GUÍA DE REPASO
PRUEBA BIMESTRAL N°2
CONTENIDO:
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FUNCIONES: DEFINICIÓN, DOMINIO Y RECORRIDO.
-
FUNCIÓN LINEAL
-
FUNCÓN AFÍN.
Definición:
FUNCIONES :
D
ada una relación f : A
B, esta relación es función si y sólo sí cada elemento de A tiene imagen única en B. En símbolos
z
y
z
)
x
(
f
y
)
x
(
f
A
f
Dom
funcion
B
A
:
f
Ejemplo:
En los siguiente gráficos sagitales, determina si las relaciones son o no funciones:
A B A B 1) a 1 2) a 1
b 2 b 2 c 3 c 3
Esto indica que para los gráficos sagitales, la relación es función si de todos los elementos del primer conjunto sale una sola flecha.
Esto indica que en un gráfico cartesiano una relación es función si al trazar cualquier paralela al eje “y” ésta corta en un solopunto al gráfico de la relación.
Y
Y
EJERCICIOS RESUELTOS
Sean los siguientes dibujos, determinemos cuales son o no función:
A B C D
EJERCICIOS PROPUESTOS
Establecer si los siguientes diagramas definen funciones de A = { 1, 2, 3} en B = { 4, 5, 6}.
1.
A B
2
. A B
3.
A B
1 4 1 4 1 4
2 5 2 5 2 5
3 6 3 6 3 6
EVALUACIÓN DE FUNCIONES
Es necesario tener claro la importancia de evaluar funciones, ya que permite determinar la imagen o preimágen de un elemento cualquiera.
Ejemplo:
Si f(x) = 4x + 5, entonces
f(3) = 4
3 + 5 = 12 + 5 = 17 ; esto indica que 17 es la imagen de 3 y que 3 es la preimágen de 17 bajo la función “f”.a b c d e
1 2 3 4 5
x y w z
Análisis:
Si observamos el diagrama, nos daremos cuenta que cada elemento de A tiene una y sólo una imagen en B, por lo tanto, f es una función.
Análisis:
Al hacer la misma observación que el ejemplo anterior, se notará que x tiene dos
relaciones,
y
por lo tanto no cumpliría con la definición. Así g no es función.f(a) = 4a + 5 ; Aquí la imagen de “a” bajo “f” es “4a + 5”. f(x + 6) =
La siguiente función está dada por una fórmula que tú ya conoces:
A = r2
Esta expresión permite hallar el área de cualquier círculo, conocido su radio r. Decimos, por tanto, que elárea del círculo está en función de su radio.
Si calculamos algunos valores de esta función, se tiene la siguiente tabla:
r A 0,5 0,78
1 3,14
1,3 5,3
2 12,56
2,5 19,63
... ... Representa esta tabla de valores en un gráfico.
Las fórmulas que has utilizado en geometría, física y otras ciencias son generalmente funciones que relacionan diferentes magnitudes
EJERCICIOS PROPUESTOS
Sea f : IR
IR definida por f(x) = 2x + 7, hallar:1.
f(4) =
2.
f
4
3
=
3.
f(4x + 3) =
4.
f(-1,5) =
ab c d e
1 2 3 4 5
Para el diagrama dado, encuentra: f(a) =
FUNCIONES REALES
DEFINICIÓN: Son todas aquellas funciones, donde sus conjuntos iniciales y finales son los números reales.
Por ejemplo:
Sea f: IR IR, definida como f(x) = 2x – 1.
De este tipo de funciones podemos definir algunas propiedades:
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto cuyos elementos hacen que la función esté bien definida, en otras palabras, es el conjunto de las preimágenes (son todos los elementos que tiene imagen)
EJERCICIOS RESUELTOS
1) f(x) = x + 2. Aquí Dom f = IR, Justifica. 2) g(x) = 3x - 1. Aquí Dom g = IR, Justifica.
3) f(x) =
3
2
5
x
x
. Aquí Dom f = IR - { 3 }, Justifica.
4) h(x) = +
5
x
2
Aquí Dom h =
,
5
2
, Justifica.
IR IR
. . . -2 -1 0 1 2 3 . . .
EJERCICIOS PROPUESTOS
Determina y Justifica el dominio de las siguientes funciones reales:
1) f(x) = 5x – 4 2) g(x) =
3
1
x
3) h(x) = 7x + 8 RECORRIDO DE UNA FUNCION
Es el conjunto formado por todas las imágenes de la función.
EJERCICIOS RESUELTOS
f
A
A
1 1
2 2 Aquí:
Domf={1,2,3}
Rec f = { 2, 3 }
3 3
Para funciones reales, como ser f(x) = 3x - 7, se debe despejar “y”, (y = f(x)), para luego analizar para qué valores de “x”, “y” está bien definida, es decir, se hace lo siguiente:
3
7
y
x
7
x
3
y
Así: Rec f = IREJERCICIOS PROPUESTOS
Determina y Justifica el recorrido de las siguientes funciones reales:
1) f(x) = 4x – 2 2) g(x) =
4
1
x
3) f(x) =
x
Continuación Funciones:
Sabemos que y = f(x) significa que para un valor “x” de la variable
independiente, la variable dependiente “y” toma el valor f(x), siendo “y” la
imagen de “x”.
