Espacios de tipos de fragmentos enumerables de lw1w

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(1)Espacios de Tipos de Fragmentos enumerables de Lω1ω Mariana de Jesús Herrera Reyes Asesor: Xavier Caicedo 6 de febrero de 2009.

(2) Quiero agradecer muy especialmente al profesor Xavier Caicedo por su valiosa colaboración en el presente trabajo. De igual forma agradezco a mis padres por su constante apoyo e inmensa paciencia.. 1.

(3) Índice general 1. Introducción. 4. 2. Teorı́a de Modelos de Lω1 ω 2.1. El Lenguage Lω1 ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Conjuntos Consistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Subestructuras Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 6 8 8. 3. Espacios de Tipos en Lω1 ω 3.1. Preliminares de Topologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Espacios de Tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Sn (L) como Espacio Booleano para Lenguajes Compactos. . . . 3.4. El Álgebra de Lindenbaüm de T en Ln . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. El Espacio de Stone del Álgebra de Lindenbaüm . . . . . . . . . 3.6. El Espacio Sn (L) como un Gδ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. El Espacio S1 (T ) de la Teorı́a T = T ODSE ∪ {(ci < ci+1 )| i ∈ ω} 3.8. El Espacio S2 (T ) . . . . . . . . . . . . . . . . V. . . . . . . . . . . . 3.9. El espacio S1 (T ∗), donde T ∗ = T ODSE ∪ { i∈ω (ci < ci+1 )} . . 3.10. El Espacio de 1−tipos de la teorı́a del modelo A = hR, <, q0 , q1 , . . .i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 10 10 12 14 16 18 19 28 35 39. . . . . .. 41. 4. Dos Teoremas de La Teorı́a de Modelos de Lω1 ω 4.1. Teorema de Omision de Tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Caracterización de Teorı́as ω−Categóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Aplicación del Teorema de Caracterización de Teorı́as ω−categóricas en Lω1 ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42 42 45. 5. El Rango de Cantor-Bendixon y el Rango de Morley 5.1. Rango de Cantor-Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Grado de Cantor-Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50 50 52 52. 2. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 48.

(4) 5.4. 5.5. 5.6. 5.7.. El Rango de Cantor Bendixon y Espacios Booleanos Rango de Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grado de Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rango de Morley y Teorı́as ω−Estables . . . . . . . .. A. Álgebras Booleanas A.1. Retı́culos Complementados y Distributivos A.2. Átomos en Álgebras Booleanas . . . . . . . A.3. Filtros y Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . A.4. La Dualidad de Stone . . . . . . . . . . . . .. 3. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 53 57 60 61. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 63 63 65 66 69.

(5) Capı́tulo 1. Introducción La lógica infinitaria, se ha utilizado, para ampliar el rango de expresión de la lógica de primer orden, sin embargo en este proceso de ampliación se pierden propiedades deseables de la lógica de primer orden. La ausencia del teorema de compacidad, en la lógica Lω1 ω es un ejemplo concreto de este hecho. Es decir que pueden encontrarse fragmentos enumerables de Lω1 ω , y conjuntos de fórmulas en estos lenguajes tales que son finitamente consistentes, pero no existe un modelo que realice la totalidad del conjunto. Aunque el teorema de compacidad es una propiedad modelo teórica, se puede demostrar que el teorema tiene alcances topológicos. Un lenguaje que satisface el teorema de compacidad satisface que su espacio de tipos es un espacio compacto. La propiedad de compacidad, junto con el hecho de que el espacio de tipos es un espacio de Hausdorff, cero dimensional, nos dice que el espacio de tipos es el espacio de Stone del álgebra de Lindenbaüm. Por otro lado, si el lenguaje no es compacto, demostramos que el espacio de tipos de una teorı́a de un fragmento enumerable es un espacio topológicamente completo, como lo afirma Morley en su trabajo Aplication of Topology to Lω1 ω [Mo]. De acuerdo con esto, este trabajo tiene como objetivo principal, explorar a fondo las propiedades topológicas de los espacios de tipos para demostrar tres teoremas clásicos de la teorı́a de modelos. En primera instancia, generalizamos dos teoremas clásicos de la lógica de primer orden para la lógica Lω1 ω , utilizando el hecho de que los espacios de tipos son espacios topológicamente completos. Ası́ pues, demostramos el teorema de omisión de tipos para fragmentos enumerables de Lω1 ω y caracterizamos las teorı́as ω−categóricas describiendo a su espacio de tipos, como un espacio discreto. Por otro lado, desarrollamos la idea de que el espacio de tipos de una teorı́a de la lógica de primer orden es un espacio booleano, y mostramos las conexiones entre el rango de Cantor-Bendixon y el rango 4.

(6) de Morley, para ası́ demostrar que si una teorı́a es ω−estable entonces es κ−estable para todo κ > ω.. 5.

(7) Capı́tulo 2. Teorı́a de Modelos de Lω1ω 2.1.. El Lenguage Lω1 ω. Una estructura relacional, es una estructura A = hA, {riA |i ∈ I}, {fjA |j ∈ J}, {cA k |k ∈ son interpretaciones de relaciones, funciones y K}i, tal que I ⊂ ω, donde riA , fjA , cA k constantes en la estructura A. El tipo τ = τ (A) de una estructura A, se define como τ = hharg(riA )|i ∈ Ii, harg(fjA )|j ∈ Ji, Ki donde arg(r) es el número de argumentos de r, y arg(f ) es el número de argumentos de f . Ası́ pues, τ muestra la aridad de las relaciones y de las funciones, y muestra cual es la enumeración de las constantes, si las hay. Ahora bien, en caso de que J = ∅ se dice que el sistema es puramente relacional. Para cada tipo τ existe una lógica infinitaria, Lω1 ω (τ ), que tiene por sı́mbolos: * A los sı́mbolos de relación, de función y de constante, ri , fj y ck para cada i ∈ I, j ∈ J, y k ∈ K respectivamente. * Al conjunto de variables {xi |i ∈ ω}. * A los simbolos lógicos de Wla lógica de primer orden ” =, ∧, ¬, ∃” más un nuevo sı́mbolo de disyunción ” ”. Ahora bien, definimos a los términos y a las fórmulas de Lω1 ω (τ ) de manera inductiva:. Sea x una variable libre, ck un sı́mbolo de constante, fj un sı́mbolo de función de tipo τ , cuyo arg(fj ) = n y sean t0 , . . . , tn términos de Lω1 ω (τ ). Entonces t definido de la siguiente manera, es un término de Lω1 ω (τ ): t := x. 6.

(8) t := ck , k ∈ K. t := fj (t0 , . . . , tn ), j ∈ J. Si ri es una relación de tipo τ cuyo arg(ri ) = n y si t0 , . . . , tn son términos de Lω1 ω (τ ). Entonces una fórmula atómica de Lω1 ω (τ ), φ, es de la siguiente manera: φ := (t1 = t2 ). φ := ri (t1 , . . . , tn ), i ∈ I. Si ψ, ψ1 , ψ2 son fórmulas de Lω1 ω (τ ) y χ es un conjunto enumerable de fórmulas de Lω1 ω (τ ), con a lo sumo n variables libres, entonces φ definida de la siguiente manera, es una fórmula de Lω1 ω (τ ): φ := ¬ψ. φ := ψ1 ∧ ψ2 . φ := ∃xψ(x). W φ := χ. De está manera una fórmula φ puede ser una disyunción infinita enumerable de fórmulas, siempre y cuando el número de variables libres de φ sea finito. Se utilizan las abreviaciones usuales, (φ ∨ ψ) = ¬(¬φ ∧ ¬ψ), (φ → ψ) = (¬φ = (φ → V ∨ ψ), (φW↔ ψ) ψ) ∧ (ψ → φ) y ∀xφ(x) = ¬∃x¬φ(x) y una nueva abreviación χ = ¬ ¬χ . Definición 2.1.1. Un subconjunto L(τ ) de Lω1 ω (τ ), es un fragmento si: i) El conjunto de fórmulas de L(τ ) es cerrado bajo negaciones, conjunciones y el cuantificador existencial. ii) El conjunto de fórmulas de L(τ ) es cerrado bajo subfórmulas. iii) El conjunto de fórmulas de L(τ ) es cerrado bajo sustitución de variables: si φ(xi ) ∈ L(τ ), entonces φ(xj ) ∈ L(τ ). De ahora en adelante abusamos de la notación y decimos que L es un fragmento de Lω1 ω , en vez de decir que L(τ ) es un fragmento de Lω1 ω (τ ).. 7.

(9) 2.2.. Conjuntos Consistentes. Para el resto del capı́tulo, considere a L como un fragmento de Lω1 ω . Decimos que φ es una L−fórmula si φ ∈ L y denotamos por Ln al conjunto de fórmulas de L con a lo sumo n variables libres. Definición 2.2.1. Un conjunto de fórmulas de L, S, es consistente si existe una τ −estructura A, tal que para toda fórmula φ ∈ S, A |= φ. Definición 2.2.2. Un conjunto de fórmulas de L, S, es finitamente consistente si para todo subconjunto finito de S, S0 ⊂ S, S0 es consistente. Definición 2.2.3. Una teorı́a T de L, es un conjunto consistente de sentencias de L. Definición 2.2.4. Decimos que φ, una L−fórmula, es consecuencia lógica de la teorı́a T , T |= φ, si para toda τ −estructura, si A |= T entonces A |= φ. Una teorı́a es completa con respecto a L, si φ o ¬φ es consecuencia lógica de T , para toda sentencia φ de L. Ası́ pues, la teorı́a de un modelo de T, A, T h(A) = {φ|A |= φ} es una teorı́a completa. Adicionalmente, si T es una teorı́a completa con respecto a L, y si A, B son tales que A |= T y B |= T , entonces T h(A) = T h(B), es decir que A y B son elementalmente equivalentes con respecto a L, A ≡L B.. 2.3.. Subestructuras Elementales. B Definición 2.3.1. Sean A = hA, {riA |i ∈ I}, {fjA |j ∈ J}, {cA k |k ∈ K}i y B = hB, {ri |i ∈ I}, {fjB |j ∈ J}, {cBk |k ∈ K}i dos τ −estructuras, decimos que B es subestructura de A, B ⊆ A si:. B ⊆ A. cBk = cA k , ∀k ∈ K. riB = riA ∩B arg(ri ) , ∀i ∈ I, es decir que si arg(ri ) = n, ∀(b1 , . . . , bn ) ∈ B n , riB (b1 , . . . , bn ) si y sólo si riA (b1 , . . . , bn ). fjB = fjA |B, ∀j ∈ J, es decir que si arg(fj ) = n, ∀(b1 , . . . , bn ) ∈ B n , fjB (b1 , . . . , bn ) = fjA (b1 , . . . , bn ). Definición 2.3.2. Sea L un fragmento de Lω1 ω y sea B una subestructura de A, decimos que B es subestructura elemental con respecto a L de A, B L A si para toda fórmula φ(x̄) de L, b̄ ∈ B n , A |= φ(b̄)[b̄] si y sólo si B |= φ(x̄)[b̄].. 8.

