Figura 2. Funciones: Discontinua y Continua

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(1)

 

       

 

 

Continuidad  

 

 

por Oliverio Ramírez  

Figura 1.

En nuestra vida diaria utilizamos la palabra “continuo” para

referirnos a algo que transcurre sin detenerse o que no cambia de forma radical. Por ejemplo, decimos que el flujo en la carretera es continuo cuando no hay embotellamientos ni accidentes.

En el campo de las matemáticas el concepto de continuidad no es muy diferente. Una función es continua en un intervalo cuando en su gráfica no existen huecos o brechas que interrumpan su trayectoria.

Considera los siguientes ejemplos:

Figura 2. Funciones: Discontinua y Continua

Función

Discontinua

(2)

El punto en el que la gráfica de la función pierde continuidad se le conoce como punto de discontinuidad y se caracteriza porque en ese punto la función carece de límite.

A pesar de que la representación gráfica de una función es de gran ayuda en la comprensión del concepto de continuidad, no siempre es suficiente para determinar con exactitud los puntos en los que una función es continua y discontinua, por lo que para realizar un análisis de continuidad resulta necesario recurrir al cálculo de límites.

De forma general decimos que una función es continua en un punto, si se cumplen completamente las siguientes tres condiciones:

Observa los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Determina si x2+2x es continua en el punto x=3.

Solución

Para determinar si la función es continua en x=3, debemos evaluar las tres condiciones de continuidad. Condición 1 ¿Existe f(3)? f(x)=(3)2+2(3)= 9 + 6 = 15 sí existe Condición 2 ¿Existe x→3

Lim

x

2

+

2

x

?

lim

x→a

p(x)

=

p(a)

sí existe

Condición 3 ¿ f(3) y

x→3

Lim

x

2

+

2

x

son iguales ?

15=15 sí son iguales

Debido a que se cumplen las tres condiciones podemos decir que la función es continua en el punto x=3.

(3)

Ejemplo 2 Determina si

1

2

)

(

+

=

x

x

x

f

es continua en el punto x=2.

Solución

Para determinar si la función es continua en x=2, debemos evaluar las tres condiciones de continuidad. Condición 1 ¿Existe f(2)?

3

4

1

2

)

2

(

2

1

2

)

(

=

+

=

+

=

x

x

x

f

sí existe Condición 2 ¿Existe

1

2

2

+

x

x

Lim

x ?

3

4

1

2

)

2

(

2

1

2

2

=

+

=

+

x

x

Lim

x sí existe Condición 3 ¿f(2) y

1

2

2

+

x

x

Lim

x son iguales? 4/3=4/3 sí son iguales

Debido a que se cumplen las tres condiciones concluimos que la función es continua en el punto x=2.

Recuerden que de acuerdo con (Smith y Minton, 2000, p.102)

Para cualquier polinomio p(x) y cualquier número real a

lim

xa

p

(

x

)

=

p

(

a

)

De lo cual podemos deducir que “cualquier polinomio p(x) es continuo en cualquier número real de su dominio.” (Purcell, 2001, p.86).

Así pues, la complejidad de los problemas de continuidad radica en evaluar aquellas funciones que no se encuentran incluidas en este teorema, como las funciones racionales y las que involucran raíces cuadradas, por mencionar algunas.

(4)

Tipos de discontinuidad.

Al analizar la continuidad de una función matemática es posible identificar tres tipos comunes de discontinuidad:

Discontinuidad en un punto.

La discontinuidad es un punto se refiere a que la gráfica de una función no existe o no está determinada para un valor de x. Es recomendable construir siempre la gráfica de la función ya que en ocasiones este tipo de discontinuidad representa un pequeño salto en la gráfica o como se verá en el siguiente ejemplo un salto enorme.

(5)

Ejemplo 3 Determina si

3

)

(

2

=

x

x

x

f

es continua en el punto x=3 Condición 1 ¿Existe f(3)?

0

9

3

3

)

3

(

)

3

(

3

)

(

2 2

=

=

=

=

f

x

x

x

f

La función no está definida, es imposible dividir 9/0

No es necesario continuar revisando las siguientes condiciones, ya que no se cumplió con la primera de ellas.

En la gráfica el punto x=3, es el único en el que la función no es continua, por lo que decimos que es discontinua en un punto. ¿Conoces alguna otra gráfica que sea discontinua en un punto?

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

(6)

Discontinuidad en varios puntos.

En el ejemplo anterior, se analizó una función discontinua para un solo valor de x; la función que

se analiza a continuación presenta discontinuidades en dos puntos pero existen funciones que

presentan discontinuidad en más valores de x. Te invito a que analices la gráfica de una función

tangente.

Observa los siguientes ejemplos:

Ejemplo 4 Determina si

)

2

)(

1

(

)

(

+

=

x

x

x

x

f

es continua en los puntos x=-1 y x=2

Evaluamos la función en el punto x=-1

Condición 1 ¿Existe f(-1)?

