probabilidad_fallo curso

(1)

ESTUDIO DE ESTABILIDAD DE OPEN PTIS POR

MÉTODOS PROBABILÍSITCOS

Dr. MIGUEL RODRÍGUEZ - [email protected]

Servicios Técnicos de Ingeniería Minera y Medioambiental stimma – Universidad de Oviedo

(2)

Índice

1. Distribución de frecuencias. Representaciones gráficas y parámetros estadísticos

2. Teoría de probabilidades

3. Funciones de densidad y distribución

4. Distribución de probabilidades de variable discreta

5. Distribución de probabilidades de variable continua

6. Teoría de la estimación

7. Contraste de hipótesis

(3)

8. Criterios de estabilidad

9. Rotura plana

8.1 Cono de fricción

8.2 Estudio estadístico mediante el software DIPS ©

8.3 Estudio estadístico mediante el software ROCPLANE ©

10. Rotura en cuña

9.1 Identificación de cuñas inestables

9.2 Estudio estadístico mediante el software SWEDGE ©

11. Toppling

12. Estudio estadístico en base al mapeo del Pit

Índice

(4)

Recomendaciones

(5)

Recomendaciones

(6)

1. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.

REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y PARÁMETROS

ESTADÍSTICOS

(7)

Se denomina población estadística al conjunto de todos los individuos que son objeto de estudio.

Se denomina muestra a cualquier subconjunto de la población.

Se denomina unidad estadística a cada uno de los elementos de la población.

Distribuciones de frecuencias

Unidades estadísticas Universidad de Oviedo

(8)

Distribuciones de frecuencias

Variables estadísticas

Cada individuo de una población se puede estudiar según uno o varios caracteres, que pueden ser cualitativos o cuantitativos.

Un carácter cuantitativo es medible y, por lo tanto sus modalidades son valores numéricos. Al conjunto de los posibles valores numéricos se le conoce con el nombre de variable estadística.

Una variable estadística se dice que es discreta cuando sólo puede tomar un número fijo de valores aislados.

Una variable estadística es continua cuando sus posibles valores pueden ser, en principio, cualesquiera en un intervalo.

(9)

Distribuciones de frecuencias

Variables estadísticas

Para estudiar una variable estadística continua se definen

clases que no son otra cosa que intervalos en los que se van agrupando los datos.

A cada límite del intervalo que define una clase se le llama

límite de clase inferior y superior.

Al punto medio de cada clase se le llama marca de clase. A la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de

(10)

Distribuciones de frecuencias

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

Se denomina frecuencia absoluta de cada modalidad x_i, para i=1, 2, …,k, al número de individuos que pertenecen a dicha modalidad en la muestra seleccionada. La identificaremos por f_i. El cociente entre cada f_i y el número de elementos de la muestra (N) se denomina frecuencia relativa. Lo llamaremos h_i.

Además se cumple: N f h_i  i N f k 1 i i 



 1 h k 1 i i 



 Universidad de Oviedo

(11)

Distribuciones de frecuencias

Se llama distribución de frecuencias a una tabla que contiene cada una de las modalidades del carácter estudiado con su frecuencia absoluta.

Modalidad del carácter Frecuencia absoluta

x₁ x₂ x₃ x₄ …….. x_k f₁ f₂ f₃ f₄ …….. f_k Total N Universidad de Oviedo

(12)

Profesiones Número trabajadores Ciencias Económicas Farmacia Ingeniería Abogado Medicina Letras 4 8 2 10 11 8 7 N = 50

Distribuciones de frecuencias

Ejemplos

Número de hijos Número de familias

0 1 2 3 4 8 6 11 4 1 N = 30

Estatura en cm Número personas

150 - 160 160 – 170 170 – 180 180 - 200 3 12 21 4 N = 40 Universidad de Oviedo

(13)

Distribuciones de frecuencias

Representaciones gráficas

Gráfico circular o de sectores

Profesiones Número trabajadores Ángulos centrales Ciencias Económicas Farmacia Ingeniería Abogado Medicina Letras 4 8 2 10 11 8 7 28o _48´ 57o _36´ 14o _24´ 72o _00´ 79o _12´ 57o _36´ 50o _24´ N = 50 360o

Ángulo central para “Ciencias”: 360 28 48´

50 4  o  o Número de trabajadores Ciencias Económicas Farmacia Ingeniería Abogado Medicina Letras Universidad de Oviedo

(14)

Distribuciones de frecuencias

Diagrama de barras

Se disponen una serie de barras rectangulares de altura igual o proporcional a la frecuencia absoluta de cada modalidad.

Número de hijos Número de familias

0 1 2 3 4 8 6 11 4 1 N = 30 ₀ 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 Número de hijos Número de familias Universidad de Oviedo

(15)

Distribuciones de frecuencias

Histogramas y polígonos de frecuencias

Estas representaciones solo son válidas para el caso de variables continuas.

El histograma consiste en una serie de rectángulos de base igual a cada tamaño de clase y área proporcional a la frecuencia de clase.

Según esto, mientras en el diagrama de barras se interpreta por alturas, el histograma de frecuencias ha de interpretarse por áreas.