(10) Test de Tarski-Vaught para Lω1 ω 2.3.3. Sea L un fragmento de Lω1 ω y sean A, B dos modelos de T . A L B si y sólo si A ⊆ B y si para toda φ(x, x1 , . . . , xn ) ∈ L y para toda a, a1 , . . . , an ∈ A, si B |= ∃xφ(x1 , . . . , xn )[a1 , . . . , an ] entonces existe a ∈ A tal que B |= φ(x, x1 , . . . , xn )[a, a1 , . . . , an ]. Demostración. Demostraremos por inducción en fórmulas que si a1 , . . . , an ∈ A, A |= φ(x1 , . . . , xn )[a1 , . . . , an ] si y sólo si B |= φ(x1 , . . . , xn )[a1 , . . . , an ]: Para fórmulas atómicas la proposición se cumple pues A ⊆ B. Ahora bien, supongamos que para toda a1 , . . . , an ∈ A, A |= φi (x1 , . . . , xn )[a1 , . . . , an ] si y sólo si B |= φi (x1 , . . . , xn )[a1 , . . . , an ], para i = 0, 1, 2 y para toda φ2 (x1 , . . . , xn ) ∈ χ. Los casos de φ(x1 , . . . , xn ) = ¬φ0 (x1 , . . . , xn ), φ(x1 , . . . , xn ) = φ0 (x1 , . . . , xn ) ∧ φ1 (x1 , . . . , xn ) y φ(x1 , . . . , xn ) = ∃xφ0 (x, x1 , . . . , xn ) son demostraciones análogas al caso de la lógica de primer orden, ası́ pues que se puede consultar [A, CH.14, Theorem 14.5]. W W W Si φ(x1 , . . . , xn ) = χ y χ ∈ L, A |= χ[a1 , . . . , an ] si y sólo si A |= φ2 [a1 , . . . , an ] para alguna fórmula φ2 (x0 , . . . , xn ) ∈ χ y por hipótesis de inducción esto sucede W si y sólo si B W |= φ2 (x1 , . . . , xn )[a1 , . . . , an ] y como χ ∈ L esto sucede si y solamente si B |= χ[a1 , . . . , an ].. Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski Descendente para Lω1 ω 2.3.4. Sea L un fragmento enumerable de Lω1 ω , si A es una estructura de tipo L, X ⊂ A, y κ un cardinal infinito, tal que |X| ≤ κ ≤ |A|, entonces existe B L A tal que X ⊂ B y |B| = κ. Demostración. Consultar [EFT, Chapter IX, §2., Theorem 2.4]. El Teorema de Compacidad 2.3.5. Si Γ es un conjunto de fórmulas de L, finitamente consistente entonces Γ es consistente. El anterior teorema es un resultado clásico de la teorı́a de modelos que es valido para la lógica de primer orden. Para fragmentos de la lógica infinitaria esto no es necesariamente cierto. Es más, el primer teorema de Lindström1 , tiene como consecuencia que el único fragmento de Lω1 ω que satisface el teorema, es la lógica de primer orden, Lωω . Ası́ pues, cuando nos refiramos a fragmentos compactos, nos referimos a la lógica de primer orden, resaltando el hecho de que satisface el teorema de compacidad. 1. Consultar [EFT, Chapter XII, §3., Theorem 3.1]. 9.

(11) Capı́tulo 3. Espacios de Tipos en Lω1ω 3.1.. Preliminares de Topologı́a. En esta sección daremos las definiciones y los resultados básicos de topologı́a, necesarios para abordar las siguientes secciones. El resultado más importante es el teorema de categorı́a de Baire que es cierto tanto para espacios completos, como para espacios compactos, este teorema será escencial en la demostración del teorema de omisión de tipos para fragmentos enumerables de la lógica Lw1 ω que presentaremos en el próximo capı́tulo. Definición 3.1.1. Sea hX, di un espacio métrico, una sucesión de Cauchy, es un conjunto infinito de puntos {xi }i∈ω tal que ∀ > 0, existe N ∈ ω tal que ∀n, m > N , d(xn , xm ) < . Decimos que X es un espacio métrico completo si toda sucesión de Cauchy converge. Ahora bien, dado un espacio topológico hX, T i, X es topológicamente completo si existe una distancia, que genera la misma topologı́a, con la que el espacio es completo. Una propiedad estándar de los espacios topológicamente completos, es la siguiente: Sea d la distancia con la que el espacio es completo. Si C1 ⊃ C2 ⊃ . . . es una familia de conjuntos cerrados, tales que el diametro de Ci tiende a cero, según la distancia d, T∞ mientras que i → ∞, la intersección i=1 Ci 6= ∅. Consultar [Mu, CH.8, §48, Lema 48.3]. Ahora bien, los espacios compactos satisfacen una propiedad similar, un teorema clásico de la literatura dice que hX, T i es un espacio compacto, siT y solamente si para toda familia de cerrados de T , C tal que satisface pif 1 , se tiene que C∈C C 6= ∅. Consultar [Mu, CH.3, §26, Theorem 26.9]. 1. Consultar Apéndice A.3, definición A.3.3.. 10.

(12) Definición 3.1.2. Sea X un espacio topológico, A es un subconjunto denso si dado x ∈ X, para toda vecindad U de x, U ∩ A 6= ∅. Por otro lado, decimos que A es un subconjunto denso en ninguna parte si su clausura, Ā, no contiene ningún abierto no vacı́o. Lema 3.1.3. Sea X un espacio topológico, y sea A un subconjunto de X. Si A es denso en ninguna parte, entonces Ac es un conjunto denso en X. Demostración. Si A es un subconjunto denso en ninguna parte entonces no contiene ningún abierto no vacı́o, por lo que si x ∈ X y U es un entorno de x entonces U ∩Ac 6= ∅, es decir que Ac es un abierto denso. T Definición 3.1.4. Decimos que X es un espacio de Baire si la intersección ∞ i=1 Di de la ∞ familia de abiertos densos {Di }i=1 es también densa. Teorema de Categorı́a de Baire 3.1.5. Si X es un espacio topológicamente completo, entonces X es un espacio de Baire2 . Demostración. Lo que queremos ver es que si {Di }i∈ωTes una familia de conjuntos abiertos densos, y si U es un abierto no vacı́o de X, U ∩ i∈ω Di 6= ∅. Sea X un espacio topológicamente completo y sea {Ci }ı∈ω una familia de cerrados no vacı́os cuyos diametros tienden a cero, tomados con la distancia d que hace a X un espacio completo. Construiremos una cadena C0 ⊃ C1 ⊃ . . ., tal que Cn ⊇ Cn+1 ⊇ . . . esté contenida en U ∩ Dn para todo n ∈ ω. En primera instancia, como existe x0 ∈ X tal que x0 ∈ D0 ∩ U , pues D0 es denso, entonces existe un k 0 ∈ ω y un abierto básico b0 tal que diam(b0 ) = k10 según la distancia d y b0 ⊆ (D0 ∩ U ). Adicionalmente, como X es un espacio métrico con la distancia d, existe k0 ∈ ω tal que k0 ≥ k 0 + 1 y un básico b0 ⊂ b0 tal que diam(b0 ) = k10 y b0 ⊂ b0 ⊆ (D0 ∩ U ) y por lo tanto denotamos a b0 = C0 . Ahora bien, supongamos que se ha construido la cadena C0 ⊃ C1 ⊃ . . . ⊃ Cn , tal que para todo i = 0, . . . , n, Ci = bi para algún bi ∈ B, diam(Ci ) = k1i con ki+1 ≥ ki + 1, y Cn ⊆ Dn ∩ U . Como Dn+1 es denso abierto, Dn+1 ∩ bn es un abierto no vacı́o y por ende, 1 y bn+1 ⊆ (bn ∩ Dn+1 ). existe un k n+1 ∈ ω y un básico bn+1 tal que diam(bn+1 ) = kn+1 Ahora bien como X es un espacio métrico con la distancia d, existe kn+1 ∈ ω tal que 1 kn+1 ≥ k n+1 + 1 > kn y un básico bn+1 ⊂ bn+1 tal que diam(bn+1 ) = kn+1 y por lo tanto, bn+1 ⊆ bn+1 ⊆ Cn ⊆ (Dn+1 ∩ U ), ası́ pues denotamos a bn+1 = Cn+1 . 2. Este teorema también es válido para espacios de Hausdorff y compactos. [Mu, Capı́tulo 8, §48, Teorema 48.2]. 11.

(13) De esta manera obtenemos una cadena T de cerrados C0 ⊃ C T1 ⊃ . . . ⊃ Cn . . .Ttales que diam(Ci ) →T0 si i → ∞, por lo que i∈ω Ci 6= ∅, y como i∈ω Ci ⊂ (U ∩ i∈ω Di ) vemos que i∈ω Di también es un conjunto denso. De esta manera queda demostrado el teorema de categorı́a de Baire.. 3.2.. Espacios de Tipos. Definición 3.2.1. Un n−tipo de una teorı́a T , S(x̄), es un conjunto de fórmulas con a lo sumo n variables libres tal que T ∪ S(x̄) es un conjunto consistente. Un n−tipo de T es maximal, si existe una n−tupla ā ∈ An donde A es el universo de A, un modelo de T , y S(x̄) = {φ(x̄) ∈ L|A |= φ(x̄)[ā]}. Denotamos al n−tipo maximal de ā, por Sā (x̄). Claramente T ⊆ Sā (x̄) y Sā (x̄) es un conjunto maximal consistente. Adicionalmente si φ(x̄) es una fórmula de Ln , decimos que S(x̄) es un n−tipo principal generado por φ(x̄), si S(x̄) = {ψ(x̄)|T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄))}. De lo contrario, decimos que S(x̄) es un n−tipo no principal. Definición 3.2.2. Sea L un fragmento enumerable de Lω1 ω , sea T una teorı́a de L. El espacio de n−tipos de T es el conjunto: Sn (T ) = {S(x̄)|S(x̄) es un n−tipo maximal de T }. Si T = ∅ denotamos al espacio de n−tipos de T por Sn (L) y lo llamamos el espacio de L−tipos. Decimos que un modelo A de T realiza al tipo S(x̄) si existe una n−tupla ā ∈ An tal que S(x̄) = Sā (x̄). Por el contrario, si A no realiza a S(x̄) decimos que A omite al tipo S(x̄). En adelante cuando hablemos del espacio de n−tipos, nos referimos al espacio topológico Sn (T ) cuya base B está compuesta de los básicos [φ(x̄)]T,n = {S(x̄) ∈ Sn (T )|φ(x̄) ∈ S(x̄)}, es decir B = {[φ(x̄)]T,n |φ(x̄) ∈ Ln }. Adicionalmente, a modo de observación, es fácil ver que B satisface las siguientes propiedades: * [φ(x̄)]T,n ∩ [ψ(x̄)]T,n = [φ(x̄) ∧ ψ(x̄)]T,n . * [φ(x̄)]T,n ∪ [ψ(x̄)]T,n = [φ(x̄) ∨ ψ(x̄)]T,n . * [φ(x̄)]cT,n = [¬φ(x̄)]T,n . * [x = x]T,n = Sn (T ). 12.

