Efecto de valorizaciones interdependientes que se muevan sobre intervalos en subastas inglesa y holandesa

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(1)UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. EFECTO DE VALORACIONES INTERDEPENDIENTES QUE SE MUEVAN SOBRE INTERVALOS EN SUBASTAS INGLESA Y HOLANDESA. Javier Hernández. 200237002. SANTAFE DE BOGOTA D.C. DICIEMBRE 12 2002.

(2) TABLA DE CONTENIDO página 1. Introducción ......................................................................................................1 1.1 Explicación de valoraciones interdependientes.............................................3 1.2 Valoraciones en intervalos............................................................................6 1.2.1 Planteamientos teóricos........................................................................6 1.2.2 Justificación.........................................................................................7 1.3 Descripción de las subastas..........................................................................10 1.3.1 Subasta holandesa...............................................................................10 1.3.2 Subasta inglesa....................................................................................11 2. Modelo..............................................................................................................12 2.1 Efectos de valoraciones interdependientes que se mueven sobre intervalos en las subastas................................................................................................17 2.1.1 Subasta holandesa................................................................................18 2.1.2 Subasta inglesa....................................................................................24 2.2 Ingreso equivalente......................................................................................29 3. Experimento......................................................................................................35 3.1 Descripción.................................................................................................35 3.2 Resultados…………………………………………………………………..40 3.2.1 Subasta holandesa…………………………………………………….40 3.2.2Subasta inglesa………………………………………………………..44 3.2.3Restricción presupuestal………………………………………………48 3.3Análisis de resultados……………………………………………………….48 4. Conclusiones…………………………………………………………………….52 ANEXOS MATEMÁTICOS……………………………………………………...54 Bibliografía.

(3) Efecto de valoraciones interdependientes que se muevan sobre intervalos en subastas inglesa y holandesa 1. INTRODUCCIÓN Las subastas son un mecanismo de asignación que han tenido una gran acogida en los últimos años como mecanismo de formación de precios en situaciones de transacciones donde no hay mercado aparente. Su importancia está relacionada no sólo con su papel como elemento para asignar un bien, sino también en la eficiencia que puede lograr, el concepto de eficiencia en la asignación significa que el bien subastado sea otorgado a quien mas lo valora. Existen mercados en los cuales llegar a una asignación eficiente es algo compleja, debido a las exigencias que puede tener crear una normatividad en la cual siempre los bienes se les den a las personas con las valoraciones más altas. Por ejemplo, se puede tener un bien cuyo valor en el mercado no está bien establecido, existen muchos potenciales compradores y el dueño del bien sabe que necesita venderlo y por supuesto conoce cuánto lo valora. El anterior problema sería sencillo de solucionar si fuera de conocimiento público en cuánto aprecian el bien todos los participantes, ya que así simplemente se le daría a la persona con la valoración más alta; sin embargo, esto no siempre se cumple y por eso es necesario un mecanismo que trate de hacer que los compradores revelen esa información y así el vendedor pueda sacar el mayor provecho de esta transacción. En conclusión, no existe siempre dentro del mercado por sí solo, el cual funciona bajo una regulación que puede ser adecuada, una forma eficiente de asignar un bien. Para aclarar un poco esta idea, se puede citar a Paul Milgrom1 quien menciona que en la asignación de bandas de frecuencias del espectro radioeléctrico hay problemas cuando se deja interactuar al mercado por si solo, bajo la existencia de un marco legal. Incluso conseguir la asignación eficiente y que los participantes revelen su información sobre las apreciaciones que tienen del bien puede ser un problema bastante complejo, problema que se trata de superar con el uso de las subastas.. 1. Milgrom, Paul (2002) From putting Auction Theory to Work.. 1.

(4) Un modelo de una subasta trata de establecer una representación de la realidad por medio de una secuencia de razonamientos que refleje lo que sucedería en el caso de su implementación. Lo anterior necesita del uso de supuestos, los cuales a pesar de ser altamente necesarios para simplificar y facilitar el problema, son en muchos casos restrictivos en exceso y por consiguiente pueden llegar a limitar la obtención de una solución más relacionada con la realidad. Por este motivo, el cuestionamiento y estudio del modelaje de las subastas debe permitir saber cuales supuestos pueden llegar a ser relajados para conocer qué efectos tienen en la solución. Dentro de las subastas se supone que las valoraciones de los individuos son privadas y simétricas. Lo anterior quiere decir que cada jugador conoce su valoración y la de nadie más y que además ninguno es distinguible de otro, lo cual, en otras palabras implica que las valoraciones son independientes e idénticamente distribuidas. Sin embargo estos dos supuestos son altamente criticables, ¿qué garantiza que todos los participantes se comporten igual?, ¿cómo es que los individuos no se dejan afectar de los demás?, ¿qué elementos pueden llegar a garantizar estos dos supuestos? entendiéndose como elementos el entorno, el tipo de objeto a subastar, el tipo de subasta, etc. Estas son sólo algunas de las preguntas que pueden surgir y que son muy dicientes de la realidad que están ocultando las restricciones mencionadas. Sin embargo el estudio que se busca realizar está más orientado hacia la independencia de las valoraciones. El por qué del interés hacia este tema, se basa en la realidad que se tapa con las valoraciones independientes. Lo que se observa en subastas no ficticias, con respecto al comportamiento de los agentes, es que estos no actúan independientemente de los demás y por consiguiente la modelación dentro de las subastas debe considerar esta conducta. Mientras es claro que dentro de un salón, la cara que ponga un jugador cuando se muestra el objeto a ser subastado se puede tomar como una señal de que ese individuo estaría dispuesto a pagar mucho y por consiguiente podría afectar el comportamiento de los demás individuos, el hecho que todos sean iguales no es tan perturbador dentro del estudio. Básicamente, lo anterior se puede fundamentar en que para un bien, existe un mercado específico de personas que deben tener características muy parecidas, algunas de las cuales son:. 2.

(5) •. Sus restricciones presupuestales, no va a haber una persona que gane el mínimo en la venta de un cuadro de Salvador Dalí.. •. Accesos a los mismos mercados de bienes o con los mismos costos de transacción, luego si alguien valora mucho el bien pero conoce donde lo puede conseguir mas barato, no va asistir a una subasta y esto se da para todos los participantes, en otras palabras ir a la subasta es la mejor estrategia para obtener el bien.. •. Sus valoraciones, que a pesar de ser diferentes para todos los individuos se puede mover dentro de un rango relativamente pequeño.. 1.1 Explicación de valoraciones interdependientes: Como se mencionó, se busca liberar el supuesto de las valoraciones independientes. En este campo hay una literatura extensa que muestra diferentes acercamientos hacia cómo pensar y modelar los comportamientos de los individuos, que se ven afectados por los comportamientos de otros. En casi todos los estudios se trabaja con señales que emiten los jugadores y son percibidas por otros creando, o mas bien convirtiendo, las valoraciones en funciones que dependen de lo que perciben de los demás. Aunque esta es la aproximación más general, en este trabajo se busca cambiar ese acercamiento y se quiere proponer que las valoraciones se puedan mover sobre intervalos basándose en comportamientos de los individuos, mencionando algunos ejemplos de la realidad que aclaren este concepto. Una vez se tiene una fundamentación de por qué esto se puede presentar, hay que observar si este resultado afecta la eficiencia de un mecanismo apoyándose en ideas como los incentivos que deben tener los individuos para participar. Aparte de ver si la eficiencia del mecanismo se ve afectada, se debe percibir si este supuesto ayuda a que se tengan incentivos o se evite la colusión entre los individuos. Además se quiere ver como puede llegar a cambiar la solución, y qué implicaciones tienen estos cambios, y si esta explica un poco más los resultados que se ven en la realidad y que en muchas ocasiones difieren de lo planteado teóricamente. Estos estudios se piensan realizar en las subastas inglesas y holandesas. El porqué se escogen únicamente estas, se basa en: su importancia dentro del mundo de las subastas; su equivalencia con las de segundo y primer precio, lo cual abarca un campo mayor de estudio; y. 3.

