DINÁMICA ROTACIONAL. Un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio cuando cumple con dos condiciones:

GUÍA 3 MECÁNICA 3° E

DINÁMICA ROTACIONAL Torque

Cuerpo rígido: Desde el punto de vista de la mecánica, se dice de aquel sólido que no sufre deformaciones permanentes cuando sobre el actúan cargas exteriores, como también de aquel sólido que no pierde su forma al sacarlo de sus apoyos.

Condición de equilibrio del sólido rígido

Un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio cuando cumple con dos condiciones: Primera condición de equilibrio:

Segunda condición de equilibrio

∑ 𝜏

= 0

Momento de inercia para un cuerpo de masa m

El momento de inercia corresponde a la resistencia que presenta un cuerpo a querer variar su velocidad angular, es decir, es la resistencia que presentan los cuerpos a adquirir aceleración angular. El momento de Inercia depende de la masa del cuerpo, de la distribución de la masa, de la forma del cuerpo y de la ubicación del eje de giro. El momento de Inercia se simboliza con la letra I y queda determinado por el producto entre la masa de un cuerpo y el cuadrado de la distancia a un determinado eje de giro, es decir:

Momento de inercia para un sistema de partículas:

Ejemplos de momentos de inercia:

El momento de inercia de una partícula de masa m a una distancia r del eje de rotación viene dado por:

𝐼 = 𝑚 ∙ 𝑟

El momento de inercia para un disco de radio R y masa M, cuyo eje de rotación pasa por centro perpendicularmente es

𝐼 =

𝑀 ∙ 𝑅

2

2

Ley fundamental de la dinámica de rotación

𝜏 = 𝐼 ∙ 𝛼

Algunos autores usan el símbolo M para nombrar al torque que también se le dice “momento de una fuerza”

Problemas Resueltos – Dinámica De Rotación

Problema 1. Determinar el torque generado por la fuerza de 130N respecto al pasador A indicado en la figura Indicada.

Solución:

El caso indicado corresponde a la condición más simple en el cálculo del torque ya que se trata de la aplicación directa de la formula fuerza por brazo, es decir:

𝝉 = 𝒃 ∙ 𝑭

Donde F representa el valor de la fuerza y b representa el brazo de giro que corresponde a la distancia perpendicular desde el eje de giro o pivote hasta la recta de acción de la fuerza, en este caso se tiene:

F = 130 N

b = 80 cm = 0,8 m

𝜏 = 0,8𝑚 ∙ 130 𝑁 = 104 𝑁 𝑚 Con sentido de giro horario

Problema 2. Para la barra indicada en la figura, determinar el valor de la fuerza F1 para que el torque resultante respecto al pivote o sea igual a 10Nm en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj.

Solución:

El torque resultante corresponde a la sumatoria de los torques respecto al punto O. Observando que la fuerza F1 genera el torque positivo y la fuerza de 80N genera el torque

negativo, se puede anotar:

∑ 𝜏 = 𝐹1∙ 64 𝑐𝑚 − 80𝑁 ∙ 20 𝑐𝑚

Como se sabe que el torque resultante es de 10Nm en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj (torque resultante positivo) se puede escribir:

𝐹1∙ 64 𝑐𝑚 − 80𝑁 ∙ 20 𝑐𝑚 = 10𝑁𝑚 𝐹1∙ 0,64𝑚 − 80𝑁 ∙ 0,2𝑚 = 10𝑁𝑚 𝐹1∙ 0,64𝑚 − 16𝑁𝑚 = 10𝑁𝑚 Despejando F1 resulta:

𝐹

=

𝐹

= 40,625 𝑁𝑚

Ley fundamental de la Dinámica de Rotación

𝜏 = 𝐼 ∙ 𝛼

Para entender esta ley que relaciona el momento de inercia I con la aceleración angular 𝛼, se debe partir de definiciones y relaciones más simples.

Velocidad angular 𝜔

𝜔 : Se define como el cociente entre el ángulo de giro y el tiempo transcurrido. 𝜔 =𝜃

𝑡

Donde el ángulo se mide en radianes y el tiempo en segundos en el Sistema Internacional de medidas (S.I.)

O también usando variaciones, la velocidad angular se expresa como 𝜔 =∆𝜃

∆𝑡

Cuando el giro comienza de un ángulo distinto de cero. La velocidad angular se expresa en radianes por segundo (rad/s)

Aceleración angular ∝

∝ : Se define como el cociente entre la velocidad angular y el tiempo transcurrido. ∝=𝜔_𝑡

Donde la velocidad angular se mide en radianes por segundo y el tiempo en segundos en el Sistema internacional de medidas (S.I.)