0

1

)

3

)(

0

(

1

)

2

1

)(

1

1

(

1

)

2

)(

1

(

)

(

=

=

+

=

+

=

x

x

x

x

f

La función no está definida, es imposible dividir -1/0. Ahora, evaluamos la función en el punto x=2

Condición 1

0

2

)

0

)(

3

(

2

)

2

2

)(

1

2

(

2

)

2

)(

1

(

)

(

=

=

+

=

+

=

x

x

x

x

f

(7)

La función no está definida, es imposible dividir 2/0.

En la gráfica se observa que la función es discontinua en x=-1 y x=2, por lo que decimos que es discontinua en dos puntos. ¿Conoces alguna otra gráfica discontinua en varios puntos?

-8 0 8

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 4. Gráfica discontinúa a dos puntos

Discontinuidad en un intervalo.

Además de los casos anteriores en donde la discontinuidad de una función se presentó para valores específicos de la variable independiente, existen funciones que son discontinuas en rangos de valores, analiza el siguiente ejemplo.

Observa los siguientes ejemplos:

Ejemplo 5 Determina si

(

)

2

5

=

x

x

f

es continua en el punto x=0 Condición 1 ¿Existe f(0)?

5

5

0

5

)

0

(

5

)

(

2 2

=

=

=

=

x

x

f

La función no está definida dentro de los números reales ya que es imposible obtener la raíz cuadrada de un número negativo.

(8)

La gráfica de la función es discontinua en todo el intervalo [-2.23, 2.23], es decir, en todos los números comprendidos entre esos dos valores. Por lo tanto decimos que la función es discontinua en un intervalo.

0 5 10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 5. Gráfica discontinua a un intervalo

Puntos e intervalos de discontinuidad

Como te habrás dado cuenta, al estudiar funciones que involucran divisiones o raíces cuadradas es común encontrarse con puntos o intervalos de discontinuidad que pueden ser identificados gráficamente; sin embargo, para lograr una mayor exactitud e invertir menos tiempo en la determinación de una discontinuidad, resulta conveniente conocer y emplear los procedimientos analíticos que a continuación se te presentan:

Función racional

Para evaluar los puntos de discontinuidad en las funciones racionales nuestro centro de atención debe ser el denominador; es necesario preguntarse:

(9)

Ejemplo 6 Considera la función

2

5

)

(

+

=

x

x

x

f

Si queremos saber qué valores son los que hacen que el denominador sea igual a cero, sólo tenemos que seguir 2 sencillos pasos:

1. Iguala la expresión del denominador a cero. x -2=0

2. Despeja la ecuación para encontrar el valor (o los valores) de x x = 0 + 2

x = 2

El punto de discontinuidad para esta función es en x=2, ya que ese valor es el que hace que el denominador sea igual a cero.

Ejemplo 7

Encuentra los puntos de discontinuidad para la función:

1

1

3

)

(

2 2

+

+

=

x

x

x

x

f

Paso 1.- Igualar a cero la expresión del denominador. x2 - 1=0

Paso 2.- Despeja la ecuación para encontrar el valor (o los valores) de x x2 = 1

1

±

=

x

Debido a que se trata de una ecuación cuadrática la variable x tiene dos soluciones x1=1 x2=-1

Los puntos de discontinuidad para esta función son dos x=1 y x=-1, ya que ambos valores hacen que el denominador sea igual a cero.

(10)

Funciones con raíces cuadradas

Para evaluar los puntos de discontinuidad en este tipo de funciones nuestro centro de atención debe ser la expresión dentro de la raíz, llamado radicando; es necesario preguntarse:

¿Qué valores son los que hacen que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea negativa? Ejemplo 8

Considera la función

x

x

f

(

)

=

6

2

Si queremos saber qué valores son los que hacen que el radicando sea negativo, primero determinemos los valores que lo hacen igual a cero.

1. Igualar a cero la expresión dentro de la raíz 6-2x =0

2. Despejar la ecuación para encontrar el valor (o los valores) de x 6=2x

x = 6/2 x = 3

El valor de x=3 es el que hace que el valor de la función sea exactamente igual a cero, por lo que cualquier valor por encima de 3, hará que la función sea negativa (considera por ejemplo, el valor de x=3.1,

f

(

3

.

1

)

=

6

2

(

3

.

1

)

=

6

6

.

2

=

0

.

2

). En este caso decimos que el intervalo de

discontinuidad para la función es (3,∞), ya que todos los valores por encima de 3, ocasionan que la función no esté definida.

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Referencias    

Ayres, F. y Medelson, E. (1991). Cálculo diferencial e integral. México: Mc Graw-Hill. Fuenlabrada, S. (2001). Cálculo Diferencial. México: Mc Graw-Hill Interamericana Purcell, E.; Varberg, D.; Rigdon, S. (2001). Cálculo [libro en línea]. Disponible en: http://www.bibliotechnia.com/bibliotechnia20/index.php [27 de Julio de 2010] Smith, R. y Minton, R. (2000). Cálculo. Colombia: Mc Graw-Hill.

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