Controlabilidad exacta interna para la ecuación semilineal del calor

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Universidad del Perú. Decana de América

Facultad de Ciencias Matemáticas

Unidad de Posgrado

“Controlabilidad exacta interna para la ecuación

semilineal del calor”

TESIS

Para optar el Grado Académico de Magíster en Matemática Pura

AUTOR

Luz Teresa QUISPE VEGA

ASESOR

Victor Rafael CABANILLAS ZANNINI

Lima, Perú

2018

FICHA CATALOGRÁFICA

QUISPE VEGA, LUZ TERESA

Controlabilidad Exacta Interna para la Ecuación Semilineal del Calor, (Lima) 2018.

VIII.,90p., 29.7 cm (UNMSM, Magister, Matemá-tica Pura, 2018)

Tesis de Maestría, Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Facultad de Ciencias Matemáticas. Unidad de Posgrado, UNMSM/FCM.

Dedicatoria

Agradecimientos

A mi esposo Javier por su amor incondicional, paciencia y gran apoyo. A mis amados padres María y Alejandro que a pesar de la distancia siempre me alentaban a conseguir mis metas.

A mi asesor el Dr. Victor Rafael Cabanillas Zaninni, por sus enseñanzas, su paciencia, su constante apoyo y sobre todo su amistad.

A la Dra. Roxana López Cruz, por sus consejos, sugerencias y apoyo moral. Al Dr. José Luyo y a la Dra. Yolanda Santiago por sus observaciones y sugerencias que me sirvieron para la culminación de este trabajo de tesis.

A mis amigas, la profesora Gregoria Ramón, Martha Timoteo y Carole Huamán, por su aliento moral, apoyo y amistad incondicional.

Índice general

Agradecimientos iv

1. Preliminares 4

1.1. Notaciones . . . 4

1.2. Soporte de una función . . . 4

1.3. El espacio C∞ 0 (Ω) de las funciones de prueba . . . 5

1.4. Espacios Lp_{(Ω) . . . . 5}

1.5. Espacio de Distribuciones . . . 8

1.6. Espacios de Sobolev . . . 9

1.7. Conjuntos abiertos bien regulares . . . 12

1.8. Operadores monótonos y el teorema de Minty-Browder . . . 14

1.9. EspaciosLp_{(0, T;X) . . . . 15}

1.10. Terna de evolución . . . 22

1.11. Derivadas generalizadas . . . 22

1.12. El espacio de Sobolev W1,p_{(0, T;V, H) . . . . 24}

1.13. Ecuación lineal de primer orden abstracta . . . 25

2.1. Introducción . . . 28

2.2. Construcción del operador no lineal . . . 29

2.3. Lipschitzianidad del operador no lineal F . . . 32

2.4. Extensión del operador F . . . 37

2.5. Monotonía del operador F . . . 38

2.6. El resultado principal . . . 45

3. Comportamiento de los controles cuando f _−→0 54 4. Aplicaciones 67 4.1. Modelos de reacción - difusión . . . 67

4.2. Control de la ecuación de Fisher . . . 70

4.3. El modelo Kierstead, Slobodkin y Skellam . . . 77

4.4. El modelo de Fisher-KPP . . . 79

4.5. Positividad de las soluciones . . . 81

4.6. Una variante del modelo Fisher-KPP . . . 81

4.7. El modelo de Jin-ichi-Nagumo . . . 83

5. Conclusiones 85

Resumen

En el presente trabajo estudiaremos el problema de la controlabilidad exacta en el interior del dominio Ω asociado a la ecuación semilineal parabólica

               y′_{−∆y+f(y) =h , en Q} y= 0 , sobre Σ y(0) =y0 _{, en Ω}

Demostraremos que para cada estado inicial y0 _{∈ L}2_{(Ω) y cada estado final}

z0 _{∈ L}2_{(Ω), es posible encontrar una función control h ∈ L}2_{(0, T;H}−1_{(Ω)) que}

al actuar sobre el sistema conduzca al estadoy(x, t)hacia el estado final z0 _{en el}

tiempo T. Además, demostraremos que el control h es Lipschitz continuo sobre los estados finales y estudiaremos el comportamiento de h cuando f tiende a cero. En la parte final del trabajo estudiaremos algunas aplicaciones del teorema principal, por ejemplo a los modelos semilineales de Fisher, Kierstead, Slobodkin y Skellam, Fisher - KPP y Jin - ichi-Nagumo.

Palabras clave. Controlabilidad exacta, ecuación semilineal parabólica, método de la expansión del dominio, Teorema de Minty-Browder, operador monótono.

Abstract

In this work we will study the problem of the exact controllability within the

Ω domain associated with the parabolic semilinear equation

               y′_{−∆y+f(y) =h , in Q} y = 0 , on Σ y(0) =y0 _{, in Ω}

We will show that for each initial statey0 _∈L2_{(Ω)and each final statez}0 _∈L2_(Ω),

it is possible to find a control function h _∈ L2_{(0, T;H}−1_{(Ω)) that acting on the}

system leads to the statey(x, t)towards the final statez0 _{at timeT. In addition,}

we will show that the control his Lipschitz continuous on the final states and we will study the behavior of h when f tends to zero. In the final part of the work we will study some applications of main theorem, for example to the semilinear models of Fisher, Kierstead, Slobodkin and Skellam, Fisher KPP and Jin -ichi-Nagumo.

Keywords. Exact controllability, parabolic semilinear equation, domain expansion method, Minty-Browder Theorem, monotone operator.

Introducción

En las últimas décadas, la teoría del control ha ganado gran importancia como disciplina para ingenieros, matemáticos y otros científicos. Ejemplos de problemas de control van desde casos sencillos, como la conducción del calor a través de una barra, hasta casos más complejos como el control de la trayectoria de una ecuación diferencial, el control de una variable económica, el control de una epidemia, etc. En los últimos años se ha estudiado la controlabilidad de sistemas parabólicos no lineales (semilineales, superlineales, fuertemente no lineales, etc.). Si la solución de un sistema puede conducirse hacia un estado deseado tan cerca como se quiera, entonces estamos ante la controlabilidad aproximada del sistema. Por otra parte,

la controlabilidad exacta indicará que la solución puede conducirse exactamente

hasta un estado deseado. Fabre, Puel y Zuazua [9], realizaron un estudio sobre la controlabilidad aproximada para la ecuación semilineal del calor sobre un dominio acotado Ω cuando el control actúa sobre cualquier subconjunto abierto no vacío de Ω o en alguna parte de la frontera. Cuando la función control actúa sobre el interior del dominio Ω se dice que es un control interno, pero si actúa sobre la frontera Γ de Ω es llamado control frontera. Para ambos controles la controlabilidad aproximada enLp_(Ω)para1

la no linealidad es globalmente Lipschitz. Otras referencias sobre controlabilidad aproximada son los trabajos de V. Cabanillas [5] y [6].

En el presente trabajo estudiaremos la controlabilidad exacta interna para la ecuación semilineal del calor.

Sea Ωun conjunto abierto acotado de Rn_{con frontera suficientemente regular}

Γ = ∂Ω (de clase C2_{). Dado T > 0, denotemos por Q = Ω×(0, T) el cilindro}

generado porΩy porΣ = Γ_×(0, T)su frontera lateral. Consideremos la ecuación semilineal del calor

               y′_{−∆y+f(y) =hχ} ω , en Q y= 0 , sobre Σ y(0) =y0 _{, en Ω} (1)

Asumiremos la siguiente hipótesis sobre f

(H) La función f =f(t, y) es continua en t_∈ [0, T] y globlalmente Lipschitz continua en y_∈R_{, es decir, existe una constante ℓ >0 tal que}

|f(t, y1)−f(t, y2)| ≤ℓ|y1−y2| , ∀ y1, y2 ∈R (2)

En el sistema (1), la función h =h(x, t) se denomina la función control. Por

y′ _{denotamos la derivada distribucional de la función ycon respecto a la variable}

temporal t.

Definición 0.1 Decimos que el sistema (1) es exactamente controlable enL2_(Ω)

en el tiempo T > 0, si para cualquier estado inicial y0 _{y cualquier estado final}

z0 _∈L2_{(Ω) existe una función control h(x, t) = h(x, t, y}0_{, z}0_)∈L2_{(0, T;H}−1_(Ω))

tal que la solución y de (1) con ω = Ω satisface

J. L. Lions [14] demostró que si ω es un subconjunto propio de Ω, la controlabilidad exacta interna para la ecuación lineal del calor es imposible, lo mismo sucede con la controlabilidad interna en una ecuación semilineal del calor si ω es un subconjunto propio de Ω.

En este trabajo, probaremos que el sistema (1) es exactamente controlable siguiendo las ideas del artículo [16] de W. Liu y G. Williams.

