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(1)

EJERCICIOS(resueltos)

TRIGONOMETRÍA

1) Dados los ángulos a =53º 20 31¢ ¢¢ y b =41º 35 44¢ ¢¢ , calcula:

2) Expresa en radianes:

3) Expresa en grados:

4) Reduce al primer giro los siguientes ángulos, expresándolos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 360º (Ejemplos: 750º = 360 · 2 + 30º = 2 vueltas + 30º ; 1920º = 360º · 5 + 120º = 5 vueltas +120º) :

5) Reduce al primer giro los siguientes ángulos expresándolos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 2π rad.

6) En los siguientes triángulos rectángulos halla las razones trigonométricas de a by :

a) b) c)

) 330º 5,760 rad ) 57º18 1,000 rad ) 1º 0,0175rad ) 80º 1,396 rad ) 140º 2, 443rad ) 12º 0, 209 rad

a b c

d e f

¢

= = =

= = =

7

) 1rad 57º17 45 57,3º ) rad 210º 6

20

) rad 400º ) 6 rad 343,77º

9

) 1,57 rad 89,95º ) 0, 03rad 1,72º

a b

c d

e f

p

p

¢ ¢¢

= =

= =

= =

;

) 1169º 3 89º ) 721º 2 1º ) 5522º 15 122º

) 608º 1 248º ) 880º 2 160º ) 700º 1 340º

a vueltas b vueltas c vueltas

d vuelta e vueltas f vuelta

= + = + = +

= + = + = +

13 8 5 5 65 64

) rad 1 rad ) rad 8 rad

4 4 4 4 4 4 4 4

7 4 3 3

) 60 rad 30 0 rad ) rad 1 rad

2 2 2 2

a vuelta b vueltas

c vueltas d vuelta

p p p p p p p p

p p p p

p

= + = + = + = +

= + = + = +

α

β

c = 4

b = 3

α

β

a = 13

b = 5

c = 8 a = 10

β

α

) 94º 56 15 ) 11º 44 47 ) 3 160º1 33 ) 3 17º 46 50

a a b+ = ¢ ¢¢ b a b- = ¢ ¢¢ c a = ¢ ¢¢ d a = ¢ ¢¢

a

(2)

7) Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo a en los siguientes casos:

{

{

2

2 2

1

) ; sen

5

1

1 24 2 6 sen 5 1 6

cos 1 sen 1 tg

25 25 5 cos 2 6 2 6 12

5 12

) ; cos

13

12 144 25 5

sen 1 cos 1 1

13 169 169 13

5 sen 13 tg

cos

I

II

a I

b II

a

a

a a

a

a a a

a

a a

a a

a a

a

Î

Î

Î =

= ± - = + - = = = = = =

Î =

-æ ö

= ± - = + - -ç ÷ = - = =

è ø

= =

12 13

-{

{

2 2 2

2 2

5 12 1

) ; tg

2

1 5 5

1 tg sec sec 1 tg 1

4 4 2

1 2

cos

sec 5

2 4 1 1

sen 1 cos 1 1

5 5

5 5

III

III

c III

a

a

a a

a a a a

a

a

a a

Î

Î

=

-Î =

+ = Þ = ± + = - + = - =

-= =

-æ ö

= ± - = - - -ç ÷ = - - = - =

-è ø

2 2

2 2

2 2

) 16 9 5

3 4 3

sen cos tg

5 5 4

4 3 4

sen cos tg

5 5 3

) 169 25 12

12 5 12

sen cos tg

13 13 5

5 12 5

sen cos tg

13 13 12

) 100 64 6

8 4 6 3 8 4

sen cos tg

10 5 10 5 6 3

6 3 8 4 6

sen cos tg

10 5 10 5 8

a a c b

b c a b

c b a c

a a a

b b b

a a a

b b b

a a a

b b b

= + = + =

= = =

= = =

= - = - =

= = =

= = =

= - = - =

= = = = = =

= = = = = 3

(3)

{

( )

