Estudio dinámico de un balón de fútbol

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(1)ESTUDIO DINÁMICO DE UN BALÓN DE FÚTBOL. TESIS DE PREGRADO. AUTOR JUAN SEBASTIÁN PFEIFFER PULIDO. ASESOR ALVARO ENRIQUE PINILLA SEPÚLVEDA PhD, M. Sc. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica Bogotá, Colombia Enero de 2010.

(2) Bogotá D.C, Enero de 2010. Doctor ALEJANDRO MARAÑON Director Depto. de Ing. Mecánica Universidad de los Andes Ciudad. Respetado Doctor,. Por medio de la presento someto a su consideración la tesis “ESTUDIO DINÁMICO DE UN BALÓN DE FÚTBOL” elaborada por JUAN SEBASTIÁN PFEIFFER PULIDO como requisito para optar al título de Ingeniero Mecánico.. Atentamente,. Álvaro E. Pinilla Sepúlveda Asesor.

(3) Bogotá D.C, Enero de 2010. Doctor ALEJANDRO MARAÑON Director Depto. de Ing. Mecánica Universidad de los Andes Ciudad. Respetado Doctor,. Por medio de la presento someto a su consideración la tesis “ESTUDIO DINÁMICO DE UN BALÓN DE FÚTBOL” como requisito para optar al título de Ingeniero Mecánico.. Atentamente,. JUAN SEBASTIÁN PFEIFFER PULIDO.

(4) AGRADECIMIENTOS. Quiero expresar mis más sinceros agradecimientos al profesor Álvaro Pinilla por todas sus enseñanzas durante la carrera y en especial, durante esta investigación. Así mismo, quiero agradecer al personal del Laboratorio de Ingeniería Mecánica, en especial a Juancho y sobre todo Omar, por toda su ayuda, colaboración y aportes que hicieron que esta investigación se cumpliera con éxito. Por último, agradezco infinitamente a mi familia y amigos por todo el apoyo brindado durante estos 5 años de fracasos, éxitos, sufrimientos y alegrías en los cuales nunca dejaron de estar a mi lado y brindaron ayuda cuando lo necesité. Sin ninguno de ellos, nada de esto hubiera sido posible.. GRACIAS.

(5) CONTENIDO 1. 2. 3. 4. INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 9 1.1. MOTIVACIÓN, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS ....................................... 9. 1.2. HISTORIA DEL BALÓN DE FÚTBOL ...................................................... 10. 1.3. ESTUDIOS PREVIOS Y GENERALIDADES ........................................... 12. TEORIA CIENTÍFICA DE UN BALÓN DE FÚTBOL ....................................... 14 2.1. EXPLICACIÓN BÁSICA ........................................................................... 14. 2.2. AERODINÁMICA DE UN BALÓN DE FÚTBOL ....................................... 15. 2.3. REBOTE DEL BALON DE FUTBOL ........................................................ 18. 2.3.1. Generalidades rebote del balón de fútbol .......................................... 18. 2.3.2. Coeficiente de Restitución ................................................................. 19. 2.3.3. Rebote con giro inducido ................................................................... 20. METODO EXPERIMENTAL ........................................................................... 28 3.1. EXPLICACIÓN GENERAL ....................................................................... 28. 3.2. DISEÑO DEL MONTAJE ......................................................................... 29. 3.3. TOMA DE DATOS.................................................................................... 34. 3.4. PROCESAMIENTO DE DATOS .............................................................. 37. RESULTADOS ............................................................................................... 42 4.1. CARACTERISTICAS DEL BALÓN........................................................... 42. 4.1.1. Coeficiente de Restitución ................................................................. 42. 4.1.2. Momento de Inercia ........................................................................... 43. 4.2. CURVAS AERODINAMICAS ................................................................... 44. 4.3. CURVAS DE REBOTE............................................................................. 45. 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................................. 49. 6. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 52.

(6) LISTA DE FIGURAS. Figura 1.2-1 Esquema y componentes en la fabricación de un balón de fútbol. Fuente (Laguna, 2007) .......................................................................................... 11 Figura 2.2-1 Fuerzas aerodinámicas presentes en un balón de fútbol durante el vuelo ...................................................................................................................... 15 Figura 2.2-2 Coeficiente de Arrastre en función del número de Reynolds Fuente: (Asai & Seo, 2007) ................................................................................................ 17 Figura 2.2-3 Trayectorias del despeje de un balón en diferentes condiciones ...... 18 Figura 2.3-1 Esquema de momento del rebote de un balón de fútbol ................... 19 Figura 2.3-2 Rebote con ángulo de incidencia y velocidad rotacional Imagen adaptada de (Wesson, 2002) ................................................................................ 21 Figura 2.3-3 Fuerzas presentes en el rebote de un balón girando ........................ 21 Figura 2.3-4 Movimiento de la bola en el suelo durante el rebote Imagen tomada de (Wesson, 2002) ................................................................................................ 22 Figura 2.3-5 Componentes de las velocidades de aproximación y rebote Imagen adaptada de (Wesson, 2002) ................................................................................ 23 Figura 2.3-6 Caída vertical de balón con giro ........................................................ 24 Figura 2.3-7 Velocidad angular posterior al rebote en función de la velocidad angular anterior al rebote ...................................................................................... 26 Figura 2.3-8 Componente horizontal de la velocidad de rebote en función de la velocidad angular anterior al rebote ...................................................................... 26 Figura 2.3-9 Angulo de rebote para diferentes superficies en función de la velocidad angular anterior al rebote ...................................................................... 27 Figura 2.3-10 Coeficiente de pérdida de energía para diferentes superficies en función de la velocidad angular anterior al rebote ................................................. 27 Figura 3.2-1 Vista frontal del montaje .................................................................... 30 Figura 3.2-2 Vista lateral izquierda del montaje .................................................... 30 Figura 3.2-3 Vista frontal detallada de mecanismo de rotación y sujeción ............ 31 Figura 3.2-4 Vista detallada de elementos ............................................................ 32.

(7) Figura 3.2-5 Vástago recogido para liberar el balón .............................................. 32 Figura 3.2-6 Funcionamiento del montaje ............................................................. 33 Figura 3.2-7 Péndulo bifilar para medición de momento de inercia ....................... 34 Figura 3.3-1 Péndulo Bifilar ................................................................................... 34 Figura 3.3-2 Montaje completo de filmación .......................................................... 35 Figura 3.3-3 Superposición de imágenes para cálculo del coeficiente de restitución .............................................................................................................................. 36 Figura 3.3-4 Superposición de imágenes que registra la filmación ....................... 36 Figura 3.4-1 Visualización programa Tracker ........................................................ 37 Figura 3.4-2 Diagrama de fuerzas de un balón en movimiento ............................. 38 Figura 3.4-3 Muestra de la hoja de calculo ........................................................... 40 Figura 3.4-4 Trayectorias simuladas y reales para 3 lanzamientos....................... 41 Figura 4.2-1 Coeficiente de Arrastre. Imagen adaptada de (Laguna, 2007) ......... 44 Figura 4.2-2 Coeficiente de Sustentación en función de parámetro de giro. Imagen adaptada de (Passmore, Tuplin, Spencer, & Jones, 2007) ................................... 45 Figura 4.3-1 Velocidad angular de rebote ............................................................. 46 Figura 4.3-2 Velocidad horizontal de rebote .......................................................... 47 Figura 4.3-3 Angulo de rebote ............................................................................... 48 Figura 4.3-4 Coeficiente de Pérdida de Energía ................................................... 48.

