ases22009-1limites.pdf

(1)

PARTE I

Calcular los siguientes límites:

1a.

lim

1b.

lim

√

1c.

lim

1d.

lim

√

1e.

lim

1f.

lim

√ √

Resolución

En todos estos casos, al evaluar el límite encontramos la forma indeterminada

. Lo recomendable en estos casos es buscar, tanto en el numerador como en

el denominador, el factor generador del cero.

En general, si

lim

el factor generador del cero es “ ”.

1a.

lim

Evaluando tenemos

Buscamos el factor generador del cero, en este caso “ 3”. Para ello factorizamos el numerador y denominador:

lim

Simplificamos el factor “ 3”

lim

Evaluando obtenemos:

1b.

lim

√ Evaluando tenemos

Buscamos el factor generador del cero, en este caso “ 2”

(2)

lim

√ √

√

Aplicamos diferencia de cuadrados en el numerador:

lim

√

lim

√

lim

√ Evaluando obtenemos:

1c.

lim

Evaluando tenemos

Buscamos el factor generador del cero, en este caso “ 1”. En el numerador factorizamos usando el método de Ruffini y en el denominador aplicamos la diferencia de cubos.

lim

1d.

lim

√

Buscamos el factor generador del cero, en este caso “ 5”. Para ello multiplicamos numerador y denominador por su conjugada correspondiente:

lim

√

√ √

Agrupamos convenientemente

lim

√

√ √

(3)

Aplicamos diferencia de cuadrados en los dos primeros factores del numerador y denominador.

lim

√

lim

√

lim

√

3

1e.

lim

Evaluando tenemos

Buscamos el factor generador del cero, en este caso “ 5”. Para ello damos mínimo común múltiplo, tanto en el numerador como en el denominador.

lim

Simplificamos el factor “2( 5 ” y efectuamos el producto de extremos y medios:

lim

1f.

lim

√ √ Evaluando tenemos

(4)

directamente, haremos un artificio. Restamos y sumamos 2 en el numerador.

lim

√ √

Descomponemos en dos fracciones homogéneas:

lim

√ √

En la primera fracción multiplicamos al numerador y denominador por la conjugada del numerador, en la segunda fracción multiplicamos al numerador y denominador por el factor racionalizante del numerador.

lim

√ √

√

√ √ √

√ √

Aplicamos diferencia de cuadrados en la primera fracción y suma de cubos en la segunda fracción.

lim

√ _√ _√

Operando tenemos:

lim

√ _√ _√

lim

√ _√ _√

(5)

PARTE II

1i.

lim

1j.

lim

√

1b.

lim

| |

Resolución

1i.

lim

Evaluando tenemos

∞

1j.

lim

√

Evaluando tenemos

∞

1b.

lim

| |

Cuando se presenta el caso del límite de una función que contiene valor absoluto es conveniente determinar el punto crítico. Este se encuentra igualando a cero lo que está dentro del valor absoluto.

En este caso: 0

Si, como en este caso, el punto crítico coincide con el valor al que tiende la variable debemos desdoblar el valor absoluto y analizar los límites laterales.

⎩ ⎨ ⎧

< −

≥ =

0 x si x

x

Luego diremos que el límite

lim

| | existirá siempre y cuando los

(6)

lim

2 | |

lim

2 | |

lim

2 lim

2

0 lim

2

2 lim

2

0 lim

2

Evaluando el límite por la izquierda resulta -∞ mientras que el límite por la derecha resulta 1. Dado que los límites laterales no son iguales concluimos

que el límite

lim

| | no existe.

PARTE III

1k.

lim

1l.

lim

1m.

lim

√

Resolución

Al evaluar el límite encontramos la forma indeterminada ±∞_∞. Lo recomendable en estos casos es dividir numerador y denominador por la variable elevada al mayor grado de la expresión racional. Lo que se busca es generar fracciones donde el denominador contenga la variable elevada a un exponente positivo. De esta forma, si la variable tiende al infinito, la inversa de la variable tenderá a cero.

(7)

Dividimos numerador y denominador por

lim

Descomponemos

lim

1l.

lim

Evaluando tenemos ∞_∞

lim

Descomponemos

lim

1m.

lim

√

lim

Introducimos la variable “ ” en cada radical

L

lim

Descomponemos y simplificamos

(8)

PARTE IV

1n.

lim

√4

5

2

1g.

lim

Resolución

Aquí encontramos la forma indeterminada

∞

. Lo recomendable en estos casos es operar convenientemente la expresión hasta llegar a alguna de las formas indeterminadas anteriores.