{

{

2

2 2 2

2 2

2

) ; cotg 4

1 cotg cosec cosec 1 cotg 1 4 17

1 1

sen

cosec 17

1 1 16 4

cos 1 sen 1 1

17 17

17 17

1 1

tg

cotg 4

5

) ; cosec

4

1 4 16

sen ; cos 1 sen 1

cosec 5

IV

IV

III

d IV

e III

a

a

a

a a

a a a a

a

a

a a

a

a

a a

a a a

a

Î

Î

Î

Î =

-+ = Þ = ± + = - + - =

-= =

-æ ö

= ± - = + - -ç ÷ = - = =

è ø

= =

-Î =

-= = - = ± - = -

-{

{

2

2

2

2 2

9 3

25 25 5

sen 4

tg

cos 3

) ; sec 4

1 1 1 15

cos ; sen 1 cos 1

sec 4 16 4

tg 15

1

) ; sen

3

1 8 2 2

cos 1 sen 1

9 3 3

1

1 2

3 tg

4

2 2 2 2

3

4

) ; tg

3

4

sec 1 tg sec 1

3

IV

II

f IV

g II

h IV

a

a

a a

a

a a

a a a

a a

a a

a a

a

a a

a a a

Î

Î

= - =

-= =

Î =

= = = ± - = - - =

=

-Î =

= ± - = - - = - =

-= = - =

-Î =

-æ ö

= + Þ = ± + -ç ÷ =

è ø {

{

{

{ 2

2

2 2

2

16 25 5

1

9 9 3

3 3 9 16 4

cos ; sen 1 1

5 5 25 25 5

2

) ; tg

5

2 2 27 27

sec 1 tg sec 1 1

5 25 25 5

5 5 25 2

cos ; sen 1 1

27 27

27 27

IV

IV

III

III

i III

a

a

a

a

a a

a a

a a a

a a

Î

Î

Î

Î

+ + = =

æ ö

= = ± -ç ÷ = - - = - =

-è ø

Î =

æ ö

= + Þ = ± +çç ÷÷ = - + = - =

-è ø

æ ö

= - = ± - -ç ÷ = - - =

(4)

8) Teniendo en cuenta las razones trigonométricas de 30º calcula las de los siguientes ángulos: a) 60º b) 150º c) 390º d) 1110º e) 330º f) 210º

9) Teniendo en cuenta las razones trigonométricas de 60º calcula las de los siguientes ángulos: a) 300º b) 780º c) 30º d) 240º e) 120º f) –60º

10) Teniendo en cuenta las razones trigonométricas de 45º calcula las de los siguientes ángulos: a) 135º b) 315º c) 225º d) 3645º