(14) * [¬(x = x)]T,n = ∅. * [φ(x̄)]T,n ⊆ [ψ(x̄)]T,n si y sólo si T |= ∀(x̄)(φ(x̄) → ψ(x̄)). Ahora bien, decimos que un n−tipo maximal S(x̄) es aislado, si es un punto aislado del espacio Sn (T ). Es decir que existe un básico [φ(x̄)]T,n de Sn (T ) tal que si S 0 (x̄) ∈ [φ(x̄)]T,n entonces S 0 (x̄) = S(x̄). Definición 3.2.3. Un ω−tipo de T , Sω es un conjunto de fórmulas de L consistentes con la teorı́a T tales que sus variables libres se encuentran entre {xi |i ∈ ω}. A su vez, el espacio de ω−tipos de T, Sω (T ), es el espacio topológico de los ω−tipos maximales de T donde un básico de la topologı́a es de la forma: [φ(x̄)]T,ω = {Sω ∈ Sω (T )|φ(x̄) ∈ Sω }. Ahora bien, un modelo A de T realiza al ω−tipo de T si existe una sucesión de elementos de A, {ai |i ∈ ω}, que satisface todas las fórmulas φ(x̄) ∈ Sω . Ası́ pues, si [φ(x̄)]T,α es un básico de Sα (T ), α ≤ ω, y si es claro en el contexto que estamos hablando de una teorı́a especı́fica T , denotamos al básico por [φ(x̄)]α . Adicionalmente si es claro en el contexto que estamos hablando de un básico en el espacio de α−tipos de T , Sα (T ), denotamos al básico por [φ]. Proposición 3.2.4. Si ω ≥ α > β, la función f : Sα (T ) → Sβ (T ) tal que f (S) = {φ ∈ S|φ ∈ Lβ } es una función continua y abierta. Demostración. En primera instancia, veamos que f es una función continua. Sea [φ]β un básico de Sβ (T ), f −1 ([φ]β ) = {S ∈ Sα (T )|φ ∈ S} = [φ]α ası́ pues, f es una función continua. Ahora bien, sea [ψ]α un abierto básico de Sα (T ). Si ψ = ψ(xi0 , . . . , xin ) y in < β entonces f ([ψ]α ) = [ψ]β . Si i0 < . . . < ik ≤ β < ik+1 < . . . < in , veamos que f ([ψ]α ) = [φ]β donde φ = ∃xik+1 . . . ∃xin ψ(xi0 , . . . , xin ). Si S ∈ [ψ]α , ψ ∈ S entonces existe una sucesión {ai |i ∈ ω} de un modelo A de T , que realiza al tipo S, por lo que la sucesión {ai |i ∈ ω} también realiza las fórmulas ψ(xi0 , . . . , xin ) y φ = ∃xik+1 . . . ∃xin ψ(xi0 , . . . , xin ). Ası́ pues, como φ ∈ Lβ , entonces φ ∈ f (S), por lo que f (S) ∈ [φ]β . Ası́ pues, f ([ψ]α ) ⊆ [φ]β .. 13.

(15) Por otro lado, si S 0 ∈ [φ]β entonces existe una β−tupla [ai0 , . . . , aiβ ] ∈ Aβ de un modelo A de T , tal que A |= ∃xik+1 , . . . , xin ψ(xi0 , . . . , xin )[ai0 , . . . , aiβ ] entonces existen aiβ+1 , . . . , ain ∈ A tales que A |= ψ(xi0 , . . . , xin )[ai0 , . . . , ain ], entonces Sai0 ,...,ain ∈ [ψ]α , f (Sai0 ,...,ain ) = S 0 y f ([ψ]α ) ⊇ [φ]β . De esta manera, queda demostrado que f ([ψ]α ) = [φ]β , por lo que f es una función abierta.. 3.3. Sn (L) como Espacio Booleano para Lenguajes Compactos. Una vez definido el espacio de n−tipos, para todo n ≤ ω empezaremos a explorar las propiedades topológicas de Sn (L) como subespacio de P (Ln ), donde L es un fragmento enumerable de Lω1 ω y Ln es el lenguage L restringido a n variables libres, {x1 , . . . , xn }. Ahora bien, al bien ordenar el conjunto Ln de la forma Ln = {φα (x̄) : α < ω} podemos identificar a P (Ln ) con el conjunto {0, 1}ω de la manera usual, identificando a cada conjunto A ∈ P (Ln ) con una tupla (x0 , x1 , x2 , ...) de longitud ω donde cada coordenada xα está asociada a la fórmula φα (x̄) y su valor coincide con el valor de χA (φα (x̄)) (la función caracterı́stica de A evaluada en φα (x̄)). Adicionalmente, al asignarle la topologı́a producto al espacio {0, 1}ω cada básico b es de la siguiente forma: Dada una sucesión finita fija de ceros y unos s = {si1 , si2 , ..., sim }, bs = {(x0 , x1 , x2 , ...) ∈ {0, 1}ω | xα = sα ∀α ∈ {i1 , ..., im }} el cual puede identificarse con: {A ∈ P (Ln )| φα (x̄) ∈ A si sα = 1, y φα (x̄) ∈ / A si sα = 0, α ∈ {i1 , . . . , im }}.. Proposición 3.3.1. Sean L y Ln como arriba. La topologı́a que hereda Sn (L) como subespacio de P (Ln ) coincide con la topologı́a de Sn (L) determinada por la base B = {[φ(x̄)] : φ(x̄) ∈ Ln }, donde [φ(x̄)] := {S(x̄) ∈ Sn (L) | φ(x̄) ∈ S(x̄)}. Demostración. En primer lugar, consideremos a Sn (L) con la topologı́a heredada T como subespacio de P (Ln ), cada básico b0s de Sn (L), tiene la siguiente forma: b0s = bs Sn (L). Es decir, bs = {S(x̄) ∈ Sn (L)| φα (x̄) ∈ S(x̄) si sα = 1, y φα (x̄) ∈ / S(x̄) si sα = 0, α ∈ {i1 , . . . , im }}. 14.

(16) Ahora bien, puesto que los tipos de Sn (L) son completos, es claro que para toda λ < |Ln | Si (x0 , x1 , x2 , ...) ∈ bs y xλ = 0 entonces xβ = 1 donde β es tal que φβ (x̄) = ¬φλ (x̄). Siguiendo con este orden de ideas, definimos para α ∈ {i1 , . . . , im }, ( φα (x̄), si sα = 1, ψα (x̄) = ¬φα (x̄), si sα = 0 Evidentemente. V. V. ψα (x̄) ∈ Ln y por ende. α∈{i1 ,...,im }. ψα (x̄) = φκ (x̄) para algún. α∈{i1 ,...,im }. κ < |Ln |. De acuerdo con esto, se puede ver a bs como bs = {S(x̄) ∈ Sn (L)|tal que φκ (x̄) ∈ S(x̄)} y este conjunto es exactamente la definición de [φκ (x̄)], es decir que bs = [φκ (x̄)]. Ahora bien, si [φ] es un básico de Sn (L), entonces como φ ∈ Ln , entonces φ = φα para algún α < |Ln |, ası́ pues, [φ] = {(x0 , x1 , . . . , ) ∈ {0, 1}|Ln | |xα = 1} ∩ Sn (T ) que es un básico de P (Ln ) interceptado con Sn (T ), es decir un básico de la topologı́a que hereda de Sn (T ) como subespacio de P (Ln ). De esta manera, la topologı́a que hereda Sn (L) como subespacio de P (Ln ) coincide con la topologı́a de Sn (L) determinada por la base B = {[φ(x̄)] : φ(x̄) ∈ Ln }. Ahora bien, recordemos que un espacio booleano3 es un espacio de Hausdorff, compacto con una base de çlopens”, abiertos-cerrados. Es fácil ver que el espacio {0, 1}|Ln | , es un espacio booleano, ası́ pues, de acuerdo a la siguiente proposición, si L es un fragmento compacto, Sn (L) es un subespacio cerrado, y por ende Sn (L) es a su vez un espacio Booleano. Puesto que un subespacio de un espacio de Hausdorff con base de clopens es a su vez un espacio de Hausdorff con base de clopens, y un subespacio cerrado de un espacio compacto, es un espacio compacto. Proposición 3.3.2. L es un fragmento enumerable de Lω1 ω que satisface el teorema de compacidad si y sólo si el espacio de n−tipos de L, Sn (L), es un conjunto cerrado de P (Ln ). Demostración. (” ⇒ ”)Sea Ln el lenguage L restringido a n variables libres, y sea Ln = {φα : α < ω} una enumeración de Ln . Vamos a demostrar que el complemento de 3. Consultar Apendice A,4.. 15.

(17) Sn (L) es abierto. Dado un elemento cualquiera A0 ∈ P (Ln ) tal que A0 ∈ / Sn (L) enconc traremos un entorno alrededor de A0 totalmente contenido en (Sn (L)) . Basta considerar dos casos: Caso 1: A0 es inconsistente. Si A0 es inconsistente, entonces por compacidad existe un subconjunto finito A00 de A0 , el cual es inconsistente. Si A00 = {φα1 , ..φαm }, para algún m ∈ ω, el básico b = {(x1 , x2 , x3 ...)| xαi = 1, ∀i = 1, ..., m} corresponde a: b = {A ∈ P (Ln )| φαi ∈ A ∀i = 1, ..., m} por lo que se hace evidente que b es un entorno de A0 . Más aun, b ∩ Sn (L) = ∅ dado que cualquier A ∈ b al contener a A00 ha de ser inconsistente, y por definición ningún tipo de Sn (L) es inconsistente. Caso 2: A0 es consistente, pero no es maximal. Si A0 es consistente pero no es completo, existe una fórmula φα ∈ Ln tal que φα ∈ / A0 y tampoco ¬φα ∈ / A0 . Ası́ pues, por un argumento similar al anterior, sabemos que ¬φα = φβ para algún β < |Ln | y el básico b = {(x1 , x2 , x3 ...)| xα = 0 y xβ = 0} se puede interpretar de manera natural como, b = {A ∈ P (Ln )| φα ∈ / A y ¬φα ∈ / A}. Claramente b es un entorno de A0 y b ∩ Sn (L) = ∅ puesto que cualquier conjunto S ∈ Sn (L) o contiene a φα o a ¬φα por maximalidad. (” ⇐ ”) Supongamos que el espacio Sn (L) es un cerrado en P (Ln ), entonces como P (Ln ) con la topologı́a producto es compacto, entonces Sn (L) es a su vez compacto. Ahora bien, si S = {ψj |j ∈ ω} es un conjunto de fórmulas fintamente consistente, entonces para todo m < ω, [ψj1 ] ∩ . . . ∩ [ψjm ] ∩ Sn (L) 6= ∅ y el conjunto C = {[ψj ] ∩ Sn (L)|j ∈ ω} es T una familia de clopens que tiene la propiedad del pif y tal que C ⊆ Sn (L), ası́ pues, j∈ω [ψi ] ∩ Sn (L) 6= ∅ y por ende existe un conjunto de fórmulas S 0 ∈ Sn (L) tal que S ⊆ S 0 . Ası́ pues el conjunto S es consistente y por ende L es un fragmento compacto como se buscaba. De acuerdo con esto, Sn (L) es un espacio booleno. Ahora bien, por la dualidad de Stone4 , Sn (L) debe ser el espacio de Stone de algún álgebra booleana. Ası́ pues, a continuación definimos tal álgebra booleana, el álgebra de Lindenbaüm.. 3.4.. El Álgebra de Lindenbaüm de T en Ln. Sea L un fragmento enumerable de Lω1 ω , y sea T una teorı́a consistente de L. Consideremos el siguiente sistema algebraico An = hF m(Ln ), ∨, ∧, ¬, ¬(x = x), (x = x)i en donde φ(x̄) ∈ F m(Ln ). Ahora bien, consideremos la siguiente relación: 4. Consultar Apendice A,4.. 16.

