Introducción a la Econometría El modelo de regresión lineal múltiple Incumplimiento de las hipótesis básicas

(1)

Introducci ´

on a la Econometr´ıa

El modelo de regresi ´

on lineal m ´

ultiple

Incumplimiento de las hip ´

otesis b ´asicas

Rom án Salmer ón G ómez

(2)

Contenidos

Introducci ´on Especificaci ´on del modelo

Estimaci ón del modelo Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

Introducci ´on

Especificaci ón del modelo Estimaci ón del modelo Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Multicolinealidad

Heteroscedasticidad Autocorrelaci ´on

(3)

Introducci ´

on

Contenidos

Introducci ´on

Definici ´on de Econometr´ıa

Modelo econ ómico y econom étrico Fases del m étodo econom étrico Componentes de un modelo econom étrico Naturaleza de la informaci ón utilizada en Econometr´ıa Especificaci ón del modelo

(4)

Econometr´ıa

Contenidos Introducci ´on

La Estad´ıstica juega un papel importante en cualquier ciencia emp´ırica a la hora de estimular la formulaci ´on de modelos y contrastarlos. En la ciencia econ ´omica este papel se hace especialmente importante hasta el punto de que la necesidad de extender la Estad´ıstica ha dado lugar al nacimiento de una disciplina nueva que hoy goza de una gran vitalidad: la Econometr´ıa.

La Econometr´ıa es una rama de la Econom´ıa que aglutina a la Teor´ıa Econ ómica, las Matem áticas, la Estad´ıstica y la Inform ática para estudiar y ana-lizar fen ómenos econ ómicos. Puede decirse que constituye en s´ı misma una dis-ciplina dentro de la Econom´ıa y a la vez una potente herramienta que tanto los economistas como otros muchos investigadores sociales utilizan para el estudio de sus problemas concretos. El principal prop ósito de la Econometr´ıa es propor-cionar un sustrato emp´ırico a la Teor´ıa Econ ómica.

Una breve descripci ´on de la historia econom ´etrica la puedes encontrar en las lecturas recomendadas.

(5)

Definici ´

on de Econometr´ıa

De entre las muchas definiciones existentes sobre la Econometr´ıa destacar´ıa la siguiente:

“La Econometr´ıa, usando la Teor´ıa Econ ´omica, las Matem ´aticas y

la Inferencia Estad´ıstica como fundamentos anal´ıticos, y los datos econ ´omicos como la base informativa, proporciona una base para: 1. Modificar, refinar o posiblemente refutar las conclusiones en el

cuerpo de conocimientos conocido como Teor´ıa Econ ´omica. 2. Conseguir signos, magnitudes y afirmaciones de calidad para

los coeficientes de las variables en las relaciones econ ómicas, de modo que esta informaci ón puede usarse como base para la elecci ón y toma de decisiones.”

(6)

Modelo econ ´

omico y econom ´etrico

Modelo econ ´omico y econom ´etrico

Fases del m étodo econom étrico Componentes de un modelo econom étrico Naturaleza de la informaci ón utilizada en Econometr´ıa Especificaci ón del modelo

Modelo econ ómico: Un modelo econ ómico es una representaci ón simplificada de la realidad econ ómica mediante la expresi ón matem ática de una determina-da teor´ıa econ ómica.

Modelo econom étrico: Un modelo econom étrico es aquel modelo econ ómico que contiene todos los elementos necesarios para ser estudiado desde un pun-to de vista emp´ırico. Es decir, un modelo econ ómico en el que se ha especi-ficado el tipo de relaci ón entre variables (en este curso lineal), el n úmero de variables, introducci ón de la perturbaci ón aleatoria (para recoger el efecto de las variables no incluidas fundamentalmente), etc.

As´ı, por ejemplo, un modelo econ ´omico es aquel en el que se especifica que el consumo es una funci ´on de la renta:

Consumo

=

f

(

Renta

)

.

Mientras el modelo econom étrico ser á aquel en el que se establece que la relaci ón es lineal y se introduce la perturbaci ón aleatoria

u

_t:

(7)

Fases del m ´etodo econom ´etrico

Modelo econ ´omico y econom ´etrico

Fases del m ´etodo econom ´etrico

Componentes de un modelo econom étrico Naturaleza de la informaci ón utilizada en Econometr´ıa Especificaci ón del modelo

La elaboraci ´on de un modelo econom ´etrico se puede dividir en las siguientes fases:

Especificaci ón: En esta fase se propone la forma matem ática de la relaci ón que liga las variables presentes en el modelo y la perturbaci ón aleatoria. Tambi én debe decidirse el n úmero de ecuaciones y variables que forman el modelo. Todo ello se realizar á partiendo de la Teor´ıa Econ ómica.

Estimaci ón: Esta fase consiste en la obtenci ón de valores num éricos de las cantidades constantes del modelo econom étrico. Por tanto, ser á necesario dis-poner de informaci ón emp´ırica sobre el fen ómeno (datos) y haber decidido el m étodo de estimaci ón a usar.

Validaci ón: En esta fase se eval úan los resultados obtenidos en la etapa ante-rior para decidir si los mismos son o no aceptables tanto desde el punto de vista de la teor´ıa econ ómica (magnitudes, signos, etc) como desde el punto de vista estad´ıstico (validez del modelo).

Explotaci ´on: Si el modelo es aceptado, este puede ser usado para la predicci ´on y contrastar la permanencia de la estructura estimada.

(8)

Componentes de un modelo econom ´etrico

Modelo econ ómico y econom étrico Fases del m étodo econom étrico

Componentes de un modelo econom ´etrico

Naturaleza de la informaci ´on utilizada en Econometr´ıa Especificaci ´on del modelo

Las principales componentes de un modelo econom ´etrico son:

Variables: Dentro de las variables podemos distinguir entre las variables obser-vables (aquellas de las que se disponen datos) y no obserobser-vables (la perturba-ci ón aleatoria). Y dentro de las primeras tenemos a las variables dependientes, explicadas o end ógenas (aquellas que est án influidas por otras variables) y va-riables independientes, explicativas o ex ógenas (aquellas que no est án influidas por otras).

