Guia1derivadas

P1.- Usando la definición de derivada calcule las siguientes derivadas:

a) y =x3 b)

x

y= 1 c) y=sen2x d) y=x4+3x2−6

P2.- Usando la definición, diga si las funciones son derivables en los puntos que se indican:

a) f(x)= x;a=0 b) ( )= ;a=0

x x x

f c) f(x)= lnx;a=1.

d) f(x)=3x +1;a =0 e) ( )=3 −2; =2

a x x

f f) f(x)=5 x3;a=0

P3.- Sea: ⎩ ⎨ ⎧ > + ≤ + + = 1 2 1 1 ) ( 2 x si a bx x si b ax x f

Determine a y b ∈IR para que f sea derivable en x = 1.

P4.- Obtenga la derivada de las siguientes funciones:

a) ( ) sen₂

x x x

f = b) f(x)= x⋅tgx c) a b IR

x x b x a y ∈ ⋅ − = ; , 3 3 2

d) f(x)=(x2+1)arctgx e) y= x3arcsenx f) f(x)=ln(tgx)

g) x xe x e y _x x arctg sen + +

= h) _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = x y 1 1 sen2

i) y=5cosx

j) )

3 (arctg

ln5 ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x

y k) y=ln(sen(x2+1)+xtgx)

l) y= x+ x+ x m) y =arctg(ln(x))+ln(arctgx)

n) y =( tgx)x+1 o) y=senxcosx+cosxsenx.

P5.- Derivar implícitamente las expresiones que se indican ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx dy :

a) y x−x y =16 b) xseny= ycosx c) 2 ( )( 2 2)

y x y x

y = − +

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2

P6.- Obtenga f(n)(x),n∈IN para las funciones que se indican:

a) f(x)= xex b)

1 1 ) (

+ =

x x

f c) f(x)=senx

d) f(x)=cosx e) f(x)=ln(x2+x−2) f) f(x)=lnx g)

d cx

b ax x f

+ + =

)

( h)

1 )

( ₂

− =

x x x

f

P8.- Demostrar que la función dada satisface la ecuación respectiva:

a) y xe xy x y

x

) 1 ( '

; 2

2 2

− =

= − b) y xe x xy x y

) 1 ( '

; = −

= −

c) y=xsenx;x2y''−2xy'+(x2+2)y=0 d) y =ex;y''+xy'−y=xex e) y =senx+2cosx;y' ''+y''+y'+y=0

P9.- Obtenga ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

dx dy

para las funciones dadas en forma paramétrica.

a) x=a(t−sent);y=a(1−cost)

b) x=2ln(cotgt);y =tgt+cotgt

c) x=e2t;y=e−2t

d) x=t3+3t+1;y=t3−3t+1

e) x=etcost;y=etsent

P10.- Sea f la función definida por:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= ≠ −

− =

1 si 2

1 si 1

1 )

(

2

x x x

x x f

P11.- Sea f la función definida por f(x)=x⋅ x .

a) Demuestre que f'(0)=0

b) Defina f'.

c) ¿Es f'continua en 0? d) ¿Es f’ derivable en 0?

P12.- a) Halle ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

2 '

π

f si ( ) sen2( tg(cos ))

x x

x

f = −

b) Halle f'(−2) si f(x)= x2− x

P13.- Demuestre que

2

2 x

e x

y= satisface la ecuación diferencial y ex dx

dy dx

y

d _{− + =}

2

2 2

.

P14.- Suponga que la ecuación

4 )

1

arctg( +x2 −xy2 =esenx−y+

π

dx dy

.

P15.- De un ejemplo de una función f :IR→IRla cual satisface en cada caso:

a) f'(x)=0;∀x∈IR

b) f'(x) existe ∀x∈IR, x≠−1;x≠1 y no existen f'(1) y f'(−1)

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4

APLICACIONES

P1.- Sea 1

2 1 3 2 )

(x = x3+ x2−x−

f . Hallar los puntos de la gráfica de f en que la pendiente de la

recta tangente en ese punto sea igual a:

a) 0 b) –1 c) 5.

P2.- Sea f x =x2+ax+b

)

( . Hallar los valores de a y b tales que la recta y=2x sea tangente a la gráfica de f en el punto ( 2, 4 ).

P3.- Hallar los valores de las constantes a, b y c para los cuales las gráficas de los dos polinomios c

x x

f = 3−

)

( y g x =x2+ax+b

)

( se corten en el punto ( 1, 2 ) y tengan la misma tangente.

P4.- Demostrar que la recta y =−x es tangente a la curva dada por la ecuación y=x3−6x2+8x. Hallar los puntos de tangencia.

P5.- Sea f(x)=x−x3. Hallar las constantes m y b de modo que la recta y=mx+b sea tangente a la gráfica de f en el punto ( -1, 0 ). Una segunda recta que pasa por ( -1, 0 ) es también tangente a f en el punto ( a, c ). Determinar las coordenadas a y c.

P6.- Existe un polinomio P(x)=ax3+bx2 +cx+d tal que:

10 ) 0 ( '' ; 1 ) 0 ( ' ; 2 ) 1 ( ) 0

( =P =− P =− P =

P

Calcular a, b, c y d.

P7.- Calcule el área del triángulo formado por el eje y, la tangente y la normal a la curva y2 =9−x en el punto de coordenadas ( 5, 2 ). Grafique.

