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OBJETIVO GENERAL
Aplicar los conceptos aprendidos en relación a la trigonometría.
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OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Recordar y aplicar las razones trigonométricas. 2. Recordar y aplicar las identidades trigonométricas. 3. Recordar y aplicar las leyes de seno y coseno.
4. Recordar y aplicar el manejo de unidades de ángulos.
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PALABRAS CLAVES
Función trigonométrica, ley de senos, ley de cosenos, razón trigonométrica, ecuación trigonométrica.
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
GRADO: 10 TALLER Nº: 13
SEMESTRE 1
EJERCICIOS MISCELÁNEOS DE TRIGONOMETRÍA
Pitágoras. (isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.- h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego, hijo de Mnesarco, abandonó Samos unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía. La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; sus discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar en secreto las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus pupilas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo. Se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.
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DESARROLLO TEÓRICO
Básicamente la teoría necesaria para desarrollar este taller ya se ha visto en los talleres anteriores, por tal motivo únicamente se presentaran algunos ejemplos y se recordaran algunos de los resultados más importantes de cada uno de esos talleres.
Razones trigonométricas
Para un triángulo como el dado en la figura, se tiene:
( )
r b senα =( )
r a = α cos( )
a b = α tan( )
b r = α csc( )
a r = α sec( )
b a = α cotValor de las Funciones Trigonométricas en los ángulos Notables Angulo rad 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π Ángulo grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 Seno 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 Identidades Básicas
( )
) cos( ) ( tan α α α = sen( )
) ( 1 csc α α sen = ε α α sen cos cot = α α cos 1 sec =( )
( )
1cos2 α +sen2 α = 1+tan2
( )
α =sec2( )
αα α 2 2 csc cot 1+ =
Identidades Trigonométricas para la Suma y Diferencia de ángulos
(
α−β)
=cos( ) ( )
α cos β +sen( ) ( )
α sen βcos
(
α+β)
=cos( ) ( )
α cos β −sen( ) ( )
α sen βcos
(
α β)
sen( ) ( )
α cos β sen( ) ( )
β cosαsen + = +
(
α β)
sen( ) ( )
α cos β sen( ) ( )
β cosαsen − = −
(
)
( )
( ) ( )
( )
β α β α β α tan tan 1 tan tan tan + − = −(
)
( )
( ) ( )
( )
β α β α β α tan tan 1 tan tan tan − + = +IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLES α α α 2sen cos 2 sen = α α α cos2 sen2 2 cos = − α α α 2 tan 1 tan 2 2 tan − = Ejemplo
Una escalera 2.5 metros de longitud se encuentra apoyada sobre una pared de tal manera que forma un ángulo de 15º con la horizontal sin utilizar calculadora encuentre la altura exacta de la pared sobre la cual está recostada la escalera si la parte exterior de la escalera llega al extremo superior de la pared.
Solución
La escalera, el piso y la pared determinan un triángulo rectángulo, como muestra el modelo geométrico de la derecha. Como lo que se desea encontrar es la altura de la pared bastará con aplicar razones trigonométricas puesto que la longitud de la escales (hipotenua en el ejemplo) es 2.5 metros, es conocida, por lo tanto con la razón trigonométrica del seno se podrá solucionar el ejercicio, así:
r b
sen(15º)= ; donde b es la longitud de la pared y r es la longitud de la escalera, por tanto:
m x sen 5 . 2 ) º 15 ( = ,
se sigue entonces que: x=2.5×sen(15º)metros
2 2 3 1 2 ) 30 cos( 1 ) 2 / 30 ( ) º 15 ( − = + = =sen sen 3 1 2 1 4 3 1 ) º 15 ( = − = − sen
luego, la longitud de la escalera está dada por:
metros 3 1 2 5 . 2 − =
x , o lo que es igual; 1 3metros
4 5 − = x 15º Escalera Pared
Ley de Senos.
En todo ∆ABC, de lados a, b, y c, siempre se cumple que: ) ( ) ( ) (α β sen µ c sen b sen a = =
Donde α,β y µson los ángulos correspondientes a los lados a, b y c respectivamente, (como muestra la figura),
Ejemplo
Tres casas se encuentran ubicadas en los puntos A B y C a la orilla de un río. Las casas A y C se encuentra en la misma orilla y la casa B se encuentra al otro lado del río. Para determinar la distancia de la casa en el punto A a la casa en B un tipógrafo mide el ángulo
BAC
∠ que es de 30º, después camina 100 metros hasta C y mide un ángulo ∠ACB que es de 60º. ¿Cuál es la distancia de A a B?