(6) un alto grado de ilustraciones que se pueden encontrar en la literatura existente, lo cual facilita su modelaje bajo un nuevo supuesto2. Todo esto debe cumplir ciertas condiciones que deben ser objeto de estudio, como por ejemplo si el principio de revelación se cumple o no y si la eficiencia del mecanismo se presenta. A continuación se van a exponer los elementos básicos de la modelación de subastas cuando se suprime el supuesto de valoraciones independientes. Para comenzar miremos un ejemplo3. Supongamos que existen M objetos heterogéneos que van a ser repartidos entre n+1 agentes (uno es el vendedor y el resto son potenciales compradores). Se define U como una partición final de M N. con U={Ui } , donde Ui son los objetos de M que termina obteniendo el individuo i, i=0. i=1,2,3,.....,N. Cada agente recibe una señal denominada. s. i b. donde b Є 2M, obsérvese que b es. simplemente un subconjunto de M; refleja de que manera se repartieron los M objetos. Además de i. la señal cada individuo tiene una valoración V u la cual cambia dependiendo de la partición U que se consideró (para cada objeto(s) se tiene una valoración diferente). La manera como se puede ver una valoración interdependiente no es única y basándose en la notación anterior se puede tener: i. 1) V u solamente depende de Ui y de 2). V. i u. S. i Ui. , este es el típico modelo de valoración privada. depende de toda la partición de U y de. S. i Ui. , este modelo muestra que la valoración de i. depende de cómo se da la distribución de los objetos subastados. Por ejemplo puede que si i no tiene ningún objeto y gana una subasta que le adjudica uno de los M artículos, el siguiente que sea subastado valdrá menos para i, de tal manera que el que no tenía pueda tener algo.. 2. Dentro del modelaje de subastas interdependientes se puede encontrar a: Wolfstetter, Elmar, (1999) “Topics in microeconomics” Cambridge University press; Jehel, P. y Moldovanu, B. (septiembre del 2001). “Efficient design with interdependent valuations”. Econometrica, Vol. 69, No. 5, 1237-1259; Krishna, Vjjay, “Auction theory”, Academic press; Chung Kim-Sau y Ely Jeffrey C. (mayo 25 dell 2001). “Efficient and dominance solvable auctions with interdependent valuations”. Department of Economics Northwestern University; Ausubel, Lawrence M. y Cramton, Peter (Marzo 20 de 1998). “Demand reduction inefficiency in Multi-Unit Auctions”. University of Maryland. 3. Jehel, P. y Moldovanu, B. (septiembre del 2001). “Efficient design with interdependent valuations”. Econometrica, Vol. 69, No. 5, 1237-1259. 4.

(7) 3) V u depende de U y de { S Ui } i. j. n j= 0. o V u depende de U y de { S Uj } i. j. n j =0. . El primer caso expone. que las valoraciones dependen de toda la partición U y además de cómo lo que obtenga i (donde i es el agente cuya valoración se está considerando) afecta o, más bien, se convierte en una señal para todos los participantes j, j=1,2,.....,N. El segundo caso también considera U pero en este caso las señales son las que tiene cada jugador basándose en la participación que a cada uno le tocó. Como una conclusión se puede admitir que el entorno, los jugadores y los pagos se basan en los posibles estados que se puedan presentar en el mundo que abarca a las subastas y cómo esto puede afectar a las valoraciones de los jugadores. Obviamente éste es sólo un tipo de señales y existen muchas otras que pueden ser modeladas. En este ejemplo se ve cómo se pueden tratar las valoraciones interdependientes; sin embargo, como se mencionó, éste no es el único caso, ya que también se pueden tratar como si las señales provinieran del subastador, en cuyo caso siempre es mejor que éste revele toda la información que él conoce, ya que en el caso contrario las valoraciones y por consiguiente las ofertas van a estar subestimadas4. Otra manera de ver las valoraciones interdependientes es suponer que las utilidades de los agentes dependen no sólo de sus propios tipos, sino que además dependen de los tipos reportados por los demás. Esto se haría por medio de las valoraciones, de tal manera que si consideramos a K como el conjunto de alternativas colectivas, es decir cómo se puede dividir el bien o los bienes entre los diferentes individuos, y definimos a θi como el tipo del individuo i y a θ=(θ1, θ2, θ3,....... θN) como un conjunto de tipos de todos los individuos, se puede tener que la valoración tome la siguiente forma: U(K,Ti,θ)=V(K,θ)+Mi+Ti donde Ti representa la transferencia que se debe dar a i dependiendo de las reglas de juego de la subasta y M la restricción presupuestal del individuo i . Hay que tener en cuenta lo que se puede sacar de esta representación, ya que la valoración depende no sólo de su propio tipo, sino además de los tipos que los otros individuos “revelaron”. Aunque no se presente una revelación directa si. 5.

(8) se puede pensar que por medio de gestos o comportamientos dentro de la subasta los agentes muestran como son ellos. En caso de presentarse esta “revelación” sería muy complicado realizar un estudio, ya que el conjunto sobre el cual se movería θ sería infinito, porque representaría todos los conjuntos de tipos posibles que se pueden formar con N individuos. 1.2 Valoraciones en intervalos: 1.2.1 Planteamientos teóricos: Teniendo en cuenta las aproximaciones anteriores, se explicará por qué este tipo de situaciones pueden llevar a que las valoraciones se den sobre intervalos. La manera como se establezcan las señales dentro de las valoraciones pueden llevar a planteamientos muy diferentes. Por ejemplo anteriormente se supuso simplemente que la valoración depende de un conjunto de acciones, sin embargo esto puede modelarse de una manera lineal o cuadrática, con funciones monótonas o no, e incluso como una constante que se mueva sobre un intervalo. Generalmente se hace un planteamiento en donde las señales afectan de una forma lineal el resultado del problema y el tipo de señales depende de la manera como se hayan modelado. Se puede dar el caso en que las señales dependan de las particiones del bien como se mencionó con anterioridad, o que puedan venir del subastador o de los demás jugadores. Sin embargo hay un planteamiento muy interesante que se encuentra en Jehel y Moldovanu (2001), en donde se plantea que las valoraciones toman la siguiente forma: i. i. V k (s ,. s. −i. N. )= ∑ a ki * s j. j. j =1. En donde k representa una alternativa (cómo se puede dividir el bien o los bienes entre los diferentes individuos) que es diferente para cada i,. a. j ki. es un escalar de conocimiento común y. representa las señales de todos los individuos menos i. Además. s. j. Є [ S j, −. −. S. j. s. −i. ] y denota una. 4. Para un mayor conocimiento de esto remítase a: Wolfstetter, Elmar, (1999) “Topics in microeconomics”, Cambridge University press.. 6.

(9) señal unidimensional del agente j. Esta sería una manera en la cual se podría obtener una valoración que se mueva sobre un intervalo, siempre y cuando la realización de de conocer y por lo tanto el valor sobre el cual se mueva dependa del parámetro. s. j. s. j. a. no sea posible j ki. y de la señal. . Esta es la parte formal de la explicación sobre cómo se puede modelar el problema; sin. embargo, la parte conceptual de porqué este planteamiento es válido no ha sido mencionado y es lo que sigue dentro de esta exposición. 1.2.2 Justificación: En una subasta todos los jugadores se encuentran en un mismo lugar5 interactuando para establecer cuánto tiene que ofrecer cada uno. Dentro de esta interacción se pueden presentar individuos que no están muy seguros de cuánto vale un bien, por ejemplo el caso de un cuadro de un pintor famoso, cuyo valor no se ha establecido, pero que sin embargo se va a subastar. Las personas no están muy seguras si desean el bien mucho o poco y esto puede estar directamente relacionado con qué tanto los demás lo quieran, pero esto es difícil de establecer con seguridad y por consiguiente la valoración de una persona va a ser alta si los contrincantes en el juego lo valoran “mucho”, pero dado que no sabe bien que tanto es “mucho” lo que se puede pensar es que la valoración se mueva sobre un intervalo; esto es como decir “estoy dispuesto a pagar más o menos X”. Este acercamiento llevaría rápidamente a una crítica que se basa en el entendimiento de lo que es una valoración. Es claro que lo que se acaba de plantear no es un caso patológico y que por el contrario es una situación que se puede presentar con mucha frecuencia. Sin embargo la valoración de un individuo se debe tomar como el máximo precio que estaría dispuesto a pagar por un bien, lo cual llevaría a que no fuera correcto pensar que existieran cotas sobre la valoración, ya que simplemente lo que se debe tomar es su valor máximo deshaciéndose totalmente de la idea antes mencionada. Pero esto no es del todo correcto; es cierto que la valoración es una disposición, sobre un precio. 7.