Con el objetivo de lograr una presentación didáctica del problema, hemos organizado nuestra tesis de la siguiente manera: en el capítulo 1 presentaremos algunos resultados y herramientas del Análisis Funcional que serán utilizados en los capítulos siguientes. En el capítulo 2 formulamos el problema de control para la ecuación parabólica semilineal

y′₋∆y+f(y) =h

estableciendo las hipótesis sobre el dominio Ω y la función f del término no lineal. Este capítulo constituye la parte central del trabajo pues en él enunciamos y denotamos el teorema principal acerca de la controlabilidad exacta de nuestro problema, utilizando el teorema de Minty-Browder y el método de la expansión del dominio. En el capítulo 3 estudiaremos el comportamiento de la función control h cuando la función f tiende a cero. Como consecuencia de los teoremas demostrados en el capítulo 2, hemos demostrado en el capítulo 4 la aplicabilidad de estos resultados a algunos modelos semilineales como los de Fisher, Kierstead, Slobodkin y Skellam, Fisher - KPP y Jin - ichi-Nagumo. En la parte final del trabajo incluímos las conclusiones de la tesis así como las referencias bibliográficas.

Capítulo 1

Preliminares

1.1.

Notaciones

Representaremos el conjunto de los números naturales con la letra N_.

Dado n _≥ 1 los elementos de Nn _{serán llamados multi-índices. Dado α =} (α1, α2, ..., αn)∈Nn y x= (x1, x2, ..., xn)∈Rn, definimos el orden deα como

|α_|=α1+α2+...+αn ,

y la derivada parcial de la función u de orden α de la siguiente forma

Dαu= ∂ |α|_u ∂xα1 1 ∂x α2 2 ...∂xαnn Si α= (0,0, ...,0) entoncesD0_u=u.

1.2.

Soporte de una función

Definición 1.1 Sean Ω un conjunto abierto de Rn _{y u: Ω→} R _{una función, se}

se representa por

Sop(u) = _{x_∈Ω;u(x)₆= 0_}Ω.

1.3.

El espacio

C

(Ω)

de las funciones de prueba

Definición 1.2 Sean Ω un conjunto abierto deRn _{y ϕ : Ω→R una función, se}

dice queϕ pertenece al espacio C∞

0 (Ω), siϕ admite derivadas parciales continuas

de cualquier orden en Ω y tanto ϕ como sus derivadas se anulan fuera de un compacto deΩ.

Definición 1.3 SeaΩun conjunto abierto deRn_{, denotamos porD(Ω)al espacio}

C∞

0 (Ω) con la siguiente noción de convergencia:

Sea _{ϕn}n_∈N una sucesión de funciones en D(Ω) y ϕ ∈ D(Ω). Se dice que la sucesión _{ϕn}n_∈N converge a ϕ enD(Ω) si satisface las siguientes condiciones:

a. Existe un conjunto compacto fijo K enΩ tal que

Sop(ϕn)⊆K , ∀ n∈N.

b. Para todo α _∈ Nn_{, la sucesión {D}α_ϕn}n

∈N de las derivadas de orden α de

ϕn converge uniformemente a Dαϕ sobre el compacto K, esto es sup

x∈K|

Dα_ϕ

n(x)−Dαϕ(x)| →0 , ∀ α∈Nn.

1.4.

Espacios

L

(Ω)

Sea Ω un conjunto abierto de Rn_{,1 ≤ p < ∞. Se denota por L}p_{(Ω) al espacio}

definidas en Ωcon valores en R _{tal que} Z Ω| u(x)_|pdx <_∞ es decir Lp(Ω) = u: Ω_→R_{;u es medible y} Z Ω| u(x)_|pdx <_∞ .

Por L∞_{(Ω) denotaremos al espacio vectorial de todas las funciones (clases de}

equivalencia) Lebesgue-medibles, esencialmente acotadas, definidas en Ω con valores en R_.

Proposición 1.1

a. Si 1_≤p < _∞, Lp_{(Ω) es un espacio de Banach con la norma}

ku_kLp_(Ω) = Z Ω| u(x)_|pdx 1 p .

b. Si p=_∞, L∞_{(Ω) es un espacio de Banach con la norma}

ku_kL∞ (Ω) =supess x∈Ω | u(x)_|, donde supess x∈Ω | u(x)_|= ´ınf_{k_≥0; _|u(x)_{| ≤}k, c..t.p. x_∈Ω_}. c. Si 1_≤p < _∞, entoncesLp_{(Ω) es un espacio separable.}

d. Si 1< p <_∞, entonces Lp_{(Ω) es un espacio reflexivo.}

e. Si p= 2, L2_{(Ω) es un espacio de Hilbert con el producto interno}

(u, v)L2_(Ω)= Z

Ω

u(x)v(x)dx.

Definición 1.4 Dados los espacios normados X y Y, diremos que X está

continuamente inmerso en Y, si X es subconjunto de Y y existe una constante

positiva C tal que

ku_{kY ≤}C_ku_kX ,

para todo u _∈ X, donde C es la constante de inmersión, en tal caso denotamos

X ֒_→Y.

Teorema 1.1 Si Ω es acotado y 1_≤p_≤q <_∞ entonces Lq_(Ω)֒

→Lp_(Ω). Demostración_{.Ver Brezis [4].}

Teorema 1.2 (Desigualdad de Hölder) Sean 1 _≤ p _{≤ ∞}, 1 _≤ q _{≤ ∞} tal

que p y q son exponentes conjugados. Si u_∈Lp_{(Ω) y v ∈L}q_{(Ω) entonces}

uv _∈L1_(Ω)

y

Z Ω|

u(x)v(x)_|dx_{≤ k}u_kLp_(Ω)kvkLq_(Ω).

Demostración_{.Ver Brezis [4].}

Teorema 1.3 (Desigualdad de Hölder generalizada) Sean las funciones f1, f2, . . . , fk tales que fi ∈Lpi(Ω) donde 1≤i≤k con

1 p = 1 p1 + 1 p2 + . . . 1 pk ≤ 1 . Entonces f =f1...fk ∈Lp(Ω)

y

kf_kLp_(Ω)≤ kf1kLp1_(Ω)...kfkkLpk_(Ω).

Demostración_{.Ver Brezis [4] .}

1.5.

Espacio de Distribuciones

Definición 1.5 Una distribución sobreΩes una aplicación linealT :_D(Ω)_→R

la cual es continua sobre _D(Ω).

Definición 1.6 Decimos que T es continua sobre _D(Ω) si para toda sucesión

{ϕv}v_∈N ⊂ D(Ω), tal que ϕv → ϕ en D(Ω), cuando v → ∞, se tiene que

hT, ϕvi → hT, ϕien R.

Observación 1.1 Seaf _∈Lp_(Ω),16p6

∞.Entonces se define la distribución Tf como

hTf, ϕi=

Z Ω

f(x)ϕ(x)dx , _∀ϕ_{∈ D}(Ω).

Definición 1.7 Sea T una distribución, definimos la derivada distribucional de

orden α _∈Nn _{de T por}

hDα_{T, ϕ}

i= (₋1)|α|_hT, Dα_ϕ

i , _∀ϕ _{∈ D}(Ω).

Observación 1.2 Sea Tf una distribución definida porf ∈Lp(Ω), entonces la

derivada de ordenα está definida por

hDαTf, ϕi= (−1)| α| hTf, Dαϕi= (−1)| α|Z Ω f(x)Dαϕ(x)dx , _∀ϕ_{∈ D}(Ω).

Definición 1.8 Seaα_∈Nn _{yf ∈L}2_{(Ω), se dice que D}α_{f ∈L}2_{(Ω) en el sentido}

de las distribuciones si existe gα ∈L2(Ω) tal que

Z Ω f(x)Dα_{ϕ(x)dx = (} −1)|α| Z Ω gα(x)ϕ(x)dx , ∀ϕ ∈ D(Ω).

D′_{(Ω) es el espacio vectorial de las distribuciones, el cual es el dual topológico de}

espacio _D(Ω).

1.6.

Espacios de Sobolev

Sean Ω_⊆Rn _{un conjunto abierto, 1≤p≤ ∞y m ∈}N_{, definimos el espacio}

Wm,p_{(Ω) =} {u_∈Lp_{(Ω); D}α_u ∈Lp_{(Ω), 0} ≤ |α_{| ≤}m_} con la norma ku_kWm,p_(Ω) =   X 0≤|α|≤m kDαu_kp_Lp_(Ω)   1 p , 1_≤p <_∞ Entonces Wm,p_(Ω), k . _kWm,p_(Ω)

es un espacio de Banach, denominado espacio de Sobolev.

Cuando p= 2, el espacio de SobolevWm,p_{(Ω) es denotado por H}m_(Ω).

