PARTE1

PRIMERA PARTE

Desigualdades e inecuaciones – Continuidad-

Funciones circulares – G. Analítica – Derivadas y

Aplicaciones.

Prof. JORGE INOSTROZA LAGOS

Prof. CLAUDIO LABBÉ D.

INDICE

1.-FUNCIÓN REAL.

Ejercicios Resueltos;Desigualdades e inecuaciones:

02

Guía # 1. Ejercicios Propuestos

16

2.-FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejercicios

Resueltos.

17

Guía # 2. Ejercicios Propuestos

22

3.-LIMITE Y CONTINUIDAD.

Ejercicios Resueltos

26

Guía # 3. Ejercicios Propuestos

35

4.-FUNCIONES CIRCULARES

Ejercicios Resueltos de Trigonometría

40

Guía # 4.Ejercicios Propuestos

48

5.-GEOMETRÍA ANALÍTICA.

Ejercicios

Resueltos.

49

Guía # 5.Ejercicios Propuestos

57

6.-LA DERIVADA.

Ejercicios

Resueltos

58

Guía # 6.Ejercicios Propuestos

70

7.-APLICACIONES DE LA DERIVADA

.

Ejercicios

Resueltos

58

Guía # 7. Ejercicios Propuestos

87

8.- TEOREMA DE L’HOPITAL

Ejercicios

Resueltos

92

Guía # 8. Ejercicios Propuestos

97

CALCULO APLICADO

1.- FUNCIÓN REAL

Ejercicios Resueltos: Desigualdades, Inecuaciones, Supremo

Acabado el estudio que caracteriza los reales como un cuerpo ordenado y completo, se puede entender los siguientes ejercicios resueltos.

1) Pruebe las siguientes desigualdades:

a) 2 a b b

a_{+ ≥ , ∀ a, b}

∈ _ℝ+

b)

b a

2ab ab 2

b a

+ ≥ ≥

+ _{, ∀ a, b} ∈ _ℝ+

OBS.: M.A. ≥ M.G. ≥ M.H.

c) a3_{b + ab}3 _{≤ a}4 _{+ b}4 _{, ∀ a, b ∈ ℝ} d) a4 _{+ b}4 _{≥ 2a}2_b2

e) a+b ≤ a+ b, ∀ a, b ∈ ℝ+ Solución:

a) Como x2 _{≥ 0 ∀ x}

∈ℝ, y x + _x1 _{≥ 2 (puesto que x +} 1

x – 2 = ( x− 1_x)

2 _{≥ 0), entonces}

si x = _ba , se tiene 1 b

x = a, y por lo tanto a 2 b b a

≥

+ //

b) i) P/D: a + b – 2 ab ≥ 0 ⇔ ( a – b)2 _{≥ 0 ⇔} a b 2

+ _{≥ ab .}

ii) P/D: a b

2ab

+ _≥ 1

ab ⇔ a + b ≥ 2 ab ⇔ a b

2

+ _{≥ ab, ya probado.}

c) a4 _{+ b}4 _{– a}3_{b – ab}3 _{> 0 ⇔ a}3_{(a –b) – b}3_{(a – b) ≥ 0 ⇔ (a}3 _{– b}3_{)(a – b) ≥ 0 ⇔} (a2 _{+ ab + b}2_{)(a – b)}2 _{≥ 0, y como cada factor es mayor o igual a cero, queda probado.}

d) a4 + b4 ≥ 2a2_b2 _{⇔ a}4 _{+ b}4 _{– 2a}2_b2 _{⇔ (a}2 _{– b}2₎2 _{≥ 0} //

e) Primero notemos que x2 _{≥ y}2 _{⇔ x ≥ y ∀ x, y ∈ℝ}+_{, pues} x2 _{– y}2 _{= (x – y)(x + y) ≥ 0 ⇒ x – y ≥ 0 ya que x + y ≥ 0.}

2) Probar las siguientes desigualdades:

a) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc ∀ a, b, c _∈ℝ+

b) (ab + bc)(ac + bc)(ab + ac) ≥ 8a2_b2_c2 _{∀ a, b, c ∈ℝ}+

c) (a + b)2 _{+ (b + c)}2 _{+ (a + c)}2 _{≥ 4(ab + bc + ac) ∀ a, b, c ∈ℝ}+

Solución:

a) Como a + b ≥ 2 ab

b + c ≥ 2 bc (_∗) a + c ≥ 2 ac

(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8 ab bc ac = 8abc//

b) Multiplicando (∗) por c, a, b, respectivamente, tenemos

ac + bc ≥ 2c ab ba + ca ≥ 2a bc ab + cb ≥ 2b ac

Multiplicando miembro a miembro:

(ac + bc)(ba + ca)(ab + cb) ≥ 8abc ab bc ac = 8abc·abc ≥ 8a2_b2_c2

//

c) Ya que todo número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero: (a – b)2 ≥ 0

entonces a2 _{–2ab + b}2 _{≥ 0}

a2 _{+ b}2 _{≥ 2ab /+(2ab)}

a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab

(a + b)2 _{≥ 4ab (1)}

Del mismo modo: (b + c)2 _{≥ 4bc (2)}

(a + c)2 ≥ 4ac (3)

3) Probar que

a) a + b + c = 6 ⇒ a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{≥ 12}

b) a + b + c = 1 ⇒ (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc c) a + b = 1 ⇒ 4ab ≤ 1

d) a2 _{+ b}2 _{= 4 ⇒ a}4 ₊

4

1 a + b

4 ₊

4

1

b > 16 ∀ a, b ∈ℝ +

Solución:

a) De a + b + c = 6 tenemos (a + b + c)2 _{= 6}2

⇒ a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{+ 2(ab + bc + ac) = 36 (∗)} Por otra parte, en la solución 2c) anterior se demostró que

a2 _{+ b}2 _{≥ 2ab}

Del mismo modo: b2 _{+ c}2 _{≥ 2bc sumando ⇒ 2a}2 _{+ 2b}2 _{+ 2c}2 _{≥ 2ab + 2bc + 2ac}

c2 _{+ a}2 _{≥ 2ac ⇒ 2(a}2 _{+ b}2 _{+ c}2_{) ≥ 2(ab + bc + ac) (∗∗)}

Finalmente, reemplazando (∗∗) en (∗):

a2 + b2 + c2 + 2(a2 + b2 + c2) ≥ 36

3(a2 _{+ b}2 _{+ c}2_{) ≥ 36 /:3}

⇒ a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{≥ 12} //

b) De a + b + c = 1 se tiene 1 – a = b + c

1 – b = a + c ⇒ (b +c)(a + c)(a + b) = a2_{b + abc + a}2_{c + ab}2 _{+ b}2_{c + abc + ac}2 _{+ bc}2 1 – c = a + b = (a2_{b + bc}2_{) + (ab}2 _{+ ac}2_{) + (a}2_{c + b}2_{c) + 2abc} = b(a2 + c2) + a(b2 + c2) + c(a2 + b2) + 2abc y puesto que a2 _{+ b}2 _{≥ 2ab, entonces}

(b +c)(a + c)(a + b) ≥ 2abc + 2abc + 2abc + 2abc

≥ 8abc//

c) De a + b = 1 tenemos a2 _{+ 2ab + b}2 _{= 1.}

d) Por demostrar que a2 _{+ b}2 _{= 4 ⇒ a}4 ₊

4

1 a + b

4 ₊

4

1

b > 16 ∀ a, b ∈ℝ +

Solución:

a2 _{+ b}2 _{= 4 /( )}2 _{⇒ a}4 _{+ 2a}2_b2 _{+ b}4 _{= 16 ⇒ a}4 _{+ b}4 _{= 16 – 2a}2_b2 ₍₁₎ Ahora bien, como todo número real al cuadrado es siempre positivo o cero, tenemos

(a – b)2 _{≥ 0 ⇒ a}2 _{– 2ab + b}2 _{≥ 0 ⇒ a}2 _{+ b}2 _{≥ 2ab}

4 ≥ 2ab ⇒ ab ≤ 2 (_∗)

También

(a2 _{– b}2₎2 _{≥ 0 ⇒ a}4 _{– 2a}2_b2 _{+ b}4 _{≥ 0 ⇒ a}4 _{+ b}4 _{≥ 2a}2_b2 _{/: a}4_b4