(10) máximo, a pagar por un bien; sin embargo, este concepto es difícil de implementar en la práctica, ya que siempre se tienen diferentes percepciones que pueden cambiar de un momento a otro sobre cuál es ese máximo y por consiguiente si se puede pensar en valoraciones sobre intervalos. Para aclarar un poco más este asunto se puede volver al ejemplo del cuadro. Supongamos que existen tres personas interesadas en él. Cada una sabe que el cuadro es muy valioso y, sin embargo, desconoce realmente cuanto está dispuesta a pagar. Si se trata de una subasta inglesa los participantes van a valorar mucho el bien si los otros individuos empiezan a ofrecer mucho por él. Obsérvese que todos tienen el mismo comportamiento y básicamente lo que desean con el bien es tener un objeto que les da un poder social y por esto están dispuestos a ofrecer más siempre y cuando los otros aumenten sus ofertas (tómese las ofertas como señales en este caso). Sin embargo así sus valoraciones cambien a medida que los otros ofrezcan, ellos tienen un valor máximo y mínimo a pagar dentro de cada estado6; este valor máximo puede indicar su valoración en ese momento, que es lo que significa una valoración. Sin embargo ésta va cambiando con el tiempo y por esto se puede modelar como si se moviera sobre un intervalo, intervalo que depende de las señales emitidas por los otros jugadores. Esta explicación es acorde con el planteamiento matemático antes mencionado y de alguna manera lo valida. Hay que tener en cuenta que éste ejemplo no es el único caso en el cual se puede explicar que las valoraciones se muevan sobre intervalos. Por ejemplo en una licitación dinámica se puede dar el mismo caso, pero no basándose en la búsqueda de un poder social sino en la información que unos individuos tienen y otros no. Cada empresa puede tener, y en la mayoría de los casos la va a tener, una estimación diferente de ingresos. Es de conocimiento común quién tiene los mejores recursos para realizar estas estimaciones, así que los demás jugadores pueden basar su valoración a lo que esta empresa ofrezca en la subasta. De esta manera las valoraciones de las empresas dependen de que señales envíe la compañía líder. Sin embargo en la realidad esas diferencias en los poderes de investigación no son tan claros y es mas común que una corporación tenga ventajas en ciertas. 5. Entiéndase lugar como una misma página de Internet o un sitio como una casa o centro especializado en la realización de subastas, también puede ser un sitio donde las personas van a dejar sus ofertas en un sobre sellado y después se van esperando un resultado 6 Se puede entender estado como el momento en el cual se acaba de anunciar la oferta de uno de los participantes.. 8.

(11) áreas, de tal manera que todas las empresas tengan una dependencia de las señales mandadas por otros y esto los lleve a valoraciones interdependientes en intervalos. Con los dos ejemplos que se acaban de mencionar no se trata de justificar extensamente este tipo de comportamiento, lo cual requeriría una demostración mucho más rigurosa y que no compete al objetivo de este trabajo; aquí sólo se intenta establecer un patrón de conducta que se da en varias situaciones y que además sirve como instrumento explicativo para validar el planteamiento principal de este trabajo. Si las valoraciones sobre intervalos se presentan en algunos casos que no son aislados, entonces su estudio gana importancia y relevancia a la hora de implementarlo en el modelaje de subastas, ya que trata de abarcar un tema que no ha sido muy explorado, pero que sin embargo es una representación importante de la realidad. Para facilidad de los lectores se aclarara la manera como funcionan las subastas inglesas y holandesas antes de continuar con cualquier desarrollo matemático. El paso a seguir después de aclarar el por qué y cómo se puede presentar el supuesto planteado en este trabajo, es establecer un problema de maximización de donde se puedan obtener las ofertas que los jugadores dentro de una subasta inglesa y una subasta holandesa harán en el contexto mencionado. Considerando esto, se busca maximizar la utilidad de los individuos, sujetos a que sus valoraciones se pueden representar linealmente como una función de las señales intercambiadas en la subasta y a unos parámetros conocidos por todos los individuos que representan la ponderación o importancia que los jugadores les dan a las señales de jugadores diferentes. En este contexto no hay que olvidar que estas señales se mueven en una sola dimensión y además están acotadas. Más que una representación de un tipo u otro lo importante es mencionar que las valoraciones de los participantes dependen de información que reciban de los demás y que adicionalmente esta adquisición de información incrementa de una manera positiva la valoración. Establecer una forma lineal en la manera como los individuos adaptan sus creencias sobre el precio de un bien, puede ser restrictivo, y además establece un comportamiento de los agentes que no se quiere limitar; por lo tanto lo que realmente es relevante es la idea de que un mayor nivel de información aumenta las valoraciones de los individuos y que existe una correlación entre éstas.. 9.

(12) 1.3 Descripción de las subastas: 1.3.1 Subasta holandesa: La subasta holandesa tiene la siguiente dinámica: el vendedor del artículo establece el bien a subastar. Luego se busca instaurar un precio con el cual se va a comenzar, pero éste no es un precio base, sino que es un límite superior muy por encima del valor real del bien. La idea es comenzar con este valor e irlo disminuyendo hasta el punto en el cual alguien desee pagar ese precio por el bien. Para realizar este procedimiento se utiliza un “reloj” que empieza con la cota superior establecida por el vendedor y que se mueve de tal manera que muestra cada vez un valor menor. El monto sobre el cual se va decrementando depende de muchas cosas, entre otras del tipo de bien, de la moneda que se utilice y por supuesto de los deseos del subastador. El indicador que define en que momento parar, está determinado por los participantes y se basa en el primer jugador que diga que ése es el valor que desea pagar por el bien. El momento en que se detiene la subasta, se realiza el pago que será igual al valor en el cual quedó el reloj cuando el primer participante lo indicó. Esta subasta como se mencionó anteriormente es similar a la de primer precio a sobre sellado. Su similitud está relacionada con que el bien se lo gana la persona que valora más el bien y además pagando exactamente lo que ofrece por éste7. Para facilitar la compresión de esta explicación se tomará un. ejemplo: suponga que se. estaávendiendo una flor y que el precio base es de 10.000 pesos. El reloj disminuirá de mil en mil cada minuto; después del primer minuto nadie ha ofrecido por el bien y por consiguiente el reloj baja a 9.000 pesos y continua así hasta que llega a 2.000 pesos momento en el cual el jugador i dice que quiere el artículo. Esto querría decir que el bien se vende en 2.000 pesos y que el jugador es el que lo adquiere pagando 2.000 pesos.. 7. La subasta holandesa es muy utilizada en la venta de artículos como flores.. 10.

(13) 1.3.2 Subasta Inglesa: La subasta inglesa sigue un comportamiento contrario al de la holandesa. De nuevo se establece un precio inicial pero en este caso éste es un valor mínimo, el cual puede ser cero, y a partir de este valor los jugadores van efectuando ofertas que incrementan el valor inicial hasta el punto en el cual no exista ningún otro participante que este interesado en incrementar la ultima oferta realizada. Los participantes pueden hacer tantas ofertas como deseen, pero con la restricción que deben ser mayor a la última oferta realizada por cualquier otra persona que participe de la subasta. De nuevo los que establecen que la subasta se acabe son los jugadores, quienes detienen el proceso cuando nadie más ofrece más por el bien. Esta subasta se asemeja a la de segundo precio a sobre sellado debido a que siempre se puede ofrecer un poco más de lo que ofreció el último jugador y por consiguiente, lo que él paga es aproximadamente la oferta de la segunda oferta más alta, regla que se utiliza para establecer el pago en la subasta de segundo precio. Esta es la subasta mas común y es muy famosa en bienes como cuadros o artículos de personas que tienen en muchas ocasiones un valor desconocido. Este tipo de pujas es también muy utilizado por los portales de Internet que venden artículos utilizando subastas. De nuevo se utilizará un ejemplo para facilitar el entendimiento de la explicación anterior. En esta ocasión subastemos una chocolatina. El precio con el cual se comienza será cero. El participante uno dice que paga 100 pesos, y, seguidamente, el jugador dos ofrece 200 pesos; este comportamiento continuará con ofertas mayores de los diferentes jugadores hasta el punto en el cual el jugador n ofrece 1.000 pesos y se ve superado por lo que dice el jugador uno quien está dispuesto a pagar 1.010 pesos por la chocolatina. Cuando el jugador uno ofrece 1.010 pesos, nadie mas continúa aumentando la oferta y por consiguiente se establece que ese es el valor a pagar por el jugador uno y es él quien adquiere el artículo. Hay que tener en cuenta que el jugador uno podía estar dispuesto a pagar más por esa chocolatina; sin embargo sólo tenía que incrementar la última oferta en 10 pesos para que nadie ofreciera más. Aunque lo que pagó no fue igual a la segunda oferta más alta si es un valor muy cercano, que en montos más grandes se puede reflejar en diferencias porcentuales aun menores.. 11.