(18) ψ(x̄) ≡T φ(x̄) si y sólo si T |= ∀x̄(ψ(x̄) ↔ φ(x̄)). Es fácil ver que la relación ”≡T ”satisface: φ(x̄) ≡T φ(x̄). Si φ(x̄) ≡T ψ(x̄) entonces ψ(x̄) ≡T φ(x̄). Si φ(x̄) ≡T ψ(x̄) y ψ(x̄) ≡T ϕ(x̄) entonces φ(x̄) ≡T ϕ(x̄). Si φ(x̄)0 ≡T ψ0 (x̄), . . . , φ(x̄)n ≡T ψn (x̄) entonces f (φ0 (x̄), . . . , φn (x̄)) ≡T f (ψ0 (x̄), . . . , ψn (x̄)) donde f es un sı́mbolo de la lógica Lω1 ω , para todo n ≤ ω. De esta manera, ” ≡T ” es una congruencia en An y al partir dicho sistema en clases de equivalencia de acuerdo a la relación ”≡T ”, considerando los conectivos lógicos como operadores básicos, obtenemos el álgebra booleana An (T ) = An / ≡T llamada él álgebra de Lindenbaüm de T en Ln . Para ver que evidentemente, An (T ) = {[φ(x̄)]≡T |φ(x̄) ∈ An } es un álgebra booleana, donde ψ(x̄) ∈ [φ(x̄)]≡T si y sólo si T |= ∀x̄(φ(x̄) ↔ ψ(x̄)) , basta ver lo siguiente: * [φ(x̄)]≡T ∧ [ψ(x̄)]≡T = [φ(x̄) ∧ ψ(x̄)]≡T . * [φ(x̄)]≡T ∨ [ψ(x̄)]≡T = [φ(x̄) ∨ ψ(x̄)]≡T . * −[φ(x̄)]≡T = [¬φ(x̄)]≡T . * La unidad en An (T ) corresponde a la clase de equivalencia ≡T [x = x] = {ψ(x̄) ∈ F m(Ln )|T |= (ψ(x̄) ↔ (x = x))} = {ψ(x̄) ∈ F m(Ln )|T ↔ (ψ(x̄))}. * El cero corresponde a la clase de equivalencia ≡T [¬(x1 = x1 )] = {ψ(x̄) ∈ F m(Ln )|T |= ¬(x1 = x1 ) → ψ(x̄)} es decir, la clase de todas las fórmulas con a lo sumo n variables libres, que son inconsistentes con la teorı́a. De acuerdo con esto, el orden booleano que satisface An (T ) es tal que [φ(x̄)]≡T ≤ [ψ(x̄)]≡T si y sólo si T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄)), y para cualesquiera dos elementos del álgebra hay un supremo y un ı́nfimo. Ası́ pues, el espacio hAn (T ), ” ≤ ”i es un álgebra booleana puesto que es un retı́culo complementado y distributivo donde 0 6= 1 dado que T es consistente5 . En la siguiente sección veremos la importancia del álgebra de Lindenbaüm para el análisis de los espacios de tipos. De hecho, cómo ya lo habiamos dicho antes, para fragmentos compactos, Sn (T ) es el espacio de Stone del álgebra de Lindenbaüm de T en Ln . 5. Consultar Apendice A,1. 17.

(19) 3.5.. El Espacio de Stone del Álgebra de Lindenbaüm. Consideramos ahora un fragmento enumerable L y sea An (T ) el álgebra de Lindenbaüm de T en Ln . Una fórmula φ(x̄) de tipo Ln es consistente con T si y sólo si [φ(x̄)]≡T 6= 0, de manera similar, si el subconjunto de Ln , S(x̄) es consistente entonces es finitamente consistente, es decir que el conjunto S(x̄)T = {[φ]≡T |φ ∈ S(x̄)} satisface pif. De esta manera, el filtro FS generado por S(x̄)T es el conjunto de fórmulas que son consecuencia lógica de S(x̄)T ∪ T . Ahora bien, si S(x̄) es un n−tipo maximal entonces para toda φ fórmula de Ln , o bien φ ∈ S(x̄), o bien ¬φ ∈ S(x̄), por lo que S(x̄)T es un ultrafiltro6 en An (T ). Ası́ pues, por cada n−tipo de Sn (T ) existe un ultrafiltro en An (T ), lo que quiere decir que Sn (T ) es un subconjunto del espacio de Stone de An (T ). Sin embargo, el conjunto de todos los ultrafiltros de An (T ) no es subconjunto de Sn (T ) a no ser que el fragmento L sea compacto. Pues si S(x̄)T es un ultrafiltro, lo único que sabemos es que S(x̄)T satisface pif es decir que el conjunto S(x̄) = {φ|[φ]≡T ∈ S(x̄)T } es finitamente consistente. Asi pues, únicamente si L es compacto, sabemos que S(x̄) ∈ Sn (T ) y que el conjunto de todos los ultrafiltros de An (T ), es el espacio de n−tipos de T . De esta manera y de acuerdo a lo expuesto en el Apéndice A.4, si L es un fragmento compacto, la base B de la topologı́a del espacio Sn (T ) está determinada por la función u([φ(x̄)]≡T ) = {S(x̄) ∈ Sn (T )|φ(x̄) ∈ Sn (T )}7 donde u : An (T ) → Sn (T ) es el isomorfismo entre An (T ) y la base de Sn (T ), B. De esta manera queda demostrado que Sn (T ) es el espacio de Stone del álgebra de Lindenbaüm para fragmentos compactos. Ahora bien, aunque un ultrafiltro en An (T ) no necesariamente corresponde a un n−tipo de Sn (T ) para fragmentos que no satisfacen el teorema de compacidad, el siguiente teorema muestra que la correspondencia se tiene para ultrafiltros principales. Teorema 3.5.1. Sea L un fragmento enumerable y sea S(x̄) un n−tipo máximal de Sn (T ), las siguientes afirmaciones son equivalentes, para φ(x̄) ∈ Ln consistente: a) S(x̄) = {ψ(x̄)|T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄))}, es decir, es un n−tipo principal generado por φ(x̄). b) S(x̄) es aislado por el básico [φ(x̄)]T . c) S(x̄)T es un ultrafiltro principal generado por [φ(x̄)]≡T en An (T ). 6 7. Consultar Apendice A,3. Consultar Apendice A,4.. 18.

(20) Demostración. ”a) ⇒ b)”Sea S(x̄) = {ψ(x̄)|T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄))}. Veamos entonces que el básico [φ(x̄)]T aisla a S(x̄): Supongamos que existe otro n−tipo, Sn∗ (x̄), tal que Sn∗ (x̄) ∈ [φ(x̄)]T , y sea ψ(x̄) ∈ S(x̄), como T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄)) entonces [φ(x̄)]T ⊆ [ψ(x̄)]T y Sn∗ (x̄) ∈ [ψ(x̄)]T , ası́ pues, Sn (x̄) ⊆ Sn∗ (x̄), pero como S(x̄) es maximal entonces Sn (x̄) = Sn∗ (x̄). De esta manera vemos que el básico [φ(x̄)]T aisla a S(x̄) como queriamos. ”b) ⇒ a)”Sea [φ(x̄)]T el abierto básico que aisla a S(x̄), ası́ pues, para toda Ln −fórmula ψ(x̄) tal que ψ(x̄) ∈ S(x̄), tenemos que S(x̄) ∈ [ψ(x̄)]T , y por lo tanto [φ(x̄)]T ⊆ [ψ(x̄)]T lo cual quiere decir que T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄)). Pero como S(x̄) es un n−tipo maximal, entonces S(x̄) = {ψ(x̄)|T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄))}. ”a) ⇒ c)”Sea S(x̄) = {ψ(x̄)|T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄))}, como S(x̄) es consistente entones es finitamente consistente y S(x̄)T en An (T ) satisface pif. Adicionalmente como S(x̄) es maximal, entonces para toda fórmula ϕ(x̄) ∈ Ln o bien ϕ(x̄) ∈ S(x̄) o bien ¬ϕ(x̄) ∈ S(x̄) pues S(x̄) = Sā (x̄) para alguna n−tupla ā ∈ An de un modelo A tal que A |= T . Ası́ pues, en el álgebra de Lindenbaüm de T , S(x̄)T es un ultrafiltro. Ahora bien, dado que T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄)), para toda ψ(x̄) ∈ S(x̄) tenemos que [φ(x̄)]≡T ≤ [ψ(x̄)]≡T para toda [ψ(x̄)]≡T ∈ S(x̄)T , lo cual quiere decir que S(x̄)T es un ultrafiltro principal en An (T ) generado por [φ(x̄)]≡T . ”c) ⇒ a)”Sea S(x̄)T un ultrafiltro principal en An (T ) generado por [φ(x̄)]≡T , es decir que [φ(x̄)]≡T ≤ [ψ(x̄)]≡T para toda [ψ(x̄)]≡T ∈ S(x̄)T , lo cual quiere decir que T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄)) para toda ψ(x̄) ∈ S(x̄), puesto que [φ(x̄)]≡T 6= 0 entonces existe un modelo A |= φ(x̄)[ā] y por lo que T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄)) entonces A |= ψ(x̄)[ā] para toda [ψ(x̄)]≡T ∈ S(x̄)T . Ası́ pues, S(x̄) = {ψ(x̄)|T |= ∀x̄(φ(x̄) → ψ(x̄))} es un n−tipo de T , más aún, es maximal puesto que S(x̄)T es un ultrafiltro. Ahora bien, ya sabemos que para fragmentos de Lω1 ω que satisfacen el teorema de compacidad, el espacio de n−tipos de una teorı́a T es el espacio de Stone del álgebra de Lindenbaüm de T en la restricción del fragmento a n variables. Sin embargo quisieramos ver qué propiedades topológicas tiene el espacio de n-tipos de T como subespacio de P (Ln ), donde T es una teorı́a de L y L es un fragmento enumerable que no satisface compacidad. A continuación afirmamos que el subespacio Sn (L) es la intersección enumerable de abiertos de P (Ln ), es decir un Gδ .. 3.6.. El Espacio Sn (L) como un Gδ .. Al demostrar que Sn (L) es un Gδ , podemos concluir que Sn (L) es un espacio topológicamente completo, y por ende cumple el teorema de categorı́a de Baire, con lo que po19.