(8) LISTA DE TABLAS. Tabla 1.2-1 Reglamentación FIFA para balones de fútbol Fuente: (Laguna, 2007) .............................................................................................................................. 12 Tabla 2.3-1 Coeficiente de Restitución teórico para diferentes superficies según (Wesson, 2002) ..................................................................................................... 20 Tabla 3.3-1 Momentos de inercia para diferentes balones a diferentes presiones y el teórico para un balón estándar según FIFA....................................................... 35 Tabla 4.1-1 Coeficiente de Restitución Adidas en Concreto ................................. 42 Tabla 4.1-2 Coeficiente de Restitución Golty en Concreto .................................... 42 Tabla 4.1-3 Coeficiente de Restitución para los 2 balones a 0,61 bar (9 PSI) en las 3 superficies .......................................................................................................... 43 Tabla 4.1-4 Radio de balón Adidas a 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI) ........................ 43 Tabla 4.1-5 Radio de balón Golty a 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI) .......................... 43.

(9) 1 INTRODUCCIÓN 1.1. MOTIVACIÓN, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS Desde comienzos del siglo 20, el futbol ha sido considerado como el deporte universal, conocido y practicado por millones de personas en todos los países del mundo. Paralelamente, se ha podido ver cómo en los últimos años, las inversiones en ese ámbito han presentado un enorme crecimiento que actualmente se ve directamente reflejado en temas como las grandes sumas de dinero invertidas en contrataciones de jugadores y grandes construcciones de estadios entre otros. Esto resalta la creciente y gran importancia que actualmente tiene este deporte en el planeta. Hoy en día, es cada vez más común encontrar en el mercado cómo las grandes marcas deportivas sacan al mercado nuevos y sofisticados productos como camisetas, guayos, guantes y balones, con un importante desarrollo tecnológico sobre el cual las empresas hacen énfasis para vender sus productos. Uno de éstos, y que últimamente ha causado gran polémica, es el elemento esencial del deporte: el balón de fútbol. En efecto, se ha podido ver como hoy en día las reconocidas empresas a nivel mundial sacan novedosos. diseños de balones con diferentes tipos de. manufactura, con el fin no solo de dar un mayor espectáculo sino también para satisfacer las demandas y consejos de jugadores profesionales. Dicho esto, debido a la fuerte competencia existente entre las diferentes fábricas, la información técnica y resultados de diferentes desarrollos que estas empresas puedan tener, se clasifica como información comercial privada y por ende, poco se encuentra publicado en la literatura, lo que impide tener un conocimiento más detallado sobre el tema de los balones de futbol. Siendo un deporte universal con tan magna importancia, es deseable entonces realizar estudios para entender más a fondo los aspectos técnicos y científicos del tema, no sólo para científicos e ingenieros sino para que también la gente aficionada al futbol pueda entender en sus propios términos.

(10) que aspectos influyen y son de alta importancia a la hora del juego, más aún en nuestro país, donde el futbol es tan importante. Por tal razón y ya que también existe interés por parte de empresas colombianas manufactureras de balones de obtener conocimiento más calificado, el objetivo. de esta investigación es hacer un estudio del. comportamiento dinámico y aerodinámico de diferentes balones de fútbol de una forma experimental empleando diseños nacionales e importados, analizar sus diferencias desde un punto de vista teórico y plasmar esta información de forma didáctica para que cualquier aficionado al futbol la pueda leer y entender sin mayor esfuerzo. Más explícitamente se desarrollará un modelo teórico del rebote de un balón de fútbol con su posterior trayectoria 1.2. HISTORIA DEL BALÓN DE FÚTBOL Desde el momento en que se tienen registrados los inicios de los juegos de pelota (2500 A.C.), los humanos han utilizado diferente fibras naturales para la fabricación de estas. Se han usado diferentes construcciones desde bolas de cuero de animal rellenas de arena, hasta vejigas de cerdo forradas con una capa de cuero. Para efectos del fútbol, se puede decir que es esta ultima la que dio inició al deporte conocido mundialmente hoy en día. En efecto, después de que los egipcios usaran este diseño por primera vez y que los romanos lo retomaran posteriormente, gracias a su imperio y expansión en las Islas Británicas, con el paso del tiempo se pudo ir desarrollando en Escocia e Inglaterra los deportes que hoy conocemos como rugby y fútbol. Sin embargo, no es sino hasta 1848 con la aparición del Primer Reglamento de Cambridge que buscaba clarificar y unificar las diferentes reglas con que se jugaba, que se da inicio a la historia moderna del futbol. A partir de entonces, surgieron las diferentes asociaciones de futbol como la Asociación Inglesa de Futbol (1863) a la cual siguieron la Escocesa (1873), Irlandesa (1880) y muchas otras más gracias a una fuerte y rápida expansión que.

(11) obligó a la creación de la FIFA en 1904 con el objetivo de unificar y reglamentar el futbol a nivel internacional.1 Desde entonces, se ha ido desarrollando y modificando la construcción del balón de futbol en los diferentes países del mundo en que se practica. Se pasó entonces de un diseño rustico y artesanal consistente en una vejiga de cerdo forrada por capas de cuero cocido a mano, hasta los diseños de hoy en día con materiales de ingeniería (algunos patentados) con diferentes capas y formas de unirlas. En la Figura 1.2-1 se pueden ver esquemas de fabricación para diferentes diseños.. Figura 1.2-1 Esquema y componentes en la fabricación de un balón de fútbol. Fuente (Laguna, 2007). Actualmente, las empresas no solo patentan sus diseños sino también su proceso de fabricación con materiales patentados como lo es el caso de Adidas® FINALE con su cubierta de IMPRANIL® fabricada por Bayer. Esto conlleva entonces a pensar en todo el desarrollo existente para que estos productos salgan al mercado y por ende, sobre que estudios son realizados por parte de estas empresas y cuáles son sus objetivos. Sin embargo, con toda esta diversidad que puede existir en diseños y características y para evitar una alta variabilidad en el comportamiento de los balones, la FIFA decidió implementar una regulación que los balones deben cumplir para poder ser usados en partidos oficiales. Esta reglamentación se puede ver en la Tabla 1.2-1 1. Información tomada de (Laguna, 2007).

(12) Tabla 1.2-1 Reglamentación FIFA para balones de fútbol Fuente: (Laguna, 2007). 1.3. ESTUDIOS PREVIOS Y GENERALIDADES Si bien desde los años 50’s se han desarrollado estudios científicos publicados en la literatura sobre deportes de pelota como el golf, beisbol, o cricket, han sido muy pocos los que se han realizado y publicado sobre el fútbol. Sólo hasta comienzos del siglo 21, se empezó a publicar información sobre este tema con autores como Carré, Asai y Haake de la Universidad de.