Definición 1.1 Se denota por Hm_{(Ω) el espacio de todas las funciones u ∈}

L2_{(Ω) tales que para todo |α| ≤ m, D}α_u

∈ L2_{(Ω) siendo D}α_{u la derivada de}

u en el sentido de las distribuciones. Esto es

Hm_{(Ω) =u}

∈L2(Ω) ; Dα_u

Observación 1.3

a. El espacio Hm_{(Ω) es un espacio de Hilbert con el producto escalar definido}

por (u, v)Hm_(Ω) = X |α|≤m (Dαu, Dαv)_L2_(Ω) , ∀ u, v ∈H m (Ω).

b. Cuando m= 1 tenemos el espacio H1_{(Ω), definido por}

H1(Ω) = u_∈L2(Ω) ; ∂u ∂xi ∈ L2(Ω), i= 1,2, . . . , n c. Cuando m= 0 entonces W0,p_{(Ω) =L}p_(Ω).

d. El espacio de las funciones de pruebaC∞

0 (Ω) es denso en el espacio Lp(Ω),

pero no es verdad que C∞

0 (Ω) sea denso en Wm,p(Ω) para m ≥ 1, por

esa razón, se define el espacio W₀m,2(Ω) como la cerradura de C∞

0 (Ω) en Wm,p_{(Ω), esto es} W₀m,p(Ω) =C∞ 0 (Ω) Wm,p_(Ω) e. Cuando p= 2 se escribe Hm 0 (Ω) en lugar de W m,2 0 (Ω).

Definición 1.9 Sean 1 _≤p < _∞ y 1< q _{≤ ∞} tal que 1 p +

1

q = 1. Se denota el

dual topológico de W₀m,p(Ω) por W−m,q_{(Ω) . Esto es}

(W0m,p(Ω)) ′

=_{f :W0m,p(Ω)→R;fes lineal y continua}

En particular, el dual topológico de Hm

0 (Ω) se denota por H−m(Ω).

Teorema 1.4 (Desigualdad de Poincaré) SeaΩun abierto deRn _{acotado en}

la dirección xi. Entonces Z Ω| u_|2dx_≤(b₋a)2 Z Ω ∂u ∂xi 2 dx (1.1)

para todo u_∈H1

0(Ω) donde priΩ⊂(a, b).

Demostración_{.Primero demostraremos que la desigualdad (1.1) se cumple para}

ϕ _{∈ D}(Ω) y finalmente aplicaremos la densidad de _D(Ω) enH1 0(Ω). Consideremos inicialmenteϕ _∈C∞ 0 (a, b)entonces ϕ(t) = Z t a ϕ′(s)ds , a_≤t_≤b |ϕ(t)_|= Z t a ϕ′(s)ds = Z t a 1ϕ′(s)ds , a≤t≤b

aplicando la desigualdad de Hölder tenemos

|ϕ(t)_{| ≤} Z t a | 1_|2ds 1 2 Z t a | ϕ′(s)_|2ds 1 2 = (t₋a)12 Z t a | ϕ′(s)_|2ds 1 2

elevando al cuadrado tenemos

|ϕ(t)_|2 _≤(t₋a) Z t a | ϕ′(s)_|2ds _≤(b₋a) Z b a | ϕ′(t)_|2dt

integrando con respecto a t_∈[a, b]tenemos

Z b a | ϕ(t)_|2dt_≤(b₋a)2 Z b a | ϕ′(t)_|2dt (1.2) Sin pérdida de generalidad supongamos que Ω es acotado en la dirección x1.

Consideremos la notación x = (t, x′_{) donde t = x}

1, x′ = (x2, x3, x4, ..., xn) y sea ϕ _∈C∞ 0 (a, b) entonces Z Ω| ϕ(t)_|2dt= Z Rn−1 Z b a | ϕ(t, x′)_|2dt dx′ (1.3) observemos queψx′(t) =ϕ(t, x′)∈C∞

0 (a, b)para cadax′ ∈Rn−1. Luego tomando

ψx′(t)en la desigualdad (1.2) tenemos Z b a | ϕ(t, x′)_|2dt_≤(b₋a)2 Z b a ∂ϕ ∂t(t, x ′₎ 2 dt

considerando esta desigualdad en (1.3) tenemos Z Ω| ϕ(t)_|2dt_≤(b₋a)2 Z Rn−1 Z b a ∂ϕ ∂t(t, x ′₎ 2 dt ! dx′ = (b₋a)2 Z Ω ∂ϕ ∂x1 (x) 2 dx para todo ϕ_{∈ D}(Ω). Sea u_∈H1

0(Ω) entonces existe una sucesión {ϕn}n_∈N en ϕ∈ D(Ω) tal que

ϕn →u , en L2(Ω) ∂ϕn ∂x1 → ∂u ∂x1 , en L2(Ω)

Luego (1.1) queda probado para todo u_∈H1 0(Ω).

Observación 1.4 Por los argumentos usados en la demostración del Teorema 1.4 se obtiene que L:Hm 0 (Ω) →H−m(Ω) con L= X |α|≤m (₋1)|α|_D2α

es una isometría lineal. En particular

−∆ : H₀1(Ω)_→H−1(Ω) con ∆ = n X i=1 ∂2 ∂x2 i

es una isometría lineal.

Definición 1.10 Sea n _∈ N _{y Ω un conjunto abierto y acotado de} Rn _{con su}

frontera ∂Ω

1.7.

Conjuntos abiertos bien regulares

A continuación, definiremos el concepto de conjunto abierto bien regular. Inicialmente fijaremos algunas notaciones.

Sea Q un rectángulo abierto:

Q=_{y _∈Rn _{: 0< yi <1 , i= 1,2, ..., n−1, −1< yn<1}}

Q+ _{y Q}− _{son cuadrados abiertos}

Q+=Q_{∩ {}yn >0}

Q− =Q_{∩ {}y1 <0}

Y el segmento abierto

Σ =Q_{∩ {}yn = 0}.

Definición 1.11 SeaΩun subconjunto abierto deRn _{. Se dice que Ωes de clase}

Cm _{, m = 1,2, ... si su frontera Γ es una variedad de clase C}m _{de dimensión}

n₋1 y ubicada localmente al mismo lado deΩ.

Si Ω es de clase Cm _{entonces existe un sistema de cartas locales (U}

j, ϕj) ,

j = 1,2... definiendoΓ tal que

Uj es un abierto acotado de Rn y los Uj cubrenΓ

ϕj :Uj →Q es una biyección de clase Cm

ϕ−j1 :Q→ Uj es de clase Cm

ϕj(Uj∩Ω) = Q+, ϕj(Uj ∩Γ) = Σ

Definición 1.12 Se dice que Ω es bien regular si es de clase Cm _{para todo}

m= 1,2...

Definición 1.13 Se dice que Ω es un dominio de Lipschitz o dominio con frontera de Lipschitz, si su frontera es suficientemente regular, en el sentido de

que esta es localmente la gráfica de una función lipschitziana, es decir, para cada

x _∈ ∂Ω existe una bola B(x), tal que B(x)_∩ Ω es el gráfico de una función

lipschitziana.

1.8.

Operadores monótonos y el teorema de

Minty-Browder

Definición 1.14 Sea X un espacio de Banach, X′ _{su espacio dual, h., .iX}

′

×X la

dualidad entre X′ _{y X y F :X →X}′ _{un operador. Entonces}

a. F es llamado monótono si y solo si

hF(u)₋F(v), u₋v_iX′_×X ≥0 , ∀u, v ∈X

b. F es llamado estrictamente monótono si y solo si

hF(u)₋F(v), u₋v_iX′

×X >0 , ∀u, v ∈X , u6=v

c. F es llamado fuertemente monótono si y solo si existe α >0tal que

hF(u)₋F(v), u₋v_iX′_×X ≥αku−vk

2

X , ∀u, v ∈X

d. F es llamandohemicontinuo si y solo sit_{7→ h}F(u+tv), w_iX′_×X es continua

e. F es llamado coercivo si y solo si

l´ım

kuk→∞

hF(u), u_iX′_×X

ku_k = +∞

Observación 1.5 La monotonicidad fuerte implica la coercividad.

Teorema 1.5 (Minty-Browder) Sea X un espacio de Banach reflexivo y

sea F : X _→ X′ _{un operador monótono, coercivo y hemicontinuo. Entonces F}

es un operador sobreyectivo. Si F es fuertemente monótono entonces el operador

inverso F−1 _:X′ _{→X es Lipschitz continuo.}

Demostración_{.Ver E. Zeidler [27].}

1.9.

