METNUMINF - Mètodes Numèrics i Informàtica

(1)

Universitat Politècnica de Catalunya

1 / 13

Competències de la titulació a les quals contribueix l'assignatura

Altres: ESTHER SALA LARDIES, ARCADI SANMARTÍN CARRILLO, JOSE SARRATE RAMOS, MARCEL SAURINA EUDALDO

Responsable: ESTHER SALA LARDIES

Unitat que imparteix: Curs:

Crèdits ECTS:

751 - DECA - Departament d'Enginyeria Civil i Ambiental 2017

GRAU EN ENGINYERIA D'OBRES PÚBLIQUES (Pla 2010). (Unitat docent Obligatòria) 7,5 Idiomes docència: Català, Castellà, Anglès

Unitat responsable: 250 - ETSECCPB - Escola Tècnica Superior d'Enginyers de Camins, Canals i Ports de Barcelona

Titulació:

Professorat

Específiques:

Transversals:

3088. Coneixements i comprensió del funcionament dels ecosistemes i els factors ambientals.

3098. Coneixements bàsics sobre l'ús i programació dels ordinadors, sistemes operatius, bases de dades i programes informàtics amb aplicació a l'enginyeria.

592. COMUNICACIÓ EFICAÇ ORAL I ESCRITA - Nivell 2: Utilitzar estratègies per preparar i dur a terme les

presentacions orals i redactar textos i documents amb un contingut coherent, una estructura i un estil adequats i un bon nivell ortogràfic i gramatical.

596. TREBALL EN EQUIP - Nivell 1: Participar en el treball en equip i col·laborar-hi, un cop identificats els objectius i les responsabilitats col·lectives i individuals, i decidir conjuntament l'estratègia que s'ha de seguir.

599. ÚS SOLVENT DELS RECURSOS D'INFORMACIÓ - Nivell 3: Planificar i utilitzar la informació necessària per a un treball acadèmic (per exemple, per al treball de fi de grau) a partir d'una reflexió crítica sobre els recursos

d'informació utilitzats.

602. APRENENTATGE AUTÒNOM - Nivell 3: Aplicar els coneixements assolits a la realització d'una tasca en funció de la pertinència i la importància, decidint la manera de dur-la a terme i el temps que cal dedicar-hi i seleccionant-ne les fonts d'informació més adequades.

584. TERCERA LLENGUA: Conèixer una tercera llengua, que serà preferentment l'anglès, amb un nivell adequat de forma oral i per escrit i amb consonància amb les necessitats que tindran les titulades i els titulats en cada

ensenyament.

Objectius d'aprenentatge de l'assignatura

El curs consisteix en: quinze setmanes de docència presencial, un treball de curs a realitzar i auto-aprenentatge. A més de les 5 hores per setmana a l'aula, s'han de dedicar 7.5 hores cada la setmana, de mitjana, al treball personal (auto-aprenentatge).

Almenys tres de les cinc hores de classe setmanals es dediquen a treballar en petits grups (laboratori de computació, la solució de problemes i de les avaluacions, etc).

En algunes de les sessions es realitzaran entregues presencials, que es tindran en compte en l'avaluació de l'assignatura. Les dates d'aquestes entregues s'anunciaran en el calendari del curs.

(2)

Conceptes bàsics sobre ús i programació d'ordinadors i coneixements per programar models numèrics en problemes d'enginyeria.

1. Capacitat per utilitzar eines informàtiques estàndard per resoldre problemes bàsics (ex.: mesures).

2. Capacitat per utilitzar un programa d'anàlisi numèrica per fer una anàlisi de sensibilitat d'un problema en què es resolgui una equació diferencial ordinària.

3. Capacitat per resoldre un problema en enginyeria mitjançant una tècnica numèrica.

Coneixements sobre ordinadors i programes per a l'anàlisi numèrica matemàtica. Coneixements sobre números,

algoritmes i anàlisi d'errors. Coneixements per a la determinació de zeros de funcions. Coneixements per a la solució de sistemes d'equacions mitjançant mètodes directes i mitjançant mètodes iteratius bàsics. Coneixements sobre la solució de sistemes no lineals d'equacions. Aproximació i interpolació. Coneixements per a la integració numèrica mitjançant quadratures. Coneixements per a la solució d'equacions diferencials ordinàries.

Conceptes bàsics sobre ús i programació d'ordinadors i coneixements per utilitzarr models numèrics en problemes d'enginyeria.