(13) Sheffield (Reino Unido) (Carré, Asai, Akasuka, & Haake, 2002) entre otros, apoyados en gran parte por la ISEA (International Sports Engineering Association). Estos estudios han buscado principalmente caracterizar y encontrar parámetros aerodinámicos de diferentes balones de fútbol para así poder inferir conclusiones sobre el comportamiento en función de su diseño tanto en sus trayectorias como en el momento de ser pateados. Con relación a estos estudios, en nuestro país más específicamente en la Universidad de los Andes, también se han realizado trabajos sobre este tema. El primero de estos, realizado por Laguna (Laguna, 2007) se basó en un análisis aerodinámico de balones a escala y en el cual se obtuvieron resultados acertados, pero en donde estos modelos reducidos no correspondían exactamente a los diseños reales en aspectos como la rugosidad e instalación y colocación de los paneles exteriores. Un segundo estudio, realizado por Jiménez (Jimenez, 2009), consistió en diseñar un experimento y medir parámetros del balón en tamaño real gracias al nuevo túnel de viento de la Universidad de los Andes. Este estudio arrojó resultados acertados en cuanto a la medición del arrastre de diferentes esferas. Es. importante. anotar. que. la. preocupación. por. estudiar. factores. aerodinámicos ha dejado de lado el estudio de otras características importantes del balón como lo es el impacto en el suelo o el rebote. Por esta razón, el objetivo de este proyecto, lo cual lo diferencia de los análisis anteriormente mencionados y lo convierte en un buen aporte a la literatura castellana sobre este tema, es el estudio del rebote y posterior trayectoria en el aire del balón de fútbol bajo diferentes condiciones en diferentes superficies de juego.. Habiendo presentado entonces el contexto general y colombiano en cuanto al estudio científico de los balones de fútbol, el siguiente capítulo consistirá en la explicación teórica de los fenómenos físicos y mecánicos presentes en un balón a la hora del juego. Se intentará hacer esta explicación lo más simple y didáctica posible como se mencionó anteriormente..

(14) 2 TEORIA CIENTÍFICA DE UN BALÓN DE FÚTBOL 2.1. EXPLICACIÓN BÁSICA Muchos deportes de pelota como el tenis, golf, o basquetbol entre otros, consisten en darle un impulso inicial de alguna forma a una pelota que posteriormente sigue una trayectoria en el aire y posteriormente cae produciendo un rebote. Sin embargo, como cualquier persona puede percatarse, el vuelo de una pelota de golf es mucho más largo que el de un balón de fútbol y a su vez el de éste es mucho más largo que el de una pelota de tenis. Así mismo, tanto en el tenis como en el futbol, el momento del rebote es importante ya que este condiciona como tiene que estar preparado el jugador para hacer contacto con la pelota ya sea para responder en el caso del tenis o para controlar, recibir, patear o atrapar el balón, en el caso del futbol. Esto muestra entonces que si bien se trata de pelotas de las cuales podría esperarse un comportamiento similar, la realidad es que su diseño, tamaño y demás aspectos de la construcción, acentúan las diferencias y condiciona en gran parte el desarrollo del juego. Por esta razón, se hace muy interesante el estudio de estas características para pelotas del mismo deporte con diversos diseños para saber cómo influyen estas diferencias en el juego. En este caso, para el fútbol se puede resumir las situaciones antes mencionadas en dos fenómenos físicos: . Impacto: Al momento de ser pateado y de rebotar, el balón es sometido a impactos tanto con el pie del jugador como con la superficie de juego.. . Trayectoria en el aire: Dependiendo del impacto recibido, el balón hace una trayectoria que puede ser recta o curva y con diferente alcance de distancia o rango.. Como se mencionó anteriormente el enfoque de este proyecto es estudiar el rebote de un balón de fútbol y su posterior trayectoria en el aire. Para esto,.

(15) se procederá entonces a explicar la teoría con respecto al vuelo en el aire y del rebote de un balón de fútbol.. 2.2. AERODINÁMICA DE UN BALÓN DE FÚTBOL Cuando un balón de futbol se desplaza en el aire siente exactamente lo mismo, una fuerza que intenta desplazarlo hacia atrás, sin embargo el impulso que trae le permite seguir su vuelo. La Figura 2.2-1 muestra un diagrama de las fuerzas a las cuales es sometido un balón de fútbol durante el vuelo.. Figura 2.2-1 Fuerzas aerodinámicas presentes en un balón de fútbol durante el vuelo. Las ecuaciones que relacionan estas fuerzas son las siguientes: Peso: 𝑊 = 𝑚𝑏𝑎𝑙𝑜𝑛 𝑔 1. Fuerza de arrastre: 𝐹𝐷 = 2 𝐶𝐷 𝜌𝑉 2 𝐴 1. Fuerza de arrastre: 𝐹𝐿 = 2 𝐶𝐿 𝜌𝑉 2 𝐴 Donde 𝐶𝐷 y 𝐶𝐿 son los coeficientes de arrastre y sustentación respectivamente, 𝑉 es la velocidad de desplazamiento del balón en m/s, 𝜌 es la densidad del fluido en kg/m3, 𝐴 es el área frontal del balón en m2 (𝐴 = 𝜋𝑟 2 ), 𝑚𝑏𝑎𝑙𝑜𝑛 es la masas del balón en kg, 𝑔 es la aceleración gravitacional de la tierra (𝑔 = 9.81𝑚/𝑠 2 ) Una vez definidas estas fuerzas es importante explicar su existencia. Pues bien, a medida que el balón atraviesa este fluido, debido a que el aire tiene una viscosidad, éste intenta pegarse al balón y por ende se va generando un.

(16) arrastre del aire contrario al movimiento del balón, conocido como su nombre lo indica como Fuerza de Arrastre. Así mismo, ya que el balón esta en rotación, se produce un efecto conocido como el efecto Magnus descubierto en 1852 por el físico alemán Heinrich Magnus. Con el sentido de giro mostrado en la Figura 2.2-1, el flujo de aire en la parte superior del balón no solo es debido al movimiento lineal del balón, sino también se le agrega una componente de velocidad debido al aire que se pega en la superficie por la rotación del balón. En la parte inferior sucede lo opuesto: el aire es arrastrado por el movimiento lineal pero debido a la rotación del balón, cierta cantidad de aire que se pega al balón es movida en dirección opuesta lo que conlleva una disminución de la velocidad del viento. Se tiene entonces en la parte inferior, una velocidad de viento menor que en la parte superior y por el principio de Bernoulli existe entonces mayor presión abajo que arriba, lo que genera entonces una fuerza vertical hacia arriba que intenta elevar el balón creando así la fuerza de sustentación. Para una explicación más detallada de estos fenómenos se puede consultar (White, 2003). Así mismo, para poder evaluar diferentes geometrías en diferentes condiciones, se estableció el número adimensional de Reynolds, el cual involucra propiedades geométricas, dinámicas y físicas y con el cual se trazan las curvas típicas de 𝐶𝐷 = 𝑓 𝑅𝑒 𝑦 𝐶𝐿 = 𝑓(𝑅𝑒). En las se pueden ver curvas típicas para los balones de fútbol de acuerdo a los estudios de Carré (Carré, Asai, Akasuka, & Haake, 2002) y Asai (Asai & Seo, 2007)..

(17) Figura 2.2-2 Coeficiente de Arrastre en función del número de Reynolds Fuente: (Asai & Seo, 2007) Adaptación del autor. Como se puede ver en la Figura 2.2-2, la existencia de diferentes valores de estos parámetros aerodinámicos hace que las trayectorias en al aire de cada balón sean diferentes. La Figura 2.2-3 muestra las trayectorias de lo que sería el vuelo de un balón despejado por el arquero a una velocidad inicial de 30m/s con ángulo de 35° a diferentes condiciones. Esto con el fin de poder comparar y cuantificar el efecto de las diferencias con o sin presencia de la fuerza de arrastre en ciudades a diferente altura como Bogotá y Cartagena. Estas trayectorias se realizan con un modelo teórico del vuelo, el cual se explica detalladamente en la sección 3.4. Para este caso, se tomó un coeficiente de arrastre 𝐶𝐷 = 0.5 tanto para Bogotá, como para Cartagena..