Espacios

L

(0

, T

;

X

)

Definición 1.15 Dada la función f : M _⊆ R _{→ X, diremos que f es una}

función simple si existen M1, M2, ..., Mk subconjuntos de M con µ(Mi) < ∞ y

a1, a2, ..., ak vectores enX tales que

f(x) =        ai , x∈Mi 0 , x /_∈Mi Gráficamente tenemos

Definición 1.16 Dada una función simple f : M _⊆ R _{→ X , donde M es}

medible, definimos la integral vectorial de Lebesgue def por

Z M f(x)dx= n X i=1 aiµ(Mi)

Definición 1.17 Dada una funciónf :M _⊆R_{→X diremos quef esintegrable}

en el sentido de Lebesgue si existe una sucesión _{fn}n_∈N con fn : M ⊆ R → X

de funciones simples, tal que

a. l´ım

n→∞fn(x) =f(x), c.t.p. x∈M.

b. Para todo ε >0, existe n0 ∈N tal que ∀ n, m≥n0 se tiene Z

Mk

fn(x)−fm(x)kXdx < ε

Si estas dos condiciones son satisfechas, definimos la integral de f sobre M

según Lebesgue por

Z M f(x)dx= l´ım n→∞ Z M fn(x)dx

Definición 1.18 Sean X un espacio de Banach y m= 0,1,2, ... , denotaremos porCm_{([0, T] ;X)al espacio de todas las funciones continuasu: [0, T]}

que sus derivadas u(k) _{: [0, T]→X también son continuas para k = 0,1,2, ..., m.}

Esto es

Cm_{([0, T] ;X) = u: [0, T]}

→X; u(k)

∈C([0, T] ;X), k= 0,1,2, ..., m

Además el espacio Cm_{([0, T] ;X) con la norma}

ku_kCm_([0,T];X) = m X k=0 m´ax 0≤t≤T u(k)(t)_X es un espacio de Banach.

Definición 1.19 Sean X un espacio de Banach y 1 _≤ p < _∞, el conjunto

Lp_{(0, T;X) es la colección de todas las funciones u : (0, T) → X medibles tales}

que Z T 0 k u(t)_kp_Xdt <_∞ entonces el conjunto Lp_{(0, T;X) =} u: (0, T)_→X; u es medible , Z T 0 k u(t)_kp_X dt <_∞ con la norma ku_kLp_(0,T;X) = Z T 0 k u(t)_kp_Xdt 1 p es un espacio de Banach. Cuando p=_∞, definimos ku_kL∞_(0,T;X) =supess 0<t<T k u(t)_kX

Proposición 1.2 Sean m = 0,1, ... y 1 _≤ p < _∞. Si X y Y son espacios de Banach, entonces

a. El conjunto de las funciones simplesu: [0, T]_→X es denso en Lp_{(0, T;X).}

b. La inmersión Cm_{([0, T] ;X)֒}

→Lp_{(0, T;X) es densa y continua.}

c. Si X es un espacio de Hilbert con producto interno ( . , . )X, entonces

L2_{(0, T;X) es también un espacio de Hilbert con producto interno}

(u, v)L2

(0,T;X)= Z T

0

(u(t), v(t))_Xdt, _∀ u, v _∈L2(0, T;X)

d. Si 1 _≤ p < _∞ y X un espacio de Banach separable, entonces Lp_{(0, T;X)}

es separable.

e. Si 1< p <_∞ y X un espacio de Banach reflexivo, entoncesLp_{(0, T;X) es}

reflexivo.

f. Si X ֒_→Y entonces

Lr_{(0, T;X)֒}

→Lp_{(0, T;Y), 1}

≤p_≤r_{≤ ∞}

Demostración_{.Ver Zeidler [27].}

Proposición 1.3 Sean u _∈ Lp_{(0, T;X), υ ∈ L}q_{(0, T;X}′_{) con} 1

p +

1

q = 1, entonces se cumple la desigualdad

Z T 0 _hυ(t), u(t)_iX′_×X dt_≤ Z T 0 k υ(t)_kq_X′dt 1 q Z T 0 k u(t)_kp_Xdt 1 p

Demostración_{.Ver Zeidler [27].}

Proposición 1.4 Sea X un espacio de Banach separable y reflexivo. Si 1< p <

∞ y 1 p +

1

a. Para cada υ _∈Lq_{(0, T;X}′_{) existe un único funcional υ ∈(L}p_{(0, T;X))}′ tal que hυ, u_i(Lp_(0,T;X))′ ×Lp_(0,T;X) = Z T 0 h υ(t), u(t)_iX′ ×Xdt , ∀ u∈ L p_{(0, T;X)} b. Para cada υ _∈(Lp_{(0, T;X))}′

existe un único υ _∈Lq_{(0, T;X}′_{) tal que}

hυ, u_i(Lp_(0,T;X))′ ×Lp_(0,T;X) = Z T 0 h υ(t), u(t)_iX′ ×Xdt , ∀ u∈ L p_{(0, T;X)} y además kυ_k(Lp_(0,T;X))′ =kυkL_q (0,T;X′₎

Demostración_{.Ver Zeidler [27].}

Observación 1.6 La aplicación T : Lq_{(0, T;X}′_{) → (L}p_{(0, T;X))}′ _{que a cada}

υ _∈ Lq_{(0, T;X}′_{) hace corresponder el elemento υ ∈ (L}p_{(0, T;X))}′ _{que existe}

según la primera parte de la proposición anterior, resulta ser un isomorfismo isométrico. Luego, podemos identificar los espacios

(Lp_{(0, T;X))}′

≡Lq_{(0, T;X}′₎

de la Proposición 1.4. Así, tenemos

υ _↔υ

con esta identificación, la dualidad

hυ, u_i(Lp_(0,T;X))′

×Lp_(0,T;X)

sería escrita como

hυ, u_i(Lp_(0,T;X))′ ×Lp_(0,T;X) = Z T 0 h υ(t), u(t)_iX′_×Xdt , ∀u∈ L p (0;T;X)

y kυ_k(Lp_(0,T;X))′= Z T 0 k υ(t)_kq_X′dt 1 q

Si X fuese un espacio de Hilbert, entonces X′ _{≡X por lo tanto}

(Lp_{(0, T;X))}′

≡Lq_{(0, T;X}′₎

≡Lq_{(0, T;X).}

En particular si p= 2 y q = 2 se tiene

L2(0, T;X)_≡ L2(0, T;X)′ _≡L2(0, T;X′)

es por eso que el espacio dual(L2_{(0, T;X))}′ _{se trata indistintamente como si fuese}

el espacio L2_{(0, T;X).}

Ahora veamos algunos resultados que relacionan los límites, productos internos e integrales en los espacios Lp_{(0, T;X).}

Proposición 1.5 Sea X es un espacio de Banach reflexivo y separable, tal que

1

p+

1

q = 1, 1< p, q < ∞ y 0≤t ≤T <∞. Entonces se cumple que a. Si u_∈ Lp_{(0, T;X) entonces} υ, Z t 0 u(s)ds X′_×X = Z t 0 h υ, u(s)_iX′ ×Xds , ∀ υ ∈X ′_,0 ≤t _≤T b. u_∈ Lp_{(0, T;X}′_{) entonces} Z t 0 u(s)ds, υ X′_×X = Z t 0 h u(s), υ_iX′ ×Xds , ∀υ ∈X ′_{,0< t} ≤T c. Si un →u en Lp(0, T;X) cuando n → ∞ entonces Z t 0 un(s)ds→ Z t 0 u(s)ds , _∀0< t_≤T

d. Si un→u en Lp(0, T;X) cuando n → ∞ υn⇀ υ en Lq(0, T;X′) cuando n→ ∞ entonces Z t 0 h υn(s), un(s)iX′_×Xds→ Z t 0 h υ(s), u(s)_iX′_×Xds e. Si un ⇀ u en Lp(0, T;X), cuando n → ∞ υn→υ en Lq(0, T;X′) cuando n → ∞ entonces Z t 0 h υn(s), un(s)iX′ ×Xds→ Z t 0 h υ(s), u(s)_iX′ ×Xds

Demostración_{.Ver Zeidler [27].}

Lema 1.1 (Lema Variacional) Sea u _∈ L1_{(0, T;X), siendo X un espacio de}

Banach cualquiera, tal que

Z T 0 u(t)ϕ(t)dt= 0 , _∀ϕ _∈C₀∞(0, T) entonces u= 0 , en L1(0, T;X) es decir u(t) = 0 , c.t.p. en (0, T).

1.10.

Terna de evolución

Llamaremos terna de evolución a la siguiente estructura:

i) V es un espacio de Banach real reflexivo y separable.

ii) H es un espacio de Hilbert real.

iii) La inmersión V ֒_→H es continua y densa.

Bajo estas condiciones diremos que los espacios V y H determinan una terna de evolución. En tal caso denotaremos esta terna por

V ֒_→H ֒_→V′.