Capacitat per interpretar els resultats proporcionats pels models en el context de l'enginyeria. En finalitzar el curs l'alumne haurà adquirit la capacitat de:

1. Utilitzar eines informàtiques estàndard per resoldre problemes bàsics

2. Sistematitzar i codificar una tasca repetitiva més o menys complexa en un programa d'ordinador. 3. Aproximar amb el mètode més adient dades empíriques o de disseny.

4. Identificar i resoldre problemes d'enginyeria com a problemes d'integració, zeros de funcions o equacions diferencials ordinàries.

Coneixements sobre ordinadors i programes per a l'anàlisi numèrica matemàtica. Coneixements sobre números,

algoritmes i anàlisi d'errors. Coneixements per a la determinació de zeros de funcions. Coneixements per a la solució de sistemes d'equacions. Aproximació i interpolació. Coneixements per a la integració numèrica mitjançant quadratures. Coneixements per a la solució d'equacions diferencials ordinàries.

Dedicació total: 187h 30m Hores grup gran: Hores grup mitjà: Hores grup petit:

Hores activitats dirigides: Hores aprenentatge autònom:

18h 30m 14h 42h 30m 7h 30m 105h 9.87% 7.47% 22.67% 4.00% 56.00% Hores totals de dedicació de l'estudiantat

(3)

3 / 13 Continguts

(4)

Introducció a la programació

Dedicació: 36h Grup gran: 4h Grup mitjà: 3h Grup petit: 8h

Aprenentatge autònom: 21h

Introducció a la programació com a eina per resoldre problemes alÂ·llarg del curs i com a eina per augmentar la productivitat i la tecnificació en la resta de la carrera acadèmica i professional. Concretament, es dona una visió general de les capacitats de l'Excel i delÂ·llenguatge de programació Visual Basic for Applications (VBA), així com una certa habilitat en el seu ús. Aquest llenguatge de programació té l'avantatge d'estar instal·lat en qualsevol ordinador amb el sistema operatiu Windows i el programa Excel, en versions relativament recents.

Ens acostem a l'entorn Excel a nivell d'usuari.

Aprendrem què és controlable a través de la interfície i per a què serveixen els controls bàsics, com es defineixen les funcions, la construcció de gràfics i, el que és més interessant, què són les macros i per a què ens poden servir alÂ·llarg del curs.

VBA: Variables i fluxe d'informació

Treball dirigit: variables i fluxe d'informació Fluxe d'execució: condicional i bucles Treball dirigit: condicional i bucles Exemples de programació

Descripció:

Objectius específics:

* Conèixer l'entorn de treball de l'Excel i VBA

* Veure, mitjançant exemples, algunes de les possibilitats que ofereix el programa. * Utilitzar un full de càlcul com a espai d'emmagatzematge de dades.

* Assignar fórmules a través de les cel·les.

* Crear vectors mecànicament mitjançant arrossegament i càlcul.

* Dibuixar la gràfica d'una funció i distingir entre un gràfic de línies i un de dispersió.

* Entendre què significa cridar a una funció i utilitzar correctament els paràmetres d'entrada i sortida. * Entendre què és una macro i el potencial ús que se li pot donar.

* Entendre què és un llenguatge de programació com VBA.

* Saber en què es diferencien un subprocediment i una funció i quan cal cridar l'un o l'altre. * Entendre el caràcter sequencial d'un programa de VBA.

* Conéixer els diferents tipus de variables que es poden fer servir i entendre com es declaren i s'inicialitzen. * Ser capaç de crear subprocediments i funcions.

* Saber quan cridar a funcions o a subprocediments.

* Crear una funció i poder cridar-la tant des d'una cel·la de la interfície com des d'un subprocediment. * Ser capaç de fer servir variables i saber assignar-hi valors.

* Escriure i llegir del full de càlcul.

Entendre per a què serveixen i com funcionen algunes sentències de control de flux: condicional (if) i bucles (for, while).

* Emprar i saber quan és útil el condicional.

* Comprendre en què consisteix un bucle i les seves possibilitats en programació. * Utilitzar un bucle tipus For i un bucle tipus While.

* Programar un sumatori i les seves variants.

* Comprendre les possibilitats d'enllaçar bucles i condicionals.

* Repassar els conceptes de programació tractats en les sessions anteriors. * Ser capaç de codificar algoritmes senzills.

(5)

Universitat Politècnica de Catalunya 5 / 13

Errors

Dedicació: 7h 11m Grup gran: 2h Grup petit: 1h Aprenentatge autònom: 4h 11m

Aquest tema és de caire teòric, però amb implicacions pràctiques en el bon us dels algorismes numèrics i la interpretació dels seus resultats.