O también usando variaciones, la velocidad angular se expresa como

∝=∆𝜔_∆𝑡 Cuando la velocidad angular, al comenzar el giro, es distinta de cero. Es decir:

∝=

∆𝑡

La aceleración angular α se expresa en radianes por segundo al cuadrado (rad/s2₎

Relación entre la velocidad angular y la aceleración angular

𝜔𝑓

= 𝜔

+∝∙ 𝑡

Observe que la velocidad angular final se deduce de la definición de la aceleración angular. Ahora para todo tiempo t, la velocidad angular es entonces:

Relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular Usando la conocida relación 𝑣 = 𝑅 ∙ 𝜔 tenemos que:

La aceleración lineal, llamada también aceleración tangencial porque actúa por el borde del círculo siguiendo la dirección tangente a la circunferencia es la causa de que el objeto gire cada vez más rápido. Asociada con esta existe la llamada aceleración angular.

La aceleración se define como el cociente entre el cambio de velocidad y el tiempo transcurrido:

𝑎⃗ =∆𝑣⃗⃗ ∆𝑡

Pero este es un valor medio, para obtener la aceleración instantánea en cada instante, se requiere de elementos de matemática más avanzada. En todo caso existen dos componentes importantes:

La aceleración tangencial (lineal)

La aceleración tangencial sólo cambia la magnitud de la velocidad. 𝑎𝑇 = ∆𝑣 ∆𝑡= ∆(𝑅∙𝜔) ∆𝑡 = 𝑅∙∆𝜔 ∆𝑡 = 𝑅 ∙∝ Donde ∝= ∆𝜔 ∆𝑡 por definición.

La aceleración tangencial es igual al producto del radio de giro y la aceleración angular.

La aceleración tangencial se mide en m/s2

La aceleración centrípeta (normal)

La aceleración centrípeta sólo cambia la dirección de la velocidad

𝑣 es la magnitud de la velocidad (rapidez en m/s) y R es el radio de giro del cuerpo.

Relación entre el Torque y la aceleración angular

El torque τ por definición es el producto del brazo de palanca R y la fuerza perpendicular F,

Una fuerza realiza un torque cuando actúa de tal forma que puede originar un giro sobre el cuerpo.

Desarrollando el concepto de torque aplicando definiciones y relaciones, tenemos que: 𝜏 = 𝑅 ∙ 𝐹 = 𝑅 ∙ (𝑚 ∙ 𝑎) = 𝑅 ∙ 𝑚 ∙∆𝑣 ∆𝑡 = 𝑅 ∙ 𝑚 ∙ ∆(𝑅 ∙ 𝜔) ∆𝑡 = 𝑅 ∙ 𝑚 ∙ 𝑅 ∙ ∆𝜔 ∆𝑡 = 𝑚 ∙ 𝑅 2_{∙∝= 𝐼 ∙} ∝

La relación entre el torque y la aceleración angular.

El torque 𝜏 es el producto entre el momento de inercia 𝐼 y la aceleración angular∝.

𝝉 = 𝑰 ∙∝ 𝑎𝑁 = 𝑣2 𝑅 𝑎𝑇 == 𝑅 ∙∝ 𝜏 = 𝑅 ∙ 𝐹

EJERCICIOS

1) Un objeto gira con rapidez constante describiendo un círculo de radio R = 3m, si la rapidez angular es ω = 5 rad/s, determine la velocidad lineal “v” (tangencial) en m/s. 2) El momento de inercia de un disco de radio 5m y masa 8 kg viene dado en kg·m2 _por

3) Dos niños se encuentran en los extremos de un balancín de 2m de longitud. Uno de los niños Camilo tiene un peso de 200 N, el peso de Diego no se conoce. ¿Si la distancia al centro de giro del balancín donde se ubica Diego es de 0,4 m, ¿cuál debe ser su peso para equilibrarlo?

4) Un objeto de masa 15 Kg gira atado a una cuerda describiendo un círculo de radio 6m, luego el momento de inercia es:

5) Determine el momento de inercia de un disco de radio 5m y masa 10 kg.

6) Un disco de masa 8 kg y radio 1 m gira con velocidad angular de 4 rad/s, si la velocidad angular aumenta a 10 rad/s en un tiempo de 2 s, ¿cuál es la magnitud de la aceleración angular?

7) Un disco de 0,5 m de radio y 20 kg de masa puede rotar libremente alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por su centro. Se aplica una fuerza F de 9,8 N tirando de una cuerda atada alrededor del borde del disco.

a) Determine la aceleración angular.

b) La velocidad angular después de 5 s de comenzar el giro. Considere que el movimiento giratorio comienza del reposo.