(14) 2. MODELO Los supuestos que se van a utilizar para el modelaje de este problema son: 1. Hay N+1 participantes. Donde hay un subastador y N personas interesadas en adquirir el bien. Mas adelante para facilitar los cálculos matemáticos y evitar supuestos mas restrictivos se va a suponer que N=2. 2. Hay un solo bien, no divisible, a ser subastado. 3. El subastador valora el bien con una valoración Vo=0. 4. Los individuos son racionales, esto quiere decir que los agentes son maximizadores de beneficio; en éste caso en particular nos interesa que maximicen su utilidad. 5. Las funciones de oferta son simétricas. 6. Las valoraciones están correlacionadas y se mueven sobre intervalos. Están igualmente distribuidas y son variables aleatorias continuas. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que las valoraciones están sobre el intervalo [0,1]. Los intervalos son de conocimiento privado, lo cual hace alusión a que las valoraciones son privadas. 7. Las valoraciones son crecientes en las señales. Es decir una persona que reciba una señal, la cual se puede ver como una información adicional, incrementa su valoración. Estas señales son las que le dan el aspecto de interdependencia en las valoraciones. 8. La restricción presupuestal no está considerada en la función de utilidad. Este supuesto es para centrar la atención en el efecto de la valoración en las diferentes instancias a demostrar mas adelante y evitar distraerse en los cambios que pueda causar una capacidad de compra de los participantes. Una vez mencionados los supuestos, se va a pasar a la especificación de un modelo que refleje la forma de la utilidad de los individuos. Manteniendo la notación, vamos a utilizar una función muy parecida a la antes establecida donde no se va a tener en cuenta la restricción presupuestal. La. 12.

(15) función de utilidad es: U(V)=(V - ε)*P{Ganar}8. ç. Las valoraciones, como ya se mencionó, están correlacionadas y por lo tanto se puede pensar que sean funciones de las valoraciones de los demás.. ε. representa una función de pagos de los. individuos, que para el caso de una subasta holandesa es la oferta que el participante realice y para la subasta inglesa es la oferta del segundo participante que más lo valore. P{Ganar} es la probabilidad de ganar del agente. Esta forma funcional de la utilidad necesita la inclusión de un supuesto mas. Siempre es mejor ganarse el artículo que no ganárselo. Si no se tuviera en cuenta esto, la mejor manera de maximizar la utilidad es teniendo la valoración mas alta, pero ofreciendo algo cercano a cero. Los supuestos antes mencionados no son muy restrictivos y sin embargo facilitan mucho el uso de herramientas matemáticas. Los primeros dos supuestos muestran simplemente características básicas en una subasta. Casi nunca es conocido el número de participantes y es una variable difícil de controlar, por eso se supone que hay N jugadores. Especificar que se vende un bien no divisible busca centrarse más en un tipo de subastas y el uso de otro tipo de bienes llevaría a resultados diferentes, que en este trabajo no se tratarán. Cuando se supone que el subastador no valora el activo (lo cual facilita que el bien se le pueda asignar a alguien) no se deben presentar muchos problemas en el modelaje siempre y cuando existan participantes que aprecien el bien positivamente. Lo anterior querría decir que los activos a subastar no se comportan como bienes inferiores9; estos activos no son muy interesantes de subastar y, además, necesitarían de procedimientos totalmente diferentes a los de interés en este trabajo. En el caso que la valoración del vendedor sea diferente de cero, lo único que se necesita. 8. Este modelo se asemeja mucho al utilizado por autores como: Wolfstetter, Elmar “Topics in microeconomics” y Mas Collel A., Whinston M. y Green J. en “Microeconomic theory” 9 Los bienes inferiores son aquellos que cuando se incrementa la renta se disminuye su demanda. Lo cual quiere decir que son males y por consiguiente disminuyen la utilidad de los agentes.. 13.

(16) es garantizar que los participantes lo valoren más, porque si esto no se diera la subasta no se realizaría. Usualmente no se supone que los individuos tengan que ser maximizadores y en muchas ocasiones éste es un resultado del mismo problema10. Sin embargo el tipo de función de utilidad que se usa es muy general y por consiguiente sus cálculos son sencillos para que los participantes puedan tomar éste comportamiento en búsqueda de un mayor beneficio propio. La idea que las funciones de oferta sean simétricas, facilita el cálculo de éstas, por lo cual podríamos decir que es un supuesto simplificador y que facilita el desarrollo del problema. El sexto supuesto es el más importante en la modificación que se está buscando al modelo tradicional, donde se supone que las valoraciones son independientes. Anteriormente se mencionó el porque de éste tipo de comportamiento es factible y por este motivo se puede afirmar que su inclusión no esconde mucho del comportamiento de los individuos en la realidad. Cuando las valoraciones son continuas se permite que la probabilidad que dos personas tengan la misma valoración sea igual a cero, evitando el caso de empates entre jugadores. Pensar que las valoraciones se muevan sobre el intervalo [0,1] no es restrictivo, ya que si no es así se puede hacer una escala donde la más alta sea uno y de esa manera se transformen para dejarlas en una escala [0,1]. Este supuesto sólo se usara en algunas ocasiones y facilitara la forma como se vean los datos. El séptimo supuesto puede ser algo restrictivo debido a que no necesariamente la información que reciba un jugador tiene que ser buena y por consiguiente va a valorar más el bien. Por ejemplo se puede dar que en una subasta por un activo como un carro nuevo, se sepa que la fábrica que lo hizo ya saco un modelo superior. Esto llevaría a que las personas paguen menos por el bien debido a que ya no tiene la importancia tecnológica que el automóvil tenía antes de esta adquisición de información. Sin embargo a pesar de los inconvenientes de éste supuesto, su uso facilita darle un. 10. Por ejemplo, cuando se trata de mostrar compatibilidad de incentivos, en algunas subastas se encuentra que es mejor siempre decir la verdad y que además esto los lleva a tener una utilidad máxima, sin necesidad de ser racionales.. 14.

(17) comportamiento a las valoraciones y además abarca un mundo de señales, las buenas, bastante amplio. Si se considera que usualmente los jugadores de una subasta participan por un bien cuando están interesados y además saben que pueden pagar por ese bien, al menos la cantidad que lo valoran, la restricción presupuestal deja de ser importante en la función de utilidad de los individuos. Este es un supuesto poco fuerte y realmente su relajación no afecta los resultados teóricos a los cuales se llegara más adelante. Su inclusión es puramente metodológica. Volviendo al modelo que se planteó hay que especificar qué forma tomaría el término P{Ganar} para cada individuo. Si se supone que las valoraciones son independientes; ésta toma la siguiente forma11: P{Ganar del jugador 1}=P{b1(V1)>b2(V2) ∩ b1(V1)>b3(V3) ∩ ................... ∩ b1(V1)>bn(Vn)} =P{b1(V1)>b2(V2)}*P{b1(V1)>b3(V3)}*....................* P{b1(V1)>bn(Vn)} Si se supone que los participantes diferentes a uno juegan su mejor estrategia b*(V) se tiene que la probabilidad de ganar es: P{Ganar del jugador 1}=P{γ(b1)>V2}* P{γ(b1)>V3}*.............................* P{γ(b1)>Vn} =F(γ(b1))* F(γ(b1))*……………….* F(γ(b1)) = F(γ(b1))n-1 Donde bi(.) es la función de oferta del participante i y γ(b1)=b1-1. Hay que aclarar que se supone que las funciones de oferta son crecientes en la valoración.. 11. El desarrollo de esta probabilidad se encuentra en Wolfstetter, Elmar, (1999) “Topics in microeconomics”, Cambridge University press, pag. 189. Otros procedimientos que se encuentran en este texto y que serán usados son los de la maximización de utilidad en la subasta holandesa y el procedimiento para encontrar el beneficio del subastador para comprobar si hay o no ingreso equivalente.. 15.