Sistemes de numeració: emmagatzematge de nombres a l'ordinador. Origen de l'error: error inherent, de truncament, d'arrodoniment, total. Error absolut i error relatiu. Dígits significatius. Propagació d'errors en les operacions aritmètiques elementals. Cota de l'error.

Exemples Descripció:

* Entendre que els càlculs numèrics fets a un ordinador sempre proporcionen resultats aproximats, subjectes a un error.

* Entendre les fonts dels errors i la seva propagació en les operacions bàsiques.

* Entendre el concepte de fita de l'error com a eina per a controlar els errors i mantenir-los petits.

* Entendre com un ordinador digital emmagatzema els nombres, i les conseqüències i limitacions que això provoca.

* Ser capaç de identificar operacions desfavorables des del punt de vista de la propagació i amplificació dels errors.

Mitjançant exemples il·lustratius,

* Entendre que els càlculs numèrics estan subjectes a errors. * Identificar operacions que propaguen molt els errors.

(6)

Zeros de funcions

Dedicació: 16h 48m Grup gran: 2h Grup mitjà: 2h Grup petit: 3h

Aprenentatge autònom: 9h 48m

Es tracta de resoldre numèricament un problema fonamental (trobar arrels d'equacions algebraiques), que en mols casos d'interès no és possible o pràctic resoldre'l analíticament. El tema permet introduir conceptes generals en mètodes numèrics, com son el de algorisme iteratiu o tolerància numèrica.

Arquitectura d'un algorisme iteratiu. Mètode de la bisecció. Mètode de Newton. Mètode de la secant. Convergència dels mètodes iteratius.

Treball dirigit: zeros de funcions Problemes de zeros de funcions Descripció:

* Entendre el problema matemàtic (obtenir zeros de funcions) i la relació amb alguns problemes pràctics. * Entendre l'arquitectura d'un algorisme iteratiu genèric.

* Entendre els criteris de convergència i tenir els elements de judici per escollir toleràncies numèriques adients. * Entendre el fonament teòric i la implementació dels tres mètodes consignats al programa (bisecció, Newton i secant).

* Entendre el concepte d'ordre de convergència i saber obtenir-lo numèricament. * Implementar els mètode iteratius per a trobar zeros de funcions en VBA.

* Experimentar amb els mètodes i entendre quins problemes poden tenir. * Obtenir gràfiques de convergència.

* Ser capaç d'utilitzar els algoritmes iteratius descrits en el curs per resoldre equacions senzilles. * Ser capaç de calcular l'error de les aproximacions obtingudes i decidir quan un resultat és prou bo.

(7)

7 / 13

Integració numèrica

Dedicació: 16h 48m

Grup gran: 2h Grup mitjà: 2h Grup petit: 3h

Càlcul d'àrees: aproximació per rectangles. Mètode del trapezi compost. Mètode de Simpson compost. Convergència de les quadratures numèriques. Extensió a vàries dimensions.

Treball dirigit: integració numèrica Problemes d'integració numèrica Descripció:

* Entendre el problema matemàtic i la seva relació amb alguns problemes pràctics.

* Entendre el fonament teòric i la implementació dels tres mètodes consignats al programa (aproximacions rectangulars, trapezi compost i Simpson compost).

* Entendre el concepte d'ordre de convergència i saber obtenir-lo numèricament. * Implementació en VBA dels mètodes del trapezi compost i de Simpson compost.

* Obtenció experimental de les gràfiques de convergència, i verificació de les fórmules d'estimació de l'error. * Ser capaç d'emprar quadratures compostes per aproximar numèricament el valor d'una integral definida. * Saber estimar l'error d'una aproximació i ser capaç de decidir quina discretització es necessita per assegurar una certa precisió.

(8)

Sistemes d'equacions lineals

Avaluació #1

Avaluació #2

Dedicació: 9h 36m Dedicació: 7h 11m Dedicació: 7h 11m Grup gran: 2h Grup petit: 2h Aprenentatge autònom: 5h 36m Grup gran: 1h Grup petit: 2h Aprenentatge autònom: 4h 11m Grup mitjà: 1h Grup petit: 2h Aprenentatge autònom: 4h 11m * Sistemes amb solució immediata: matriu diagonal, matriu triangular.

* Mètodes directes. Gauss.

Treball dirigit: matrius i sistemes d'equacions lineals

Resolució de l'avaluació #1 Resolució d'avaluació #2 Descripció: Descripció: Descripció: Objectius específics:

* Entendre el problema matemàtic i la relació amb alguns problemes pràctics.

* Entendre quines característiques dels mètodes de resolució de sistemes són interessants des d'un punt de vista numèric.