Par ámetros: Los par ámetros son las cantidades fijas o constantes del mode-lo econom étrico que se desean estimar (mode-los coeficientes de las variables y la varianza de la perturbaci ón aleatoria).

Ecuaciones: Las relaciones entre las distintas variables se explicitar ´a mediante una o m ´as ecuaciones.

(9)

Naturaleza de la informaci ´

on utilizada en Econometr´ıa

Modelo econ ómico y econom étrico Fases del m étodo econom étrico Componentes de un modelo econom étrico

Naturaleza de la informaci ´on utilizada en Econometr´ıa

Especificaci ´on del modelo

Los datos econ ´omicos suelen ser de clases muy variadas, siendo los tipos m ´as importantes los siguientes:

Datos de corte transversal: son un conjunto de datos formada por unidades (individuos, empresas, regiones, etc) observadas en un momento determinado (d´ıa, mes, trimestre, a ˜no, etc). Por ejemplo, el consumo de varias familias en un mes en concreto.

Datos de series temporales: son un conjunto de datos formado por observa-ciones de una misma variable a lo largo del tiempo. Por ejemplo, el consumo mensual de una familia a lo largo de todo un a ˜no.

Datos de panel o longitudinales: son un conjunto de datos que combinan una dimensi ´on temporal con otra transversal. Por ejemplo, el consumo mensual de un conjunto de familias a lo largo de todo un a ˜no.

Habr á que atender al tipo de datos que se analicen ya que dependiendo de su naturaleza se podr án aplicar unos u otros m étodos econom étricos.

(10)

Especificaci ´

on del modelo

Especificaci ´on del modelo

Modelo lineal

uniecuacional m últiple Hip ótesis del modelo Estimaci ón del modelo Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

(11)

Modelo lineal uniecuacional m ´

ultiple

Contenidos Introducci ´on Especificaci ´on del modelo

Modelo lineal

uniecuacional m ´ultiple

Hip ótesis del modelo Estimaci ón del modelo Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

El modelo lineal uniecuacional m ´ultiple analiza la relaci ´on lineal entre una variable dependiente,

Y

, y m ´as de una variable independiente,

X

_i,

i

= 1

, . . . , k

,

k >

1

, m ´as un t ´ermino aleatorio,

u

.

As´ı, a partir de

n

observaciones para cada variable, el modelo puede ser expresado como:

Y

t

=

β

1

+

β

2

X

t2

+

β

3

X

t3

+

· · ·

+

β

k

X

tk

+

u

t

,

t

= 1

, . . . , n,

(1)

donde se ha considerado que hay t ´ermino constante, es decir,

X

₁_t

= 1

,

∀

t

.

El objetivo ser á estimar (es decir, obtener una aproximaci ón num érica) aque-llas cantidades constantes presentes en el modelo (1), as´ı como la bondad de la estimaci ón realizada. En primer lugar, se escribe dicho modelo para todas y cada una de las observaciones:

Y

1

=

β

1

+

β

2

X

12

+

β

3

X

13

+

· · ·

+

β

k

X

1k

+

u

1

Y

2

=

β

1

+

β

2

X

22

+

β

3

X

23

+

· · ·

+

β

k

X

2k

+

u

2 . . . . . .

Y

n

=

β

1

+

β

2

X

n2

+

β

3

X

n3

+

· · ·

+

β

k

X

nk

+

u

n

(12)

Modelo lineal uniecuacional m ´

ultiple

Modelo lineal

Hip ótesis del modelo Estimaci ón del modelo Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

Que nos conduce a la siguiente forma matricial:

y

n_×1

=

X

n_×k

· β

k_×1

+

u

n_×1

,

(2) donde:

y

n_×1

=







Y

₁

Y

2 . . .

Y

n







,

β

k×1

=







β

₁

β

2 . . .

β

k







,

u

n×1

=







u

₁

u

2 . . .

u

n







,

X

n_×k

=







1 X

12

. . .

X

1k

1 X

22

. . .

X

2k . . . ... . .. ...

1 X

n2

. . . X

nk







.

(13)

Hip ´

otesis del modelo

Modelo lineal

Hip ´otesis del modelo

Consideraremos las siguientes hip ótesis b ásicas en el modelo lineal uniecuacional m últiple:

El vector

y

se puede expresar como combinaci ón lineal de las variables expli-cativas m ás un vector de perturbaci ón.

La perturbaci ´on aleatoria est ´a centrada

(

E

[

u

_t

] = 0

, t

= 1

, . . . , n

)

, es homoced ´astica

V ar

(

u

_t

) =

E

[

u

_t2

] =

σ

2

, t

= 1

, . . . , n

e incorrelada

(

Cov

(

u

t

, u

s

) =

E

[

u

t

· u

s

] = 0

,

∀

t

6 =

s, t, s

= 1

, . . . , n

)

. En tal caso se

dice que las perturbaciones son esf ´ericas y se verifica que

E

[

u

] = 0

_n_×₁ y

V ar

(

u

) =

E

[

u

_·

u

t

] =

σ

2

_·

I

n_×n

.

La matriz

X

es no estoc ´astica y de rango completo por columnas, es decir,

rg

(

X

) =

k

(como consecuencia

n > k

y las columnas de

X

, es decir,

X

_i,

i

= 1

, . . . , n

, son linealmente independientes).

No hay relaci ´on entre variables independientes y la perturbaci ´on aleatoria:

Cov(un×₁, Xi) = E (u ₋ E[u]) _· (Xi − E[Xi])t = E u _· (Xi − Xi)t = E[un×₁ ·0₁×n] = 0n×n.

