Capítulo 2 Convergencia de sucesiones y series.

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Capítulo 2

Convergencia de sucesiones y

series.

2.1.

La de…nición de sucesión y ejemplos

El concepto matemático riguroso para estudiar procesos de aproximación es el concepto de sucesión:

De…nición 2.1. Por unasucesión de números realesentendemos una función que a cada número natural n le asocia un número real.an. Para indicar que se trata de una sucesión usaremos la notación_fang;fbng;fxng, etc. A cada uno de los valores de una sucesión se le denominatérmino de la sucesión

Al igual que en el caso de funciones, cuando es posible dar en forma analítica la regla que de…ne a la sucesión, uno describe a la sucesión dando dicha regla entre los símbolos de llaves_{f g}:

Ejemplo 2.1. La regla

n

n n+1

o

describe a la sucesión en la que cada tér-mino de la sucesión se obtiene evaluando la expresión _nn₊₁ en un número natural. El quinto término, por ejemplo, se obtendrá evaluando n

n+1 en n= 5, ₅₊₁5 = 5₆, el término1002es ₁₀₀₂₊₁1002 =1002₁₀₀₃, etc.

Problema 2.1. ¿Cuál es el término 248 de esta sucesión?

Ejemplo 2.2. Los términos de la sucesión descrita por la regla 2 3n 1 son 1 3; 4 6; 7 9; : : :

El término43de esta sucesión es 2

3(43) 1 = 127 129.

Problema 2.2. ¿Cuál es el término 248 de esta sucesión?

Ejemplo 2.3. Una clase de sucesiones especiales son las sucesiones con-stantes_fc_gcuyos términos son siemprec. Por ejemplo la sucesión_f2_gtiene como términos

f2;2;2; : : :_g

Con frecuencia y si la regla que de…ne a la sucesión lo permite, es con-veniente considerar al cero como un número natural o, si se quiere ser riguroso, considerar también como sucesión a las funciones con dominio N[ f0_gy considerar como primer término de la sucesión al término corre-spondiente an= 0.

Ejemplo 2.4. La sucesión 2₃ n tiene como primeros términos 1;2 3; 4 9; 8 27; : : :

Ejemplo 2.5. Una sucesión peculiar pero muy ilustrativa es la sucesión

f( 1)n_g, cuyos priemros términos son

f1; 1;1; 1;1; 1; : : :_g

si se empieza contando al 0 y, si uno inicia desde el 1, los primeros términos son

f 1;1; 1;1; 1;1; : : :_g

Cuando resulte ambiguo si la sucesión empieza desde 0 o desde el 1, usaremos la notación_fang1_n=0, para indicar que la sucesión empieza en0y

fang1n=1 en caso de que el primer término sea1.

No solo se usa la letran cuando se hace referencia a sucesiones, usual-mente letras comoi; j; k; l; m se reservan para denotar números naturales y se usan para representar sucesiones:

Ejemplo 2.6. a)

n

1 k(k+1)

o

es la sucesión cuyos primeros términos son 1 2; 1 6; 1 12; 1 20; : : : .

b)_fi_g es la sucesión cuyos primeros términos son_f1;2;3;4; : : :_g. c)_f2j_ges la sucesión cuyos primeros términos son_f2;4;6;8; : : :_g. d)_f2m 1_g es la sucesión cuyos primeros términos son_f1;3;5;7; : : :_g. Cuando pueda haber confudión en cuanto a que letra indica la vari-able que se considera para describir a la sucesión emplearemos la notación

fan;kg1_n=1 si la variable esnyfan;kg1_k=1 si la variable esk. Ejemplo 2.7. a)n 1

k(n+1)

o1

k=1, describe a la sucesión cuyos primeros tér-minos son n 1 n+1; 1 2(n+1); 1 3(n+1); 1 4(n+1); : : : o

. Mientras que si escribimos

n

1 k(n+1)

o1

n=1estaremos haciendo referencia a la sucesión 1 k2; 1 k3; 1 k4: 1 k5; : : : . b) m_n 1_m=0, describe a la sucesión 0;_n1;2_n;_n3 : : : y m_n 1_n=1 hace ref-erencia a la sucesión m;m 2; m 3; m 4; : : : .

Problema 2.3. De los primeros cuatro términos de las siguientes suce-siones: a) 1 1 n . b)_f3km_g1_m=0. c) j2 _. d)_fqn_g1

n=0 dondeqes un número real cualquiera. e) sen ₁₂ .

Con frecuencia una sucesión se describe indicando los primeros números que forman su imagen, esto es, indicando quienes son sus pripmeros térmi-nos.

Ejemplo 2.8. Muchas veces se escribe 1 2; 2 3; 3 4; 4

5; : : : para hacer referen-cia a la sucesiónn n n+1 o . Ejemplo 2.9. La sucesión fang= n ; 2;3; 4; : : : o

puede ser descrita con la regla general

fang= n n o Ejemplo 2.10. A la sucesión fxkg= 1; 1 2; 1 4; 1 8; 1 16; : : : le corresponde la regla fxkg= ( 1 2 k)

Ejemplo 2.11. En el caso de la sucesión

fbig=f1;8;27;64;125; : : :g la regla que le correponde es

fbig= i3

Problema 2.4. Encuentre la regla para las siguientes sucesiones a)_fang=f2;4;6;8; : : :g

b)_fbng=f1;3;5;7; : : :g c)_fcng=f4;7;10;13;16; : : :g d)_fdng= 1;1₃;1₅;1₇; : : : e)_feng= 1;1₄;1₉;₁₆1;₂₅1; : : :

Uno puede de…nir la suma, resta, multiplicación y división de sucesiones. De manera más precisa:

De…nición 2.2. Dadas sucesiones_fangyfbng de…nimos ) _fang=f ang )_fang+fbng=fan+bng )_fang fbng=fan bng )_fang fbng=fanbng ) fang fbng = n an bn o

Ejemplo 2.12. Considere las sucesiones n+1_n y_f2n_g, entonces, su suma, resta, multiplicación y división nos dan las sucesiones

n+ 1 n +f2ng = n+ 1 n + 2n = 2n2_{+n+ 1} n n+ 1 n f2ng = n+ 1 n 2n = 2n2_{+n+ 1} n n+ 1 n f2ng = n+ 1 n 2n = 2n2_{+ 2n} n n+1 n f2n_g = ( n1 n 2n ) = n+ 1 2n2

Problema 2.5.Efectue las siguientes operaciones con las sucesiones obtenidas en el problema 2.4.

a)_fang+fcng b)(fang fbng) +fcng c) _fanf_gc₊n_fg_bng d) 3f_fd_cn_ng_gf+_bf_nen_gg

2.2.

Convergencia de sucesiones

Daremos aquí la de…nición de convergencia de sucesiones, los criterios de convergencia y el comportamiento de algunas sucesiones importantes.

2.2.1.

De…nición y propiedades básicas

De…nición 2.3. Diremos que una sucesión_fang es convergente o que tiene límitesiexiste un númeroatal que para cada número" >0se puede dar unaN ₂Ntal que para todon N se cumple la desigualdad

jan aj< " En este caso uno escribe

l m

n!1an =aó an!a

y decimos que el límite de la sucesión esao que la sucesión_fangconverge aa.

Esta de…nición nos dice que los valores de los términos de la sucesión se van aproximando al númeroaconforme nse tomo más y más grande. Problema 2.6. ¿Como ilustraría en la recta númerica una sucesión con-vergente?

Ejemplo 2.13. a) La sucesión 1_n converge a0, esto es,

l m

n!1

1

n = 0

Para ver esto debemos mostrar que dado un número positivo " se puede dar unaN ₂Nde modo que para todon N se cumpla que

1

n 0 < "

En esta caso para el " dado elegimos N = 1_" + 1, donde 1_" indica la parte entera del número 1_". Resta ver que para todo natural mayor o igual a estaN se cumple la desigualdad. Puesto queN = 1_" + 1> 1_" se tiene que para todon N se cumple la desigualdad

n >1 " o, en forma equivalente

1

n < "

y como 1_n 0 = _n1 concluimos que para todo nmayor o igual que la N dada se cumple que

1

n 0 < "

Por lo general la demostración de que una sucesión converge a partir de la de…nición es relativamente fácil una vez que uno logra determinar para cada número positivo"cual debe ser laN que le corresponde a dicho número".

Una buena alternativa para encontrar laN que se requiere es partir de lo que se quiere demostrar. En el ejemplo anterior uno observa que para que se cumpla la desigualdad

1

n 0 < " basta con que 1

n < "o lo que es lo mismo n >1

"

Esto sugiere queN debe ser un poco más grande que 1

" y por eso elegimos N= 1

" + 1.

Por supuesto este argumentono demuestra nada pues se partió de lo que se quería demostrar. Sin embargo, nos da la pauta para poder mostrar la convergencia de la sucesión 1

Problema 2.7. Considere la sucesiónn3n+3 2n+1

o

. a) Adivine cual debe ser el límite de esta sucesión. b) Si penso en 3₂ le atinó.

c) Para el número positivo0;03¿Quién sería laN adecuada?

d) Para un número positivo" encuentre un valor de N para el que se cumpla la de…nición.

e) ¿Cuál debe ser el valor deN si el número positivo es " 3? f) Demuestre que la sucesión converge a 3

2.

