Geometría - Colección

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(2) COLECCIÓN EL POSTULANTE. GEOMETRÍA. Ed ito rial.

(3) GEOMETRÍA - COLECCIÓN EL POSTULANTE Salvador Timoteo © Salvador Timoteo Diseño de portada: Miguel Bendezú Composición de interiores: Miguel Bendezú Responsable de edición: Alex Cubas © Editorial San Marcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 33 1-1 52 2 RUC 20260100808 E-ma¡l: informes@ editorialsanm arcos.com Primera edición: 2007 Segunda edición 2013 Tiraje: 1000 ejem plares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-12000 ISBN 978-612-302-917-3 Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del autor y del editor. Impreso en el Perú / Printed in Perú Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima Telefax: 424-6563 E-ma¡l: ventaslibreria@ editorialsanm arcos.com www.editorialsanm arcos.com Composición, diagramación e impresión: Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L. RUC 10090984344.

(4) ÍNDICE. Segm ento s y án g u lo s.................................................................................................................................................................................... 9. T rián g u lo s............................................................................................................................................................................................................... 17. Polígonos y cu ad rilátero s........................................................................................................................................................................... 28. C irc u n fe re n cia .................................................................................................................................................................................................... 37. Puntos notables asociad os al triángulo............................................................................................................................................ 47. Se m ejan za de se g m en to s.......................................................................................................................................................................... 52. R elacio nes m é trica s....................................................................................................................................................................................... 59. C álculo de á re a s ................................................................................................................................................................................................ 69. Geom etría del e s p a c io ................................................................................................................................................................................. 84. Geom etría a n a lític a ........................................................................................................................................................................................ 104.

(5) PRESENTACION Editorial S a n M arcos presenta al público la Colección E l Postulante, elaborada íntegram ente pensando en las n ecesidad es acad ém icas de los jó venes que aspiran a alcan zar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los tem as requeridos por los prospectos de adm isión, los cu ales son desarrollados didácticam ente, con teoría ejem plificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cu ales se busca dotar a los jó venes de los conocimientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exá m e n es de admisión, sino afianzar los sa b eres de su formación escolar y alcan zar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa. Finalm ente, deseam os hacer un reconocimiento al sta ff de docentes liderados por Salvador Timoteo, P e dro de Castro , Jo rge Solari y Nathall Falcón, profesores de am plia trayectoria en las m ejores acad em ias de nuestro p aís, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de los contenidos.. - E L E D IT O R -.

(6) SEGMENTOS Y ÁNGULOS ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRIA Lo s objetos que están en nuestro entorno dan la ¡dea intuitiva de cuerpo geométrico, superficie geom étrica, línea y punto. Una v e z adquiridas e s tas nociones intuitivas, la mente hace abstracción de los cuerpos m ateriales que han tomado de base y p asa de lo concreto a lo abstracto. P a ra la geo metría, el punto, la recta, el plano son elem entos fundam entales que no se definen, solo surgen de la idea partiendo de la realidad y formulando d e s pués las propiedades que caracterizan a cada uno de estos elem entos.. Punto medio de un segm ento. E s aquel punto que pertenece al segm ento y que lo divide en dos segm entos parciales de igual longitud. §--------+ -------- 1------- H. h. B. M. SI: M e A B y AM = M B; entonces M es el punto medio de A B .. OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE SEG MENTOS *1. R R ep resentació n gráfica de un punto:. A. Notación: punto A. A. R ep resentació n gráfica de una recta: L ►. <. B. C. Lo s puntos A, B y C son colineales y consecutivos, entonces, se establecen las siguientes operacio nes con las longitudes de los segm entos. Adición de longitudes de segm entos. Notación: recta L: L N otación: R ecta A B : A B R ep resentació n gráfica de un plano. AC = AB + BC. =a + b. S u stra cció n de longitudes de seg m entos ■n - b. AB = AC - BC Notación: Plano P: O P. La distancia entre dos puntos e s la longitud de segm ento que tiene por extrem os a di chos puntos.. SEGMENTO E s una parte de la recta comprendida entre dos puntos, a los cu ales se le denominan extrem os del segmento. ^ A. c V l a t a : ......... -................................- -- .......................................... n. ^ g. Notación: segm ento A B : A B. S e a n P , y P 2 dos puntos dados: d S i: P ,P 2 = d Luego: d: distancia entre P i y P 2. Longitud de un segm ento. E xp re sa el tamaño o medida de un segm ento y resulta de la com para ción del segm ento con otro, que es tomado como unidad (metro); por ejemplo: si un segm ento con tiene 4 v e c e s la unidad (metro) entonces dicho segm ento tiene una longitud de 4 m. Si la longitud de un segm ento no se conoce, esta convencionalm ente se Indicará con una letra latina m inúscula. A s i, del gráfico anterior, n e s la longitud del segm ento A B : entonces A B = n A B : se lee “longitud del segm ento AB".. p1. ÁNGULO Figura geométrica formada por dos rayos que tie nen el mismo origen. Región Interior del ángulo A O B.

(7) 10. ¡ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. Elem ento s:. SEGUN LA POSICION DE SUS LADOS. lados: O A y O B; vértice: O. Á n g u lo s ad yacentes. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y adem ás están situados a distinto lado de un lado común.. Notación: ángulo A O B : Z A O B medida del ángulo A O B : m Z A O B. A.. m ZAO B=0. B. BISECTRIZ DE UN ANGULO E s aquel rayo ubicado en la región interior del án gulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que forma con su s lados, ángulos de igual medida.. O. C. los ángulos A O B y BO C son adyacentes. 0 = a + (3 Á ngulos co nsecu tivos. S e denominan asi a dos o m ás ángulos que son adyacentes con su inmediato.. En la figura, OP: bisectriz del ángulo A O B . m ZAO P = m ZPO B. CLASIFICACION DE ANGULOS SEGUN SUS MEDIDAS Ángulo agudo. E s aquel ángulo cuya medida es m ayor que 0 o y menor que 90°.. los ángulos A O B , B O C , C O D , y D O E son co nse cutivos. m ZAO E = a + p + 0 + y. el Z A O B e s agudo 0° < a < 90°. Á n g u lo s o p u esto s por el vértice. Son dos ángu los que tienen el mismo vértice y ad em ás los lados de uno de elios son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario. A-. ,r M. Ángulo recto. E s aquel ángulo cuya medida es igual a 90°.. el Z A O B e s recto. B. '*■ N. los ángulos A O B y MON son opuestos por el vértice. a = 90° m Z A O B = mZM ON O. B. Ángulo obtuso. E s aquel ángulo cuya medida es m ayor a 90° y menor a 180°. A el Z A O B es obtuso 90° < a < 18 0°. Angulos com plem entarios. Son dos ángulos cuya sum a de su s medidas e s igual a 90°.

(8) G. se tienen los ángulos complementarios A O B y MQN. a +1. e o m e t r ía. ¡. 11. Á n g u lo s co nju g ad os internos. : 90°. S e a C (a ): complemento de a . C (a ) = 90° - a A n g u lo s sup lem entarios. Son dos ángulos cuya sum a de su s m edidas e s igual a 180°. A *. Mi. S e a : L , // L2, entonces a y (3 son las m edidas de dos ángulos conjugados Internos. a + R = 180° Á n g u lo s co rrespo n dien tes. B. O. Q. N. se tienen los ángulos suplem entarios A O B y MQN. a + e = 180° S e a S (x ): suplem entario de x. S (x ) = 180° - x. POSTULADO. S e a : L , // L 2, entonces a. y 0 son las m edidas de. Por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una recta paralela a ella.. dos ángulos correspondientes.. Q L,. PROPIEDAD. ■L S i Q e s exterior a la recta L, entonces por Q solo se puede trazar L! // L (recta L-, paralela a la recta L).. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARA LELAS Y UNA RECTA TRANSVERSAL Al trazar una recta secante o tran sversal a dos rectas paralelas, se forman ocho ángulos cuyas medidas guardan ciertas relaciones, a sí tenem os:. Si L-i // L 2, entonces:. x =a +f. En general:. Á ng ulo s alternos internos Li. S e a : L , // L 2. entonces a y 9 son las m edidas de dos ángulos alternos Internos.. Si: L , // L 2. => E Z I = S Z D a + b + c = x + y -t-z.

(9) 12. | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. EJERC IC IO S RESUELTOS 1.. Lo s puntos A. B. C , D, E se encuentran sobre una linea recta, de tal forma que: B C = 2 A B ; AD = 20; (A B )(C E ) = (A C )(B D ). C alcu lar D E.. R e s o lu c ió n : a A. 2a B. C. D. De la figura: x = a + 2<j> De los datos: m Z A O C + m Z A O B = 140° a + 2<j> + a = 140“ => a + <(>= 70° Del dato: m Z A O B - m Z B O F = 20° a —<(>= 20° De (2) y (3): a = 45° y ij> = 2 5 “ R eem plazando en (1): x = 95°. ...(2 ). ...(3 ). E C alcu lar x, si L l l L-i. Sea: AB = a =» B C = 2 A B = 2a; C E = 20 - 3a + x A C = 3a: B D = 20 - a En el dato: (A B )(C E ) = (A C )(B D ) a(20 - 3a + x) = 3a(20 - a) 20 - 3a + x = 60 - 3a x = 40 2.. R eso lu c ió n :. S e tienen cuatro puntos consecutivos A, B, C , D sobre una línea recta de modo que: C D = 4 A C ; BD - 4 A B = 50, C alcu lar B C .. R es o lu c ió n : a A. x B. _________________ _. C. D. S e a : A B = a; B C = x De los datos: C D = 4 A C =s C D = 4(a + x) CD = 4a+ 4x ...(1 ) BD - 4 A B = 50 B C + C D - 4 A B = 50 ...(2 ). Usando propiedades: x + 0 = 180° ...(1 ) 0 = ij> + 6 ...(2 ) Por ángulos conjugados internos: (<j> + 48) + (4<j> + 5) = 180° (j> + 5 = 36° En (2): 0 = 3 6 e En (1): x + 36° = 180° x = 144°. De (1) y (2): x + 4a + 4 x - 4a = 50 => 5x = 50 x = 10 3.. En los ángulos ad yacentes A O B y B O C se traza la bisectriz O F del ángulo B O C . Encon trar m Z A O C , sí m Z A O C + m Z A O B = 140°, m Z A O B - m Z B O F = 20°. R eso lu c ió n :. R e s o lu c ió n :.