Uniendo los puntos medios de las bases superiores de los

(16)

Distribuciones de frecuencias

Histogramas y polígonos de frecuencias

Estatura en cm Número personas

150 - 160 160 – 170 170 – 180 180 - 200 3 12 21 4 N = 40 0 5 10 15 20 25 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 Estatura en cm Número personas Universidad de Oviedo

(17)

Distribuciones de frecuencias

Parámetros estadísticos Clasificación Parámetros estadísticos De centralización Moda Mediana Media Momentos De dispersión Desviación media Varianza Desviación típica Momentos centrados Universidad de Oviedo

(18)

Distribuciones de frecuencias

Parámetros estadísticos de centralización

Moda

Se llama moda al valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta.

En el caso de variable continua se identifica en primer lugar la clase modal. Posteriormente se obtiene la moda aplicando la siguiente expresión:

L_i: Límite inferior de la clase modal. c: Amplitud de los intervalos.

D₁: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la de la clase anterior. D₂: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la de la clase siguiente.

2 1 1 i o D D D c L M     Universidad de Oviedo

(19)

Se denomina mediana al valor de la variable que divide a la muestra en dos partes con el mismo número de elementos, suponiendo los datos ordenados de menor a mayor.

En el caso de variable continua se identifica en primer lugar la clase mediana. Posteriormente se obtiene la moda aplicando la siguiente expresión:

L_i: Límite inferior de la clase modal. c: Amplitud de los intervalos.

N: Número total de datos.

F_i-1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana.

Distribuciones de frecuencias

Mediana i 1 i i f F 2 N c L M      Universidad de Oviedo

(20)

Distribuciones de frecuencias

Media

Dada una variable discreta x con la siguiente distribución de frecuencias dadas por la siguiente tabla:

se llama media de la variables x a:

x f x₁ x₂ x₃ …….. x_k f₁ f₂ f₃ …….. f_k



  _ _   k 1 i i i k 1 i i i x h N x f x Universidad de Oviedo

(21)

Distribuciones de frecuencias

Parámetros estadísticos de dispersión

Desviación media

Dada una variable discreta x con valores x₁, x₂, …, x_k, y frecuencias respectivas f₁, f₂, …, f_k, se llama desviación media a: N x x f DM k 1 i i i



    Universidad de Oviedo

(22)

Distribuciones de frecuencias

Parámetros estadísticos de dispersión

Varianza y desviación típica

Dada una variable discreta x con valores x₁, x₂, …, x_k, y frecuencias respectivas f₁, f₂, …, f_k, se llama Varianza:

Así mismo, se llama desviación típica a la raíz cuadrada positiva de la varianza.





N x x f var k 1 i 2 i i



    Universidad de Oviedo

(23)

Distribuciones de frecuencias

Otros parámetros estadísticos

Momentos centrados y no centrados

Dada una variable discreta x con valores x₁, x₂, …, x_k, y frecuencias respectivas f₁, f₂, …, f_k, se llama momento no centrado de orden r, y lo denotaremos por _r a:

Así mismo, se llama momento centrado o momentos respecto a la media, de orden r, y lo denotaremos por _r a:

N x f k 1 i r i i r



   



x



f

k _r i i







Universidad de Oviedo

(24)

Ejemplo 1

Dada la distribución de frecuencias que se muestran en la tabla adjunta, correspondientes a la fricción de una familia de diaclasas cerradas, se pide determinar mediana, moda, varianza, desviación típica y porcentaje de juntas con fricción perteneciente al intervalo (media  desviación típica).

 (o₎ _f 27 28 29 30 31 32 33 1 3 2 8 3 2 1 Universidad de Oviedo

(25)

Ejemplo 2

Dada la distribución de frecuencias que se muestran en la tabla adjunta, correspondientes a la resistencia a compresión simple de una caliza, se pide determinar mediana, moda, varianza, desviación típica y porcentaje de muestras con resistencia comprendida entre la media y  desviación típica).

_c (MPa) f 55 - 60 60 – 65 65 – 70 75 – 80 80 – 85 85 - 90 2 4 9 10 3 1 Universidad de Oviedo

(26)

2. TEORÍA DE PROBABILIDADES

(27)

Se denomina Espacio muestral, y lo denotaremos por E, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Se denomina Suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. En particular el conjunto vacío es un suceso que se denomina imposible, y el propio espacio muestral es un suceso que se denomina suceso seguro.

Teoría de probabilidades

Espacio muestral Universidad de Oviedo

(28)

Teoría de probabilidades

Axiomas de probabilidad

Axioma 1: A cada suceso A se le asigna un número llamado probabilidad de A, P(A), tal que:

Axioma 2: La probabilidad del espacio muestral es 1.

Axioma 3: La probabilidad del suceso imposible es 0. 1 ) A ( P 0   1 ) E ( P  1 ) ( P   Universidad de Oviedo

(29)

Teoría de probabilidades

Axiomas de probabilidad Axioma 4: Axioma 5: ) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P      E A B

 

A 1 P

 

A P   Universidad de Oviedo

(30)

Teoría de probabilidades

Probabilidad condicionada

Dado un suceso A, con P(A) > 0, se llama probabilidad de B condicionada por A, a la probabilidad de que ocurra B supuesto que ha ocurrido A, y lo denotaremos por P(B/A).





) A ( P B A P ) A / B ( P  



A B

  

P A P(B/A) P    A Espacio muestral B E A  B Universidad de Oviedo

(31)

Teoría de probabilidades

Sucesos independientes

Se dice que un suceso B es independiente de otro A, o que A y B son independientes, cuando P(B) = P(B/A).

