1. Transformada de Laplace
2. Función de Transferencia.
3. Ejemplos de modelado de sistemas dinámicos
4. Modelado de sistemas de orientación
¿Para qué se utiliza la transformada de Laplace?
Para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Pero, ¿para qué necesitamos resolver ecuaciones diferenciales?
Los sistemas físicos (de orientacion,eléctricos, mecánicos, electrónicos,
térmicos..) pueden expresarse de una manera aproximada mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. Esto es, podemos expresar los sistemas mediante su modelo matemático y deducir de manera teórica su
comportamiento ante diferentes tipos de estímulos (entradas escalón, rampa, parabólica ...).
Ejemplo: circuito RLC Aplicando las leyes de Kirchhoff:
Ec. diferencial lineal con coef. ctes
∫
∑
=
+
+
=
)
(
)
(
1
)
(
)
(
0
t
e
dt
t
i
C
t
i
R
dt
t
i
d
L
V
VL VR VCTransformada de Laplace
Transformada de Laplace
∫
∫
⇒
=
=
=
− ∞ −ds
e
s
F
i
s
F
L
dt
e
t
f
s
F
t
f
L
st(
)
st2
1
))
(
(
)
(
)
(
))
(
(
1 0π
))
(
(
f
t
L
L
−1(
F
(
s
))
Transformada Inversa de Laplace
función Escalón
t r(t) A r(t)=As
A
dt
e
A
t
r
L
=
∫
st=
∞ − 0))
(
(
Si A= 1 se denomina escalón unitario
Ejemplo:
La transformada de Laplace de la función escalón:
función Rampa
r(t)=A t 2 0))
(
(
s
A
dt
e
At
t
r
L
=
∫
st=
∞ −Si A= 1 se denomina función Rampa unitaria
Ejemplo: La transformada de Laplace de la función rampa: t r(t) A Siendo A la pendiente de la recta
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
s
s
F
dt
t
f
F
f
f
s
s
F
s
dt
t
f
d
F
f
s
F
s
dt
t
f
d
F
s
F
a
s
F
a
s
F
t
f
a
t
f
a
t
f
)
(
)
)
(
(
)
0
´(
)
0
(
)
(
)
))
(
(
(
)
0
(
)
(
)
))
(
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1∫
=
−
−
=
−
=
+
=
⇒
+
=
Linealidad Diferenciación IntegraciónTransformada de Laplace
Para calcular la transformada inversa, se utilizan las tablas que relacionan la función f(t) con su transformada y viceversa.
En la tabla de la derecha se representan las transformadas de Laplace de las funciones mas importantes.
TEOREMA DEL VALOR FINAL
)
(
)
(
0
s
F
s
lim
t
f
lim
s
t
→
∞
→
=
Transformada de Laplace
Un sistema físico puede expresarse de manera externa mediante: 1) Ecuaciones diferenciales
2) La función Impulso
3) La función de Transferencia
Las tres formas de representación están relacionadas y vamos a centrarnos
principalmente en la representación mediante la función de transferencia.
sistema
r(t) y(t)
Cualquier sistema físico estará completamente definido si para cada entrada (r(t))
conocemos su salida (y(t)). Este tipo de representación se conoce como
representación externa de los sistemas y considera únicamente la relación entre la salida y la entrada.
FUNCION DE TRANSFERENCIA
Se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de
Laplace de la entrada.
Relación entre las ecuaciones diferenciales y la función de transferencia Supongamos un sistema que puede
expresarse mediante la siguiente ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes: ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 b r t dt t r d b dt t r d b dt t r d b t y a dt t y d a dt t y d a dt t y d a m m m m m m n n n n n n + + + + = + + + + − − − − − − Sistema físico r(t) y(t)
Suponiendo las condiciones iniciales nulas y aplicando la propiedades de la transformada de Laplace (linealidad y diferenciación), la ecuación superior se convierte en una ecuación algebraica:
) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 1 1 1 0 1 1 1 0 s Y s a s Y s a sY s a Y s b s R s b s R s b s R s b R s a n + n− + + n− + n = m + m− + + m− + m
Sacando factor común Y(s) y R(s) en ambos lados de la ecuación
obtenemos la función de m m m m b s b s b s b s Y s G = = + + + − + − 1 1 1 0 ... ) ( ) ( FUNCION DE TRANSFERENCIA
Función de Transferencia
SISTEMAS ELECTRICOS Ejemplo: circuito RLC
∫
=
+
+
(
)
1
(
)
(
)
)
(
t
e
dt
t
i
C
t
i
R
dt
t
i
d
L
Transformada de Laplace)
(
)
(
)
(
)
(
E
s
s
C
s
I
s
I
R
s
I
s
L
+
+
=
Calculamos la función de transferencia que relaciona de la corriente I(s) frente a la tensión de entrada E(s):
1
)
(
)
(
)
(
2+
+
=
=
s
R
C
s
L
C
s
C
s
E
s
I
s
G
E(s) I(s) E(s) I(s) 1 2 + + s R C s L C s C G(s)SISTEMAS MECANICOS Transformada de Laplace
)
(
)
(
)
(
)
(
2s
P
s
kX
s
X
s
b
s
X
s
m
+
+
=
Calculamos la función de transferencia que relaciona de la corriente I(s) frente a la tensión de entrada E(s):
s
P
s
X
s
G
+
+
=
=
21
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2t
p
t
x
k
dt
t
x
d
b
dt
t
x
d
m
+
+
=
*condiciones iniciales nulas
P(s) X(s)
k
s
b
s
m
2+
+
1
SISTEMAS DE ORIENTACION: modelo reducido
Km
t
e
t
B
t
J
ϑ
&&
(
)
+
ϑ
&
(
)
=
(
)
Modelado de sistemas de orientación
Par motor Fuerzas
de inercia
Fuerzas fricción
ϑ(t)= angulo de giro antena
e(t)=error seguimiento
J= momento inercia (antena+motor) B= coef. de fricción (antena+motor)
Km= cte motor e(t) θ(t)
Antena
Angulo de posición Antena θSISTEMAS DE ORIENTACION: modelo reducido
Km
t
e
t
B
t
J
ϑ
&&
(
)
+
ϑ
&
(
)
=
(
)
Modelado de sistemas de orientación
Transformada de Laplace
Km
s
E
s
s
B
s
Js
2θ
(
)
+
θ
(
)
=
(
)
Calculamos la función de transferencia en lazo abierto que relaciona el ángulo de
posición θ(s) frente al error de seguimiento E(s):