(14)

Estimaci ´

on del modelo

Estimaci ´on del modelo

Estimaci ón m´ınimo cuadr ática de los coeficientes del modelo Teorema de Gauss-Markov Estimaci ón de la varianza de la

perturbaci ón aleatoria Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

(15)

Estimaci ´

on m´ınimo cuadr ´atica de los coeficientes del modelo

Definiendo los errores o residuos,

e

, del modelo lineal uniecuacional m ´ultiple como la diferencia entre los verdaderos valores de la variable dependiente y su estima-ci ´on, esto es

e

=

y

₋

y,

_b

donde

y

b

=

X

β

b

, y siguiendo la premisa de minimizar la suma de los cuadrados de los residuos

e

t

e

= (

y

₋

X

β

b

)

t

_·

(

y

₋

X

β

b

) =

y

t

y

₋

2 β

b

t

X

t

y

+

β

b

t

X

t

X

β,

b

se obtiene la estimaci ´on del par ´ametro

β

como

b

β

=

X

t

X

−1

_·

X

t

y.

Dicho m ´etodo recibe el nombre de m´ınimos cuadrados ordinarios, MCO, por lo que los estimadores obtenidos a partir de dicho m ´etodo reciben el nombre de estimadores de m´ınimos cuadrados ordinarios, EMCO.

Como consecuencias de dicha estimaci ´on se verifica que

X

t

· e

= 0

_k_×₁,

(16)

Estimaci ´

on m´ınimo cuadr ´atica de los coeficientes del modelo

Advi ´ertase que:

X

t

X

=







n

P

t=1

X

t2

· · ·

n

P

t=1

X

tk n

P

t=1

X

t2 n

P

t=1

X

_t2₂

_{· · ·}

n

P

t=1

X

t2

X

tk . . . . . . . .. . . . n

P

t=1

X

tk n

P

t=1

X

tk

X

t2

· · ·

n

P

t=1

X

_tk2







,

y

X

t

y

=







n

P

t=1

Y

t n

P

t=1

X

t2

Y

t . . . n

P

t=1

X

tk

Y

t







.

(17)

Teorema de Gauss-Markov

Estimaci ón del modelo Estimaci ón m´ınimo cuadr ática de los coeficientes del modelo Teorema de Gauss-Markov Estimaci ón de la varianza de la

Teorema 1 (Teorema de Gauss-Markov) Los estimadores de m´ınimos

cuadra-dos ordinarios son lineales, insesgacuadra-dos y ´optimos (ELIO), es decir, tienen varianza m´ınima entre la clase de los estimadores lineales e insesgados.

En efecto, por la forma de escribirse el estimador es evidente que es lineal. As´ı, llamando:

C

k_×n

=

X

t

X

₋1 k_×k

· X

t k_×n

=







c

11

c

12

. . .

c

1n

c

21

c

22

. . .

c

2n . . . . . . . .. . . .

c

k1

c

k2

. . . c

kn







,

se tiene que

β

b

se expresa como combinaci ´on lineal del vector

y

:

b

β

k_×1

=

C

k_×n

· y

n_×1

=







c

11

Y

1

+

c

12

Y

2

+

. . .

+

c

1n

Y

n

c

21

Y

1

+

c

22

Y

2

+

. . .

+

c

2n

Y

n . . .

c

k1

Y

1

+

c

k2

Y

2

+

. . .

+

c

kn

Y

n







.

(18)

Teorema de Gauss-Markov

Para que el estimador

β

b

de

β

sea insesgado se ha de cumplir que

E

[

β

b

] =

β

. En efecto, sustituyendo

y

=

Xβ

+

u

en

β

b

:

b

β

=

X

t

X

−1

_·

X

t

y

=

X

t

X

−1

_·

X

t

(

Xβ

+

u

)

=

β

+

X

t

X

−1

_·

X

t

u

_−→

β

b

=

β

+

X

t

X

−1

_·

X

t

u.

Entonces, teniendo en cuenta que

E

[

u

] = 0

:

E

[

β

b

] =

E

h

β

+

X

t

X

−1

_·

X

t

u

i

=

β

+

X

t

X

−1

_·

X

t

_·

E

[

u

] =

β.

Por otro lado, la matriz de varianzas-covarianzas de

β

b

:

V ar βb = E b β ₋ E[βb] _· βb₋ E[βb]t = E b β ₋ β _· βb₋ β t = E h XtX−1 Xtu _· utX XtX−1i = XtX−1 Xt _·E[u _· ut] _·X XtX−1 = σ2 _· XtX−1 XtX XtX−1 = σ2 _· XtX−1 ,

(19)

Teorema de Gauss-Markov

donde se ha tenido en cuenta que

β

b

es insesgado,

β

b

−

β

= (

X

t

X

)

−1

X

t

u

y

V ar

(

u

) =

E

[

u

_·

u

t

] =

σ

2

_·

I

n_×n.

Para demostrar que

β

b

es de m´ınima varianza consideraremos otro estimador,

β

∗_{, de}

_β

_{lineal e insesgado de forma que}

_{V ar}

_β

b

_{< V ar}

₍

_β

∗

₎

_.

En efecto,

β

∗

=

D

_k_×_n

· y

_n_×₁ tal que

D

· X

=

I

_k_×_k es lineal e insesgado. Adem ´as,

V ar

(

β

∗

) =

σ

2

· DD

t.

En tal caso, puesto que podemos escribir

D

= (

X

t

X

)

−1

X

t

+

W

con

W

₆

= 0

k_×n, se tiene que

DD

t

= (

X

t

X

)

− 1

+

W W

t, y en tal caso:

V ar

(

β

∗

_{) =}

_σ

2

_·

_DD

t

₌

_σ

2

_·

_X

t

_X

−1

₊

_σ

2

_·

_{W W}

t

₌

_{V ar}

_β

b

₊

_σ

2

_·

_{W W}

t

_,

esto es,

V ar

(

β

∗

)

−

V ar

b

β

=

σ

2

_·

W W

t

.