(18) Sin embargo uno de los supuestos es que las valoraciones están correlacionadas, y por consiguiente las ofertas, llevando a los participantes a tener una probabilidad de ganar del siguiente tipo: P{Ganar del jugador 1}=P{b1(V1)>b2(V2) ∩ b1(V1)>b3(V3) ∩ ................... ∩ b1(V1)>bn(Vn)} = P{b1(V1)>b2(V2)}* P{b1(V1)>b3(V3)/ b1(V1)>b2(V2)}*................... *P{. b1(V1)>bn(Vn). /. b1(V1)>b2(V2). ∩. b1(V1)>b3(V3). ∩ .......... ∩ b1(V1)>bn-1(Vn-1)} Para definir esta probabilidad como funciones que puedan ser derivables, es necesario establecer cual es la correlación entre las ofertas de los individuos, lo cual implica asignar comportamientos a los agentes. Para evitar incrementar los supuestos, mucho mas con uno tan fuerte como éste, se va a suponer que N es igual a 2. De esta manera se tiene únicamente el primer término de la expresión anterior y por consiguiente se facilita el calculo de éste. Si decimos que la correlación de los agentes toma una forma especial, habría que restringir el espacio de las señales para poder encontrar una expresión que sea manejable; esto implicaría que se considere sólo un tipo de comportamientos que pueden variar mucho cuando se presentan cambios en los ambientes o lugares en los cuales se desarrolle la subasta. Al no suponer éste comportamiento se permite la inclusión de todo tipo de señales que se reflejan como una mayor información para los jugadores, donde lo único realmente relevante es que una mayor información, es decir un mayor mapa de señales, se refleje en una valoración mas alta. Teniendo esto en cuenta se establece que la probabilidad de ganar de cualquier participante es: P{Ganar del jugador i} = P{bi(Vi)>bj(Vj)}. para i ≠ j.. = F(γ(b1)) no es necesario suponer ninguna función de distribución específica, lo cual permite que el comportamiento de los agentes tome la forma que se quiera, con el único limitante que tenga que ser igual para todos.. 16.

(19) Ahora que el modelo está establecido y sus características han sido determinadas, se pueden elaborar las demostraciones que muestran si las subastas inglesas y holandesas se ven afectadas con la inserción del nuevo supuesto sobre las valoraciones de los jugadores. 2.1 Efectos de valoraciones interdependientes que se mueven sobre intervalos en las subastas: Los elementos que se van a evaluar a continuación son la compatibilidad de incentivos, la racionalidad individual y los incentivos a formar colusiones. Por último se verá como se puede ver afectado el concepto de ingreso equivalente, tan criticado en la literatura por su poca aplicabilidad en la realidad. Para comenzar con éste análisis se analizará primero la subasta holandesa y luego la inglesa. Se hará alusión a los cambios que se encuentren con respecto al modelaje con el supuesto de valoraciones independientes. Debido a la equivalencia en el procedimiento que lleva a la conclusión del ingreso equivalente, en la subasta inglesa y holandesa, y a la facilidad que presenta su comparación, se desarrollará este procedimiento conjuntamente sobre las dos subastas de interés. Las siguientes son las definiciones y explicaciones de las ideas que se intentan estudiar: Compatibilidad de incentivos: Este concepto hace alusión a los incentivos que tienen los individuos a decir la verdad con respecto a su valoración. No necesariamente implica que la vayan a hacer pública, pero sí que su utilidad sea superior al caso en el cual dice mentiras. Su representación matemática es: Ui(V,R)<Ui(V,V) para todo R Recordemos que en éste caso Ui representa la utilidad del jugador. El primer componente de la utilidad se refiere a la valoración del participante i y el segundo a lo que revela en la subasta. V es. 17.

(20) el valor real de la valoración del jugador y R es cuando dice mentiras. Obsérvese que siempre se debe dar que decir la verdad es mejor a decir cualquier mentira. Racionalidad individual: Con esto se quiere asegurar que los participantes tengan incentivos a participar, es decir que su utilidad no se vea disminuida si se ingresa en la subasta. Esto se podría expresar como que la utilidad ex-ante sea menor a la utilidad ex-post: U(antes de la subasta)<U(después de la subasta). Para poder realizar esto hay que asignar un nivel de utilidad a los participantes y compararla con la utilidad considerando las diferentes opciones que se puedan presentar. Incentivos a formar colusiones: Esto se refiere a qué tanto los jugadores se pueden ver impulsados a aliarse con otros participantes con el fin de maximizar su utilidad, teniendo en cuenta que tienen que ser pactos que se puedan creer y no se facilite su rompimiento. Si algún jugador se beneficia con la ruptura de la alianza que hizo con otro, implicaría que ésta no es una colusión factible y los participantes no van a tener incentivos a realizarla. 2.1.1 Subasta holandesa: Debido a que los participantes son maximizadores de beneficio, si se establece cuál es la mejor oferta de los jugadores basándose en cual es la que les trae una mayor utilidad, se puede encontrar si ellos van a ofrecer un valor igual a su valoración, o si por el contrario prefieren ofrecer un valor diferente. De esta manera es como se demostraría si existe o no compatibilidad de incentivos.. Compatibilidad de incentivos: Recordemos que la utilidad es: U(V)=(V - ε)*P{Ganar} 18.

(21) y que además se tiene que: P{Ganar}= F(γ(bi)) Adicionalmente en una subasta holandesa el pago que realiza la persona que se gana el bien es igual a la oferta que realiza. Teniendo en cuenta estos elementos se tiene que la función de utilidad quedaría de la siguiente forma: Ui(Vi)=(Vi – bi(Vi))*F(γ(bi)) Lugo la acción a tomar por parte de cada individuo es:. Max. Ui(Vi)=(Vi – bi(Vi))*F(γ(bi)). bi. Para poder realizar esta operación hay que suponer que la función de distribución F(.) es derivable sobre el intervalo [ 0 , Vmax], donde Vmax es la valoración máxima que un jugador pueda tener, la cual debe puede ser Vmax = 1. Derivando e igualando a cero se tiene: V*f(γ(bi)) - F(γ(bi)) - bi(Vi)* f(γ(bi))=0 Esta expresión se puede simplificar ya que f(γ(bi))=1. En este caso se supone que γ(bi) está sobre un intervalo conocido y el valor máximo es cuando se llega a la valoración Vmax. V - F(γ(bi)) - bi(Vi)=0 despejando la oferta bi(Vi)= V - F(γ(bi)) de donde se debe tener que γ(bi)=Vi. Obteniendo así que la oferta en una subasta holandesa tome la siguiente forma funcional: 19.

(22) bi(Vi)= Vi - F(Vi) Aquí se puede ver que los individuos maximizan su utilidad cuando su oferta es igual a su valoración menos una pequeña disminución que depende de la función de distribución que se tenga. Teniendo en cuenta que las valoraciones se están moviendo sobre intervalos y que son de conocimiento privado, habría que incluir éste aspecto en la oferta antes encontrada. Se supone que la valoración para el jugador i se mueve sobre [ Vmin , Vmax ], donde Vmax es igual a la valoración máxima que un agente tiene. La oferta estaría dada sobre un intervalo [ bmin , bmax] el cual va a depender del valor de la valoración. Dado que la valoración es continua y que la función de oferta encontrada también es continua sobre todo el rango de valoraciones posibles, se puede afirmar que el intervalo para las ofertas también es continuo. Siendo más específicos sobre las ofertas, se tiene que [ Vmin - F(Vmin) , Vmax - F(Vmax) ]. Para esto hay que aclarar que si la persona tiene una valoración V = Vmax, su cota superior depende sólo de esta valoración y no podría darse un comportamiento del tipo Vmax - F(Vmin) el cual incrementaría el rango del intervalo. Esto se puede fundamentar en que si se supone la forma funcional anterior, él está disminuyendo su probabilidad de ganar. Sin embargo se ha dicho que siempre es mejor adquirir el objeto, luego siempre es mejor que la probabilidad de ganar tome el valor máximo posible dada la valoración del individuo. En este caso decir la verdad para los agentes es mostrar u ofrecer, cualquier valor del intervalo en el cual se están moviendo, es decir cualquier valor sobre [ Vmin , Vmax ]. De las ofertas se puede ver que si la probabilidad de ganar F(Vmax) (para el caso de la oferta máxima posible) toma un valor especifico ρ se puede llegar a tener: Vmax – ρ = Vmin. 20.