(10) G. eo m e t r ía. |. 13. Usando ángulos de lados perpendiculares:. Del gráfico, calcular la medida del segmento. 100° = 2p => <)> = 50° ...(1 ). que une los puntos medios de AD y de B C .. Por ángulos conjugados internos: 2(j> + 5(1 = 180°. A. B. ...(2 ) a) 4. P o r propiedad: x = <j) + 2(3 x = 5 0 ° + 2 (1 6 ° ). H. 30. (1) en (2): 2(50) + 5(1 = 180° => p = 16° x = 82°. C. b) 17. D. ' 4. 1. d) 13. c) 26. e) 16. E n una recta se ubican los puntos consecutivos A , B, C y D, de modo que:. (~ EJERCICIO S PROPUESTOS 1 | 1.. M. =. a) 16. En la figura, calcu lar x, si: M es punto medio deAB. A M B. b) 20. c) 4. d) 12. e) 24. Del gráfico, calcu lar x, si: C D - A B = 15 A. H 12(a + x). (12 + 4a)x. = Cjp y (A B )(B C ) = 96. Calcular CD.. B. C. D. 4x a) 12 2.. b) 6. d) 3. e) 2. En una recta se ubican los puntos consecuti v o s A , B , C y D, de m odo q u e: B C = 6 y A C + B D = 2 0 . C alcu lar AD. a) 10. 3.. c) 4. b) 12. c) 14. d) 20. 9x a) 6 10.. e) 18. A. B. M. -. a) 6. b) 8. 11.. C. b) 4. h. d) 3. a) 12 12.. B. I I 3a 1. C. E. 13.. 1 1 I I 3b 1 2a 1 2b 1 70. b) 18. c) 16. d) 42. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: A B = 17; C D = 23 y AD = 6 B C . C alcu lar B C . a) 8. b) 7. c) 6. d) 5. B. M. N. C. x b) 6. c) 9. d) 18. e) 3. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. b) 24. c) 28. d) 42. e) 39. e) 28 14.. 6.. e) 5. En una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B, C y D, de modo que: 2AB = 3BC = 4CD y AD = 52: calcu lar BD . a) 36. a) 14. d) 6. En una recta se tienen los puntos consecuti vos A , B , C y D de modo que:. a) 1,5 D. c) 2. A C = 5; BD = 4 y —------ - L = ^ ; calcular B C . CD AB 2. e) 6. Del gráfico, calcu lar BD . A. b) 4. En la figura, calcular x, si M e s punto medio de. e) 5. d) 7. c) 5. e) 3. En una recta se ubican los puntos c o n se cu tivo s A, B , C y D, de m odo q u e : B C = 6; B D = 2 A B y A C = 5C D . C alcu lar A B .. A. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: A C = BD = 8. C a l cular C D , si ad em ás: AD - B C = 10 a) 10. d) 2. A C y N es punto medio del B C .. *!. c) 9. b) 5. a) 3. Del gráfico, calcu lar x, si: (A C )(A B ) = 20. c) 4. e) 9. En una recta se tienen los puntos consecuti vo s A , B , C , D, E y F, si: AC BC. BD CE CD " DE. p _ AB BC BC ^ CD. DF EF. 14, calcular:. CD DE DE + EF.

(11) 14. ¡ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. a) 14 d) 12 15.. b) 18 e) 7. c) 16. En una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B, C y D. C alcu lar A C , si: (A D )(B C ) = 16. a) 16 d) 6 22.. Y AB ~ CD = AC a) 1 d) 4 16.. b) 2 e) 8. Sobre una recta se tienen los puntos co n se cu tivos A, B y C . Luego se ubica e! punto medio M de A B ; si A B = 8 y A C = 22, hallar AM. a) 13 d) 16. b) 14 e) 17. 23.. 24. 17.. Sobre una recta se tienen los puntos consecuti v o s A, B, C y D de modo que: B C = 5 y AD = 29. N d e C D . Hallar MN.. 18.. b) 8 e) 9. b) 12 e) 15. c) 13. Dados los puntos colineaies y consecutivos A, B. C y D, de modo que: A B = C D = 3. Hallar. a) 6 d) 14. c) 13 25.. En una recta se tienen los puntos consecutivos A , B y C de m anera que: A B - B C = 12. Luego se ubica el punto medio M de A C . Hallar MB. a) 6 d) 4. 19.. b) 15 e) 19. c) 6. AQ s ¡- _1______ 1 _ _ J L ’ ' BC AD 20. Luego se ubican los puntos medios M de A B y. a) 17 d) 11. b) 5 e) 2. S e tienen los puntos colineaies y consecuti vos A, B, C y D, tal que: A B = C D = 5. Hallar A C . si (A D )(B C ) = 144. a) 6 d) 14. c) 15. c) 10. Sobre una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B. C y D, de modo que: A B = 4 y C D = 6. Luego se ubican los puntos medios M d e A C y N de BD ; hallar MN. a) 3 d) 4. c) 3. b) 12 e) 8. 26.. Sobre una recta se tienen los puntos co n se cu tivos A, B y C , tal que A B = 8; luego se ubican-. b) 5 e) 8. c) 6. Sobre una recta se tienen los puntos consecu tivos A, B, C y D. Hallar B C , si: A D = 6 B C , A B = 9 y C D = 16. a) 5 d) 7. los puntos medios M de A C y N de B C . Hallar. c) 13. S e tienen los puntos colineaies y consecutivos A, B, C y D. Si A B = 3C D , B C = 11 y AD = 35, hallar C D . a) 4 d) 7. c) 3. b) 12 e) 15. b) 6 e) 8. c) 4. MN. 27. a) 6 d) 4 20.. b) 5 e) 8. c) 2. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo A C = 7 y BD = 11. Luego se ubican los puntos medios M de A B y N de. a) 10 d) 12. 21.. b) 11 e) 4. tivos P . Q . R y S , tal q u e: ^ b) 8 e) 9. c) 10. luego se ubican a los puntos medios M de A B , N de B C y S de MÑ. Hallar S B .. ^. ^. ;. P S + Q R = 38. Hallar Q R . a) 15 d) 25. En una recta se ubican a los puntos consecu tivos A, B y C , de modo que: A B - B C = 32:. c) 15. 28. Sobre una recta se tienen los puntos consecu. C D . Hallar MN. a) 6 d) 7. Dados los puntos colineaies y consecutivos A, B, C y D, de modo que: 3A B = 5C D . B C = 7 y AD = 39. Hallar C D .. 29.. b) 10 e) 14. c) 20. S e tienen los puntos colineaies y consecutivos A , B . C y D . tal q u e: 2 A B = 3 B C = 4C D y AD = 26. Hailar BD ..

(12) G. b) 18 e) 14. a) 16 d) 20 30.. a) 81 d) 100. c) 12. b) 25 e) 121. e o m e t r ía. |. 15. c) 144. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B. C y D. Hallar A C si (A B )(C D ) = (A D )(B C ); (B C )(C D ) = 47 y (A D )(A B ) = 96.. S e a n Z A O B , Z B O C y Z C O D ángulos ad ya centes de modo que el Z B O C se a recto. S e an OP, OQ Y O Z bisectrices de los Z A O B , Z C O D y Z P O Q en e se orden,. a) 6 d) 9. Calcular:. U1 lll > < I ü. b) 7 e) 12. c) 8. 1. d. 7. d. 13. c. 19. d. 25. c. 2. c. 8. b. 14. b. 20. e. 26. a. 3. a. 9. e. 15. d. 21. e. 27. d. 4. c 5. e 6. a. 10. b 11. a 12. d. 16. c 17. a 18. a. 22. b 23. c 24. c. 28. b 29 e 30. b. a) 1 d) 2. m AOB m. -COD b) 1/2 e) 3. c) 1/3. S e tienen los ángulos consecutivos AO B, BO C y C O D , de manera que el Z A O D sea de 164° y el Z B O C _se a _d e 96°. S e trazan las bisec trices OT, O S . O P y O R , de los ángulos A O B , C O D : A O S y TO D en e se orden. C alcu lar la. 7. m ZPO R. [ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS " j \ En el gráfico: A, O y B son colineales. Hallar la m ZAO C.. a) 34° d) 46° 7.. c) 68°. S e trazan los rayos coplanarios y co n se cu . a) b) c) d) e). 22°30 45° 30° 15° 60°. tivos O A, O B, O C y OD, determ inándose los ángulos consecutivos A O B , B O C , C O D y DO A. a) b) c) d) e). 180° 520° 480° 360° 720°. De la figura, calcular el máximo valor entero im par de x, si 9 es la medida de un ángulo agudo.. que miden 90°, 70°, 100° y 100°. C alcu lar el complemento de o°. a) 70° d) 17°. 2.. 3.. b) 28° e) 17°. a) b) c) d) e). Si: L , // L 2, calcu lar el máximo valor entero de x. siendo el Z C A B agudo. a) b) c) d) e). b) 80° e) 60°. c) 10°. 100° 120° 130° 133° 145°. E l doble del complemento de un ángulo su m a do con el suplem ento de otro ángulo es igual al suplem ento del primer ángulo. C alcu lar la sum a de las m edidas de dichos ángulos.. 18° 17° 16° 15° 12°. a) 100° d) 180“. Si C indica com plem ento y S indica su p le mento, calcular: í3 C (3 0 ° ) + 2 S (1 0 0 °) f 34°. 10.. b) 45° e) 120°. c) 90°. S e tiene los ángulos consecutivos AO B: BO C y C O D , tal que: m ZA O D = 148° y m Z B O C = 36°. C a lcu la r la medida del ángulo formado por las b isectrices de los ángulos A O B y C O D ..