Y como

W W

t es definida positiva:

V ar

(

β

∗

)

−

V ar

b

β

>

0

, y en tal caso:

(20)

Estimaci ´

on de la varianza de la perturbaci ´

on aleatoria

perturbaci ´on aleatoria

Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

Adem ás de los coeficientes de las variables independientes, hay en el modelo otra cantidad constante que habr á que estimar: la varianza de la perturbaci ón aleatoria,

σ

2.

Un estimador insesgado de

σ

2 es:

b

σ

2

=

e

t

_e

n

₋

k

,

ya que

E

[

e

t

e

] = (

n

−

k

)

· σ

2.

Para calcular dicho estimador se dispone de la expresi ´on:

b

σ

2

=

y

t

_y

−

β

b

t

X

t

y

n

₋

k

.

En consecuencia, la estimaci ´on de la matriz de varianzas-covarianzas de

β

b

es:

\

(21)

Validaci ´

on del modelo

Validaci ´on del modelo

Bondad de ajuste Distribuci ón en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hip ótesis lineales: casos particulares M´ınimos Cuadrados Restringidos An álisis de la varianza Intervalos de confianza Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

(22)

Bondad de ajuste: Coeficiente de determinaci ´

on

Estimaci ´on del modelo Validaci ´on del modelo

Bondad de ajuste

Distribuci ón en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hip ótesis lineales: casos particulares M´ınimos Cuadrados Restringidos An álisis de la varianza Intervalos de confianza Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

Una vez estimado el modelo lineal uniecuacional multiple, es decir, una vez ob-tenidas las estimaciones de

β

y

σ

2, el siguiente paso ser ´a estudiar la calidad de dichas estimaciones.

As´ı, a continuaci ón, obtendremos el coeficiente de determinaci ón, que no es m ás que una medida para estudiar la bondad del ajuste lineal determinado por los estimadores por m´ınimos cuadrados ordinarios.

Dicho coeficiente de determinaci ´on, que se denota por

R

2, se define como el porcentaje de variabilidad explicada por el modelo. Por tanto, éste se obtendr á co-mo el cociente entre la varianza explicada por la estimaci ón y la total:

R

2

=

1 T

·

n

P

i=1

b

Y

i

−

Y

2 1 T

·

n

P

i=1

Y

i

−

Y

2

=

n

P

i=1

b

Y

i

−

Y

2 n

P

i=1

Y

i

−

Y

2

.

Como se observa, el coeficiente de determinaci ´on queda expresado en funci ´on de la suma de cuadrados explicados (SCE) y los totales (SCT).

(23)

Bondad de ajuste: Coeficiente de determinaci ´

on

Bondad de ajuste

Luego, teniendo en cuenta la descomposici ´on

SCT

=

SCE

+

SCR,

se tiene que

R

2

=

SCE

SCT

= 1

−

SCR

SCT

.

Entonces, para calcular dicho coeficiente se dispone de la expresi ´on:

R

2

=

β

b

t

_X

t

_y

−

n

_·

Y

2

y

t

_y

₋

_n

_·

_Y

2

= 1

−

y

t

y

₋

β

b

t

X

t

y

t

_y

₋

_n

_·

_Y

2

.

Advi értase que, siempre que el modelo lineal tenga t érmino independiente, el coeficiente de determinaci ón var´ıa entre 0 y 1. El valor 0 lo toma cuando la SCE es nula y, por tanto, el modelo no es adecuado; mientras que toma el valor 1 cuando la SCR es nula y, por tanto, el modelo es adecuado.

(24)

Coeficiente de determinaci ´

on corregido

Bondad de ajuste

Puesto que a medida que vamos incluyendo variables en el modelo el coeficiente de determinaci ´on aumenta aunque las variables que incluyamos no sean signifi-cativas, esto supone un problema.

El coeficiente de determinaci ´on corregido,

R

2, viene a resolver este proble-ma del coeficiente de determinaci ón. Dicho coeficiente mide el porcentaje de va-riaci ón de la variable dependiente (al igual que el coeficiente de determinaci ón) pero teniendo en cuenta el n úmero de variables incluidas en el modelo. Se define como:

R

2

= 1

₋

(1

₋

R

2

)

_·

n

−

1 n

₋

k

.

En cualquier caso, estas medidas de bondad del ajuste no deben de ser sobrevaloradas. Obtener un

R

2 o

R

2 cercano a 1 no indica que los resultados sean fiables, ya que, por ejemplo, puede ser que no se cumpla alguna de las hip ótesis b ásicas y los resultados no ser v álidos. Por tanto, estos indicadores han de ser considerados como una herramienta m ás a tener en cuenta dentro del an álisis.

(25)

Distribuci ´

on en el muestreo de los estimadores MCO

Bondad de ajuste

Distribuci ´on en el muestreo de los estimadores MCO

Contraste de un conjunto de hip ótesis lineales: casos particulares M´ınimos Cuadrados Restringidos An álisis de la varianza Intervalos de confianza Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

Introduciendo la hip ótesis de que la perturbaci ón aleatoria sigue una distribuci ón normal, esto es:

u

n_×1

∼

N

(0

n_×1

, σ

2

· I

n_×n

)

.

En consecuencia,

β

b

_k_×₁

∼

N

(

β, σ

2

· (

X

t

X

)

−1

)

, ya que:

b

β

sigue una distribuci ´on normal ya que se puede expresar en funci ´on de una normal:

β

b

=

β

+ (

X

t

X

)

−1

· X

t

u

.

se tienen calculados el vector de medias,

E

h

b

β

i

=

β

, y matriz de varianzas-covarianzas,

V ar

b

β

=

σ

2

_·

(

X

t

X

)

−1.