(23) ó cualquier otra valoración que se encuentre sobre el intervalo. Esto querría decir que bajo ciertas condiciones se puede dar que en una subasta holandesa se llegue a que los agentes digan la verdad. Si la probabilidad de ganar ρ es menor, la probabilidad que el agente diga la verdad se incrementa debido a la cantidad de datos que se abarcan dentro del intervalo de las valoraciones. Es decir personas o empresas, que conocen tienen cierta desventaja monetaria o de información sobre un bien con respecto a otros participantes y que por consiguiente saben valoran menos el bien, lo cual implica que vayan a tener una probabilidad de ganar menor, se van a ver incentivados a ofrecer su valoración. Otra manera de ver éste punto es que a medida que la probabilidad de ganar sea menor, exista menos certidumbre sobre el comportamiento. de los demás y esto afecte. negativamente la probabilidad, los agentes se pueden volver de alguna manera, adversos al riesgo y por consiguiente ofrecen en el momento en el cual la subasta les indique un valor igual a su valoración. Hay que tener en cuenta que dependiendo de la correlación existente entre los jugadores, la probabilidad de ganar aumentará o disminuirá, lo cual afectará su comportamiento en la subasta. Sin embargo con los supuestos que se están utilizando se puede afirmar que más información implica una mayor probabilidad de ganar. Eso se fundamenta en que más información implica una valoración superior y por consiguiente F(V) se tiene que ver incrementado, luego menos información implica que ganar sea menos factible. Cuando los individuos después de realizar y conocer a quien se le asignó el bien tienen una utilidad mayor o igual comparada con la utilidad con la cual comenzaron, se puede afirmar que estos tienen incentivos a participar y por consiguiente la subasta cumple con el supuesto de racionalidad individual.. Racionalidad individual: Ya se conoce cual va a ser la oferta para cualquier participante y por consiguiente se puede establecer que la utilidad después de realizada la subasta va a ser: U(V) = Uo - (Vi - F(Vi)) + Ω. 21.

(24) = Uo - Vi + F(Vi) + Ω, cuando adquiere el bien. Donde Ω representa el bien adquirido y Uo hace alusión al nivel de utilidad con el cual se comenzó antes de participar en la subasta. ó también puede ser: U(V) = Uo,. cuando participó y no adquirió el bien. Dado que adquirir el bien siempre es mejor a no adquirirlo en términos de utilidad para los jugadores, se puede afirmar que el participante al cual se le asignó el bien está en un estado mejor al cual se encontraba antes de la subasta. Para reflejar mejor éste punto, se puede argumentar que la oferta, dado que es menor o igual a su valoración, y que el bien va a tener para él un valor mayor o igual a la oferta que realizó, se va a obtener que si gana la subasta y recibe el bien va a tener incentivos a participar. Para el caso en el cual el individuo no gana la subasta y por consiguiente no realiza ningún pago, los jugadores mantienen su función de utilidad intacta, lo cual quiere decir que su estado es igual al que tenían cuando empezó la puja. Dado que no disminuye su utilidad, incluso si no gana el bien, el va a tener incentivos a participar, porque existe una posibilidad de obtener una utilidad mayor que se presenta cuando gana y cuya probabilidad es igual a: P{ganar}.. Colusión: Una vez establecida la función de utilidad después de realizar la subasta, se puede encontrar de que manera los participantes pueden incrementarla por medio de acuerdos con otros jugadores. Recordemos que una mayor información se ve reflejada en una mayor valoración. Esto quiere decir que las ofertas también se verán aumentadas. Una manera de incrementar la utilidad es incrementando la valoración y ofreciendo lo mismo cuando su información era menor. Para hacer esto se puede aliar con otra persona con el fin de intercambiar información privada con el pacto. 22.

(25) que él de la valoración más alta sea el que se gane el bien ofreciendo lo que tenia estipulado con anterioridad12. Para esto hay que tener en cuenta los intervalos sobre los cuales se mueven las ofertas de los agentes interesados en la colusión. Para el jugador uno se pupone que el intervalo es [ binf , bsup ] y que para el jugador dos el intervalo que se tiene es [ bmin , bmax ], donde binf > bmin y bsup > bmax lo cual puede interpretarse como que el jugador uno va a ofrecer más que el jugador dos. La anterior explicación se puede dar ya que las ofertas de los jugadores son simétricas y por consiguiente el intervalo sobre el cual se van a mover deben tener la misma distribución, consecuentemente la misma probabilidad de ocurrencia para las diferentes instancias del intervalo. Sin hay alianza ambos aumentan sus ofertas no necesariamente en la misma proporción porque ningún jugador conoce el efecto de las valoraciones de los demás sobre él y por consiguiente se pueden dar dos casos: Primero cuando las ofertas mantienen su orden, es decir el jugador uno sigue interesado en ofrecer más que el participante dos, este caso se analizará más adelante, pero se puede afirmar que esta situación se puede presentar cuando el nivel de información intercambiada es igual o cuando ambas empresas son igual de grandes en el mercado y por consiguiente sus preferencias son parecidas. La segunda situación es cuando el jugador dos incrementa tanto su valoración, que lo lleva a tener incentivos a ofrecer más que el jugador uno algo así como que el intercambio de información lleve a:. binf < bmin y bsup < bmax. Este segundo. caso no es beneficioso para el jugador uno y por consiguiente no tendría incentivos a coalicionarse, sin embargo si el primer caso es lo suficientemente importante en términos de utilidad y su probabilidad de ocurrencia es mayor puede que él si quiera formar alguna alianza con el jugador dos y es por esto que de todos modos se debe analizar esa situación. Cuando las valoraciones se aumentan para los jugadores de una forma tal que las ofertas mantengan su orden, si los jugadores se alían pueden llegar a tener una utilidad mayor. Esto llevaría a que se forme un pacto en el cual se permita una oferta menor sin que el otro ofrezca algo 12. Realmente las únicas colusiones que deben interesar son aquellas que involucran al individuo con la valoración más alta, que es aquel que recibirá el bien. Otro tipo de alianzas no afectaran el resultado de la subasta y por consiguiente su análisis pierde interés.. 23.

(26) recibiendo a cambio una retribución de algún tipo cuyo valor sea menor a la diferencia entre la oferta realmente hecha y la que se esperaba hacer. Sin embargo esto tiene los mismo inconvenientes existentes cuando las valoraciones son independientes y es que nadie garantiza que el jugador dos deje bajar el reloj hasta el punto en el cual pactaron, el cual podemos suponer que fue B, si él está dispuesto a pagar un valor mayor a B, siempre recordando que obtener el bien es mejor a no obtenerlo. Con este análisis se evidencia otra situación y es cuando el ajuste en las ofertas mantiene el orden, pero nunca se presente que binf antes de la alianza sea menor a bmax después de la alianza. Lo anterior quiere decir que no importan los ajustes y el pacto realizado porque igual el jugador 2 no puede romper el pacto ya que no está dispuesto a ofrecer esa cantidad. Este caso no es de interés porque a pesar de incentivar la colusión, la solución a la cual se llega es la misma, se paga lo mismo que sin colusión, con una utilidad igual ya que después de adquirir el artículo va a poder definir con mayor precisión cual es su valoración. Todo este análisis lleva a que las colusiones en las subastas holandesas no se realicen debido a falta de incentivos por parte de los participantes. 2.1.2 Subasta inglesa: El análisis que se debe realizar con esta subasta difiere un poco de lo hecho con la subasta holandesa, en gran parte porque la función de pagos es diferente y no depende de lo que el ofrezca sino al contrario de lo que los otros jugadores estén dispuestos a pagar por el bien, mas específicamente lo que el jugador con la segunda valoración más alta esté dispuesto a pagar por el bien.. Compatibilidad de incentivos: Recordemos que la utilidad es: U(V)=(V - ε)*P{Ganar}. 24.