1.11.

Derivadas generalizadas

Definición 1.20 Dado u _∈ L1_{(0, T;X) diremos que v ∈ L}1_{(0, T;Y) es la}

derivada generalizada de orden n de u, si se cumple

Z T 0 u(t)ϕ(n)_{(t)dt= (} −1)n Z T 0 v(t)ϕ(t)dt para todo ϕ_∈C∞ 0 (0, T). Denotaremos v(t) = u(n)(t). Proposición 1.6 Sean u _∈ L1_{(0, T;X) y v, w ∈ L}1_{(0, T;Y). Si u}(n) _{= v y} u(n)_{=w, entonces v =w en L}1_{(0, T;Y)}

Demostración_{.Como u}(n) _{=v entonces} Z T 0 u(t)ϕ(n)_{(t)dt = (−1)}n Z T 0 v(t)ϕ(t)dt , _∀ϕ _∈C∞ 0 (0, T) (1.4)

Como u(n) _{=w entonces} Z T 0 u(t)ϕ(n)_{(t)dt= (} −1)n Z T 0 w(t)ϕ(t)dt , _∀ϕ_∈C₀∞(0, T). (1.5) De (1.4)-(1.5) tenemos Z T 0 (v(t)₋w(t))ϕ(t)dt = 0 , _∀ϕ_∈C₀∞(0, T). (1.6) Por el lema variacional tenemos

v₋w= 0 en L1(0, T;Y)

Por lo tanto,

v =w en L1(0, T;Y),

lo cual termina la prueba.

Proposición 1.7 Sean X y Z espacios de Banach tales que X ֒_→ Z además

1_≤p, q <_∞. Supongamos que

i. uk ⇀ u en Lp(0, T;X);

ii. u(_kn) ⇀ v en Lq_{(0, T;Z).}

Entonces v =u(n) _{en L}1_{(0, T;Z).}

Demostración_{.Ver Zeidler [27].}

Proposición 1.8 Sea V ֒_→ H ֒_→ V′ _{una terna de evolución y 1 ≤ p, q ≤ ∞ ,}

0< T <_∞. Entonces

b. Dada u _∈ Lp_{(0, T;V) existe la derivada generalizada u}(n) _{∈ L}q_{(0, T;V}′_{) si}

y solo si existe w_∈Lq_{(0, T;V}′_{) tal que} Z T 0 (u(t), v)_Hϕ(n)_{(t)dt = (} −1)n Z T 0 h w(t), v_iV′_×V ϕ(t)dt

para todo v _∈ V y para todo ϕ _∈ C∞

0 (0, T). En tal caso tenemos u(n) = w

además

dn

dtn(u(t), v)H =hw(t), viV′_×V Demostración_{.Ver Zeidler [27].}

1.12.

El espacio de Sobolev

W

(0

, T

;

V, H

)

Proposición 1.9 Sea V ֒_→ H ֒_→ V′ _{una terna de evolución y sea 1 < p <∞,}

p−1_+q−1 _{= 1, 0< T <∞. Entonces}

a. El espacio W1,p_{(0, T;V, H) es el conjunto de todas las funciones}

u_∈Lp_{(0, T;V) que tienen derivadas generalizadas tal que}

u′ _∈Lq(0, T;V′).

Este espacio con la norma

ku_kW1,p_(0,T;V,H) =kukLp_(0,T;V)+ku′kLq_(0,T;V′₎

es un espacio de Banach

b. La inmersión de W1,p_{(0, T;V, H) ֒}

→ C([0, T];H) es continua. Esto quiere

continua u1 : [0, T]→H la cual coincide en casi todo punto de [0, T]con la

función u. En adelante escribiremos u en lugar de u1. Además se cumple

m´ax

0≤t≤Tku(t)kH ≤ckukW1,p(0,T;V,H).

c. El conjunto de los polinomios w : [0, T] _→V definidos por w(t) = X

i

ti_a i

con ai ∈ V, para todo i, es denso en los espacios W1,p(0, T;V, H),

Lp_{(0, T, V) y L}p_{(0, T;H).}

d. Para todo u, v _∈ W1,p_{(0, T;V, H) y s, t arbitrarios tales que 0}

≤s _≤t _≤T se cumple (u(t), v(t))_{H −}(u(s), v(s))_H = Z t s h u′, v_iV′_×V +hv ′_{, u} iV′_×V dt.

Demostración_{.Ver Zeidler [27].}

1.13.

Ecuación lineal de primer orden abstracta

Consideremos el problema de valor inicial

               u_∈W1,2_{(0, T;V, H)} d dt(u(t), υ)H +a(u(t), υ) = hb(t), υiV′_×V u(0) =u0 _∈H (1.7)

donde asumiremos que la ecuación (1.7)2 es válida para todo υ ∈ V y para

todo t _∈ (0, T). Para precisar se asumirá que existe un subconjunto Z de (0, T)

de medida nula tal que la ecuación (1.7)2 es válida para todo υ ∈ V y todo

t _∈ (0, T)₋Z. Notemos que Z es independiente de υ. Además d

representa las derivada generalizada sobre(0, T), es decir, podemos escribir (1.7)2 como − Z T 0 (u(t), υ)Hϕ′(t)dt+ Z T 0 a(u(t), υ)ϕ(t)dt = Z T 0 h b(t), υ_iV′_×V ϕ(t)dt (1.8) para todo ϕ_∈C∞ 0 (0, T).

Definición 1.21 Decimos que u es solución débil de (1.7) si cumple (1.7)2 y

(1.8).

Asumiremos las siguientes hipótesis:

(H1) V ֒→H ֒→V′ es una terna de evolución condimV =∞, 0< T < ∞,

donde los espacios V y H son espacios reales de Hilbert.

(H2) La aplicación a : V × V → R es bilineal, acotada y fuertemente

monótona. Además supondremos que u0 ∈H y b∈L2(0, T;V′)

(H3) {w1, w2, ...}es una base en V y {u0n}n_∈N es una sucesión de H tal que

u0n→u0, cuando n→ ∞

donde

u0n ∈gen{w1, w2, ...}, ∀n ≥1

Para formular el método de Galerkin, tomamos

un(t) = n X k=1 ckn(t)wk ; u0n = n X k=1 αknwk

Por definición, para todo t _∈ (0, T) la aproximación de Galerkin del problema (1.7) es _         n X k=1 c′_kn(t)(wk, wj)H +ckn(t)a(wk, wj) =hb(t), wjiV cjn(0) =αjn, j = 1, ..., n (1.9)

Si en la ecuación (1.7)1 reemplazamos u por un y υ por wj resulta la ecuación

(1.9)1.

Teorema 1.6 Si (H1), (H2) y (H3) son válidas, entonces :

a. La ecuación (1.7) tiene una única solución débil u_∈W1,2_{(0, T;V, H).}

b. La aplicación (u0, b) 7−→ u es lineal y continua de H × L2(0, T;V′) a

W1,2_{(0, T;V, H), es decir, existe una constante D >0 tal que}

ku_kW1,2_(0,T;V,H) ≤D

ku0kH +kbkL2_(0,T;V′₎

para todo u0 ∈H y b∈L2(0, T;V′).

c. Para todon= 1,2, ..., la aproximación de Galerkin (1.9) tiene exactamente una solución un ∈ W1,2(0, T;V, H). La solución un converge a la solución

u de (1.7) cuando n_{→ ∞} en el siguiente sentido

l´ım

n→∞un =u, en L

2_{(0, T;V)}

l´ım

n→∞0m´ax≤t≤Tkun(t)−u(t)kH = 0 Demostración_{.Ver Zeidler [27].}

Capítulo 2

Controlabilidad del problema

2.1.

Introducción

En este capítulo probaremos la controlabilidad exacta interna para la ecuación semilineal del calor. Demostraremos que el sistema

               y′_{−∆y+f(y) =hχ} ω , en Q y= 0 , sobre Σ y(0) =y0 , en Ω (2.1)

es exactamente controlable en L2_{(Ω), en el tiempo T, es decir, dado un estado}

final z0 _{∈ L}2_{(Ω) es posible encontrar una función control h que al actuar sobre}

el sistema conduzca al estado y(x, t) hacia el estado terminal z0 _{en el tiempo}

T, para eso es necesario que la no linealidad f sea Lipschitz continua. Además probaremos que el control h de (2.1) es Lipschitz continuo con respecto a los estados terminales y estudiaremos el comportamiento de h cuando f tiende a cero, esto se tratará en el capitulo 3. Para esto, utilizaremos el Método de los

Operadores Monótonos. La idea de este método consiste en construir un operador no lineal monótono y continuo mediante el acoplamiento de una ecuación lineal con una ecuación semilineal del calor y luego aplicar el teorema sobreyectivo de Minty-Browder de la Teoría de Operadores Monótonos.

