BOLETÍN DE PROBLEMAS TEMA 4
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS DIMENSIONAL
PROBLEMA 1: Se ha realizado un gran número de investigaciones sobre la transferencia de materia en flujo turbulento en conducciones. Esta situación podría corresponder al de un absorbedor continuo donde el componente de una mezcla líquida se absorbe sobre una corriente gaseosa (fluido controlante). Todos los estudios realizados coinciden en que el coeficiente individual de transferencia de materia (kc), que determina la velocidad del proceso de dicha transferencia de materia depende del diámetro interno de la columna (D), de la viscosidad (µ) y densidad (ρ) del fluido controlante, de la difusividad del soluto en la fase controlante (DAB) y del flujo másico del fluido controlante (G).
a) Establecer una correlación que relacione correctamente las variables que intervienen en el fenómeno de transferencia de materia e identificar los módulos obtenidos.
b) Se desea diseñar a escala industrial un sistema de absorción continuo homólogo (equipo semejante geométricamente y propiedades físicas iguales) al del experimento previo. Se desea utilizar una columna de diámetro interno de 1,5 m. Indíquese cuáles serían las condiciones de operación a escala industrial para que exista semejanza completa (semejanza en todos los módulos adimensionales) y cuál sería el valor del coeficiente individual de transferencia de materia en fase líquida en estas condiciones (tomar datos escala laboratorio del primer experimento).
c) Se ha montado un dispositivo experimental para verificar el resultado obtenido del análisis dimensional en el que una corriente de acetona desciende por gravedad por el interior de una columna de paredes mojadas, poniéndose en contacto con aire que asciende en régimen turbulento por el especio interior. Teniendo en cuenta los resultados de la tabla, determinar el factor ϕ y los exponentes “a” y “b”.
kc (m/s) D (m) DAB(cm 2
/s) μ(kg/m∙s) ρ(kg/m3) G (kg/m2∙s) 3,27E‐03 0,050 0,11 1,78E‐05 2,697 1,060 4,82E‐03 0,050 0,11 1,78E‐05 2,697 1,694 6,09E‐03 0,050 0,11 1,78E‐05 2,697 2,243 7,26E‐03 0,050 0,11 1,78E‐05 1,245 2,039 8,36E‐03 0,050 0,11 1,78E‐05 0,852 2,079
d) Se ha encontrado experimentalmente que se produce un incremento del 79 % en el coeficiente de transferencia de materia al duplicar el flujo másico ¿Cómo afectaría un incremento del 50 % en el diámetro de la columna al coeficiente si las demás variables permanecen constantes?
Datos: | kc | = Lt-1 ; | D| = L; | μ| =ML-1t-1; | ρ| =ML-3; | DAB| = L2t-1; | G| = ML-2t-1.
Solución: a)
b a
AB AB
c
G
D
D
D
D
k
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
μ
ρ
μ
ϕ
·
·
·
·
→
Sh
=
f
(
Sc
,
Re)
b) 1.09·10-4 m/s
c) Sh = 0.023 · Sc0.35 · Re0.83
PROBLEMA 2: Obtener mediante análisis dimensional una relación para la caída de presión de un fluido newtoniano que circula por una tubería de sección circular. Todos los estudios realizados previamente coinciden en que la pérdida de presión en una tubería (ΔP), depende del diámetro interno y longitud de la misma (D y L), la viscosidad (µ) y densidad (ρ) del fluido, la velocidad del fluido (u) y la gravedad (g).
a) Utilizando el método de Buckingham. b) Utilizando el método de Rayleigh.
Solución: ( ⇒ Eu = (Re, Fr, L/D)
PROBLEMA 3: Considérese una operación unitaria basada en la transferencia de calor de un fluido a través de una conducción. Cuando tanto los efectos de convección natural como los de convección forzada deben ser tenidos en cuenta, el coeficiente de transferencia de calor en un fluido (h) depende de la velocidad lineal de éste (u), una longitud característica (L), viscosidad (µ) y densidad (ρ) del fluido, conductividad térmica (k) y calor específico (Ce) de la fase en movimiento, el incremento de temperatura en ella ((T), el coeficiente de expansión cúbica (β) y la aceleración de la gravedad (g). Establecer los módulos adimensionales que intervienen en el proceso, considerando el Sistema Internacional, por los métodos de Rayleigh y Buckingham.
Datos: Tomar el producto (β·g) como una única variable.
Las dimensiones son: |h|=HL-2t-1T-1; |u|= Lt-1; |L|= L; |μ|=ML-1t-1; |ρ|=ML-3; |k|= HL-1t-1T-1 ; |cp|=HM-1T-1; |ΔT|= T, |β·g|= LT-1t-2.