1n.

lim

√4

5

2

Evaluando tenemos

∞

Multiplicamos por la conjugada:

lim

√4

5

2

√

Operamos la diferencia de cuadrados en el numerador:

lim

_√ Simplificamos

lim

_√

Evaluando tenemos

lim

4 2 5 2

lim

4 5

(9)

lim

PARTE V

1o.

lim

1

5

1j.

lim

Resolución

En estos casos, al evaluar el límite encontramos la forma indeterminada 1∞. Lo recomendable en estos casos es transformar el límite hasta darle la

siguiente forma:

lim

_∆

1 ∆

∆ el mismo que es igual a

.

1o.

lim

1

5

Evaluando tenemos 1∞

Llamaremos “residuo” al término

∆ 5

A continuación, buscamos que en el exponente aparezca el inverso del

residuo, es decir

∆

lim

1

5

(10)

lim 1

5

… (I)

Analicemos el límite de la base:

lim 1

5

Nótese que cuando 0 el residuo

5

tiende a cero. Luego en la base

ya tenemos un límite de la forma

lim

_∆

1 ∆

∆ el cuál podemos reemplazar por . Entonces .

Analicemos ahora el límite del exponente:

lim

10 lim 10

10

Finalmente en la expresión (I) obtenemos:

Observación:

En los casos que se presenten límites de la forma indeterminada 1∞ podemos abreviar el proceso seguido en la pregunta anterior aplicando el siguiente teorema:

Si lim 1 , lim ∞; entonces lim

1j.

lim

Evaluando tenemos 1∞

Aplicando el teorema anterior, tenemos:

2 1

2

1

_Operando

1 2

(11)

PREGUNTA 2

f es una función definida por:

2 x x b ax x x ) x ( f ₂ 3 4 − + + + +

= , si se sabe que:

5 ) x ( f lim 2

x→− = , hallar los valores de “a” y “b”.

Resolución

Por dato: limf(x) 5

2 x→− =

5 2 x x b ax x x lim

L 4 ₂ 3

2

x + − =

+ + + =

−

→ … (α)

Nótese que al evaluar el límite tenemos una fracción de la forma 0

b a 2 8− +

. De

acuerdo al dato, el verdadero valor de esta fracción es 5, lo cual solo sería posible si la función f(x) contiene – tanto en el numerador como en el

denominador - el factor generador del cero “x+2”.

El denominador x2₊x₋2_{se factoriza por aspa simple:}₍_x₊₂₎₍_x₋₁₎

Factorizamos el numerador x4 ₊x3 ₊ax₊b_{usando la Regla de Ruffini:}

1 1 0 a b

-2 -2 2 -4 -2(a-4)

1 -1 2 (a-4) b-2a+8

Para que el numerador admita el factor “x+2” se debe cumplir que el residuo sea igual a cero:

0 8 a 2

b− + = … (I)

El numerador factorizado queda: (x₊2)(x3 ₋x2₊2x₊(a₋4))

En (α): 5

) 1 x )( 2 x ( )) 4 a ( x 2 x x )( 2 x ( lim

L 3 2

2

x + − =

(12)

5 ) 1 x ( )) 4 a ( x 2 x x ( lim

L 3 2

2

x − =

− + + − = − →

Evaluando tenemos: 5

1 ) 2 ( )) 4 a ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2

( 3 2

= − − − + − + − − − 5 3 a 20 ₌ − + − 5

a = En (I): b=2

PREGUNTA 3

Si lim

[

x 2 x2 mx 3

]

3

x→+∞ + − + + = , hallar el valor de “ m ”.

Resolución

Nótese que al evaluar el límite tenemos la forma ∞−∞. Sin embargo de acuerdo al dato, el verdadero valor de este límite es 3. Levantaremos la indeterminación siguiendo el procedimiento seguido en la parte IV.