(13) 16. ¡ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. a) 108° d) 56° 11.. b) 36° e) 74°. c). S e tiene ios ángulos consecutivos PO Q , Q O R y R O S , de tal manera que: m Z P O R = 32° + k y m Z Q O S = 88° - k. Calcular la m Z Q O R , si el ángulo P O S es recto. a) 22° + k d) 40°. b) 30° e) 16° + k /2. c). del suplemento del ángulo triple del segundo. Calcular la medida de dichos ángulos.. 92°. 17.. 68° - k. 2 m Z A O B + m Z D O E = 150°. 13.. 18.. a) b) c) d) e). l-2 I-3. El doble del complemento de un ángulo au mentado en el triple del suplem ento del doble de dicho ángulo nos da 480°. Hallar, el suple mento dicho ángulo: a) 30° d) 150°. 16.. c) 36°. b) 60° e) 135°. c) 120°. La diferencia de las medidas de dos ángulos e s 40° y el triple del suplemento del ángulo doble del primero e s igual al duplo del complemento. ‘. ... ..... ' ' < x - 0. ‘ Ll. X^£> /x1 1 *» l_2 m ZD CQ. - y m ZAQ C = 2 *. calcu lar el complemento del Z D C Q .. C alcu lar x, si: L 1 // L2 // L 3 y a - b = 36° Li. 15.. 34° 32° 28° 29° 30°. S i: Á B // DO,. b) 72° e) 52°. c) 63°. Del gráfico, calcu lar el valor de 9 cuando x toma su mínimo valor entero par. S i: L 1 // L 2. a) b) c) d) e). 143° 127° 150° 135° 165°. a) 54° d) 63°. b) 28° e) 75°. a) 23° d) 36°. Si: L-i // L 2, calcu lar x. a) b) c) d) e). 14.. 25° 75° 60° 65° 50°. Sean: Z A O B, Z B O C , Z C O D , Z D O E y Z E O F ángulos consecutivos, tales que: m Z A O F = 154° y m Z A O D = m Z B O E = m Z C O F. C alcu lar la m Z B O C , si la medida del ángulo formado por la bisetriz del Z C O D y el rayo O E es igual a 54°.. 12. C alcu lar la m Z B O C , si: m Z A O B = 2 m Z C O D y. A) b) c) d) e). b) 30° y 90° d) 70° y 50°. a) 60° y 60° c) 45° y 75° e) 40° y 80°. 20.. 20° 60° 50° 70° 80°. A Z* Q<C d. -------. S i: L , // L2, calcular x. a) b) c) d) e). 15° 10° 12,5° 22° 22°30'. 17. a. 1. b. 5. a. 9. d. 13. d. 2. e. 6. e. 10. c. 14. d. 18. d. 3. c. 7. c. 11. b. 15. a. 19. c. 4. e. 8. d. 12. e. 16. e. 20. e.

(14) TRIANGULOS E s la figura geom étrica formada ai unir tres puntos no co lineaies mediante segm entos. Elem ento s:. Teorem a 2. En todo triángulo la medida de un án gulo exterior es igual a la sum a de las m edidas de dos ángulos interiores no ad yacentes a él. B. V értices: A, B y C Lad os: A B , B C y A C. X =. Notación:. a +. p. Triángulo A B C : A A B C. REGIONES DETERMINADAS TRIÁNGULO ►B /. RESPECTO. Teorema 3. En todo triángulo la sum a de las m e didas de los ángulos exteriores considerando uno por vértice e s igual a 360°.. R eg ió n interior. R eg ió n exterior. R eg ió n exterior. relativa a A B. relativa a B C. A /. AL. BA,. x + y + z = 360°. R eg ió n exterior relativa a A C. ANGULOS DETERMINADOS TRIÁNGULO. RESPECTO. AL Teorema 4. En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de m ayor medida y viceversa (propiedad de correspondencia).. Medida de los ángulos internos: a ; P; 0 Medida de los ángulos externos: x: y; z Perím etro de la región triangular A B C (2pAABC) 2P m b c — a + b + c Semiperimetro de la región triangular A B C. Teorema 5. E n todo triángulo la longitud de un lado es m ayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la sum a de las m ism as (pro piedad de existencia).. (P a a b c ). a + b+ c Paabc -. E n el A A B C , se a: a > b > c. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO. b -c< a< b + c. Teorem a 1. En todo triángulo la sum a de las medi d a s de su s ángulos interiores e s igual a 180°. B x =a +p +0 a + p + 9 = 180°.

(15) 18. 2.. | C o lec c ió n E l P o s t u l a n t e. E n la fig u ra : A A O B y A C O D presentan un án gulo interior opuesto por el vértice.. 2.. Triángulo acutángulo. E s aquel triángulo, que tiene su s ángulos internos agudos.. S e cumple: a. + (1 = 0. Triángulo oblicuángulo. E s aquel que no tie ne ángulo recto y puede ser:. + y. a < 9 0 °; |3 < 9 0 °; 6 < 9 0 ° => A A B C : acutángulo. x + y = a + [5 Triángulo obtusángulo. E s aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso. Si: 0. 4.. 90°. => A A B C : obtusángulo, obtuso en A. a¿. b + c¿. Seg ún las longitudes de s u s lados. CLASIFICACIÓN DE TRIANGULOS Lo s triángulos son clasificados de acuerdo a las m edidas de su s ángulos o la longitud de su s lados.. 1.. Triángulo escalen o . E s aquel triángulo, en e! cual, su s lados tienen diferente longitud.. Según las m edidas de s u s ángulos 1.. Triángulo rectángulo. E s aquel triángulo que tiene un ángulo recto.. S i : a A b A c => A A B C : escaleno. En la figura, m Z A B C = 90° A B y B C : catetos: A C : hipotenusa. 2.. Triángulo isó sc e le s. E s aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud.. A dem ás : a + 0 = 90° Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rec tángulo el cuadrado de la longitud de la hipo tenusa e s igual a la sum a de los cuadrados de las longitudes de su s catetos. En el L A B C , se cumple:. S i: A B = BC => A A B C : isó sceles. A B y B C : laterales A C : base m ZBAC = m ZACB Triángulo equilátero. E s aquel triángulo cu yos lados son de igual longitud..

(16) G. eo m e t r ía. |. 19. En el A A B C : L 1 A C y A M = MC => L: mediatriz de A C 4.. Altura. E s una ceviana perpendicular al lado, al cual es relativa, la posición de una altura res pecto al triángulo depende del tipo de triángulo. B. Si: a = b = c => A A B C : equilátero a = P = 0 = 60°. LINEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIANGULO 1.. Ceviana. E s aquel segm ento que une un vér tice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.. BH 1 A C =5 BH : altura relativa a A C. B. cYlata:. ----------------------- ---------------------------------------------------. B. Aa E n el A A B C :. A*. a. i. • D pertenece a A C En el C\ABC. => BD : ceviana interior relativa a A C. =3 BH : altura relativa a la hipotenusa A C. • E pertenece a la prolongación de A C => B E : ceviana exterior relativa a A C 2.. A. Mediana. E s una ceviana que biseca el lado al cual e s relativa.. En el A A B C : obtusángulo (y > 90°) A P : altura relativa a BC C Q : altura relativa a A B BH : altura relativa a A C. M es punto medio de A C => BM: m ediana relativa a A C 3.. Medlatriz. E s aquella recta perpendicular a un lado que b iseca a dicho lado, B. L. 5.. B isectriz. E s aquella ceviana interior o exte rior que biseca a un ángulo interior o exterior, respectivam ente. B isectriz interior B.

(17) 20. ¡ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. En el A A B C :. TRIANGULOS CONGRUENTES. A D : bisectriz interior relativa a B C. Son dos triángulos cuyos ángulos son, respectiva mente, de igual medida y ad em ás su s lados co rrespondientes de iguai longitud (ángulos y lados homólogos) A A B C s A A 'B 'C ' „B X vB'x. B isectriz exterior. En el A A B C : B E : bisectriz exterior relativa a Á C. PROPIEDADES DE ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES. m Z B A C = m ZB 'A 'C ' =» A B = A ’B ’. Ángulo determinado por las bisectrices de un ángulo interior y un ángulo exterior.. m Z A C B = m ZA 'C 'B' => C A = C'A'. m Z A B C = m Z A ’B 'C 1 => B C = B'C'. CASOS DE CONGRUENCIA P a ra poder afirmar que dos triángulos son con gruentes, es necesario que tres elem entos en uno de ellos sean de igual media que los otros elem en tos correspondientes en el otro triángulo, de los cu ales por lo m enos uno, e s un lado. En el A A B C :. C a so : Lado - Ángulo - L ad o (LA L). Dos triángu los son congruentes, si tienen un ángulo interior de igual medida y adem ás los lados que determinan a dicho ángulo, respectivam ente, de igual longitud.. A P : bisectriz del ángulo interior. C P : bisectriz del ángulo exterior.. P X=2 Ángulo determ inado por las bisectrices de dos ángulos interiores B. En el A A B C : Al. y Cl : bisectrices de. ios ángulos interiores. -90° +. P. Ángulo determinado por las bisectrices de dos ánguios exteriores En el A A B C : B E y C E : bisectrices de los ángulos exte-. x =9 0 °-|. S i: m Z B A C = m ZB 'A 'C ' A B = A'B'. =* A A B C s A A 'B 'C '. A C = A 'C C a so : Ángulo - Lado - Ángulo (ALA). Dos trián gulos son congruentes, si tienen un lado de igual longitud y adem ás ios ángulos ad yacentes a di chos lados, respectivam ente, de igual medida..