Solución:
)
Re,
(Pr,
·
·
·
·
·
·
·
·
2 2 3Gr
f
Nu
g
T
L
L
u
k
C
k
L
h
e a b⎟
c⇒
=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
μ
β
ρ
μ
ρ
μ
ϕ
PROBLEMA 4: Un caso común en la industria química es la determinación del coeficiente de transferencia de calor para un fluido de refrigeración que circula por entre dos tuberías concéntricas de diámetros di (diámetro interno) y de (diámetro externo). Se pide:
a) Variables de las que depende este coeficiente de transferencia de calor.
b) Establecer una correlación que relacione correctamente las variables que intervienen en el fenómeno de transferencia de calor a través de tubos concéntricos.
c) Se ha encontrado experimentalmente que, cuando el flujo es turbulento, se produce un incremento del 50 % del coeficiente al duplicar la velocidad del fluido ¿Cómo afectaría un incremento del 50 % de la densidad del fluido al coeficiente si las demás variables permanecen constantes?
Solución:
·
·
·
·
·
(Pr,
Re,
e/
i)
c i e b i a e i
d
d
f
Nu
d
d
d
u
k
C
k
d
h
=
⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
μ
ρ
μ
ϕ
El coeficiente aumentará un 27 %.
PROBLEMA 5: El caso del análisis dimensional de un proceso de agitación es una situación geométricamente más compleja que la circulación de un fluido por una conducción. En este caso, considérese que la potencia requerida (P) para la agitación de un líquido en un tanque depende básicamente del diámetro del agitador (d), del diámetro del tanque (D), de la altura de líquido (H), del número de rotaciones del agitador por unidad de tiempo (N) y de las propiedades físicas del líquido.
a) Obtener una relación dimensionalmente homogénea entre la potencia requerida y estas variables.
b) Se ha encontrado experimentalmente que el consumo de potencia es proporcional al cuadrado de la velocidad de rotación ¿Cómo podemos esperar que aumente el consumo de potencia si se usa un agitador cuyo diámetro es el doble?
Datos: Las dimensiones son: |P|=ML2t-3; |d|= L; |μ|=ML-1t-1; |ρ|=ML-3; |N|=t-1.
Solución:
)
(Re,
·
·
·
·
·
2 3
5
Np
f
factores
de
formas
d
H
d
D
N
d
N
d
P
a b c⇒
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
μ
ρ
ϕ
ρ
El exponente a valdrá -1, con lo que la potencia se multiplica por 8.
PROBLEMA 6: La velocidad de filtrado (u) de una suspensión de partículas finas de sólido depende del diámetro de las partículas (d), de las propiedades físicas del fluido, de la diferencia de presión a través de la torta de filtrado (ΔP) y de la porosidad de la torta de filtrado (ε). Expresar la relación entre estas variables en forma de números adimensionales.
Se ha encontrado que la velocidad de filtración se duplica si la diferencia de presión se duplica ¿Cuál de sería el efecto de un aumento de la temperatura desde 293 a 313 K?
Datos: La viscosidad del fluido viene dada como: µ = µ0·[1-0,015·(T-273)], donde µ es la viscosidad a la temperatura T y µ0 es la viscosidad a 273 K.
Solución:
a
d
u
u
P
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ Δ
μ
ρ
ϕ
ρ
·
·
·
·
·
2
La velocidad de filtrado se incrementa un 16,6 %
PROBLEMA 7: La potencia requerida (P) para la agitación de un líquido en un tanque es función del diámetro del agitador (d), del número de rotaciones del agitador por unidad de tiempo (N), de las propiedades físicas del líquido y de la aceleración de la gravedad (g).
a) Obtener una relación dimensionalmente homogénea entre la potencia requerida y estas cinco variables.
b) La escala se va a aumentar 100 veces, empleando el mismo fluido ¿Cómo habrá que modificar el resto de variables para que exista similitud dinámica entre ambas escalas?
Datos: Dimensiones |P|=ML2t-3; |d|= L; |μ|=ML-1t-1; |ρ|=ML-3; |N|=t-1; |g|=Lt-2.
Solución: a)
·
·
·
·
(Re,
)
·
·
2 2
3
5
Np
f
Fr
g
N
d
N
d
N
d
P
a b=
⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
μ
ρ
ϕ
ρ
PROBLEMA 8: Se pretende calentar un fluido que circula por el interior de una conducción cilíndrica, suministrándole energía calorífica (Q) desde el interior. El caudal de calor que se le puede aportar al fluido viene determinado por las características de éste, y se expresa a través de un coeficiente de transmisión de calor individual. En los experimentos previos al estudio sobre transmisión de calor se ha encontrado que el coeficiente individual medio (h) depende del diámetro del tubo (D), la velocidad lineal del fluido (u), viscosidad (µ) y densidad (ρ), calor específico (Ce) y conductividad térmica (k),
a) Determinar los módulos adimensionales que intervienen.
b) Si se desea diseñar un equipo de 5 m de diámetro para un sistema industrial homólogo (equipos semejantes geométricamente y propiedades físicas iguales) al del experimento primero, cuyos datos están presentes en la tabla, indíquese cuáles serían las condiciones de operación a escala industrial para que exista semejanza estricta (semejanza en los números de Reynolds y Prandtl) ¿Cuál sería el valor del coeficiente individual medio en dicho equipo en estas condiciones?