2.2.

Construcción del operador no lineal

Consideremos el siguiente problema de valor inicial y frontera retrógrado en el tiempo:

dado un estado final uT _{∈ L}2_{(Ω), determinar la existencia de una función}

u: Ω_×(0, T)_→R _{tal que}                u′_{+ ∆u= 0 , en Q} u= 0 , sobre Σ u(x, T) = uT_{(x) , en Ω} (2.2)

En relación al problema (2.2) los siguientes resultados son válidos:

Lema 2.1 El operador ∆ es un generador infinitesimal de un semigrupo de contracciones de clase C0.

Demostración_{.Ver Pazy [21].}

Lema 2.2

a. SeaΩun dominio acotado en Rn _{con frontera Γde tipo Lipschitz. Entonces}

para todo uT _{∈ L}2_{(Ω) existe una única solución débil u = u(x, t) de (2.2)}

tal que

u′ _∈L2(0, T;L2(Ω)). Por otra parte

ku(t)_kL2_(Ω) ≤ uT

L2_(Ω) , ∀ t∈[0, T]

b. SeaΩ un dominio acotado deRn _{con fronteraΓde clase C}2_{. Entonces para}

todo uT

∈ D(∆) = H2_(Ω)∩H1

0(Ω), existe una única solución u = u(x, t)

de (2.2) con

u_∈C [0, T];H2(Ω)_∩H01(Ω)

Por otra parte, existe una constante C > 0 independiente de T tal que

ku(t)_kH2_(Ω) ≤C uT

H2

(Ω) , ∀ t∈[0, T]

Demostración_{.Ver Pazy [21].}

Proposición 2.1 Sea f : [t0, T] × X → X continua en t ∈ [t0, T] y

uniformemente Lipschitz continua (con constante L) sobre X. Si ₋A es el

generador infinitesimal de un semigrupo C0, entonces para cada u0 ∈ X existe

una única solución débil u_∈C([t0, T] ;X) del sistema        du(t) dt +Au(t) =f(t, u(t)) u(t0) = u0

Además la aplicación u0 →u de X en C([t0, T] ;X) es Lipschitz continua.

Demostración_{.Ver Pazy [21].}

Para uT _{∈ D(∆) existe una única solución u ∈ C([0, T];H}2_(Ω)∩H1 0(Ω))

del problema (2.2). Utilizando esta solución u y cualquier y0 _∈ L2(Ω) fijo, consideremos el siguiente problema

               y′ _{−∆y+f(t, y) =u−∆u , en Q} y= 0 , sobre Σ y(0) = y0 _{, en Ω} (2.3)

donde f : [0, T]_×R _→ R _{es una función real que satisface la hipótesis (H) que}

establecimos en la introducción del presente trabajo. Es decir:

(H) La función f =f(t, y) es continua en t_∈ [0, T] y globlalmente Lipschitz en la variable y_∈R_{, es decir, existe una constante ℓ >0 tal que}

|f(t, y1)−f(t, y2)| ≤ℓ|y1−y2| , ∀ y1, y2 ∈R (2.4)

Como u_∈C([0, T];H2_(Ω)∩H1

0(Ω)), entoncesu−∆u∈C([0, T];L2(Ω)). Luego,

de acuerdo a la hipótesis (H) y por la Proposición 2.1 el problema (2.3) admite una única solución y _∈C([0, T];L2_(Ω)).

De esta manera, fijando un estado inicial y0 _{∈ L}2_{(Ω), podemos definir el}

operador no lineal

F(y0,_·) :D(∆)_⊂L2(Ω) _→L2(Ω)

por

F(y0_{, u}T_{) = y(x, T), (2.5)}

donde y(x, T) representa la solución y =y(x, t) de (2.3) evaluada en t=T. El operador F actúa de la siguiente manera: fijado un estado inicial y0 _∈

L2_{(Ω), para cada estado final u}T _{∈ D(∆), resolvemos el problema (2.2). Con}

obteniendo una solución y _∈C([0, T];L2_{(Ω)). Entonces definimos}

F(y0, uT_{) =y(x, T)}

es decir, la solución de (2.3) evaluada en t = T. Debido a la unicidad de las soluciones de los sistemas (2.2) y (2.3), la aplicaciónF :D(∆)_→L2_{(Ω)está bien}

definida.

2.3.

Lipschitzianidad del operador no lineal

F

Demostraremos que el operador F definido por (2.5) es Lipschitz continuo y fuertemente monótono.

Lema 2.3 Asumiendo que la hipótesis (H) es válida, el operador F definido en (2.5) es Lipschitz continuo, es decir, existe una constante positiva c = c(T) tal que F(y₂0, uT₂)₋F(y0₁, uT₁)_L2_(Ω) ≤c y₂0₋y0_1L2_(Ω)+ uT_{2 −}uT_1L2_(Ω) (2.6) para cualquier uT 2, uT1 ∈D(∆) y cualquier y20, y01 ∈L2(Ω).

Demostración_{. Sean u1, u2 soluciones de (2.2) con sus respectivos estados}

terminales uT

1, uT2 ∈ D(∆) y sean y1 y y2 soluciones de (2.3) correspondientes

a u1, y10 y u2, y20 respectivamente. Entonces tenemos                y′ 1−∆y1+f(t, y1) =u1 −∆u1 , en enQ y1 = 0 , sobre sobre Σ y1(x,0) =y10 , en enΩ (2.7)

               y′ 2−∆y2+f(t, y2) =u2 −∆u2 , en enQ y2 = 0 , sobre sobre Σ y2(x,0) =y20 , en enΩ (2.8) De (2.7) y (2.8 ) obtenemos                (y2−y1)′ −∆(y2−y1) +f(t, y2)−f(t, y1) = (u2−u1)−∆(u2−u1) , en Q y2−y1 = 0 , sobre Σ (y2−y1)(x,0) =y02 −y10 , en Ω (2.9) Multiplicando la ecuación (2.9) por y2 −y1 e integrando sobre Qt = Ω×(0, t)

obtenemos Z Qt (y2−y1)′(y2−y1)dxds− Z Qt ∆(y2−y1)(y2−y1)dxds+ + Z Qt [f(t, y2)−f(t, y1)](y2−y1)dxds = Z Qt (u2−u1)(y2 −y1)dxds− Z Qt ∆(u2−u1)(y2−y1)dxds (2.10)

Aplicando la identidad de Green tenemos

− Z Qt ∆(y2 −y1)(y2−y1)dxds= Z Qt |∇(y2−y1)|2dxds (2.11) − Z Qt ∆(u2−u1)(y2−y1)dxds = Z Qt ∇(u2−u1).∇(y2−y1)dxds (2.12) además Z t 0 (y2−y1)′(y2−y1)ds = 1 2|y2(t)−y1(t)| 2 − 1 2 y0 2−y10 2 (2.13)

remplazando (2.11), (2.12) y (2.13) en (2.10) obtenemos 1 2 Z Ω| y2−y1|2dx− 1 2 Z Ω y0_{2 −}y₁02dx+ Z Qt |∇(y2−y1)|2dxds = Z Qt (u2−u1)(y2−y1)dxds+ Z Qt ∇(u2−u1).∇(y2−y1)dxds− − Z Qt [f(t, y2)−f(t, y1)](y2−y1)dxds. (2.14) Pero Z Qt (u2−u1)(y2−y1)dxds ≤ 1 2 Z Qt (_|u2−u1|2+|y2−y1|2)dxds (2.15) Z Qt ∇(u2−u1).∇(y2−y1)dxds≤ 1 2 Z Qt (_|∇(u2−u1)|2+|∇(y2−y1)|2)dxds (2.16)

además como f es Lipschitz continua, tenemos

Z Qt |f(t, y2)−f(t, y1)|(y2−y1)dxds≤ Z Qt ℓ_|y2−y1| |y2−y1|dxds ≤ Z Qt ℓ_|y2−y1|2dxds. (2.17)

Luego, reemplazando (2.15), (2.16) y (2.17) en (2.14) tenemos

1 2 Z Ω| y2−y1|2dx− 1 2 Z Ω y₂0₋y0₁2dx+ Z Qt |∇(y2−y1)|2dxds ≤ 1₂ Z Qt (_|u2−u1|2+|y2−y1|2)dxds+ Z Qt ℓ_|y2−y1|2dxds + 1 2 Z Qt (_|∇(u2−u1)|2 +|∇(y2−y1)|2)dxds = 1 2 Z Qt (_|u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxds+ 1 2 Z Qt |y2−y1|2dxds+ + Z Qt ℓ_|y2−y1|2dxds+ 1 2 Z Qt |∇(y2−y1)|2dxds

luego, agrupando convenientemente 1 2 Z Ω| y2−y1|2dx+ 1 2 Z Qt |∇(y2 −y1)|2dxds ≤ 1₂ Z Qt (_|u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxds+ Z Qt 1 2(2ℓ+ 1)|y2−y1| 2 dxds+ +1 2 Z Ω y20−y01 2 dx (2.18) de donde Z Ω| y2−y1|2dx≤ Z Qt (_|u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxds+ Z Ω y₂0₋y₁02dx + Z t 0 (2ℓ+ 1) Z Ω| y2−y1|2dx ds (2.19) como Qt⊂Q tenemos Z Ω| y2−y1|2dx≤ Z Q (_|u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxds+ Z Ω y0₂₋y₁02dx+ (2.20) + Z t 0 (2ℓ+ 1) Z Ω| y2−y1|2dx ds.