(18) S i: A C = A ’C' m Z B A C = m ZB 'A 'C '. A A B C = A A 'B 'C '. dos de un triángulo; al tercer lado se le derorr base.. m Z A C B = m ZA 'C 'B' C a so : Lado - Lado - Lado (LLL). Dos triángulos son congruentes, si su s lados son, respectivam en te, de igual longitud. b ase. Teorem a de ia b ase media. E s todo triángulo, una base media e s paralela a la base y su longitud es la mitad de la longitud de dicha base.. Si: A B = A'B' B C = B 'C ’. A A B C = A A ’B 'C. A C = A'C'. APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA. *. Teorem a de la b isectriz. Todo punto que pertene ce a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.. S i: AM = MB y BN = NC =» MN: base media. M N //A C. MN =. AC. B isectriz. Teorema de la mediana relativa a ia hipotenusa En todo triángulo rectángulo la longitud de la m e diana relativa a la hipotenusa e s igual a la mitad de la longitud de dicha hipotenusa BM: mediana relativa a la hi potenusa A C del k A B C . S i: R e OP, RH 1 O A y R Q 1 O B R H = RQ. BM =. OH = OQ. Teorema de la mediatriz. Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extrem os de dicho segmento.. S e a : L m ediatriz del segm ento A B . Si: P e L PA = P B. B a s e media de un triángulo. E s el segm ento que tiene por extrem os, los puntos medios de dos la. AC. TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES S e denominan a sí a ciertos triángulos rectángulos en los cu ales conociendo las m edidas de su s án gulos Internos (denom inados'ángulos notables) se tendrá presente una determ inada relación entre las longitudes de su s lados y vice ve rsa. Entre ios m ás importantes tenem os: A notable de 45°. K notabie de 30° y 60°.

(19) 22. ín. ¡ C o le c ció n E l P o stu la n te. A B C D es un cuadrado:. notable de 15° y 75°. AB = BC = CD = A D = a a(-Í6. El A A E D e s equilátero:. -. A E = ED = A D = a m Z E A D = m Z A E D = m Z A D E = 60° El A A B E es isó sceles: 30° + 2 m Z A E B = 180° =» m Z A E B = 75°. TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES APROXI MADOS t\ notable de 37° y 53°. En el punto E : 75° + 60° + x = 180° x = 45°. tx notable de 53 7 2 = 2 6 °30’. En un triángulo A B C , A B. = 5; B C. = 9,. m Z A = 2 m Z C , se traza la bisectriz interior BD . C alcu lar AD.. R eso lu c ió n :. notable de. t\ notable de. 37 7 2 = 18°30'. 16° y 74°. Sobre la prolongación de C A c o n s t r u im o s el triángulo isó sce les A E B , con A E = A B = 5 24 k. fck notable de 8° y 82°. E l A E B C e s isó sce les: E B = B C = 9 Analizando ángulos se deduce que el A E B D e s isó sce les: E D = E B 5 + x = 9. x =4. 82^ \5kV 2~ C alcu lar x.. EJERC IC IO S RESUELTOS En el interior de un cuadrado A B C D se co ns truye el triángulo equilátero A E D , la prolon gación de B E corta el lado C D en el punto F. Hallar la medida del ángulo D EF,. R es o lu c ió n : B. R es o lu c ió n :. Usando el teorema adicional 1. En el A A B C D : 45 = 3x + 4<t> + x. ... (1).

(20) G. En el />E B C D : 35 = 24° + 3<|> + x. eo m e t r ía. |. 23. C alcu lar x, si: AD = B D , B E = E C. ... (2). De (1) y (2): x = 12° E n un triángulo A B C se traza su m ediana AM, por el punto medio F de AM se traza una recta paralela al lado A C que corta al lado A B en D y al lado B C en E . Hallar F E . si D F = 3.. R eso lu c ió n :. R e s o lu c ió n :. B. El A A B D e s isó sce les: m / A = m Z A B D = a El A B E C e s isó sce les: m Z C = m Z C B E = <|> En el vértice B: 3x + a + <t>= 180° ... (1) En el A A B C : 2x = a + c|> ... (2). Trazam o s M N / / A C / / D E En el AA N M , D F e s su base media: DF = 3 = — 2. => NM = 6. De (1) y (2): x = 36°. En el A A B C , MN e s su base media: 7.. En el A A M C , F E es su base media:. En un triángulo A B C , las bisectrices interiores de los ángulos A y C se cortan en el punto F. E n contrar la medida del ángulo B, sabiendo que: m Z A F C + m Z A B C = 165°.. FE =. R eso lu c ió n :. NM = 6 = ~. 2. 2. ^ A C = 12. ^ x = —. 2. x =6. Los lados de un triángulo A B C miden A B = 10, B C = 14, A C = 16, se trazan BQ y B P per pendiculares a las bisectrices interiores de los ángulos A y C . Encontrar PQ. R eso lu c ió n : B. U sam os la propiedad de bisectriz interior m Z A F C = 90° + ^ 2 Del dato: m Z A F C + m Z A B C = 165° 90° + — + x = 165° 2 8.. -1 6. 1. Prolongam os B P y BQ El A A B E es isósceles: A B = A E = 10; BQ = Q E El A D B C e s isósceles: B C = CD = 14: B P = PD En el A D B E , PQ es su base media: PQ = 5 £. 2. PQ=4. x = 50°. En un triángulo A B C , la mediana BD y la ceviana interior A E se cortan en F . E n c o n tra r F E , si A F = 12, E C = 2 B E. R es o lu c ió n : B.

(21) 24. [ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. Trazam o s D J // A E .. a) 2; 3; 4; 5; 6. En el A A E C , D J e s su base media: AE E J = J C = m => DJ 2 En el A D B J , F E e s su base media:. b) 2; 3; 4. FE = x ■. DJ. D J = 2x. 2. En (1): 2x :. 12 + x. 3x + 6,. c) 3; 4; 5 d) 4; 5; 6 e) 3; 4 6.. En el triángulo escaleno mostrado, calcular los valo res enteros que pueden tomar x.. x =4 a) 2; 3; 4. T~. b) 3; 4 c) 2; 3. [ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS 1 l. d) 1; 2; 3; 4; 5 En la figura, calcu lar la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar x.. e) 4 7,. N. En la figura, calcular: x + y + z a) 180° b) 360° c) 540° d) 720° e) 270°. c) 7. a) 9 d) 6. En la figura, calcular: a + b + c + d + e + f a) 180°. 2.. En la figura, calcu lar x, s i:A B = A D y B C = E C a) b) c) d). 10° 12° 15° 18°. e) 20 '. b) 360° c) 540°. B. d) 720° e) 900° A. En la figura, calcu lar la m Z A B C. E. B 3.. En la figura, calcu lar x a) 150° b) 118° c) 144° d) 132° e) 126°. a) b) c) d) e). 120° 150° 144° 135° 105°. d) 90°. /ai 2¡K. 10.. e) 75°. En la figura, calcu lar x. /áp ' X,. En la figura, calcular los valores enteros que puede tomar x.. d) 12°. e) 18°.

(22) G. 11.. e o m e t r ía. |. 25. En la figura, calcu lar x. a) 70 b) 80° c) 75° d) 90° e) 120°. 12.. 18.. En la figura, calcular x.. En la figura, calcu lar x.. D 19. 13.. En la figura, calcu lar el máximo valor entero que puede tomar x.. 14.. En la figura, calcular: x + y. En la figura, calcu lar x, si: G e s baricentro del AABC.. 2 0 . En la figura, calcu lar x, si: I es incentro de! triángulo A B C .. a ) 120° b) 180° c) 60° d) 90°. 15.. En la figura, calcu lar x, si: A C = BD B. 1. b. OI O. e) 45° 9. c. 13. b. 17. c. 2. c. 6. e. 10. e. 14. d. 18. d. 3. e. 7. b. 11. e. 15. e. 19. e. 4. a. 8. d. 12. a. 16. a. 20. d. [ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS 2~1 16.. 17.. En la figura, calcu lar x, si H e s ortocentro del triángulo A B C .. En la figura, calcu lar x, si H e s ortocentro del triángulo A B C .. 1.. En la figura, calcular el valor de x.. 2.. E n un triángulo A B C se_traza la cevlana BD que biseca a la m ediana A E en el punto P, cal cular PD , si BD = 8..

(23) 26. | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. a) 2 d) 5. b) 3 e) 6. c) 4. 10.. a) b) c) d) e). En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e) 4.. , 5.. a) b) c) d) e). ,. En la figura, calcu lar Q C , si NP = 6. B. 17° 15° 21° 13° 12°. //i. a) 6 d) 7. En la figura, calcu lar el valor de x. 12.. 12° 15° 20° 18° 10°. 50° 30° 20° 40° 70°. En la figura, calcu lar el valor de x.. d) 10°. A*. 13. \ D. 21° 32° 42° 36° 40°. z x. /. i- i. e) 12° En la figura, calcular ei valor de x. a) b) c) d) e). En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e). c) 9 e) 5. a) 15° b) 30° c) 18°. En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e). 7.. 11.. 40° 30° 50° 10° 20°. En la figura, calcu lar el valor de « .. a) b) c) d) e) 6.. 7 6 4 5 3. En figura, calcular el valor de x.. 14.. 30° 45° 37° 60° 53°. /0 \3. En la figura, calcu lar el valor de x.. En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e). a) 60° d) 37°. 6 2 3 4 5. 15.. b) 15° e) 47°. c) 45°. En la figura, calcular el valor de x.. En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e). 37° 53° 30° 60° 45°. a +b a) 15° d) 16°. b) 25° e) 30°. c). 20°.