1₄

a + 4 1

b ≥ 2 2 2

a b (2)

Sumando (1) + (2):

a4 _{+ b}4 ₊

4

1

a + _b14 ≥ 16 – 2a

2_b2 ₊

2 22

a b (3)

Y de (∗)

ab ≤ 2 /( )2

a2_b2 _{≤ 4 /·(–2)}

–2a2b2 ≥ –8

y Entonces (3) da:

ab ≤ 2 /( )2 _a4 _{+ b}4 ₊

4

1 a + 4

1

b ≥ 16 – 8 + 8

a2_b2 _{≤ 4 a}4 _{+ b}4 ₊

4

1

a + _b14 ≥ 16//

_{2 2}1

a b ≥ 4 /·(2)

_{2 2}2

a b ≥ 8

4) Resolver las inecuaciones

a) 2x + 1 > x + 3 i) 4 3

x 1 x 2+ − + ≥ 1 b) x2 _{– 2x – 35 ≥ 0 j) – 1 <} 3x 4

x 7−+ ≤ 1

c) x – 1 < 2x + 5 < – x – 10 k) (x 1)(x 2)(x2 1)

(2x 3)(3x 2)

+ − +

− − ≤ 0

d) (x – 1)(x + 2) > 0 l) x 2

3 x+− ≤ 1 e) x2 _{– 2x – 48 < 0 m) ⎮2x + 3⎮ > 5}

f) (x2 + 3x – 4)(2x2 + 4) ≤ 0 n) ⎮x – 5⎮ + ⎮1 – x⎮ < 4

g) x ₂

(x 2)+ ≤ 0 ñ)

2 2

x 2x 3 x 5x 6

− + − + >

1 5

h) x – 2

x > 1 o) ⎮1 + ⎮x – 2⎮ + x⎮ < 4 Solución:

a) 2x + 1 > x + 3 ⇒ 2x – x > 3 – 1 ⇒ x > 2.

S = { x ∈ℝ / x > 2 } ≡ ] 2, ∞ [.

b) Factorizando: x2 _{– 2x – 35 ≥ 0 ⇒ (x – 7)(x + 5) ≥ 0}

Valores críticos (VC) (son los valores de x que anulan los factores (x + 5) y (x – 7)):

(x – 7) = 0 ⇒ x = 7 ; (x + 5) = 0 ⇒ x = – 5 ; De modo que x – 7 > 0 si x > 7 ∧ x – 7 < 0 si x < 7

x – 5 > 0 si x > 5 ∧ x – 5 < 0 si x < 5. Luego, tenemos la tabla: Tabla:

(x – 7) – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + (x + 5) – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (x – 7)(x + 5) + + + + + + + + + + – – – – – – – – + + + + + + + + + –∞ < x ≤ – 5 7 ≤ x < ∞

Luego, el conjunto solución S es

S = { x _∈ℝ / –∞ < x ≤ –5 _∨ 7 ≤ x < ∞ }

o bien x ∈ ] –∞, –5 ] ∪ [ 7, ∞ [

c) x – 1 < 2x + 5 ∧ 2x + 5 < – x – 10 ⇔ – x < 6 _∧ 3x < – 15

⇔ x > – 6 _∧ x < – 5.

o bien S = { x ∈ℝ / – 6 < x < – 5 } ≡ ] – 6, – 5 [

– ∞ ∞

d) (x – 1)(x + 2) > 0. Los valores críticos de x son, entonces, x = 1, x = –2. Hagamos una tabla con los VC y los factores (x – 1) y (x + 2):

Tabla:

(x – 1) – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + (x + 2) – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

(x – 1)(x + 2) + + + + + + + + + – – – – – – – – + + + + + + + + +

–∞ < x < – 2 1 < x < ∞

Luego, el conjunto solución S de nuestro problema será

S = { x ∈ℝ / x < –2 ∨ x > 1 }

o bien S = ] – ∞ , – 2 [ ∪ ] 1 , ∞ [

e) Factorizando:

x2 _{– 2x – 48 < 0 ⇒ (x – 8)(x + 6) < 0 ⇒ VC: (x – 8) = 0 ⇒ x = 8}

(x + 6) = 0 ⇒ x = – 6 Tabla:

(x – 8) – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + +

(x + 6) – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + (x – 8)(x + 6) + + + + + + + + + – – – – – – – – + + + + + + + +

– 6 < x < 8

S = { x ∈ℝ / – 6 < x < 8 }

o bien x ∈ ] – 6 , 8 [ //

– 6 – 5

S

x –∞ – 2 1 ∞

f) Puesto que en (x2 _{+ 3x – 4)(2x}2 _{+ 4) ≤ 0, el factor (2x}2 _{+ 4) es siempre positivo, basta estudiar el} factor (x2 _{+ 3x – 4) tal que (x}2 _{+ 3x – 4) ≤ 0.}

x2 _{+ 3x – 4 ≤ 0 ⇒ (x + 4)(x – 1) ≤ 0 ⇒ VC: x = – 4 , x = 1.} Tabla:

(x + 4) – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + + (x – 1) – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + (x + 4)(x – 1) + + + + + + + + + + – – – – – – – – + + + + + + + + +

– 4 ≤ x ≤ 1

⇒ S = { x _∈ℝ / – 4 ≤ x ≤ 1 } ó x ∈ [ – 4, 1 ]//

g) El signo lo define el numerador (puesto que (x +2)2 _{es siempre positivo para x ≠ – 2, (ya que la}

división por cero no está definida en ℝ). Luego:

S = { x ∈ℝ / x ≤ 0 } – { –2 }.

h) x – 2

x > 1 ⇒ x – 2x – 1 > 0 ⇒

2

x x 2 x

− − _{> 0 ⇒} (x 2)(x 1) x

− + _{> 0}

⇒ VC: (x – 2) = 0 ⇒ x = 2; (x + 1) = 0 ⇒ x = –1; x = 0.

Tabla:

Luego, (x 2)(x 1)

x

− + _{> 0 ⇒ –1 < x < 0 ó 2 < x < ∞}

⇒ Solución = S = { x _∈ℝ / –1 < x < 0 ∨ 2 < x < ∞ }

o bien: x _∈ ] –1, 0 [ ∪ ] 2, ∞ [

(x – 2) – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + (x + 1) – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

x – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + +

(x 2)(x 1) x

− +

– – – – – + + + + + + + – – – – – + + + + + +

x –∞ – 4 1 ∞

i) 4 3

x 1 x 2+ − + ≥ 1 ⇒ x 1 x 24+ − 3+ – 1 ≥ 0 ⇒ 4(x 2) 3(x 1) (x 1)(x 2)(x 1)(x 2)

+ − + − + +

+ + ≥ 0

⇒ (x 3)(x 1)

(x 1)(x 2)

+ −

+ + ≤ 0. Vemos que los valores críticos son x = –3 , x = 1 , x = –1 , x = –2.

Tabla:

–3 ≤ x < –2 –1 < x ≤ 1

⇒ S = [ –3, –2 [ ∪ ] –1, 1 ]

NOTA: El conjunto solución S no incluye los valores x = –2 & x = –1, pues ellos hacen cero el denominador.

j) – 1 < 3x 4

x 7−+ ≤ 1 ⇔ –1 < 3x 4x 7−+ ∧ 3x 4x 7−+ ≤ 1 ⇒ 3x 4

x 7−+ + 1 > 0 ∧ 3x 4x 7−+ – 1 ≤ 0. Estudiemos cada inecuación por separado:

i) 3x 4

x 7−+ + 1 > 0 ⇒ 3x 4 (x 7)x 7

+ + −

− > 0 ⇒ 4x 3x 7−− > 0 ⇒ V.C. x = 34 , x = 7.

Tabla:

–∞ < x < 3

4 7 < x < ∞

⇒ Si = { x ∈ℝ / ∞ < x < 3₄ ∨ 7 < x < ∞ }

esto es, x ∈ ] ∞, 3

4[ ∪ ] 7, ∞ [

(x + 3) – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (x – 1) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + +

(x + 1) – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + (x + 2) – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + +

(x 3)(x 1) (x 1)(x 2)

+ −

+ + + + + + + + – – – – – + + + + + + – – – – – + + + + + +

4x – 3 – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + x – 7 – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + (4x – 3)(x – 7) + + + + + + + + + – – – – – – – – + + + + + + + +

x –∞ –3 –2 –1 1 ∞

x –∞

4

ii) 3x 4

x 7−+ – 1 ≤ 0 ⇒ 3x 4 (x 7)x 7

+ − −

− ≤ 0 ⇒ 2x 11x 7−+ ≤ 0 ⇒ V.C. x = –112 , x = 7.