(18) Figura 2.2-3 Trayectorias del despeje de un balón en diferentes condiciones. 2.3. REBOTE DEL BALON DE FUTBOL. 2.3.1 Generalidades rebote del balón de fútbol En el fútbol, el rebote es un momento importante del juego ya que de este depende la facilidad del control del balón que tenga el jugador. Muchas veces el balón rebota inesperadamente con un movimiento extraño conocido coloquialmente como “pique”, en donde la trayectoria posterior al rebote desubica al jugador, y por cosas de este tipo se producen goles y jugadas que al verlos en televisión inmediatamente se califica como error del jugador. Es claro que este fenómeno depende tanto del terreno como del balón, sin embargo una explicación técnica facilitaría la comprensión de este fenómeno. Las siguientes explicaciones se basan en el estudio y modelos.

(19) desarrollados por. John Wesson (Wesson, 2002), quien explica simple y. claramente a grandes rasgos la física entorno del rebote de un balón de fútbol. 2.3.2 Coeficiente de Restitución Cualquier persona ha podido percatarse de que al soltar un balón de fútbol en cualquier superficie, este rebota un número finito de veces hasta quedar en reposo en el suelo. Así mismo, ha podido ver que cuando un balón está más desinflado que otro, su rebote es menor, y este queda en reposo en el suelo con una mayor rapidez. La Figura 2.3-1 muestra un esquema del fenómeno del rebote de un balón en caída libre que permite una simple explicación de éste. Se puede ver que justo en el momento del rebote, el suelo ejerce una reacción sobre el balón para que este posteriormente se eleve. Debido a que el balón tiene cierta presión interna P igualmente distribuida por todo el balón, la reacción ejercida es proporcional al área de contacto (𝐹 = 𝑃𝐴) y por ende entre mayor presión tenga el balón, mayor será la reacción del suelo sobre el balón. Se tendrá entonces una mayor fuerza del suelo impulsando el balón hacia arriba y por ende una mayor altitud. Así mismo, debido a la elasticidad del material del balón, este se deforma a lo largo del contacto con el suelo, causando así una pérdida de energía.. P P. P. P P. P F. P. Figura 2.3-1 Esquema de momento del rebote de un balón de fútbol. Se tiene entonces dos aspectos cruciales que evalúan el rebote: la presión interna del balón y el tipo de superficie que hace deformar el balón. Para cuantificar este fenómeno, existe una relación conocida come el coeficiente.

(20) de restitución 𝑒 que para este caso, relaciona las alturas inicial y posterior 𝑕1 y 𝑕2 del rebote de la siguiente forma: 𝑒=. 𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑉2 = 𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑉1. En una caída libre, por conservación de energía, toda la energía potencial se transforma en energía cinética y se tiene entonces lo siguiente: 1 𝑚𝑉12 → 𝑉1 = 2𝑔𝑕1 2 1 𝑚𝑔𝑕2 = 𝑚𝑉22 → 𝑉2 = 2𝑔𝑕2 2. 𝑚𝑔𝑕1 =. 𝑒=. 𝑉2 = 𝑉1. 𝑕2 𝑕1. La Tabla 2.3-1 resume resultados teóricos de estudios previos (Wesson, 2002) del coeficiente de restitución de un balón de fútbol en diferentes superficies. Pasto Largo Pasto Corto Superficie dura e. 0,5. 0,6. 0,8. Tabla 2.3-1 Coeficiente de Restitución teórico para diferentes superficies según (Wesson, 2002). El coeficiente de restitución permite entonces anticipar o inferir sobre la velocidad vertical posterior conociendo su velocidad vertical de aproximación o su altura inicial. 2.3.3 Rebote con giro inducido En la realidad, generalmente antes del rebote, el balón de fútbol viene con cierto ángulo de incidencia y una velocidad rotacional. Por ende, este debe rebotar con cierto ángulo de rebote y una velocidad rotacional. La velocidad de aproximación se puede descomponer en sus componentes vertical y horizontal así como la velocidad de rebote. Esto permitirá entonces hacer un análisis separado para cada condición que facilitará la comprensión del tema. La Figura 2.3-2 muestra un diagrama ilustrando la situación mencionada.

(21) Figura 2.3-2 Rebote con ángulo de incidencia y velocidad rotacional Imagen adaptada de (Wesson, 2002). Para el caso ilustrado se tiene entonces que el balón viene con una velocidad de giro 𝜔0 , una velocidad horizontal 𝑢0 , una velocidad vertical 𝑣0 con ángulo de incidencia 𝜃0 . Posterior al rebote, el balón sale con una velocidad de giro 𝜔1 , una velocidad horizontal 𝑢1 , una velocidad vertical 𝑣1 y un ángulo de rebote 𝜃1 . Al descomponer por ejes las velocidades, y dada la existencia del coeficiente de restitución, se puede inmediatamente concluir la relación entre las velocidades verticales. 𝑣1 = 𝑒 ⋅ 𝑣0 Una vez deducido esto se puede entonces concentrar en el análisis para las velocidades horizontales y rotacionales.. Figura 2.3-3 Fuerzas presentes en el rebote de un balón girando. Como se ve en la Figura 2.3-3, cuando una bola con giro inducido toca el suelo, es sometida a una fuerza de fricción 𝐹𝑓 . Esta fuerza de fricción es proporcional a la fuerza normal 𝐹𝑁 y está definida como 𝐹𝑓 = 𝜇 ⋅ 𝐹𝑁 , donde 𝜇.

(22) es el coeficiente de fricción estático entre el balón y la superficie. Por la segunda ley de Newton se tiene: 𝑚. 𝑑𝑢 = 𝐹𝑓 𝑑𝑡. Así mismo, esta fuerza de fricción produce un momento par que produce un cambio en la velocidad angular del balón de radio 𝑟 con momento de inercia 𝐼. Aplicando de nuevo la segunda ley de Newton para movimiento rotacional se obtiene: 𝐼. 𝑑𝜔 = −𝐹𝑓 ⋅ 𝑟 𝑑𝑡. Combinando las ecuaciones anteriores: 𝑑𝜔 𝑚𝑟 𝑑𝑢 =− 𝑑𝑡 𝐼 𝑑𝑡 𝑚𝑟 Δ𝜔 = − Δ𝑢 𝐼 Con esto, se encuentra entonces una relación entre las velocidades rotacionales y horizontales del balón antes y después del rebote. Así mismo, una vez la fuerza de fricción frena el giro rotacional del balón, este rueda sobre el piso como se ve en la Figura 2.3-4.. Figura 2.3-4 Movimiento de la bola en el suelo durante el rebote Imagen tomada de (Wesson, 2002). Se encuentra entonces que la velocidad horziontal del balón despues del rebote es: 𝑢 =𝜔⋅𝑟.

(23) Teniendo la componente horizontal y vertical de la velocidad de rebote, es posible encontrar el ángulo de rebote 𝜃1 como se ve en la Figura 2.3-5:. Figura 2.3-5 Componentes de las velocidades de aproximación y rebote Imagen adaptada de (Wesson, 2002). tan 𝜃1 =. 𝑣1 𝑢1. Resumiendo las explicaciones anteriores, se encuentran 4 ecuaciones que gobiernan el rebote de un balón de fútbol: 𝑣1 = 𝑒 ⋅ 𝑣0 𝑚𝑟 𝜔1 − 𝜔0 = − 𝑢1 − 𝑢0 𝐼 𝑢1 = 𝜔1 ⋅ 𝑟 𝑣1 𝜃1 = tan−1 𝑢1 Por ende, si se sabe las condiciones de acercamiento al rebote (velocidad lineal y rotacional) se puede entonces predecir teoricamente las velocidades horizontal, vertical y rotacional así como el ángulo de rebote..