(24) G. 16.. 19.. En la figura, calcular el valor de a . a) 15° b) 14°. En la figura, calcu lar el valor de x.. 20.. a) 26° b) 14°. c) 4. D. d) 7 E )8. —. En la figura, calcular el valor de x.. b) 37° c) 53° d) 45° e) 60°. e) 30° En un triángulo A B C . el ángulo A mide el do ble del ángulo C . la bisectriz exterior trazada de A interseca la altura trazada de B en el punto D, calcu lar C D , si BD = 6. a) d). En la figura, calcular BD.. a) 30°. c) 20° d) 10°. 18.. |. b) 5. c) 12° d) 10° e) 18° 17.. e o m e t r ía. 6 b)7 9e) 5. c) 8. 1. a. 5. b. 9. b. 13. c. 17. e. 2. a. 6. d. 10. e. 14. c. 18. a. 3. d. 7. c. 11. c. 15. e. 19. a. 4. b. 8. c. 12. b. 16. d. 20. d. 27.

(25) POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS POLÍGONOS E s ia figura geom étrica cerrada, que se forma al unir consecutivam ente tres o m ás punto no colineales, mediante segm entos; de tal modo que di cha figura limite una región del plano.. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Por la región que limitan Polígono convexo. E s aquel polígono que limita una región convexa.. Elem entos: V értices: A, B, C , D, E ,... y P Lad o s: A B , B C , C D , D E. y PA. Notación: Polígono A B C D E ...P Án g u lo s determ inados. El polígono A B C D E F G limita una reglón con ve x a , entonces el polígono se denomina con vexo. Polígono no co nvexo o có ncavo. E s aquel polígono que limita una región no convexa.. Medidas de los ángulos interiores: a ,. a 2, ots. «4 y cx5 Medida de los ángulos exteriores: 0 ,, 6 ,. ü3, 04 y 05. E l polígono A B C D E F G H ¡Imita una región no convexa, entonces ei polígono se denomina no convexo. Por ¡as m edidas de s u s elem entos (iados y á n . LÍNEAS ASOCIADAS AL POLÍGONO Diagonal. E s el segm ento cuyos extrem os son dos vértices no consecutivos. Para el polígono A B C D E F , mostrado en el gráfico; A C es una diagonal. D iag o nal m ed ia. E s el segm ento cuyos extrem os son ¡os puntos medios de dos lados. P a ra el polígono A B C D E F , m ostrado en el grá fico; si: M y N son puntos m edios de A F y E D , resp ectivam ente, ento nces MN e s una diagonal m edia.. gulos) Polígono equiángulo. E s aquel polígono cuyos ángulos internos son de igual medida; dicho polígono siem pre es convexo. A dem ás su s ángulos externos son de igual medida..

(26) G. E l polígono A B C D E F es equiángulo, a : medida de su s ángulos interiores O: medida de su s ángulos exteriores. 2.. e o m e t r ía. |. 29. Su m a de las m edid as de los áng ulos inter nos (S ¡):. Polígono equilátero. E s aquel polígono cu yos lados son de igual longitud; dicho polígo no puede se r convexo o no convexo.. E l polígono e s convexo de n lados. S| = a-¡ + a 2 + ... + a n = 180°(n - 2). E. a. Tam bién se cum ple en polígonos no con vexos.. D. polígono convexo. polígono no convexo o cóncavo. 3.. Lo s polígonos A B C D E y M N LTQ son eq uilá teros.. Sum a de las m edidas de los ángulos externos de un polígono convexo tomado uno por vérti ce (S e):. Polígono regular. E s aquel polígono equián gulo y equilátero a ia vez.. S e m uestra un polígono convexo de n lados. Se = 360° 4.. Número de diagonales de un polígono: Número de diagonales trazad as desde un vértice:. E l polígono A B C D E F e s regular. O: centro del polígono regular (punto de con. V,. currencia de las m ediatrices de los lados). ÁNGULO CENTRAL En un polígono regular, se define el ángulo central, como aquel ángulo cuyo vértice e s el centro del polígono y cuyo s lados contiene a los extrem os de un lado de dicho polígono. S e m uestra un polígono de n lados.. En el gráfico, Z A O B : ángulo central. N .‘ d iagon ales d e. 1 vértice '. PROPIEDADES 1.. En todo polígono de n lados: N. vértices = N, lados =. N.° ángulos = n internos. •. Número total de diagonales. En todo polí gono de n lados: N .‘ total de d ia g o n ale s. n(n - 3) '.

(27) 30. | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. ---------------------------. 5.. Número de diagonales m edias de un polígono:. CUADRILÁTEROS E s aquel polígono de cuatro lados. Puede se r con vexo o no convexo.. S e tiene un polígono de n lados. Se an : M-,, M2, M3 Mn los puntos medios de los lados del polígono:. ¿3A B C D : convexo •. N-. diagonales medias de 1 punto medio = n — 1. Lados opuestos: A B y C D . B C y AD Ángulos opuestos: BA D y B C D , A B C y A D C D iagonales: A C y BD. Número total de diagonales m edias en todo polígono de n lados:. Su m a de m edidas de ángulos interiores.. a + p + e + S = 360° No l '1-. 6.. _ n (n — 1) total d e d ia g o n ale s m e d ia s ~. «. Medida de un ángulo interior en polígonos equiángulos:. D iagonales: A C y BD.. CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS S e muestra un polígono equiángulo de n lados. 0: medida de un ángulo interior. A 180°(n - 2) 0 2= -------------n 7.. Medida de un ángulo exterior en polígonos equiángulos:. Lo s cuadriláteros convexos se clasifican según el paralelism o de su s lados opuestos en:. TRAPEZOIDE E s aquel cuadrilátero convexo que no presenta la dos opuestos paralelos. Un trapezoide puede se r sim étrico (trapezoide don de una de las diagonales e s parte de la mediatriz de la otra diagonal) o asim étrico (trapezoide que no cumple la condición del trapezoide sim étrico).. S e muestra un polígono equiángulo de n lados, a : medida de un ángulo exterior. '. a = 360°. L3A B C D : trapezoide simétrico Ento nces: A C es parte de la m ediatriz de BD ..

(28) G. También, se cumple que A C es eje de simetría del trapezoide.. e o m e t r ía. |. 31. = Q A B C : trapecio rectángulo (recto en A y B). Tam bién es un trapecio escaleno. Trapecio isó sc e le s . E s aquel trapecio cuyos lados laterales son de igual longitud.. Z1ABCD: trapezoide asimétrico. TRAPECIO E s aquel cuadrilátero convexo que solo tiene un par de lados opuestos paralelos.. Si: B C //AD y A B = CD =■ Z 3A B C D : trapecio Isó sceles S e cumple: m ZBAD = m ZCD A. y A C = BD. PROPIEDADES En todo trapecio, la base media es paralela a su s b a ses y su longitud e s Igual a la se m isu ma de las longitudes de su s b ases.. Si: B C //AD, A B H C D Ento nces Z Z A B C D e s un trapecio. •. B a s e s :B C y A D Laterales: A B y CD Altura: BH B a se media: MN. CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud de su s lados laterales en:. En la fiqura, MN es la base media del trapecio ABCD.. Trapecio e scalen o . E s aquel trapecio cuyos lados laterales tienen diferente longitud.. S e cumple:. a +b MN // B C. También:. S I: B C / / A D y A B ^ C D => Z Z A B C D : trapecio escaleno B_. C O A B C D : trapecio rectángulo Si: M e s punto medio de B C y MN 1 A D. X li. S e cumple:. m Z A B C = m Z B A D = 90°. =>. a + b 2.

(29) 32. | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. En todo trapecio, el segm ento que une los puntos medios de su s diagonales e s paralelo a su s b a ses y su longitud e s igual a la semidlferencia de las longitudes de dichas b ases.. CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS Rom boide, E s aquel paralelogramo que tiene los lados consecutivos de diferente longitud y su s án gulos interiores tienen m edidas distintas de 90°. No e s equilátero ni equiángulo.. ¿7 A B C D : romboide. B C // A D , P y Q son los puntos medios de A C y B D , respectivam ente. S e cumple: P Q // BC. M es un punto medio de A C y MH 1 BD .. Rom bo. E s aquel paralelogramo que tiene su s la dos de igual longitud y su s ángulos interiores tie nen m edidas distintas de 90°. E s equilátero y no equiángulo.. S e cumple: S e cumple:. Z7A BC D : rombo. c II E. C d = a -. b. PARALELOGRAMO E s aquel cuadrilátero convexo que tiene su s dos pares de lados opuestos paralelos.. Be. b. Rectángulo. E s aquel paralelogramo que tiene su s lados consecutivos de diferente longitud y las m edidas de su s ángulos son iguales a 90°. E s equiángulo y no equilátero. C | EZ1ABCD: rectángulo a. 1. D. S i: A B // C D. y. B C //A D. => Z7A BC D : paralelogramo. PROPIEDADES A B = CD. Cuadrado. E s aquel paralelogram o que tiene su s lados de igual longitud y las m edidas de su s ángu los igual a 90°. E s equilátero y equiángulo, e s decir que el cuadrado e s un polígono regular.. B C = AD. m ZBAD = m ZB CD. □ A B C D : cuadrado O: centro del cuadrado.. m ZA BC = m ZADC AO = O C. BO = OD.