Si A y B son independientes, entonces:

Si tenemos k sucesos, entones:



A B

  

P A P(B)

P   



A₁ A₂ ... A_k

   

P A₁ P A₂ /A₁

 

P A₃ /A₁ A₂



... P



A_k /A₁ A₂ ... A_k ₁



P             _

(32)

Teoría de probabilidades

Teoremas de la probabilidad total y de Bayes

Dados n sucesos A₁, A₂, …, A_n que forman una partición de E, tales que:

y B cualquier suceso para el que se conoce P(B/A_i), i=1, 2, …, n. Si se conocen además P(A_i) i=1, 2, …, n, se puede calcular lo siguiente:      j i n 2 1 A A E A ... A A j i     E A₁ A₄ A₅ A₃ A₂ A_n B  



   n 1 i i i) P B/A A ( P ) B ( P      



    _n i i i i i A / B P ) A ( P A / B P A P ) B / A ( P Universidad de Oviedo

(33)

Teoría de probabilidades

Combinatoria

Dados m objetos, se denominan variaciones de orden n de estos m objetos a los grupos ordenados de n de los m objetos dados, de tal forma que dos variaciones son distintas si tienen algún elemento distinto o si, teniendo los mismos, éstos están colocados en distinto orden:



m 1

 

m 2



...



m n 1



m

V_m_,_n         

Dados m objetos, se denominan combinaciones de orden n de estos m objetos a los distintos conjuntos que se pueden formar eligiendo n de los m objetos dados, de forma que dos combinaciones son distintas si contienen al menos un elemento distinto:

 

(34)

Teoría de probabilidades

Combinatoria

Se denominan permutaciones de m elementos a las distintas formas en que se pueden ordenar los m elementos. Coincide con las variaciones de m objetos de orden m :

! m P_m 

Variaciones con repetición: Se definen de manera análoga a las variaciones ordinarias con la única diferencia de que en los grupos ordenados de n de los m objetos que dan lugar a las variaciones con repetición, éstos pueden aparecer repetidos: n n m m VR  Universidad de Oviedo

(35)

Teoría de probabilidades

Combinatoria

Se definen combinaciones con repetición de orden n a los grupos de n objetos de entre m y pudiendo ser distintos o repetidos, de forma que las combinaciones serán iguales sólo cuando tengan los mismos objetos repetidos el mismo número de veces:           _ _ n 1 n m C CRn_m _m _n ₁_,_n

Dados m objetos, de los cuales h₁ son iguales entre sí, h₂ iguales entre sí. …, h_k iguales entre sí, se denominan

permutaciones con repetición de esos m objetos a las distintas formar de ordenarlos:

(36)

Ejemplo 3

En una zona de un open pit se encuentran tres familias de discontinuidades, A, B y C, por las que podría desarrollarse un deslizamiento planar. En dicha zona las frecuencias medias de dichas juntas son 3, 2 y 1 juntas/m respectivamente.

Una vez realizado el análisis de estabilidad planar para cada una de las familias, se ha obtenido que las probabilidades de fallo son 1/10, 1/15 y 1/12, respectivamente. Se pide:

1) Calcular la probabilidad de que se produzca un deslizamiento planar en dicha zona del pit.

2) Habiendo ocurrido un deslizamiento plano, calcular la probabilidad de que haya sido por la discontinuidad A.

3) Sabiendo que en dicha zona del pit no se ha registrado ningún deslizamiento planar, calcular la probabilidad de que se produzca un deslizamiento planar por la discontinuidad A.

(37)

3. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN

(38)

Funciones de densidad y distribución

Dada una variable aleatoria , la función de distribución de  asigna a cada número real x la probabilidad acumulada hasta dicho valor. Es decir:

Función de distribución. Propiedades

Propiedades de la función de distribución:

1 ) x ( F 0 : R x   



a b

    

F b F a P : b a       

La función de distribución es continua por la derecha en todo punto.



x



P ) x ( F : R x     Universidad de Oviedo

(39)

Funciones de densidad y distribución

Función de densidad de una variable discreta

Dada una variable aleatoria , que puede tomar los valores x₁, x₂, …, x_n, se denomina función de densidad o cuantía de  a la función f(x) que asigna a cada valor de la variable la probabilidad de que ocurra. Es decir:



_i



i) P x

x (

f   

Propiedades de la función de densidad:

1 ) x ( f 0 : x_i  _i  



n f(x_i) 1 Universidad de Oviedo

(40)

Funciones de densidad y distribución

Función de densidad de una variable continua

Se dice que f(x) es una función de densidad de probabilidad

o simplemente una función de densidad de la variable  continua, si se verifica:

 





_

 



            b a dx x f b x a P 1 dx x f 0 x f : R x Universidad de Oviedo

(41)

Funciones de densidad y distribución

Relación función de densidad y distribución

Variable continua

 

x F

 

x f dx x f x F x    



  Variable discreta

 

     

j j j 1 j 1 i i j x F x F x f x f x F     



(42)

Funciones de densidad y distribución

Esperanza matemática

Variable discreta

Sea  una variable aleatoria discreta con valores x₁, x₂, …, x_n y probabilidades p₁, p₂, …, p_n. Considerando una función real g() definida para los valores x₁, x₂, …, x_n, se define la esperanza matemática de g(), y se denota por E[g()], como sigue:

 

 

_

 

    n 1 i i i p x g g E Variable continua

Si la variable aleatoria  es de tipo continua, se define como sigue:

 

 

_



   

      g x f x dx g E Universidad de Oviedo

(43)

Funciones de densidad y distribución

Varianza y desviación típica

Variable discreta

Sea  una variable aleatoria discreta con valores x₁, x₂, …, x_n y probabilidades p₁, p₂, …, p_n. La varianza de  es:

 









_



 



          n 1 i i 2 i 2 2 p E x E E Variable continua

Sea  una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). La varianza de  es:

 









_





 



 

           2 E E 2 x_i E 2 f x dx

A la raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica.