Se definió como
Dominio
el conjunto de todos los valores que toma la
variable independiente “x” ;
Recorrido
por el conjunto de todos los
valores que toma la variable dependiente “y” o conjunto de todas las
imágenes.
Ejercicios:
1)
Si A = {1,2,3} con B = {2,3,4,5,6} definiéndose la función f de A en
B tal que x A ; y = f(x) = x + 2 ; con y B.
Si x A ; y = f(x) = x + 2 ; con y B
Si x = 1 ; y = f(1) =
Si x = 2 ; y = f(2) =
Si x = 3 ; y = f(3) =
Dominio = Recorrido =
2)
Si A = {-2,-1,0,1,2} con B = {-2,-1,2,3,5} definiéndose la función f
de A en B tal que x A ; y = f(x) = x
2- 2 ; con y B.
Si x A ; y = f(x) = x
2- 2 ; con y B
Si x =-2 ; y = f(-2) =
Si x =-1 ; y = f(-1) =
Si x = 0 ; y = f(0) =
Si x = 1; y = f(1) =
Si x = 2 ; y = f(2) =
Dominio = Recorrido =
A
B1
2
3
2
3
5
4
6
A
B-2
-1
0
1
2
Nota:
Para que y = f(x) sea función de A en B se debe cumplir que
el
dominio debe ser igual al conjunto de partida A ; y cada
elemento de A debe debe estar asociado con un y solo un
elemento del conjunto de llegada B llamado codominio
, siendo el
recorrido un subconjunto del codominio.
Ejercicio:
1) Determine si es función cada una de las siguientes relaciones de A en
B:
2) Si A = {-3,-1,3,5} y B = {-5,-2,0,3,4,7} con f función de A en B tal
que x A ; y = f(x) =
2
1
x
3
; con y B
a) Calcular las imágenes de los elementos del
dominio:
b) Indique: Dominio =
Codominio =
Recorrido =
c) f(-3)[f(-1) – f(5)=
d) [f(3) – f(-1)f(5) + f(3)=
A
B-3
-1
3
5
-5
-2
0
Función lineal:
Es toda función de primer grado de la forma
y = f(x) = m·x
; donde se
mantiene
constante
el cuociente entre la variable dependiente con la
independiente; es decir para y = f(x) se tiene que es lineal si:
x ;
y tal que
x
y
= m constante
en toda función lineal
y = f(x) = mx
con
“m”
constante, llamada
constante de proporcionalidad (pendiente)
; la imagen del cero es
siempre cero; es decir si x = 0 ; y = f(0) = 0.
Ejemplos:
a)
Sea la función real y = f(x) = 3x ; completar la siguiente tabla:
x
y= f(x) = 3x
-2
-1
0
1
2
3
b) Sea la función real y = f(x) =
x
2
1
; completar la siguiente tabla:
El gráfico de una función lineal es siempre una recta que pasa por el
origen de un sistema de ejes, donde la inclinación o pendiente depende
de la constante de proporcionalidad “m”:
Para y = f(x) = mx función lineal
si: m > 0 ; la función es creciente. (ejemplo a)
m < 0 ; la función es decreciente. (ejemplo b)
Función afín:
La función afín está dada por la forma y = f(x) = mx + n ; donde m
representa la pendiente y n el coeficiente de posición es decir si a
una función lineal le agregamos un real n 0; siendo su gráfico
también una recta, esta no pasa por el origen.
Ejemplo: Si x IR ; sea la función
afín
y = f(x) = 2x – 1
y= f(x)=
m=y/x
-4
-2
0
2
4
6
x
IR IR
x
y
-3
-1
1
3
5
Observaciones.
El gráfico de una función Afín es siempre una recta que pasa por el eje Y en el punto (0,n) de un sistema de ejes, donde la inclinación o pendiente depende de la constante de proporcionalidad “m”:
Para y = f(x) = mx + n función lineal si: m > 0 ; la función es creciente. m < 0 ; la función es decreciente. n=-1 ; la recta contiene el punto (0,-1), n es coeficiente de posición.
Ejercicios:
1) En base a los gráficos de las siguientes funciones de IR en IR; representa(n) una función lineal:
l) ll) lll)
A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y lll E) Todas
2) De las siguientes funciones es (son) afín: l) y = 5x ll) y = 3x – 1 lll) y = 5 A) Sólo l
B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo ll y lll E) Todas
3) Sea f(x) = 3x – 15; función de IR en IR; luego es verdadero que:
l) Intersecta al eje X en el punto (5,0) ll) Intersecta al eje Y en el punto (0,-15) lll) Se tiene que 5 es cero de la función.
A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y ll E) Todas.