c) Suponiendo que los módulos obtenidos se pueden relacionar mediante una función potencial del tipo π1 = C· π2x·π3y, siendo π1 el único número adimensional que incluye el coeficiente h, calcúlese el valor del factor de forma C y de los exponentes x e y que se corresponderían con los siguientes resultados experimentales:
d) Aplicar la ecuación obtenida para calcular el coeficiente individual medio que tendría un equipo industrial semejante geométricamente al empleado en el laboratorio, pero con 3 m de diámetro, que operase a una velocidad de 200 m/h y emplease el mismo fluido del experimento.
Solución: a)
·
·
·
u
·
D
·
Nu
f
(Pr,
Re)
k
C
k
D
h
e a b⇒
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
μ
ρ
μ
ϕ
b) Semejanza estricta implica igualdad de los módulos de Prandtl y Reynolds en ambas escalas. Además, al tratarse de sistemas homólogos, las propiedades físicas deberán ser iguales. Los módulos de Prandtl serán siempre iguales, al tratarse de una combinación de propiedades físicas. Por tanto, sólo será necesario igualar los módulos de Reynolds, lo que da un valor de u para el equipo industrial de 12.9 m/h. Igualando ambos nº de Nusselt se obtiene un valor de h de 9,7 kcal/h·m2·ºC.
c) Es muy importante comprobar que todos los valores de la tabla están en el mismo sistema de unidades. Linealizar la función potencial: ln Nu = ln ϕ + a · ln Pr + b · ln Re. Utilizar los experimentos 1, 2 y 3, donde Re permanece cte para calcular “a”. Utilizar 3, 4 y 5, en los que Re varía, para calcular “b” y ϕ. El resultado es: Nu = 0.023 · Pr0.4 · Re0.8.
d) h
ind = 96.28 kcal/h·m2·ºC. Nº de
exper
ρ (kg/m3) µ (cp)
Ce
(kcal/kg·ºC) (kcal/h·m·ºC) k D
(cm) u (m/h) h (kcal/hm2ºC)
1 1000 1.792 1.008 0.491 25 258 201
2 998 1.009 1 0.517 25 146 165
3 988 0.549 0.998 0.555 25 80 134
4 915 0.200 0.100 0.200 70 700 187
PROBLEMA 9: Shulman y colaboradores establecieron que el coeficiente de transferencia de materia en fase líquida (kL) para columnas de contacto gas-líquido con rellenos de sillas Berl o anillos Raschig dependía de las siguientes variables: difusividad del gas en la fase líquida (DL), diámetro equivalente de una esfera que tuviera la misma superficie efectiva que una pieza de relleno (Dp), densidad (ρ) y viscosidad (μ) del líquido y flujo másico del mismo (GL).
a) Realizar el análisis dimensional correspondiente, identificando los módulos adimensionales que intervienen.
b) Se desea diseñar a escala industrial un sistema de absorción en columna contacto homólogo (equipo semejante geométricamente y propiedades físicas iguales) al del experimento previo, cuyos datos están presentes en la tabla. Se desea utilizar un relleno de anillos Raschig con diámetro equivalente 15 cm, indíquese cuáles serían las condiciones de operación a escala industrial para que exista semejanza completa (semejanza en todos los módulos adimensionales) ¿Cuál sería el valor del coeficiente de transferencia de materia en fase líquida en dicho equipo en estas condiciones?
c) Suponiendo que los módulos obtenidos se relacionan mediante una función potencial del tipo
π0 = ϕ ·π1a · π2b, siendo π0 el único número adimensional que incluye el coeficiente, kL, calcular el valor del factor ϕ y de los exponentes a y b que se corresponderían con los resultados experimentales de la tabla.
d) Calcular la relación entre los coeficientes de transferencia de materia correspondientes a un equipo de laboratorio y uno industrial semejantes geométricamente si, manteniendo constante las propiedades de los fluidos y las velocidades másicas en ambas escalas, se emplease una relación de tamaños de relleno igual a 3.
Solución: a)
b p L a
L L
p
L G D
D D
D k
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
μ ρ
μ
ϕ · ·
· · ·
⇒ Sh=φ(Sc,Re).
b) kL = 7,046·10-6 m/s
c) Sh = 1.17 · Sc0.34 · Re0.585.
d) klab / kind = 1.58.
nº ρ [kg/m3] μ [mPa·s] D
L [cm2/s] Dp [cm] GL [kg/m2·s] kL [m/s]
1 1000 1 2·10-5 1 100 1.057·10-4
2 1000 1 2·10-5 1 150 1.339·10-4
3 1000 1 3·10-5 1 200 2.077·10-4
4 1000 1 3.5·10-5 2 100 1.151·10-4