Tabla:

–11

2 ≤ x < 7

⇒ Sii = { x ∈ℝ / – 11₂ ≤ x < 7 }

o bien x ∈ [ –11

2 , 7 [

Luego, la solución final S será S = Si ∩ Sii = [ –11₂ , 3₄[

k) Como (x2_{+1) es siempre positivo, entonces no altera el signo, por lo que basta analizar}

(x 1)(x 2)

(2x 3)(3x 2)

+ −

− − ≤ 0.

Valores críticos: x = –1 ; x = 2 ; x =

2

3 _{; x =} 3 2_.

Tabla:

–1 ≤ x < ₃2 ₂3 < x ≤ 2

⇒ S = [ –1, ₃2 [ ∪ ] 3_{2, 2 ]}

2x + 11 – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + x – 7 – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + (2x + 11)(x – 7) + + + + + + + + – – – – – – – – + + + + + + + +

(x + 1) – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (x – 2) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + (2x – 3) – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + (3x – 2) – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + +

) 2 x 3 )( 3 x 2 (

) 2 x )( 1 x (

− −

− +

+ + + + + – – – – – + + + + + + – – – – – + + + + + +

x –∞ –1 ₃2

2

3 _{2 ∞}

x –∞ –11

l) Puesto que | X | ≤ a ⇔ – a ≤ X ≤ a , entonces

x 2

3 x−+ ≤ 1 ⇔ x 2x 3+− ≤ 1 ⇔ –1 ≤

x 2 x 3

+

− ≤ 1 (con X ≡

x 2 x 3

+ − )

i) x 2

x 3

+

− ≤ 1 ⇔

x 2 x 3

+

− – 1 ≤ 0 ⇔ x 35− ≤ 0 ⇒ x – 3 ≤ 0 ⇒ S1 : x ≤ 3.

ii) –1 ≤ x 2

x 3

+

− ⇒

x 2 x 3

+

− + 1 ≥ 0 ⇒ 2x 1x 3−− ≥ 0 ⇒ V.C. x = 21, x = 3.

Tabla:

– ∞ < x ≤ ₂1 3 < x < ∞

⇒ S2 = { x ∈ℝ / – ∞ < x ≤ 1₂ ∨ 3 < x < ∞ } .

Luego, ST = S1 ∩ S2 ⇒ ST = { x ∈ℝ / – ∞ < x ≤ 1₂}

m) Como | X | > a ⇔ X > a ∨ X < – a, entonces

⎮2x + 3⎮ > 5 ⇔ 2x + 3 > 5 ∨ 2x + 3 < – 5. Tenemos así dos casos:

i) 2x + 3 > 5 ⇒ x > 1 ii) 2x + 3 < – 5 ⇒ x < – 4

De aquí que el conjunto solución S es S = { x _∈ℝ / x < – 4 ∨ x > 1} o bien S = { ] – ∞, – 4 [ ∪ ] 1, ∞ [ }//

n) ⎮x – 5⎮ + ⎮1 – x⎮ < 4 . Como x – 5 ≥ 0 si x ≥ 5, entonces ⎮x – 5⎮ = (x – 5) y 1 – x ≥ 0 si x ≤ 1, entonces ⎮1 – x⎮ = (1 – x), luego, tenemos los V.C. 1 y 5:

Si x ≤ 1, entonces

⎮x – 5⎮ + ⎮1 – x⎮ < 4 ⇔ –(x – 5) + (1 – x) < 4 ⇒ 6 < 4 + 2x ó x > 1. Si 1 < x ≤ 5, entonces

⎮x – 5⎮ + ⎮1 – x⎮ < 4 ⇔ –(x – 5) – (1 – x) < 4 ⇒ 4 < 4 ⇒⇐

2x – 1 – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + x – 3 – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + +

2x 1

x 3−− + + + + + + + + + – – – – – – – – + + + + + + + +

x –∞ ₂1 3 ∞

Si x > 5, entonces

⎮x – 5⎮ + ⎮1 – x⎮ < 4 ⇔ (x – 5) – (1 – x) < 4 ⇒ 2x < 10 ó x < 5 ⇒⇐ Luego, el conjunto solución ST es vacío, esto es

ST = ∅.

ñ) x2₂ 2x 3 x 5x 6

− +

− + > 15 ⇔

2 2

x 2x 3 x 5x 6

− +

− + > 51 ∨

2 2

x 2x 3 x 5x 6

− +

− + < – 15

a) x2₂ 2x 3

x 5x 6

− + − + –

1

5 > 0 ∧ b)

2 2

x 2x 3 x 5x 6

− + − + +

1

5 < 0 ⇒

2 2

2

5(x 2x 3) (x 5x 6) 5(x 5x 6)

− + − − +

− + > 0

a) 4x2₂ 5x 9

5(x 5x 6)

− +

− + > 0 ∧ b)

2 2

6x 15x 21 5(x 5x 6)

− +

− + < 0

En ambas situaciones, numerador y denominador son trinomios de 2º grado, los que analizaremos gráficamente, observando el discriminante y el coeficiente de x2 para ver cómo se desarrolla la parábola:

a) Para x2 _{– 2x + 3, el discriminante Δ es Δ < 0; entonces la parábola no corta al eje X, y se desarrolla}

hacia arriba, _∴ x2 _{– 2x + 3 > 0 ∀ x ∈ ℝ.} En x2 _{– 5x + 6, el discriminante Δ = 1, y como} x2 _{– 5x + 6 = (x – 3)(x – 2), la parábola abierta} hacia arriba corta al eje X en x = 2 & x = 3; luego

x2 _{– 5x + 6 > 0 si x ∈ ] –∞, 2 [ ∪ ] 3, ∞ [ . Por lo que S}

a = ] –∞, 2 [ ∪ ] 3, ∞ [.

b) Con igual análisis: 6x2 _{– 15x + 21 < 0 ∀ x ∈ ℝ ∧ x}2 _{– 5x + 6 < 0 si x ∈ ] 2, 3 [.}

Luego, la solución total ST es ] –∞, 2 [ ∪ ] 2, 3 [ ∪ ] 3, ∞ [ , ó bien ST = ℝ – { 2, 3 }.

o) De ⎮1 + ⎮x – 2⎮ + x⎮ < 4 , consideremos dos casos: Caso a):

Si x ≥ 2, entonces |x – 2| = (x – 2). Luego, ⎮1 + (x – 2) + x⎮ < 4 ⇒ |2x – 1| < 4

⇒ – 4 < 2x – 1 < 4 ó –3

2 < x < 52.

⇒ Sa = { x ∈ ℝ / x ≥ 2 ∧ x < 5₂ } = [ 2, 5₂ [.

Caso b):

Si x < 2, entonces |x – 2| = – (x – 2). Luego, ⎮1 – (x – 2) + x⎮ < 4 ⇒ 3 < 4

⇒ Sb = { x ∈ ℝ / x < 2 } = ] – ∞, 2 [.

Luego, la solución total ST es ST = ] – ∞, 5₂ [.

5) Señale Supremo o Ínfimo, si los hay, en los siguientes conjuntos:

a) A = { x ∈ℝ / 5x 1− < 1 }

b) B = { x _∈ℝ / 2|x – 2| – |x + 1| + x ≥ 0 }

c) C = { x _∈ℝ / x2 _{– x – 2 < 0 ∧ x ≥ 0 }}

d) D = { y _∈ℝ / y = 1₂

x ; –1 ≤ x ≤ 1 }

e) E = { x _∈ℝ / 4 x+ > x }

f) F = { x _∈ℝ / x = (–1)n _{(2 –}

n

4

2 ) ; n = 1, 2, 3, 4, ... }

Solución:

Se trata de encontrar el conjunto solución de cada inecuación y señalar intuitivamente el Supremo e Ínfimo de éste.

a) Condición inicial: 5x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1

5.

