

x

W

a)

a) 18

18 b)

b) 21

21 c)

c) 15

15 d)

d) 2%

2%

e)

e) 24

d) x

m+n-mnm+n-mn

e) ! e puede

14. 14. Si: "

Si: "

nn

' 1/&.

allar:

                          − − − −−− − − = = = = = = = = n n 2 2 5 5

n

E

a)

a) 243

243 b)

b) 81

81 c)

c) 1/81

1/81

d)

d) 1

1 e)

e) 72&

72&

15.

15. Calcular:

Calcular:

2 2 b b 2 2 aa b b 2 2 aa 2 2 aa

16

16 ..

8

4

4 ..

2

2 P

P

+ + + + + + + + − − − −−− − − + + + + + + + + + + + + + + + + = = = = = = = =

a)

a) 1

1 b)

b) 2

2 c)

c) 4

4 d)

d) 1/2

1/2

e)

e) 1/4

1/4

16.

16. Reducir:

Reducir:

_N

₌₌₌₌₌₌₌₌3 223

_aa

_..

44

_aa

33

_..

_aa

55

a)

1212

aa

4747

b) a

46/1246/12

c)

aa

33 1212 11

aa

11

d) a

1111

e) a

4747

17.

17. Reducir:

Reducir:

8 8 72 72 ₃₃ 24 24 ₃₃ 24 24 ₂₂ 24 24 ₃₃ 2 2 3 3 44

7

3

7

7 ..

2

7

7 M

M

======== −−−−−−−− −−−−−−−− ++++++++

a)

a) %

%

b)

b) 1

1 c)

c) 2

2 d)

d) 4

4 e)

e) .+.

.+.

18.

18. Reducir:

Reducir:

aa aa aa

2

11

2

11 R

R

− − − − − − − − + + + + + + + + + + + + + + + + = = = = = = = =

a)

a) 1

1 b)

b) 2

2 c)

c) 3

3 d)

d) 4

4 e)

e) 5

5 1&.

1&.

Calcular:

b b aa ₂₂_b_b b b aa ₂₂_aa

7

21

7

−−−−−−−− − − − −−− − −

2%.

Calcular:

3 3 11 5 5 3 3 3 3 11

))

32

32 ((

64

64 &

&

− − − −−− − − − − − − − − − − − − − − − − − −













− − − −−− − − + + + +++ + + = = = === = =

a)

a) %

%

b)

b) 1

1 c)

c) 2

2 d)

d) 3

3 e)

e) 4

4

21.

21. Calcular:

Calcular:

3 3 ₂₂ 44 ₃₃ 33 ₇₇ 55 ₄₀₄₀

2

2 '

4

4 d)

d)

2

33

2

2 e)

e) 1

1

22.

22. Efectuar:

Efectuar:

11 3 3 ac*+es ac*+es 44 44 ac*+es ac*+es 45 45 3 3 3 3 3 3

x

...

x

..

x

...

x

..

x

!

− − − − − − − − − − − − − − − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = = === = =                                        

a) x

66

b)

b) x

x

c)

c) x

x

99

d) x

-4-4

e) x

-7-7

23.

23. Calcular:

Calcular:

nn _n_nnn nn_n_n

3

7

3

7

7 %

%

− − − − − − − − − − − −−− − − + + + +++ + + + + + +++ + + = = = === = =

a)

a) 7

7 b)

b) 3

3 c)

c) 21

21 d)

d) 1/7

1/7

e)

e) 1/3

1/3

24.

24. Simplificar:

Simplificar:

nn22 2 2 n n 2 2 n n 2 2 n n 2 2 n n

15

25

6

10

10 &

&

− − − −−− − − − − − −−− − − = = = === = =

a)

a) %02

%02

b)

b) %04

%04

c)

c) %06

%06

d)

d) %08

%08

e)

e) 104

104

5 5

(5)

26.