(44)

Funciones de densidad y distribución

Propiedades de la esperanza y la varianza

 





 





 







 

 

                                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 k 0 k k k E c E c c c E c c E Universidad de Oviedo

(45)

Funciones de densidad y distribución

Momentos

Los momentos son medidas que caracterizan a las distribuciones de probabilidad y, a partir de ellos, se pueden definir nuevas medidas estadísticas como los coeficientes de asimetría y apuntamiento.

Momento no centrado de orden r

 

r r  E 



Momento centrado de orden r







r



E     Universidad de Oviedo

(46)

Funciones de densidad y distribución

Distribución bidimensional de probabilidad

Dadas dos variables aleatorias  y  se dice que F(x, y) es su

función de distribución conjunta si está definida como sigue:

  

x,y P x, y



F     

Se llama función de densidad conjunta para el caso de variables  y  discretas a f(x, y) definida como sigue:

  

x,y P x, y



f     

La función de densidad conjunta para variables discretas tiene las dos propiedades siguientes:

 



   1 y , x f y) (x, 0 y , x f Universidad de Oviedo

(47)

Funciones de densidad y distribución

Se dice que f(x, y) es una función de densidad conjunta para el caso de variables  y  continuas si verifica lo siguiente:

 



, A



f

 

x,y dx dy siendo A cualquierregióndelplano P 1 dy dx y , x f y x, 0 y , x f A



                Universidad de Oviedo

(48)

Funciones de densidad y distribución

Distribución condicional

Dado un valor x de la variable  tal que g(x) > 0 se define la

función de densidad condicionada de la variable aleatoria 

por:

   

_{ }

x g y , x f x y f 

Análogamente, dado un valor y de  tal que h(x) > 0 se define la

función de densidad condicionada de la variable aleatoria 

por:

   

_{ }

x h y , x f y x f  Universidad de Oviedo

(49)

Funciones de densidad y distribución

Variables independientes

Se dice que dos variables aleatorias  y , con funciones de densidad g(x) y h(x) respectivamente, y densidad conjunta f(x,y), son estadísticamente independientes si:

La definición anterior se generaliza para cualquier número de variables.

     

x,y g x h x

 

x,y

f   

(50)

Funciones de densidad y distribución

Covarianza

Covarianza para variables discretas



x

 

y



f

 

x,y x y        _



_ _

Covarianza para variables continuas



x 



y 



f

 

x,y dxdy  

 

        

Dadas dos variables aleatorias  y  con densidad conjunta f(x, y), se llama covarianza, y la identificaremos como _ a:



 





 



    

 E

(51)

Funciones de densidad y distribución

Teorema de Chebyshev

El teorema de Chebyshev indica que la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor que diste de la media menos de k desviaciones típicas es por lo menos de 1 – 1/k2_{. Es decir:}





₂ k 1 1 k k P            Universidad de Oviedo

(52)

Ejemplo 4

En una zona de un open pit los bancos presentan una orientación de 120/60, encontrándose también presente una familia de discontinuidades que, como media, tiene el mismo rumbo que los bancos pero con una desviación típica de 5º. Atendiendo solamente a las condiciones cinemáticas, estimar una probabilidad para el fallo por deslizamiento plano a través de dichas discontinuidades.

(53)

4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE

VARIABLE DISCRETA

(54)

Distribuciones de variable discreta

Distribución binomial

Se denomina también de Bernoulli o de las pruebas repetidas con probabilidad constante.

Considérese un experimento aleatorio que sólo pueda dar dos resultados posibles y mutuamente excluyentes: C con probabilidad p de ocurrir, y K con probabilidad q = 1 – p. Se suele hablar de estos resultados como éxito y fracaso respectivamente. Considérese también que se realiza este experimento aleatorio n veces en las mismas condiciones, y que además es independiente el resultado de cada prueba de todas las demás.

(55)

Distribuciones de variable discreta

Considerando la variable aleatoria  = número de éxitos en las n pruebas, su función de probabilidad es la siguiente:

La variable aleatoria anterior , puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n, se denomina binomial de parámetros n y p.





x n x q p x n x P _          

 

n p E    2

 

  npq Universidad de Oviedo

(56)

Distribuciones de variable discreta

Tablas de la función de distribución binomial acumulada

(57)

Distribuciones de variable discreta

Tablas de la función de distribución binomial acumulada (continuación)

(58)

Distribuciones de variable discreta

(59)

Distribuciones de variable discreta

(60)

Distribuciones de variable discreta

(61)

Distribuciones de variable discreta

(62)

Distribuciones de variable discreta

Distribución de Poisson

Siguen esta distribución muchas variables, como por ejemplo el número de llamadas telefónicas en una centralita, el número de vehículos que llegan a un control de peaje en una autopista, el número de siniestros entre asegurados de una compañía de seguros, etc.