Sabiendo que a < b ⇒ a2 _{< b}2 _{, ∀ a, b ∈ℝ}+_{, tenemos que}

5x 1− < 1 ⇒ 5x – 1 < 1 ⇒ x < 2

5 ⇒ A = { x ∈ℝ /51 ≤ x < 52}.

Por consiguiente, Sup A = 2

5 ∉ A ∧ Ínf A = 51 ∈ A.

b) Los puntos críticos a considerar para los signos de los valores absolutos son 2 y –1.

Si x ≤ –1, entonces x – 2 < 0 ∧ x + 1 < 0 ⇒ 2|x – 2| – |x + 1| + x =

–2(x – 2) + (x + 1) + x ≥ 0 ⇒ 5 ≥ 0.

Por lo tanto, Sa = { x ∈ℝ / x ≤ –1 }.

Si –1 < x < 2 ⇒ 2|x – 2| – |x + 1| + x = –2(x – 2) – (x + 1) + x ≥ 0

–1 2

a b c

a

⇒ –2x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≤ 3

2.

Por lo tanto, Sb = { x ∈ℝ / –1 < x ≤ 3₂ }.

Si x ≥ 2 ⇒ 2|x – 2| – |x + 1| + x = 2(x – 2) – (x + 1) + x ≥ 0

⇒ 2x ≥ 5 ⇒ x ≥ 5

2, ⇒ Sc = { x ∈ℝ / x ≥ 52}.

Luego, ST = Sa ∪ Sb ∪ Sc = ] –∞, –1] ∪ ] 1, 3₂] ∪ [5₂, ∞ [ ;

⇒ no hay Sup A ni Ínf A .

c) x2 _{– x – 2 = (x – 2)(x + 1) < 0 si x ∈ ] –1, 2 [ (Ver parábola)}

∴ C = { x ∈ _ℝ / 0 ≤ x < 2 } ⇒ Sup C = 2 ; Ínf = 0.

d) Si y =

2

1

x , una figura aproximada sería

Luego,

Sup D = ∞ ; Ínf D = 0

e) 4 + x ≥ 0 ó x ≥ – 4 _∴ 4 + x > x2 _{⇒ x}2 _{– x – 4 < 0.}

Como x2 _{– x – 4 = 0 ⇒ x =} 1 17 2

±

⇒ E = 1 17

2

− _, 1 17 2

+

(Observar la parábola)

f) F = { –2, ...,17

8 , –149 , 0, 1, 74,...,2 }

Si n es par, lleva signo (+), y a mayor n menos se le resta a 2; luego, x < 2.

Si n es impar, lleva signo (–), y a mayor n, menos se resta a 2, por lo que tendrá signo menos; luego, x > –2.

∴ Sup F = 2 e Ínf F = –2. c

2 –1

–1 1

1 17 2

− 1 17

2

6) Determinar las cotas superiores e inferiores y señalar Supremo e Ínfimo del conjunto

a) A = { x _∈ℝ / x = 1 ±

n

1 _{; n ∈ℕ }}

b) B = { x _∈ℝ / x =

5 n

n 4 3

− + _{; n}

∈ℕ }

Solución:

a) Para n = 1, 2, 3, 4,... tenemos

A = { 2,

2 3 _,

3 4_,

4

5_{,...; 1, ...,} 3 2 _,

2 1 _{, 0 }}

Entonces: Sup A = 2 ; Ínf A = 0;

cota superior A = { x ∈ℝ / x ≥ 2 }; cota inferior A = { x ∈ℝ / x ≤ 0 }.

b) Para n = 1, 2, 3, 4,... tenemos

B = { –

4 7_{, –}

3 11_{, –}

2 15_{, –}

1 19_,

1 27_,

2 31_,

3

35_{, ..., 4 }}

Ordenando: B = { –19, –

2 15_{, –}

3 11_{, –}

4

7 _{, 4, ...,} 3 35_,

2 31_{, 27 }}

Así, Sup B = 27 ; Ínf B = –19

cota superior A = { x _∈ℝ / x ≥ 27 }; cota inferior A = { x _∈ℝ / x ≤ –19 }.

========== 0000000000 ========== 1 +

n

1 _{1 –}

Guía Nº 1.-

1.- Pruebe que ∀ a, b _∈ℝ, con a < b, entonces a < a b

2

+ _{< b.}

2.- Pruebe que si a ≤ b & c ∈ _ℝ– _{⇒ ac ≥ bc.}

3.- Pruebe que si a ≤ b ⇒ 1

a ≥ 1b , a, b ∈ ℝ +_.

4.- Pruebe que si a < 0 , b < 0 ⇒ ab > 0. 5.- Pruebe que si a < b , c < d ⇒ a +c < b + d.

6.- Pruebe que ∀ a, b, c _∈ ℝ+ _{⇒ (a + b)}2 _{+ (b + c)}2 _{+ (a + c)}2 _{≥ 4(ab + bc + ac).}

7.- Resolver:

a) 4x 2

3+ ≥ 2x 45− e) 4x

2 _{– 9x + 25 ≥ 0}

b) (x + 1)(x – 3)(x + 6) ≥ 0 f) x 6

x 4+− ≤ 9 c) x2 _{– 3x + 8 ≤ 0 g)} (x 5)(3 x)

(x 1)(2 x)

− −

+ − > 0 d) 3x2 _{+ 6x – 9 ≥ 0}

8.- Resolver, graficando el conjunto solución: a) ⎮x – 8⎮ ≤ 6

b) ⎮4x + 9⎮ ≥ 11

c) ⎮3x – 2⎮ + ⎮4x + 6⎮ ≥ 4 d) 2x + 6 + ⎮x – 4⎮ ≤ 10

e) 1 x− – 2 x− > 1 f) 2x – 5 > _x2_{+ +x 4}

9.- Señale Supremo e Ínfimo, si los hay, en

a) S = { x ∈ ℝ / 2

x – 2 xx 1−− ≤ 1 } b) S = { x ∈ ℝ / ⎮x⎮ + ⎮x + 1⎮ < 2 }

c) S = { x ∈ ℝ / x₂2 2x 3

x 4x 3

− −

− + < 5 }

2.-Funciones de una variable

Ejercicios Resueltos

1) Si f(x) es la función dada, hallar su dominio:

a) f(x) = x 1₂

x 2

−

+ ; b) f(x) =

2

4 x− ; c) f(x) = 1

x 2−

Solución:

a) Dom f = { x ∈ℝ / x 1₂

x 2

−

+ ∈ℝ } = { x ∈ℝ / x

2 _{+ 2 ≠ 0 } ⇒ Dom f = ℝ.}

b) Dom f = { x _∈ℝ / 4 – x2 _{≥ 0 } = { x ∈ℝ / x}2 _{≤ 4 } ⇒ Dom f = [ –2, 2 ].}

c) Dom f = { x _∈ℝ / x – 2 ≠ 0 } = _ℝ – { 2 }.

2) Si f(x) es una función, determinar su recorrido.

a) f(x) = x2 4

x 2−− ; b) f(x) = | x – 3 | ; c) f(x) = 5 – x2 Solución:

a) Rec f = { y ∈ℝ / y = x2 4

x 2−− } = { y ∈ℝ / y = x + 2 ; x ≠ 2 } ⇒ Rec f = ℝ – { 4 }. b) Rec f = { y _∈ℝ / y = | x – 3 | } ⇒ Rec f = { y _∈ℝ / y ≥ 0 }.

c) Rec f = { y ∈ℝ / y = 5 – x2 _{} = { y ∈ℝ / x = 5 y− } ⇒ Rec f = { y ∈ℝ / y ≤ 5 }.}

3) Determinar Dom f para la función

a) f(x) = x 2− + 6−x ; b) g(x) = 1

x −x

Solución:

a) Dom f(x) = { x ∈ℝ / x – 2 ≥ 0 ∧ 6 – x ≥ 0 }

⇒ Dom f(x) = { x _∈ℝ / x ∈ [ 2, 6 ] }.

b) Dom g(x) = { x ∈ℝ / | x | – x > 0 } ; si x ∈ℝ+ _{⇒ x – x = 0 ⇒ x ∉ Dom g(x);}

si x ∈ℝ– _{⇒ – x – x > 0 ⇒ x < 0.}

4) Si f(x) = x + 1

x ; g(x) = 1 x−x , calcular: a) (f + g)(x) ; b) (f·g)(x); c) f (x)

g ; d) (f o g)(x); e) (g o f)(x).