Por otro lado, ya que

e

t

e

=

u

t

M u

siendo

M

_n_×_n

=

I

−

X

(

X

t

X

)

−1

X

t sim ´etrica, idempotente y con

rg

(

M

) =

n

−

k < k

se tiene que u

t

M u

σ2

∼

χ

2_n₋_k

,

lo que se traduce en que

(

n

₋

k

)

_·

_b

σ

2

σ

2

∼

χ

2

(26)

Contraste de un conjunto de hip ´

otesis lineales

Bondad de ajuste Distribuci ´on en el muestreo de los estimadores MCO

A continuaci ón abordaremos la especificaci ón de contrastes sobre un conjunto de hip ótesis lineales sobre los coeficientes del modelo. Concretamente, suponiendo

q

restricciones lineales independientes entre s´ı:

a

₁₁

β

₁

+

a

₁₂

β

₂

+

_{· · ·}

+

a

₁k

β

k

=

b

1

a

21

β

1

+

a

22

β

2

+

· · ·

+

a

2k

β

k

=

b

2 . . . . . .

=

. . .

a

q1

β

1

+

a

q2

β

2

+

· · ·

+

a

qk

β

k

=

b

q

Plantearemos contrastar la hip ´otesis nula

H

₀

:

Rβ

=

r

donde

R

q_×k

=







a

11

a

12

. . . a

1k

a

21

a

22

. . . a

2k . . . . . . . .. . . .

a

q1

a

q2

. . . a

qk







,

r

q×1

=







b

1

b

2 . . .

b

q







.

(27)

Contraste de un conjunto de hip ´

otesis lineales

Usando la distribuci ´on

R

β

b

₋

Rβ

t

_·

h

R

(

X

t

X

)

−1

R

t

i

−1

q

_·

σ

_b

2

· R

β

b

₋

Rβ

_∼

F

q,n₋k

,

rechazaremos la hip ´otesis nula al nivel de significaci ´on

α

si

R

β

b

₋

r

t

_·

h

R

(

X

t

X

)

−1

R

t

i

−1

q

_·

σ

_b

2

· R

β

b

₋

r

> F

q,n₋k

(1

−

α

)

,

donde

F

_q,n₋_k

(1

−

α

)

es el punto de una

F

de Senedecor de

q

y

n

−

k

grados de libertad que deja por debajo suyo una probabilidad

1 −

α

.

(28)

Casos particulares

Un caso particular de suma importancia ser ´a aquel en el que se desee contrastar la hip ´otesis nula

H

₀

:

β

_i

=

b

_i,

i

= 1

, . . . , k

.

En tal caso,

q

= 1

,

R

= (0 0

. . .

1

i)

. . .

0)

y

r

=

b

_i, por lo que la distribuci ´on anterior queda simplificada como

b

β

i

−

b

i

2

b

σ

2

_·

_w

i

∼

F

1,n₋k

,

donde

w

_i es el elemento (i,i) de la matriz

(

X

t

X

)

−1, o lo que es lo mismo,

σ

b

2

· w

_i es el elemento (i,i) de

σ

b

2

· (

X

t

X

)

−1

=

V ar

\

b

β

, esto es, la varianza estimada de

β

b

_i.

Teniendo en cuenta que la ra´ız cuadrada de una F-Snedecor con 1 y

n

grados de libertad es una t-Student con

n

grados de libertad se tiene que

b

β

i

−

b

i

b

σ

_·

√

w

i

∼

(29)

Casos particulares

y en tal caso rechazaremos

H

₀

:

β

_i

=

b

_i al nivel de significaci ´on

α

si

b

β

i

−

b

i

b

σ

_·

√

w

i

> t

n−k

1 ₋

α

2 ,

donde

t

_n₋_k

1 −

α₂

es el punto de una distribuci ´on

t

de student con

n

−

k

grados de libertad que deja por debajo suya una probabilidad

1 −

α₂.

Este caso particular es de vital importancia cuando

b

_i

= 0

, ya que entonces estaremos contrastando si el coeficiente de la variable independiente

X

_i es o no nulo. De forma que al rechazar dicha hip ´otesis tenemos garantizado que la variable

X

_i ha de estar en el modelo, por lo que sus variaciones influyen en la variable dependiente. En tal caso se dice que dicha variable es significativa y que el contraste es un contraste de significaci ´on individual.

(30)

M´ınimos Cuadrados Restringidos

En el caso en el que no se rechace la hip ´otesis nula

H

₀

:

Rβ

=

r

, ser´ıa deseable incorporar dicha informaci ´on al modelo. En tal caso, se obtiene un nuevo estima-dor:

b

β

R

=

β

b

+

X

t

X

₋1

R

t

h

R X

t

X

−1

R

t

i

−1

_·

r

₋

R

β

b

,

que recibe el nombre de m´ınimos cuadrados restringidos ya que se ha obtenido con la restricci ´on de que ha de verificar que

R

β

b

_R

=

r

.

Dicho estimador es lineal, insesgado siempre que la hip ´otesis nula

H

₀

:

Rβ

=

r

sea cierta y óptimo. Es decir, el estimador por m´ınimos cuadrados restrin-gidos tiene menor varianza que el estimador m´ınimo cuadr ático ordinario siempre y cuando la restricci ón (hip ótesis nula) sea cierta.

Luego, cuando una restricci ón lineal sobre los coeficientes de las variables independientes es cierta, el estimador por m´ınimos cuadrados ordinarios deja de ser óptimo y habr á que usar el estimador por m´ınimos cuadrados restringidos.

Adem ´as se verifica que:

(31)

An ´alisis de la varianza

El an álisis de la varianza aborda el contraste que tiene por hip ótesis nula que todos los coeficientes de las variables independientes son nulos simult áneamente, esto es,

H

₀

:

β

₂

=

β

₃

=

· · ·

=

β

_k

= 0

.