Debido a la forma de la última desigualdad, podemos aplicar la desigualdad de Gronwall en (2.20) y así obtenemos

Z Ω| y2(t)−y1(t)|2dx≤e(2ℓ+1)t( Z Q (_|u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxdt+ Z Ω y0_{2 −}y₁02dx) (2.21) Recordemos que, si u es solución de (2.2), aplicando el Teorema 1.6, existe una constante positiva D tal que

ku_kW1,2_(0,T;H1 0(Ω),L 2_(Ω)) ≤D uT L2 (Ω) es decir ku_kL2 (0,T;H1 0(Ω))≤D uT_L2_(Ω)

la cual se puede escribir como Z Q (_|u_|2+_|∇u_|2)dxdt_≤D2uT2 L2 (Ω) (2.22)

Como u1 y u2 son soluciones de (2.2) con estados terminales uT1 y uT2 , entonces

u2−u1 es solución de (2.2) con estado finaluT2 −uT1. Entonces, por (2.22) tenemos Z

Q

(_|u2 −u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxdt≤D2

uT_{2 −}uT₁2_L2_(Ω) (2.23)

Ahora, aplicando (2.23) en (2.21) tenemos

Z Ω| y2(t)−y1(t)|2dx≤e(2ℓ+1)t D2_uT 2 −uT1 2 L2_(Ω)+ y0 2 −y01 2 L2_(Ω)

como t_∈[0, T], para t=T tenemos

Z Ω| y2(T)−y1(T)|2dx≤e(2ℓ+1)T D2uT 2 −uT1 2 L2 (Ω)+ y₂0₋y₁02_L2 (Ω)

tomando k = m´axe(2ℓ+1)T_D2_{, e}(2ℓ+1)T _tenemos

Z Ω| y2(T)−y1(T)|2dx≤k uT2 −uT1 2_L2_(Ω)+ y20−y01 2 L2_(Ω) < kuT 2 −uT1 L2 (Ω)+ y₂0₋y₁0_L2 (Ω) 2 como F(y0_{, u}T_{) =y(x, T)tenemos} Z Ω F(y0₂, uT₂)₋F(y₁0, uT₁)2dx_≤kuT_{2 −}uT_1L2_(Ω)+ y0₂₋y0_1L2_(Ω) 2

Es decir, hemos probado que

F(y₂0, uT 2)−F(y01, uT1) L2 (Ω) ≤ √ kuT 2 −uT1 L2 (Ω)+ y₂0₋y0_1L2 (Ω) , (2.24)

2.4.

Extensión del operador

F

Usando el Lema 2.3 y un argumento de densidad, para cualquier y0 _{∈ L}2_(Ω),

el operador F(y0_{, .) se puede extender a L}2_{(Ω). Veamos, sea u}T _{∈ L}2_{(Ω), como}

D(∆) es denso en L2_{(Ω) existe una sucesión u}T

n n∈N ⊂D(∆) tal que

uTn →u T

en L2(Ω)

Por el Lema 2.3, el operador F es Lipschitz continuo, luego es uniformemente continuo. Por consiguiente F(y0_{, u}T

n) n∈N es una sucesión de Cauchy enL

2_(Ω),

y por la completitud de L2_{(Ω), converge a un elemento deL}2_{(Ω). Definimos}

l´ım n→∞F(y

0_{, u}T

n) =F(y0, uT) (2.25)

Ahora demostraremos que la extensión deF(y0_{, .)también es Lipschitz continua.}

Sean uT

1, uT2 ∈L2(Ω) entonces existen {ϕn}n_∈N,{ψn}n_∈N⊂D(∆) tales que

ϕn →uT1 , en L2(Ω)

ψn→uT2 , en L2(Ω)

Entonces para cualquier y0

1, y20 ∈L2(Ω) , aplicando (2.24) se tiene F(y02, uT2)−F(y10, uT1) _L2_(Ω) = l´ım n→∞ F(y02, ψn)−F(y10, ϕn) _L2_(Ω) ≤ l´ım n→∞c( y₂0₋y₁0_L2 (Ω)+kψn−ϕnkL2_(Ω)) =c(y0₂₋y0_1L2 (Ω)+ uT 2 −uT1 L2 (Ω))

2.5.

Monotonía del operador

F

Para probar la monotonicidad fuerte de F(y0_{, .) para cualquier y}0 _{∈ L}2_{(Ω) fijo}

necesitamos la tasa de decaimiento exponencial de las soluciones de la ecuación del calor.

Lema 2.4 Seaula solución de (2.2) correspondiente al estado finaluT_{. Entonces}

existe una constante δ > 0 tal que

Z Ω| u(t)_|2 dx_≤e−δ(T−t) Z Ω| u(T)_|2dx para t_∈[0, T] (2.26)

Demostración_{.Notemos que, para δ >0 se tiene}

d dt eδ(T−t) Z Ω| u(t)_|2dx =₋δeδ(T−t) Z Ω| u(t)_|2dx+eδ(T−t) Z Ω 2u(t)u′(t)dx. (2.27) Por (2.2) tenemos que

u′ =₋∆u (2.28)

multiplicando (2.28) porue integrando sobreΩy aplicando la identidad de Green obtenemos Z Ω u(t)u′(t)dx= Z Ω|∇ u(t)_|2dx.

Luego, reemplazando en (2.27), tenemos

d dt eδ(T−t) Z Ω| u(t)_|2dx = 2eδ(T−t) Z Ω|∇ u(t)_|2dx₋δeδ(T−t) Z Ω| u(t)_|2dx.

Por la desigualdad de Poincaré, existe β >0 tal que

ku_k2_L2_(Ω) ≤βk∇uk 2

luego d dt eδ(T−t) Z Ω| u(t)_|2dx ≥2eδ(T−t) Z Ω|∇ u(t)_|2dx₋δeδ(T−t)_β Z Ω|∇ u(t)_|2dx = (2₋δβ)eδ(T−t) Z Ω|∇ u(t)_|2dx. Si tomamos 0< δ < 2

β entonces por la desigualdad anterior, tenemos

d dt eδ(T−t) Z Ω| u(t)_|2dx >0

por lo tanto, la función t _7−→ eδ(T−t) Z Ω| u(t)_|2dx es creciente y como t _≤ T obtenemos eδ(T−t) Z Ω| u(t)_|2dx_≤eδ(T−T) Z Ω| u(T)_|2dx, es decir, Z Ω| u(t)_|2dx_≤e−δ(T−t) Z Ω| u(T)_|2dx, t_∈[0, T] lo cual prueba (2.26)

Lema 2.5 Asumamos que la hipótesis (H) es válida. Supongamos que ℓ o T es tan pequeño que

M(ℓ, T) = 1 + ℓ 2

2ℓ+ 1(1−e

(2ℓ+1)T_{)>0 (2.29)}

Entonces para cualquier y0 _{∈ L}2_{(Ω) el operador F(y}0_{, .) : L}2_{(Ω) → L}2_{(Ω) es}

fuertemente monótono.