Solución:

a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x + 1

x) + (1 x−x ) = x + 1x +1 x−x =

3 2

x 2x x 1 x(1 x)

− + − +

− .

b) (f·g)(x) = f(x)·g(x) = (x + 1

x)·(1 x−x ) =

2

x 1 1 x−+ .

c) f (x)

g = f(x)

g(x) = (x +1x ):(1 x−x ) = (x +1x)·(1 x−x ) =

2

2

(x 1)(1 x) x

+ −

.

d) (f o g)(x) = f(g(x)) = f( x

1 x− ) = 1 x−x + 1 x−x =

2

2x 2x 1 x(1 x)−− + .

e) (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1

x) = 1 (x ) x

x 1 x 1

+ −

+ /·

x

x ₌ 2

2

x 1 x x 1

+ − − .

5) Un cilindro recto circular de radio r y altura h, se inscribe en un cono de altura 12 [cm] y radio 4 [cm]. Exprese

a) la altura h en función de r, b) el volumen V en función de r. Solución:

a) Haciendo la proporción

h r ₌

12

4 _{⇒ h = 3r.}

b) Vol. cilindro = (área de la base)·(altura) = πr2_·h

⇒ V = πr2_{·3r ⇒ V = 3πr}3 // .

6) Se construye una caja a partir de un cartón rectangular de 20 x 30 [cm]. Para ello se recortan en cada esquina un cuadrado de lado x para doblar y hacer la caja. Expresar el volumen V de la caja en función de x.

Solución:

V = (largo)·(ancho)·(alto)

V = (30 – 2x)·(20 – 2x)·(x)

V = 4x3 – 100x2 + 600x//

r h 12

4

x

20

30 x

x x x

x

7) Pruebe si las funciones dadas son par, impar o ninguna de ellas:

a) f(x) = 3x3 _{– 4x ; b) g(x) = x}4_{+1 ; c) h(x) = 2x}2 _{– 3x + 4}

Solución:

Recordemos que: F(x) es par si F(–x) = F(x) F(x) es impar si F(–x) = – F(x) Luego:

a) f(–x) = 3(–x)3 _{– 4(–x) = –3x}3 _{+ 4x = –(3x}3 _{– 4x) = – f(x) ⇒ impar}

b) g(–x) = _{( x)−} 4_{+1 = x}4_{+1 = g(x) ⇒ par}

c) h(–x) = 2(–x)2 _{– 3(–x) + 4 = 2x}2 _{+ 3x + 4 ≠ h(x) ⇒ ni par ni impar.}

8) Para una función f(x) cualquiera, pruebe que

a) g(x) = f(x) f( x)

2

+ − _{es siempre una función par. ( Componente par de f(x) )}

b) h(x) =

2 ) x ( f ) x (

f − − _{es siempre una función impar. ( Componente impar de f(x) )}

Solución:

a) g(–x) = f( x) f(x)

2

− + _{= g(x) ⇒ g(x) es par.}

b) h(–x) =

2 )) x ( ( f ) x (

f− − − − ₌

2 ) x ( f ) x (

f − − _{= –}

2 ) x ( f ) x (

f − − _{= –h(x) ⇒ h(x) es impar.}

9) Encontrar la componente par y la componente impar de las funciones

a) f(x) = 3x2 _{– 2x + 4 ; b) f(x) =}

4

x−1 ; c) f(x) = 3x 3 _{+ x}2

Solución: Definiendo por g(x) como la función par buscada y por h(x) la función impar:

a1) g(x) = f(x)+₂f(−x) = ₂1[(3x2 – 2x + 4) + (3x2 + 2x + 4)] = 3x2 + 4 (par)

a1) h(x) = f(x)−₂f(−x) = 2

1_[(3x2 _{– 2x + 4) – (3x}2 _{+ 2x + 4)] = –2x (impar)}

b1) g(x) = ₂1(_{x 4−}1 + _{− −x 4}1 ) = ₂1(_x−1₄ – _x1₊₄) = (x 4) (x 4)

(x 4)(x 4)

+ − −

− + = 2

8 x −16.

b2) h(x) = ₂1(_{x 4−}1 – _{− −x 4}1 ) = ₂1( _{x 4−}1 + _{x 4+}1 ) = (x 4) (x 4)

(x 4)(x 4)

+ + −

− + = 2

2x x −16. c1) g(x) =

2

c2) h(x) = ₂1[(3x3 + x2) – (–3x3 + x2)] = 3x3.

10) Señale condiciones para que la función f(x) = ax b cx d

+

+ tenga una inversa Solución:

Debe ser uno a uno y sobre. Luego, si

y = ax b

cx d

+

+ , entonces, despejando x ⇒ x =

b dy cy a

−

− . Por lo tanto, y ≠ a

c (es sobre). Para que sea uno a uno:

1 1

ax b cx d

+

+ = 2₂

ax b cx d

+

+ ⇒ acx1x2 + adx1 + bd + bcx2 = acx1x2 + bcx1 + adx2 + bd ⇒ x1(ad – bc) = x2(ad – bc). Por consiguiente, si ad – bc ≠ 0, ⇒ x1 = x2.

11) Hallar la inversa, si la tiene, para las funciones

a) f(x) = x 1

x 2

+

− ; b) f(x) = x +

1

x ; c) f(x) = 3x x 4− . Solución:

a) y = x 1

x 2

+

− ⇒ y(x – 2) = x + 1 ⇒ x(y – 1) = 2y + 1 ⇒ x = f

–1_{(y) =} +

− 2y 1

y 1 . Esto es, la función inversa f –1_{(x) pedida está dada por f} –1_{(x) =} +

− 2x 1

x 1 . (Es claro que debe tenerse y ≠ 1. Luego, Rec f = { y / y ≠ 1 } ).

b) y = x +

x 1 ₌

x 1

x2 + _{⇒ y no es uno a uno, por lo que ∄ f} –1_{(y), pues}

2 1 1 x 1 x +

= 22 2

x 1 x

+ _{⇒ x}

1·x22 + x1 = x12·x2 + x2 ⇒ x1(x22 + 1) = x2(x12 + 1) ⇒ x1 ≠ x2.

c) y = 3x

x 4− ⇒ (despejando x) x = 4y y 3− = f

–1_{(y) , y Rec f = Dom f} –1 _{= {y / y ≠ 3 }.}

12) Verificar que (f _◦ g) –1 _{= g} –1 _{◦ f} –1 _{para f(x) =} 3x

x 2− , g(x) =

x 2 x 2

− + Solución:

a) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f( 2 x 2 x + − _{) =} 2 ) ( ) ( 3 2 x 2 x 2 x 2 x − + − + −

= 3(x 2)

(x 2) 2(x 2)

− − − + = 3(2 x) x 6 − + .

Hallemos ahora (f _◦ g)–1 _{: Sea y =} 3(2 x)

x 6

−

+ . Entonces y(x + 6) = 3(2 – x) ⇒ x(y + 3) = 6(1 – y) ⇒ x = 6(1 y)

y 3

−

y = 6(1 x)

x 3

−

+ . En consecuencia, (f ◦ g)–1(x) = 6(1 x)x 3

−

+ .

b) Por otra parte, hallemos las funciones inversas f –1_{(x) y g} –1_{(x) :}

f –1_(x):

De f(x) = 3x

x 2− , pongamos y =

3x

x 2− ; despejemos x :

y(x – 2) = 3x ⇒ x(y – 3) = 2y ⇒ x = 2y

y 3− .

Haciendo el cambio de variable x ↔ y, tenemos y = 2x

x 3− , o sea, f –1_{(x) =} 2x

x 3− .

g –1_(x):

De g(x) = x 2

x 2

−

+ , pongamos y =

x 2 x 2

−

+ . Despejando x :

y(x + 2) = x – 2 ⇒ x(y – 1) = –2(y + 1) ⇒ x = 2(y 1)

y 1

− +

− =

2(y 1) 1 y

+ − .

Cambiando x ↔ y, se tiene y = 2(x 1)

1 x

+

− , o sea g

–1_{(x) =} 2(x 1)

1 x

+ − . Finalmente:

g –1 _{◦ f} –1 _{= g} –1_(f –1_{) = g} –1₍

3 x

x 2

− ) =

(

)

( )

1 1 2

− −

−

+

= 2(2x x 3)

x 3 2x

+ − − − =

6(x 1) (x 3)

− − + =

6(1 x) (x 3)

− +

Luego g –1 ◦ f –1 = 6(1 x)

(x 3)

− + .

