Soluciones sistemas de ecuaciones

Ejercicios y problemas

Página 136

Practica

1. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x y

x y

3 1

2 5

– =

+ =

* b) x y

x y

3 0

3 6

– – = + =

* c) x y

x y

3 5

2 4

– –

+ =

=

* d) x y

x y

2 3 4

8 2

– –

– =

+ =

*

a) *3₃x_x+–₂2y_y=₌1₅

3x – y = 1 x + 2y = 5

x 0 1

y –1 2

x 1 –1

y 2 3 X

Y

–1 2 3

1

P(1, 2)

Solución: x = 1, y = 2

b) *3₃x y_{x y+ =}– =0_–6

3x – y = 0 3x + y = – 6

x 0 1

y 0 3

x 0 –2

y – 6 0

X Y

1 1

P(–1, –3)

Solución: x = –1, y = –3

c) *₂2_xx_–+3₃y_y=₌–₄5

x + 3y = –5 2x – y = 4

x 1 –2

y –2 –1

x 0 1

y – 4 –2

X Y

1 1

–2 P(1, –2)

Solución: x = 1, y = –2

d) *₂2_xx₊–3₈y_y==–_–24

2x – 3y = – 4 x + 8y = –2

x 1 –2

y 2 0

x 6 –2

y –1 0

X Y

2

–2 4 6

2

–2

Resuelve por sustitución.

a) x y x y

3 0

2 –5

+ =

+ =

* b) x y

x y

8 3 25

5 17

– –

– –

= =

* c) x y

x y

7 6

4 3 3

– =–

+ =

* d) x y

y x 2 16 2 2 –3 16

+ =

= *

a) 2₂x_x++₃3y_y==_–0₅4 _{2 3}x₍=_––_y3₎y_{+ =y –5 8}

→ – 6y + y = –5 → –5y = –5 → y = 1 → x = –3 · 1 = –3 Solución: x = –3, y = 1

b) 8_8xx _––₅3_yy=₌–_–25₁₇4 →

→ x = –17 + 5y → 8(–17 + 5y) – 3y = –25 → –136 + 40y – 3y = –25 → → 37y = 111 → y = 3 → x = –17 + 15 = –2

Solución: x = –2, y = 3

c) 7₄x_{x +}–₃3y_y==₃–64 ₄7x_x++ =6_{3 7( x}y_{+ =6 3) 8 4x+21x+18 3= 8}

→ 25x = –15 → _{x = 25}15

5 3

– _{=– →}

y = 7 5c– +3 6m= 59 Solución: x = – 53 , y = 59

d) 2₂x_{y –}+16 2_3x=₌₁₆y4

( ) 8

y x x

x 2 x

2 16 ₈

2 8 –3 16

= + = +

+ =

→ 2x + 16 – 3x = 16 → –x = 0 → x = 0 → y = 8 Solución: x = 0, y = 8

3. Resuelve por igualación.

a) x x y

4 6 –

= =

* b) x y

x y

3 4

2 6

– –

+ =

=

* c) y x

x y 6 7 2 –5

= =

* d) x y

x y

3 4 4

2 1

– –

– =

+ =

*

a) _{x y}x _–– y₌=₆44 x_x=_{= +6}4 _y4 → 6 + y = 4 → y = –2

Solución: x = 4, y = –2

b) _xx +_–23y_y==–₆44 _xx_{= +}=_{6 2}– –4 3_y y4 → – 4 – 3y = 6 + 2y → – 4 – 6 = 5y → → y = –2 → x = – 4 – 3(–2) = 2

Solución: x = 2, y = –2

c) ₇y_x=₌6x_2y–54

y x

y x

6

2

7 5

=

= +

_ ` a bb

b → 6x = x2

7 ₊ 5 _{→ 12x = 7x + 5 → 5x = 5 →}

d) ₂3_xx ₊–₄4_yy=₌–_–144 y x

y 4 x

3 4

1 2 – –

= +

=

_ ` a bb

b → x4

3 _{+ = –1 – 2x} 4 _{→ 3x + 4 = – 4 – 8x →}

→ 11x = –8 → _{x = 11}– 8 → _{y = –1 – 2 11}c m–8 _{= 11}5

Solución: x = 11– , y = 8 115 4. Resuelve por reducción.

a) x y x y

4 3 2

2 4

– – =

+ =

* b) x y

x y

2 1

3 – 7

+ =

=

* c) x y

x y 3 1

3 6 2

– =

+ =

* d)