3 1

) sen 60º sen(90º 30º ) cos30º ; cos 60º cos(90º 30º ) sen 30º

2 2

1 3

) sen150º sen(180º 30º ) sen 30º ; cos150º cos(180º 30º ) cos30º

2 2

1 3

) sen 390º sen(360º 30º ) sen 30º ; cos390º cos(360º 30º ) cos30º

2 2

) sen11

a

b

c

d

= - = = = - = =

= - = = = - = - =

-= + = = = + = =

1 3

10º sen(3 360º 30º ) sen 30º ; cos1110º cos30º

2 2

1 3

) sen 330º sen(360º 30º ) sen(30º ) ; cos330º cos(360º 30º ) cos30º

2 2

1 3

) sen 210º sen(180º 30º ) sen 30º ; cos 210º cos(180º 30º ) cos30º

2 2

e

f

= × + = = = =

= - = - = - = - = =

= + = - = - = + = - =

-3 1

) sen 300º sen(360º 60º ) sen(60º ) ; cos300º cos(360º 60º ) cos 60º

2 2

3 1

) sen 780º sen(2 360º 60º ) sen 60º ; cos 780º cos 60º

2 2

1 3

) sen 30º sen(90º 60º ) cos 60º ; cos30º cos(90º 60º ) sen 60º

2 2

) sen 240º sen(180

a

b

c

d

= - = - = - = - = =

= × + = = = =

= - = = = - = =

= º 60º ) sen 60º 3 ; cos 240º cos(180º 60º ) cos 60º 1

2 2

3 1

) sen120º sen(180º 60º ) sen 60º ; cos120º cos(180º 120º ) cos 60º

2 2

3 1

) sen( 60º ) sen 60º ; cos( 60º ) cos 60º

2 2

e

f

+ = - = - = + = - =

-= - = = = - = - =

-- = - = - - = =

2 2

) sen135º sen(180º 45º ) sen 45º ; cos135º cos(180º 45º ) cos 45º

2 2

2 2

) sen 315º sen(360 45º ) sen 45º ; cos315º cos(360 45º ) cos 45º

2 2

2 2

) sen 225º sen(180 45º ) sen 45º ; cos 225º cos(225º 45º ) cos 45º

2 2

a

b

c

= - = = = - = - =

-= - = - = - = - = =

= + = - = - = + = - =

-2 2

) sen 3645º sen(10 360º 45º ) sen 45º ; cos3645º cos 45º

2 2

(5)

11) Calcula las razones trigonométricas de a en los siguientes casos:

(

)

(

)

{

(

)

(

)

{

( )

2 2

2 2 2

1

) ; sen Ángulos suplementarios 4

1 1 15

sen sen ; cos 1 sen 1

4 16 4

) ; tg 2 Ángulos que difieren en radianes (180º)

tg tg 2 ; sec 1 tg sec 1 tg 1 2 5

1

cos ; sen

5 I II a I b II a a

a p a

a p a a a

a p a p

a p a a a a a

a a Î Î Î - = = - = = ± - = + - = Î + = -= + = - = + Þ = ± + = - + - = -= - {

(

)

( )

(

)

(

)

{ 2 2 2

1 1 4 2

1 1

5 5

5 5

) ; sec 2 3 Ángulos opuestos

1 1

cos cos cos 2

sec 2 3

1 1 8 2 2

sen 1 cos 1 1

3 9 9 3

3

) ; tg Ángulos complementarios

2 4 tg cotg 2 II III c III d II a a

a p a

a a p a

p a a a p a a p a a Î Î æ ö = ± - -ç ÷ = + - = = è ø Î - = -= - = - = = -æ ö = ± - = - - -ç ÷ = - - = - = -è ø æ ö Î ç - ÷= -è ø = -{ {

(

)

(

)

2 2 2 2 1 4 3 tg 2

4 16 25 5

sec 1 tg 1 1

3 9 9 3

1 3 9 16 4

cos ; sen 1 cos 1

sec 5 25 25 5

2

) ; cos Ángulos suplementarios 3

2 2

cos cos ; sen 1 cos

3 3 II II e IV a a a p a a a

a a a

a

a p a

a p a a a

Î Î Î æ ö = = -ç ÷ æ ö è ø -ç ÷ è ø æ ö = ± + = - + -ç ÷ = - + = - = -è ø = = - = ± - = + - = = Î - = -æ ö = - - = - -ç ÷= = ± - = -è ø {

(

)

( )

(

)

(

)

{

(

)

(

)

{ 2 4 5 1 9 3

) ; cosec 2 2 2 Ángulos opuestos

1 1 1

sen sen sen 2

cosec 2 2 2 8

1 7 7

cos 1 sen 1

8 8 8

1

) ; sen Ángulos que difieren en radianes 3

1 1 8

sen sen ; cos 1

3 9 9

IV IV IV f IV g IV a a

a p a

a a p a

p a

a a

a p a p

a p a a

Î Î = -Î - = = - - = - - = - = - = -= ± - = + - = = Î + =

= - + = - = ± - = + 8 2 2

3 3

(6)

12) Sabiendo que completa la siguiente tabla:

{

(

)

(

)

(

)