(30) G. Teorem a:. 4.. E s un cuadrilátero convexo o no convexo, el cua drilátero que tiene por vértices a ios puntos medios de su s lados e s un paralelogramo.. e o m e t r ía. |. 33. Lo s núm eros de lados de dos polígonos regu lares son dos núm eros consecutivos. C alcu lar el número de lados del polígono de m ayor án gulo exterior, si la diferencia de las m edidas de su s ángulos exteriores es 12°.. R e s o lu c ió n : S e a n : n y n + 1 el número de lados de los dos polígonos regulares. Por dato:. 360° n. 360° = 12° n+ 1. Ento nces los polígonos tienen 5 y 6 lados. M, N, L y P: puntos medios de A B , B C , C D y AD, respectivam ente. S e cumple:. E l polígono que tiene el menor número de la dos tendrá el m ayor ángulo exterior. 5 lados. Z7M N LP: paralelogramo 5. EJERC IC IO S RESUELTOS. 1.. Hallar el número de lados de un polígono regu lar, si la medida de su ángulo interior es igual al triple de la medida de su ángulo central.. R e s o lu c ió n :. El número de diagonales de un polígono es igual a doce veces su número de lados. ¿Cuánto s lados tiene el polígono?. mz i = 3 m _e. 180°(n - 2). 3x. 360°. R e s o lu c ió n : Nd = 12n => 2.. _ i 2n. 6. n = 27. L a diferencia entre el número de diagonales y el número de ángulos rectos que contiene la sum a de las m edidas de los ángulos interiores de un polígono e s igual a 13. Hallar el número de lados.. C a lcu la r la b a se m ayor de un trapecio, los lados no paralelos miden 5 y 7, las bisectri c e s interiores de los ángulos ad ya ce n tes a la b a se menor se cortan en un punto de la base mayor.. R e s o lu c ió n :. R e s o lu c ió n : N q ~ N. Z rectos — 13 n(n - 3). 1 8 0 "(n -2 ) 9 0”. = 13. En un polígono, el número de diagonales m ás el número de triángulos que se forman al unir un vértice con los otros vértices m ás el núm e ro de ángulos rectos que contiene la sum a de las m edidas de su s ángulos interiores es igual a 14. Encontrar el número de lados.. Usando ángulos alternos internos: m ZA M B = m Z M B C = a m ZD M C = m Z M C B = 6 El A A B M es isó sce les: AM = A B = 5 El A M C D es isó sce les: DM = D C = 7 x = 12. ■triángulos "L N . ángulos rectos — 1 4. C , n - 2) + ~. = 14. En un cuadrilátero convexo A B C D , A B = 6, C D = 1 0 . Hallar el perímetro del cuadrilátero que se forma a! unir los puntos medios de B C , ÁC, BD yÁ D ..

(31) | C o l ec c ió n E i P o s t u l a n t e. R eso fució n:. [". e j e r c ic io s p r o p u es t o s. |. C alcu lar el número de lados de un polígono convexo, si se sabe que: la sum a de las medi das de su s ángulos internos es igual al séxtu plo de la sum a de las m edidas de su s ángulos externos. a) 13. Usando el principio de la base media de un triángulo: En el A A B C : MN = - = 3. d). 2.. 2. En el A A B D : PQ = f = 3 2. .. 12. b) 14. c) 15. e) 10. En la figura, A B C D E F e s un hexágono regular, calcu lar 9. a) 90° b) 105°. En el A B C D : M Q t | = 5. c) 120° d) 150°. En el A A C D : NP = y. =5. e) 144°. perímetro del AlM N PQ = 16. 3.. En un rombo A B C D cuyo lado mide 12, se toma el punto medio M del lado B C , por el punto medio de BM se traza una recta paralela al lado A B que corta a BD en P y a AM en Q. Hallar PQ .. a) e) 4.. Usando el principio de la base media de un triángulo nos dam os cuenta que P y Q son los. 5.. ...(1 ). En el A A B C : MO e s su base media 6.. = 6. Reem plazando en (1): PQ = l í L d i. 2. . PQ = 3. b) Heptágono d) Nonágono. Decágono. C alcu lar la sum a gulos Internos de sabe que desde dicho polígono se. de las m edidas de los án un polígono convexo, sí se 3 vértices consecutivos de han trazado 14 diagonales.. a). 900. b) 1980. d) 1620. e) 1080. c) 1800. En la figura, calcular a + b, síx + y + z + w = 200° a) b) c) d) e). puntos medios de BO y A M . En el trapecio ABM O ; PQ = ^. Hexágono. c) Octógono. R eso lu c ió n :. MO = M 2. S e tienen dos polígonos convexos de modo que el número de lados de uno es el doble del otro. SI la diferencia entre su s núm eros de diagonales es 81, entonces el polígono de menor lado se llam a:. 300° 100° 400° 190° 200°. En un polígono equiángulo A B C D E ..., se sabe que el número total de diagonales es el triple de su número de lados; B C = C D y A B = BD. C alcu lar la m Z A D E . a) d). 120° 40°. b) 80° e) 90°. c) 60°.

(32) G. 7.. 14.. En la figura m ostrada, calcular x, a) 6 b) c) d) e). 8.. En la figura, calcu lar x. a) b) c) d) e). 9.. 11.. 12.. 13.. b) 60° e) 90°. b) 8 e) 11. 16. En la figura, c a lcu la r x, si el pentágono e s regular.. c) 30°. c) 9. 17. S e tiene un decágono regular A B C D E F ..., ha llar la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de A B y E D . a) 72° d) 18°. 3 4 5 6 8. 1 2 3 4 5. a) Pentágono c) Icoságono e) Dodecágono 19.. b) c) d) e). 2 3 4 6. c) 54°. c. 20.. b) Nonágono d) Decágono. En un polígono regular A B C D E F ... de n la dos; la m Z A C E = 135°. C a lcu la r su número de lados. a) 8 d) 32. En el romboide A B C D mostrado, calcu lar la distancia entre los puntos medios de A E y BF.. a) 1. b) 36° e) 9°. ¿C u á l e s el polígono cuyo número de diago nales es el doble del número de diagonales de otro polígono que tiene tres lados m enos?. En la figura, calcu lar x. a) b) c) d) e). En la figura. calcular x.. d) 7 e) 5. En la figura, calcu lar x. a) b) c) d) e). 2 3 4 5 1. c) 6. L a s diagonales de un trapecio miden 10 y 12. C alcu lar el máximo valor entero que puede to mar la medida de su m ediana. a) 7 d) 10. 35. a) 4 b) 3. En un trapecio Isó sceles, la diagonal mide el doble de su m ediana. C alcu lar la medida del ángulo formado por las diagonales. a) 45° d) 150°. 10.. 15.. 2 3 4 5 6. |. En el trapecio A B C D mostrado, calcular x. a) b) c) d) e). 7 5 5.5 4,5. eo m e t r ía. b) 16 e) 30. c) 24. En un polígono regular A B C D E. las me-. dlatrices de A B y D E se cortan formando un ángulo de 135°. C alcu lar el número total de diagonales del polígono. a) 10° d) 30°. b) 20° e) 35°. c). 25°.

(33) 36. | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. 21.. En un polígono equiángulo d esd e (n - 5) vé rtice s co n se cu tivo s se trazan (n + 6) d ia gon ales. C a lcu la r Ja m edida de un ángulo interior.. 23.. En la figura m ostrada, si A B C D es un trapecio; calcu lar MN a) 7 b) 6. a) d). 135° 60°. b) 140° e) 120°. c) 108°. c) 5 d) 4 e) 3. 22. Sí el octógono mostrado e s regular, calcu lar 0 a) 60° b) 75° c) 53° d) 70° e) 85°. m iii > <í j u. 1. b. 6. e. 11. b. 16. d. 2. c. 7. b. 12. c. 17. a. 21. a 22. b. 3. c. 8. a. 13. c. 18. e. 23. d. 4. e. 9. b. 14. c. 19. b. 5. e. 10. d. 15. d. 20. b. y.

(34) CIRCUNFERENCIA E s el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto, de dicho plano, deno minado centro. A la distancia constante de estos puntos al centro se denomina radio de la circun ferencia.. cVlata: ;. •. j. .......................................................................................................................................................... E l círculo es la porción del plano que comprende la circunferencia y su inte rior. Ei perímetro del círculo es igual a la longitud de la circunferencia, entonces se cumple: L c = 2nr. |. í. L c: longitud de la circunferencia r: radio de la circunferencia •. La medida angular de una circunferen cia es igual a 360°. Una circunferencia determina en su plano corres pondiente dos conjuntos de puntos, denom inados interior y exterior a la circunferencia. Si: IO < R => I es un punto interior a la circunfe rencia. Si: E O > R => E es un punto exterior a la cir cunferencia. S i: O P = R => P e s un punto de la circunferen cia.. ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA Ángulo central. LÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA -LAOB: ángulo central. Ángulo inscrito. S e tiene la circunferencia de centro O y radio R . C uerda: C D Diámetro: A B Flecha o sagíta. E F R ecta secante: PQ R ecta tangente: LT (T: punto de tangencia) R ecta normal: L N Arco: es una porción cualquiera de la circun ferencia determ inada por dos puntos de la m ism a, denom inados extrem os demarco, en la figura, por ejemplo: el arco PQ : PQ.