P8.- Mediante derivación implícita, demuestre que si 3 2 3 2 3 2

a y

x + = entonces _' 3

x y y=−

P9.- Si x=e−t⋅sent ; y=et⋅cost. Encuentre dx dy

P10.- ¿En qué punto de la curva y =x x la tangente es paralela a la recta 3x−y+6=0?.

P11.- ¿Para qué valores de x la gráfica de f(x)=2x3−3x2−6x+87 tiene una tangente horizontal?.

P12.- ¿En qué punto de la curva y =x4 la recta normal tiene la pendiente 16?.

P13.- Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

4 tg

2 x

y

π

igual a1.

P14.- Supón que el radio r y el área A=

π

dt dA _y

dt dr _.

P15.- El radio r y la altura h de un cilindro circular recto se relacionan con el volumen del cilindro mediante la fórmula: V =

π

a) ¿Cómo se relaciona dt dV _con

dt

dh _{, si el radio es constante?}

b) ¿Cómo se relaciona dt dV _con

dt

dr _{, si la altura es constante?}

c) ¿Cómo se relaciona dt dV _con

dt dr _y

dt

dh _{, si ni el radio ni la altura son constantes?}

P16.- El radio r y la altura h de un cono circular recto se relacionan con el volumen del cono mediante la fórmula: V =

( )

π

a) ¿Cómo se relaciona dt dV _con

dt

dh _{, si el radio es constante?}

b) ¿Cómo se relaciona dt dV _con

dt

dr _{, si la altura es constante?}

c) ¿Cómo se relaciona dt dV _con

dt dr _y

dt

dh _{, si ni el radio ni la altura son constantes?}

P17.- Sean “x” e “y” funciones diferenciables de t, y sea s= x2+y2 la distancia entre los puntos (x, 0) y (0, y) en el plano xy.

a) ¿Cómo se relacionan dt ds _y

dt

dx _{, si y es constante?}

b) ¿Cómo se relaciona dt ds _con

dt dx _y

dt

dy _{, si ni x ni y son constantes?}

c) ¿Cómo se relacionan dt dx _y

dt

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6

P18.- El área de un triángulo con lados de longitudes a y b adyacentes a un ángulo que mide θ es:

θ

sen 2 1

ab

A=

a) ¿Cómo se relaciona dt dA _con

dt

d

θ

b) ¿Cómo se relaciona dt dA _con

dt d

θ

dt

da _{, si sólo b es constante?}

P19.- Calentamiento de un plato. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radio aumenta a razón de 0,01 cm/min. ¿Cuál es la razón de cambio del área cuando el radio mide 50 cm?

P20.- Cambio de dimensiones en un rectángulo. El lado “l” de un rectángulo disminuye a razón de 2 cm/s, mientras que el ancho “w” aumenta a razón de 2 cm/s. Cuando l = 12 cm y w = 5 cm , hallar las razones de cambio de:

a) El área

b) El perímetro

c) Las longitudes de las diagonales del rectángulo

d) ¿Cuáles de estas magnitudes disminuyen o aumentan?

P21.- Cambio de dimensiones en una caja rectangular. Suponga que las longitudes de las aristas x,y y z de una caja rectangular cerrada cambian de a razón de:

m/s 1

= dt dx

=−2m/s

dt dy

=1m/s

dt dz

Hallar las razones a las que cambian

a) El volumen

b) La superficie

c) La diagonal s= x2+y2+z2 de la caja en el instante en que x = 4, y = 3 y z = 2

P22.- Una escalera que resbala. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Cuando la base está a 3,7 metros de la casa, la base se aleja a razón de 1,5 m/s.

a) ¿Cuál es la razón de cambio del área del triángulo formado. Por la escalera, la pared y el suelo en ese instante?

P23.- Para las siguientes funciones, determine los puntos críticos, indicando si representan máximos, mínimos o ninguno de ellos.

a) y=x2+5x−1

b) y=x5−20x2+1

c) y=x3+3x+1

d) y=−x2+4x+2

e) y=x4−3x3+2

P24.- Estudie las siguientes funciones, indicando puntos críticos, máximos o mínimos, puntos de inflexión, intervalos de concavidad, monotonía y gráfica.

a)

1

2 + =

x x y

b) y=e−x2 c) y=x⋅e−x

d) ( )

2

1 x x

e e

y= − −

P25.- Dada la función _{( )} 2 x e x x f

−

⋅

= determine:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Máximos y mínimos de f, si es que existen. c) Puntos de inflexión de f, si existen.

d) Intervalos de concavidad.

P26.- Hallar el área del mayor rectángulo que puede construirse con su base en el eje x y con los vértices en la curva llamada Bruja de Agnesi, definida por:

2 2

3

4 8 ) (

a x

a x

f

+

= , donde a es una constante.

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8

P27.- Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L’Hopital:

a) ₃

0

2 )

2 (

x x e x lim

x x

− − ⋅ −

→

b)

)) ln(cos(

)) ln(cos(

0 _bx

ax lim

x→

c) ₂

0

1 tg

x x c x lim

x

− ⋅

→

P28.- Aplicando L´Hopital, hallar la constante c de modo que ⎟ =4

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− +

∞ →

x

x _{x c}

c x

lim .

P29.- Calcular:

a) ; >1 ∞

→ _x a

a lim _b

x

x

b) x x

x

lim sen

0(1−2 )

→

c) (1ln)

0 x e x lim

x

+