Así queda verificado que (f ◦ g) –1 _{= g} –1 _{◦ f} –1_.

Guía Nº 2 .

1.- Si y = f(x) es una función de variable real, determinar Dom f y Rec f:

a) f(x) = x 1− + x 6+ ; b) f(x) = _x2_{− −x 2 +}

2

1

3 2x x+ − ; c) f(x) =

1 1− x 3− ;

d) f(x) = Ln(x2 _{– 3x + 6); e) f(x) = 4− x ; f) f(x) =} x 1 x 1+− .

2.- Si el Dom f(x) = [0, 1], ¿cuál es el dominio de a) f(x – 3); b) f(2x – 5) ?

3.- Sea la función definida por ramas:

1

si x ≤ –2

x +1

si –2 < x < 0

–1

si 0 ≤ x ≤ 1

x – 2

si 1 < x

Graficar: f(x); f(|x|); |f(x)|; f(x – 2); f(2 – x).

4.- Grafique las funciones, atendiendo la paridad y la monotonía:

a) f(x) = 1 – x2 _{; b) f(x) = |3x + 1| ; c) f(x) = 5x – 1 ;} d) f(x) = 1₃

x .

5.- Determine, analítica y gráficamente, los ceros (intersección con el eje X) de las funciones:

a) f(x) = x2 _{+ 6x + 6 ; b) f(x) = Ln x}

c) f(x) = 2x2 _{– 4x + 2 ; d) f(x) = (x}2 _{– 1)(x}2 _{– 2x – 4)}

a) f(x) = 1

2x 3+ ; b) f(x) = 2x2 – 4x + 2 ;

c) f(x) = x2_{+ 6x + 6 d) f(x) = |x}2 _– 4|.

7.- Haga el gráfico de: ([ ] = parte entera)

a) f(x) = [x] ; b) f(x) = [2x] ; c) f(x) = [x] – x.

8.- Determine las asíntotas verticales y horizontales de los gráficos de:

a) f(x) = ₂1

x −1 ; b) f(x) =

x

x 4− ; c) f(x) =

2 2

5x

3x +1 ; d) f(x) =

2

x x 1− .

9.- Obtenga los gráficos de

|3x – 1| si x < 1 1 – |x| si –5 ≤ x < –1 2 si 1 ≤ x ≤ 5 ; 0 si –1 ≤ x ≤ 2 x2 – 2x – 4 si x > 5 x + [2x] si 2 < x ≤ 4

10.- Calcule

a) (f ± g)(x) ; b) (f·g)(x) ; c) f

g

⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠(x) ; d) (f o g)(x); e) (g o f)(x)

siendo: i) f(x) = 4x – x2 , g(x) = 1

x 5+ ; ii) f(x) = _{4 x−}1 2 , g(x) =

2x2 _{– 4 – 1.}

11.- Encuentre, si existe, f –1_{(x), si:}

a) f(x) = 2x 1

x 3−+ ; b) f(x) = _x21₋₁.

12.- Dado el gráfico de f(x), ¿cómo es el gráfico de:

a) f(x + a) ; b) f(x – a) c) f(x) – b ?.

13.- Dado el gráfico de la función f(x) = x2, hallar el gráfico de:

a) f(x + 2) ; b) f(x – 3) + 1

14.- Verificar la monotonía de:

a) f(x) = x3 _{+ 3x + 5 ; b) f(x) = x +} 1

x ; c) f(x) = _{1 x+}x 2

15.- Señale el Dominio si

a) f(x) = 1

(x 1)(x 2)− + .

b) f(x) = _{3 2x x− −} 2 _.

16.- Si f(x) = ax b

x a−+ , probar que f(f(x)) = x.

17.- Si f(x) = ax, probar que f(x) + f(1 – x) = f(1).

18.- Si f(x + 1) = x2 _{– 5x + 3, hallar f(x).}

19.- Probar que f(x) es invertible y hallar f–1_{(x) si}

a) f(x) = x 3

x 1−+ ; b) f(x) = 2 xx 6−+ .

20.- Verificar si es par o impar, o en su defecto señale la componente par y la componente impar, si

a) f(x) = x2 ₊ 1

x; b) f(x) =

3 2

x x x 1

+

+ c) f(x) = x(x 3 _{+ x)}

21.- Si f(x) = 3x 6

2 x−− ∧ g(x) = x 2x 1+− , hallar a) (3f – 2g)(x) ; b) f(2x)·g(x

22.- Sean

3x si x ≤ 0 x 8− si x ≥ 8 x2 _{– 4 si x > 0 x – 8 si x < 8}

a) Encuentre (f o g)(x) y (g o f)(x). Grafique ambas funciones.

b) Calcule i) (f + g)(x) ; ii) f(a2 _{– 1/2) ; iii) g(a}2 ₊₈₎

c) Determine si y = 0 está en el Rec (f·g)(x).

========== 0000000000 ==========

3.-Límites y continuidad.-

Ejercicios Resueltos

1) Tomando en consideración que la definición de límite establece :

lím f(x) = L ⇔ ∀_ℇ > 0, ∃δ > 0 ∋ 0 < | x – a| < δ ⇒ | f(x) – L | < ℇ

probar, según la definición:

a) lím (2x – 1) = 1 x → 1

b) lím (x2 _{+ 2x + 1) = 1} x → 0

c) lím x 2

x

+ _{= 2}

Solución:

a) | f(x) – L | = | (2x – 1) – 1 | = | 2(x – 1) |; luego, δ ≥ ₂ε ∧ | x – 1 | < δ ⇒ 2| x – 1 | < _ℇ.

Por lo tanto, | (2x – 1) – 1 | < _ℇ//

b) | f(x) – L | = | (x2 _{+ 2x + 1) – 1 | = | x}2 _{+ 2x | = | x | | x + 2 |.} Como x se acerca a cero en algún momento,

| x + 2 | < 3 ∧ si δ ≥ ₃ε _{∧ | x | < δ ⇒ 3| x | < ℇ ó}

| x | | x + 2 | < ℇ ⇒ | (x2 _{+ 2x + 1) – 1 | < ℇ} //

c) | f(x) – L | = x 2 2

x

+ − = x 2 2x

x

+ − ₌ 2 x x

−

. 2

Como en las cercanías de 2 : | x | > 1,

haciendo | x | = 1 ⇒ 2 x

x

−

< x 2

1

−

; luego, δ ≤ _ℇ ∧ | x – 2 | < δ ⇒

2 x x

− _{< ℇ ∧ x 2 2}

x

+ − < _ℇ//

2) El álgebra de límites nos permite calcular

a) lím x2 4

x 2−− c) lím

2

2x x

2x 5x 7

−

+ − d) lím

x 5 x 25−−

x → 2

b) lím x3 1

x 1−− e) lím

2 2

3x 13x 10 2x 7x 15

− −

− −

Solución:

a) lím (x 2)(x 2)

x 2

− +

− = lím (x + 2 ) = 4. d) lím

( x 5) ( x 5)( x 5)

−

− + = lím

1 x 5+ =

1 10.

b) lím (x 1)(x2 x 1)

(x 1)

− + +

− = lím (x2 + x +1) = 3. e) lím (x 5)(3x 2)(x 5)(2x 3)

− +

− + = lím 3x 22x 3++ = 1713.

c) lím x(x 1)

(x 1)(2x 7)

−

− + = lím 2x 7x+ = 91.