(24) Figura 2.3-6 Caída vertical de balón con giro. Para el caso particual de la Figura 2.3-6, al soltar un balón desde cierta altura unicamente con una velocidad rotacional y sin velocidad horizontal, justo antes del rebote se tiene: 𝑢0 = 0. 𝑚 , 𝑠. 𝜔0 = 𝑘. 𝑟𝑎𝑑 , 𝑠. 𝑣0 =. 2𝑔𝑕0. 𝑚 𝑠. Combinando con las ecuaciones previas, se tiene entonces: 𝑣1 = 𝑒 2𝑔𝑕0 𝜔1 = −. 𝑚𝑟 𝑢 + 𝜔0 𝐼 1. Al reemplazar con la condición de rodadura del balón se tiene: 𝑚𝑟 𝜔1 = − 𝜔 𝑟 + 𝜔0 𝐼 1 𝜔0 𝜔1 = 𝑚𝑟 2 1+ 𝐼 𝜔0 𝑟 𝑢1 = 𝑚𝑟 2 1+ 𝐼 Y por último para el ángulo de rebote: tan 𝜃1 =. → tan 𝜃1. 𝑒 2𝑔𝑕0 𝑣1 = 𝜔 𝑟 0 𝑢1 𝑚𝑟 2 1+ 𝐼 𝑒 2𝑔𝑕0 𝑚𝑟 2 = 1+ 𝜔0 𝑟 𝐼.

(25) Con esto se establecen entonces 4 principales relaciones que permiten evaluar el comportamiento del balón posterior al rebote con tan solo dos datos: la altura inicial 𝑕0 y la velocidad inicial de rotación 𝜔0 . Por ende, para una misma altura, se obtienten curvas de velocidad horizontal, rotacional y angulo de rebote en función de la velocidad inicial de giro. Así mismo, se puede obtener un coeficiente de perdida de energía del balón al hacer una relación de las energías anterior y posterior al rebote. Esas 4 relaciones principales desarolladas son las guías del presente estudio y son las que se comprobaran experimentalmente posteriormente. Velocidad vertical de salida 𝑣1 = 𝑒 2𝑔𝑕0 𝜔0 𝑚𝑟 2 1+ 𝐼 𝜔0 𝑟 Velocidad horizontal de salida 𝑢1 = 𝑚𝑟 2 1+ 𝐼 𝐸1 Coeficiente de perdida de energia 𝐶𝑝𝑒𝑟𝑑 = 𝐸0 Velocidad angular de salida 𝜔1 =. 1 = 2. 𝐼𝜔12 + 𝑚 𝜔1 ⋅ 𝑟. 2. + 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑒 ⋅ 𝑕0. 1 2 2 𝐼𝜔0 + 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑕0. Es importante anotar que estas curvas teóricas se calculan con los valores promedio de la reglamentación FIFA, es decir una masa 𝑚 = 0.43𝑘𝑔 y 𝑟 = 0.11𝑚 y con el momento de inercia teórico de una esferza hueca 2. 𝐼 = 3 𝑚𝑟 2 . Según esto, el momento de inercio teórico de un balón de fútbol sería 3.4 ∗ 10−3 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 .. Así mismo, las Figura 2.3-7 a Figura 2.3-10 muestran las curvas teoricas de las relaciones mencinoadas anteriormente para 3 superficies de juego diferentes..

(26) Figura 2.3-7 Velocidad angular posterior al rebote en función de la velocidad angular anterior al rebote. Figura 2.3-8 Componente horizontal de la velocidad de rebote en función de la velocidad angular anterior al rebote.

(27) Figura 2.3-9 Angulo de rebote para diferentes superficies en función de la velocidad angular anterior al rebote. Figura 2.3-10 Coeficiente de pérdida de energía para diferentes superficies en función de la velocidad angular anterior al rebote.

(28) Es importante percatarse que tanto para el coeficiente de perdida de energia como para el angulo de rebote, la superficie de juego (dura como el concreto, de pasto corto como la grama sintetica o de pasto largo como la grama natural) influye mediante el coeficiente de restitución. Sin embargo, la velocidad rotacional y horizontal posterior al giro dependen unicamente de la velocidad. rotacional inicial.. Por ende, estas dos ultimas deberían. comportarse de la misma forma en cualquier tipo de superficie. Una vez obtenidas estas relaciones del comportamiento teorico de un balón tanto aerodinámico como de rebote, se puede evaluar experimentalmente diferentes balones para así comparar los datos experimentales con los teóricos.. 3 METODO EXPERIMENTAL 3.1. EXPLICACIÓN GENERAL Hoy en día existen diferentes métodos para estudiar el comportamiento dinámico de objetos como lo son sensores, simulaciones en computador y análisis de movimiento por grabación en alta velocidad entre otros. Sin embargo, el acceso y uso de algunas de estas tecnologías es muy restringido debido a sus altos costos o complejidad. Por esta razón, para el presente estudio se deicidio utilizar la grabación en alta velocidad debido a su fácil acceso y uso. Este metodo que se basa en el análisis de posición paso a paso (o cuadro por cuadro) permite no solo encontrar velocidas y aceleraciones sino tambíen inferir indirectamente parametros aerodinámicos del balón de futbol como 𝐶𝐷 y 𝐶𝐿 . Se le da el nombre de grabación de alta velocidad ya que a diferencia de grabadoras convencionales cuya frecuencia de grabación es de 30 cuadros por segundo (30 FPS), las cámaras de alta velocidad permiten frecuencias de grabación mayores a 100 FPS, lo que resulta en la obtención de un mayor número de posiciones por unidad de tiempo y por ende mayor precisión. Para este caso, se usó una cámara de.

(29) fácil acceso Sony® DVR-DVD505 que permite una grabación a 120 FPS durante 3 segundos, ideal para las velocidades en las que viaja un balón (inferior a 35m/s). Al tener definida esta tecnología, el siguiente proceso fue diseñar un montaje robusto que permitiera hacer varias mediciones repetibles y controladas en diferentes condiciones. Los balones analizados en el presente estudio son el balón GOLTY ELDORADO® y el ADIDAS FINALE®. La siguiente sección ilustra el diseño y funcionamiento del montaje. 3.2. DISEÑO DEL MONTAJE Una de las primeras necesidades del montaje es que este fuera estructuralmente. solido. pero. liviano. y. de. fácil. transporte. para. experimentación en diferentes superficies. Así mismo, su manejo debía ser controlado para evitar el error humano lo más posible. Este debería funcionar para análisis de caída libre del balón (sin giro inducido) con el objetivo de medir el coeficiente de restitución así como induciendo una velocidad rotacional al balón para analizar su posterior rebote. Se decidió usar un motor eléctrico DC conectado a una fuente, la cual permitió restrinigir la entrada de votlaje y corriente para así controlar el giro del balón y un actuador neumático acoplado a una electroválvula que permitía soltar el balón en el momento indicado en condiciones controladas. Las Figura 3.2-1 y Figura 3.2-2 son vistas generales del montaje. En estas se puede ver la estructura de soporte hecha de perfil de HR en L de 1/8” de grosor. Esto garantiza rigidez y a su vez, un facil transporte debido a un bajo peso. Así mismo se puede observar la altura de la cual se suelta el balón de aproximadamente unos 95cm..

(30) Figura 3.2-1 Vista frontal del montaje. Figura 3.2-2 Vista lateral izquierda del montaje.