{

2 4

) ; cos

2 5

4 16 9 3

sen cos ; cos 1 sen 1

2 5 25 25 5

) ; sec 4

1 1 1 15 15

cos cos ; sen 1

sec 4 16 16 4

III

II

h III

i II

a

a

p

a a

p

a a a a

a p a

a p a a

p a

Î

Î

æ ö

Î ç - ÷=

-è ø

æ ö

= ç - ÷= - = ± - = - - = - =

-è ø

Î - =

= - - = - = - = ± - = + =

-{

2 2

127º

3 9 16 4

sen127º 1 cos 127º 1 1

5 25 25 5

307º ; 307º 180º 127º

3 3

cos307º cos(180º 127º ) cos127º

5 5

4 sen 307º sen(180º 127º ) sen127º

5 4 tg 307º tg(180º 127º ) tg127º

3 37º ; 37º 90º 12

II

Î

æ ö

= ± - = + - -ç ÷ = - = =

è ø

= +

æ ö

= + = - = - -ç ÷=

è ø

= + = - =

-= + = =

-- - = - 7º

3 sen( 37º ) sen(90º 127º ) cos127º

5 4 cos( 37º ) cos(90º 127º ) sen127º

5 3 tg( 37º ) tg(90º 127º ) cotg127º

4 53º ; 53º 180º 27º

4 sen 53º sen(180º 127º ) sen127º

5 3 cos53º cos(180º 127º ) cos127º

5 tg 53º tg(180º

- = - = =

-- = - = =

- = - = =

-=

-= - = =

= - = - =

= -127º ) tg127º 4 3 233º ; 233º 360º 127º

4 sen 233º sen(360º 127º ) sen( 127º ) sen127º

5 3 cos 233º cos(360º 127º ) cos( 127º ) cos127º

5 4 tg 233º tg(360º 127º ) tg( 127º ) tg127º

3

= - =

=

-= - = - = - =

-= - = - = =

-= - = - = - =

3 cos127º

(7)

-13) Sabiendo que sen 48º 5 completa la siguiente tabla : 3

=

487º ; 487º 360º 127º

4 sen 487º sen(360º 127º ) sen127º

5 3 cos 487º cos(360º 127º ) cos127º

5 4 tg 487º tg(360º 127º ) tg127º

3

= +

= + = =

= + = =

-= + = =

-

2 2

48º

5 5 4 2

cos 48º 1 sen 48º 1 1

3 9 9 3

42º ; 42º 90º 48º

2 sen 42º sen(90º 48º ) cos 48º

3 5 cos 42º cos(90º 48º ) sen 48º

3 2 tg 42º tg(90º 48º ) cotg 48º

5 132º ; 132º 180º 48º

5 sen132º sen(180º 48º ) sen 48º

3 co

I

æ ö

= ± - = + -çç ÷÷ = - = =

è ø

=

-= - = =

= - = =

= - = =

=

-= - = =

2 s132º cos(180º 48º ) cos 48º

3 5 tg132º tg(180º 48º ) tg 48º

2 228º ; 228º 180º 48º

5 sen 228º sen(180º 48º ) sen 48º

3 2 cos 228º cos(180º 48º ) cos 48º

3 5 tg 228º tg(180º 48º ) tg 48º

2 312º ; 312º 360º 48º

sen 312º s

     

     

 

     

     

   

 

 en(360º 48º ) sen( 48º ) sen 48º 5 3 2 cos312º cos(360º 48º ) cos( 48º ) cos 48º

3 5 tg 312º tg(360º 48º ) tg( 48º ) tg 48º

2

      

     

(8)

14) Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

15) Demuestra las siguientes identidades:

sec sec

)

cosec tg 1 sen

a a a

a a

a =

× ×sena

(

)(

)

(

)

(

)

2 2

2 2

3 2 2 2

2

sec sec 1

1 sec

cos cos

sec sec 1

) cos

1 tg sec sec

1 cos 1 cos sen 1 cos

) 1 cos

1 cos 1 cos 1 cos

sen sen 1

) cos

sen 1

tg

cos cos

) sen sen cos sen sen cos sen ) sen cos sen

b

c

d

e

f

a a

a a

a

a a a

a a a

a a

a a a

a a a

a a a

a a

a a

a a a a a a a

a a

= = =

= = =

+

+

-= = = +

- -

-= = =

+ × = + =

+ +

(

)

2

2

cos sen 2sen cos

a a

a a a

- =

= + +cos2a+sen2a -2sen cosa a

(

)

(

)