Ejemplo 2.14. a) Cualquier sucesión constante_fc_ges convergente y con-verge al númeroc,

l m

n!1c=c

En efecto, para cualquier" >0basta elegirN = 1ya que para todon 1

se tiene que el términonde la sucesión esc y

jc c_j= 0< "

Antes de probar nuestro primer resultado sobre sucesiones requerimos del siguiente lema.

Lema 2.1. Si para cada número positivo"se cumple que_ju_j< ", entonces, u= 0.

Demostración. La demostración es por reducción al absurdo. Supongamos para cada número positivo " se cumple que _ju_j < " y u ₆= 0. Entonces, como_ju_j 0 yu₆= 0, tenemos que_ju_j>0. Y puesto que_ju_jes un número positivo se debe cumplir que_ju_j<_ju_j, lo que es absurdo (recuerde el axioma de tricotomía).

Teorema 2.2. Si una sucesión es convergente, su límite es único. Demostración. Sea_fanguna sucesión convergente y supongamos quean! ay an ! a0. Puesto quean ! ade la de…nición sabemos que para cada número positivo"se puede dar N₂Ntal que

jan aj< "

2 8n N

Y comoan!a0 también se puede darN02Ntal que

jan a0j< "

2 8n N

0

Así para cada número positivo"se tiene que sin max_fN; N0_g, entonces,

jan aj< "

2 y jan a

0_j<"

2

Usando esto y el hecho de que

podemos concluir, tomando unan max_fN; N0_{g, que para cada" >0se} cumple la desigualdad ja a0_{j j}an aj+jan a0j< " 2+ " 2 ="

Así, de acuerdo con el lema??obtenemos quea a0= 0, esto es,a=a0. Por supuesto no toda sucesión es convergente, a continuación damos un ejemplo de una sucesión que no converge.

Ejemplo 2.15. Considere la sucesión _f( 1)n_g. Uno pued describir esta sucesión de manera explícita como

f 1;1; 1;1; 1;1; : : :_g

Supongamos que esta sucesión fuera convergente. Entonces, existiría un númeroatal que para cada" >0 se pued elegir unaN₂Ntal que

j( 1)n a_j< "₈n N

En particular, para el número positivo1existiriaN12Ntal que

j( 1)n a_j<1₈n N1 Por otra parte, uno tiene que

( 1)n ( 1)n+1 = ( 1)n a+a ( 1)n+1 = (( 1)n a) + a ( 1)n+1

j( 1)n a_j+ a ( 1)n+1 = _j( 1)n a_j+ ( 1)n+1 a Así, sin N1 tambiénn+ 1 N1 y por ende

( 1)n ( 1)n+1 _j( 1)n a_j+ ( 1)n+1 a <1 + 1 = 2

esto es, paran N1

( 1)n ( 1)n+1 <2

Pero sin importar que valor se le de al naturalnuno tiene que

( 1)n ( 1)n+1 = 2

lo que nos llevaría a que2<2 lo cual es absurdo. Por lo tanto lo supuesto (que la sucesion_f( 1)n_g converge) es falso.

Problema 2.8. a) Muestre que si_fanges una sucesión que converge a un númeroa, entonces, para cada número positivo"existeN ₂Ntal que para todan N se cumple quean está en el intervalo(a "; a+"),

an 2(a "; a+")

(Sugerencia: Recuerde que_ju_j< bsi y solo siu < by u < b. Esto es, si y solos si b < u < b)

b) Haga un dibujo que ilustre, en la recta numérica, este resultado. Problema 2.9. Muestre que un conjunto no vacíoA es acotado (es decir acotado superior e inferiormente) si y solo si existeM ₂Rtal que

ja_j M ₈a₂A

Teorema 2.3. Toda sucesión convergente es acotada.

Demostración. Debemos probar que si _fang es una sucesión convergente, entonces, se puede encontrarM tal que_janj M para todon2N.

Seaael límite de la sicesión_fang, por de…nicion para el número positivo

1existeN12Ntal que

jan aj<18n N1 de las propiedades del valor absoluto se tiene que

janj jaj jan aj<18n N1 y por ende para todon N1se cumple que

janj jaj+ 1 ElegimosM como

M = max_fja1j;ja2j; : : : ;jaN1 1j;jaj+ 1g

es claro que

ja1j M;ja2j M; : : : ;jaN1 1j M

y por lo anterior para todon N1se cumple que

janj<jaj+ 1 M Así, para todon₂N,_janj M

Problema 2.10. ¿Es verdad que toda sucesión acotada converge? Justi-…que su respuesta.

Problema 2.11. Use la desigualdad _jju_{j j}v_{jj j}u v_j para mostrar que si _fang es una sucesión que converge a a, entonces la sucesión fjanjg converge a_ja_j.

Problema 2.12. ¿Es verdad que si _fjanjgconverge ajaj, entonces, fang converge aa? Justi…que su repuesta.

El siguiente resultado es muy útil para calcular el límite de una clase importante de sucesiones.

Teorema 2.4. Si se tienen dos sucesiones _fang y fbng para las cuales se sabe que l m n!1an=ay nl m!1bn=b Entonces, )_fan+bngconverge y l m n!1(an+bn) = l mn!1an+ l mn!1bn=a+b )_fan bngconverge y l m n!1(an bn) = l mn!1an nl m!1bn=a b )_fanbng converge y l m n!1(anbn) = l mn!1annl m!1bn=ab )_fcang converge y l m n!1can =cnl m!1an=ca

Demostración. Daremos solo la demostración de ) y ).

Para probar ) partimos de que como_fang yfbngconvergen, para cada número positivo"se pueden encontrarN1 yN2enNtales que

jan aj< "

2 8n N1 y jbn bj<

"

2 8n N2

Así, para cada número positivo"se tiene que si tomamosN = max_fN1; N2_g para todon N se cumple que

j(an+bn) (a+b)j = j(an a) + (bn b)j jan aj+jbn bj< " 2 + " 2 ="

Para demostrar ) usamos el hecho de que la sucesión _fbng debe ser acotada (teorema ??) y por ende existe M tal que _jbnj M para todo n₂N.

Puesto que _fang y fbng convergen, dado " >0 sabemos que podemos encontrarN1yN2 tales que

jan aj< "

2 (M + 1) 8n N1 y jbn bj<

"

Por otra parte, usando las propiedades del valor absoluto obtenemos que janbn abj = janbn abn+abn abj = _j(an a)bn+a(bn b)j j(an a)bnj+ja(bn b)j = _jan aj jbnj+jaj jbn bj jan ajM +jaj jbn bj

De esto resulta claro que si para cada número positivo " dado elegimos N= max_fN1; N2g, entonces, para todon N se cumple que

janbn abj jan ajM +jaj jbn bj< M "

2 (M+ 1)+ ja_j"

2 (_ja_j+ 1)

y como _MM₊₁ < 1 y _jaj_ja₊₁j < 1, se tiene que _2(MM "₊₁₎ < "₂ y _2(jj_aa_jj₊₁₎" < "₂, podemos concluir que para todon N se cumple la desigualdad

janbn abj< M " 2 (M + 1)+ ja_j" 2 (_ja_j+ 1) < " 2+ " 2 ="

Problema 2.13. Demuestre las a…rmaciones ) y ) del teorema 2.4. Ejemplo 2.16. a) Tomemos la sucesión _n12 . Para saber si tiene límite

y en tal caso calcularlo, consideremaos las sucesiones

fang=

1

n y fbng=

1

n

Como ya vimos _n1 _!0 y podemos aplicar la propiedad ) para obtener que l m n!1 1 n2 = l m_n!1 1 n 1 n = l mn!1 1 nnl m!1 1 n = 0 0 = 0 Por lo tanto 1 n2 tiene límite y l m n!1 1 n2 = 0

b) Si ahora tomamos la sucesión _n13 podemos volver a usar la propiedad

) con las sucesiones

fang=

1

n2 y fbng=

1

n que como ya vimos cumplen

l m n!1 1 n2 = 0y _nl m_!1 1 n = 0

Así que l m n!1 1 n3 = l m_n!1 1 n2 1 n = l mn!1 1 n2_nl m_!1 1 n = 0

c) Siguiendo este argumento podemos por inducción que para cualquier potenciak₂Nse tiene que

l m

n!1

1

nk = 0 d) Para calcular el límite de la sucesión 2 1

n2 usamos la propiedad

) con

fang=f2g y fbng=

1

n2 cuyos límites son

l m n!12 = 2y nl m!1 1 n2 = 0 y por tanto l m n!1 2 1 n2 = l m_n!12 _nl m_!1 1 n2 = 2 0 = 2

El siguiente resultado muestra que el comportamiento de los primeros términos de la sucesión no es relevante para determinar la convergencia de una sucesión.

Teorema 2.5. Sean_fang yfa0ngdos sucesiónes tales que para algúnN02 N se cumple que an = a0n para todo n N0. Entonces, la sucesión fang converge si y solo si la sucesión_fa0

ng converge. Además, si una de las dos sucesones converge, entonces,

l m

n!1an= l mn!1a 0

n

Demostración. Si _fang converge, sbemos que, para algún número a, se cumple que para todo " > 0 se puede elegir N ₂ N tal que para todo n N se cumple la desigualdad

jan aj< "

Ahora bien, si elegimosN1= maxfN0; Ngse tendría que para todan N1 se cumple quea0

n =an y que

ja0_n a_j=_jan aj< " lo que muestra que la sucesión_fa0

ng también converge al númeroa. El recíproco se prueba de modo análogo.