/ x y x y

3 2 3

7 6

+ =

+ =

*

a) ₂4x_{x +}–3_3yy₌=_–2₄4 4_6xx ₊–3_3yy₌=_––₁₂124

10x = –10 → x = –1 → 2(–1) + y = – 4 → y = –2 Solución: x = –1, y = –2

b) 3_3xx +_–2 1_2yy₌=₇4 3₆x_x+_{–2 14}2_yy=₌114

7x = 15 → _{x = 7}15 → ₇15 + 2y = 1 → y = 1 15 7–₂ / =–₇4

Solución: x = 715 , y = –74 c) ₃3x_{x +}–3 1₆y_y==₂4 2_3xx –₊₆6_yy₌=2₂4

5x = 4 → _{x = 5}4 → ₅4 – 3y = 1 → _{y = / 3}4 5 1– = –

151 Solución: x = 54 , y = –151

d) 3₃x_x++₂2y_y==3_{7 6/} 4 –_{– –2}3_xx +₂2_yy₌=3_{–14 6/} 4

x = 3 – 14 = _{6 3}2 → ₃2 + y =

6

7 → y = ₆7 – ₃2 = ₂1

Solución: x = 32 , y = 21

5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando dos veces el método de re-ducción para despejar cada una de las incógnitas:

a) x y

x y

13 8 15

7 14 9

– –

= =

* b) x y

x y

9 13 54

11 7 22

– –

= = *

a) *₁13₇x_x––₁₄18 15_yy₌=₁₉ 8 *–_–91_91xx–₊1₁₈₂56 105_yy=_=–117 → 126y = –12 → _{y = 21}–2

x y

x y

182 112 210

56 112 72

–

– –

=

+ =

* → 126x = 138 → _{x = 21}23

Solución: x = 2123 , y = 21–2

b) *₁₁19_xx _––₁13_7yy=₌₂₂54 8 *_––99_99xx ₊–₁143_63yy=₌594_–198 → –80y = 396 → _{y = – 20}99

x y

x y

63 91 378

143 91 286

1 –

– –

– =

+ =

* → –80x = 92 → _{x = – 20}23

Solución: x = – 2023 , y = –2099

6. Resuelve los siguientes sistemas. Indica si alguno de ellos es incompatible o indeter-minado:

a)

, ,

x y

x y

2 5 2

3 25 2 5 8

– –

– =

=

* b) , , ,

, , ,

x y

x y

0 2 1 7 6 1 1 23 0 8 3 75

– =

+ =

*

c) ( )

( )

x y

x y

3 1 0

3 1 5

–

– + = + + =

* d) x y y

x y

4

3 5 7 6

–

– –

+ = = *

a) ,*3 253 2, 2xx ––2 52,,5yy==8–2 Por reducción: *––66 5,,2xx +–55yy==––162 →

→ – 4,5x = –18 → x = 4 → 2 · 4 – 5y = –2 → 10 = 5y → y = 2 Solución: x = 4, y = 2

b) *1_{1 23,}0 2, x_{x +}–1 7_{0 8},_, y_y=₌6 1_{3 75},_, Por sustitución: y = 6 1 0 2, _{1 7}–_, , x

1,23x + 0,8e6 1 0 2, _{1 7}–_, , xo = 3,75 → 1,23x + 4 88 0 16, _{1 7}–_, , x = 3,75 →

→ 2,091x + 4,88 – 0,16x = 6,375 →

→ 1,931x = 1,495 → _{x = ,},

1 931

1 495 = 0,77 →

→ y = 6 1 0 2 0 77, – _{1 7}, · ,_, = 3,5

Solución: x = 0,77, y = 3,5

c) (₍x ₎) y 8 8

x y

x y

x y

x y x y

3 1 0

3 1 5

3 3 0

3 3 5

3 3

3 8

–

–

–

– –

+ = + + =

+ = + + =

+ = + =

* * *

No tiene solución. Es incompatible. x y+ =4– y 3x+2y=4

7. Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cuál de ellos tiene una única solución, cuál no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones. Comprué-balo representando las rectas que los forman:

a) x y

x y

2 1

4 2 8

– –

= =

* b) x y

x y

2 5

2 4 10

– –

= =

* c) x y

x y

5 2 1

4 7

– –

+ =

=

* d) x y

x y

2 5

2 4 3

–

– –

= = *

a) 2₄x_{x –}–2_2yy=₌1₈4 No tiene solución.

2x – y = 1 4x – 2y = 8 → 2x – y = 4

x 0 2

y –1 3

x 0 2

y – 4 0

X Y

1 2 1

–1

b) ₂2x_x –_–2_{4 10}y_y=₌5 4 Tiene infinitas soluciones.

x – 2y = 5 2x – 4y = 10 → x – 2y = 5

x 1 3

y –2 –1 Es la misma recta

X Y

1 3 1

–2

c) 5_4xx +_–2₂y_y==₇–14 Tiene una solución, x = 1, y = –3.