Se dice que  tiene una distribución de Poisson de parámetro , cuando es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores enteros 0 a  con la siguiente probabilidad:





! x x e x P      

 

   E

 

   2  Universidad de Oviedo

(63)

Distribuciones de variable discreta

Distribución Poisson

Distribución de Poisson como límite de la binomial

! x x x n x n e q p x n _           _ _  

lim

Esta propiedad indica que la distribución de Poisson es una buena aproximación de la binomial, cuando n es grande y

Es habitual considerar como buena la aproximación de Poisson cuando

0 



n

p



5 p

n

y

p



0 ,

1 



(64)

Distribuciones de variable discreta

Tablas de la función de distribución de Poisson acumulada



(65)

Distribuciones de variable discreta

Tablas de la función de distribución de Poisson acumulada (continuación)



(66)

Distribuciones de variable discreta



(67)

Distribuciones de variable discreta



(68)

Distribuciones de variable discreta

Distribución multinomial

Considérese un experimento aleatorio en el que hay k resultados posibles mutuamente excluyentes A₁, A₂, …, A_K. Sea además p_j la probabilidad de obtener el resultado A_j en una prueba, y supóngase, además, que se realizan n pruebas independientes. A este experimento se puede asociar una variable aleatoria k dimensional (₁, ₂, …, _k). ₁ indica el número de veces que ha ocurrido A₁ en las n pruebas, y análogamente ₂, …, _k. Se dice que esta variable es multinomial si:





1 2 xk k x 2 x 1 k 2 1 k k 2 2 1 1 p p ... p ! x ... ! x ! x ! n x ,..., x , x P              



₁, ₂,..., _k



np₁ np₂ ... np_k E       

 





i i i 2 p 1 np      Universidad de Oviedo

(69)

Distribuciones de variable discreta

Distribución hipergeométrica

Supóngase que se dispone de N datos de los cuales k son considerados como éxito y N – k fracaso. Considérese además que se toma una muestra de n.

La variable “número de éxitos de entre estos n datos” se denomina variable hipergeométrica de parámetros N, n, k si la probabilidad de obtener x éxitos es:





, x 0,1,2,..., n n N x n k N x k x P                           Universidad de Oviedo

(70)

5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE

VARIABLE CONTINUA

(71)

Distribuciones de variable continua

Distribución Normal: N(0,1)

Se dice que la variable  tiene una distribución normal o que es N(0,1) si su función de densidad es de la forma:

 

e x R 2 1 x f 2 x2       x f(x)

 

0 E  

 

1 2    Universidad de Oviedo

(72)

Distribuciones de variable continua

Distribución Normal: N(0,1) Universidad de Oviedo

(73)

Distribuciones de variable continua

Distribución Normal: N(,)

Dada se define , siendo  y  dos números reales cualesquiera con  >0. A esta variable  se le denomina N(,). Su función de densidad es la siguiente:















 

0 ,

1 N





 

e   x R 2 1 x f 2 2 2 x           

 

   E

 

2 2     Universidad de Oviedo

(74)

Distribuciones de variable continua

Propiedades de la distribución normal

1. Dada la variable aleatoria :N(,), se deduce que la variable aleatoria sigue una N(0,1).

2. Si  es una variable con distribución B(n, p), entonces el límite cuando n tiene a infinito de sus probabilidades coincide con una distribución . N



np, npq



      Universidad de Oviedo

(75)

Distribuciones de variable continua

Propiedades de la distribución normal

3. Si ₁, ₂, …, _k son variables aleatorias independientes y con

distribuciones _j  N(_j,_j) j = 1,…., k, entonces la variable suma

 = ₁+ ₂ + …,+ _k es también normal de media  =  ₁+  ₂ + …,+  _k y desviación típica

4. Si ₁, ₂, …, _k son variables aleatorias independientes e

igualmente distribuidas según una N(,), la variable se distribuye según una .

2 k 2 2 2 1   ...      k ... _k 2 1              _  k , N Universidad de Oviedo

(76)

Distribuciones de variable continua

Distribución 2_{de Pearson}

Se define la variable 2_{de Pearson}_{como la suma de cuadrados}

de variables N(0,1) independientes. Al número de variables normales que se suman se le denominó número de grados de libertad de la 2_.

Es decir, si ₁, ₂, …, _n  N(0,1), se define la variable 2_{con n}

grados de libertad como sigue:

2 n 2 2 2 1 2 n     ...    n   n 2  



n, 2n



N lim _n2 n  Universidad de Oviedo

(77)

Distribuciones de variable continua

Distribución 2_{de Pearson}

Dejan a su derecha un área igual a  (1ª fila) para distintos grados de libertad n (1ª columna). _n2  n  Universidad de Oviedo

(78)

Distribuciones de variable continua

Distribución t-Student

Sean , ₁, ₂, …, _n n+1 variables aleatorias independientes con distribuciones N(0,) todas ellas. Se denomina variable t de Student con n grados de libertad a la siguiente variable:

(

2

)

n 2 2 2 1 n η + ... + η + η n 1 η = t

Cuando n tiende a infinito, se demuestra que t_n tiende a la N(0,1). Eta aproximación es buena para n > 30.

