Teoría de Portafolios
Se invierte en 2 activos con riesgo. Retorno simple del activo A. Retorno simple del activo B.
Inversión inicial. Supuestos.
y son descritos por el modelo de retornos esperados constantes.
( ) ( ) ( )
[ ] el inversor busca un retorno esperado alto.
El inversor no buscará una varianza alta, i.e. ( ) , deberá ser baja.
El horizonte de inversión es de un periodo.
Portafolios
el peso invertido en el activo A. el peso invertido en el activo B.
Posición Larga
Posición Corta
o Supuesto
Retorno del Portafolio.
Distribución del Portafolio.
[ ] [ ]
( ) Al final del periodo de la riqueza es:
( ) ( ) ( ( ) )
Ejemplo: Posición larga
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
Otro ejemplo: Posición corta ( )( ) ( )( )
VaR del Portafolio
Se asume una inversión inicial de en y
Dado que el retorno “simple” ( ) ; para ( ) el ( ) es: ( )
Donde es el cuantil de la distribución de y a cuantil de ( )
Relación de , , .
excepto cuando
( )
[( ) ( ) ] Ejemplo: VaR del portafolio y VaR de los activos
Considerase una inversión inicial de . Calcular el 5%VaR del activo A y B ( ( ))
Y el promedio ponderado del VaR de los activos es
Graficar la frontera del portafolio. Script R
(Portafolio para 2 activos) >mu.A=.175
>mu.B=.055 >sig.A=0.2588 >sig.B=0.1140 >sig2.A=sig. >sig2.B=sig.
#Crea el Portafolio Frontera >X.A=seq(fron=-0.4, to =1.4, by=.1) >X.B=1-X.A
>mu.p=X.A*mu.A+X.B*mu.B
>sig2.p=X. 2*sig2.A+X. 2*sig.B+2*X.A*X.B*sig.AB Tenemos que min sig2.p
Frontera del Portafolio
Los distintos pesos en la inversión de los activos y :
La grafica de la frontera del portafolio depende de la correlación.
Portafolio con un activo libre de riesgo
retorno de un activo libre de riesgo (cete, t-bill, libor, etc.) ( )
( )
( ) retorno del activo
Portafolio del activo sin Riesgo y el activo Riesgoso. % Inversión de riqueza en libre de riesgo
% Inversión de riqueza en riesgoso
,
Retorno del Portafolio ( ) ( )
Distribución del Portafolio [ ] ( ) ( )
( )
Prima por riesgo
exceso sobre el retorno esperado del activo B.
Para un portafolio de T-bills y el activo B.
( )
retorno esperado del portafolio sobre T-bills
La prima por riesgo es una función creciente de la cantidad invertida sobre el activo B.
Inversión Apalancada
Pedir prestado a la tasa T-bill para comprar el activo B.
( )
Portafolio Frontera
( )
( )
donde ( )
exceso del retorno esperado del portafolio por unidad de inversión.
razón de Sharpe.
La razón de Sharpe es convenientemente usada para “rankear” (seleccionar) activos y los activos con más alta razón de Sharpe serán preferidos respecto a los de baja razón.
Portafolio eficiente con 2 activos riesgosos y un activo libre de riesgo.
Retornos “simples” sobre el activo A. Retornos “simples” sobre el activo B. Retorno de T-Bill
Supuesto:
y están descritas por el modelo de retorno esperados continuos. ( )
( ) ( )
El mejor portafolio con dos activos riesgosos y un activo libre de riesgo será el que tenga la mayor razón de Sharpe.
Gráficamente el portafolio ocurre cuando el portafolio tangente de la línea dibujada sobre el retorno libre de riesgo está sobre la frontera eficiente.
El portafolio que tiene la máxima razón de Sharpe es llamado “portafolio tangente” .
El teorema de separación de fondos mutuos.