(27) y que además se tiene que: P{Ganar}= F(γ(bi)). Pero en éste caso la función de pagos. ε. no es igual a la oferta del jugador i, sino que es. equivalente a la oferta del jugador con la segunda valoración mas alta. Lo que esto quiere decir es que no es una función de la oferta de él y por consiguiente no se puede realizar una maximización como la encontrada en el caso de la subasta holandesa. Por lo tanto para establecer cual debe ser la oferta que maximice la función de utilidad hay que ver como se puede incrementar, y hasta que punto, el único término que es función de la oferta en el caso de una subasta inglesa. Para este caso se tiene que la utilidad está dada por: Ui(Vi) = (Vi – ε)*F(γ(bi)). De esta expresión sólo la probabilidad de ganar depende de la oferta y por consiguiente esta se debe incrementar tanto como sea posible. La primera reacción seria ofrecer una cantidad tal que lleve a la probabilidad de ganar a ser igual a uno. Sin embargo esto tiene sus consecuencias y puede ocurrir que él no sea la persona que más valora el bien y por consiguiente se lo va a ganar pagando un precio superior a su valoración llevándolo a tener una utilidad negativa. Es por éste motivo que la oferta no puede tomar un valor superior a su valoración, porque puede llevarlo a una utilidad menor que la utilidad con la cual empezó. Esta lógica implica que los agentes ofrecerán tanto como su valoración lo permita, lo cual lleva a que digan la verdad. Considerando que las valoraciones están sobre intervalos el problema estaría en que valor seria el más adecuado. Recordemos que este supuesto se basa en los desconocimientos de información que tienen los jugadores y que una mayor información puede significar una actualización mayor de su valoración, es decir saber mejor como valora el bien. Cada estado de la subasta inglesa implica un mayor nivel de información, lo cual quiere decir una mayor valoración y una disminución en el intervalo sobre el cual se mueven sus creencias. Esto querría decir que desde el principio el podría. 25.

(28) ofrecer su valoración máxima, su cota superior del intervalo, sin embargo esto no es necesariamente cierto, porque a pesar de ser parte de sus ideas puede presentarse que cuando obtenga el bien se de cuenta que podía ofrecer menos y que esto se aproximaba mas a sus creencias. Con esto se trata de mostrar que nunca se debe ofrecer la valoración máxima del intervalo sin esperar todos los estados de la subasta, así esto implique que la probabilidad de ganar sea mayor, ya que dependerá del nivel y del tipo de información que se consiga y por consiguiente su efecto sobre la valoración. Lo que hay que destacar es que sí existe compatibilidad de incentivos en donde la única valoración que se va a desconocer es la de la persona que obtenga el bien, ya que su oferta a pesar de ser la mayor, puede ser simplemente un valor un poco superior al del jugador con la segunda valoración mas alta. Sin embargo hay que tener en cuenta que siempre los jugadores van a llevar sus ofertas hasta su valoración si esto les incrementa sus posibilidades de obtener el bien.. Racionalidad individual: El análisis en éste punto es muy similar al realizado anteriormente para la subasta holandesa, ya que de nuevo el bien se le está asignando a una sola persona que es la que más lo valora, en este caso paga lo de la segunda valoración más alta. El cambio con respecto al caso anterior es que los niveles de utilidad difieren, pero el signo se mantiene igual. Para aclarar éste punto volvamos a la representación de la utilidad antes utilizada: Ui(Vi) = Uo – Vj + Ω = Uo – Vj + Ω,. cuando adquiere el bien y Ω representa el bien adquirido y Uo hace alusión al nivel de utilidad con el cual comenzó antes de participar en la subasta.. ó la situación contraria que llevaría a que Ui(Vi) = Uo,. cuando participó y no adquirió el bien. 26.

(29) La única diferencia con el caso anterior, es cuando el individuo gana la subasta y adquiere el bien. Mire que en éste caso el nivel de utilidad difiere para el participante si Vj ≠ Vi - F(Vi) lo cual es un caso posible. Sin embargo a pesar que el nivel de utilidad se afecta se sigue cumpliendo que el nivel de utilidad es positivo y mayor a Uo. La razón de esto es que se sabe que Vj < Vi y por lo tanto se puede afirmar que Ω > Vj, dado que Ω representa al bien y por consiguiente el precio para i será su valoración. Llevando esto a lo siguiente: U(antes) = Uo ≤ Uo + Φ = U(después), donde Φ ≥ 0 y sale de Ω - Vj Lo cual de nuevo indica que los individuos siguen teniendo incentivos a participar en una subasta inglesa, incluso con la inclusión del nuevo supuesto.. Colusión: Para éste caso el análisis a realizar es parecido en estructura al elaborado para la subasta holandesa, pero debe tener en cuenta otras características propias de esta subasta y que tienen efectos importantes en la conclusión sobre incentivos a formar colusiones. Dentro de la subasta inglesa se puede realizar una alianza que busque maximizar el beneficio de los jugadores por medio de disminuciones de la oferta. Para conseguir lo anterior hay que establecer de nuevo que las colusiones de interés son las realizadas entre los dos jugadores que más valoran el bien, ya que para los demás se llega exactamente al mismo resultado y por consiguiente no son interesantes de analizar, además de ser poco relevantes para los mismos resultados ya que esta situación no afecta, mejora, su nivel de utilidad. Si un jugador disminuye su oferta cuando se asocia con otro jugador, esta disminución va a ser relevante para el participante con la valoración más alta y la va a seguir, sólo sí es menor a la segunda valoración más alta, pero siendo él el que gana el artículo. Esto querría decir que el jugador dos13 debería detener sus ofertas a un nivel ε menor a la oferta del participante uno. 13. Llámenos jugador uno al que valora mas el bien y jugador dos al segundo de valoración mas alta.. 27.

(30) Donde ε>0 y es muy pequeño. De nuevo si las valoraciones están sobre intervalos hay que estudiar las diferentes situaciones que se pueden presentar. Se pupone que para el jugador uno las valoraciones están sobre [ Vinf , Vsup ] y que para el jugador dos el intervalo que se tiene es [ Vmin , Vmax ]. Si el jugador uno pacta con el dos disminuir las ofertas a un valor V < Vmin o incluso a un nivel que sea mayor a Vmin pero menor a Vmax se puede todavía tener un beneficio mayor para el jugador uno quien es el que adquirirá el bien, siempre y cuando éste valor sea menor a la oferta que antes iba a realizar el participante dos. Si por algún motivo alguien quiere romper el pacto es porque existe la posibilidad de incrementar su utilidad. Para el jugador uno éste no es el caso ya que sólo puede romper el pacto si ofrece menos, lo cual implicaría que no adquiera el bien, ó incrementando su oferta que llevaría a que obtenga el bien por un valor mayor al que iba a pagar con el pacto. Para el jugador dos puede que se presente que quiera romper el pacto, ya que siempre es mejor adquirir el bien, lo cual se manifestaría en una oferta mayor al nivel pactado V. Esto tendría un efecto en el comportamiento del jugador uno quien incrementaría su oferta hasta el punto en el cual el participante uno no esté dispuesto a realizar una oferta mayor. Esto llevaría al estado sin colusión pero sin una retribución para dos luego este no va a verse impulsado a romper la alianza. Como se puede ver en ningún momento se mencionó que se diera un intercambio de información entre los agentes sobre las valoraciones individuales que los lleve a ajustar sus creencias. Esto se debe a que la subasta inglesa permite para cualquier jugador conocer las valoraciones de los demás participantes. Luego ningún participante correría el riesgo de obtener este tipo de información si está expuesto a que le digan mentiras y por consiguiente ajuste su valoración de una manera errónea, porque igual esa información verdadera la va a obtener durante la subasta. Cualquier ajuste sobre las valoraciones que se pueda realizar y que se deba a otro tipo de información y que se pueda obtener por medio de otros jugadores no es de interés para los jugadores. Esto se debe a que otro tipo de información implica un ajuste sobre la valoración que no representa tanta importancia como conocer las creencias de los demás. Se supone que se intercambian conocimientos sobre el estado verdadero de un carro que se va a subastar, esto. 28.

