FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIER´IA Y AGRIMENSURA ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA
Asignatura: Probabilidad y Estad´ıstica (LM-PM) - 2018
Docentes a cargo: Pablo Torres - Gerardo Sb´ergamo - Lara Hortal. Pr´actica 2: Probabilidad.
1. Un espacio muestral consta de cinco eventos simples E1, E2, E3, E4 y E5.
a) Si P (E1) = P (E2) = 0,15, P (E3) = 0,4 y P (E4) = 2P (E5), encuentre las probabilidades de
E4 y E5.
b) Si P (E1) = 3P (E2) = 0,3, encuentre las probabilidades de los eventos simples restantes si sabe
que tienen la misma probabilidad.
2. Un veh´ıculo que llega a una bocacalle puede dar vuelta a la derecha, a la izquierda o continuar de frente. El experimento consiste en observar la direcci´on que toma un veh´ıculo que pasa por la bocacalle.
a) Elabore una lista del espacio muestral de este experimento.
b) Si se supone que los puntos muestrales tienen la misma probabilidad, encuentre la probabilidad de que el veh´ıculo cambie de direcci´on.
3. Con referencia al ejercicio anterior. Un experimento consiste en observar 2 veh´ıculos que se dirigen a la bocacalle.
a) ¿Cu´antos puntos muestrales hay en el espacio muestral? Especif´ıquelos.
b) Si se supone que los puntos muestrales tienen la misma probabilidad, ¿cu´al es la probabilidad de que por lo menos un autom´ovil de vuelta a la izquierda?
c) Suponiendo puntos muestrales equiprobables, ¿cu´al es la probabilidad de que por lo menos un veh´ıculo gire?
4. Se va a despachar una flotilla de nueve taxis a tres aeropuertos, de modo que tres ir´an al aeropuerto A, cinco al B y uno al aeropuerto C. ¿De cu´antas maneras distintas puede llevarse a cabo la tarea? 5. Una cofrad´ıa de la comunidad organiza una rifa de tres premios, para la cual tiene que vender 50 n´umeros (uno por cliente). Si los organizadores compran un n´umero cada uno, ¿cu´al es la probabilidad de que los cuatro
a) ganen todos los premios?
b) ganen exactamente dos de los premios? c) ganen exactamente uno de los premios? d ) no ganen ning´un premio?
6. Gregor Mendel fue un monje que propuso en 1865 una teor´ıa de la transmisi´on hereditaria basada en la gen´etica. Identific´o individuos heterocig´oticos que portaban dos genes alelos para el color de las flores (un r = alelo recesivo para el color blanco y un R = alelo dominante para el color rojo). Al cruzar a estos individuos se observ´o que 34 de los descendientes ten´ıan flores rojas y 14 flores
blancas. La siguiente tabla presenta los resultados del cruce: cada progenitor da uno de sus alelos para formar el gen del descendiente.
− Progenitor 2
Progenitor 1 r R
r rr rR
R Rr RR
Supongamos que existe la misma probabilidad de que cada progenitor de uno de los dos alelos y de que el descendiente tenga flores rojas si uno o dos de los alelos que forman un par es dominante (R).
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un descendiente tenga por lo menos un alelo dominante? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que un descendiente tenga por lo menos un alelo recesivo? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que un descendiente tenga un alelo dominante, dado que el
des-cendiente tiene flores rojas?
7. El historial de casos m´edicos indica que diferentes enfermedades pueden provocar las mismas ma-nifestaciones. Supongamos que un determinado conjunto de s´ıntomas, que denotamos con H, se presenta s´olo cuando aparece cualquiera de las tres enfermedades I1, I2 o I3. Suponga que es
imposible contraer simult´aneamente m´as de una de ellas y que P (I1) = 0,01, P (I2) = 0,005 y
P (I3) = 0,02. Las probabilidades de presentar el conjunto de s´ıntomas H, si se contrae cualquiera
de estas enfermedades son: P (H|I1) = 0,9, P (H|I2) = 0,95 y P (H|I3) = 0,75. En el supuesto caso
de que una persona enferma manifieste los s´ıntomas H ¿cu´al es la probabilidad de que el enfermo padezca la enfermedad I1?