Problema 2.14. a) ¿Cual es el recíproco de lo demostrado en el teorema 2.5?

Problema 2.15. Cual es el límite de la sucesión 5;5;5;5;1 5; 1 6; 1 7; : : : Justi…que su respuesta.

Observación 2.1. El teorema 2.5 permite hablar del límite de sucesiones para las cuales solo se conocen los términosan para n N0, dondeN0 es algún número natural. Así, por ejemplo, si sabemos que

an =

1

n paran 5, éste teorema nos garantiza que

l m

n!1an = l mn!1

1

n

Hemos visto que la suma, la resta y el producto de sucesiones conver-gentes dan sucesiones converconver-gentes, pero ¿qué podemos decir del cociente o división de dos sucesiones convergentes? Para responder a esta pregunta se requiere de algunos resultados preliminares.

Lema 2.6. Si _fang es una sucesión convergente tal que

l m

n!1an=a6= 0

entonces, existeN0₂Ntal que para todon N0

janj> j a_j

2

Demostración. Sea ael límite de la sucesión _fang. Comoa6= 0,jaj>0 y por ende para el número positivo ja₂j se puede elegirN0₂Ntal que

jan aj< j a_j

2 8n N0

De las propiedades del valor absoluto se tiene que

jjanj jajj jan aj<j a_j

2 8n N0

Esto implica que

ja_j

2 <janj jaj y janj jaj< ja_j

2 8n N0

y usando al primera desigualdad se llega a que

ja_j jaj

pero_ja_j ja₂j= ja₂j por lo tanto

ja_j

2 <janj 8n N0

Observación 2.2. Este lema garantiza que sian !aya6= 0, entonces, existeN0₂Ntal que an6= 0para todon N0.

Teorema 2.7. Sea _fang una sucesión tal que l mn!1an = a 6= 0. En-tonces, existeN0 tal que para todo n N0 la sucesión

n 1 an o está de…nida y l m n!1 1 an = 1 a

Demostración. De acuerdo con el lema 2.6 existeN0₂Ntal que para toda n N0an 6= 0y por ende _a1_n está de…nida si n N0. Más aún, uno tiene que

1 janj

< 2

ja_j 8n N0

Comoan!a, dado" >0sabemos que existeN1tal que para todon N1 se cumple la desigualdad

jan aj< j a_j2"

2

Así, si elegimosN = max_fN0; N1_g se tendría que para todon N

1 an 1 a = a an ana =ja anj janj jaj = 1 janj 1 ja_jjan aj 2 ja_j 1 ja_jjan aj= 2 ja_j2jan aj < 2 ja_j2 ja_j2" 2 ="

lo que muestra que

l m n!1 1 an ! 1 a

Corolario 2.8. Coirolario si_fang yfbng son dos sucesiones lates que

l m n!1an =a6= 0 y nl m!1bn =b Entonces, l m n!1 bn an = l mn!1bn l mn!1an

Problema 2.16. Demuestre el corolario 2.8.

Ejemplo 2.17. Un ejemplo un tanto más complicado es el siguiente: Con-sidere la sucesión

4n3 _5n2_{+ 3}

3n3 _2n

Para calcular este límite debemos reescribir la sucesión de modo que quede en términos de sucesiones de las cuales sabemos como calcular su límite. Puesto que 4n3 5n2+ 3 3n3 _2n = 1 n3 1 n3 4n3 5n2+ 3 3n3 _2n = 4 5 1 n + 3 1 n3 3 2 1 n2 se tiene que 4n3 _5n2_{+ 3} 3n3 _2n = 4 51 n + 3 1 n3 3 2 1 n2

Puesto que _n1 _!0;_n12 !0y _n13 !0, podemos aplicar el teorema 2.4 para

mostrar primero que

l m n!14 5 1 n= l mn!14 5 l mn!1 1 n = 4 5 0 = 4 luego usar esto para ver que

l m n!1 4 5 1 n+ 3 1 n3 = l m_n!1 4 5 1 n + 3 1 n3 = l m_n!1 4 5 1 n +3 l mn!1 1 n3 = 4+3 0 = 4 Así la sucesión fbng= 4 5 1 n+ 3 1 n3 !4 En cuanto al demominador se tiene que

l m n!1 3 2 1 n2 = l m_n!13 2 l m_n!1 1 n2 = 3 2 0 = 36= 0 Por lo tanto se cumplen las hipótesis del corolario 2.8 lo que muestra que

l m n!1 4n3 _5n2_{+ 3} 3n3 _2n = _nl m_!1 4 51_n+ 3_n13 3 2_n12 = l mn!1 4 5 1 n + 3 1 n3 l mn!1 3 2n12 =4 3

Este ejemplo muestra que para calcular el límite de una sucesión uno puede usar el mismo tipo de tecnicas que se usan para calcular el límite de fun-ciones cuandoxtiende a in…nito,l mx!1f(x).

Problema 2.17. Calcule los siguientes límites de sucesiones. Justi…que su respuesta indicando, en cada paso, que propiedad del límite de sucesiones está usando. a)l mn!1 n14 6 b)l mn!13n 2_{+2n 1} n3₊₁ c)l mn!1 31 n3+4n1 2 1 n4 6 d)l mn!15n 5 6n3+2 7n5 _6n2 e)l mn!1 2n 2 +1 n2_+n+1 3 f)l mn!1( n+1 n ) 3 1 n+1 n 1 .

Problema 2.18. Aún cuando tenemos estos resultados que nos ayudan a calular límites de sucesiones, con frecuencia debemos recurrir a la de…nición de límite para establecer otros resultados:

a) Muestre que si_fanges una sucesión tal que

l m

n!1a

2 n= 0

entonces, la sucesión_fangconverge. (Sugerencia: Use el hecho de que"2es un número positivo)

b) Dé un ejemplo de una sucesión_fang tal que

l m

n!1a

2 n=a pero que_fangno sea una sucesión convergente.

2.2.2.

Subsucesiones

Empecemos de…niendo la noción de función creciente enN.

De…nición 2.4. Diremos que una funciónn:N!Nes creciente si y solo si

n(k+ 1)> n(k) ₈k₂N

Algunos ejemplos de funciones crecientes deNenNson Ejemplo 2.18. a) La funciónn:N!Ndada por

n(k) = 2k

es creciente. La imagen de esta función son los número pares positivos b) La funciónn:N!Ndada por

n(k) = 2k 1

tiene como imagen los números impares positivos y también es una función creciente.

c) Los número enteros positivos congruentes con1 modulo4 se pueden ver como la imagen de la función crecienten:N!N

n(k) = 4k+ 1

d) Las potencias de2 también de…nen una función crecienten:N!N dada por

n(k) = 2k

e) La función identidadn(k) =kes también una funcipon crecientem. Por supuesto, hay funciones de los naturales en los naturales que no son crecientes

Ejemplo 2.19. a) Las funciones constantesn:N!N, no sonfunciones crecientes, por ejemplo

n(k) = 2;345;678₈k₂N no es una función creciente.

b) La funciónn:N!Ndada por n(k) = 2

k _{sik es par}

2ksik es impar no es creciente.

c) La funciónn:N!Ndada por

n(k) = ksik <2;345;678 2;345;678sik 2;345;678

tampoco es creciente.

Recordemos que una sucesión es una funciónade…nida enNy con valores enR.

De…nición 2.5. Por una subsucesión de una sucesión_fangentendemos la composición de la sucesión con una función crecienten:N!N.

Notación 2.1. Por supuesto uno no escribea noa(n(k))en su lugar se usa la notación_fankg donde nk es lo que vale la funciónn enk. Esto es,

nk=n(k).

Ejemplo 2.20. a) Subsucesiones de la sucesión_fang= _n1 son

fa2kg = 1 2k = 1 2; 1 4; 1 6; 1 8; : : : fa2k 1g = 1 2k 1 = 1; 1 3; 1 5; 1 7; : : :

fak2g = 1 k2 = 1; 1 4; 1 9; 1 16; : : : fa2kg = 1 2k = 1 2; 1 4; 1 8; 1 16; : : :

b) Subsucesiones de la sucesión_fang=f( 1)ng son

fa2kg = n ( 1)2k o =_f1;1;1;1; : : :_g fa2k 1g = n ( 1)2k 1 o =_f 1; 1; 1; 1; : : :_g

Ejemplo 2.21. Puesto que la función identiadn:N!N, dada porn(k) =

k es creciente, toda sucesión_fang se puede ver como una subsucesión de ella misma.

Ejemplo 2.22. a) Si consideramos la sucesión _n1 y la función del ejemplo 2.19 obtenemos an(k) = 1 n(k) = 1 2; 1 4; 1 6; 1 16; 1 10; 1 32; 1 14; : : :

lo que no es una subsucesión de la sucesión _n1 .

Antes de enunciar y demostrar el reultado que relaciona las sucesiones y sus subsucesiones, requerimos del siguiente lema

Lema 2.9. Si n:N!Nes una función creciente, entonces, n(k) k₈k₂N

La demostración de este resultado es por inducciónsobreky se deja como problema.

Problema 2.19. Muestre el lema 2.9.

Teorema 2.10. Una sucesión _fang converge a un número a si y solo si todas las subsucesiones de _fang convergen y convergen al mismo número a.

Demostración. (₎) Mostraremos primero que si _fang converge a a, en-tonces, toda subsucesión converge aa.