(31) llevaría a que ambos valoren más el bien, debido a los supuestos usados en éste modelo. La información que intercambian no necesariamente es perfecta, es decir no dicen todo lo que sabe, ya que si se diera esto conocerían la valoración del otro individuo y éste caso ya se analizó. Ambos incrementan sus valoraciones, pero durante el juego el participante uno se da cuenta que el jugador dos está ofreciendo más de lo que de pronto él esperaba o que se detiene en un punto especifico que igual él no conoce, esto le revela la valoración de dos y por consiguiente hace un mayor ajuste en su valoración. De acá se demuestra que éste tipo de información llevaría a los mismos resultados que el caso en el cual no existiera el intercambio. Que los intervalos de los individuos estén sobrelapados no afecta el análisis realizado con anterioridad, ya que igual cada vez que un jugador ofrezca más se presenta un ajuste en las valoraciones, que se refleja en una disminución del intervalo. Si éste proceso continua se va a llegar a puntos en los cuales los intervalos de las valoraciones no se traslapen y por consiguiente se esté en un estado igual al ya analizado. Siempre se tiene que llegar a ésta situación, porque sino, no se podría terminar con la subasta, ya que nadie tendría la oferta mayor. Después de analizar los tres conceptos anteriores tanto para la subasta inglesa como para la holandesa se puede proseguir con el siguiente tema de análisis. Establecer cual es el efecto de valoraciones interdependientes que se muevan en intervalos en el teorema de ingreso equivalente. 2.2 Ingreso equivalente: Esta idea plantea que toda subasta que asigna el bien a la persona que tiene la mayor valoración entre los participantes lleva al mismo beneficio para el subastador. En éste caso, que se supone que el bien subastado es uno y que las subasta de interés son la inglesa y la holandesa, se va a tener que en promedio Vi - F(Vi) = Vj donde j representa al jugador con la segunda valoración más alta. Para comprobar o no la validez del anterior enunciado hay que realizar un pequeño cambio en la función de utilidad, que se deriva de la forma en la cual fue definida:. 29.

(32) U(V) = ( V - ε ) * P{Ganar} = V * P{Ganar} -. ε* P{Ganar}. = V * ρ(b(V)) - ψ (b(V)) Donde ψ (b(V)) representa el pago esperado del individuo y como se puede ver es una función de la oferta realizada por él. También se tiene que ρ es la probabilidad de ganar que depende de la oferta. En el optimo, es decir asumiendo que todos ofrecen su mejor posibilidad, dependiendo de lo que diga cada tipo de oferta la función de utilidad es: U^(V) = V * ρ(b^(V)) - ψ (b^(V)). En donde b^(V) se refiere a la oferta optima y por consiguiente U^(V) es la utilidad optima. Si derivamos con respecto a la valoración se tiene que: U’^(V) = ρ(b^(V)). por el teorema de la envolvente14.. Por lo tanto se puede integrar el resultado anterior con el fin de encontrar la función de utilidad obteniendo:. −. V. U(V) =. ∫ U' ^ (x) * dx + U^(Vo). Vo −. V. =. ∫ ρ (b^ (x)) * dx. Vo −. V. =. ∫ F (x) * dx. este último paso se debe a que ya se conocía la P{Ganar}. Vo. 30.

(33) Acá Vo es la valoración del subastador y por consiguiente el nivel inferior de la valoración de −. cualquier persona y V representa la valoración máxima de ese jugador. U^(Vo) es el término constante que aparece cuando se desarrolla la ecuación diferencial y el cual se supone es igual a cero. Despejando de la utilidad el pago esperado y remplazando el término que se acaba de encontrar se tiene:. −. ψ (b^(V)) = V * F(V) -. V. ∫ F (x) * dx. = ψ (V). Vo. El beneficio del subastador va a estar dado por: Π = N * E [ ψ (V) ] = N * E [ V * F(V) – U^(V) ] = E [ V(n)] – N * E[ U^(V) ] donde V(n) representa la valoración más alta de los N participantes. Obsérvese que. E [ V * F(V) ] =. 1 *E [ V(n)], debido a que se esta sacando el valor esperado de la enésima N. valoración más alta de todos los individuos.. Considerando que N=2 se tiene:. 14. En el anexo se colocara una explicación de éste teorema y como se aplica a este caso.. 31.

(34) −. −. V. V. _. V. d d Π = ∫ V * F(V) dv - 2* ∫ ( ∫ F(x)dx ) * F (V ) * dv dv dv Vo Vo Vo. Para simplificar un poco esta expresión y facilitar los cálculos se puede obtener por medio de integración por partes15 que:. −. V. _. d ∫Vo(Vo∫ F(x)dx ) * dv F (V ) * dv. −. _. V. =. F(V). V Vo. *. V. Vo. Vo. ∫ F (x) * dx. −. −. V. V. ∫ F (V) * dv. =. −. _. V. -. Vo. V. -. ∫ F (V) * F(V) * dv. Vo. _. 2. ∫ F(V) * dv. Vo. ya que. F(V). V. =1. Vo. −. V. =. 2. ∫ (F(V) - F(V) ) * dv. Vo. −. V. 1 = * ∫( 2 Vo. 2. d 1 - F(V) F(V) ) * ( f(v) ) * dv dv. Esto lleva a que el beneficio del subastador sea:. −. −. V. d Π = ∫ V * F(V) dv dv Vo. 2. d 1 - F(V) ∫ ( F(V) ) * ( f(v) ) * dv dv. V. Vo. −. V. =. ∫V -. Vo. 15. 2 1 - F(V) d * ( F(V) )dv f(v) dv. La teoría de cómo desarrollar una integral por partes se colocara en el anexo.. 32.

(35) Considerando que esta ecuación es igual para todas las subastas que entreguen el bien al individuo que más valore el bien, esta expresión hay que analizarla cuando las valoraciones están sobre intervalos para poder encontrar si existe o no diferencia en las subastas inglesas y holandesas. Asumiendo que el intervalo inicial16 de un participante es el mismo, así vaya a participar en una subasta inglesa o en una holandesa, las diferencias en las valoraciones sólo se podrían presentar en el transcurso del juego. Por lo tanto si una subasta permite una mayor recolección de información que mueva las valoraciones individuales, se van a encontrar diferencias en la expresión anterior. En la subasta holandesa un jugador i entra con una valoración igual a: [ Vmin , Vmax ]. La información que adquiere en el juego se puede basar en expresiones corporales de los agentes que indiquen inquietud a ofrecer en ese instante y por consiguiente el puede adecuar sus creencias, y si es posible anticipar ese movimiento. Ningún otro tipo de información se va a poder recolectar en ésta subasta. En el caso contrario cuando la subasta es inglesa el jugador sí puede recolectar más información en el transcurso del juego, por consiguiente va a poder adecuar mejor sus creencias. Con lo anterior se puede argumentar que la subasta inglesa y la holandesa traen un beneficio diferente para el subastador, enunciado que se acerca más a lo que se observa usualmente en la realidad. En términos de información se puede pensar que dado que la subasta inglesa permite una mayor adquisición de conocimientos sobre el bien y los demás individuos, la valoración siempre se va a ir incrementando y dado que el término. 1 - F(V) es decreciente en la valoración, lo cual se puede f(v). mostrar con la primera derivada17, se podría pensar que la subasta inglesa traería un mayor beneficio para el subastador, sin embargo esto no es del todo cierto. Esto va a estar muy relacionado a dos situaciones, que tan adversos son los agentes al riesgo y a que la adquisición de información no afecte la cota superior del intervalo sino la cota inferior.. 16. No hay porque pensar que esto no se da puesto que ninguna subasta tiene restricciones sobre información anterior que pueda afectar las valoraciones. Igual asumiendo que si existe diferencia se puede afirmar que con valoraciones diferentes para cada subasta el ingreso equivalente difiere. 17 Esta derivada se encuentra en el anexo.. 33.