5x + 2y = –1 4x – y = 7

x 1 –1

y –3 –2

x 1 2

y –3 1

X Y

1 2 1

–3 P(1, –3)

d) ₂2_xx –_–2₄y_y==5_–34 No tiene solución.

x – 2y = 5 2x – 4y = –3

x 1 –1

y –2 –3

x 1 3

y 5/4 9/4

X Y

1 2 1

–1

8. Resuelve los sistemas siguientes:

a) x y

x y

2 0

5 –3 9 –3 + =

=

* b) ( )

( ) ( )

x y

x y x y

2 3 2 1

3 2 8

– –

– =

+ + =

* c) – =4

x y

x y

3 2

2 4+ =2 Z

[

\ ]] ]]

d) x+ =1 y

x y

4 2

2

3 ₅

–

– =

Z

[

\ ]]

]] e)

2

+ =

x y

x y

3 2

6 3

6 8 3

9

2 ₂

–

– _–

+

+ ₌ Z

[

\ ]]

]] f)

1

+ =

x y

x y

21 4 1

2

2 1

6

2 1

1 –

– – +

+ = Z

[

\ ]] ]]

a) ₅2_xx y+ =_{–3 9=}0_y–34 Por sustitución: y = –2x → 5x – 3 = 9(–2x) – 3 →

→ 5x – 3 = –18x – 3 → 23x = 0 → x = 0 → y = –2 · 0 = 0 Solución: x = 0, y = 0

b) 2 3 2₃(_{(x y}x_{+ +}–₎)=₂y_{(x y}–_–1 ₎₌₈4 ₃6x_x+–₃4_y=₊y_2x–1_{–2y=8 8 5x y+ =8}4 6_{5x y}x y–_{+ =}=₈34

Por reducción: 11x = 11 → x = 1 → 6 · 1 – y = 3 → y = 3 Solución: x = 1, y = 3

c)

x y

x y

3 2 4

2 4 2

– =

+ =

_

` a b b

bb Por reducción:

x y

x y

x y

x y

2 3 24

2 8

2 3 24

2 8

3 3

– –

– – –

–

=

+ =

= =

4 4 →

→ – 4y = 16 → y = – 4 → 2x – 3(– 4) = 24 → 2x = 12 → x = 6 Solución: x = 6, y = – 4

d) x y

x y

4

2 ₁

2

3 ₅

–

–

+ =

=

_ ` a b b bb

x y

x y xx yy

4 2 4

2 +–33 ––2==104 42 –+33 10==6 4 Por reducción:

x y

x y

12 3 18

2 3 10

1 –

+ =

= 4 → 14x = 28 → x = 2 → 2 – 23 y = 5 → y = 2 53 2– = –2/ Solución: x = 2, y = – 2

e)

x y

x y

3 2

6

3 ₂

6 8 3

9

2 ₂

–

– _–

+ + =

+ ₌

_

` a b b bb →

( )

( xx) (y y)

2 2 3 12

3 8 3–– + + =–2 2+ =36

* →

→ *4 2_{24 9}–_–x_x+ + =_{– –}3_{4 2}y _y12₌₃₆ 8 *–_{– –}2_9xx +_{2 16}2_yy=₌5 →

→ *–_{– –9}4_xx+_{2 16}2 10_yy₌= → –13x = 26 → x = –2 →

→ 2– – + + = 2 ₃( )2 3₆ y → 3+₆y =_{2 3}– 4 →

→ 3+₆ y = ₃2 → y = 1

f)

x y

x y

21 4

1 ₁

2

2 1

6

2 1 ₁

–

– –

+ + =

+ ₌

_

` a b b bb →

( )

(xx ) (y y )

2 1 1 4

3 2–– –1+ + =2 1 6+ =

* →

→ *₆2_xx–_{– –}2_{3 3}+3_yy+_–1 4_{1 6=}= 8 *₆2_xx_–+2_{2 10y}y₌=5 →

→ *₆4x_x+_{–2 10}2 10_yy=₌ → 10x = 20 → x = 2 →

→ 2 1₂– + + = 1 y₄1 → y₄+1 = ₂1 → y = 1

Solución: x = 2, y = 1

9. Resuelve los siguientes sistemas:

a) x = y x y 7 5 3 – =24

*

x3 y 2

4 3

2 50

+ =

*

7 4 3

5 3

2 5 x y 11

– + =

Z

[

\ ]] ]]

d) 5x –0 3, y= 1

5 6

5 7

, x y ,

0 4 + =–1 6 Z

[

\ ]]

]] e)

3 + ( ) =

x y

x y

815 16

3 1

2 7

12 1 –

+ +

+ ₃

– =

Z

[

\ ]]

]] f)

– =

x y

x y

4 3 11

3 1

6 23

2

2 1

4 3

4 1 –

+ +

+

– =

Z

[

\ ]] ]]

a) Por sustitución: x = 7₅y

3e o7₅y – y = 24 → 16y = 120 → y = 7,5 → x = · ,7 7 5 = 10,5₅

Solución: x = 10,5; y = 7,5

b) Por sustitución: x = 9₈y

y 8 9

e o + 2y = 50 → 25y = 400 → y = 16 → _{x = ·8}9 16 = 18

Solución: x = 18, y = 16 c) Por igualación:

1.ª ecuación [mín.c.m. (3, 4) = 12] → 28x + 9y = 492 → x = 492 9₂₈– y

2.ª ecuación [mín.c.m. (5, 2) = 10] → – 6x + 25y = 110 → x = 110 25_––₆ y

y y

28 492 9

6 110 25 –

––

= → –2 952 + 54y = 3 080 – 700y → 754y = 6 032 → y = 8 →

→ x = 492 9 8₂₈– · = 15