El portafolio eficiente es una combinación de 2 portafolios (fondos mutuos), i.e., T-Bills y el portafolio tangente (portafolio del activo A y B que cuentan con la máxima razón de Sharpe). Encontrando el portafolio tangente.
sujeto a:
Usando el método de sustitución se tiene:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Características del portafolio.
( ) ( ) ( )
Portafolio eficiente.
Será el portafolio tangente más el T-Bill
porcentaje de la inversión en portafolio tangente.
porcentaje inversión en t-Bill.
+
( )
Los pesos de y son determinados por las preferencias de riesgo del inversor.
Ejemplo: Portafolio tangente para 2 activos.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
Portafolio eficiente.
( )
( )
( )
Para encontrar el portafolio eficiente con la misma (sd) riesgo que B entonces se tiene que determinar y tal que
entonces,
( )
Portafolio eficiente tiene
( )( ) ( )
( )( )
Si entonces, ( )( )
Algebra matricial para portafolios.
Ejemplo de 3 activos riesgosos.
Sea donde que denota el activo y se asume que ( ) y que la ( ) .
Portafolio “X” donde al peso de cada activo y .
El retorno del portafolio es:
Activo
A 0.0427 0.1 AB 0.0018
B 0.0015 0.1044 AC 0.0011
C 0.0285 0.1411 BC 0.0026
En álgebra matricial se tiene:
( )
(
)
( )
( )
( )
Suma de ponderaciones del portafolio
( ) ( )
Retorno del Portafolio
( ) ( )
Retorno esperado del portafolio.
( ) ( )
( ) (
) ( )
El portafolio se distribuye por:
( )
Covarianza entre 2 portafolios es retorno:
Covarianza: ( )
//Derivadas de una matriz
(
)
(
)
Cálculo del portafolio de min. var. Global
( )
sujeto a:
Usando Lagrangianos se tiene:
( )
( )
( )
( )
Escribiendo las condiciones de primer orden en forma matricial se tiene:
( ) ( ) ( )
( )
donde son los pesos del portafolio para el portafolio de mínima varianza global, y el retorno esperado
y la varianza
Portafolio eficiente de activos riesgosos:
Algoritmo de Markowitz.
Problema 1. Encontrar el portafolio que tiene el retorno esperado más alto para nivel de riesgo dado.
sujeto a:
sujeto a:
La función logarítmica asociada al problema 2 es:
( ) ( ) ( )
Las condiciones de primer orden:
( )
( )
( )
En notación matricial
(
) ( ) ( )
La solución para
donde son los pesos para el portafolio eficiente con
Calculando la frontera del portafolio
sujeto a
Sea donde es otro portafolio frontera
sujeto a
Donde el portafolio frontera puede ser representado como una combinación convexa de 2 portafolios frontera.
Sea cualquier constante. Entonces el portafolio frontera es:
( )
( )
( ) ( )
( )
Estrategia para graficar la frontera eficiente.
1. Da el portafolio de mínima varianza global igual al primer portafolio frontera.
sujeto a
y calcula
2. Encuentra el activo que tiene el retorno esperado mas alto. Da el retorno objetivo para ( ) y resuelve para:
sujeto a
( )
3. Crea la red de valores para inicialmente entre 1, -1 y calcula.
( ) ( )
4. Grafica contra , expande o contrae la red de valores de si fuese
necesario.
Encontramos el portafolio tangente.
El portafolio tangente es el portafolio de activos riesgosos que maximiza la pendiente de Sharpe.
sujeto a
En notación matricial es
( ) ⁄
El Lagrangiano para este problema es:
( ) ( )( ) ⁄ ( )
( ( ))
( ) ⁄ ( ) ⁄
( ( ))
( )
( )
Teorema de Separación de fondos mutuos.
Portafolio eficiente.
compartido de riqueza del portafolio tangente t.
compartido de riqueza en libre riesgo.
( )
Los pesos en y son determinados por las preferencias de los inversores con respecto al riesgo.
El VaR del portafolio.
Sea ( ) el vector de pesos del portafolio.
( )
( ) ⁄