26. Si: a

Si: a

' a  1

Calcular el al!r de:

aa aa aa

₍₍

_aa

₁₁

₎₎

((aa 11))

E

++++++++ + + + + + + + + = = = = = = = =

a) a

aa

b)

b) a

a

c)

c) a

a

a-1a-1

d) a

a+1a+1

e) a

-a-a

27.

27. Sabie"d! *ue:

Sabie"d! *ue:

b

aa

11 b

b

11 aa

11

+ + + + + + + + = = = === = = + + + + + + + +

Reducir:

aa b b b b aa b b aa b b aa

x

N

































+ + + +++ + +

































= = = === = = + + + + + + + + + + + +++ + +

a)

a) x

x

b)

b) 2x

2x

c)

c) x/2

x/2

d)

d) x

x

e)

e) x/4

x/4

28.

28. Reducir:

Reducir:

...

x

..

x

..

x

..

x

W

======== 66 1212 2020

a)

a) 1/x

1/x

b)

b) %

%

c)

c) 2/x

2/x

d)

d) x

x

e)

x

2&.

Simplificar:

= = = === = =

a)

a) 1

1 b)

b) x

x

c)

c) 2x

2x

d)

d) 3x

3x

e)

e) %

%

3%.

"di*ue el exp!"e"te fi"al de #x$ al

reducir:

n n _n_n ₁₁ nn _n_n ₂₂ nn ₂₂_n_n ₃₃ nn ₁₉₁₉_n_n ₂₀₂₀

x

...

x

E

−−−−−−−− −−−−−−−− −−−−−−−− −−−−−−−− = = = === = =

a) "

2020

b) "

2020



 2%

2%

c)

20 20 20 20

n

20

20 n

n

−−−−−−−−

d) "

2020



 1

1 e)

e) 1

1

x x 25 25 3 3 x x 5 5 −−−−−−−−

32.

32. Re!ler: 81

Re!ler: 81

' &

a)

a) 1

1 b)

b) 2

2 c)

c) 4

4 d)

d) 5

5 e)

e) 3

3

33.

33. allar #x$ e":

allar #x$ e":

8

33xx ========33

2

99xx

a)

a) 2

2 b)

b) 4

4 c)

c) 3

3 d)

d) 1

1

e)

e) 3/4

3/4

34.

34. Re!ler:

Re!ler:

                      veces veces )) 2 2 n n (( veces veces n n

4

4 ...

...

4

4 ..

4

8

8 ...

...

8

8 ..

8

8 ..

8

+ + + + + + + + = = = === = =

a)

a) 4

4 b)

b) 2

2 c)

c) 8

8 d)

d) 8

8

e)

e) 2

2

35.

35. Re!ler: 2

Re!ler: 2

xx

. 2

3x-53x-5

. 2

5x-95x-9

' 2

55

a)

a) 1

1 b)

b) 2

2 c)

c) 1&/&

1&/&

d)

d) 3

3 e)

e) 6

6

36.

36. Re!ler: 2

Re!ler: 2

x+5x+5

 2

x+4x+4

 2

x+3x+3

' 28

a)

a) 2

2

b)

b) 1

1

c)

c) 1

1 d)

d) 2

2 e)

e) 3

3

37.

37. Re!ler: 3

Re!ler: 3

x-1x-1

 3

x-2x-2

' 1%8

a)

a) 3

3 b)

b) 5

5 c)

c) &

&

d)

d) 7

7 e)

e) 1/5

1/5

38.

38. Re!ler:

Re!ler:

xx 33

9

4

4 x

x

========

a)

a) 2/3

2/3

b)

b) 2

2 c)

c) 3/2

3/2

d)

d) 4

4 e)

e) 5/2

5/2

(6)

” ”

4%.

Re!ler:

x

22

4

2 2 x x x x ++++++++ ₌₌₌₌₌₌₌₌

a)

a) 2

2 b)

b) 4

4 c)

c)

2

2 d)

d) 2

2

e)

e) 4

4

41.