8. Probar que P (∅) = 0.
9. Probar que la aditividad infinita implica la aditividad finita.
10. Probar que si A es un evento del espacio de eventos entonces P (A) = 1 − P (A).
11. Sean A y B pertenecientes al espacio de eventos. Demostrar que P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B) y P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B).
12. Demostrar que si A ⊆ B entonces P (A) ≤ P (B).
13. Mostrar que la definici´on de probabilidad condicional verifica los 3 axiomas de la probabilidad, i.e. est´a bien definida.
14. Sean A y B dos eventos con P (B) > 0. Probar que P (∅|B) = 0 y P (A|B) = 1 − P (A|B).
15. Probar que si A y B son eventos independientes entonces tambi´en son independientes los siguientes pares de eventos: A y B, A y B, A y B.
16. En un centro hay 1000 alumnos repartidos como indica la siguiente tabla.
− Chicos Chicas
Usan anteojos 187 113
No usan anteojos 413 287
Se elige al azar uno de ellos.
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el alumno elegido resulte una chica, dado que usa anteojos? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que el alumno elegido resulte un chico, dado que usa anteojos? d ) Si se sabe que el alumno elegido no usa anteojos, ¿cu´al es la probabilidad de que resulte un
chico?
17. En un lote de 100 art´ıculos se sabe que hay 75 buenos y 25 defectuosos. Se extraen de ese lote 2 art´ıculos al azar en forma sucesiva y sin reposici´on.
a) Sabiendo que el primer art´ıculo result´o defectuoso, ¿cu´al es la probabilidad de que el segundo sea bueno?
b) Sabiendo que el primer art´ıculo result´o defectuoso, ¿Cu´al es la probabilidad de que el segundo tambi´en lo sea?
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que ambos art´ıculos resulten defectuosos?
18. En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se aisla. A continuaci´on se vuelve a sacar otra bola.
a) Si la segunda bola es verde, ¿cu´al es la probabilidad de que la primera haya sido verde? b) Si la segunda bola es azul, ¿cu´al es la probabilidad de que la primera haya sido verde? c) Si la segunda bola es azul, ¿cu´al es la probabilidad de que la primera haya sido azul?
19. Un sistema electr´onico consta de dos subsistemas A y B. A partir de una serie de pruebas previas se han asignado las siguientes probabilidades:
la probabilidad de que solo B falle es 0,15, la probabilidad de que A falle es 0,2, la probabilidad de que A y B fallen es 0,15. Calcular:
a) La probabilidad de que A falle dado que B ha fallado. b) La probabilidad de que falle solo A.
20. Se mezclan cinco monedas falsas con nueve aut´enticas.
a) Se selecciona al azar una moneda. Calcular la probabilidad de que sea falsa.
b) Se seleccionan al azar dos monedas, las cuales se extraen en forma sucesiva con reposici´on. Calcular la probabilidad de que las dos sean aut´enticas.
c) Se seleccionan al azar dos monedas, las cuales se extraen en forma sucesiva sin reposici´on. Calcular la probabilidad de que la segunda sea aut´entica, sabiendo que la primera tambi´en lo fue.
21. Una compa˜nia tiene almacenadas piezas de las cuales el 40 % se compraron a un proveedor A y el resto a un proveedor B. El 20 % de las piezas almacenadas goza de garant´ıa. Si se sabe que el 15 % de las piezas que provienen de A gozan de garant´ıa, calcular la probabilidad de que una pieza cualquiera de las almacenadas,
a) provenga de B y est´e garantizada. b) provenga de B o est´e garantizada. c) provenga de A y no est´e garantizada. d ) provenga de A si est´a garantizada.
22. El sistema de l´ıneas que une dos centrales telef´onicas A y B est´a representado en el siguiente diagrama, donde C es una central intermedia.
A
B C
En ciertos horarios las l´ıneas pueden saturarse por exceso de llamadas. Sean los sucesos siguientes: E1 : la l´ınea AB se encuentra libre,
E2: la l´ınea AC se encuentra libre,
E3: la l´ınea BC se encuentra libre.