(21) dremos demostrar el teorema de omisión de tipos para fragmentos enumerables de la lógica Lω1 ω , ası́ pues procedemos a demostrar que Sn (L) es un Gδ . Recordemos que estamos tomando a L como un fragmento enumerable de Lω1 ω y a Ln como la restricción de L a n variables libres. Proposición 3.6.1. Sea M = {S ∈ P (Ln )|S satisface las propiedades P1-P6} donde, P 1. ∀φ, ψ ∈ Ln , si φ, ψ ∈ S entonces φ ∧ ψ ∈ S P 2. ∀φ ∈ Ln , (φ ∧ ¬φ) ∈ /S P 3. ∀φ ∈ Ln , φ ∈ S ó ¬φ ∈ S W W P 4. ∀( χ) ∈ Ln , si ( χ) ∈ S entonces existe φ ∈ χ tal que φ ∈ S P 5. S es finitamente consistente. Entonces M es un Gδ .. Demostración. En primer lugar veamos que cada propiedad Pi , i = 1, ..., 4 por separado determina un Gδ : 1. (P 1) S satisface P 1 si y sólo si ∀φ, ψ ∈ Ln , si S ∈ ([φ] ∩ [Ψ]) entonces T S ∈ [φ ∧ ψ]; c si y sólo si ∀φ, ψ ∈ Ln , S ∈ ([φ] ∩ [ψ]) ó S ∈ [φ ∧ ψ]; si y sólo si S ∈ φ,ψ∈Ln ([φ] ∩ [ψ])c ∪ [φ ∧ ψ] . 2. (P 2) S satisface P 2 si y sT ólo si ∀φ ∈ Ln , S ∈ / [φ ∧ ¬φ]; si y sólo si ∀φ ∈ Ln , S ∈ c c [φ ∧ ¬φ] ; si y sólo si S ∈ φ∈Ln [φ ∧ ¬φ] . T 3. (P 3) S satisface P 3 si y sólo si ∀φ ∈ Ln , S ∈ ([φ]∪[¬φ]); si y sólo si S ∈ φ∈Ln ([φ]∪ [¬φ]). W W 4. (P 4) S satisface P 4 si y sólo si dado ( χ) ∈ L , si S ∈ S ∈ [φ] para n W W c χ] entonces S alguna φ ∈ χ; si y sólo si dado ( χ) ∈ Ln , S ∈ [ χ] ó S ∈ φ∈χ [φ]; si y sólo si T W S S ∈ (W χ)∈Ln [ χ]c ∪ ( φ∈χ [φ]) . Ahora bien, veamos que S satisface P 1 − P 5 si y sólo si S ∈ G, donde \ \ \ G= [φ] ∩ [φ ∧ ¬φ]c ∩ ([φ] ∩ [ψ])c ∪ [φ ∧ ψ] ∩ |=φ,φ∈Ln. φ∈Ln. φ,ψ∈Ln. 20.

(22) \. ([φ] ∪ [¬φ]) ∩. \ W ( χ)∈Ln. φ∈Ln. _ [ ([ χ]c ∪ ( [φ]) φ∈χ. En primera instancia, si S satisface P 1 − P 5 entonces S ∈ G: Claramente si S satisface P 1 − P 4 entonces \ \ [φ ∧ ¬φ]c ∩ ([φ] ∩ [ψ])c ∪ [φ ∧ ψ] ∩ S∈ φ∈Ln. \. φ,ψ∈Ln. ([φ] ∪ [¬φ]) ∩. φ∈Ln. \ (. W. χ)∈Ln. _ [ ([ χ]c ∪ ( [φ]) φ∈χ. (Por los numerales 1 − 4). T Ahora bien, veamos que si además S es finitamente consistente entonces S ∈ |=φ [φ]: T Supongamos que S ∈ / |=φ [φ], entonces S ∈ / [φ] para alguna φ tal que ∀A modelo de Ln , A |= φ. Como φ ∈ / S, por la propiedad P 3, ¬φ ∈ S pero por definición de φ, ¬φ es falsa en todos los modelos de Ln , es decir ¬φ es inconsistente, por lo que S no podrı́a ser finitamente consistente y esto contradice la hipótesis. Por otro lado, de acuerdo a lo demostrado en los numerales 1−4 si S ∈ G, S satisface P 1 − P 4. Ahora sólo falta probar que si S ∈ G entonces S es finitamente consistente: Supongamos que S no es finitamente consistente, entonces existe un subconjunto finito {φ1 , ..., φn } ⊆ S que no es consistente. Ahora, por la propiedad P 2, φ1 ∧ . . . ∧ φn ∈ S y tampoco es consistente. De acuerdo con esto, ¬(φ1 ∧ .T. . ∧ φn ) es verdadero en todos los modelos de Ln y S ∈ [¬(φ1 ∧. . .∧φn )] puesto que S ∈ |=φ [φ]. Ası́ pues, ¬(φ1 ∧. . .∧φn ) ∈ S y por la propiedad P 2 ¬(φ1 ∧ . . . ∧ φn ) ∧ (φ1 ∧ . . . ∧ φn ) ∈ S pero esto contradice el hecho de que ∀φ ∈ Ln , (φ ∧ ¬φ) ∈ / S (la propiedad P 1). De esta manera hemos demostrado que M es un Gδ , es decir que las propiedades P 1 − P 5 determinan a un Gδ . Teorema 3.6.2. (Morley) S ∈ P (Ln ) satisface las condiciones P 1−P 5 si y sólo si S ∈ Sn (L). Si S ∈ Sn (L) es fácil ver que S satisface las condiciones P 1 − P 5, es decir que Sn (L) ⊆ G. Ası́ sólo falta demostrar que G ⊆ Sn (L), lo que equivale a decir que si S satisface las condiciones P 1 − P 5 entonces S ∈ Sn (L). Sea C = {ci | i ∈ ω} un conjunto de nuevas constantes que no aparecen en el lenguaje original L y sea L∗ = {φ(ci1 . . . cim )| φ(x1 , . . . , xm ) ∈ L}, como L es un fragmento 21.

(23) enumerable, y C también lo es, entonces L∗ se puede enumerar. Sea {ρj | j ∈ ω} una enumeración de L∗ y sea S ∗ = {φ(c1 . . . cn )| φ(x1 , . . . , xn ) ∈ S}. Ahora bien, definimos de manera inductiva a T ∗ , de forma tal que T0 ⊆ . . . ⊆ Tn ⊆ Tn+1 ⊆ . . . T ∗ : ( ρ0 , si {ρ0 } ∪ S ∗ es finitamente consistente T0 = ¬ρ0 , de lo contrario y para todo k ≥ 1, definimos T2k de la siguiente manera: T2k = T2k−1 ∪ {ψ2k } donde ψ2k. ( ρk , si T2k−1 ∪ {ρk } ∪ S ∗ es finitamente consistente = ¬ρk , de lo contrario. Ahora bien, dado T2k , definimos a T2k+1 ∀k ≥ 0 de la siguiente manera: W 1. Sea χ un subconjunto enumerable de fórmulas de L∗ . Si ψ2k = χ(ci1 , . . . , cim ), sea ρj ∈ χ tal que j es el menor indice que cumple que S ∗ ∪ T2k ∪ {ρj } sea finitamente consistente. 2. Si ψ2k = ∃xφ(x), definimos T2k+1 = T2k ∪ {φ(cj )} donde cj ∈ C y j es el menor ı́ndice tal que cj no aparece en ninguna fórmula de T2k , y φ(cj ) ∪ S ∗ ∪ T2k es finitamente consistente. Este cj existe, puesto que las consantes de S ∗ son finitas y son fijas. 3. De lo contrario, definimos a T2k+1 = T2k . Para demostrar el Teorema 3.6.2, es necesario probar los siguientes lemas: Lema 3.6.3. La teorı́a T ∗ cumple lo siguiente: a) T ∗ es completa en el lenguage L∗ . b) T ∗ es finitamente consistente. c) S ∗ ⊆ T ∗ . ∗ , y si χ es un conjunto enumerable de fórmulas, tal que φ ∈ χ y d) Si φ ∈ TW entonces χ ∈ T ∗ .. 22. W. χ ∈ L,.

(24) Demostración. a) T ∗ es completa en el lenguage L∗ . Sea φ ∈ L∗ veamos que φ ∈ T ∗ ó ¬φ ∈ T ∗ : Puesto que φ = ρk , para algún k ∈ ω, entonces por construcción, o bien φ ∈ T2k o bien ¬φ ∈ T2k , ý como T2k ⊆ T ∗ entonces ¬φ ∈ T ∗ . b) T ∗ es finitamente consistente.Supongamos por contradicción que T ∗ no es finitamente consistente, entonces existe un k ∈ ω tal que Tk tampoco es finitamente consistente. En primera instancia, sabemos que S ∗ es finitamente consistente, puesto que S lo es. Ahora bien, probaremos por inducción en k que ∀k ∈ ω, Tk ∪S ∗ es finitamente consistente. Esto no solamente implica que Tk es finitamente consistente si no también que la inducción está bien definida: Caso Base: k = 0 Si T0 = {ρ0 }, es porque {ρ0 } ∪ S ∗ es finitamente consistente y no hay nada que demostrar. Ahora bien, dada una fórmula ρ ∈ L∗ veamos que si Γ es un subconjunto de L∗ finitamente consistente y si Γ ∪ {ρ} no es finitamente consistente entonces Γ ∪ {¬ρ} es finitamente consistente: Supongamos por contradicción que Γ ∪ {¬ρ} no es finitamente consistente, entonces existe un subconjunto A¬ρ = {ψ1 , . . . , ψs }, A¬ρ ⊆ Γ tal que para todo modelo B, B 2 (ψ1 ∧ . . . ∧ ψs ∧ ¬ρ). De manera similar, puesto que Γ ∪ {ρ} no es finitamente consistente, entonces existe un subconjunto Aρ = {φ1 , . . . , φr }, Aρ ⊆ Γ tal que para todo modelo B, B 2 (φ1 ∧ . . . ∧ φr ∧ ρ). Pero por hipótesis, Γ es finitamente consistente, entonces el subconjunto A¬ρ ∪Aρ de Γ tiene un modelo A, tal que A |= (φ1 ∧. . .∧φr )∧(ψ1 ∧. . .∧ψs ), pero entonces A 2 ¬ρ y A 2 ρ lo cual es una contradicción. Ası́ pues, queda demostrado que si Γ ∪ {ρ} no es finitamente consistente, entonces Γ ∪ {¬ρ} si lo es. Por lo que, si T0 = {ρ0 } y {¬ρ0 } ∪ S ∗ no es finitamente consistente, entonces T0 ∪ S ∗ si lo es. Paso Inductivo: Supongamos que para todo l ≤ k, Tk es finitamente consistente. Ası́ pues hay dos casos: k = 2m − 1, k es impar: ( T2m−1 ∪ ρk , si T2m−1 ∪ {ρk } ∪ S ∗ es finitamente consistente Tk+1 = T2m = T2m−1 ∪ ¬ρk , de lo contrario La prueba que muestra que Tk+1 ∪ S ∗ es finitamente consistente en este caso es análoga a la demostración inmediatamente anterior. k = 2m, k es par: T2m = T2m−1 ∪ {ψ2m } 23.