(79)

Distribuciones de variable continua

Distribución t-Student

La tabla proporciona los valores t que dejan a la izquierda un área igual a  (1ª fila) para n grados de libertad (1ª columna)

t_

n 

(80)

Distribuciones de variable continua

Distribución uniforme

Se dice que una variable  es uniforme en el intervalo (a, b) si su función de densidad es constante en el intervalo (a, b) y 0 en el resto:

 

             x b si 0 b x a si a -b 1 a x si 0 x f ≥ ≤





2 2 a b 12 1 2 b a -      Universidad de Oviedo

(81)

Distribuciones de variable continua

Distribución lognormal Universidad de Oviedo

(82)

Distribuciones de variable continua

Distribución exponencial Universidad de Oviedo

(83)

Distribuciones de variable continua

Distribución exponencial Universidad de Oviedo

(84)

Distribuciones de variable continua

Distribución Beta



_



_

_

 _  _  0 t z dt e t 1 z Universidad de Oviedo

(85)

Distribuciones de variable continua

Distribución Beta Universidad de Oviedo

(86)

Distribuciones de variable continua

Distribución de Fisher

 

_K _KKcos

e

sen

K

f

_  













K es la constante de Fisher o factor de dispersión,  es la desviación angular respecto al vector medio, N el número de polos y R la magnitud del vector resultante.

R N 1 N K    Universidad de Oviedo

(87)

Distribuciones de variable continua

Distribución de Weibul Universidad de Oviedo

(88)

6. TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN

(89)

Teoría de la estimación

Estimadores de la media y la varianza

Para estudiar un cierto parámetro poblacional en el que se está interesado, se define un estimador H, que es una función que actúa sobre los datos de la muestra. Las dos propiedades siguientes son deseables para un estimador:

1. Que el estimador sea insesgado para , es decir, que E[H] =.

2. Dados dos estimadores H₁ y H₂ del parámetro , insesgados, se dice que H₁ es más eficiente que H₂ si 2_(H

1) < 2 (H2).

(90)

Teoría de la estimación

Estimadores para la media y la varianza

n

x

...

x

H



1



2



n

 



















n

x

E

2 2





n

x

s

H

2 i 2









 





n

1 n

s

E

2 2













1 n

x

1 n

s

n

S

H

2 i 2 2















(91)

Teoría de la estimación

Teorema central del límite

n 2

1   ...  



Si las variables ₁, ₂, …, _n son independientes, igualmente distribuidas con media  y desviación típica  distinta de cero, entonces la distribución de la variable

tiende, cuando a una distribución normal de media  y desviación típica .

Esto quiere decir que la distribución de la variable correspondiente a la suma tiende a una

n ... _n 2 1           n n 



 



(92)

Teoría de la estimación

Intervalos de confianza para la media

Caso 1: Población normal con  conocida

      _ _ _  _ _ _    n x , n x _/₂ _/₂

Si se tiene una población normal, se ha visto que:

 

0,1 N n x n , N x             _  

Es decir, dado un nivel de confianza 1 - , se puede obtener en las tablas de la normal el valor __/2 tal que

siendo   N(0,1). Según esto, el intervalo de confianza

buscado es:



_    _



 1 

P _/₂ _/₂

(93)

Teoría de la estimación

Caso 2: Población cualquiera con  conocida

El teorema central del límite permite utilizar el intervalo de confianza anterior en este caso, siempre que n sea suficientemente grande. Se suele utilizar n > 30.

(94)

Teoría de la estimación

Caso 3: Población normal con  desconocida

Se puede demostrar que la variable sigue una

distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. De este modo, el intervalo de confianza buscado al es :

n s x  _                  n s t x , n s t x _/₂ _/₂



1 



100% Universidad de Oviedo

(95)

Teoría de la estimación

Caso 4: Población cualquiera con  desconocida

En la práctica se suele utilizar el intervalo de confianza indicado en el caso 1, estimando la  mediante s, en el caso de que n sea mayor de 30.

Para el caso de muestras pequeñas, el intervalo de confianza a utilizar es el correspondiente al caso 3.

(96)

Teoría de la estimación

Intervalos de confianza para la diferencia de medias

Caso 1: Poblaciones normales con ₁ y ₂

Se consideran las poblaciones normales de varianzas conocidas y se pretende estimar un intervalo de confianza para la diferencia de medias, ₁ - ₂, seleccionando muestras de tamaño n₁ y n₂ respectivamente de la población.         _        2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n , N x x Universidad de Oviedo

(97)

Teoría de la estimación

Caso 1: Poblaciones normales con ₁ y ₂ El intervalo de confianza al es:



1 



100%

        _              _ _ 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 n n x x , n n x x

Este tipo de intervalo también se utiliza si las poblaciones no son normales, pero ₁ y ₂ son conocidas, siempre que n₁ y n₂ sean mayores de 30.

Si ₁ y ₂ son desconocidas, se utiliza este mismo intervalo estimando  y  por s y s .

(98)

Teoría de la estimación

Caso 2: Poblaciones normales con ₁ y ₂ desconocidas pero iguales Estimando ₁ y ₂ mediante s₁ y s₂, se llega al siguiente intervalo de confianza utilizando una t de Student con n₁ + n₂ – 2 grados de libertad:                               2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 / 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 / 2 1 n 1 n 1 2 n n s n s n t x x , n 1 n 1 2 n n s n s n t x x Universidad de Oviedo

(99)

Teoría de la estimación

Intervalos de confianza para la varianza

Se puede demostrar que es una variable 2_{de Pearson con}

n – 1 grados de libertad.