Se conoce que:
P (E1) = 25, P (E2) = 34, P (E3) = 23,
P (E3|E2) = 45, P (E1|E2∩ E3) = 12.
Calcular la probabilidad de que: a) la l´ınea ACB se encuentre libre, b) las tres l´ıneas est´en libres,
c) una llamada que llega a A pueda ser transmitida a B.
23. Una central recibe mensajes de dos fuentes A y B. Se conoce que la probabilidad de recibir un mensaje proveniente de A es 0.2 y la probabilidad de que un mensaje posea una longitud superior a k caracteres si proviene de A es 0.1.
La probabilidad de que un mensaje posea una longitud superior a k caracteres si proviene de B es 0.15. ¿Cu´al es la probabilidad de recibir un mensaje de m´as de k caracteres?
24. Se tienen dos bolsas id´enticas por fuera. La bolsa A contiene 12 caramelos de menta, 4 de frutilla y 6 de lim´on. La bolsa B contiene 3 caramelos de menta y 6 de lim´on. Se extrae un caramelo al azar de una de las bolsas, sin saber de cu´al de ellas.
a) Si el caramelo resulta ser de menta, ¿Cu´al es la probabilidad de que provenga de la bolsa A? b) Si el caramelo resulta ser de lim´on, ¿Cu´al es la probabilidad de que provenga de la bolsa A? c) Si el caramelo resulta ser de frutilla, ¿Cu´al es la probabilidad de que provenga de la bolsa B? 25. Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral S tales que P (A) = 14, P (B|A) = 12 y P (A|B) = 14.
Analizar la veracidad de las siguientes proposiciones: a) A y B son excluyentes,
b) A ⊆ B, c) P (A|B) = 14,
d ) P (A|B) + P (A|B) = 1.
26. Un n´umero binario est´a formado por n d´ıgitos. La probabilidad de que aparezca un d´ıgito incorrecto es p. Si los errores en d´ıgitos diferentes son independientes uno de otro, ¿Cu´al es la probabilidad de formar un n´umero incorrecto?
27. En una caja hay cinco fichas, algunas rojas y las restantes negras. Para armar dicha caja se tira un dado equilibrado y se coloca en la caja una ficha roja si el n´umero resultante es mayor a 3 y una ficha negra en caso contrario. Se realiza esto 5 veces de forma independiente y se arma la caja. Si luego de armada la caja se extrae una ficha y es roja, ¿cu´al es la probabilidad de que la caja haya contenido 3 fichas rojas y dos negras?
28. Cinco urnas id´enticas se rotulan con los n´umeros 1, 2, 3, 4 y 5. La urna i contiene i bolas blancas y 5 − i bolas negras, i = 1, . . . , 5. Se escoge aleatoriamente una urna y dos de las bolas que contiene:
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que las bolas elegidas sean blancas?
b) Si las bolas elegidas son blancas, ¿cu´al es la probabilidad de que se haya elegido la urna 3? 29. Definici´on: Los eventos A1, A2, . . . , An son mutuamente independientes si y solo si para cada
k ∈ {2, . . . , n},
P (Ai1∩ Ai2∩ . . . ∩ Aik) = P (Ai1)P (Ai2) . . . P (Aik).
Ejercicio: Se arroja un dado equilibrado dos veces y se observa el par ordenado de n´umeros que se obtiene. Se definen los siguientes sucesos: A: en el primer lanzamiento se obtiene un n´umero par. B: en el segundo lanzamiento se obtiene un n´umero impar. C: se obtienen par y par o impar e impar. Probar que
a) Los sucesos A y B son independientes. b) Los sucesos A y C son independientes. c) Los sucesos B y C son independientes.
d ) P (A ∩ B ∩ C) 6= P (A)P (B)P (C). ¿A, B y C son independientes? Justifique.
30. La probabilidad de cerrar cada uno de los relevadores del sistema de la figura est´a dada por p. Si todos los relevadores funcionan independientemente, ¿cu´al es la probabilidad de que la corriente fluya entre los terminales I y D?