Salta a la vista que estamos ante un caso particular de un contraste sobre

k

₋

1

restricciones lineales de los coeficientes de las variables independientes. En este caso, rechazaremos la hip ´otesis nula al nivel de significaci ´on

α

si

F

exp

=

SCE k₋1 SCR n₋k

> F

k₋1,n₋k

(1

−

α

)

.

Para calcular dicho estad´ıstico se suele resumir la informaci ón anterior en una tabla, conocida como tabla de an álisis de la varianza (tabla ANOVA) ya que en ella se recogen las fuentes de variaci ón de la varianza:

Fuente de variaci ´on Suma de Cuadrados Grados de Libertad Medias Explicada SCE = βbtXty − nY 2 k − 1 SCE_k₋

1

Residuos SCR = yty − βbtXty n − k SCR_n₋_k Total SCT = yty − nY 2 n − 1

(32)

An ´alisis de la varianza

Advi ´ertase que rechazar

H

₀ implica que hay al menos un coeficiente no nulo, por lo que la relaci ´on existente entre las variables independientes y la dependiente no se debe al azar, lo cual valida el modelo en su conjunto.

Por otro lado, sin m ás que dividir la regi ón de rechazo por SCT tanto en el numerador como en el denominador se obtiene la expresi ón equivalente:

R2 k₋1 1₋R2

n₋k

> F

k₋1,n₋k

(1

−

α

)

.

La importancia de esta nueva expresi ón para la regi ón de rechazo es que permite calcular una cota, sin m ás que despejar

R

2, a partir de la cual el coeficiente de determinaci ón es significativo. Esto es, el coefciente de determinaci ón es signifi-cativo al nivel de significaci ón

α

si

R

2

>

k₋1 n₋k

· F

k−1,n−k

(1

−

α

)

1 +

k−1 n₋k

· F

k−1,n−k

(1

−

α

)

.

(33)

Intervalos de confianza

Bondad de ajuste Distribuci ón en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hip ótesis lineales: casos particulares M´ınimos Cuadrados Restringidos An álisis de la varianza Intervalos de confianza

Explotaci ´on del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ´on

A partir de las distribuciones en el muestreo para los estimadores estudiados es inmediato obtener los siguientes intervalos de confianza al nivel

1 −

α

:

Intervalo de confianza para

β

_i

b

β

i

±

t

n₋k

1 ₋

α

2

· b

σ

_·

√

w

i

,

i

= 1

, . . . , k.

Intervalo de confianza para

σ

2

"

(

n

₋

k

)

_·

σ

_b

2

χ

2_n₋_k

1 ₋

α₂

,

(

n

₋

k

)

_·

σ

_b

2

χ

2_n₋_k α₂

#

,

donde

χ

2_n −k

1 −

α 2

y

χ

2_n −k α 2

son los puntos de una distribuci ´on chi-cuadrado con

n

−

k

grados de libertad que dejan a su izquierda, respectivamente, una probabilidad

1 −

α₂ y α₂.

Una forma alternativa de contrastar hip ´otesis es usando los intervalos de confianza. De manera que para contrastar

H

₀

:

Rβ

=

r

se calcular ´a la regi ´on de confianza para

Rβ

y si

r

pertenece a dicha regi ón, no se rechazar á la hip ótesis nula.

(34)

Explotaci ´

on del modelo

Explotaci ´on del modelo

Predicci ´on Puntual ´

Optima Predicci ´on por intervalo Contraste de Permanencia Estructural Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ´on

(35)

Predicci ´

on Puntual ´

Optima

Estimaci ón del modelo Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo

Optima

Predicci ´on por intervalo Contraste de Permanencia Estructural Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ´on

Una vez validado el modelo, la siguiente fase de un modelo econom étrico es la explotaci ón, siendo entonces la predicci ón o la permanencia estructural algunos de sus objetivos.

La predicci ón se realiza desde dos puntos de vista: a) por un lado realizare-mos una predicci ón puntual dando un único valor de predicci ón para un instante en concreto; b) por otra parte, puesto que

Y

es una variable aleatoria, podemos calcular su esperanza dado un valor en concreto de las variables independientes. Siguiendo las directrices anteriores se llega a la misma expresi ´on algebr ´aica en ambos casos:

p

0

=

x

t₀

· β,

b

donde

x

t₀

= (1

X

₀₂

X

₀₃

. . . X

₀_k

)

contiene los valores de las variables inde-pendientes para los que se quiere obtener la predicci ´on.

Este predictor,

p

₀, m´ınimo cuadr ´atico (ya que se obtiene a partir del estima-dor por m´ınimos cuadrados ordinarios de

β

) es lineal, insesgado y ´optimo (en el sentido de m´ınima varianza).

(36)

Predicci ´

on por intervalo

Optima

En este apartado calcularemos el intervalo de confianza para el valor esperado de

Y

dado

x

₀, es decir, para

E

[

Y

₀

/x

₀

] =

x

t₀

· β

.

Como

x

t₀

· β

b

se distribuye seg ún una normal (ya que est á en funci ón de

β

b

) y

E

[

x

t₀

_·

β

b

] =

x

t₀

β

, ya que es insesgado.

V ar

x

t₀

_·

β

b

=

E

h

x

t₀

_·

β

b

₋

x

t₀

_·

β

_·

x

t₀

_·

β

b

₋

x

t₀

_·

β

i

=

x

t₀

_·

E

β

b

₋

β

_·

β

b

₋

β

t

· x

0

=

x

t₀

· V ar

b

β

_·

x

0

=

σ

2

· x

₀t

(

X

t

X

)

−1

x

0

.

se tiene que

x

t₀

_·

β

b

_∼

N

x

t₀

_·

β, σ

2

_·

x

t₀

X

t

X

−1

x

0

.