Esta circunstancia permite establecer el intervalo de confianza a (1 - ) 100% para la varianza como sigue:

2 2 s n  





















  _ 2 1 2 2 2 2 2

s

n

,

s

n

(100)

7. CONTRASTE DE HIPÓTESIS

(101)

Contraste de hipótesis

Se trata de estimar un parámetro poblacional a partir de una muestra. Para ello se define un estimador y se enuncia una hipótesis H₀, llamada hipótesis nula, y una alternativa H₁. Fijado el nivel de significación, se obtienen las regiones de aceptación R_a y de rechazo R_c, y se adopta la siguiente regla de decisión:

Si el valor del estimador definido para la muestra dada cae en la región R_a, se acepta H₀. Si cae en R_c, se acepta H₁.

(102)

Contraste de hipótesis

Contraste de hipótesis para la media

Caso 1: Población con varianza conocida o n > 30

Se desea contrastar la hipótesis de que la media de una población sea un valor , a un nivel de significación de 100  %.

Hipótesis nula, H₀: media = 

Hipótesis alternativa, H₁: media  

Teniendo en cuenta que la distribución de medias muestrales de tamaño n de una población de media  y desviación típica  es una N(, /n), se define el estimador siguiente, que sigue una N(0,1):

n

x

z









(103)

Contraste de hipótesis

Caso 1: Población con varianza conocida o n > 30

Para el nivel de significación seleccionado se obtienen en la normal N(0, 1) los valores __/2 y - __/2 tales que:

La región de aceptación es el intervalo (- __/2 , __/2) y la regla de decisión es la siguiente:

Si - __/2 < z < __/2 se acepta H₀ al nivel 100  %; en caso contrario se rechaza H₀ al nivel de significación del 100  %.



































_ _

1 n

x

P

2 2 Universidad de Oviedo

(104)

Contraste de hipótesis

Caso 2: Población con varianza desconocida pero n > 30

Si la desviación típica poblacional  es desconocida, pero se realiza una muestra de tamaño mayor de 30 (n > 30), el teorema central del límite permite utilizar el contraste del caso 1 sustituyendo  por la s muestral.

(105)

Contraste de hipótesis

Caso 3: Población con varianza desconocida y n < 30

Se desea contrastar la hipótesis de que la media de una población sea un valor , a un nivel de significación de 100  %.

Hipótesis nula, H₀: media = 

Hipótesis alternativa, H₁: media  

En este caso se tiene en cuenta que la variable sigue una distribución t-Student con n – 1 grados de libertad.

1 n s x    Universidad de Oviedo

(106)

Contraste de hipótesis

Caso 3: Población con varianza desconocida y n < 30

Para el nivel de significación seleccionado, 100  %, se obtienen en la t-Student los valores t__/2 y - t__/2 tales que:

La región de aceptación es el intervalo (- t__/2 , t__/2) y la regla de decisión es la siguiente:

Si - t__/2< z < t__/2 se acepta H₀ al nivel 100  %; en caso contrario se rechaza H₀ al nivel de significación del 100  %.































_

t

_

1

1 n

s

x

t

P

2 2 Universidad de Oviedo

(107)

Contraste de hipótesis

Contraste de hipótesis para la diferencia de medias

Caso 1: Varianzas conocidas

Dadas dos poblaciones de varianzas conocidas ₁2_y 

22 , se

seleccionan muestras de tamaños n₁ y n₂, respectivamente. Se trata de contrastar, al nivel de significación de , la hipótesis:

Hipótesis nula, H₀: ₁ - ₂ = d

Hipótesis alternativa, H₁: ₁ - ₂  d

Se define para el contraste el siguiente estadístico:

La región de aceptación es el intervalo (-__/2, __/2) correspondiente a la N(0, 1), adoptando la regla de decisión como

2 2 2 1 2 1 2 1 n n d x x z       Universidad de Oviedo

(108)

108

Contraste de hipótesis

Contraste de hipótesis para la diferencia de medias

Caso 2: Varianzas desconocidas pero iguales

Si las muestras son grandes n₁ ≥ 30 y n₂ ≥ 30, se pueden estimar

₁ y ₂ por s₁ y s₂, y utilizar el test del caso 1.

Si los tamaños muestrales son pequeños, menores de 30, se utiliza el siguiente estadístico:

2 1 2 1 n 1 n 1 s d x x t     









2 n n s 1 n s 1 n s 2 1 2 2 2 2 1 1        

A partir de la t-Student con n1 + n2 -2 grados de libertad se obtiene para un nivel de significación , un intervalo (- t__/2 , t__/2) que permite dar una regla de decisión como en los casos anteriores.

Universidad de Oviedo - stimma

(109)

109

Contraste de hipótesis

Contrastes unilaterales

En los casos de contrastes de hipótesis anteriores, la alternativa era la negación de la hipótesis nula, utilizando las dos colas en las distribuciones correspondientes, como por ejemplo H₀: =10; H₁: 10.

En otros casos, se debe utilizar solo una de las colas de la distribución, como por ejemplo: H₀: =10; H₁: >10. En estos caso, por ejemplo si el estadístico es una N(0, 1) y  = 0,05, se determina el valor _0,05 que deja a su derecha un área bajo la curva normal igual a 0,05. Si el valor de z es menor que _0,05 se acepta H₀ al nivel de significación considerado. En caso contrario de rechaza.

(110)

110

Contraste de hipótesis

Contrastes de la bondad de un ajuste

El problema que se trata de resolver es decidir si una muestra obtenida al azar procede de una población con una cierta distribución.

Para ello se hace una hipótesis nula que asegura que la población tiene una distribución de probabilidad dada. Bajo esta hipótesis se calculan las frecuencias esperadas para la muestra y se denotan por e_i. Estas frecuencias se comparan con las frecuencias realmente obtenidas en la muestra, que se denominan frecuencias observadas y se denotan por o_i.