I D
1 2
3 4
31. En una f´abrica de pernos, las m´aquinas A, B y C fabrican el 40 %, el 35 % y el 25 % de la producci´on total, respectivamente. De lo que producen, el 4 %, el 5 % y el 2 % es defectuoso, respectivamente. Se elige un perno al azar y se encuentra que es defectuoso. ¿Cu´al es la probabilidad de que provenga de B?
32. Tres empresas A, B y C licitan un contrato para la construcci´on de un puente. Las probabilidades de que A, B y C obtengan el contrato son respectivamente 0.5, 0.3 y 0.2. Si el contrato es obtenido por A, ´esta contratar´a a su vez a la empresa E con probabilidad 0.8. Si el contrato es obtenido por B, ´esta contratar´a a E con probabilidad 0.4. Si el contrato es obtenido por C, E ser´a contratada con probabilidad 0.1. ¿Cu´al es la probabilidad de que la empresa E obtenga un subcontrato en la construcci´on del puente?
33. Las pruebas o tests de diagn´ostico se eval´uan con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. En general, se estima:
Sensibilidad (verdaderos +)= Tasa de aciertos sobre enfermos = P (T est + |Enf ermo). Especificidad (verdaderos −)= Tasa de aciertos sobre sanos = P (T est − |Sano).
A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular las probabilidades a poste-riori (en funci´on de los resultados del test) de los llamados ´ındices predictivos:
P (Enf ermo|T est+) = ´ındice predictivo positivo. P (Sano|T est−) = ´ındice predictivo negativo.
La diabetes afecta al 20 % de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los ´ındices predictivos.
34. En cierto pa´ıs donde una enfermedad es end´emica, se sabe que un 12 % de la poblaci´on padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar la enfermedad. Dicha prueba no es totalmente fiable puesto que resulta positiva en el 90 % de personas realmente enfermas y tambi´en resulta positiva en el 5 % de personas sanas. ¿Cu´al es la probabilidad de que una persona a la que la prueba le ha dado positiva est´e sana?
35. A trav´es de estudios estad´ısticos, se ha podido determinar que en cierta ciudad la probabilidad de que un conductor sufra un accidente automovil´ıstico durante un a˜no es dos veces m´as probable si es hombre que si es mujer, siendo esta ´ultima probabilidad igual a 0,057. El 55 % de los conductores de esa ciudad son hombres. Al completar una encuesta en la que se preguntaba acerca del historial de manejo, una persona de esa ciudad responde que, estando al volante, fue protagonista durante el ´ultimo a˜no de un accidente automovil´ıstico. ¿Cu´al es la probabilidad de que sea mujer?
36. Sedispone de una urna A que tiene dos bolillas negras y dos blancas. Por otro lado, se tienen tres urnas Bi con i = 1, 2, 3, que tienen 4 bolillas, i bolillas blancas y las restantes negras.
Un primer experimento consiste en extraer bolillas de la urna A hasta que se obtiene una (la primera) blanca. Sea X el n´umero de bolillas extra´ıdas hasta obtener la primera blanca. Si X = i, se toma la primera de las bolillas extra´ıdas (que no necesariamente es la ´ultima, que siempre es blanca) y se coloca en la urna Bi.
Luego se realiza un segundo experimento que consiste en extraer una bolilla de la urna Bi.
a) Hallar la distribuci´on de probabilidad de X.
b) Calcular la probabilidad de que en la extracci´on del segundo experimento se obtenga una bolilla blanca.
c) Obtener la probabilidad de que X = 2 si en la extracci´on del segundo experimento se obtuvo una bolilla blanca.
d ) Hallar la probabilidad de que en la extracci´on del segundo experimento se obtenga una bolilla negra si la primera bolilla extra´ıda de la urna A fue negra.
e) Analizar la veracidad del siguiente enunciado justificando su decisi´on (sin realizar c´alculos): “Si X ≤ 2 entonces el resultado de la segunda extracci´on es independiente de la cantidad de bolillas extra´ıdas en la urna A”.