3) Teniendo presente los límites clásicos

i) lím sen(ax)

bx = ba ii) lím

bx

a 1

cx− = bc Ln a iii) lím

b x

(1 ax)+ =

e

podemos calcular

a) lím tgax

bx ; b) lím

Arcsen x

x ; c) lím sen5x

tg3x

d) lím 1 cos x₂

x

− _{; e) lím e}3x ₁

sen x− f) lím

5 x

(1 4x)+

Solución:

a) lím tgax

bx = lím ( senax

bx ·cosax1 ) = lím senax

bx ·lím cosax1 = ab·1 = ab//

b) Haciendo u = Arcsenx ⇒ x = senu ; x→ 0 ⇒ u → 0. Luego

lím Arcsen x

x = límsenuu = 1//

c) lím sen5x

tg3x = lím ( sen5x

3x ·tg3x3x ) = lím sen5x

3x ·lím tg3x3x = 53·1 = 53 // (Se usó a))

d) lím 1 cos x₂

x

−

= lím (1 cos x₂

x

− 1 cos x 1 cos x

+

+ ) = lím

2 2

1 cos x x (1 cos x)

−

+ = lím

2 2

sen x x · lím

1

1 cos x+ = 12//

x → 0 x → 0 x → 0

x → 0 x → 0 x → 0

x → 0 x → 0 x → 0

x → 0 x → 0 x → 0 x → 0

x → u

x → 0 x → 0 x → 0 x → 0

x → 0 x → 0 x → 0 x → 0 x → 0 x → 0

x → 2 x → 2 x → 25 x → 25

x → 1 x → 1 x → 5 x → 5

x → 1 x → 1

e) lím e3x 1

sen x− = lím (

3x

e 1

3x− ·sen x3x ) = lím

3x

e 1 3x− ·lím 3

x

sen x = (Ln e)·3 = 3//

f) lím _{(1 4x)+} 5x _{= e}20_{// (según iii))}

4) Los límites en el infinito tienen una significación geométrica que se traducen en asíntotas, como

por ejemplo, lím 1

x = ∞ señala que el eje OY es la asíntota vertical de la curva 1x ; a su vez lím 1

x = 0 señala que el eje OX es asíntota horizontal de dicha curva. Calculemos:

a) lím 1

x 8− b) lím _x21₋₁ c) lím 2

2

x x 1

x x 1

+ +

− + d) lím

2

x 5x 4

2x 1− ++ Solución:

a) lím 1

x 8− = ∞ , ⇒ x = 8 es asíntota vertical. b) lím ₂1

x −1 = ∞ , ⇒ x = ± 1 son asíntotas verticales.

c) lím x2₂ x 1

x x 1

+ +

− + = lím

2 2 1 1 x _x 1 1 x x 1 1 + +

− + = 1 , ⇒ y = 1 es asíntota horizontal.

d) lím x2 5x 4

2x 1− + + = ∞ , ⇒ x = – 1/2 es asíntota vertical.

5) La existencia del límite equivale a la igualdad de sus límites laterales. Calcular:

a) lím x 3

x 3

−

+ b) lím 2x 12x 6−− c) lím x 47− Solución:

a) Si x ≥ 3 ⇒ lím _{x 3}x 3−₊ = lím (x 3)

x 3

−

+ = 0.

Si x ≤ 3 ⇒ lím x 3

x 3

−

+ = lím (x 3)x 3

− −

+ = 0.

b) Si x ≥ 6 ⇒ lím 2(x 6)

x 6

−

− = lím

2(x 6) (x 6)

−

− = 2. x → 0 x → 0 x → 0 x → 0

x → 0

x → 0

x →∞

x → 8 x → 1 x →∞ x → – 1/2

x → 8

x →±1

x →∞ x →∞

x → – 1/2

x → 3 x → 6 x → 4

x → 3

x → 3–

x → 6

x → 3+

x → 3

Si x ≤ 6 ⇒ lím 2(x 6)

x 6

−

− = lím

2(x 6) (x 6)

−

− − = –2

c) lím 7

x 4− = ∞

6) Calcular los límites laterales

a) lím x 3

x 3

−

+ b) lím ( x 6 x)+ + c) lím x 47− d) lím ( x 6 x)+ + Solución:

a) Si x < 3 ⇒ lím (x 3)

x 3

−

+ = 1.

b) Si x ≥ – 6 ⇒ ( x 6)+ ∈ _ℝ ∧ lím ( x 6 x)+ + = – 6.

c) Si x < 4 ⇒ x – 4 > 0 ⇒ lím 7

(x 4)− = +∞. d) Si x < – 6 ⇒ ( x 6)+ _∄ ⇒ lím ( x 6 x)+ + ∄

7) Abordemos estas misceláneas:

a) lím (x− (x a)(x b))+ + f) lím 2x 8 x 8

x 2

− +

−

b) lím xcos1_x g) lím 10x 2_{x 1} 102

25 25 +

+ −₋

c) lím 3_xx 3 x_x

3 3 − −

−

+ h) lím

3 (x 3) 27

x

+ −

d) lím ex e2

x 2−− i) lím

3

2 x 4 x 8

− −

e) lím

x x

x e 1 e− Solución:

a) lím (x (x a)(x b)) (x (x a)(x b)) (x (x a)(x b))

+ + +

− + + ⋅

+ + + = lím

2

x (x a)(x b) (x (x a)(x b))

− + +

+ + + = x → 6

x → 4

x → 6–

x → 3–

x → – 6+ x → 4– _{x → – 6}–

x → 3–

x → – 6+

x → 4–

x → – 6–

x x →→∞0

x →0

x →2

x →0

x x →→40

x →0

x →8

lím x(a b) ab :x

:x (x (x a)(x b))

− + −

+ + + = lím

2 ab (a b)

x (x a)(x b) 1 x − + − ⎛ _{+ +} ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = lím ab (a b) x a b

1 (1 )(1 )

x x

− + −

⎛ _{+ + +} ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= –a b

2

+

//

b) Como | xcos1_x | = | x |·| cos1_x | ≤ | x |·1 = x (puesto que siempre | cos1_x | ≤ 1 ), entonces

– x ≤ xcos1_x ≤ x ; luego, si x → 0 ⇒ lím xcos1_x = 0 //

c) lím 3x_x 3 x_x

3 3 − − − + · x x 3

3 = lím 2x

2x 3 1 3 1

−

+ = 02 = 0//

d) lím ex e2

x 2−− ·

2 2 e e −

− = lím x 2 2 1 e (x 2)e − − −

− = lím

u e 1

u− ·_e1−2 = _e1−2 lím u e 1

u− = e

2_{·Ln e = e}2 //

e) lím ( x _x

1 e− )e

x _{= lím} ex 1 1 x

−

⎛₋ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ·e

x _{= (– Ln e)}–1 _{· 1 = – 1} //

f) lím 2( x 2)2

x 2

−

− = lím 2( x– 2 ) = 0//

g) lím 10x 2_{x 1} 102

25 25 +

+ −₋ = lím

x 2

x

(10 1) 10 (25 1) 25

− ⋅ − ⋅ = 2 10 25 ·lím x x

10 1 x x 25 1

⎛ _{− ⋅} ⎞

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠ =

4 lím 10x 1 lím _xx

x 25 1

⎛ _{− ⋅} ⎞

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

= 4·(Ln10)· 1

Ln 25 = 2· Ln10

Ln5 //

h) lím (x 3)3 27

x

+ − _{= lím u}3 ₃3

u 3−− = lím

2 2

(u 3)(u 3u 3 ) (u 3)

− + +

− = lím (u2 + 3u + 9) = 27//

i) lím 2 x 43

x 8

−

− = lím 2

3 3 3 3

( x 2) ( x ) 2

−

− = 2·lím

(

)

3

2 2

3 3 3

( x 2) ( x 2) ( x ) 2 x 2

−

− + +

= 2·lím _{3 2} 1_{3 2}

( x ) +2 x 2+ =

1 6//

===== 00000 ===== x →∞

x →∞

x →∞

x →0

x →0 x →0

x →2 x →2

x–2 = u

u →0 u →0

x →0 x →0

x →4 x →4

x →0 x →0 x →0

x →0

x →0

x+3 = u

u →3 u →3 u →3

x →8 x →8 x →8

x →8

PROBLEMAS:

1) En un círculo de radio 4 sean l(h) y L(h) las longitudes de las cuerdas AB y MN, distantes h

y 1

2(4+h) del centro O, donde 0 < h < 4. Demostrar que

a) l(h) = 2 _{16 h−} 2 _{; L(h) = (4 h)(12 h)− +}

b) lím l(h) 2 L(h) =

Solución:

a) En el Δ rectángulo OPM tenemos 16 = (2 + h/2)2 _{+ (L/2)}2

16 – 4 – 2h – h2

2 =

( )

2

L

2 ⇒ L = 48 8h h− − 2 ⇒ L(h) = (4 h)(12 h)− +

En el Δ rectángulo OTA de tiene

16 = h2 _{+ (l/2)}2 _{⇒ 64 – 4h}2 _{= l}2 _{⇒ l(h) = 2 16 h−} 2

b) lím l(h)

L(h) = lím

2

2 16 h (4 h)(12 h)

−

− + = 2·lím

4 h 4 h 12 h 4 h

+ ⋅ −

+ ⋅ − = 2·lím

4 h 12 h

+ + = 2·

2 2

4 = 2//

2) Para la cuerda AB de una circunferencia de centro O calcular

lím área del segmento circular ACB

área del sector circular AOBC

Solución:

Área segm. circularACB = área sector AOBC – área Δ AOB Ahora bien: área sector AOBC = 1 ACB₂ ·r

= 1 2

2r θ (ya que ACB = r·θ )

y área Δ AOB = 1

2·base·altura

h →4

h 1 2(4+h)

4

M A

N B

1 2L

O P

4

T

h →4 h →4

AB →0 O

θ r

A B C

H

h →4 h →4

= 1

2AB·OH = 12AB·r cos2θ

Hallemos ahora AB en función de r y θ. De la figura, AB2

2 r

sen = θ ⇒ AB = 2rsen₂θ

luego, área Δ AOB = r2_sen 2

θ

2 cosθ.