Sea _fankg una subsucesión de fang, para cada " > 0 dada elegimos

N ₂Ncomo la N de la sucesión original (esto es, N es tal que ₈n N,

jan aj< "), entonces, sik N se tiene del lema quenk =n(k) k N, y por ende_jank aj< ". Esto muestra que, sin importar que subsucesión

se elija, dicha subsucesión converge aa.

(₍) Como ya se mencionó, una sucesión siempre se puede ver como subsucesión de ella misma. Por lo tanto, si toda subsucseción converge al

mismo número a, en particular la sucesión vista como subsucsión debe converger aa.

Este teorema puede ser usado para calcular el límite de sucesiónes que se pueden ver como subsucesiones de una sucesión convergente.

Ejemplo 2.23. a) Puesto que la sucesión ₂1_k puede verse como la sub-sucesión_fa2kgde la sucesiónfang= _n1 y la sucesión _n1 converge a0, el teorema anterior nos garantiza quel mk!121k = 0.

b) Puesto que n(k) = 2k _{es una función creciente de los naturales en} los naturales, la sucesión ₂1k también es una subsucesión de la sucesión

fang= _n1 . En efecto,fa2kg= 1 2k . por lo tanto l m k!1 1 2k = 0

Problema 2.20. Con frecuencia cosas que son iguales no lo parecen a) Si se sabe quel mk!1ak=a, ¿qué puede decir del mn!1an? Problema 2.21. Muestre que la sucesión ₃1n converge a0.

Problema 2.22. Si _fang converge a a, ¿qué puede decir de la sucesión

fan+1g?

El teorema 2.10 también es útil para ver que u;na sucesión no tiene límite. Puesto que si una sucesión converge toda subsucesión converge al mismo límite, uno tendría que si dos subsucesiones tienen diferente límite, la sucesión no puede converger.

Ejemplo 2.24. Considere la sucesión_fang= sen n₂ . Uno puede con-vencerse que los términos de la sucesión son

fang= n sen n 2 o =_f1;0; 1;0;1;0; 1;0;1; : : :_g Si consideramos la subsucesión_fa2kgse tendría que

fa2kg= sen

2k

2 =fsen (k )g

y comosen (k ) = 0 para todo k, obtenemos que la subsucesión _fa2kg es la sucesión constante_f0_g y por ende

l m

k!1a2k = l mk!1sen (k ) = l mk!10 = 0

Consideramos ahora la subsucesión _fa4k+1g =

n

sen (4k+1)₂ o. Puesto que

sen (4k+ 1)

uno tiene de la identidad trigonométricasen (2k + ) = sen , que para todok sen (4k+ 1) 2 = sen 2 = 1 por lo tanto l m k!1sen (4k+ 1) 2 = l mk!1sen 2 = l mk!11 = 1

Así, para la sucesión sen n

2 hemos encontrado dos subsucesiones que tienen diferente límite. Por lo tanto la sucesión sen n₂ no converge. Problema 2.23. Muestre que la sucesión ( 1)n+1_n no converge.

2.3.

Sucesiones divergentes

Un caso especial de sucesiones que no tienen límite pero que son de interés son aquellas cuyos términos se van haciendo más y más grandes. Por ejemplo, los términos de la sucesión_fang= n2 son

f1;4;9;16;25;36;49; : : :_g

y, como se puede apreciar, los valores que se van obteniendo son cada vez más grandes.

La manera rigurosa de describir este comportamiento es la siguiente: De…nición 2.6. Diremos que una sucesión_fang diverge a1si y solo si para todoR >0se puede elegirN₂Ntal que para todon N se cumple la desigualdad

an> R En este caso uno escribe

l m

n!1an=1

De modo similar cuando los términos de una sucesión son negativos y con valor absoluto cada vez más grande uno de…ne:

De…nición 2.7. Diremos que una sucesión _fang diverge a 1si y solo si para todo R > 0 se puede elegir N ₂ N tal que para todo n N se cumple la desigualdad

an< R En este caso uno escribe

l m

n!1an = 1

Debemos enfatizar que las sucesiones divergentes son sucesiones queno convergen y por ende los teoremas sobre sucesiones convergentes no se pueden aplicar. Sin embargo, uno tiene las siguientes propiedades

Teorema 2.11. Si una sucesión _fang diverge a1 o a 1, entonces, la sucesionr n 1 an o converge a0.

Teorema 2.12. a) Si una sucesión _fang cumple que an > 0 para todo n₂Ny l mn!1an= 0, entonces, la sucesión n 1 an o diverge a ₁.

b) Si una sucesión_fangcumple quean <0para todon2Nyl mn!1an=

0, entonces, la sucesiónn_a1

n

o

diverge a ₁. Problema 2.24. Demuestre el teorema 2.11. Problema 2.25. Demuestre el teorema 2.12.

Problema 2.26. a) Demuestre que la sucesión _fn_gdiverge a₁. b) Demuestre que la sucesión n2 _{diverge a1.}

c) Demuestre que la sucesión nk _{diverge a1para cadak2N.} (Sugerencia: Recuerde que para cadak₂N,nk _n)

2.4.

Ley del apachurrón

Un resultado muy útil para establecer la convergencia de una sucesión es el siguiente

Teorema 2.13. (Ley del apachurrón) Sean _fang;fbng y fcng tres suce-siones para las cuales se cumple que para algúnN02N

an cn bn8n N0 Entonces, si l m n!1an=l= l mn!1bn la sucesión_fcng converge y l m n!1cn= l mn!1an= l mn!1bn =l

Demostración. Dado cualquier número positivo", sabemos que existeN12 Ntal que

jan lj< "8n N1 y que existeN2₂Ntal que

jbn lj< "8n N2 De esto se in…ere que

l " < an8n N1 y que

Así, si elegimos N = max_fN0; N1; N2g se tiene que para todo n N se cumplen las desigualdeades

l " < an cn ycn bn < l+" por ende

l " < cn < l+"8n N y esto implica que

jcn lj< "8n N por lo tanto_fcngconverge y

l m

n!1cn =l

Ejemplo 2.25. Considere la sucesión sen 1

n . Es sabido que si el ángulo se mide en radianes

jsen _j

por lo tanto para todon₂Nse cumple que

sen 1 n 1 n o de forma equivalente 1 n sen 1 n 1 n 8n2N Como además l m n!1 1 n = 0 = l mn!1 1 n

se sigue de la ley del apachurrón que la sucesión sen _n1 converge y

l m

n!1sen

1

n = 0

Problema 2.27. Use el hecho de que para ángulos ₂ 0;₂ se cumple quecos =p1 sen2 _{y las propiedades de límite de sucesiones para ver} que

l m

n!1cos

1

n = 1

Problema 2.28. a) Use el hecho de que para ángulos ₂ 0;₂ se cumple la desigualdad

1 sen

1 cos

para ver que l m n!1 1 nsen 1_n = 1 b) Muestre que l m n!1nsen 1 n = 1 (Sugerencia: _nsen1 = 1n sen(1 n) ynsen _n1 = 11 nsen )

Problema 2.29. Anteriormente señalamos que si una sucesión converge, entonces, la sucesión de valores absolutos también converge, pero el recípro-co es falso en general. Sin embargo, uno tiene el siguiente resultado para sucesiónes que convergen a0.

Una sucesión_fangconverge a0si y solo si la sucesiónfjanjgconverge a

0.

a) Demuestre este resultado. (Sugerencia: use el hecho de que _ju_j u _ju_jy la ley del apachurron)

b) ¿Porqué el argumento que usa no funciona cuando la sucesión _fang converge a un númeroadiferente de 0?

2.5.

Convergencia monótona

Empecemos por de…nir el concepto de sucesiones monótonas.

De…nición 2.8. a) Una sucesión _fang es llamada monótona creciente si y solo si

an+1> an8n2N

b) Una sucesión_fanges llamada monótona no decrecientesi y solo si

an+1 an8n2N

c) Una sucesión_fanges llamadamonótona decrecientesi y solo si an+1< an8n2N

d) Una sucesión_fang es llamadamonótona no crecientesi y solo si an+1 an8n2N

Ejemplo 2.26. a) La sucesión _n1 es monótona decreciente pues para todon₂Nse tiene que

1

n+ 1 < 1

b) La sucesión 1 _n1 es monótona creciente. En efecto, para todo n₂Nse tiene que 1 n+ 1 < 1 n y por ende 1 n+ 1 > 1 n lo que implica que

1 1

n+ 1 >1 1

n

Ejemplo 2.27. Muchas veces para probar la monotonía de una sucesión es conveniente usar el principio de inducción. Para ver que la sucesión

fang= 2₃ n

es monótona decreciente es necesario probar que

2 3 n+1 < 2 3 n 8n₂N Paran= 1. Puesto que0< 2

3 <1se tiene, multiplicando las desigualdades por 2₃, que 0< 2 3 2 < 2 3

Nuestra hipótesis de inducción es

2 3 n+1 < 2 3 n

y debemos mostrar que

2 3 n+2 < 2 3 n+1

pero al multiplicar la desifualdad 2₃ n+1< 2₃ n por 2₃ concluimos que, en efecto, 2 3 n+2 < 2 3 n+1

Teorema 2.14. (Convergencia monótona)

a) Si una sucesión_fanges monótona no decreciente y acotada superior-mente, entonces, la sucesión_fangconverge.

b) a) Si una sucesión_fang es monótona no creciente y acotada inferir-mente, entonces, la sucesión_fangconverge.