* Entendre el funcionament del mètode de Gauss.

* Declarar un contenidor estàtic o dinàmic. Particularment, un contenidor numèric com a vector d'una dimensió o matriu de dimensió dos.

* Llegir i escriure vectors i matrius en un full de càlcul d'Excel utilitzant contenidors. * Assignar valors als coeficients d'una matriu o vector.

* Utilitzar subprocediments i funcions que treballen amb matrius o vectors. * Realitzar operacions de tipus matriu per vector amb contenidors.

(9)

9 / 13

Aproximació funcional

Grup gran: 3h 30m Grup mitjà: 4h 30m Grup petit: 5h

Interpolació

Treball dirigit: interpolació polinòmica Problemes d'interpolació

Mínims quadrats

Treball dirigit: mínims quadrats Problemes de mínims quadrats Splines

Treball dirigit: splines Problemes de splines

Exemples d'aproximació funcional Descripció:

(10)

* Entendre el concepte d'interpolació

* Ser capaç de calcular el polinomi que interpola unes certes dades * Entendre el criteri d'interpolació.

* Saber construir el polinomi interpolador que passa per uns punts donats. * Programació en VBA:

- Repassar com es treballa amb matrius i vectors

- Repassar com s'assignen valors als coeficients d'una matriu o vector.

- Incidir en la programació i crida de subprocediments i, en particular, recordar com es resolen sistemes d'equacions.

* Ser capaç de calcular el polinomi que interpola unes certes dades

* Entendre les propietats del polinomi interpolador (passa pels punts) i quins problemes pot tenir aquesta aproximació.

* Entendre el criteri d'aproximació per mínims quadrats.

* Ser capaç de plantejar problemes d'aproximació per mínimis quadrats, tant lineals com no lineals.

* Saber resoldre problemes de mínims quadrats lineals i, en particular, saber calcular el polinomi que aproxima per mínims quadrats unes certes dades.

* Escriure un programa de VBA que permeti calcular el polinomi que aproxima unes certes dades mitjançant el criteri de mínims quadrats.

* Aprendre a fer servir algunes eines d'Excel que permeten fer ajustos per mínims quadrats: - "línea de tendència" en un gràfic de dispersió.

- "solver", que permet resoldre problemes no lineals.

* Ser capaç de calcular el polinomi que aproxima unes dades segons el criteri de mínims quadrats. * Ser capaç de plantejar i resoldre problemes de mínims quadrats lineals.

* Saber linealitzar algunes expressions senzilles per a poder dur a terme un ajust de paràmetres per mínims quadrats lineals.

* Entendre la definició d'spline

* Entendre com es tria el tipus d'spline (grau del polinomi i suavitat de l'aproximació).

* Ser capaç de decidir quantes dades es necessiten per calcular un spline (per exemple, lineal C0 i cúbic C1). * Saber aproximar derivades d'una funció a partir dels seus valors en uns punts.

* Entendre la formulació dels splines C1 cúbics i saber-los programar * Programació en VBA:

- Repassar com es treballa amb vectors i matrius

- Incidir en la programació i crida de subprocediments

* Ser capaç de calcular el spline lineal C0 que interpola unes dades. * Ser capaç de calcular el spline cúbic C1 que interpola unes dades.

* Ser capaç d'aproximar el valor de la derivada d'una funció utilitzant el valor de la funció en alguns punts. * Ser capaç de comprovar la continuïtat d'un spline.

* Entendre quan i per què és necessari aproximar funcions

* Entendre diferents criteris d'aproximació funcional (interpolació i mínims quadrats) i saber decidir quan és convenient utilitzar l'un o l'altre.

(11)

11 / 13

Modelització amb EDOs

Grup gran: 1h 30m Grup mitjà: 1h 30m Grup petit: 5h

* Plantejament dels problemes de valor inicial d'EDOs de primer ordre. * EDOs d'ordre superior: reducció a un sistema d'EDOs de primer ordre. * Problemes de valor inicial i problemes de contorn.

* Resolució de problemes de valor inicial mitjançant el mètode d'Euler, el mètode d'Euler modificat i el mètode de Heun.

* Convergència dels mètodes de resolució d'EDOs. Treball dirigit: resolució d'EDOs

Problemes: resolució d'EDOs Descripció:

* Entendre el problema matemàtic (què es un problema de valor inicial) i la relació amb alguns problemes pràctics.

* Entendre com s'aproxima numèricament la solució d'un problema de valor inicial.

* Entendre el fonament teòric i la implementació dels tres mètodes consignats al programa (Euler, Euler modificat i Heun).