(31) Las Figura 3.2-3 y Figura 3.2-4 son vistas en detalle de los elementos principales del mecanismo de rotación. El motor eléctrico DC conectado al eje de rotación derecho permite darle giro rotacional al balón. Este se regula con el paso de corriente y voltaje de la fuente eléctrica para así darle al balón la velocidad angular deseada. Así mismo, del lado izquierdo se encuentra un acople entre el vástago del actuador y el eje izquierdo de rotación que permite una libre rotación con una fricción mínima debido a unos rodamientos internos en el acople construido. De esta forma el balón gira libremente antes de ser liberado por el recogimiento del vástago (Figura 3.2-5) del actuador activado mediante la electroválvula. El balón es sujetado a estos elementos mediante dos copas de sujeción con material antideslizante lo que evita un deslizamiento y permite trabajar con una minima presión de contacto en el actuador (1,36 bar (20PSI)) para asi evitar deformaciones en el balón.. Figura 3.2-3 Vista frontal detallada de mecanismo de rotación y sujeción.

(32) Figura 3.2-4 Vista detallada de elementos. Figura 3.2-5 Vástago recogido para liberar el balón.

(33) La Figura 3.2-6 muestra como es el funcionamiento del montaje. Este se resume en los siguientes pasos: 1. Sujeción del balón por las copas con actuador presionando 2. Alimentación de voltaje y corriente de la fuente al motor DC 3. Control de velocidad angular del balon mediante restricción de corriente al motoro DC y medición de velocidad con tacómetro digital Amtek® en el eje de salida 4. Una vez obtenida la velocidad angular deseada, activación de la electroválvula y recogimiento del vastago (acople, eje izquierdo y copa de sjuecion) 5. Caida vertical del balón a cierta velocidad angular deseada. Figura 3.2-6 Funcionamiento del montaje. Uno de los objetivos secundarios del montaje fue la necesidad de poder medir el momento de inercia de cada balón. Con este montaje se logró esto, gracias a la ayuda de un pendulo bifilar con la simple adición de una barra de acero de ¼”, nylon y cinta para sujetar el balón como se ve en la Figura 3.2-7..

(34) Figura 3.2-7 Péndulo bifilar para medición de momento de inercia. Ya que se ha dado una explicación del funcionamiento del montaje y sus diferentes usos, la siguiente sección explicará como se realiza la toma de datos de cada uso. 3.3. TOMA DE DATOS El uso más básico del montaje fue el de medir el momento de inercia de los balones Adidas FINALE® y Golty ELDORADO® por medio de un montaje que. permite. esto:. el. péndulo. bifilar.. L=26cm D. Figura 3.3-1 Péndulo Bifilar. Con el esquema de la Figura 3.3-1 el momento de inercia se encuentra por medio de la medición del periodo de oscilación del balón. Una vez se le da un giro inferior a 10°, el balón empieza a oscilar alrededor de su posición de equilibrio repetidamente lo que permite medir el periodo de oscilación (se cuentan 10 períodos y se encuentra el tiempo total que después es promediado para encontrar el periodo 𝑇𝑝 en segundos). Una vez obtenido.

(35) este periodo y sabiendo la masa m del balón, las medidas R y L, el momento de inercia se encuentra con la relación: 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑇𝑝2 𝐼= 16 ⋅ 𝜋 2 ⋅ 𝐿. Momento Inercia (kg.m2) 0,61 bar (9PSI) ADIDAS GOLTY. 1,02 bar (15 PSI). 3,31*10-3 3,33*10-3 -3. 3,22*10. -3. 3,38*10. Diferencia entre 0,61 y 1,02 bar. Teorico balón estándar FIFA. 0,57%. 3,47*10-3. 4,97%. 3,47*10-3. Tabla 3.3-1 Momentos de inercia para diferentes balones a diferentes presiones y el teórico para un balón estándar según FIFA. El uso principal del montaje como se mencionó anteriormente es la filmación en alta velocidad del comportamiento dinámico del balón en diferentes condiciones. La Figura 3.3-2 muestra una fotografía del montaje completo con la cámara en posición para realizar las filmaciones.. Figura 3.3-2 Montaje completo de filmación. La activación de la filmación de alta velocidad se realiza con la ayuda de un control remoto y así se garantiza el fácil uso de todo el montaje ya que solo.

(36) se requiere de una persona para operarlo. Siendo así, justo antes de activar la válvula, se empieza la filmación y quedan registrados tanto la caída como el rebote del balón. Las Figura 3.3-3 y Figura 3.3-4 muestran un ejemplo con superposición de imágenes que registra la filmación tanto para la medición del coeficiente de restitución como para el rebote del balón con giro inducido. Es importante notar la presencia de un fondo que contrarreste los colores del balón para una mejor localización a la hora del procesamiento de datos.. Figura 3.3-3 Superposición de imágenes para cálculo del coeficiente de restitución. Figura 3.3-4 Superposición de imágenes que registra la filmación.

(37) 3.4. PROCESAMIENTO DE DATOS Una vez obtenidas las filmaciones para cada prueba, se procedió a realizar el procesamiento de los datos. En primera instancia, fue necesario buscar la mejor forma de convertir los videos sin perder gran cantidad de información de formato .mpg que produce la cámara, a formato .avi para análisis. Se encontró como mejor opción la versión gratuita del programa Prism Video Converter© de NCH Software. Una vez convertidos, fue posible usar el programa gratuito de análisis de movimiento por video Tracker© del profesor Douglas Brown de Cabrillo College, CA, USA. Este programa permite ir marcando cuadro a cuadro la posición del balón gracias a una escala dada por el fondo utilizado del cual se saben las medidas reales. Esto permite entonces saber las coordenadas del balón cada 1/120s o 8,33 ms. La Figura 3.4-1 ilustra el uso del software y sus resultados. Una vez se obtienen las coordenadas reales del balón para cada lanzamiento se usa esta información para calcular las variables objetivo presentadas en la sección 2.3.3 (𝑒, 𝑣1 , 𝑢1 , 𝜔1 , 𝜃1 , 𝐶𝑝𝑒𝑟𝑑 ).. Figura 3.4-1 Visualización programa Tracker.

(38) El cálculo del coeficiente de restitución no tiene ninguna complicación ya que es simplemente hacer la relación de alturas como se mencionó en la sección 2.3.2. Sin embargo, para las otras variables, se usa una hoja de cálculo en Excel® con un modelo teórico del vuelo de un balón en un plano gracias a las coordenadas (x, y). Este modelo se explica a continuación.. Figura 3.4-2 Diagrama de fuerzas de un balón en movimiento. En la Figura 3.4-2 Diagrama de fuerzas de un balón en movimientose muestra el diagrama de cuerpo libre de un balón en movimiento que viaja a una velocidad V, a cierto ángulo θ con la horizontal. La sumatoria de fuerzas se ve a continuación.. 𝐹𝑦 = 𝑚𝑦 = −𝑚𝑔 − 𝐹𝑑 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐹𝑙 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐹𝑥 = 𝑚𝑥 = −𝐹𝑑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐹𝑙 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜃 1 𝐹𝐷 = 𝐶𝐷 ⋅ ⋅ 𝜌 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑉 2 2 1 𝐹𝐿 = 𝐶𝐿 ⋅ ⋅ 𝜌 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑉 2 2 Por lo tanto se tiene para las aceleraciones: −𝑚𝑔 − 𝐹𝑑 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐹𝑙 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑚 −𝐹𝑑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐹𝑙 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥= 𝑚. 𝑦=. Por otro lado, ya que se tienen las coordenadas x,y del balón cada Δ𝑡, se tiene las ecuaciones de Euler:.