Si la diferencia entre frecuencias observadas y esperadas es grande o significativa se rechaza la hipótesis, es decir, el modelo de probabilidad propuesto.

(111)

Contraste de hipótesis

Contrastes de la bondad de un ajuste

El estadístico a utilizar en estas pruebas es el siguiente:

Se puede demostrar que la distribución del anterior estadístico es aproximadamente una 2_{con k}– 1 grados de libertad, si no es

necesario estimar ningún parámetro poblacional a partir de la muestra para obtener las frecuencias esperadas, y con k – r – 1 si es necesario estimar r parámetros.







   k i _i i i e e o 1 2 2  Universidad de Oviedo

(112)

Una vez concretado el número de grados de libertad que se va a utilizar, se fija el nivel de significación  del test y se calcula en la tabla de la 2_{el valor}

t2 que deja a su derecha una probabilidad

igual a .

Por último, se adopta la siguiente regla de decisión:

Si _t2 _>2 _{se acepta como bueno el ajuste.}

Si _t2 < 2 se rechaza el ajuste.

Contraste de hipótesis

Contrastes de la bondad de un ajuste Universidad de Oviedo

(113)

8. CRITERIOS DE ESTABILIDAD

(114)

Valores aceptables Mínimo Máximo Media CS P(CS)<1 P(CS)<1,5 1,3 1,6 2,0 0,1 0,01 0,0003 0,05 0,1 0,2

Bancos individuales, taludes de pequeña altura (<50 m.), taludes temporales que no afectan a pistas.

Cualquier talud de naturaleza permanente o casi-permanente.

Taludes medios (altura entre 50 y 150 m) y altos (mas 150 m) con presencia de pistas y/o instalaciones mineras permanentes al pie. 1 2 3 No graves Muy graves Moderadamente graves Categoría

del talud Ejemplos

Categoría del talud

Criterios de diseño basados en el Método de Montecarlo Interpretación Grado de cumplimiento de los

criterios arriba indicados

Interpretación del comportamiento del talud

Cumple los tres criterios.

Aunque supera el valor mínimo de la media del CS, no cumple uno de los criterios de probabilidad.

Aunque no supera el valor mínimo de la media del CS, cumple los dos criterios de probabilidad.

No supera el valor mínimo de la media del CS y no cumple uno o los dos criterios de probabilidad.

Talud estable.

Trabajar con este talud supone un riesgo aceptable o no, según el caso. EL nivel de riesgo se puede cuantificar mediante un sistema de vigilancia de detalle.

Talud aceptable. Se recomienda realizar mínimas modificaciones en su gemetría para subir la media del CS hasta un nivel satisfactorio. Talud inestable. Se necesita modificar la geometría del talud. Podría ser necesario utilizar sostenimientos activos y un sistema de vigilancia.

Priest & Brown (1993)

Criterios de estabilidad

(115)

Criterios de estabilidad

(116)

Criterios de estabilidad

(117)

Escala Consecuencias del fallo FS Mínimo Estático FS Mínimo Dinámico Probabilidad máxima de fallo P(F < 1)

Banco Bajo - Alto 1,1 - 20 -50 %

Interrampa Bajo 1,15 – 1,2 1,0 25 % Moderado 1,2 1,0 20 % Alto 1,2 – 1,3 1,1 10 % Overall Bajo 1,2 – 1,3 1,0 15 – 20 % Moderado 1,3 1,05 10 %

Criterios de estabilidad

(118)

Criterios de estabilidad

Mapeo Universidad de Oviedo

(119)

9. ROTURA PLANA

(120)

9.1 Cono de fricción

(121)

Rotura plana

(122)

      tg tg sen W tg W S R F       cos Cono de fricción

Sin cohesión y sin fuerzas exteriores

Rotura plana

(123)

Cono de fricción

Plano sin cohesión y sin fuerzas exteriores

Rotura plana

(124)

          tg tg F sen W tg W S R R F W A c tg N R R tg ap ap c c ap               cos cos Cono de fricción

Plano con cohesión y fricción, pero sin fuerzas exteriores

Rotura plana

(125)

      tg tg F sen W tg W S R R F ap e ap e e c         cos Cono de fricción

Plano con cohesión, fricción y fuerzas exteriores

Rotura plana

(126)

Cono de fricción

Rotura plana

(127)

Beta Lognormal Logistic Triangular Weibull Uniform Exponential Normal Distribuciones habituales

Rotura plana

(128)

Consiste en ir introduciendo en un modelo determinista una serie de variables generadas de manera aleatoria, recuperando el resultado final en forma de histograma.

En este método se generan una serie de valores aleatorios para cada función de probabilidad que se corresponderá con un parámetro de entrada, y se introducen estos valores en el modelo determinista, elaborando una función de probabilidad o histograma para las variables de salida, tal como el factor de seguridad.

Método de Montecarlo

Rotura plana

(129)



P



x

e

P

x













 

1 ln

1

1 

 49,09 56,36 63,63 70,90 0 20000 41,82 ,000 ,250 ,500 ,750 1,000 Gráfico acumulativo Fr e cu e n ci a Pr ob abil id ad Método de Montecarlo

Rotura plana

(130)

Histrograma de frecuencias

Rotura plana

(131)

Función de distribución

Rotura plana

(132)

(133)

Software Dips

(134)

Open Pit: 135/60

Software Dips