Ahora bien, esta distribuci ´on no es apta para hacer inferencia puesto que depende de la cantidad desconocida

σ

2. Para resolver este problema, tipificare-mos la anterior distribuci ´on normal y la dividiretipificare-mos entre la ra´ız cuadrada de la siguiente distribuci ´on chi-cuadrado

(37)

Predicci ´

on por intervalo

Optima

(

n

₋

k

)

_·

_b

σ

2

σ

2

∼

χ

2 n₋k

,

dividida a su vez entre sus grados de libertad, obteniendo la siguiente distribuci ´on t-Student:

x

t₀

_·

β

b

₋

x

t₀

_·

β

b

σ

_·

q

x

t 0

(

X

t

X

)

− 1

x

0

∼

t

n₋k

.

A partir de esta distribuci ´on, el intervalo de confianza al nivel

1 −

α

para

E

[

Y

0

/x

0

] =

x

t₀

· β

es:

x

t₀

_·

β

b

_±

t

n₋k

1 ₋

α

2

· b

σ

_·

q

x

t₀

(

X

t

_X

₎

−1

_x

0

,

donde

t

_n₋_k

1 −

α₂

es el punto de una distribuci ´on

t

de Student con

n

−

k

grados de libertad que deja a su izquierda una probabilidad

1 −

α₂.

(38)

Contraste de Permanencia Estructural

Optima Predicci ´on por intervalo Contraste de Permanencia Estructural Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelaci ´on

Al explotar el modelo mediante la predicci ón se est á presuponiendo que la relaci ón estimada se mantiene para la informaci ón no presente en la muestra observada. Para confirmar este aspecto, calcularemos el intervalo de confianza para

Y

dado

x

0, de forma que si la nueva informaci ´on pertenece a dicho intervalo, la estructura del modelo estimado permanecer ´a.

Partiendo de que

Y

0

−

Y

b

0

=

u

0

−

x

t₀

b

β

₋

β

_∼

N

0 , σ

2

_·

1 +

x

t₀

X

t

X

−1

x

0

,

se llega de forma an ´aloga a la anterior a la distribuci ´on

Y

0

−

Y

b

0

b

σ

_·

q

1 +

x

t₀

(

X

t

_X

₎

−1

_x

0

∼

t

n₋k

,

donde

Y

b

₀

=

x

t₀

· β

b

. Por tanto, el intervalo de confianza al nivel

1 −

α

para

Y

₀ es:

x

t₀

_·

β

b

_±

t

n₋k

1 ₋

α

2

· σ

b

_·

q

1 +

x

t₀

(

X

t

_X

₎

−1

_x

0

.

(39)

Incumplimiento de las hip ´

otesis

b ´asicas: Multicolinealidad

Multicolinealidad Concepto y causas Multicolinealidad exacta o perfecta Multicolinealidad aproximada Detecci ´on de la multicolinealidad Soluciones Heteroscedasticidad Autocorrelaci ´on

(40)

Concepto y causas

Estimaci ón del modelo Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Concepto y causas Multicolinealidad exacta o perfecta Multicolinealidad aproximada Detecci ón de la multicolinealidad Soluciones Heteroscedasticidad Autocorrelaci ón

El problema de multicolinealidad consiste en la existencia de relaciones lineales entre dos o m ás variables independientes del modelo lineal uniecuacional multiple. Dependiendo de c ómo sea dicha relaci ón lineal hablaremos de multicolineali-dad perfecta o aproximada.

Las principales causas que producen multicolinealidad en un modelo son: relaci ´on causal entre variables explicativas del modelo.

escasa variabilidad en las observaciones de las variables independientes. reducido tama ˜no de la muestra.

En definitiva, la multicolinealidad suele ser un problema muestral que se presenta normalmente en datos con el perfil de series temporales.

As´ı, por ejemplo, la edad y la experiencia suelen presentar una alta relaci ón ya que ambas evolucionan conjuntamente: a mayor edad se presupone mayor experiencia. Por tal motivo ser á dif´ıcil separar el efecto de cada una sobre la va-riable dependiente y que se produzca multicolinealidad debido a la relaci ón causal existente entre dichas variables (series temporales).

(41)

Multicolinealidad exacta o perfecta

La multicolinealidad exacta o perfecta hace referencia a la existencia de una rela-ci ´on lineal exacta entre dos o m ´as variables independientes.

Dicho tipo de multicolinealidad se traduce en el incumplimiento de una de las hip ótesis b ásicas del modelo uniecuacional m últiple: la matriz

X

no es de rango completo por columnas, esto es,

rg

(

X

)

< k

.

El incumplimiento de dicha hip ´otesis no permite invertir la matriz

X

t

X

, por lo que el sistema normal

X

t

X

_·

β

=

X

t

y,

es compatible indeterminado, es decir, es imposible obtener una soluci ´on ´unica para

β

b

(hay infinitas).

¿Qu é hacer ante esta situaci ón? Evidentemente no se podr án estimar los coeficientes de las varaibles independientes, sin embargo, si se podr á estimar una combinaci ón lineal de los mismos. Y en tal caso no tenemos garantizado que se puedan recuperar a partir de éstas las estimaciones de los par ámetros originales.

(42)

Multicolinealidad aproximada

La multicolinealidad aproximada hace referencia a la existencia de una relaci ´on lineal aproximada entre dos o m ´as variables independientes.

En este caso, no se incumplir á la hip ótesis b ásica de que la matriz

X

sea completa por columnas

(

rg

(

X

) =

k

)

, por lo que se podr ´a invertir

X

t

X

y obtener los estimadores por m´ınimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, el determinante de

X

t

X

ser ´a muy pr ´oximo a cero, por lo que

(

X

t

X

)

−1 tender ´a a tener valores altos.