(39) 1 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 Δ𝑡 + 𝑥𝑖 Δ𝑡 2 2 1 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 Δ𝑡 + 𝑦𝑖 Δ𝑡 2 2 Entonces para cada Δ𝑡, se puede calcular velocidad y aceleración del balón. Esto permite el cálculo de las fuerzas a cada paso. Por ende, al poner todas las variables en función de parámetros de entrada, gracias al Solver de Excel, al minimizar la diferencia de mínimos cuadrados entre la trayectoria simulada y la real medida con la filmación, se encuentran los valores de 𝑣1 , 𝑢1 , 𝑦 𝜃1 así como de 𝐶𝐷 y 𝐶𝐿 . La Figura 3.4-3 muestra una parte de la hoja de cálculo que permite encontrar las variables objetivo. En esta se puede ver los valores de las componentes x,y paso a paso tanto de velocidades como de aceleraciones. Así mismo, se ven las posiciones x,y tanto real como simulada y la diferencia de mínimos cuadrados. Los parámetros resaltados son los que el Solver calcula y los que se reportan en las gráficas de resultados..

(40) Figura 3.4-3 Muestra de la hoja de calculo.

(41) El procedimiento anterior se repite para cada lazamiento. La Figura 3.4-4 muestra 3 lanzamientos en donde se ve la trayectoria real del balón y la simulada con la cual se encuentran las variables objetivo. Notese el buen ajuste entre las dos trayectorias.. Figura 3.4-4 Trayectorias simuladas y reales para 3 lanzamientos. Para las simuladas se usó un coeficiente de arrastre de 0.5 y de sustentación de 0.2. Una vez explicado todo el método experimental con la toma y procesamiento de datos, en el siguiente capítulo se presentarán los resultados obtenidos a lo largo de este proyecto..

(42) 4 RESULTADOS 4.1. CARACTERISTICAS DEL BALÓN. 4.1.1 Coeficiente de Restitución Como se mencionó en la sección 2.3.2, la presión interna del balón debería influir en el coeficiente de restitución. Por esta razón, se decidió probar los dos balones en las 3 superficies de prueba (concreto, grama sintética y grama natural) para presiones cercanas a las límites exigidas por la FIFA de 0.6 a 1.1 bar. Esto equivale a presiones manométricas de 8.8 y 16.2 PSI y por ende dadas las recomendaciones impresas de los fabricantes en cada balón se decidió probar para presiones de 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI). Las primeras pruebas se realizaron en concreto y los resultados se pueden ver en las Tabla 4.1-1 y Tabla 4.1-2.. Tabla 4.1-1 Coeficiente de Restitución Adidas en Concreto. Tabla 4.1-2 Coeficiente de Restitución Golty en Concreto.

(43) Al observar los resultados, se encontró como se esperaba, que el coeficiente de restitución si aumentaba de 0,61 a 1,02 bar (9 a 15 PSI), sin embargo este cambio fue inferior al 3%. Para comprobar este resultado, se hizo la misma prueba en grama sintética que confirmó la hipótesis anterior. La Tabla 4.1-3 muestra el resumen de los resultados del coeficiente de restitución para los 2 balones en las 3 superficies de prueba. Nótese que los valores encontrados en este proyecto son un poco más altos que los reportados en la literatura. (Ver Tabla 2.3-1). Tabla 4.1-3 Coeficiente de Restitución para los 2 balones a 0,61 bar (9 PSI) en las 3 superficies. 4.1.2 Momento de Inercia Para la medición del momento de inercia se procedió el mismo racionamiento que para el coeficiente de restitución. Deicidio medirse tanto el radio, como el período de oscilación a 0,6 y 1,02 bar (9 y 15 PSI) y ver el cambio entre estas 2 presiones. Las Tabla 4.1-4 y Tabla 4.1-5 muestran el radio y su variación.. Tabla 4.1-4 Radio de balón Adidas a 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI). Tabla 4.1-5 Radio de balón Golty a 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI).

(44) Como para el coeficiente de restitución se encontró entonces que la variación de estas características propias a cada balón es inferior al 5% y por ende se considera despreciable. Por tal razón, dado que el cambio en función de la presión de varias propiedades para cada balón era despreciable, se decidió entonces que las pruebas de rebote con giro inducido se podían realizar a una sola presión definida igual para los 2 balones de 0,61 bar (9 PSI). 4.2. CURVAS AERODINAMICAS Las Figura 4.2-1 y Figura 4.2-2 muestran los resultados de los parámetros aerodinámicos 𝐶𝐷 y 𝐶𝐿 para cada balón. Nótese que el rango en el cual se mueve el Reynolds no es muy grande dado que existe la limitación de la velocidad a la cual rebota el balón. Sin embargo, tanto los coeficientes de arrastre como sustentación encontrados, siguen la tendencia de los estudios previos en túneles de viento por especialistas del tema. Es importante anotar la tendencia del coeficiente de sustentación de estabilizarse alrededor de 0.2 a partir de un parámetro de giro igual a 0.6. Esto indicaría entonces que sin importar el aumento de la velocidad rotacional del balón para una misma velocidad lineal, el coeficiente de arrastre no cambia.. Figura 4.2-1 Coeficiente de Arrastre. Imagen adaptada de (Laguna, 2007).

(45) Figura 4.2-2 Coeficiente de Sustentación en función de parámetro de giro. Imagen adaptada de (Passmore, Tuplin, Spencer, & Jones, 2007). 4.3. CURVAS DE REBOTE Las pruebas de rebote con giro inducido y análisis de trayectoria se hicieron para los 2 balones en superficie diferentes con velocidades de giro de 0 a 1000RPM. Se escogió este rango de velocidad angular ya que según estudios previos como el de (Asai & Seo, 2007), 1000RPM es la máxima velocidad de giro que alcanza un balón de fútbol en un juego. Este rango de 1000RPM fue espaciado cada 200RPM aproximadamente. Las gráficas que se ven a continuación muestran los resultados experimentales de cada balón con las curvas teóricas desarrolladas en la sección 2.3.3. Como se mencionó anteriormente, para una misma altura inicial del balón, todas estas curvas son únicamente función de la velocidad angular inicial del balón (dada por el motor DC). Por esto, cabe anotar que las curvas a continuación tienen como abscisa la velocidad angular inicial del balón antes de ser liberado..

(46) Figura 4.3-1 Velocidad angular de rebote. La Figura 4.3-1 muestra la velocidad angular de rebote del balón para velocidades angulares desde 200 hasta 1000RPM aproximadamente. En esta gráfica, se puede comprobar experimentalmente la teoría desarrollada en cuanto a la no dependencia de la velocidad angular de rebote en función del coeficiente de restitución. En efecto, se puede ver que para las diferentes pruebas de velocidad y superficie, los 2 balones siguen la misma tendencia que la teoría. Así mismo se encontró una incertidumbre de los datos experimentales de 30RPM. Por último, es importante anotar como a altas velocidades de rotación, el balón Golty muestra mayores valores que la línea teórica. Esto se acentúa entre más liso o menos rugosa es la superficie de juego..

