PROGRAMACIÓN LINEAL
INTRODUCCIÓNLa Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costes.
La Investigación Operativa es una moderna disciplina científica que se caracteriza por la aplicación de teoría, métodos y técnicas especiales, para buscar la solución de problemas de administración, organización y control que se producen en los diversos sistemas que existen en la naturaleza y los creados por el ser humano, tales como las organizaciones a las que identifica como sistemas organizados, sistemas físicos, económicos, ecológicos, educacionales, de servicio social, etc
Para resolver estos problemas la investigación de operaciones los agrupa en dos categorías básicas:
Problemas Deterministicos: son aquellos en que la información necesaria se conoce para obtener una solución con certeza
Problemas Estocásticos: son aquellos en los que parte de la información necesaria no se conoce con certeza, como es el caso de los deterministicos, sino que más bien se comporta de una manera probabilística.
La elaboración del problema esta subdividida en fases obligatorias, las principales son: 1. Examen de la situación real y recolección de la información;
2. Formulación del problema, identificación de las variables controlables y las externas (no controlables) y la elección de la función objetivo, a ser maximizada o minimizada;
3. Construcción del modelo matemático, destinado a dar una buena representación del problema; debe ser fácil de usar; representar el problema, dando toda la información para poder tomar una decisión lo más idónea posible;
4. Resolución del modelo (mediante diferentes modalidades);
5. Análisis y verificación de las soluciones obtenidas: se controla si la función objetivo ofrece las ventajas esperadas; se verifica la representatibilidad del modelo; y, se efectúan análisis de sensibilidad de la solución obtenida.
6. Utilización del sistema obtenido para su posterior uso
La resolución de un modelo analítico de I.O., se apoya matemáticamente sobre una o más de las siguientes teorías (entre las más usadas):
Teoría de juegos; teoría de colas de espera; teoría de la decisión; teoría de los grafos; programación lineal;
probabilidad y estadística matemática; programación dinámica
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES
Suponga que un consumidor recibe un ingreso fijo de $60 semanales y los utilizan en la compra de los productos A y B. Si X kilogramos de A cuesta $2 por kilogramo y Y kilogramos de B cuestan $3 por kilogramo, entonces
2 + 3 = 60 donde , ≥0
Las soluciones de esta ecuación, llamada ecuación de presupuesto, dan las posibles combinaciones de A y B que pueden ser compradas con $60. La gráfica de esta ecuación es la recta de presupuesto. Observe como (15,10) pertenece a la recta. Esto significa que si compra 15kg. De A, entonces deben comprarse 10kg. De B para un costo total de $60.
Por otro lado suponga que el consumidor no necesariamente desea gastar todos los $60. En este caso las posible combinaciones están descritas por la desigualdad
2 + 3 ≤60 donde , ≥0
Para una desigualdad de dos variables, la solución está representada por lo regular por la región en el plano coordenada.
DEFINICIÓN
Una desigualdad línea con dos variables x y y puede ser escrita en la forma + + < 0 ( ≤0,≥0, > 0)
Donde a, b y c son constantes y a y b no son ambas cero.
Geométricamente, la solución de una desigualdad lineal en x y y consiste en todos los puntos (x, y) en el plano cuyas coordenadas satisfacen dichas desigualdad. Por ejemplo, una solución de + 3 < 20 es el punto (-2,4), ya que la sustitución da:
−2 + 3(4) < 20
10 < 20 La cual es verdadera
Es claro que existe un número infinito de soluciones, esto es común en toda desigualdad lineal.
Para considerar a las desigualdades lineales en general, primero notemos que la gráfica de una recta = + separa al plano en tres partes distintas:
1. La recta misma, que consiste en todos los puntos (x,y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación
= +
2. La región encima de la recta, que consiste en todos los puntos (x,y) cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad
> +
Esta región es llamada semiplano abierto
3. El semiplano abierto por debajo de la recta, que consiste en todos los puntos (x,y) cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad
< +
En la situación donde la desigualdad estricta < es remplazada por ≤, la solución de ≤ + consiste en la recta = + así como el semiplano por debajo a ella. En este caso decimos que la solución es el semiplano cerrado. Se puede hacer un enunciado semejante cuando > se remplaza por ≥. Para una recta vertical x=a hablamos de un semiplano a la derecha x>a de la recta o a la izquierda x<a. Como cualquier desigualdad lineal con dos variables puede ser puesta en una de las formas que hemos estudiado, podemos decir que la solución de una desigualdad lineal debe ser un semiplano.
