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Academic year: 2020

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(1)

INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA 2013 FORMANDO LÍDERES PARA UN FUTURO MEJOR

FUNCIONES ESTANDARES:

*Establecer relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

* Comparar y contrastar las propiedades de los números sus relaciones y operaciones. * Resolver y formular problemas que involucran mediciones.

*Justificar resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

INDICADORES DE DESEMPEÑO

* Desarrolla el álgebra de funciones de variable real.

*Reflexiona y aplica las propiedades de los números reales y sus operaciones *Describe el comportamiento y características de las relaciones trigonométricas. *Determina las propiedades de las funciones trigonométricas.

*Halla el dominio, rango, período y amplitud de las funciones trigonométricas

*Identifica las propiedades de las funciones trigonométricas a partir de sus gráficas. Concepto de función:

Una función f de un conjunto A en un conjunto B notada f: AB es una ley que asocia a cada

elemento de A , exactamente un elemento de B; el conjunto A se denomina dominio de la función, el conjunto B se denomina codominio y los elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado recorrido o rango de la función.

Ejemplo

Dados los conjuntos A =

1,2,3,4,5

, B=

      25 , 16 , 10 , 9 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2 5 , 5 , 2 , 3 , 2 3 , 2 , 1 , 2 1

Y las funciones definidas por f(x) = 2x, g(x) = 2 x

encontremos el dominio y el recorrido de cada una

de dichas funciones.

Sol. f(1)2.12, f(2)2.24, f(3)2.36, f(4)2.48, f(5)2.510. Así, Df = A y Rf =

2,4,6,8

g(1) = 2

2 4 ) 4 ( , 2 3 ) 3 ( 1 2 2 ) 2 ( , 2 1    

g g

g , g(5) =

2 5

Luego Dg= A, Rg =

      2 5 , 2 , 2 3 , 1 , 2 1

Observe y analice el video

http://www.youtube.com/watch?v=6A2Lf5cbS-s

Taller 3

A. Encuentra los valores propuestos en cada una de las siguientes funciones de A en R con AR 1) Si f(x) = 3x2 + 5, halla f(-1), f(0), f(2), f()

2) Si h(x) = 3, halla h(-2), h(-1), h(0)

3) Si s(x) = halla x

x , 2

 s(-2), s(-1), s(0), s(1) 4) Si z(x) = x -

x 1

, Halla z(x + 1), z(1/x), z(1)

B. Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones.

1. F(x) = 3x – 2 2. H(x) = x2 3. y =

4 1

x 5. (x) 4x3 6. n(x) = x 1

ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN

ANGULO: Es la unión de dos semirrectas con un punto común. Las semirrectas son los lados del ángulo y el punto común es el vértice.

Para nombrar un ángulo se ubican dos puntos sobre las semirrectas y se nombran los tres puntos de tal manera que el vértice quede en el centro: ABC. Por ejemplo, el ángulo dibujado se nombra ABC. También puede usarse la letra que corresponde al vértice

B (Bˆ) o una letra griega  .

(2)

Cuando una semirecta gira en el sentido de las manecillas del reloj, origina un ángulo negativo

Cuando lo hace en sentido contrario, origina ángulos positivos

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo representado sobre el plano cartesiano está en posición normal si su lado inicial coincide con el semieje positivo de las x, y el vértice con el origen el sistema. El lado terminal puede ubicarse en cualquiera de los cuatro cuadrantes el plano.

ÁNGULO CENTRAL

En la figura se observa el ángulo BAC que tiene por vértice el centro de la circunferencia y sus lados son rayos que cortan a la circunferencia en los puntos B y C. El ángulo BAC se denomina ángulo central

Ver y analizar el video

http://www.youtube.com/watch?v=sy54KAHh6Tg

MEDIDA DE ÁNGULOS

La medida de un ángulo es una magnitud que depende de la amplitud y el sentido de rotación. Para medir ángulos se utilizan dos sistemas. El sistema sexagesimal y el sistema cíclico

A. Sistema sexagesimal. La unidad de medida de este sistema es el grado. Una circunferencia mide 3600

B. Sistema cíclico: Se define el radian como la amplitud del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia

En la figura, la longitud del arco s es igual al radio. Por lo tanto este ángulo es un radian.

EQUIVALENCIA ENTRE GRADOS Y RADIANES.

Las dos equivalencias siguientes permiten calcular, en grados, la amplitud de cualquier ángulo medido en radianes; o la amplitud en radianes, de cualquier ángulo medido en grados:

360o = 2 radianes 180o =  radianes Ejemplos 1

Un ángulo mide 450. Calcular su amplitud en radianes

Sol.

