Segura - 2012 -- Fundamentales Economia computacional -- Practicing-GAMS.pdf

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Elementos de Econom´ıa Computacional:

Aplicaciones Fundamentales

J.C.Segura-Ortiz

*

Programa de Econom´ıa, Universidad de La Salle, Bogot´

a, D.C.

[email protected]

21 de julio de 2011

Resumen

Las aplicaciones de Econom´ıa Computacional son cada vez más fre-cuentes en el análisis económico moderno y suelen ser utilizados para ofe-cer contribuciones a la evaluaciónex-ante/ex-postde decisiones de pol´ıtica que involucran agentes cuyas conductas son susceptibles de ser represen-tadas mediante problemas de optimización. Se ofrece una serie de modelos matemáticos, computables, completamente especificados y parametriza-dos, y la forma de ponerlos en términos de un lenguaje de computadora para obtener sus soluciones numéricas y para adelantar posteriormente ejercicios de contrafactuales simulación utiles al análisis estratégico de pol´ıtica.

1. Presentaci´

on

En econom´ıa computacional la metodolog´ıa general puede describirse de mo-do sucinto as´ı: dada una pregunta objetiva sobre el munmo-do económico real y dada laadopción de una serie de proposiciones teórica que según estimación del anal-ista pueden explicar el comportamiento del sistema a representar, se adopta para ésta una especificación matemática particular y se añaden datos reales para su parametrización numérica; las soluciones son posteriormente generadas por una aplicación de computadora. Luego de obtener la debenchmark, se simulan cam-bios en los resultados iniciales mediante la introducción de modificaciones en el ambiente económico recreado en el modelo a través de cambios en los valores de los parámetros que caracterizaron la solución inicial. El analista compara los resultados del equilibriocontrafáctico con los del equilibrio debenchmark, y con los resultados de la comparación, concluye y recomienda.

*_{Director CIDES, —Centro de Estudios en Econom´ıa Social— Universidad de La Salle,}

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Una amplia oferta de software comercial hace posible tratar con modelos computacionales de diferentes dimensiones; con mayor o menor dificultad pa-quetes comoMatLab,Mathematica o Gauss, entre muchos otros, pueden servir al propósito descrito. Sin embargo, si se quiere flexibilidad, el GAMS, un potente lenguaje desarrollado por economistas matemáticos bajo el auspicio del Banco Mundial a comienzos de los 80s, es una respuesta de ampl´ısimas posibilidades que serán exploradas en este documento.

Se introduce el uso del GAMS en econom´ıa computacional, parametrizando y resolviendo una serie de ejemplos esenciales en econom´ıa que pueden luego ser incorporados y articulados en aplicaciones computables como modelos Aplica-dos de Equilibrio General (AGE), modelos multisectoriales, modelos de equilib-rio parcial, modelos de din´amicos (de naturaleza recursiva o intertemporal) de crecimiento, entre otros.

En la siguiente sección se ofrece una introducción al lenguaje GAMS y a los elementos sintácticos que lo constituyen, en el contexto del problema neoclásico de la elección del consumidor. En cualquier caso una introducción bastante pop-ular es provista en Rosenthal (1988)1 en donde se trata el modelo de tranporte de George Dantzig de modo intuitivo y eficaz en lo que refiere al lenguaje GAMS en la visión de la programación matemática; no obstante, se quiere ambientar la presente introducción a la econom´ıa computacional con ejemplos que pueden re-sultar mucho más familiares al economista tipo. En la tercera sección se presenta el mismo modelo en una versión más compacta que explora el uso de conjun-tos; al mismo tiempo el modelo se formula tanto como un Problema No Lineal (NLP2_{) t´ıpico, cuanto como un Sistema no Lineal Restringido (CNS}3_{). La} sec-ción cuarta produce un modelo de equilibrio de intercambio puro mientras que la sección quinta trata una econom´ıa con producción. Una sección subsiguiente trata modelos multisectoriales del tipo de InsumoProducto de Leontief y de la clase de Equilibrio General Computable. La sección final presenta modelos en los que la dinámica es introducida en forma recursiva y en forma intertemporal.

2. Teor´ıa Econ´

omica y Econom´ıa Computacional

Las aplicaciones de computador para la solución de sistemas numéricos sue-len procesar una serie de ordenes que tienen por propósito resolver num´

erica-mente un modelo matemático. Al tratarse de modelos numéricos, la solución

debe ser computada y el modelo matemático, que ha de estar perfectamente especificado en sus aspectos teórico, funcional y paramétrico, debe ser puesto en términos que el computador pueda comprender. La econom´ıa computacional tiene que ver con la solución numérica de modelos de econom´ıacompletamente

especificados.

1_{R. E. Rosenthal (1988). C}_{¸ hapter 2: A GAMS Tutorial”. GAMS: A User’s Guide. The}

Scientific Press, Redwood City, California.