2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4

2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos

2sen 2cos 2 sen cos 2

1 cos sen

) tg

1 sen cos

sec 1 1 tg 1 tg

) tg tg tg

cosec 1 1 cotg 1 cotg

) cos sen cos sen cos cos sen sen cos sen 1

g

h

i

a

a a a a

a a a

a a

a a a a a a

a a

a a a a a a a a a a

+ =

= + = + =

-= =

-- = + - = = × =

- +

-+ × + = + + = + =

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

) cosec cotg 1

1 cos 1 cos sen

cosec cotg 1

sen sen sen sen

) sec cosec sec cosec

1 1 sen cos 1 1 1

sec cosec

cos sen cos sen cos sen cos sen

sec cosec ) tg

a

b

c

a a

a a a

a a

a a a a

a a a a

a a

a a

a a a a a a a a

a a

a

- =

-- = - = = =

+ = ×

+

+ = + = = = × =

× +

2 2

cotg sec cosec

sen cos sen cos 1

tg cotg sec cosec

cos sen cos sen cos sen

a a a

a a a a

a a a a

a a a a a a

= ×

+

+ = + = = = ×

408º ; 408º 360º 48º

5 sen 408º sen(360º 48º ) sen 48º

3 2 cos 408º cos(360º 48º ) cos 48º

3 5 tg 408º cos(360º 48º ) tg 48º

2

= +

= + = =

= + = =

(9)

16) Dado el triángulo de la figura resolverlo en los siguientes casos:

) 12 y 35º ) 17 y 15

) 7 y 24 ) 73 y 48

) 5 y 40º ) 25 y 30º

a c A b c a

c b a d c b

e b B f c B

   

   

    B

A a c b

(

)(

)

(

)

(

(

)

)

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

cos 1 sen

2 2

2 ) sen cos sen cos

sen cos sen cos ; sen cos sen cos ; 1 1 cos 1 sen

) 0

1 sen cos

cos 1 sen cos 1 sen 1 sen

cos 1 sen

1 sen cos 1 sen cos 1 sen co

d

e

a a

a b b a

a b b a a a b b

a a

a a

a a

a a a

a a

a a a a a

-- = -- = - + = + = + - = -- + -+ - = = - - -64748 644474448

(

)

(

)

(

)(

)

2 2 2

4 4 2

4 4 2 2 2 2 2 2

1 cos 1

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

s

cos cos 0

0 1 sen cos 1 sen cos ) sen cos 1 2cos

sen cos sen cos sen cos sen cos

1 cos cos 1 2cos ) tg cos cotg sen 1 tg cos cotg sen

f

g

a

a

a a

a a a a

a a a

a a a a a a a a

a a a

a a a a

a a a a

-= -= = = - -- = -- = + - = - = = - - = -× + × = × + × = 123 1442443 2 2 sen cos a a 2 cos a

× cos22 sen

a a

+ ×sen2a

(

)(

)

2

2 2

2 2

cos

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

sen cos 1

2cos sen 1

) 3cos

cos

2 cos sen 1 2cos 1 sen 3cos

3cos

cos cos cos

1 sen cos )

cos 1 sen 1 sen cos

; 1 sen 1 sen cos ; 1 sen cos ; cos cos cos 1 sen

cosec ) h i j a a a

a a a

a

a a a a a a

a a a

a a

a a

a a a a a a a a a

a a = + = - + = - + = + - = = - = + -= - + = - = = + 64748

(

)

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 1 cos cosec

cosec 1 cosec 1 1

cosec 1 sen 1 sen

1

cosec sen

sen 1 sen cos

a a

a

a a a a a

(10)

17) Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 85m cada uno y el desigual 168m. Calcular los ángulos de dicho triángulo, así como la altura sobre el lado desigual.

18) Calcula la altura h y los lados b y c del triángulo de la figura:

2 2

2 2

) 12 y 35º

ˆ ˆ ˆ

sen sen 12 sen 35º 6,883 ; 9,830 ; 90º 35º 55º

) 17 y 15

8 ˆ

ˆ ˆ ˆ

8 ; sen 28º 4 21 ; 90º 61º 55 39 17

) 7 y 24

7 ˆ

ˆ ˆ ˆ

tg 16º15 37 ; 90º 73º 44 23 ;