Así, lím área del segmento circular ACB

área del sector circular AOBC = lím

2 2 2

1

2 2 2

1 2

r r sen cos r

θ θ

θ− θ

= lím 12 2 2 1 2

sen cosθ θ θ −

θ = lím 2 2 2

sen

1 cos

θ θ θ

⎛ ⎞

− ⋅

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 1 – 1·1 = 0//

3) En la parábola y = 3x2_{, si a ≠ 0, h ≠ 0, trazar la recta por los puntos P(a, 3a}2_{), Q((a+h), 3(a+h)}2_). Sea x la abscisa del punto en que la recta corta al eje X.

Demostrar que

lím x(h) = a

2 Solución:

De la ecuación de la recta que pasa por dos puntos,

tenemos y 3a2 3(a h)2 3a2

x a (a h) a

− ₌ + −

− + −

La abscisa x la obtenemos haciendo y = 0.

Luego, despejando x : x = – 3a h2 ₂

6ah 3h+ + a

x = – a2

2a h+ + a

Entonces lím x = lím (– a2

2a h+ + a) = –a2 + a = a2//

===== 00000 =====

AB →0 AB →0

θ→0 θ→0

h →0 _{h →0}

a P

Q

a+h h 3(a+h)2

3a2

CONTINUIDAD

1) Analizar la continuidad de las funciones siguientes en los puntos que se indican:

a) 8 x₂ 3

x 2x

−

− si x < 2

2x si x > 2

b) x2 _{+ 2x si x ≤ 1} 2x si x > 1

c) f(x) = (1 + x)cotgx en x = 0

d) f(x) = 1 2cos x

3x

−

π − en x = 3π Solución:

a) i) lím 8 x₂ 3

x 2x

−

− = lím

2

(2 x)(4 2x x ) x(x 2)

− + +

− = – lím

2

(4 2x x ) x

+ + _{= – 6}

ii) lím 2x = 4 ; luego, la discontinuidad es irreparable, pues no hay límite.

b) lím x(x + 2) = 3 ∧ lím 2x = 2 y como f(1) = 12 _{+ 2(1) = 3 ⇒ no hay límite y}

la discontinuidad es irreparable.

c) lím

x cosx 1 senx x (1 x) ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥

⎣ ⎦ = lím

x cos x 1 senx x (1 x) ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥

⎣ ⎦ = e

1·1 _{= e.}

Luego, la función tiene discontinuidad reparable, lo que se resuelve haciendo f(0) = e.

d) Si hacemos u = x –

3π, entonces π – 3x = 3(3π– x) = – 3u. Luego,

lím 1 2cos x

3x

−

π − = lím 3

1 2cos(u ) 3u

π

− +

− = lím 3 3

1 2(cos cosu sen senu) 3u π π − − − lím 3 1 2 2

1 2( cosu senu) 3u

− + −

= lím cosu 1 3senu

3u 3 u

− _{− = lím (cos u 1)}2

3u(cos u 1)

−

+ – lím

3 senu 3 u

f(x) = en x = 2

f(x) =

en x = 2

en x = 1

x → 2– _{x → 2}– _{x → 2}–

x → 2+

x → 1– _{x → 1}+

x → 0 x → 0

x → 3

3 u → 0 u → 0

lím − ⋅ − +

2

2

sen u u _lím3 senu 3(cosu 1) 3 u

u = (– 1)·0 – 3 3 = –

3 3 //

La función será continua en x =

3π si f(3π) = – 3 3 //

2) Señale los puntos del dominio de f(x) donde la función no es continua

a) ex _{–1 ≤ x < 0} x2 _{0 ≤ x ≤ 1}

b) x2 _{x ≤ 1}

x2 _– 8(x 1)3

x

− _{x > 1}

Solución:

a) lím ex = 1 ∧ lím x2 _{= 0 ; luego, en x = 0 no hay continuidad; como ∀ x} o ≠ 0

lím ex = _exo _{∧ lím x}2 _{= x}

o2 , la función es continua.

b) lím x2 _{= 1 ∧ lím (x}2 _– 8(x 1)3

x

− _{) = 1 , luego, la función es continua en x = 1, que es}

el único punto que presenta dificultad.

3) Determine valores para A y B de modo que

sen(x 1) x 1

+

+ si x < 0 f(x) = B si x = 0

2

x Ax

3x+ si x > 0

sea continua en _ℝ.

Solución:

lím sen(x 1)

x 1

+ + =

sen1

1 = sen1

lím x2 Ax

3x+ = A3

Por consiguiente la continuidad se produce cuando sen1 = A

3 = B, esto es, cuando

A = 3sen1 ; B = sen1//===== 00000 =====

u → 0 u → 0

f(x) =

f(x) =

x → 0– _{x → 0}+

x → xo x → xo

x → 1– _{x → 1}+

x → 0–

Guía # 3 .

1) Calcular los límites, usando álgebra de límites y aquellos conocidos:

a) lím tg5x

sen3x c) lím x

2 _cotg2_(3x)

b) lím x3 _{cotgx·cosecx d) lím} x

sen x

2) Resolver

a) lím 3x3 ₃2x2 ₂x 4

4x 3x 1

− + −

− − c) lím

2

3 3

x 3 x 1

− +

b) lím x2 1

5x 2

+ +

3) Calcular

a) lím _{(1 sen x)+} sen x1 _{d) lím} 3 x x

(1+ )

b) lím a3x 1

tg3x− e) lím

( )

x x 1 x 3−+

c) lím e_3x2x 1

e 1

−

− f) lím

x x

a b x

−

4) Señale los puntos en que la función dada no es continua

a) f(x) = 3x 1

x 1+− b) f(x) = 9 x− 2 c) f(x) = _{1 x+}1 2

5) Estudiar la continuidad en el dominio de f(x) si

a) x3 1

x 1−− x ≠ 1 3 x = 1

b) x3 3x 10

x 2

+ −

− x ≠ 2

0 x = 2 x → 0

x → 0

x → 0

x → 0+

x→∞

x→∞

x→∞

x→∞

x → 0

x → 0

x → 0

x → 0

x → 0

f(x) =

c) 2x + 1 x ≤ 1 8 – 3x 1 < x < 2 x + 3 x ≥ 2

6) Señalar si es posible evaluar las funciones dadas en el punto x0 para que sean continuas

a) f(x) = x2 1

x 1−− , x0 = 1

b) f(x) = sen3x

tg5x , x0 = 0

c) f(x) = Ln_{(1 x)+} 1x _{, x}

0 = 0

7) Use el teorema del Valor Medio para mostrar que la ecuación f(x) = 0 tiene soluciones en el intervalo señalado:

a) x3 + x + 1 = 0 en [–1, 0]

b) x3 _{– 3x}2 _{+ 1 = 0 en [0, 1]}

c) x5 _{– 5x}3 _{+ 3 = 0 en [–3, –2]}

8) Señale las discontinuidades de

a) f(x) = x 17

x 17

− −

b) f(x) = x2 5x 6

x 2

+ + +

c) f(x) = 1

1 x−

9) Calcular los límites

a) lím 2

2

16 x 16 x

−

− ; b) lím 1 ( 1 xx + − 1 x )− ; c) lím

2

x 16 2 x

− − f(x) =