(25) W 1. Si ψ2m = χ, puesto que T2m+1 = T2m ∪ {ρj } donde ρj es tal que ρj ∈ χ y j es el menor indice que cumple que S ∗ ∪ T2m ∪ {ρj } sea finitamente consistente. Entonces es claro que T2m+1 ∪ S ∗ es finitamente consistente, y T2m+1 = Tk+1 . 2. Si ψ2m = ∃xφ(x), definimos a Tn+1 = T2m+1 = T2m ∪ {φ(cj )}, donde j ∈ ω es el menor indice tal que cj no aparece en ninguna fórmula de T2m y tal que T2m ∪ {φ(cj )} ∪ S∗ sea finitamente consistente. 3. De lo contrario, Tk+1 = T2m+1 = T2m y por hipótesis de inducción se hace evidente que Tk+1 ∪ S ∗ es finitamente consistente. c) S ∗ es subconjunto de T ∗ . Sea φ ∈ S ∗ entonces φ = ρk , para algún k ∈ ω. Ası́ pues, veamos que φ ∈ T2k y por ende φ ∈ T ∗ : ( T2k−1 ∪ {φ}, si T2k−1 ∪ {φ} ∪ S ∗ es finitamente consistente T2k = T2k−1 ∪ {¬φ}, de lo contrario. Ahora bien, por contradicción supongamos que T2k = T2k−1 ∪ {¬φ}. En el numeral anterior demostramos que para todo n ∈ ω, Tn ∪ S ∗ es finitamente consistente, por lo que T2k ∪ S ∗ debe ser finitamente consistente. Ahora bien, como φ ∈ S ∗ y ¬φ ∈ T2k , entonces el conjunto {φ, ¬φ} ⊂ T2k ∪S ∗ deberı́a ser consistente, lo cual es falso. Ası́ pues, φ ∈ T2k y por ende φ ∈ T ∗ como se querı́a. W ∗ d) Si φ ∈ T W , y si χ∗ es un conjunto enumerable de fórmulas, tal∗ que φ ∈Wχ y χ ∈WL, entonces χ ∈ T . Supongamos por contradicción que φ ∈ T , φ ∈ χ, χ ∈ L y χ ∈ / W ∗ ∗ ∗ ∗ T , entonces puestoWque T es completa con respecto a L ¬ χ ∈ T . Ahora bien, sea ρm = φ y seaWρk = χ y consideremos los siguientes dos casos: W W Si m > k, ¬ χ ∈ / Tj , ∀j < k y ¬ χ ∈ Tj , ∀j ≥ k, en particular ¬ χ ∈ Tm y φ ∈ Tm . W Ahora bien, Tm es finitamente consistente, por lo que {¬ χ, φ} a de ser consistente, lo cual es una W contradicción, puesto que para cualquier modelo A tal W que A |= φ, se tiene que A |= χ. Si m < k la demostración es similar tomando a {¬ χ, φ} ⊆ Tk . Ahora bien, sea B = hB, {rB }, {cB }i una estructura puramente relacional, donde el universo B, las relaciones rB y las constantes cB se definen de la siguiente forma: B = C = {ci | i ∈ ω}. rB (t1 , . . . , tn ) si y sólo si r(t1 , . . . , tn ) ∈ T ∗ , ∀r ∈ L. cB = c, ∀c ∈ C.. 24.

(26) Lema 3.6.4. T ∗ tiene modelos.8 Demostración. En primera instancia definimos la relación ” =T ∗ ” para constantes, ci , cj ∈ C, de la siguiente manera, ci =T ∗ cj si y solamente si (ci = cj ) ∈ T ∗ . Esta relación es una relación de equivalencia: ci =T ∗ ci para toda c ∈ T ∗ pues, ci = ci ∈ T ∗ de lo contrario puesto que T ∗ es completo, entonces ¬(ci = ci ) ∈ T ∗ y por lo tanto T ∗ no podrı́a ser finitamente consistente. Si ci =T ∗ cj entonces cj =T ∗ ci pues si cj = ci ∈ / T ∗ por un argumento similar, ∗ ¬(cj = ci ) ∈ T y el conjunto {¬(cj = ci ), ci = cj } ⊂ T ∗ serı́a inconsistente. Si ci =T ∗ cj y cj =T ∗ ck entonces ci =T ∗ ck . La demostración de está propiedad es análoga a la anterior. De esta manera, el cociente B/” =∗T ” es el universo del modelo A = hA, {rA }, {cA }i. Es decir que A = {[c]|c ∈ C} donde [c] = {c0 ∈ C|c0 =T ∗ c}. Ahora bien, las relaciones rA y las constantes cA se definen de la siguiente forma: ? rA ([c1 ], . . . , [cn ]) si y sólo si r(c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ , ∀r ∈ L; rA ([c1 ], . . . , [cn ]) está bien definida puesto que si c1 , . . . , cn =T ∗ c01 , . . . , c0n y rA (t1 , . . . , tn ), entonces rA (t01 , . . . , t0n ). ? cA = [c], ∀c ∈ C. A continuación, vamos a demostrar que A = hA, {rA }, {cA }i es un modelo de T ∗ . 1. Es necesario demostrar que si t es un término de L∗ , ∀c1 , . . . , cn constantes de C, se tiene la siguiente igualdad: tA ([c1 ], . . . , [cn ]) = [t(c1 . . . cn )] Si t := xi , i ∈ {1, . . . , n}: tA ([c1 ], . . . , [cn ]) = xA i ([c1 ], . . . , [cn ]) = [ci ] [t(c1 . . . cn )] = [xi (c1 . . . cn )] = [ci ]. Si t := c, c ∈ C: tA ([c1 ], . . . , [cn ]) = cA ([c1 ], . . . , [cn ]) = cA = [c] [t(c1 . . . cn )] = [c(c1 . . . cn )] = [c]. 8. Para lenguages que no son puramente relacionales, se puede hacer una demostración análoga.. 25.

(27) 2. Ahora probaremos por inducción en fórmulas la propiedad deseada para toda fórmula φ(x1 , . . . , xn ) ∈ L: A |= φ(x1 , . . . , xn )[[c1 ], . . . , [cn ]] si y sólo si φ(c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ Sea φ es una fórmula atómica y s1 , s2 , términos de L*: Si φ := s1 (x1 , . . . , xn ) = s2 (x1 , . . . , xn ): A |= (s1 (x1 , . . . , xn ) = s2 (x1 , . . . , xn ))[[c1 ], . . . , [cn ]]; si y sólo si sA 1 ([c1 ], . . . , [cn ] = sA ([c ], . . . , [c ])); si y s ólo si [s (c , . . . , c )] = [s (c , . . . , c )], por lo probado an1 n 1 1 n 2 1 n 2 teriormente); si y sólo si, s1 (c1 , . . . , cn ) = s2 (c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ , por definición de las clases de equivalencia. Si φ := r(s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )): A |= r(s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn ))[[c1 ], . . . , [cn ]] si y sólo si A A (sA 1 ([c1 ], . . . , [cn ]), . . . , sn ([c1 ], . . . , [cn ])) ∈ r ; si y sólo si A ([s1 (c1 , . . . , cn )], . . . , [sn (c1 , . . . , cn )]) ∈ r ; si y sólo si r [s1 (c1 , . . . , cn )], . . . , [sn (c1 , . . . , cn )] ∈ T ∗ Sean ψ(x1 , . . . , xn ) y ψ 0 (x1 , . . . , xn ) tales que: A |= ψ(x1 , . . . , xn )[[c1 ], . . . , [cn ]] si y sólo si ψ(c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ y A |= ψ 0 (x1 , . . . , xn )[[c1 ], . . . , [cn ]] si y sólo si ψ 0 (c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ , veamos que la propiedad vale para:. Si φ := ¬ψ(x1 , . . . , xn ): A |= ¬ψ(x1 , . . . , xn )[[c1 ], . . . , [cn ]]; si y sólo si A |= ¬ψ([c1 ], . . . , [cn ]); si y sólo si A 2 ψ([c1 ], . . . , [cn ]); si y sólo si ψ(c1 , . . . , cn ) ∈ / T ∗ ; si y sólo si ¬ψ(c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ puesto que por construcción T ∗ es completo. Si φ := (ψ ∧ ψ 0 )(x1 , . . . , xn ): A |= ψ(x1 , . . . , xn ) ∧ ψ 0 (x1 , . . . , xn )bigr)[[c1 ], . . . , [cn ]]; si y sólo si A |= ¬ψ([c1 ], . . . , [cn ]) ∧ ψ 0 ([c1 ], . . . , [cn ]); si y sólo si A |= ψ([c1 ], . . . , [cn ]) y A |= ψ 0 ([c1 ], . . . , [cn ]); si y sólo si ψ(c1 , . . . , cn ), ψ 0 (c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ ; si y sólo si ψ(c1 , . . . , cn ) ∧ ψ 0 (c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ puesto que por construcción T ∗ es finitamente consistente.. 26.

(28) Si φ := ∀xψ(x, x1 , . . . , xn ): Supongamos que ∀xψ(x, c1 , . . . , cn ) ∈ / T ∗ entonces ∃x¬ψ(c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ ; entonces existe un testigo c ∈ C por el caso 2 en la construcción de T ∗ tal que ¬ψ(c, c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ y por hipótesis de inducción, A |= ¬ψ([c], [c1 ], . . . , [cn ]); entonces A 2 ψ([c], [c1 ], . . . , [cn ]); y por ende A 2 ∀xψ(x, [c1 ], . . . , [cn ]), lo cual es lo mismo que si A 2 ∀xψ(x, x1 , . . . , xn )[[c1 ], . . . , [cn ]]. Supongamos que ∀xψ(x, c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ y A 2 ∀xψ(x, [c1 ], . . . , [cn ]), entonces ∃[c] ∈ A tal que A 2 ψ([c], [c1 ], . . . , [cn ]), y por hipótesis de inducción, ψ(c, c1 , . . . , cn ) ∈ / T ∗ ; entonces ¬ψ(c, c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ puesto que por construcción T ∗ es completo. Sin embargo, {¬ψ(c, c1 , . . . , cn ), ∀xψ(x, c1 , . . . , cn )} ⊂ T ∗ y es inconsistente lo que contradice el hecho de que T ∗ sea finitamente consistente. W Si φ := χ(x1 , . . . W , xn ): Supongamos que χ(c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ entonces existe φ(x1 , . . . , xn ) ∈ χ tal que φ(c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ por el numeral 1, ası́ pues, por hipótesis de inducción, A |= φ(x1 ,W . . . , xn )[[c1 ], . . . , [cn ]], entonces A |= χ(x1 , . . . , xn )[[c1 ], . . . , [cn ]]. W Ahora supongamos que A |= χ(x1 , . . . , xn )[[c1 ], . . . , [cn ]] entonces, existe φ(x1 , . . . , xn ) ∈ χ tal que A |= φ(x1 , . . . , xn )[[c1 ], . . . , [cnW ]]; entonces φ(c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ por hipótesis de inducción, y por lo tanto χ(c1 , . . . , cn ) ∈ T ∗ por la parte d) del Lema 3.6.3.. Finalmente podemos demostrar el Teorema 3.6.2: Demostración. Puesto que para toda fórmula φ ∈ T ∗ , A |= φ, y en especial S ∗ ⊆ T ∗ , entonces para toda fórmula φ ∈ S ∗ , A |= φ, lo cual hace a S consistente pues se ha encontrado un modelo que lo realice, esto equivale a decir que S ∈ Sn (L). Ahora bien, P (Ln ) con la topologı́a producto es un espacio metrizable, separable y completo. Puesto que un subespacio de un espacio metrizable, separable y completo es topológicamente completo si y sólo si es un Gδ , el subespacio Sn (L) de P (Ln ) es topológicamente completo.9 Corolario 3.6.5. Sea T una teorı́a de L, los subespacios Sn (T ) de P (Ln ) y Sω (T ) de P (L) son completos. 9. Consultar [Mu, Capı́tulo 7, §43]. 27.