24

a c A

a

A a c A b c a B

c

b c a

b

b c a B B A B

c

c b a

b

B B A B c

a

= =

= Þ = × = × = = - = = - =

= =

¢ ¢¢ ¢ ¢¢

= - = = = Þ = = - =

= =

¢ ¢¢ ¢ ¢¢

= = Þ = = - = 2 2

2 2

2 2

2 2

25 ) 73 y 48

48

ˆ ˆ ˆ ˆ

cos 48º 53 16 ; 90º 41º 6 44 ; 55

73

) 5 y 40º

5 ˆ

ˆ ˆ

sen 7,779 ; 90º 50º ; 5,959

ˆ sen 40º sen

) 25 y 30º

3 25 ˆ

ˆ ˆ

cos cos 25 ; ;

2 2

a b

d c b

b

A A B A a c b

c

e b B

b b

B c A B a c b

c B

f c B

a

B a c B b c a A

c

= + =

= =

¢ ¢¢ ¢ ¢¢

= = Þ = = - = = - =

= =

= Þ = = = = - = = - =

= =

= Þ = × = × = - = =90º 30º 60º- =

a a

h

b

α α

β

2 2

2 2 2 2 2

84 2

cos 8º 47 51 ;

85

180º 2 162º 24 18 ;

85 84 13

2 2

b

a

b b

a h h a

a a

b a

¢ ¢¢

= = Þ =

¢ ¢¢

= - =

æ ö æ ö

=ç ÷ + Þ = -ç ÷ = - =

è ø è ø

h

67º

50º

a=6

c b

x 6–x

(

)

(

)

Planteamos el sistema:

tg 67º tg 67º

tg 67º 6 tg 50º tg 50º 6 tg 50º

tg 50º 6

6 tg 50º

tg 67º tg 50º 6 tg 50º 2,016 tg 67º tg 50º

tg 67º 4,749

h

h x

x x x

h x

h x

x x

h x

ü

= ï = ü

ï Þ Þ =

= - ý

þ ï

=

ï - þ

+ = Þ = =

+

= =

Los lados b y c se pueden hallar mediante el teorema de Pitágoras en cada uno de los triángulos rectángulos o bien:

sen 67º 5,159 ; sen 50º 6,199

sen 67º sen 50º

h h h h

c b

c b

(11)

19) Calcula la altura h y los lados b y c del siguiente triángulo:

20) Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que una de sus diagonales mide 20cm, y que forma un ángulo de 30º con la base.

21) Una escalera de 6m de largo se apoya en una pared formando con el suelo un ángulo de 60º. Calcular la distancia desde la pared hasta el punto de apoyo en el suelo y la altura que alcanza la escalera en la pared.

22) Una torre de 20m proyecta una sombra de 25m de longitud. Calcula la inclinación de los rayos de sol.

23) Desde un faro, situado a 40m sobre el nivel del mar, se observa un barco bajo un ángulo de depresión de 28º. Calcular la distancia que separa al barco del faro, o lo que es lo mismo, de la costa.

60º 35º

a = 3 c

b h

x

(

)

tg 35º

3 tg 35º

3 3tg 35º tg 35º tg 60º

tg 60º tg 60º

3tg 35º

3 tg 35º (tg 60º tg 35º ) 2, 036; tg 60º tg 35º

tg 60º 3,526

h

h x

x x x

h h x

x

x x

h x

ü

= ï = + ü

ï

+ Þ Þ + = Þ

ý ý

= þ

ï =

ïþ

= - Þ = =

-= =

sen 35º 6,147; sen 60º 4,071

sen 35º sen 60º

h h h h

c b

c b

= Þ = = = Þ = =

b

c d

30º

sen 30º 20sen 30º 20 0,5 10 20

La base b podemos hallarla por el teorema de Pitágoras o bien: 3

cos30º 20cos30º 20 10 3

20 2

c

c cm

b b

= Þ = = × =

= Þ = = =

6

d h

60º

cos 60º 6cos 60º 6 0,5 3 ; 6

3 sen 60º 6 sen 60º 6 3 3

6 2

d

d m

h

h m

= Þ = = × =

= Þ = × = × =

25m 20m

α

20 4

tg 38,66º

25 5

a = = Þ =a

28º

28º d

h = 40

40 tg 28º

40

75, 23 tg 28º

d

d m

= Þ

(12)

24) Calcula la altura de una torre, si situándonos a 25m de su pie observamos la parte más alta bajo un ángulo de 45º

25) Un coche recorre 685m subiendo una pendiente del 8%. Halla que desnivel ha superado.

26) Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 50º. Si nos alejamos 10m de la orilla, el ángulo de observación es de 37º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.

27) Si los dos brazos de un compás forman un ángulo de 50º y cada brazo mide 12cm, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.

28) Halla la profundidad de un pozo de 2m de diámetro si observamos el diámetro del fondo bajo un ángulo de 20º 45º h

25

Si el ángulo es 45º necesariamente h = 25m. También lo vemos: tg 45º 25 tg 45º 25 1 25

25

h h

= Þ = × = × =

685

h

α100 8

Una pendiente del 8% significa que cada 100m recorridos se ascienden 8. Por tanto:

8

sen 0,08 sen

100 685

685 0,08 54,8 (el 8% de 685)

h

h m

a = = Þ a = Þ

= × =

10m r

50º 37º

h

(

)

(

)

tg 37º

10 tg 37º 10

tg 50º tg 50º

10 tg 37º tg 37º tg 50º 10 tg 37º tg 50º tg 37º

10 tg 37º

17, 20 tg 50º tg 37º

tg 50º 20,50

h

h r

r

h h r

r

r r

r

r m

h r m

ü

= ï = + × ü

ï

+ Þ Þ

ý ý

= × þ

ï =

ïþ

× + × = × Þ

× = × - Þ

= =

-= =

r 50º 25º

12 sen 25º 122 24 24sen 25º 10,14

r

r

r cm

= = Þ = =

20º h

2m

1 1

tg10º 5,67

tg10º

h m

h

(13)

29) Una portería de fútbol tiene un ancho de 7,32m y una altura de 2,44m. El punto de lanzamiento de penalty se encuentra a 11m. a) Calcula el ángulo máximo que puede tener un lanzamiento raso sobre el césped para que sea gol.

b) Calcula el ángulo de ele vación maximo de un lanzamiento perpendicular a puerta para que sea gol.

30) El diámetro del Sol abarca un ángulo visto desde la Tierra de 32'. Si el diámetro del Sol es de 1,4 millones de kilómetros, halla la distancia de la Tierra al Sol.

31) Desde la proa de un barco velero se observa el extremo del mástil bajo un ángulo de 65º y desde la popa bajo un ángulo de 50º. Si la eslora del barco es 25m, hallar la altura del mástil y la distancia de éste a la proa.

7,32 11 α

11

2,44 β

7,32

7,32 2

) tg 0,3327 18º 24 8

11 22

a a = = = Þ =a ¢ ¢¢

2, 44

) tg 0, 2218 12º 30 21 11

b b = = Þ =b ¢ ¢¢

d 32'

R

6 6

6 8

3

1, 4 10 0,7 10

0,7 10 ; tg16 1,5 10

2 tg16 4,6542 10

km R R km

R km d km

d

¢ ×

= = × = Þ = = = ×

¢ ×

50º 65º

25m

x 25–x

h

(

)

(

)

tg 65º tg 65º

25 tg 50º tg 50º

25

tg 65º 25 tg 50º tg 50º tg 65º tg 50º 25 tg 50º

25 tg 50º

8,93 tg 65º tg 50º

tg 65º 19,15

h

h x x

h x

h x

x x

x

x m

h x m

ü

= ï = × ü

ï Þ Þ

ý = - × ý

þ ï

=

ï - þ

× = × - × Þ

× + = Þ

= =

+

(14)

32) Observamos la copa de un árbol a cierta distancia de él y el ángulo de observación es de 30º. Caminamos 20m hacia el árbol y ahora observamos su copa con un ángulo de 70º. Hallar la altura del árbol y la distancia a la que se hizo la primera observación.

20 x

30º 70º

h

(

)

tg 30º

20 tg 30º 20

tg 70º tg 70º

20 tg 30º tg 30º tg 70º 20 tg 30º (tg 70º tg 30º )

20 tg 30º

5,32 ; tg 70º tg 30º

tg 70º 14,62 20 25,32

h

h x

x

h h x

x

x x

x

x m

h x m

d x m

ü

= ï = + ü

ï

+ Þ Þ

ý ý

= þ

ï =

ïþ

+ = Þ

= - Þ

= =

-= =

Figure

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