Demostración. Mostraremos tan solo el inciso b) el inciso a) se obtiene de modo similar.

Puesto que la sucesión es acotada inferiormente el conjunto

fa1; a2; a3; : : :g

está acotado inferiormente y es claro que es diferente del vacío. Por el axioma del supremos y sus consecuencias el conjunto_fa1; a2; a3; : : :_gtiene un ín…mo. Sea

a= nf_fa1; a2; a3; : : :_g Mostraremos que la sucesión_fang converge aa.

Para cada" >0dado sabemos de la caracterización del ín…mo, que existe un elemento del conujunto_fa1; a2; a3; : : :g, digamos aN,tal que

aN < a+"

y como la sucesión es no creciente, para todon N se cumple que an< a+"

Por otra parte, comoaes el ín…mo

a " < a an

Así, para el número positivo", se tiene que para todon N se cumplen las desigualdades

a " < an< a+" esto es, para todn N

jan aj< " lo que muestra que la sucesión converge.

Problema 2.30. Muestre que la sucesión 2₃ n es una sucesión conver-gente.

2.6.

Algunos límites importantes

En este apartado daremos algunos ejemplos importantes de sucesiones convergentes, lo que, además, ilustrará como la teoría de convergencia que hemos desarrollado puede ser usada.

Teorema 2.15. Para cada número positivo h y para cada natural n se cumplen las desigualdades

a) 1 +nh (1 +h)n b) 1 +n(n 1) 2 h 2 _{(1 +h)}n paran 2

Demostración. La demostración de estos resultados es consecuencia de la fórmula del binomio que podemos escribir en la forma

(1 +h)n= 1+nh+n(n 1) 2 h 2₊n(n 1) (n 2) 3! h 3_{+ +}n(n 1) (1) n! h n

Puesto que h > 0, todos los términos en esta suma son positivos, en particular se tiene que

0 n(n 1) 2 h 2₊n(n 1) (n 2) 3! h 3_{+ +}n(n 1) (1) n! h n

y sumando en ambos lados1 +nhobtenemos que

1+nh 1+nh+n(n 1) 2 h 2₊n(n 1) (n 2) 3! h 3_{+ +}n(n 1) (1) n! h n

lo que muestra que, en efecto

1 +nh (1 +h)n

De modo similar se muestra que

1 +n(n 1) 2 h

2 _{(1 +h)}n

Problema 2.31. a) Desarrolle la fórmula del binomio

(1 +h)n=

n

X

k=0 C_k(n)hk

para convencerse de que

(1 +h)n= 1+nh+n(n 1) 2 h 2₊n(n 1) (n 2) 3! h 3_{+ +}n(n 1) (1) n! h n

b) Muestre que paran 4

n(n 1) (n 2) (n 3)

4! h

4 _{(1 +h)}n

2.6.1.

La sucesiones de la forma

p

q

con

q >

0

Empecemos por señalar que cuando escribimos pn_{qnos referimos la raíz}

positivadel númoerq.

Consideremos primero el caso en el que q >1. En este caso uno tiene que

n

Problema 2.32. a) Use la fórmula

an bn = (a b) an 1+an 2b+ +abn 2+bn 1 para mostrar que

n p q 1 = q 1 qnn1 +q n 2 n + +qn1 + 1

(Recuerde que para q > 0, pn_{q =q}n1 y que qkn = pn_q k ₌ pn _qk _¿puede

demostrar esto?)

b) Muestre que siq >1, entonces, pn_{q >1.}

De…namos la sucesión_fangcomo

an= pnq 1 puesto que pn_{q >1se tiene quea}

n>0 y (1 +an)n=q y puesto que 1 +nan (1 +an)n=q obtenemos que 0 an q 1 n 8n2N y como l m n!10 = 0 = l mn!1 q 1 n se sigue de la ley del apachurrón que_fang converge y

l m

n!1an= 0

por las propiedades algebráicas de límite la sucesión_f1 +angtambién con-verge yl mn!1(1 +an) = 1. pero 1 +an = pnq por lo tanto l m n!1 n p_{q= 1}

Para el caso en el que0< q <1, uno tiene que

1

q >1

y por ende puede aplicar lo ya demostrado al número 1_q. Esto junto con el hecho de que

q= 1₁

q lleva a la demostración del caso0< q <1.

Problema 2.33. Demuestre que para 0< q <1 l m

n!1

n

p_{q= 1}

(Sugerencia: Hay que usar la regla del cociente ) Problema 2.34. a) ¿La sucesion

n 921n

o

converge? Justi…que b) En caso a…rmativo calcule si límite.

Problema 2.35. a) ¿La sucesion n921n

o

converge? Justi…que b) En caso a…rmativo calcule si límite.

2.6.2.

La sucesión

_f

p

_n

g

Para demostrar este resultado usaremos el hecho de que sil mn!1a2n=

0, entonces,l mn!1an= 0.

Problema 2.36. Use la de…nición de límite para mostrar que sil mn!1a2n=

0, entonces,_fangconverge yl mn!1an = 0. (Sugerencia: Use el hecho de que"2 es un número positivo)

De…namos la sucesión_fangdada por an= pnn 1 Se pued veri…car que,an >0 paran 2.

También paran 2se tiene que

1 + n(n 1) 2 a

2

n (1 +an)n =n y por ende, paran 2se cumple que

0 a2_n 2 n Como además l m n!10 = 0 = l mn!1a 2 n

podemos aplicar la ley del apachurrón para concluir que

l m

n!1a

2 n= 0 Así que_fang converge y

l m

n!1an= 0

por ende _f1 +ang converge y l mn!1(1 +an) = 1. Pero 1 +an = pnn, por lo tanto l m n!1 n p n= 1

2.6.3.

La sucesión

1 +

Este es uno de los límites más famosos del Cálculo. Mostraremos aquí que esta sucesión converge vía el teorema de convergencia monótona. El primer paso es mostrar que la sucesión 1 + _n1 n es mónótona no decreciente.

Usando la fórmula del binomio uno obtiene que

1 + 1 n n = 1 + 1 + 1 2! 1 1 n + 1 3! 1 1 n 1 2 n + + +1 n! 1 1 n 1 2 n 1 n 1 n

Problema 2.37. a) ¿Cuál sería el sumndo que sigue al término_3!1 1 _n1 1 2_n ? b) ¿Cuál sería el términokde la suma?

c) Use la fórmula del binomio para ver que esta fórmula se cumple. (Sugerencia: n(n 1)(n 2)_k! (n k+1)_n1k = 1 k! n 1 n n 2 n n k+1 n )

De modo similar paran+ 1 se tiene que

1 + 1 n+ 1 n+1 = 1 + 1 + 1 2! 1 1 n+ 1 + 1 3! 1 1 n+ 1 1 2 n+ 1 + + + 1 (n+ 1)! 1 1 n+ 1 1 2 n+ 1 1 n n+ 1

Usando las propiedades de orden y el hecho de quen+ 1 n uno puede ver que 1 1 1 1 1 2! 1 1 n+ 1 1 2! 1 1 n 1 3! 1 1 n+ 1 1 2 n+ 1 1 3! 1 1 n 1 2 n .. . 1 (n)! 1 1 n+ 1 1 2 n+ 1 1 n 1 n+ 1 1 n! 1 1 n 1 2 n 1 n 1 n y además 1 (n+ 1)! 1 1 n+ 1 1 2 n+ 1 1 n n+ 1 0

Así, la suma de los términos del lado derecho debe ser mayor o igual que la suma de los términos del lado izquierdo, ño que muestra que

1 + 1 n+ 1 n+1 1 + 1 n n

y por ende la sucesión 1 +_n1 n es monótona no decreciente.

Resta ver que la sucesión está acotada superiormente. Para ello nueva-mente partimos de la igualdad

1 + 1 n n = 1 + 1 + 1 2! 1 1 n + 1 3! 1 1 n 1 2 n + + +1 n! 1 1 n 1 2 n 1 n 1 n

Puesto que todos los factores 1 _n1 ; 1 _n2 ; 1 _n3 ; : : : ; 1 n_n1

son menores que1, se sige que

1 2! 1 1 n < 1 2! 1 3! 1 1 n 1 2 n < 1 3! .. . 1 n! 1 1 n 1 2 n 1 n 1 n < 1 n! por lo tanto 1 + 1 n n <1 + 1 + 1 2!+ 1 3!+ + 1 n!

Ahora bien se puede ver que para todok 1 1

k! 1 2k 1

Problema 2.38. Use inducción para ver que esta desigualdad se cumple. Continuando con la demostración, usando la desigualdad obtenemos que

1 + 1 n n < 1 + 1 + 1 2!+ 1 3!+ + 1 n! 1 + 1 +1 2 + 1 22 + + 1 2n 1 por la fórmula de la serie geomátrica concluimos que

1 + 1 n n 1 + 1 +1 2 + 1 22 + + 1 2n 1 = 1 + 1 1 2n 1 1 2 = 1 + 2 1 2n 1 <3

por lo que la sucesión 1 +_n1 n está acotada superiormente por3. El teorema de convergencia monótona garantiza que la sucesión 1 + 1

n n converge.

De…nición 2.9. El límite de la sucesión 1 +_n1 n es llamado el número ey se denota justamente por la letrae. Esto es,

edef= l m

n!1 1 +

1

n n

2.6.4.