(29) Demostración. Si modificamos la condición P 5 de la Proposición 3.6.1 de manera que P 50 diga que S ∪ T finitamente consistente, y si modificamos el G original de forma tal que ahora \ \ \ [φ ∧ ¬φ]c ∩ ([φ] ∩ [ψ])c ∪ [φ ∧ ψ] ∩ [φ] ∩ G0λ = T|=φ. \ φ∈Ln. φ,ψ∈Ln. φ∈Ln. ([φ] ∪ [¬φ]) ∩. \. _ [ ([ χ]c ∪ ( [φ]) .. W ( χ)∈Ln. φ∈χ. Obtenemos que las nuevas propiedades P 10 − P 50 determinan a G0λ . De acuerdo con esto, y dado que si S ∈ Sn (T ) entonces S satisface las nuevas condiciones P 1 − P 5 entonces S ∈ G0δ , es decir que Sn (T ) ⊆ G0δ . Por otro lado, el Teorema 3.6.2 dice que si S ∈ P (Ln ) satisface las propiedades P 1 − P 5 entonces S ∈ Sn (L), ahora bien, Sea S ∈ P (Ln ) que satisface las nuevas condiciones, P 10 − P 50 , entonces el conjunto S ∪ T ∈ P (Ln ) satisface las propiedades originales, P 1 − P 5, entonces S ∪ T ∈ Sn (L), lo cual quiere decir que S ∈ Sn (T ) como se buscaba. De esta manera queda demostrado que Sn (T ) es un espacio completo. Por último, para ver que Sω (T ) a su vez es un espacio completo, basta cambiar a Ln por L, en las demostraciones relevantes.. 3.7.. El Espacio S1 (T ) de la Teorı́a T = T ODSE ∪ {(ci < ci+1 )| i ∈ ω}. Por las siguientes dos secciones sea L la lógica de primer orden. En esta sección y en la siguiente se busca describir de manera detallada al espacio de 1−tipos y de 2−tipos de la teorı́a T definida a continuación. Sea h{<}, {ck |k ∈ ω}, {xk |k ∈ ω}, {∧, ∨, →, ¬}i el alfabeto de L, donde ” < ” es un sı́mbolo de relación binaria. Ahora bien, sea T una teorı́a de L cuyos axiomas son: 1. (Antisimetrı́a)∀x∀y((x < y) → ¬(y < x)) 2. (Transitividad) ∀x∀y∀z(((x < y) ∧ (y < z)) → (x < z)) 3. (Tricotomı́a) ∀x∀y((x < y) ∨ (y < x) ∨ (x = y)) 4. (Densidad) ∀x∀y((x < y) → ∃z((x < z) ∧ (z < y))). 28.

(30) 5. (Sin máximo) ∀x∃y(x < y) 6. (Sin mı́nimo) ∀x∃y(y < x) 7. Γ = {(ci < ci+1 )| i ∈ ω} Los primeros seis axiomas describen a la teorı́a de orden denso sin extremos y los otros axiomas (expuestos en el numeral 7) sólo dicen que las constantes están ordenadas de manera ascendente. Ahora, vamos a describir el espacio de 1−tipos de T y vamos a ver que se puede representar como una sucesión de tipos principales que converge a un único tipo no principal. En primera instancia, quisieramos demostrar que los únicos 1−tipos de la teorı́a son de la siguiente forma: 1. S 1 (x) = {φ(x)|T |= ∀x((x < c0 ) → φ(x))}. 2. El tipo S 2 (x) generado por el conjunto {(ci < x)| i ∈ ω}. 3. S 3i (x) = {φ(x)|T |= ∀x((x = ci ) → φ(x))} para i ∈ ω. 4. S 4i (x) = {φ(x)|T |= ∀x((ci < x) ∧ (x < ci+1 ) → φ(x))} para i ∈ ω. Para demostrarlo, debemos probar que para cualquier modelo A de T y para cualquier elemento a ∈ A, el tipo Sa (x) = {F (x)| A |= F (x)[a]} es igual a S j (x), para algún j = 1, 2 o a S ji (x), para algún j = 3, 4 e i ∈ ω. Puesto que el lenguaje L es enumerable, por el teorema de Löwenheim-Skolem descendente, existe un modelo B enumerable tal que B |= T ∪ Sa (x), ası́ que todos los tipos de T se deben realizar en algún modelo enumerable, por lo que de ahora en adelante únicamente consideraremos modelos enumerables. A A Cada modelo de T , A = hA, <A , cA 0 , c1 , c2 , . . .i se puede dividir en las siguientes regiones:. K1A = {a ∈ A| A |= (x < c0 )[a]}. K2A = {a ∈ A| A |= (ci < x)[a], ∀i ∈ ω} K3Ai = {a ∈ A| A |= (ci = x)[a]} para algún i ∈ ω. K4Ai = {a ∈ A| A |= ((ci < x) ∧ (x < ci+1 ))[a]} para algún i ∈ ω.. 29.

(31) Ahora bien, quisieramos demostrar, que para todos los elementos de una región especı́fica de A, hay un único tipo que se realiza. Para garantizarlo, es necesario probar el siguiente lema: A B B B Lema 3.7.1. Si A = hA, <A , cA 0 , . . . , cn i y B = hB, < , c0 , . . . , cn i son dos modelos de la teorı́a Tn = T ODSE ∪ {c0 < c1 , . . . , cn−1 < cn } de L, para cualquier par de elementos a ∈ A y b ∈ B tales que se encuentran en la misma región de sus respectivos modelos, entonces se tiene un isomorfismo g : A → B tal que g(a) = b. Cuando decimos que a y b se encuentren en la misma región de sus respectivos modelos, nos referimos a que sucede alguna de las siguientes opciones: B B * a <A cA 0 y b < c0 A A A B B B B * cA i < a < ci+1 y ci < b < ci+1 para algún i = 0, . . . , n. B A B * cA n < a y cn < b.. Demostración. Supongamos que a y b son como arriba, puesto que A y B son enumerA B B ables por hipótesis, sea A = {cA 0 , . . . , cn , an+1 , an+2 , . . .} y B = {c0 , . . . , cn , bn+1 , bn+2 , . . .} una enumeración de los respectivas universos tal que an+1 = a y bn+1 = b. Construiremos una serie de isomorfismos parciales, tales que g0 ⊆ g1 ⊆ . . . y S gi : Ai → Bi , ∀i ∈ ω, donde los subconjuntos A ⊂ A y B ⊆ B son finitos y tanto i i i∈ω Ai = A como S S i∈ω gi . i∈ω Bi = B. Ası́ pues, definimos a g : A → B como g = Ahora bien, primero vamos a demostrar que si g : Ai → Bi es un isomorfismo parcial de dominio finito, entonces g se puede extender a un isomorfismo parcial de dominio finito, g{a∗ ,b∗ } para cualquier a∗ ∈ A y b∗ ∈ B de forma tal que a∗ ∈ dom(g{a∗ ,b∗ } ) y b∗ ∈ ran(g{a∗ ,b∗ } ). Sean Ai = {aj0 , aj1 , . . . , ajt }, Bi = {bj0 , bj1 , . . . , bjt } y sea g = {(aj0 , bj0 ), (aj1 , bj1 ), . . . , (ajt , bjt )}, donde aj0 < aj1 < . . . < ajt y bj0 < bj1 < . . . < bjt . Primero definimos ga∗ . Si a∗ = ajm , para algún m = 0, . . . , t, definimos ga∗ = g. Si a∗ 6= ajm , para todo m = 0, . . . , t, se toma bk como el mı́nimo elemento de B − Bi tal que: * Si a∗ < aj0 , bk < bj0 . Sabemos que dicho bk existe puesto que B no tiene mı́nimo. 30.

(32) * Si ajt < a∗ , bjt < bk . Sabemos que dicho bk existe puesto que B no tiene máximo. * Si aji < a∗ < aji+1 para algún i = 0, . . . , t − 1, bji < bk < bji+1 . Sabemos que dicho bk existe puesto que B es denso. Ası́ definimos a ga∗ = g ∪ (a∗ , bk ). Ahora, definimos a g{a∗ ,b∗ } : Si b∗ = bjm , para algún m = 0, . . . , t, o b∗ = bk (en caso de que bk se haya definido), definimos g{a∗ ,b∗ } = ga∗ . Si b∗ 6= bjm , para todo m = 0, . . . , t, y b∗ 6= bk (en caso de que bk se haya definido), de manera similar a la demostración anterior, se toma ak como el mı́nimo elemento de A − Ai tal que ga∗ ∪ (ak , b∗ ) preserve el orden. Sabemos que dicho ak existe puesto que A es denso y sin extremos. Ası́ definimos a g{a∗ ,b∗ } = ga∗ ∪ (ak , b∗ ). Finalmente definimos para todo i ∈ ω  A B A B  {(c0 , c0 ), . . . , (ci , ci )}, para i < n + 1. B A B gi = {(cA 0 , c0 ), . . . , (ci , ci ), (a, b)}, para i = n + 1.   g(i−1){a ,b } , para i > n + 1. i. i. Es importante notar que como por hipótesis a y b se encuentran en la misma región, entonces gi está bien definido para i = n + 1. Una vez definido gi definimos:  A A  {c0 , . . . , ci }, para i < n + 1. A Ai = {cA 0 , . . . , cn , a}, para i = n + 1.   Ai−1 ∪ {ai , (gi )−1 (bi )}, para i > n + 1.  B B  {c0 , . . . , ci }, para i < n + 1. Bi = {cB0 , . . . , cBn , b} para i = n + 1.   Bi−1 ∪ {bi , gi (ai )}, para i > n + 1. Es claro que g0 ⊆ g1 ⊆ . . . y A0 ⊆ A1 ⊆ . . . ⊆ A, B0 ⊆ B1 ⊆ . . . ⊆ B, donde S cada Ai y Bi son el dom(gi ) y el ran(gi ) respectivamente. Ası́ pues, la función g = i∈ω gi , g : A → B está bien definida. Ahora bien, si a∗ , a∗ ∈ A, tales que a∗ 6= a∗ , existen j, k ∈ ω tales que a∗ = aj , a∗ = A ak , teniendo en cuenta que a0 = cA 0 , . . . , an = cn , sin pérdida de generalidad se puede suponer que j < k. De esta manera, puesto que aj ∈ Aj , ak ∈ Ak y Aj ⊆ Ak , entonces 31.

