Trigonometría: ejercicios resueltos

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Trigonometría: ejercicios resueltos

1) Resuelve los siguientes triángulos (halla todos los lados y ángulos que no se indican):

2) A una determinada hora del día, un árbol arroja una sombra de 4 metros. A esa misma hora, un hombre de 1,60m tiene una sombra de 2,4 metros. Calcula la altura del árbol.

3) Una escalera de 3 metros de altura está apoyada contra un muro formando un ángulo de 60º con el suelo. Calcula la distancia que hay desde la base de la escalera hasta la pared.

4) Desde un avión que vuela a 1800 metros de altura se observa a lo lejos un pueblecito con un ángulo de 30º. Calcula la distancia que hay entre el avión y el pueblo.

5) Los laterales de una tienda de campaña están sujetos al suelo con un ángulo de 40º. Si el ancho de la tienda es de 3 metros, calcula la altura de la tienda de campaña.

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20º 30º 30º

6 4

9 16

40º 40º

3 metros

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Soluciones 1)

En este primer triángulo lo más fácil es sacar los ángulos, porque sabemos que uno es un ángulo recto y los tres deben sumar 180º:

Luego podemos usar el seno de 20º para calcular la hipotenusa, y el coseno de 20º para el lado que falta, aunque hay varios caminos válidos para llegar al mismo resultado:

sen 20º = 6/h → h = 6/sen20º = 17,54 cos 20º = x/17,54 → x = 17,54·cos20º = 16,48

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En este segundo triángulo, sacamos la hipotenusa mediante el Teorema de Pitágoras, y luego los ángulos a través de las razones trigonométricas:

h

= 4

+ 9

→ h

= 97 → h = 9,85

cos A = 9/9,85 → cosA = 0,91 → A = 23,98º cos B = 4/9,85 → cosB = 0,41 → B = 66,04 C = 90º

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20º 6

90º 20º 70º 6

4

9 A

B

C

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Este triángulo no es rectángulo, pero es isósceles, así que lo partimos en dos triángulos iguales con las siguientes medidas:

El ángulo que falta, por supuesto, valdrá 60º (el total debe sumar 180º). Por lo tanto, el ángulo superior del triángulo del problema será de 120º.

Los dos lados que faltan se pueden sacar con razones trigonométricas o con Pitágoras.

cos 30º = 8/h → h = 8/cos30º = 9,24 sen 30º = x/9,24 → x = 9,24·sen30º = 4,62

2)

Es un problema de teorema de Tales, con dos triángulos semejantes: uno formado por el árbol y su sombra y otro por el hombre y su sombra.

x → 4

1,60 → 2,4

x = 1,60·4/2,4 = 2,66 m

3)

Ahora tenemos un triángulo formado por la escalera, el suelo y la pared. Conocemos el ángulo escalera-suelo, y el ángulo pared-suelo es recto. La hipotenusa es la longitud de la escalera. Así que nos basta usar el coseno para hallar la distancia de la escalera a la pared:

cos 60º = d/3

d = 3·cos 60º = 1,5m

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30º 30º

16

30º

90º 8

x h

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4)

El triángulo lo forman ahora el avión, el pueblo a lo lejos y el punto en el suelo que está justo debajo del avión. Conocemos un ángulo y la distancia avión-suelo. Lo que tenemos que calcular es la hipotenusa:

sen30º = 1800/h

h = 1800/sen30º = 3600m

5)

Igual que en el tercer triángulo del primer ejercicio, la tienda de campaña no forma un triángulo rectángulo, pero podemos dividirla en dos triángulos iguales, con las siguientes medidas:

Usaremos la tangente para calcular directamente la altura:

tg 40º = h/1,5

h = tg 40º · 1,5 = 1,26m

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90º 40º

1,5m h

50º