(35) 38. j C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. Á ngulo exinscrito Lt : recta tangente a la cir cunferencia en T.. ¿ B P Q : ángulo exinscrito. O T 1 LT. *= !. Todo diámetro perpendicular a una cuerda bi se ca a dicha cuerda y a los arcos que subtiende.. Ángulo interior Z A P B : ángulo interior 1. /. p \. 'A V. V y N. a +p X". 2. \. 0 , -----------. -A. m\P 1 r MT H Ji \ r' ® V " 1? m AM = m M B. - A P B : ángulo exterior. MN: diámetro, si MN 1 A B AH = HB. m AN = m NB. En una m ism a circunferencia o circunferen cias congruentes; si dos arco s son de igual medida su s cuerdas correspondientes son de igual longitud; adem ás dichas cuerdas equi distan del centro. Z A P B : ángulo exterior S i: m A B = m CD A B = CD. adem ás:. OM = OH. En una circunferencia los arco s comprendidos entre dos cuerdas paralelas son de igual m e dida.. adem ás. x + p = 180°. PROPIEDADES La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado en el punto de tangencia. Tam bién, si: LT //A B. m AT = m TB.

(36) G. Lo s segm entos tangentes a una circunferen cia trazados desde un punto exterior, son de igual longitud.. eo m e t r ía. |. 39. O b servació n: C ircunferen cias ortogonales. R 2 + r2. PA y P B son tangentes a la circunferencia.. L ,: recta tangente a la circunferencia de cen tro 0 2 L 2: recta tangente a la circunferencia de cen tro O ,.. PA = P B adem ás: PO bisectriz del Z A P B. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFEREN CIAS COPLANARIOS C ircu n fe ren cias exteriores. Son aquellas cuya distancia entre los centros es m ayor que la sum a de los radios.. C ircu n fe ren cias tangentes interiores. Son aquellas cuya distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.. d = R - r. T: punto de tangencia entre las circunferencias. C ircu n fe ren cias interiores. Son aquellas cuya distancia entre los centros es menor que la distancia de los radios. C ircu n fe ren cias tangentes e x te rio re s . Son aquellas cuya distancia entre los centros es igual a la sum a de los radios. d <R - r. T: punto de tangencia entre las circunferencias. •. C ircu n fe ren cias co n cén trica s. Son aquellas cuya distancia entre los centros es cero; es decir tienen el mismo centro.. C ircu nferen cias secan tes. Son aquellas cuya distancia entre los centros es menor que la sum a de los radios y mayor que su diferencia. L = 2 -IR2 - r2 R - r <d < R + r A B : cuerda común a las dos circun ferencias.. A B : cuerda de la circunferencia de radio R tangente a la circunferencia de radio r..

(37) 40. I C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA E s aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una m ism a circunferencia. circunferencia circunstricas al. ¿3A BCD. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUN FERENCIA E s aquel cuadrilátero convexo que puede ins cribirse en una circunferen cia; e s decir, que su s vértices pueden se r ubicados en una m ism a cir cunferencia.. A, B, C y D: son puntos de la circunferencia; entonces: cOABCD: inscrito en la circunferencia. PROPIEDADES En el cuadrilátero inscrito su s ángulos interio res opuestos son suplem entarios.. S i: A , B , C y D pueden se r ubicados en una circun ferencia. ¿3A B C D : inscriptible. CONDICION PARA QUE UN CUADRILATERO SEA INSCRIPTIBLE Prim er ca so . Todo cu ad rilátero co n vexo cu yo s án g u lo s in terio res o p u esto s son su p le m e n ta rios, e s inscriptib le. ¿3A B C D : inscrito. e + p = 180°. si: a es la medida del ángulo exterior de vérti ce C. S e cumple:. 0 =a. En todo cuadrilátero inscrito; su s diagonales determinan con los lados opuestos ángulos de igual medida.. S i: a + p = 180°. ¿3A B C D : inscriptible. S i: a = 0. ¿3A B C D : inscriptible. Seg u nd o ca so . Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determinan con dos lados opuestos án gulos de igual medida, e s inscriptible.. S e tienen dos cir cunferencias secan tes en A y B.. S i: a = 0 O A B C D : inscriptible.

(38) G. EJERC IC IO S RESUELTOS 1.. 3.. e o m e t r ía. |. 41. C alcu lar x, si: m OA = 40°, los puntos O y O t son centros.. E l punto O es el centro de la circunferencia exinscrita relativa al lado B C de un triángu lo A B C , los segm entos BO y C O cortan a la circunferencia en los puntos D y E , sobre el m ayor arco D E se toma un punto F. Hallar m Z B A C , si m Z B A C = m Z D F E .. R e so lu c ió n : R e s o lu c ió n :. m ZO = m D E = 2x. (ángulo inscrito) E n el t\O AD : nrZO_= 90° - 20° = 70°. E l centro O es el excentro del A A B C , luego BO y C O son bisectrices exteriores: m Z O = 90” -. 2. m ZO = 70° => m CD = 70° (ángulo central) x _ fn g D (gng U|0 inscrito). =. 2x = 90” - # 2. x = 36° 2.. .-. x = 35. C alcu lar m B D , si: A B s A E = E D , m Z C = 20°. 4.. Un pentágono A B C D E s e e n c u e n tra c ir c u n s c rito a u n a c ir c u n f e r e n c ia , de m odo q u e A B + C D + A E = 1 1 ,B C + D E = 5 .Hallarla longitud de la tangente que parte del vértice A.. R es o lu c ió n :. R es o lu c ió n :. En la figura, hacem os la congruencia de las tangentes, del dato: A B + C D + A E = 11 x + m + n + f + q + x = 11 ...( 1 ) => 40° = a —<(> Pero: 360° = 3a + 4>(longitud de la circunferencia) Sum ando: a = 100° Luego: 40° = 100° —4>. <|> = 60°. BC + DE = 5 m + n+ f + q = 5 Reem plazando (2) en (1): x = 3. ■■■(2).

(39) 42. | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. C alcu lar x, si:. C alcu lar x. m AB = 60°, m A E = 70°, m ZD = 20°. a) b) c) d) e) 4.. 5.. 20°. 6.. m EC = 200° m E C - m AB 200° - 60°. [ " e j e r c ic io s 1.. 2.. 7. x = 70°. pro pu esto s. 10° 12° 15° 18° 10". C alcu lar R a) b) c) d) e). T |. 8.. 360° 450° 540° 270° 180°. En la figura, calcu lar x a) b) c) d) e). 2 3 6 4 1. (ángulo exterior). En la figura, calcu lar a + p a) b) c) d) e). En la figura, calcular x, si: O e s centro. a) b) c) d) e). Pero: 70° + 60° + m BC + m E C = 360°. x =. 22 30 28 26 23. (ángulo exterior). =5 m BC = 30°. =». 12 6 9 18 15. C alcu lar el perímetro del trapecio A B C D . a) b) c) d) e). 70° - m BC. =. En la figura, calcu lar el perímetro del triángulo som breado. a) b) c) d) e). R es o lu c ió n :. 3a - 2b 2b - a 2a - b a - b a - b. C alcu lar x. a) b) c) d) e). 9.. 4 5 7 6 3. 55° 60° 65° 75° 45°. En la figura, calcular x. a) b) c) d). 45° 37° 30° 60°. e) 53°.

(40) G. 10.. En la figura, calcu lar A B , si: C O son centros.. 4; O y O. 16.. d) 12. ¡. 43. En la figura, calcu lar x, si: O e s centro. a) b) c) d) e). a) 4 b) 8 c) 2. e o m e t r ía. 37° 53° 45° 60° 30°. e) 6 17. 11.. C alcu lar R.. En la figura, calcu lar x. a) b) c) d) e). a) 1 b) 2,5 c) 1,5 d) 2. 130° 140° 120° 110° 150°. e) 3,5 18. 12.. En la figura, calcular x.. En la figura, ¿cuánto mide el ¡nradio del trián gulo A B C ? . S i: AO = 4 y O es centro.. d) 90° a) 1 d) 4 13.. 80° 40° 45° 55° 60°. á. a) b) c) d) e). X. 125° 150° 135° 140° 145°. \4 0 °. 1 A. En la figura. calcular x.. n. o. U D. : 20.. En la figura, calcular x.. En la figura m ostrada, calcular a a) b) c) d) e). 15.. 19.. En la figura, calcu lar x, si: O es centro. a) b) c) d) e). 14.. c) 3 e) 5. e) 60°. 60 53 37 45 74. a) 130°. b) 140°. d) 110°. e) 150°. c) 120°. En la figura m ostrada, calcu lar x. a) 1 b )2. c) 3 d) V2 e) V3. y f. 4. 1. d. 5. d. 9. e. 13. d. 17. b. 2. c. 6. b. 10. b. 14. e. 18. c. 3. e. 7. a. 11. d. 15. b. 19. e. 4. b. 8. c. 12. b. 16. d. 20. b.

(41) 44. ¡ C o lec c ió n E l P o stu la n te. ¡ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS 2 ~¡ 1.. C alcu lar 0, si A, B, C . D y E son puntos de tangencia. a) b) c) d) e). 2.. 11.. 2 2,5 6 4 5. h. ^. "A". Si m AB = 40°, hallar m P Q . a) b) c) d) e). 30° 60° 15° 45° 53°. 45° 30° 53° 37° 60°. Del gráfico, calcu lar R , si D E = 8. a) b) c) d) e). 10.. 50° 40° 45° 30° 60°. c) 5. S i A B C D es un cuadrado, calcu lar la m A F E . a) b) c) d) e). 9.. b) 4. e) 2. 20° 80° 10° 40° 50°. En la figura m ostrada, m AC C alcu lar x.. a y m BD. Del gráfico mostrado, c a lc u la ra . a) b) c) d) e). 6.. 45° 53° 60° 37° 75°. De la figura, a) b) c) d) e). 5.. 8.. De la figura, calcu lar el valor de x, si A, B, C y D son puntos de tangencia. a) b) c) d) e). 4.. 15° 20° 22° 30° 36°. En una circunferencia se trazan las cuerdas perpendiculares A B y C D ; B C = 8. C alcu lar la distancia del centro a AD. a) 8 d) 6. En el gráfico, los puntos P, Q, R y L son puntos de tangencia. C alcu lar el valor de x. a) b) c) d) e). 3.. 7.. 100° 105° 120° 135° 150°. O. En el gráfico, B es punto de tangencia. C a lcu . a) (a + b)/2. b) (a + b)/3. c) (a + b)/4. d ) ^. e) | ( a + b) 12.. En la figura, R e s punto de tangencia, E D = DP. lar x, si: m H E = 40°, AO = O B.. y m E F = 100°. C alcu lar x.. a) 20°. a) b) c) d) e). b). 10°. c) 5° d) 15° e) 25°. >. 20° 40° 50° 55° 65°.