41. Re!ler:

Re!ler:

_x

xx1818 ₌₌₌₌₌₌₌₌66

₃

a)

a) 2

2 b)

b)

2

2 c)

c)

3

3 d)

d)

66

3

3 e)

e)

1818

3

42.

42. Re!ler:

Re!ler:

3 3 5 5 3 3 20 20 x x

₅

x

========

a)

1515

5

5 b)

b)

55

15

15 c)

c)

55

5

5 d)

d)

1515

15

15 e)

e) 5

5

43.

43. Re!ler:

Re!ler:

x

2

x x 2 2 2 2 ₌₌₌₌₌₌₌₌ − − − − − − − − − − − − − − − −

Calcular:

E

======== xx

x

a)

a) 1/4

1/4

b)

b) 1/4

1/4

c)

c) 1/2

1/2

d)

d) 1/2

1/2

e)

11 ,,

2

44.

44. Re!ler: x  2 ' 6x

Re!ler: x  2 ' 6x

4-x4-x

a)

a) 4

4 b)

b) 7/2

7/2

c)

c) 3/2

3/2

d)

d) 2

2 e)

e) 1

1

45.

45. Re!ler:

Re!ler:

x

4

4 x

x

2

2 x

x

11

3

x x 2 2 + + + + + + + + = = = === = =





























a)

a) 1/4

1/4

b)

b) 1/3

1/3

c)

c) 1/2

1/2

d)

d) 1/16

1/16

e)

e) 2

2

46.

46. allar #x$ e":

allar #x$ e":

27

xx44 ========

9

2424

a)

a) 2

2 b)

b) 4

4 c)

c) 6

6 d)

d) 8

8 e)

e) 1%

1%

47.

47. Re!ler: 125

Re!ler: 125

x-3x-3

' 25

2x+12x+1

48.

48. allar #"$ i:

allar #"$ i:

_b

nn

_..

44

_b

nn ₌₌₌₌₌₌₌₌

_b

2727

a)

a) 12

12 b)

b) 24

24 c)

c) 36

36 d)

d) 1%

1%

e)

e) &

&

4&.

allar #x$ e":

2727xx 11 x x 9 9 3 3

125

5

− − − − − − − − = = = = = = = =

a)

a) 1

1 b)

b) 2

2 c)

c) 3

3 d)

d) 4

4 e)

e) 2/3

2/3

5%.

Re!ler: 3

2x-12x-1

. 3

x-2x-2

. 3

3x+73x+7

' 27

a)

a) 1/2

1/2

b)

b) 1/3

1/3

c)

c) 1/6

1/6

d)

d) 1/5

1/5

e)

e) 1/7

1/7

51.

51. Re!ler: 3

Re!ler: 3

x+4x+4

 3

x+2x+2

 3

xx

' 273

a)

a) 1

1 b)

b) 2

2 c)

c) 3

3 d)

d) 4

4 e)

e) 5

5

52.

52. Re!ler: 2x)

Re!ler: 2x)

xx

' 2

1212

a)

a) 1

1 b)

b) 2

2 c)

c) 3

3 d)

d) 4

4 e)

e) 5

5

53.

53. Si: 4

Si: 4

xx

 4

x-1x-1

' 24

Calcular el al!r de:  ' 2x)

2x2x

a)

a) 5

5 b)

b) 5/2

5/2

c)

c) 5/2)

5/2)

5/25/2

d) 5

55

e) 5

-1-1

54.

54. Calcular el al!r de #x$ e":

Calcular el al!r de #x$ e":

0

0 --

5

4

x x 4 4 256 256 ₌₌₌₌₌₌₌₌ − − − − − − − −

a)

a) 3/2

3/2

b)

b) 2/3

2/3

c)

c) 2/3

2/3

d)

d) 2/5

2/5

e)

e) 3/2

3/2

2 2 6 6