Las sucesiones de la forma

_f

q

g

El comportamiento de esta sucesión depende de como sea el número q con respecto al1. De forma mas precisa

1. Si_jq_j<1, entonces,_fqn_gconverge y

l m

n!1q

n _{= 0}

2. Siq >1, entonces,_fqn_{gdiverge a1.}

3. Siq 1, entonces, la sucesión_fqn_{g no tiene límite.} Mostraremos tan solo el primero el resto se deja de tarea. Puesto que_jq_j<1 se tien que

1 jq_j >1 y por lo tanto 1 jq_j = 1 +hcon h >0 Así que jq_j< 1 1 +h lo que nos lleva a que

jq_jn< 1 (1 +h)n y como 1 +nh (1 +h)n jq_jn< 1 (1 +h)n 1 1 +nh De esto se sigue que para todon 1

0 _jq_jn 1 1 +nh y como l m n!10 = l mn!1 1 1 +nh podemos concluir de la ley del apachurrón que

l m

n!1jqj

n

Usando el problema 2.29 se llega a que Si _jq_j<1, entonces, l m

n!1q

n_{= 0}

Problema 2.39. Muestre que siq >1, entonces,

l m

n!1q

n₌

1

Problema 2.40. De un ejemplo que muestre que si q 1, entonces, la sucesión no tiene límite y tampoco diverge.

Problema 2.41. ¿Qué pasa siq= 1? Problema 2.42. Calcule

l m

n!1

( 1)n 3n

2.6.5.

Algunos problemas de tarea

Problema 2.43. ¿Qué argumento usaría para ver que si

l m

n!1an=a

entonces,

l m

n!1an+1=a

Problema 2.44. Considere la sucesión dada por la fórmula de recurrencia a_j1 = p 2 an+1 = p 2 +an

a) Calcule los primeros cuatro términos de esta sucesión. b) Use inducción para ver que

an+1 a c)También use inducción para mostrar que

an 2

d) Concluya que la sucesión_fang converge y que si

l m

n!1an=a

entonces, el límiteasatisface la ecuación a2 a 2 = 0

(Indique en cada paso que propiedad del límite está usando para llegar a esta ecuación.

e) Muestre que

l m

Los dos problemas siguientes están pensados para mostrar que en una demostración por inducción es muy importante demostrar que la propiedad se cumple paran= 1

Problema 2.45. Considere la sucesión dada por la fórmula de recurrencia a1 = 1

an+1 = 1 +

1 2 +₁₊1_a

n

a) Calculre los primeros tres términos de la sucesión. b) Muestre por inducción que_fang es monótona creciente c) ¿Puede dar una cota superior para la sucesión?

d) Demuestre que la sucesión está acotada superiormente y que por ende converge. e) Muestre que l m n!1an= p 2

Problema 2.46. Considere la sucesión dada por la fórmula de recurrencia a1 = 3 2 an+1 = 1 + 1 2 +₁₊1_a n

a) Calculre los primeros tres términos de la sucesión. b) Muestre por inducción que_fang es monótona decreciente c) ¿Puede dar una cota inferior para la sucesión?

d) Demuestre que la sucesión está acotada inferiormente y que por ende converge. e) Muestre que l m n!1an= p 2

Problema 2.47. Muestre que las siguientes sucesiones convergen y calcule su límite. a) n ( 1)npnsen(nn) n+1 o

b) La sucesión cuyos términos son

p 2; q 2p2, r 2 q 2p2; s 2 r 2 q 2p2; : : : c) pn an_+bn _{con 0< a < b.} d) pn an_+bn _{con0< b < a.} e)nan bn an_+bn o con ayb positivos. f) pn n2_+n

g) n pn+apn+b con a; b >0. h)n 2n+( 1)n 2n+1_{+( 1)}n+1 o

2.7.

Convergencia de series

2.7.1.

La notación de sumatoria

Un tipo muy importante de sucesiones se obtienen al ir sumando los términos de una sucesión dada, por ejemplo, dada la sucesión _k12 uno

puede de…nir la sucesión

s1= 1 s2= 1 + 1 4 s3= 1 + 1 4+ 1 9 s4= 1 + 1 4+ 1 9 + 1 16 .. .

El término general de esta sucesión essn = 1 +1₄ +1₉+ +_n12. A este

tipo de sucesiones se les llama series.

Para trabajar con este tipo de sucesiones es conveniente introducir la notación de sumatoria. En lo que sigue usaremos el símbolo

m X k=k0 ak ó Xm k=k0 ak

para indicar que se sumaran los términos de la sucesiónde _fakg desde el valor corrspondiente ak0 hasta el términok=m. Esto es,

m

X

k=k0

ak=ak0+ak0+1+ +am 1+am

Notemos que para usar adecuadamente el símbolo de sumatroia debemos identi…car primero la sucesión cuyos términos se van a sumar, la llamada sucesión baseo sucesión subyacente, la sucesión_fakg. Luego hay que observar a partir de que término se empieza a sumar, esto está determinado por el valor de k0 y luego hasta que término se debe sumar, lo que está indicado por el valor dem. Al númerok0se le llama ellímite inferior de la sumay al valor mse le denominalímite superior de la suma. Ejemplo 2.28. El símbolo 6 X k=3 k k+ 1

representa a la suma 3 3 + 1+ 4 4 + 1+ 5 5 + 1+ 6 6 + 1

Aquí la sucesión subyacente es_fakg=

n

k k+1

o

, debemos empezar a sumar a partir del término3 y hasta el término6.

Ejemplo 2.29. La expresión 3

X

k=0

(k+ 1)2k2

nos indica que debemos efectuar la suma

(0 + 1)202 + (1 + 1)212 + (2 + 1)222 + (3 + 1)232 = = 1202 + 2212 + 3222 + 4232

La sucesión base en este ejemplo es la sucesión_fbkg=

n

(k+ 1)2k2o_. Debe-mos empezar a sumar desde el término0 y hasta el término3.

Ejemplo 2.30. Es importante tener claro que el índice que varía en la sumatoria es el priméro que se encuentra en la parte inferior del símbolo

P . Así, 5 X j=2 jk2 representa a la suma 2k2+ 3k2+ 4k2+ 5k2

En este ejemplo la sucesión subyacente es la sucesión_faj;kg1_j=1=fjkg1j=1 y se empieza a sumar desde que j toma el valor 2 y terminar cuando j llegue al valor5.

Por otra parte si escribimos 5

X

k=2 jk2

estamos hacendo referencia a la suma

j 4 +j 9 +j 16 +j 25

En este ejemplo la sucesión subyacente es la sucesión_faj;kg1_k=1=fjkg1k=1 y se empieza a sumar desde que k toma el valor 2 y terminar cuando k llegue al valor5.

En el caso de una suma …nita uno tiene las siguientes propiedades Teorema 2.16. Las sumas tienen las siguientes propiedades:

) n X k=k0 ak+ n X k=k0 bk = n X k=k0 (ak+bk) o n X k=k0 (ak+bk) = n X k=k0 ak+ n X k=k0 bk ) n X k=k0 ak n X k=k0 bk = n X k=k0 (ak bk) o n X k=k0 (ak bk) = n X k=k0 ak n X k=k0 bk ) n X k=k0 ak = n X k=k0 ak o n X k=k0 ak = n X k=k0 ak ) n X k=k0 c=c+c+c+ +c= (n k0+ 1)c

Es importante observar que para que estas fórmulas funcionen las suma-torias inician y terminan en los mismos valores.

2.8.

Algunas fórmulas para sumar

En general cuando uno tiene una suma la única forma de saber el valor de esta es sumando término a término. Sin embargo, hay ciertas clases de sumas para las cuales hay una manera breve de calcularlas. En esta sección discutimos algunas fórmulas muy útiles para sumar.

2.8.1.

Sumas telescópicas

Dada una sucesión_fang, de…nimos su sumas telescópicas como las sumas de la forma

n

X

k=1

(ak+1 ak)

Ejemplo 2.31. Para la sucesión 1

n la sumas telescópicas son n X k=1 1 k+ 1 1 k

Ejemplo 2.32. La suma 30

X

k=1

(k+ 1)2 k2

corresponden a una suma telescópica de la sucesión n2 _.

Problema 2.48. a) ¿Cuales son las sumas telescópicas de la sucesión 1

2n ?

b) ¿Cuales son las sumas telescópicas de la sucesión n3 _?

Problema 2.49. a) ¿Cual es la sucesión que genera a las sumas telescópi-casPn_{k=1 (k+2)(}1_{k+1) (k+1)}1 _k ?

b) ¿Cual es la sucesión que genera a las sumas telescópicasPn_k=1 k_k+2₊₁ k+1_k ? Problema 2.50. a) Calcule el valor de la serieP100_k=1 1

(k+2)(k+1) 1 (k+1)k . b) Calcule el valor de la serieP50_k=1 k_k+2₊₁ k+1_k .

Problema 2.51. Muestre que n X k=1 1 k(k+ 1) = n X k=1 1 k+ 1 1 k

2.8.2.

Sumas de la forma

P

k

; p

₂

_N

.

Usando series telescópicas uno puede encontrar fórmulas para calcular cierta clase de sumas.