(33) aj , ak ∈ Ak . Si aj < ak entonces g(aj ) = gk (aj ) < gk (ak ) = g(ak ), puesto que la función gk es un isomorfismo parcial. Ası́ se puede ver que la función g es inyectiva y preserva el orden. Finalmente, si b∗ ∈ B entonces b∗ = bj para algún j ∈ ω y por construcción sabemos que bj ∈ Bj . Puesto que Bj es el rango de gj y gj es un isomorfismo parcial, entonces existe un elemento a∗ en Aj tal que gj (a∗ ) = bj . Por lo que demuestra que g : A → B es sobreyectiva y por ende que evidentemente es un isomorfismo como querı́amos. A A B B B B Proposición 3.7.2. Si A = hA, <A , cA 0 , c1 , c2 , . . .i y B = hB, < , c0 , c1 , c2 , . . .i son dos modelos enumerables de la teorı́a T , para cualquier par de elementos a ∈ A y b ∈ B que se encuentren en la misma región con respecto a sus modelos, entonces se tiene que Sa (x) = Sb (x).(En este caso se consideran las regiones K1 , K2 , K3i , K4j , i, j ∈ ω.). A A B B B B Demostración. Sean A = hA, <A , cA 0 , c1 , c2 , . . .i y B = hB, < , c0 , c1 , c2 , . . .i como se describen en el enunciado, supongamos que a ∈ A y b ∈ B son tales que se encuentran en la misma región con respecto a sus modelos, y supongamos por contradicción que Sa (x) 6= Sb (x), es decir que existe una fórmula φ(x) de L tal que φ(x) ∈ Sa (x) y ¬φ(x) ∈ Sb (x). Ahora bien, sean {cj1 , . . . , cjm } las constantes que aparecen en la fórmula φ(x) de forma tal que jm > jk para k = 1, . . . , m − 1. 0. Consideremos ahora la reducción de los modelos A y B al lenguaje Ljm , A0 = hA, <A 0 0 B0 B0 B0 0 , c0 , . . . , cA jm i y B = hB, < , c0 , . . . , cjm i respectivamente. Claramente A |= φ(x)[a] y 0 B |= ¬φ(x)[b], adicionalmente a y b siguen estando en la misma región con respecto a A0 y B0 . Por el lema anterior existe un isomorfismo g : A → B tal que g(a) = b, por lo que sabemos que A0 |= φ(x)[a] si y sólo si B0 |= φ(x)[g(a)], ası́ pues B0 |= (φ(x) ∧ ¬φ(x))[b] y obtenemos la contradicción buscada. A0. Una vez demostrada la proposición anterior, denotemos a cada tipo de cada región por SKj (x) para j = 1, 2, o SKji (x) para j = 3, 4, e i ∈ ω dependiendo de la región que representan. A continuación, demostraremos que los únicos 1−tipos de la teorı́a son S1 (x), S2 (x), S3i (x) para i ∈ ω y S4i (x) para i ∈ ω: Proposición 3.7.3. a) SK1 (x) = S 1 (x).. 32.

(34) b) SK2 (x) = S 2 (x). c) SK3i (x) = S 3i (x) para todo i ∈ ω. d) SK4i (x) = S 4i (x) para todo i ∈ ω. Demostración. a) SK1 (x) = S 1 (x): Sea A un modelo de T . Para cualquier elemento a ∈ K1A , se satisface que A |= (x < c0 )[a], por lo que la fórmula (x < c0 ) ∈ SK1 (x), más aun, si T |= ∀x((x < c0 ) → φ(x)) para alguna fórmula φ(x) de L, entonces A |= φ(x)[a], por lo que φ(x) ∈ Sa (x) y por la proposicı́on anterior, φ(x) ∈ SK1 (x). Ası́ pues, S 1 (x) ⊆ SK1 (x). Ahora bien, si demostramos que para toda fórmula de L, φ(x), T |= ∀x((x < c0 ) → φ(x)) o T |= ∀x((x < c0 ) → ¬φ(x)) demostraremos que S 1 (x) es un tipo maximal, y por ende SK1 (x) = S1 (x). De acuerdo a lo anterior, supongamos por contradicción que existe φ(x) tal que T 2 ∀x((x < c0 ) → φ(x)) y T 2 ∀x((x < c0 ) → ¬φ(x)), entonces existen A, B modelos de T , A |= ((x < c0 ) ∧ φ(x))[a] y B |= ((x < c0 ) ∧ ¬φ(x))[b] para algún a ∈ A y b ∈ B tales que a ∈ K1A y b ∈ K1B . Por definición φ(x) ∈ Sa (x) y ¬φ(x) ∈ Sb (x), pero por la proposición anterior, sabemos que Sa (x) = SK1 (x) y Sb (x) = SK1 (x), lo cual supone que φ(x), ¬φ(x) ∈ SK1 (x) y esto es una contradicción. Ası́ se prueba que S 1 (x) es completo, SK1 (x) = S 1 (x) y SK1 (x) es un tipo principal. b) SK2 (x) = S 2 (x):Sea Γ = {ci < x| ∀i ∈ ω}. Vamos a demostrar de manera similar al caso anterior, que SK2 (x) es un tipo maximal, y ası́, puesto que para cada i ∈ ω se tiene que (ci < x) ∈ SK2 (x), no sólo S2 (x) ⊆ SK2 (x), si no que SK2 (x) = S2 (x). Veamos entonces que para toda fórmula φ(x) de L cuyas constantes son cj0 , . . . , cjm , tales que cji < cjm para todo i = 0, . . . , m − 1, se tiene que T |= ∀x(((c0 < x) ∧ . . . ∧ (cjm < x)) → φ(x)) o que T |= ∀x(((c0 < x) ∧ . . . ∧ (cjm < x)) → ¬φ(x)). Supongamos por contradicción que existe una fórmula de L, φ(x), tal que T 2 ∀x(((c0 < x) ∧ . . . ∧ (cjm < x)) → φ(x)) y T 2 ∀x(((c0 < x) ∧ . . . ∧ (cjm < A B B B x)) → ¬φ(x)). Entonces existen A = hA, <A , cA 0 , . . . , cjm i y B = hB, < , c0 , . . . , cjm i modelos de T ODSE ∪ {(c0 < c1 ), . . . , (cjm −1 < cjm )} tales que A |= ((c0 < x) ∧ . . . ∧ (cjm < x) ∧ φ(x))[a] y B |= ((c0 < x) ∧ . . . ∧ (cjm < x) ∧ ¬φ(x))[b]. Ahora bien, por el lema 3.7.1 sabemos que existe un isomorfismo g : A → B tal que g(a) = b. 33.

(35) Ası́ A |= φ(x)[a] si y sólo si B |= φ(x)[h(a)], entonces B |= (φ(x) ∧ ¬φ(x))[b], lo cual es una contradicción. Ası́ pues, los generadores de SK2 son {(ci < x)| i ∈ ω}, por lo que SK2 = S 2 (x) y es un tipo no principal. c) SK3i (x) = S3i (x), para todo i ∈ ω: Sea A un modelo de T , si a ∈ K3Ai para algún i ∈ ω, entonces a = cA i . Puesto que a es definible, entonces el tipo Sa (x) es principal, y generado por la fórmula que lo define, en este caso por (x = ci ). Ası́, SK3i (x) = {φ(x)| T |= ∀x((x = ci ) → φ(x))} como querı́amos. d) SK4i (x) = S4i (x) para todo i ∈ ω: La demostración es análoga a la del numeral a).. Ahora nos encontramos listos para describir el espacio de 1−tipos. Empecemos notando que todos los tipos son principales menos S 2 (x), ası́ todos los tipos son puntos aislados en el espacio S1 (T ), salvo S 2 (x). Es decir que existe una sucesión de tipos que converge a él. Veamos que evidentemente esta sucesión existe: Sea U un entorno de S 2 (x), entonces existe un básico B = [φ(x)], φ(x) de L, tal que [φ(x)] ⊆ U, S 2 (x) ∈ [φ(x)] y por lo tanto φ(x) ∈ S 2 (x). Ahora bien, sean cj0 , . . . , cjm , las constantes de φ(x) tales que cji < cjm para todo i = 0, . . . , m − 1, entonces sabemos por lo demostrado en el numeral b) de la proposición anterior, que T |= ∀x(((c0 < x) ∧ . . . ∧ (cjm < x)) → φ(x)) ası́ que [(c0 < x) ∧ . . . ∧ (cjm < x)] ⊆ [φ(x)] y claramente S 2 (x) ∈ [(x < c0 ) ∧ . . . ∧ (x < cjm )]. Ahora bien, para cada n ∈ ω, el tipo S 4n ∈ [(c0 < x) ∧ . . . ∧ (cn < x)]. Si no fuera ası́, (¬(c0 < x) ∨ . . . ∨ ¬(cn < x)) ∈ S 4n y esto implicarı́a que ¬(cn < x)) ∈ S 4n pero puesto que ((cn < x) ∧ (x < cn+1 )) ∈ S 4n , (x < cn ) ∈ S 4n entonces (cn < x) ∧ ¬(cn < x) ∈ S 4n lo cual es una contradicción. De esta manera vemos que los tipos S 4i i∈ω forman una sucesión que converge S 2 (x) puesto que para cualquier vecindad U de S 2 (x), existe un i ∈ ω tal que S 4i ∈ U. Aunque se hace ahora evidente que existe una sucesión convergente quisieramos saber que sucede con los otros tipos principales. En principio, es análogo demostrar que S 3i i∈ω−{0} → S 2 (x), pues como S 3i ∈ [ci = x] y (ci−1 < ci ) ∈ T entonces S 3i ∈ [(c0 < x) ∧ . . . ∧ (ci−1 < x)]. Ahora bien, los últimos dos tipos que nos faltan por considerar son S 1 (x) y S 30 , como S 1 (x) ∈ [x < c0 ], S 2 (x) ∈ [c0 < x] y [x < c0 ] ∩ [c0 < x] = ∅, el único abierto U tal que S 1 (x), S 2 (x) ∈ U es [x = x]. De manera similar, como S 30 ∈ [c0 = x] y [x = c0 ] ∩ [c0 < x] = ∅ el abierto [x = x] es el único abierto que contiene a S 1 (x) y a S 30 (x).. 34.