[

][

_[

]

_]

3

3 mx x ) 2 x ( 3 mx x ) 2 x ( 3 mx x ) 2 x ( lim L 2 2 2

x ₊ ₊ ₊ ₊ =

+ + + + + + − + = +∞ →

[

]

[

]

3

3 mx x ) 2 x ( ) 3 mx x ( ) 2 x ( lim L 2 2 2

x ₊ ₊ ₊ ₊ =

+ + − + = +∞ →

[

]

[

]

3

3 mx x ) 2 x ( ) 3 mx x ( ) 4 x 4 x ( lim L 2 2 2

x ₊ ₊ ₊ ₊ =

+ + − + + = +∞ → 3 3 mx x 2 x 1 x ) m 4 ( lim L 2

x ₊ ₊ ₊ ₊ =

+ − =

+∞

→

(13)

3 x 3 mx x x 2 1 x 1 ) m 4 ( lim L 2

x ₊ ₊ =

+ + + − = +∞ → 3 x 3 mx x x 2 1 x 1 ) m 4 ( lim L 2 2

x ₊ ₊ =

+ + + − = +∞ → 3 x 3 x m 1 x 2 1 x 1 ) m 4 ( lim L 2 x = + + + + + − = +∞ →

Evaluando el límite tenemos: 3 1 1 ) m 4 ( = + − 2 m=−

PREGUNTA 4

Si lim

[

x2 ax bx

]

3

x→+∞ + − = , hallar los valores de “a ” y “ b ”.

Resolución

Si b>0 al evaluar el límite tendremos la forma ∞−∞, pero de acuerdo al dato el verdadero valor del límite es 3. Procederemos como en el ejercicio anterior.

[

][

_[

]

_]

3

bx ax x bx ax x bx ax x lim 2 2 2

x ₊ ₊ =

+ + − + +∞ →

[

]

[

]

3

bx ax x ) bx ( ) ax x ( lim 2 2 2

x ₊ ₊ =

− + +∞ → 3 bx ax x ax x ) b 1 ( lim 2 2 2

x ₊ ₊ =

+ −

+∞ →

(14)

Tenemos: 3 x ax x ax lim L 2

x ₊ ₊ =

= +∞ →

Dividimos numerador y denominador entre “x”

3 1 x ax x a lim 2 x = + + +∞ → 3 1 x ax x a lim 2 2 x = + + +∞ → 3 1 x a 1 a lim x = + + +∞

→ Evaluando tenemos: 2 3

a ₌ _a ₌₆

PREGUNTA 5

Si f(x)= 2x+3 ∧

h ) x ( f ) h x ( f lim ) x ( g 0 h − + =

→ , hallar “g(3)”.

Resolución h ) x ( f ) h x ( f lim ) x ( g 0 h − + = → h 3 x 2 3 ) h x ( 2 lim ) x ( g 0 h + − + + =

→ Evaluando tenemos la forma 0

0

Multiplicamos numerador y denominador por la conjugada del numerador

3 x 2 3 ) h x ( 2 3 x 2 3 ) h x ( 2 h 3 x 2 3 ) h x ( 2 lim ) x ( g 0

h ₊ ₊ ₊ ₊

+ + + + + − + + = → ) 3 x 2 3 ) h x ( 2 ( h ) 3 x 2 ( 3 ) h x ( 2 lim ) x ( g 0

h ₊ ₊ ₊ ₊

+ − + + = → ) 3 x 2 3 ) h x ( 2 ( h h 2 lim ) x ( g 0

h + + + +

=

(15)

3 x 2 3 ) h x ( 2 2 lim ) x ( g 0

h ₊ ₊ ₊ ₊

= → Evaluando obtenemos: 3 x 2 3 x 2 2 ) x ( g + + +

= Finalmente

3 x 2 1 ) x ( g + = PREGUNTA 6

Se estima que dentro de “t” años, la población del país será de

t 06 . 0 e 12 8 80 ) t ( P ₋ +

= , millones de habitantes.

a) ¿Cuál es la población actual?

b) ¿Cuál será la población dentro de 50 años?

c) ¿Después de cuanto tiempo la población será de 5 millones de habitantes?

d) ¿Qué le sucederá a la población a largo plazo?

Resolución

a) Población actual: P(0)

4 e 12 8 80 ) 0 (

P ₀_.₀₆₍₀₎ = +

= ₋ millones de habitantes

b) Población dentro de 50 años: P(50)

31 . 9 e 12 8 80 ) 50 (

P ₀_.₀₆₍₅₀₎ = +

= ₋ millones de habitantes

c) Población será de 5 millones de habitantes: P(t)=5

5 e 12 8 80 t 06 . 0 = + − t 06 . 0 e 12 8 16₌ ₊ −

12 / 8 e−0.06t ₌

) 12 / 8 ln( t 06 . 0 =

(16)

d) A largo plazo: limP(t)

t→∞

10 e

12 8

80 lim ₀_.₀₆_t