Teorema 2.17. Para todo n_2Nse cumple que

1 + 2 + 3 + 4 + +n= n X k=1 k= n(n+ 1) 2 = n2 2 + n 2

La manera de obtener esta fórmula es considerando la suma telescópica n

X

k=1

(k+ 1)2 k2

puesto que la sucesión subyasente es n2 _{se tiene que} n

X

k=1

(k+ 1)2 k2 = (n+ 1)2 12 (2.8.1) Por otra parte, al desarrollar la expreción(k+ 1)2 k2 _{se obtiene que}

n X k=1 (k+ 1)2 k2 = n X K01 (2k+ 1) = 2 n X k=1 k+ n X k=1 1

por lo tanto n X k=1 (k+ 1)2 k2 = 2 n X k=1 k+n (2.8.2)

De las igualdades 2.8.1 y 2.8.2 se concluye que

2

n

X

k=1

k+n= (n+ 1)2 12

ahora uno puede despejarPn_k=1kpara concluir que n X k=1 k= n 2 2 + n 2 = n(n+ 1) 2

Teorema 2.18. Para todo n₂Nse cumple que

12+ 22+ 32+ 42+ +n2= n X k=1 k2= n(n+ 1) (2n+ 1) 6 = n3 3 + n2 2 + n 6

Esta fórmula se obtiene de modo similar a la de la suma de los primeros n enteros, pero en lugar de considerar la suma telescópica de la sucesión

n2 _{se considera la suma telescópica} n

X

k=1

(k+ 1)3 k3

Aquí, por una parte se tiene que n

X

k=1

(k+ 1)3 k3 = (n+ 1)3 13

y por otra parte n X k=1 (k+ 1)3 k3 = 3 n X k=1 k2+ 3 n X k=1 k+ n X k=1 1 = 3 n X k=1 k2+ 3n(n+ 1) 2 +n

Lo que nos lleva a la igualdad

3 n X k=1 k2_{+ 3}n(n+ 1) 2 +n= (n+ 1) 3 13

DespejandoPn_k=1k2 y simpli…cando uno concluye que n X k=1 k2= n(n+ 1) (2n+ 1) 6 = n3 3 + + n2 2 + n 6

Para las sumasPn_k=1k3_{uno parte de la suma telescópica} n

X

k=1

(k+ 1)4 k4

para concluir que

Teorema 2.19. Para todo n₂Nse cumple que

13+ 23+ 33+ 43+ +n3= n X k=1 k3= n(n+ 1) 2 2 =n 4 4 + n3 2 + n2 4

Problema 2.52. Obtenga la fórmula n X k=1 k3= n(n+ 1) 2 2

a partir de la suma telescópica n

X

k=1

(k+ 1)4 k4

Uno puede seguir este tipo de razonamientos para obtener formulas ex-actas para la suma de la potenciapde los primerosnenteros (p₂N).

Un resultado más general sobre este tipo de sumas es el siguiente: Teorema 2.20. Para cada número naturalpy para todon₂Nse cumple que n X k=1 kp= n p+1 p+ 1 +apn p_+a p 1np 1+ +a1n+a0 dondeap; ap 1; : : : ; a1; a0 son constantes que no dependen den.

Uno puede demostrar este resultado usando la idea anterior e inducción sobrep.

Problema 2.53. ¿Cuáles son los coe…cientes para la suma Pn_k=1k4_? Problema 2.54. Muestre que

l m n!1 Pn k=1kp np+1 = 1 p+ 1

2.8.3.

Sumas de la forma

P

cq

Otra fórmula muy importante es la llamada fórmula de la"progresión geométrica", esto es, la fórmula para sumas del tipo

n

X

k=0

Teorema 2.21. Para cualquier número real q ₆= 1 y para todo n₂ N se cumple que c+cq+cq2+cq3+ +cqn 1+cqn = n X k=0 cqk =c1 q n+1 1 q

Para llegar a esta fórmula uno hace uso de dos propiedades de las pro-gresiones geométricas, a saber,

n+1 X k=0 cqk = n X k=0 cqk+cqn+1 y n_X+1 k=0 cqk=c+q n X k=0 cqk En efecto de esstas dos igualdades se obtiene que

n X k=0 cqk+cqn+1=c+q n X k=0 cqk

y despejandoPn_k=0cqk se llega a la fórmula n X k=0 cqk=c1 q n+1 1 q

Note que para que este procedimiento sea válido es necesario queq sea diferente de cero

2.9.

Series

Como ya se mencionó, un clase especial de sucesiones son las que se obtienen sumando los términos de una sucesión subyacente.

De…nición 2.10. Dada una suesión_fangde…nimosla serie defangcomo la sucesión cuyos términos son las sumasPn_k=1ak, esto es, la serie defang es la sucesión cuyos primeros términos son

( ₁ X k=1 ak; 2 X k=1 ak; 3 X k=1 ak; 4 X k=1 ak; : : : ) o, en forma más explicita

fa1; a1+a2; a1+a2+a3; a1+a2+a3+a4; : : :_g para denotar este tipo de sucesiones usaremos el símbolo

1

X

n=1 an

Ejemplo 2.33. a) La serieP1_n=1n1 denota a la sucesión 1;1 +1 2;1 + 1 2+ 1 3;1 + 1 2+ 1 3 + 1 4; : : :

En este caso la sucesión base es 1_n

b) La serieP1_n=021n representa a la sucesión

1;1 +1 2;1 + 1 2+ 1 22;1 + 1 2 + 1 22 + 1 23; : : :

Problema 2.55. Encuentre las primeras cuatro sumas de las siguientes series:

a)P1_n=0n21₊₁.

b)P1_k=1k2_. c)P1_{k=0 n}1k.

De…nición 2.11. Diremos que una seria P1_k=1ak converge si y solo si la sucesión de sumas parciales

( _n X k=1 1 k(k+ 1) ) = ( ₁ X k=1 ak; 2 X k=1 ak; 3 X k=1 ak; 4 X k=1 ak; : : : )

es una sucesión convergente. En tal caso escribimos

1 X k=1 ak = l m n!1sn= l mn!1 n X k=1 ak

Desafortunadamente la notación usada para hacer referencia al límte de una serie convergente es la misma que para hacer referencia a la propia serie. Así, cuando una serieP1_k=1ak converge, a su límite también se le denota con el mísmo símboloP1_k=1ak. Así, uno debe poner atención al contexto en el que aparece la expresiónP1_k=1ak para saber si se hace referencia a la serie o a su límite.

Ejemplo 2.34. La serieP1_k=1k(k1₊₁₎ converge y

1

X

k=1

1

k(k+ 1) = 1

Para ver la convergencia de la serie debemos estudiar la sucesión de sumas fsng= ( _n X k=1 1 k(k+ 1) ) = ( ₁ X k=1 ak; 2 X k=1 ak; 3 X k=1 ak; 4 X k=1 ak; : : : )

Como sn = n X k=1 1 k(k+ 1) = n X k=1 1 (k+ 1) 1 k y esta última es una suma telescópica se tiene que sn = n X k=1 1 k(k+ 1) = n X k=1 1 (k+ 1) 1 k = 1 n+ 1 1 = 1 1 n+ 1

Así, los términos de la sucesión de sumas parciales_fsng=nPn_k=1k(k1₊₁₎

o es igual a la sucesiónn1 1 n+1 o fsng= ( _n X k=1 1 k(k+ 1) ) = 1 1 n+ 1

Puesto que la sucesión

n 1 _n+11

o

es convergente, la serie P1_{k=1 k(k}1₊₁₎ es convergente. Más aún uno tiene que

1 X k=1 1 k(k+ 1) = l mn!1sn= l mn!1 n X k=1 1 k(k+ 1) = l mn!1 1 1 n+ 1 = 1

Ejemplo 2.35. (La serie geométrica) Veamos ahora que si q ₂ R y

jq_j<1, entonces, la serieP1_k=0cqk converge y

1

X

k=0

cqk= c 1 q La sucesión de sumas parciales para esta serie es

fsng= ( _n X k=0 cqk )

Usando la fórmula de las progresiones gemétricas se tiene que

fsng= ( _n X k=0 cqk ) = c1 q n+1 1 q

Como se vió anteriormente la sucesión_fqn_ges convergente cuando el número qcumple la condición _jq_j<1 y, en este caso,l mn!1qn = 0. Puesto que

qn+1 _{se puede ver como una subsucesión de la sucesiónfq}n_{g, también se} tiene que

l m

n!1q

Finalmente de las propiedades algebráicas de las sucesiones convergentes se tiene que l m n!1sn = l mn!1 n X k=0 cqk = l m n!1c 1 qn+1 1 q = c 1 q por lo tanto la serieP1_k=0cqk converge y

1

X

k=0

cqk= c 1 q Problema 2.56. Muestre que

1

X

k=0 x2k

converge para_jx_j<1. (Sugerencia: Tomeq=x2₎

Nuestro primer resultado es la formulación de la convergencia de series en términos de sucesiones de Cauchy

Teorema 2.22. Una serieP1_k=1ak es convergente si y solo si para cada número positivo dado,", existeN ₂Ntal que para todon; m₂Ntales que n > m N se cumple la desigualdad jam+am+1+ +an 1+anj= n X k=m ak < "

Dos consecuencias inmediatas de este teorema son

Corolario 2.23. Si una serie P1_k=1ak converge, entonces, la sucesión

fang convege y

l m

n!1an= 0

Ejemplo 2.36. La serieP1_k=1k1 diverge a₁. Mostraremos primero que para todon₂Nse cumple que

2n X k=1 1 k n 2

En efecto, uno puede descomponer esta suma de la siguiente manera 2n X k=1 1 k = 21 X k=1 1 k+ 22 X k=21₊₁ 1 k + 23 X k=22₊₁ 1 k+ 24 X k=23₊₁ 1 k+ + 2n X k=2n 1₊₁ 1 k

Puesto que en cada suma de la forma 2j X k=2j 1₊₁ 1 k

hay2j 1 _{sumandos y cada uno de ellos es mayor que} 1

2j se tiene que 2j X k=2j 1₊₁ 1 k 2 j 1 1 2j = 1 2

De esto se sigue que 2n X k=1 1 k = 21 X k=1 1 k+ 22 X k=21₊₁ 1 k+ 23 X k=22₊₁ 1 k + 24 X k=23₊₁ 1 k+ + 2n X k=2n 1₊₁ 1 k 1 2+ 1 2+ 1 2 + 1 2 + + 1 2 = n 2

Puesto que la sucesión n₂ diverge a ₁, se sigue que la serie P1_k=1k1 también diverge.