(42) G. 13.. En la figura, T y S son puntos de tangencia.. 19.. C alcu lar x, si m DC = 80° y m D S = 40°.. eo m e t r ía. |. 45. En un cuadrado A B C D , la circunferencia ins crita es tangente en M, L, F y Q a A B , B C , CD y AD, respectivamente. S e traza NC (N e M L),. a) b) c) d) e) 14.. 20’ 30° 35° 40° 50°. N C n L F = {P }, m N L = m P F . C alcu lar la m e dida del ángulo determ inado por LQ y NF. a) 53° d) 90°. Del gráfico, calcu lar x, siendo A y B puntos de. 20.. 15.. a) b) c) d) e) es. punto. de tangencia,. CD. 16.. 21. Si O es centro y la m AB = 100°, calcu lar x. a) b) c) d) e). 75° 60° 45° 70° 80°. En una circunferencia de centro O se trazan el. 22.. diámetro A B y la cuerda CD que se intersecan. 17.. b)4 e) 6. c) 5. En la figura, el triángulo A B C e s equilátero, P y A son puntos de tangencia. C alcu lar la m A D . a) b) c) d) e). 18.. 30° 60° 45° 75° 40°. En la figura, A B = 5; B C = 4; B E = 3. C alcu lar CD. a) b) c) d) e). 5 6 7 8 9. 23.. 45° 50° 55° 60° 65°. S i O es centro de la sem icircunferencia; M y N son puntos de tangencia, c a lc u la ra . a) b) c) d) e). en P y 3 m A C = m B D . Calcular P C , s iA P = 2 y A B = 10. a) 3 d) 2,5. 55° 65° 75° 85° 70°. // A B ,. m LT = 30°, calcu lar x. a) b) c) d) e). En el gráfico se tiene que: P, Q y S son puntos. la m A B.. 80° 60° 40° 30° 50°. S iJ T. c) 7 5 ’. de tangencia y m MS + m N S = 110°. C alcu lar. tangencia y m CD = 120°. a) b) c) d) e). b) 60° e) 45°. 100° 120= 135° 105° 160°. De la figura, calcular jel valor de x, si la m Z A C B = 113°, L-i, L 2; L 3 y L 4 son rectas tan gentes (A, B y D son puntos de tangencia). a) b) c) d) e). 20° 21° 22° 23° 24°. 24. S i P y Q son puntos de tangencia, calcular x. a) b) c) d) e). 45° 60° 75° 63° 67,5°. c.

(43) 46. | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. 25.. Si la m PQ = 70°. calcular la m A B.. 28.. C alcu lar x, si P y Q son puntos de tangencia. a) b) c) d) e). a) 55° b) 60° c) 70° d) 75°. 40° 50° 100° 8° 90°. e) 4 0 “ 29. De la figura, calcular el valor de x. 26.. Si. M y. N. son. puntos. de. tangencia. y. a) b) c) d) e). m EM P = 160°, calcu lar x. a) 80° b) 100°. 80° 160° 100° 120° 140°. c) 120° 30.. d) 130° e) 110° 27.. Si A B e s diámetro, m CD PQ = 5, calcu lar Q B.. De la figura calcular x, si O es centro. a) b) c) d) e). = 90°: A P = 3;. 100° 120° 140° 150° 160° 1. e. A. a) 3 d )3 /2. tn u > <. P. b) 4 e) 412. c) 5. u. 2. 3. 4. 5. 6.. c b d c a. 7, b 8. 9. 10. 11. 12.. d d d c e. 13. d 14. b 15. 16. 17. 18.. a a b e. 19. c 20. 21. 22. 23. 24.. e c d b b. 25. 26. 27. 28.. c a b c. 29. c 30. c. y.

(44) PUNTOS NOTABLES ASOCIADOS AL TRIÁNGULO BARICENTRO. INCENTRO. E s el punto de concurrencia de las m edianas re s pecto a un triángulo. El baricentro o centro de gra vedad de una región triangular divide a una m edia na en la razón de 2 a 1 (midiendo desde el vértice). E s el punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. El incentro del triángulo, equidista de su s lados, por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo a cuyo radio se le denomina inradio del triángulo.. G : baricentro de ¡a región triangular A B C Propiedades: A G = 2GN. ;. BG = 2G L. ;. C G = 2GM. I : incentro del A A B C ; r : inradio del A A B C P, L y T: puntos de tangencia. ORTOCENTRO. Propiedades:. E s el punto de concurrencia de las alturas o su s prolongaciones en un triangulo. La posición del ortocentro respecto al triángulo de pende de la naturaleza del triángulo.. m Z A IC - 90° + m- A B C 2. n = p- a. p: sem lperím etro de la región triangular A B C .. EXCENTRO A A B C : acutángulo H: ortocentro del A A B C. E s el punto de concurrencia de las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz de un ángulo interior en un triángulo. El excentro del triángulo equidista de su s lados, por lo tanto, e s el centro de la circunferencia e xin s crita a dicho triángulo, a cuyo radio se le denomina exradio del triángulo.. A A B C : rectángulo, recto en B B: ortocentro del L A B C. Todo triángulo tiene tres excentros, tres circunfe rencias exin scritas y tres exradios; cada uno relati vo a un lado del triángulo.. A A B C : obtusángulo, obtuso en B C. H: ortocentro del A A B C C ircu n fere n cia e xinscrita ai A A B C relativo a B C. E a: excentro del A A B C relativo a B C R a: exradio del A A B C relativo a BC M, L y T: puntos de tangencia.

(45) 48. | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e. Propiedades: m Z A E aC =. m Z B E aC - 90°. m- B A C. m = p. p: sem iperím etro de la región triangular A B C A A B C : obtusángulo, obtuso en B.. CIRCUNCENTRO. O: circuncentro de! A A B C. E s el punto de concurrencia de ias m ediatrices de los lados de un triángulo.. R : circunradio del A A B C. El circuncentro del triángulo equidista de los vérti ce s, por lo tanto, e s el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, a cuyo radio se le denomi na circunradio del triángulo. La posición del circuncentro respecto al triángulo, depende de la naturaleza del triángulo.. TRIÁNGULOS ESPECIALES •. Triángulo mediano o com plem entarlo. E s aquel triángulo que se determ ina al unir los puntos medios de los lados de un triángulo dado.. M, N y L: puntos medios de A B , B C y A C , re s pectivam ente. A A B C : acutánguio. O: circuncentro del A A B C. A M N L: triángulo mediano o complementario del A A B C .. R : circunradio del A A B C Propiedades: El baricentro de un triángulo e s el baricen tro de su triángulo mediano El circuncentro de un triángulo e s el ortocentro de su triángulo mediano. Triángulo órtico o peda!. E s aquel triángulo que se determina al unir los pies de las alturas de un triángulo. Solo tienen triángulo órtico los triángulos oblicuángulos. B Circunferencia circunscrlla al [A A B C. A A B C : rectángulo, recto en B. O: circuncentro del A A B C R : circunradio del A A B C.

(46) G. e o m e t r ía. |. 49. A A B C : acutángulo; P, Q y R : pies de las altu ras del A A B C . A P Q R : triángulo ortico o pedal del A A B C . Propiedades: •. E l ortocentro de un triángulo acutángulo e s el ¡ncentro de su triángulo órtico. Lo s vértices de un triángulo acutángulo son los excentros de su triángulo órtico. => a + c = b + 2r. =>. RECTA DE EULER En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, bari centro y circuncentro son colineales y la recta que los contiene es denom inada “recta de E u le r”.. a +c - b 2. TEOREMA DE PITOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferen cia, la sum a de las longitudes de su s lados opues tos son iguales.. H, G y O son el ortocentro, baricentro y circuncen tro del A A B C , respectivam ente.. ZCABCD: circunscrito a la circunferencia .-.. a + c = b + d. L: recta de E u ler del A A B C. TEOREMA DE STEINER. Propiedades: En todo triángulo se cumple que la distancia de un vértice al ortocentro e s el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto a dicho vértice. En la figura, se cumple: BH = 20M. En todo cuadrilátero exlnscrito, la diferencia de las longitudes de su s lados opuestos son iguales.. AH = 2 0 N. En todo triángulo se cumple que la distancia del ortocentro al baricentro es igual al doble de la distancia del baricentro al circuncentro. En la figura, se cumple:. Z>ABCD: exlnscrito a la circunferencia a - c = b - d. HG = 2G O. EJERCICIO S RESUELTOS. TEOREMA DE PONCELET En todo triángulo rectángulo se cum ple que la sum a de las longitudes de su s catetos e s igual a la sum a de la longitud de su hipotenusa y el doble del inradlo de dicho triángulo.. 1.. En un triángulo A B C , por su incentro se traza una recta paralela al lado A C que corta a los lados A B y B C en los puntos M y N . Hallar MN, si: AM = 5 y NC = 4.