(47) Figura 4.3-2 Velocidad horizontal de rebote. Al igual que para la velocidad angular de giro, los datos experimentales de la Figura 4.3-2 comprueban el modelo teórico de la componente horizontal de la velocidad de rebote del balón. Se puede ver como en las diferentes condiciones, se sigue la tendencia de la línea teórica. La incertidumbre encontrada de los datos experimentales para este caso es de 0,45m/s Así como para la velocidad angular, se puede visualizar un fenómeno en el balón Golty para altas velocidades de rotación. La tendencia en. este caso es. menores valores que la línea teórica. De igual forma esta diferencia se acentúa entre menos rugosa es la superficie. La Figura 4.3-3 muestra la gráfica del ángulo de rebote en la cual se puede ver como los datos experimentales comprueban la teoría desarrollada para diferentes superficies. Si bien la incertidumbre en este caso es de 4°, se observa como los resultados caen dentro de la zona esperada teóricamente. En este caso también es interesante ver como a altas velocidades angulares superiores a 800RPM, los dos balones tienden a salirse de esta zona, mostrando un mayor ángulo de rebote que el esperado..

(48) Figura 4.3-3 Angulo de rebote. Figura 4.3-4 Coeficiente de Pérdida de Energía.

(49) Por último, la Figura 4.3-4 muestra el coeficiente de pérdida de cada balón. Una vez más, esta gráfica permite comprobar la teoría desarrollada ya que los datos experimentales se encuentran mayormente en la zona esperada. Así mismo, la incertidumbre experimental en este caso es de 0.035 y lo interesante de esta gráfica es ver como para todas las superficies, la teoría y los datos experimentales se acercan asintóticamente a un valor un poco mayor a 0.4.. 5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Como conclusión principal de este proyecto, se puede decir que se desarrolló y comprobó experimentalmente un modelo teórico del rebote de un balón de futbol, logrando así una importante contribución a la ciencia y la literatura. Así mismo este modelo se puede aplicar no solo al fútbol sino a otros deportes o acciones en las cuales se involucre el rebote de una esfera que tenga una velocidad angular de giro y sobre el cual se quiera predecir su trayectoria. En cuanto a resultados del balón de fútbol, se encontró que el cambio en características propias del balón (masa, radio, inercia y restitución) en función de la presión interna es despreciable y por ende el comportamiento del balón a diferentes presiones desde 0,61 a 1,02 bar (9 a 15 PSI) para la misma superficie es el mismo. Por esto mismo, se podría decir que la preferencia de los jugadores de un balón más o menos inflado que se traduce en una mayor o menor dureza es por simple comodidad ya que se comprobó que el cambio en el comportamiento dinámico es imperceptible para el ojo humano. Comparando. los. balones. analizados. ADIDAS. FINALE®. y. GOLTY. ELDORADO®, se encontró que para altas velocidades angulares (superior a 700RPM), el balón Golty se aleja un poco de la tendencia teórica. Así mismo, se encontró más dispersión en los datos experimentales de este balón. Al analizar los 2 diseños de balón, se podría decir que esto se debe a varios factores. En primera instancia, los paneles del balón Golty son muchos más.

(50) lisos que el balón Adidas y parecen tener una capa de un liquido parecido a la laca y por ende existe una menor fricción con la superficie a la hora del rebote. En consecuencia, a altas velocidades de giro, se produce entonces el fenómeno de deslizamiento y no rodadura completa, lo que conlleva a un comportamiento más inesperado debido a que el deslizamiento de esferas o elementos giratorios en superficies, es difícil de controlar. Así mismo también se encontró que con presiones superiores a 0,68 bar (10PSI), el balón Golty aumenta su dureza y rigidez llegando a ser incómodo para el jugador, entendiendo así la recomendación del fabricante de inflarlo entre 0,54 y 0,61 bar (8 y 9PSI). Teniendo en cuenta la normativa FIFA que dice que un balón debe. poder ser jugado a presiones internas hasta de 1.1 bar (16PSI),. debería intentarse mejorar este fenómeno descrito anteriormente. De igual forma, se encontró que las uniones de los paneles son rellenas de silicona manualmente. Esto hace entonces que este proceso no sea homogéneo, lo que afecta tanto el rebote como la aerodinámica del balón, haciéndolo más impredecible. Por último, se encontró que el balón Golty supera escasamente el límite mínimo de la FIFA (410.2g vs 410g) para ser un balón INSPECTED BY FIFA® (ver Tabla 1.2-1). Por estas razones, teniendo como referencia los balones ADIDAS®, líderes en el mercado y desarrollados por más de 4 años antes, y estableciendo como objetivo principal, la búsqueda de un mayor control del balón por parte de los jugadores, como recomendación personal del autor se aconseja para el balón Golty las siguientes modificaciones: . Cambiar el material de los paneles externos por un material más rugoso: Esto hace que se tenga una mayor fricción con las superficies de juego, evitando el fenómeno de deslizamiento y obteniendo un mayor control. Así mismo, el aumento de la rugosidad permite la disminución del número de Reynolds crítico, haciendo que el balón esté en flujo turbulento en un mayor rango de velocidades en un juego de fútbol, obteniendo así menores fuerzas aerodinámicas y un mayor espectáculo con goles de larga distancia..

(51) . Hacer la construcción del balón más elástica para que al inflarse a más de 0,68 bar (10PSI), este siga siendo cómodo para el jugador.. . Disminuir el número de paneles externos y mejorar sus uniones para que sean más homogéneas y controladas.. . Aumentar el peso del balón para que no solo se cumpla con la normativa INSPECTED BY FIFA® holgadamente sino que también al aumentar el peso del balón, se produce un mayor momentum lineal que a la hora del vuelo hace que sean mayormente las fuerzas aerodinámicas las que actúen evitando los movimientos erráticos en lo mayor posible.. Por último, en cuanto al alcance del presente proyecto y con miras para el futuro seguir el estudio de los balones de fútbol, se recomienda complementar el montaje diseñado para poder darle un impulso lineal de forma controlada al balón. Con esto se podría hacer análisis tanto a velocidades lineales y rotacionales de forma controlada. Esto permitiría un análisis controlado a mayores velocidades lineales del balón, donde se podrían apreciar de una mejor forma las diferencias aerodinámicas. De esta forma, para profundizar sobre cuáles son los aspectos fundamentales de la construcción, se recomendaría probar un mayor número de balones con diferentes diseños para ir descartando o acentuando el énfasis en los más relevantes. Es decir, ya que externamente se ven factores principales como unión de los paneles, largo total de las uniones, tamaño de los paneles rugosidad del material de los paneles y elasticidad del material, sería ideal probar controladamente aspecto por aspecto con diferentes opciones para así ir viendo cuál o cuáles son los que más influyen a la hora del juego y de esta forma poder avanzar en cuanto a la ciencia detrás del elemento principal del deporte más importante del mundo..

(52) 6 BIBLIOGRAFÍA Asai, T., & Seo, K. (2007). Fundamental aerodynamics of the soccer ball. Sports Engineering (10), 101-110. Carré, M. J., Asai, T., Akasuka, T., & Haake, S. J. (2002). The curve kick of a football 2: Flight through the air. Sports Engineering (5), 193-200. Carré, M. J., Asai, T., Akatsuka, T., & Haake, S. (2002). Understanding the effects of seam on the aerodynamics of an association football. Sports Engineering (5), 193-200. Jimenez, S. (2009). Medición del arastre de balones deportivos utilizando el túnel de viento TVIM-49-60-1x1. Bogotá, Colombia Laguna, J. D. (2007). Estudio de un balón de futbol por medio de experimenmtación y medición de los parametros aerodinámicos. Bogotá, Colombia. Passmore, M. A., Tuplin, S., Spencer, A., & Jones, R. (2007). Experimental studies of the aerodynamics of spinning and stationary footballs. Journal of Mechanical Engineering , 222 (C), 195-205. Wesson, J. (2002). The Science Of Soccer. Philadelphia: Institute of Physics Publishing. White, F. (2003). Fluid Mechanics (5th ed.). New York: McGraw-Hill..

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