Observación 2.3. El ejemplo de la serieP1_k=11_k sirve como contraejemplo para ver que el recíproco del corolario anterior no es váldo. Esto es, si para una sucesión_fang se cumple que

l m n!1an= 0 la correspondiente serie 1 X k=1 ak

no necesariamenteconverge. Así, la convergencia a cero de la sucesión subyacente es una condición necesaria más no su…ciente.

Teorema 2.24. Si la serieP1_k=1jakjconverge, entonces, la serie

P₁

k=1ak converge.

Teorema 2.25. Si P1_k=1ak y

P₁

k=1bk son dos series convergentes, en-tonces, la serieP1_k=1( ak+ bk)converge y

1 X k=1 ( ak+ bk) = 1 X k=1 ak+ 1 X k=1 bk

Observación 2.4. Como casos particulares del teorema anterior están los siguientes

1. SiP1_k=1ak es una serie convergente, entonces, para cualquier número 2Rla serieP1_k=1 ak converge y 1 X k=1 ak = 1 X k=1 ak 2. SiP1_k=1ak y P₁

k=1bk son dos series convergentes, entonces, la serie

P₁ k=1(ak+bk)converge y 1 X k=1 (ak+bk) = 1 X k=1 ak+ 1 X k=1 bk

El hecho de que para que una serie converja es necesario que los términos de la sucesión subyacente se hagan cada vez más pequeños, sugiere que para determinae la convergencia de una serie no es relevante lo que ocurra con la suma de los primeros términos. A continuación precisamos esta idea.

Empecemos por de…nir la serie

1

X

k=N0

ak

dondeN0es algún número natural.

De…nición 2.12. Por la serie P1_k=N0ak (N0 2N) etendemos la sucesión de sumas parciales ( _N0 X k=N0 ak; NX0+1 k=N0 ak; NX0+2 k=N0 ak; NX0+3 k=N0 ak; : : : )

En forma desarrollada la serieP1_k=N0ak es la sucesión de sumas

faN0; aN0+aN0+1; aN0+aN0+1+aN0+2; aN0+aN0+1+aN0+2+aN0+4; : : :g

Notemos que para cualquier n N0 la suseción de sumas de la serie

P₁

k=N0ak se puede escribir como

( _n X k=1 ak NX0 1 k=1 ak )

Usando esto uno puede ver que

Teorema 2.26. Una serieP1_k=1ak converge si y solo si para algunaN02 Nla serieP1_k=N0ak converge.

2.10.

Criterios de convergencia de series de

términos positivos

El teorema 2.24 permite en muchos casos reducir el anáisis de la conver-gencia de una seria al estudio de la desrie de las valores absolutos que es una serie de términos no negativos. Así, cada criterio de convergencia para series de términos positivos es potencialmente un criterio para establecer la convergencia de una serie sea esta positiva o no.

Una de las razones principales que hacen mucho más manejables las series de términos positivos es el que la sucesión que de…nen, esto es la sucesión de sumas parciales, es monótona creciente. En efecto sian >0 para todo n, entonces, sn+1 = n_X+1 k=1 ak =a1+ +an+an+1 = (a1+ +an) +an+1= n X k=1 ak+an+1=sn+an+1 y comoan+1>0 sn+1> sn+an+1> sn por lo tanto la serieP1_k=1ak es una sucesión creciente.

Una primera consecuencia de la monotonía de las series de términos positivos es que solo puede ocurrir una de dos cosas; o la serie converge o diverge a₁.

También, cuando se tienen sucesiónes monotonas crecientes, el problema de la convergencia se reduce a veri…car que la sucesiones estén acotadas superiormente. En el contexto de series la noción de .a_cotada

superior-mente"se puede formular de la siguiente manera

De…nición 2.13. Se dice que una serie P1_k=1ak está acotada superior-mente si y solo si existeM >0tal que para todo natural n

sn = n

X

k=1

ak M

Esto es, si la sucesión de sumas parciales está acotada superiormente. Nuestro primer resultado es consecuencia del teorema de convergencia monótona.

Teorema 2.27. Si una serieP1_k=1ak de términos positivos (esto es,an>

0para todo n) es acotada superiormente, entonces, la serie converge. El siguiente critério para decidir si una serie de términos positivos con-verge es llamado el criterio de comparación.

Teorema 2.28. (Criterio de comparación) SiP1_k=1ak y

P₁

k=1bk son dos series de términos positvos y

an bn para todon2N Entonces

) Si la serieP1_k=1bk converge, también la serie

P₁

k=1ak converge. ) Si la serie P1_k=1ak diverge, también la serieP1_k=1bk diverge. Ejemplo 2.37. Consideremos la serie

1 X k=0 1 k+ 1 1 2 k

Sabemos que la serie geométricaP1_k=0 1 2 k converge, pues 1 2 <1. Además, para todon 1 n+ 1 1 2 n 1 2 n

por el inciso ) podemos concluir que la serie

1 X k=0 1 k+ 1 1 2 k converge

Ejemplo 2.38. Considermos la serie

1 X k=1 1 p k No es di…cil veri…car que

1 n 1 p n para todon2N y como la serieP1_k=11

k diverge, por el inciso ), tabién la serie

1 X k=1 1 p k diverge

Otra forma de compara dos series es mediante el cociente de sus términos. Teorema 2.29. SiP1_k=1aky

P₁

k=1bk son dos series de términos positvos y l m n!1 an bn = 1

Ejemplo 2.39. Para ver la convergencia de la serie 1 X k=1 1 k2 considermos al serie 1 X k=1 1 k(k+ 1)

No es di…cil veri…car que

l m n!1 1 n2 1 n(n+1) = 1

Por lo tanto podemos aplicar el teorema anterior para concluir que la serie

P₁

k=1k12 converge si y solo si la serie

P₁

k=1 k(k1+1). Pero, como ya vimos, la serieP1_k=1 1

k(k+1) converge. Por lo tanto, la serie

1

X

k=1

1

k2 converge

Teorema 2.30. (Criterio de la razón) Sea P1_k=1ak una serie de términos positivos tal que

l m n!1 an+1 an = Entonces,

) Si el límite <1, la serie P1_k=1ak converge. ) Si el límite >1, la serie P1_k=1ak diverge.

) Si el límite = 1, busque otro criterio porque este no le sirve. Ejemplo 2.40. Veamos como podemos usar el criterio de la razón para establecer la convergencia de la serie

1 X k=0 1 k!q k

Para cualquierq >0se tiene que

l m n!1 1 (n+1)!qn+1 1 n!qn = l m n!1 n!qn+1 (n+ 1)qn = l m_n!1 q n+ 1 = 0

y como0<1se sigue del inciso ) que la serie

1

X

k=0

1

k!q

Problema 2.57. Use el teorema 2.24 para mostrar que la serie 1 X k=0 1 k!x

k _{converge para todox}

2R Un criterio similar es el criterio de la raiz enésima

Teorema 2.31. (Criterio de la raíz enésima) Sea P1_k=1ak una serie de términos positivos tal que

l m n!1 n p_a n= Entonces,

) Si el límite <1, la serie P1_k=1ak converge. ) Si el límite >1, la serie P1_k=1ak diverge.

) Si el límite = 1, busque otro criterio porque este no le sirve. Ejemplo 2.41. Consideremos la serie

1 X k=1 n+ 1 2n n

Puesto que en este caso

l m n!1 n s n+ 1 2n n = l m n!1 n+ 1 2n = 1 2

se sigue del inciso ) del criterio de la raíz enésima que la serie

1 X k=1 n+ 1 2n n converge

Problema 2.58. Cada una de las series siguientes se pueden ver térmimnos de series telescópicas o de series gemetricas. Use la spropiedades de este tipo de series para mostrar que

a)P1_{k=1 (2k 1)(2}1 _k+1) = 1₂ b) P1_k=13k21 = 3 c) P₁ k=1 1 k2 ₁ = 3₄ d) P1 k=12 k₊₃k 6k = 3₂

Problema 2.59. Muestre que sipes un entero positivo yp 2, entonces, la serie 1 X k=1 1 kp converge.

Problema 2.60. Determine si las siguientes series convergen o divergen a)P1_k=1(₍₂k_k!)_)!2 b)P1_k=12_kkkk! c) P₁ k=1 1 (log(k+1))k d) P₁ k=1 k3(p2+( 1)k)k 3k e)P1_k=1(senn)rn (0< r <1)