En consecuencia, cuando existe un problema de multicolinealidad no perfecta se presentan los siguientes problemas:

las varianzas de los estimadores son muy grandes.

al efectuar contrastes de significaci ón individual no se rechazar á la hip ótesis nula, mientras que al realizar contrastes conjuntos si.

los coeficientes estimados ser ´an muy sensibles ante peque ˜nos cambios en los datos.

(43)

Detecci ´

on de la multicolinealidad

Basarse en los sintomas enumerados anteriormente para la detecci ´on de la mul-ticolinealidad no es un procedimiento fiable ya que es subjetivo.

Por tal motivo, para la detecci ´on de la multicolinealidad usaremos los m ´eto-dos:

N ´umero de condici ´on.

Factor de agrandamiento de la varianza.

El n ´umero de condici ´on,

k

(

X

)

, se define como la ra´ız cuadrada del cociente entre el autovalor m ´as grande de

X

t

X

,

λ

_max, y el m ´as peque ˜no,

λ

_min. Esto es:

k

(

X

) =

r

λ

max

λ

min

.

Si dicho n ´umero de condici ´on toma un valor entre 20 y 30 estamos ante un pro-blema de multicolinealidad probable y se considera seguro si supera 30.

(44)

Detecci ´

on de la multicolinealidad

El factor de agrandamiento de la varianza,

F AV

, se define para cada uno de los coeficientes como:

F AV

(

β

b

i

) =

1

1 ₋

R

2_i

,

i

= 2

, . . . , k,

donde

R

_i2 es el coeficiente de determinaci ´on obtenido al efectuar la regresi ´on de

X

i sobre el resto de las variables independientes del modelo.

El FAV se interpreta como la raz ´on entre la varianza observada y la que habr´ıa sido en caso de que

X

_i estuviera incorrelacionada con el resto de variables inde-pendientes del modelo, es decir, muestra en qu ´e medida se agranda la varianza del estimador como consecuencia de la relaci ´on de los regresores.

Valores del FAV superiores a 10 hacen pensar en la posible existencia de multicolinealidad en el modelo.

(45)

Soluciones al problema de multicolinealidad

Algunas de las posibles soluciones al problema de multicolinealidad son las si-guientes:

mejora del dise ño muestral estrayendo la informaci ón m áxima de la variables observadas.

eliminaci ´on de las variables que se sospechan son causantes de la multicoli-nealidad.

en caso de disponer de pocas observaciones, aumentar el tama ˜no de la mues-tra.

utilizar la relaci ón extramuestral que permita realizar relaciones entre los par ámetros (informaci ón a priori) que permita estimar el modelo por m´ınimos cuadrados restringidos.

Por otro lado, algunos autores sugieren tratar el problema de la multicolineali-dad de forma mec ánica y puramente num érica proponiendo una t écnica conocida como regresi ón alomada. Sin embargo, esta t écnica tiene dos problemas impor-tantes: es arbitraria y los estimadores obtenidos no son interpretables.

(46)

Incumplimiento de las hip ´

otesis

b ´asicas: Heterocedasticidad

Estimaci ón del modelo Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Multicolinealidad Heteroscedasticidad Naturaleza del problema Causas de la heteroscedasticidad Consecuencias de la heteroscedasticidad Procedimientos de Detecci ón M´ınimos Cuadrados Ponderados Autocorrelaci ón

(47)

Naturaleza del problema

En el modelo lineal general,

y

=

Xβ

+

u

, se supone que la perturbaci ´on aleatoria es tal que

E

[

u

] = 0

_n_×₁ y

V ar

(

u

) =

E

[

u

· u

t

] =

σ

2

I

_n_×_n, lo cual implica que:

E

[

u

t

] = 0

,

∀

t

∈ {

1 , . . . , n

}

.

E

[

u

2_t

] =

V ar

(

u

t

) =

σ

2

,

∀

t

∈ {

1 , . . . , n

}

(varianza constante =

homoce-dasticidad).

E

[

u

i

· u

j

] =

Cov

(

u

i

, u

j

) = 0

,

∀

i

6 =

j

∈ {

1 , . . . , n

}

(incorrelaci ´on).

Cuando se incumple el supuesto de homocedasticidad, es decir, la varianza no es constante sino que var´ıa con la observaci ´on (

E

[

u

2_t

] =

σ

_t2

,

∀

t

), se dice que hay heteroscedasticidad.

Consideramos entonces el modelo lineal general

y

_n_×₁

=

X

_n_×_k

· β

_k_×₁

+

u

n_×1

,

tal que

E

[

u

] = 0

n_×1 y

V ar

(

u

) =

σ

2

· Ω

n_×n donde

Ω

es una matriz

diagonal con diagonal no constante.

Advi értase que en este caso se dice que el modelo tiene una matriz de varianzas-covarianzas no escalar o con perturbaciones no esf éricas (ya que la matriz de varianzas-covarianzas de la perturbaci ón aleatoria ya no es igual al pro-ducto de una constante por la matriz identidad).

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Causas de la heteroscedasticidad

Las principales causas de la presencia de heteroscedasticidad en un modelo lineal m ´ultiple son:

Naturaleza del fen ómeno: en situaciones en las que se disponen de datos de secci ón cruzada (como las del ejemplo anterior: consumo de bienes de lujo e ingresos familiares, pol´ıtica de dividendos y ganancias empresariales o pol´ıtica de inversi ón y ganancias empresariales) es factible la presencia de heteroscedasticidad.

Usar datos agregados: cuando las observaciones de la variable dependiente pueden dividirse en grupos (por ejemplo, una persona que reside en una pro-vincia, un grupo de empresas que pertenecen a un mismo sector, etc.) y se usan como datos los promedios proporcionados por tales grupos es factible la presencia de heteroscedasticidad.

Si se omite una variable relevante en el modelo, es esperable que la pertur-baci ´on aleatoria dependa de dicha variable omitida, por lo que su varianza dif´ıcilmente ser ´a constante.