Solución
Como se conocen los ángulos en A y C, entonces se puede encontrar la medida del ángulo en B por suma de ángulos internos de un triángulo así:
90 ) ( 90 180 ) ( 180 ) ( 60 30 = ∠ − = ∠ = ∠ + + ABC m ABC m ABC m
como se conoce la distancia entre A y C, se puede aplicar la ley de senos, además observe que , c= ABpor lo tanto se tiene:
) 60 ( ) 90 ( 100 sen A sen m = B esto es: m sen sen AB 50 3 1 2 3 100 ) 90 ( ) 60 ( 100 = = =
Se tiene entonces que la distancia entre las casas A y B es de 50 3 metros.
Ley de Cosenos.
En todo ∆ABC, de lados a, b, y c, siempre se cumple que: ) cos( 2 ) cos( 2 ) cos( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 µ β α ab b a c ac c a b bc c b a − + = − + = − + =
Donde α,β y µ son los ángulos correspondientes a los lados a, b y c respectivamente, (como muestra la figura), A 100 m. C B C b c a bµ b A B αα αβ C b c a bµ b A B αα αβ
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Desde un faro 55 a 55 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión a un pequeño bote es de 15º. ¿A que distancia de la base del faro se encuentra el bote?
2. Un poste apunta en la dirección apuesta al sol, formando un ángulo de 7.5º con la vertical, cuando el ángulo de elevación del sol es de 5º el poste proyecta una sombra de 50 mts de largo sobre el piso ¿Cuál es la longitud del poste?
3. Dos barcos parten del mismo puerto a la misma hora. El primero navega a 15º noroeste a 25 nudos. El segundo navega a 30º al noroeste. ¿Después de 2 horas a que distancia se encuentran los barcos entre si?
4. La base mayor de un trapezoide isósceles mide 14mts. Los lados no paralelos miden 10 m y los ángulos de la base miden 60º
a. Encuentre la longitud de una diagonal b. Encuentre el área
5. Dos carros parten simultáneamente del punto A en direcciones que forman ángulo de 45º; uno a 50 km/hora y el otro 100 Km/hora. ¿A que distancia se encuentra al cabo de una hora?
6. Encuentre el ancho del río conociendo
∝=48º y d=18m.
7. El extremo inferior de una escalera apoyada contra una pared se encuentra a 10 m de ella. Si llega a una ventana situada a 20 m del suelo ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?
8. Demuestre que el área de un triangulo rectángulo está dado por :
4 2 2Sen α c A= ventana 20m 10 m b c a ∝
9. Un hombre parado 10 m de un pared observa que el ángulo de elevación a la parte superior de una ventan a de 30º y el ángulo de depresión a la parte inferior de ella es de 15º. ¿Cuál es la altura de la ventana?
10. Hallar el área del ∆ABC de la figura ( aplicando ley de senos)
11. Hallar el área del ∆ anterior empleando ley de cósenos y fórmula de Herón.
12. Dos lados y el ángulo comprendido de un paralelogramo miden 12 pulgadas, 20 pulgadas y 120º respectivamente. Hallar la longitud de la diagonal mayor.
13. Hallar una fórmula para el área de un ∆ isósceles cuya base mide 50 de pies y cuyos ángulos en la base miden cada uno 35.
14. En el triangulo ABC, a= 25 b= 47 α= 45º determínese las partes restantes y área. 15. Un trozo de alambre de 24.78 m de largo se dobla en forma de triángulo isósceles con
un ángulo igual a 105º. Determine la longitud de cada lado del triángulo.
16. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas para 0≤x≤2π. a. sen(2x)−sen(x)=0
b. sen(x)+0.5=0
c. sen2(x)sec(x)+2sec(x)−cos(x)=3tan(x)
17. Resuélvase el ∆ rectángulo en el cual a =284 y c= 326. 18. Determínese x e y para el vector v = 297 y θ = 30º.
10 m
30 15
19. Demuestre cada una de las siguientes Identidades trigonométricas. a. x sen x 2 2 1 1 2 sec − = b. x x 2 cos 1 2 sec2 + = c. x senx x x cos 2 2 csc 2 cot = − d. x x sen tgx tgx 2 cos 2 1 1 1 = − + − e. x x senx x x cos2 csc 3 sec cos + =
f. sen 3x – senx = 2 cos2x senx – 2sen3x ¾
PEQUEÑOS RETOS
1. Cuando un poste de energìa eléctrica proyecta una sombra igual a su altura, el angulo (θ) de elevación del sol es:
A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
2. El triángulo de la figura ha sido dibujado sobre papel cuadriculado en cm2. Entonces el
área del triángulo sombreado en cm2 es:
A. 5 B. 5 ½ C. 6 D. 6 ½ 3. Dada la secuencia: 1 2 3 4
Continuando con el patrón descrito, el número de puntos que forman la figura 6 es: A. 40 B. 48 C. 51 D. 55 h h θ