SISTEMA DE DESIGUALDADES
La solución de un sistema de desigualdades consiste en todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen de manera simultánea todas las desigualdades dadas. Geométricamente, es la región común a todas las regiones determinadas por las desigualdades.
EJERCICIOS PROPUESTOS No.16
1. Resolver los siguientes sistemas de desigualdades de dos ecuaciones mediante el método gráfico a. 3 −−3 > 92 < 6
b. 2 + 3 ≤6
≥0 c. −−3 < 6>−3
d. 22 ≤−32−≥2
2. Resolver los siguientes sistemas de desigualdades de tres ecuaciones mediante el método gráfico
− > 4
= +
< +
c. + > 1 3 −5≤ < 2 d. 3 + >−6 − >−5 ≥0
3. Si un consumidor quiere gastar no más de P dólares en la compra de las cantidades x y y de dos productos que tienen precios p1 y p2 dólares por unidad, respectivamente, entonces 1 + 2 ≤ en donde , ≥0. Encuentre geométricamente las posibles combinaciones de dichas compras determinando la solución de este sistema para los valores dados de p1=5, p2=3 y P=15
PROGRAMACIÓN LINEAL
Algunas veces se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones (o condiciones). Por ejemplo un fabricante puede querer maximizar una función de utilidad sujeta a las restricciones de producción impuestas por las limitantes sobre el uso de la maquinaria y mano de obra.
Ahora consideraremos como resolver tales problemas cuando la función que será maximizada o minimizada es lineal. Una función lineal en x y y tiene la forma:
= +
Donde a y b son constantes. También requeriremos de las correspondientes restricciones estén representadas por un sistema de desigualdades lineales (involucrando a ≥ y ≤) o ecuaciones lineales en x y y, además que todas las variables sean no negativas. Un problema que involucra a todas estas condiciones es llamado problemas de programación lineal.
La programación lineal fue desarrollada por George B. Danzing de final de la década de 1940, y fue utilizado primero por la Fuerza Aérea de Estados Unidos como ayuda a la toma de decisiones. Actualmente tiene una amplia aplicación en análisis industrial y económico.
En un problema de programación lineal, la función a ser maximizada o minimizada es llamada función objetivo. Aunque por lo regular existe un número infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas soluciones factibles o puntos factibles), la meta es encontrar una que sea una solución óptima (esto es, una que dé el valor máximo y mínimo de la función objetivo)
El análisis gráfico es una alternativa eficiente para enfrentar la resolución de modelos de Programación Lineal en 2 variables, donde el dominio de puntos factibles (en caso de existir) se encontrará en el primer cuadrante, como producto de la intersección de las distintas restricciones del problema lineal.
Una de las propiedades básicas de un modelo de Programación Lineal que admite solución, es que ésta se encontrará en el vértice o frontera (tramo) del dominio de puntos factibles. Es decir, si luego de graficar el dominio y evaluar los distintos vértices de modo de elegir "el mejor" candidato según sea nuestro caso (el valor de la función objetivo será la que nos permitirá discriminar cual es el mejor candidato dependiendo si estamos maximizando o minimizando).
INSTALACIÓN SOLVER DE EXCEL UTILIZANDO MICROSOFT OFFICE 2007 Paso 1: Seleccione el botón Office en la esquina superior izquierda.
Paso 2: Seleccione Opciones de Excel.
Paso 3: En el menú de la izquierda debe seleccionar Complementos y luego presionar el botón Ir
Paso 5: Probablemente se le pediría autorización para instalar el complemento. Seleccione Sí.
Paso 6: Si la instalación ha resultado satisfactoria el complemento Solver deberá estar disponible en la sección Datos de Excel.
EJERCICIOS PROPUESTOS No.17
1. Utilizando el Métodos Gráfico resuelva los siguientes problemas
a) Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste. Respuesta A=20 y B=30
b) Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es:
b. Dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.
c. Sabiendo que el precio de la dieta D1 es $2,5. y el de la dieta D2 es $1,45. ¿Cuál es la distribución óptima para el menor coste? Respuesta D1=20 y D2=30
c) Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?. Respuesta 20 de Paseo y 30 de Montaña. d) Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 Bolívares y a no
fumadores al precio de 6.000 Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio? Respuesta 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores
e) Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en $50 y el de la chaqueta en $40. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?. Respuesta 375 pantalones y 250 chaquetas
f) Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. Respuesta 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1
2. A través de Solver, compruebe las respuestas obtenidas en el ejercicio anterior. Capture las pantallas de configuración de la herramienta