Demostración_{. Sean u1, u2 soluciones de (2.2) con sus respectivos estados}

terminales uT

integrando sobreQ= Ω_×(0, T), teniendo en cuenta quey0 2 =y01 =y0 obtenemos Z Q (y2−y1)′(u2−u1)dxdt− Z Q ∆(y2−y1)(u2−u1)dxdt+ + Z Q [f(t, y2)−f(t, y1)](u2−u1)dxdt = Z Q (u2−u1)(u2 −u1)dxdt− Z Q ∆(u2−u1)(u2−u1)dxdt

aplicando la identidad de Green tenemos

Z Q (y2−y1)′(u2−u1)dxdt+ Z Q∇ (y2−y1).∇(u2 −u1)dxdt = Z Q (u2−u1)(u2 −u1)dxdt+ Z Q∇ (u2−u1).∇(u2−u1)dxdt− − Z Q [f(t, y2)−f(t, y1)](u2−u1)dxdt = Z Q |u2−u1|2dxdt+ Z Q |∇(u2−u1)|2dxdt− − Z Q [f(t, y2)−f(t, y1)](u2−u1)dxdt (2.30) pero Z Q (y2−y1)′(u2−u1)dxdt= Z Ω Z T 0 (y2−y1)′(u2−u1)dt dx = Z Ω [y2(T)−y1(T)] (uT2 −uT1)dx− − Z Ω y₂0₋y0₁(u0₂₋u0₁)dx₋ − Z Q (y2−y1)(u2−u1)′dxdt como y0

2 = y01 y (u2 −u1)′ = −∆(u2 −u1) y aplicando la identidad de Green

tenemos Z Q (y2−y1)′(u2−u1)dxdt= Z Ω [y2(T)−y1(T)] (uT2 −uT1)dx− − Z Q∇ (y2−y1).∇(u2−u1)dxdt (2.31)

luego, reemplazando (2.31) en (2.30) tenemos Z Ω [y2(T)−y1(T)] (uT2 −uT1)dx= Z Q (_|u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxdt− − Z Q [f(t, y2)−f(t, y1)] (u2−u1)dxdt (2.32)

pero f es Lipschitz continua, entonces

Z Q [f(t, y2)−f(t, y1)] (u2−u1)dxdt≤ Z Q ℓ_|y2−y1| |u2−u1|dxdt ≤ ℓ 2 2 Z Q| y2−y1|2dxdt+ + 1 2 Z Q| u2−u1|2dxdt (2.33) y además de (2.21) tenemos Z Ω| y2−y1|2dx ≤e(2ℓ+1)t Z Q (_|u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxdt (2.34) pues y0 1 =y02.

Ahora, integrando (2.34) de 0a T tenemos

Z Q| y2−y1|2dxdt≤ Z Q (_|u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxdt. Z T 0 e(2ℓ+1)t_dt = e (2ℓ+1)T −1 2ℓ+ 1 Z Q (_|u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2)dxdt (2.35) reemplazando (2.35) en (2.33) tenemos Z Q [f(t, y2)−f(t, y1)] (u2−u1)dxdt≤ ≤ ℓ 2 _e(2ℓ+1)T ₋₁ 2 (2ℓ+ 1) Z Q | u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2 dxdt+1 2 Z Q| u2−u1|2dxdt (2.36)

luego reemplazando (2.36) en (2.32) tenemos Z Ω [y2(T)−y1(T)] (uT2 −u T 1)dx ≥ Z Q | u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2 dxdt₋1 2 Z Q| u2−u1|2dxdt− −ℓ 2 _e(2ℓ+1)T −1 2 (2ℓ+ 1) Z Q | u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2 dxdt = Z Q|∇ (u2−u1)|2dxdt+ 1 2 Z Q| u2−u1|2dxdt− −ℓ 2 _e(2ℓ+1)T −1 2 (2ℓ+ 1) Z Q | u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2 dxdt ≥ 1₂ Z Q | u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2 dxdt₋ −ℓ 2 _e(2ℓ+1)T ₋₁ 2 (2ℓ+ 1) Z Q |u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2 dxdt = 1 2 1 + ℓ 2 2ℓ+ 1(1−e (2ℓ+1)T₎ Z Q | u2−u1|2+|∇(u2 −u1)|2 dxdt (2.37) como y(x, T) = F(y0_{, u}T_{) y denotando M(ℓ, T) = 1 +} ℓ 2 2ℓ+ 1(1−e (2ℓ+1)T_{) en} (2.37) obtenemos Z Ω F(y0, uT₂)₋F(y0, uT₁)(uT2−uT1)dx≥ 1 2M(ℓ, T) Z Q | u2−u1|2+|∇(u2−u1)|2 dxdt (2.38) Por otra parte

(u2−u1)′ + ∆(u2−u1) = 0. (2.39)

Multiplicando (2.39) por u2−u1 e integrando sobre Q= Ω×(0, T) tenemos Z Q (u2−u1)′(u2−u1)dxdt+ Z Q ∆(u2−u1)(u2−u1)dxdt= 0

y aplicando la identidad de Green una vez más, obtenemos:

Z Q|∇ (u2−u1)|2dxdt= 1 2 Z Ω uT 2 −uT1 2 dx₋u0₂₋u0₁2dx. (2.40)

Luego, reemplazando (2.40) en (2.38) obtenemos Z Ω F(y0, uT₂)₋F(y0, uT₁)(uT_{2 −}uT₁)dx ≥ 1 2M(ℓ, T) Z Q |u2−u1|2dxdt+ 1 2 Z Ω uT 2 −uT1 2₋u0 2−u01 2dx de donde tenemos Z Ω F(y0, uT₂)₋F(y0, u₁T)(uT₂₋uT₁)dx_≥ 1 4M(ℓ, T) Z Ω uT_{2 −}uT₁2₋u0₂₋u0₁2dx (2.41) Por el Lema 2.4 y tomando t= 0, tenemos

Z Ω u0₂₋u0₁2dx_≤e−δT Z Ω uT_{2 −}uT₁2dx. (2.42) Reemplazando (2.42) en (2.41) tenemos Z Ω F(y0, uT 2)−F(y0, uT1) (uT 2 −uT1)dx ≥ 1₄M(ℓ, T) Z Ω uT_{2 −}uT₁2dx₋e−δT Z Ω uT_{2 −}uT₁2dx = 1 4M(ℓ, T)(1−e −δT₎ Z Ω uT 2 −uT1 2 dx es decir Z Ω F(y0_{, u}T 2)−F(y0, uT1) (uT 2 −uT1)dx ≥ 1 4M(ℓ, T)(1−e −δT₎ Z Ω uT 2 −uT1 2 dx (2.43) denotando α= 1 4M(ℓ, T)(1−e −δT_{) en (2.43) tenemos} Z Ω F(y0, uT 2)−F(y0, uT1) (uT 2 −uT1)dx≥α Z Ω uT 2 −uT1 2 dx (2.44)

podemos ver que (2.44) es válido para uT

1, uT2 ∈ D(∆), ahora demostraremos

que (2.44) también es válido para uT

Sean uT

1, uT2 ∈ L2(Ω), entonces existen sucesiones {ϕn}n_∈N,{ψn}n_∈N ⊂ D(∆)

tales que

ϕn→uT1 enL2(Ω)

ψn →uT2 en L2(Ω).

Además, por la definición del operadorF en (2.25) tenemos

Z Ω F(y0, uT₂)₋F(y0, uT₁)(uT_{2 −}uT₁)dx = l´ım n→∞ Z Ω F(y0, ψn)−F(y0, ϕn) (ψn−ϕn)dx ≥ l´ım n→∞α Z Ω| ψn−ϕn|2dx =α Z Ω| u2(T)−u1(T)|2dx=α uT 2 −uT1 2 L2 (Ω) es decir F(y0, uT₂)₋F(y0, uT₁), uT_{2 −}uT_1(L2_(Ω))′_×L2_(Ω) ≥α uT_{2 −}uT₁2_L2_(Ω) para todo uT 1, uT2 ∈L2(Ω).

Por lo tanto, el operador F es fuertemente monótono.

Observación 2.1 Una función f(t, y)que verifica las condiciones de los Lemas 2.3 y 2.5 es

f(t, y) =λtseny

f(t,y)=λtseny donde λ es tan pequeño que 1 + λ

2_T2

2λT + 1(1−e

El Lema 2.5 muestra que la constanteℓ debe ser lo suficientemente pequeña para queF sea fuertemente monótona. Este inconveniente se superará, introduciendo el

método de expansión del dominio en la prueba del teorema principal del presente

trabajo, el cual enunciaremos a continuación.

2.6.

El resultado principal

En esta sección presentamos y demostramos el teorema que garantiza la controlabilidad de nuestro problema. Consideremos el problema (2.1) con control

h, es decir _               y′ _{−∆y+f(y) =hχ} ω , en Q y= 0 , sobre Σ y(0) = y0 _{, en Ω}

Teorema 2.1 Supongamos que la hipótesis (H) es válida. Entonces existeT0 >0

tal que para 0 < T _≤ T0 el sistema (2.1) es exactamente controlable en L2(Ω)

en el tiempo T, es decir, para cualquier estado inicial y0 _{y cualquier estado}

final z0 _{∈ L}2_{(Ω) existe una función control interno h(x, t) = h(x, t, y}0_{, z}0_{) ∈}

L2_{(0, T;H}−1_{(Ω)) tal que la solución y de (2.1) con ω = Ω satisface}

y(x, T) = z0 (2.45)

Además, para cualquier y0 _∈L2_{(Ω) fijo, la función control}

Φ :L2(Ω)_→L2(0, T;H−1(Ω))