180o  radianes 450 x

radianes x

4 180 45

0

0  

 

Ejemplo 2

Expresar en grados sexagesimales la amplitud

de un ángulo de radianes 3

5

Sol. 180o  radianes

X radianes 3

5

X = 0

0

300 3

5 180

 

(3)

Ver y analizar el video

http://www.youtube.com/watch?v=OzAekiKlI_I TALLER 4

1. Escribe el equivalente en grados del ángulo medido en radianes

A. 2  B. 3  C. 3 2 D. 4 5 E. 12 7 F. 3 4 G. 12 13

2. Escribe el equivalente en radianes de cada ángulo indicado: A. 150

B. 450 C. 750

D. 3400 E. 300 F. 600

G. 2100

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Sea el triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas respecto al ángulo agudo A como:

Seno A =

b a hipotenusa la de longitud opuesto cateto longitud

senA 

Coseno A= b c hipotenusa la de longitud adyacente cateto longitud

CosA 

Tangente A= c a adyacente cateto longitud opuesto cateto longitud

TanA 

Cotangente A= a c opuesto cateto longitud adyacente cateto longitud

CotA 

Secante A =

c b adyacente cateto longitud hipotenusa longitud

SecA 

Cosecante A= a b opuesto cateto longitud hipotenusa longitud

CscA 

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN POSICIÓN NORMAL

r y sen

r x Cos

0 ,   x x y Tan y x Cot

x r

Sec  ,y0

y r Csc

Según el cuadrante a que pertenece el punto P = (x, y) , los signos de su coordenadas x, y varían y por consiguiente el signo de las razones también.

Ver y analizar el video

Refuerce y amplié sus conocimientos, observe y analice el video: http://www.youtube.com/watch?v=Gc2zvXUIZD4

TALLER 5

1.Determinar las razones trigonométricas de un ángulo A en posición normal, si el

(4)

a. P = ( 2, 3) b: P = ( 3, 4) c. P = ( 1, 3) d. P = ( 4, 3) e. P = ( 6, 8)

2.Completa con los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante.

Razones

trigonométricas

cuadrantes Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

I II III IV

APLICACIONES

En esta sección recordaremos:

El triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y el ángulo de elevación y de depresión

Refuerce y amplié sus conocimientos, observe y analice el video: http://www.youtube.com/watch?v=1QHM97y2pfY

Taller 6

1. A cierta hora el sol se observa con un ángulo de elevación de 60º. Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 10 m

2. Calcula la amplitud de los ángulos internos de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 cm

3. Una aeronave que vuela a 1500 m de altura se observa desde una pequeña isla con un ángulo de elevación de 30º. Calcula la distancia horizontal que hay desde la isla hasta el punto directamente debajo de la aeronave.

4. Un avión que vuela a 2000 m de altura se observa desde una pequeña isla con un ángulo de elevación de 300. Calcula la distancia horizontal medida que hay desde la isla hasta el punto directamente debajo del avión.

(5)

FUNCIÓN COORDENADA (PUNTO TRIGONOMETRICO)

Si a cada número real t le hacemos corresponder el punto terminal P(x, y) de arco, decimos que esta correspondencia de reales con puntos de la circunferencia es la función punto trigonométrico, que denotamos por P.

1 )

, ( :

:

2 2 2

  

y x donde y

x P t P

por definida

R R P

OBSERVACIONES:

A. El dominio de la función P es R y el recorrido es

(x,y)/x2 y2 1

B. El número t lo podemos asociar con la longitud del arco que va desde el punto (1,0) al punto de

coordenadas (x, y)

Ejemplo:

P(0) = (1, 0)

P(90º) = (0,1)

P(180º)= (-1,0)

P(360º)= (1, 0)

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES CIRCULARES Y SUS PROPIEDADES BÁSICAS

A cada número real de la función coordenada P le asocia un par ordenado de números reales (x , y) en la circunferencia unidad.

Estas funciones están expresadas en términos de las coordenadas (x, y) de la función coordenada P(t) mediante las siguientes ecuaciones:

Si las coordenadas de la función P(t) son (x, y), entonces:

Cos t = x sen t = y tan  (six0) x

y

t cot  (si y0)

y x

t sec  1 (six0)

x t

) 0 (

1

csc  si yy

t

Observe(varias veces), interprete y analice los videos

http://www.youtube.com/watch?v=wR_mn0FiuKg

http://www.youtube.com/watch?v=CDd5d-L89B0

TALLER 7

1. Emplear los valore3s de los puntos trigonométricos para completar la siguiente tabla:

t

6 

4 

4 3

6 7

6 11

4 5

3 7

4

9 2

P(t) Cost

sent

2. Utilizar valores de puntos trigonométricos para determinar:

A. Cos 120º B. sen 210º C. tan 45º D. sec 210º E. Csc 270º F. Cot 360º 3. Calcular el valor de las siguientes expresiones

A.

2   sen

senB.

2

cos senC.

4 cos 4

 

sen D. )

4 ( cos ) 4

(6)

Referencias

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