* Saber resoldre EDOs de primer ordre mitjançant els mètodes descrits al programa. * Entendre com es mesura l'error en la resolució d'una EDO.

* Entendre el concepte d'ordre de convergència i saber obtenir-lo numèricament.

* Entendre la diferència entre un problema de valor inicial i un problema de contorn, i saber quines tènciques numèriques cal emprar en la resolució.

* Entendre i implementar els mètodes de resolució d'EDOs: Euler, Euler modificat i Heun. * Entendre el concepte d'ordre de convergència i ser capaç d'obtenir-lo numèricament.

* Ser capaç d'emprar els mètodes descrits al programa (Euler, Euler modificat i Heun) per resoldre numèricament problemes de valor inicial.

* Ser capaç de, donat l'error d'una aproximació, decidir quina discretització cal fer servir per garantir una certa precisió.

(12)

Modelització

Avaluació #3

Treball de curs

Dedicació: 16h 48m Dedicació: 7h 11m Dedicació: 4h 48m Grup mitjà: 3h Grup petit: 4h Aprenentatge autònom: 9h 48m Grup petit: 3h Aprenentatge autònom: 4h 11m Grup petit: 2h Aprenentatge autònom: 2h 48m

Treball que presenta un problema de disseny en enginyeria que es pot codificar com un problema de zeros de funcions, integració, EDOs o aproximació funcional. Engloba tots els aspectes vistos fins al moment, inclosa la programació.

Treball dirigit de modelització Descripció:

* Identificar i resoldre un problema d'enginyeria com a problema numèric. * Escollir i aplicar les diferents tècniques numèriques vistes durant el curs.

(13)

13 / 13

La qualificació final de l'assignatura s'obté com la mitjana ponderada de diferents proves N = 0.15*E + 0.15*TP + 0.2*TC + 0.2*ExP + 0.3*Ex

on

* E és la mitjana aritmètica dels exercicis realitzats a classe, incloent problemes i pràctiques * TP és el treball de programació

* TC és el treball de curs, en que cal fer servir mètodes numèrics per resoldre un problema enginyeril * ExP és l'examen de programació

* Ex és la nota dels exàmens convencionals (E1: parcial, E2 final), que s'obté com el màxim entre 0.3*E1+0.7*E2 i E2. Totes les notes es calculen sobre 10 i per aprovar cal tenir una mitjana N igual o superior a 5.

Per a poder ser avaluat, s'han de lliurar els treballs i exercicis proposats en les dates indicades.

Criteris de qualificació i d'admissió a la reavaluació: Els alumnes suspesos a l'avaluació ordinària que s'hagin presentat regularment a les proves d'avaluació de l'assignatura suspesa tindran opció a realitzar una prova de reavaluació en el període fixat en el calendari acadèmic. No podran presentar-se a la prova de reavaluació d'una assignatura els estudiants que ja l'hagin superat ni els estudiants qualificats com a no presentats. La qualificació màxima en el cas de presentar-se a l'examen de reavaluació serà de cinc (5,0). La no assistència d'un estudiant convocat a la prova de reavaluació, celebrada en el període fixat no podrà donar lloc a la realització d'una altra prova amb data posterior.

Es realitzaran avaluacions extraordinàries per a aquells estudiants que per causa de força major acreditada no hagin pogut realitzar alguna de les proves d'avaluació continuada.

Aquestes proves hauran d'estar autoritzades pel cap d'estudis corresponent, a petició del professor responsable de l'assignatura, i es realitzaran dins del període lectiu corresponent.

Sistema de qualificació

Normes de realització de les activitats

Si no es realitza alguna de les activitats de laboratori o d'avaluació contínua en el periode programat, es considerarà com a puntuació zero.

Algunes de les activitats avaluables es fan en grup i, per tant, es permet consultar amb altres estudiants. No es permet, però, copiar resultats o plagiar parts del codi o l'informe. Els casos de còpia seran sancionats.

Els estudiants han d'assistir als exàmens proveïts d'una calculadora senzilla. Durant els exàmens no es permet l'ús de telèfons mòbils, ordinadors, tablets ni cap altre dispositiu electrònic. D'altra banda, és possible que en algun examen o part d'ell es permeti l'ús de llibres i apunts.

Bibliografia Bàsica:

Chapra, S.C.; Canale, R.P. Métodos numéricos para ingenieros. 6a ed. México: McGraw Hill, 2011. ISBN 978-607-15-0499-9. John Walkenbach. Excel 2010: programación con VBA. Madrid: Anaya Multimedia, 2010. ISBN 9788441528284.