2_{Non Linear Program}

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2.1. El problema del consumidor: especificaci´

on te´

orica

Considere el modelo neocl´asico de la demanda individual. Se supone que un agente representativo elige una cesta de bienes x = {x1, x2, ..., x`} que se

encuentra en el conjunto de mercanc´ıas disponible, que consta de`elementos, es decir, de`mercanc´ıas distintas.

Si se acepta que cualquier número real puede representar alguna cantidad de mercanc´ıa y que al considerar males estos pueden entrar en la cesta de consumo aludiendo al beneficio de sueliminación, —la recolección de basuras, por ejemplo—, entonces el conjunto de elección del consumidor t´ıpico es un conjunto X = R`+. En otros términos, en el modelo presente el conjunto de elección es el de todos los vectores de valor real en el espacio euclideano de`, o lo que es lo mismo, x∈R`+. Cada mercanc´ıa tiene asociado un único precio dado lo cual, un vector de precios es también un vector p ={p1, p2, ..., pk, ..., p`} de

R`+. Con un nivel de riqueza predeterminado,M, el consumidor debe elegir un vector de mercanc´ıas que no cueste m´as que su riqueza:

P`

k=1pkxk≤M (1)

Con su elecci´on, el consumidor busca maximizar su bienestar, representado por una funci´on de valor real,u: _R`

+ =⇒R que convierte vectores de R`+ en números reales. La función se supone monotónica creciente y estrictamente cua-sicóncava con lo que mayores cantidades de bienes suponen mayores niveles de

u, que se conoce comofunción de utilidad; la cuasiconcavidad estricta garantiza que de existir solución, ésta será única. El problema del consumidor, consistente en maximizar la función de utilidad eligiendo sujeto a la restricción (1) puede ponderse en términos muy generales de la siguiente forma:

m´ax

xk∈R`

u(xk) (2)

sujeta a:

P`

k=1pkxk≤M (3)

La solución de este problema es una cesta óptima de bienes, maximizadora de la utilidad que var´ıa en forma cont´ınua con los precios y con el ingreso, x∗(p, M) que se denomina función de demanda del consumidor o bien función

de demanda Marshallianadel consumidor.

2.2. Especificaci´

on Funcional

El modelo compuesto por el objetivo (2) y la restricci´on (3) involucra una

especificaci´on te´oricaque admite una familia completa de soluciones de la forma

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que son valores predeterminados que, al definir elconjunto de salida, tambi´en definen elconjunto de llegada del modelo.

El considerar como un todo el modelo propuesto es fácil comprobar que si bien la especificación teórica es suficiente la especificación funcional es in-completa pues aún cuando para la restricción se ha definido teóricamente una

combinaci´on lineal entre precios y cantidades, —se ha adoptado unaforma

lin-eal para la función de presupuesto—, de la función de utilidad, solo se sabe que debe ser cont´ınua, monótona y estrictamente cuasicóncava. Sugún se sabe, existe una gran familia de funciones de valor real que cumplen con estas carac-ter´ısticas; la función del tipo Cobb-Douglas es una de ellas. Si se adopta, por ejemplo, esa forma funcional, el problema de maximización puede formularse ahora de la siguiente manera:

m´ax

u (x) =

Q`

k=1x

αk

k ∀k= 1,2, ..., ` (4) sujeta a:

P`

k=1pkxk≤M (5)

El modelo (4)-(5) es una posible especificación funcional que corresponde al modelo teórico (2)-(3); en efecto, la función objetivo pudo haber correspondido, por ejemplo a formas alternativas como las CES, Trascendental Logar´ıtmica, cuasi-lineal, etc., en tanto que la restricción bien podr´ıa haber incluido algunos tramos no lineales, caso en el cual, la forma funcional ser´ıa perfectamente dis-tinta. La solución anal´ıtica del problema (4) (5) implica la construcción de la función de Lagrange usual y la solución del sistema de ecuaciones a que da lugar el conjunto de condiciones rlevantes para óptimo que caracterizan la solución. En el caso Cobb-Douglas, la solución es un vector de demandas de la forma,

x∗k(p, M) = αkM

pk

para todas y cada una de las k = 1, .., ` mercanc´ıas en x. Note que la solu-ci´on anal´ıtica del problema funcionalmente especificado da lugar a familias de soluciones que dependen de los valores, en el caso Cobb-Douglas presente, de los par´ametrosαk,pkyM, i.e., cuando el consumidor tiene preferencias que pueden

ser representadas por una funci´on del tipo Cobb-Douglas, su demanda por la

k-ésima mercanc´ıa es una función cont´ınua del precio de la k-ésima mercanc´ıa, de la intensidad de su preferencia por ese bien,αk y del nivel de riquezaM.

2.3. Parametrizando el Modelo

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Avanzando a la especificación completa del modelo, una especificación num´ eri-ca de los parámetros es necesaria. Un modelo matemático está conformado

grosso modo por ecuaciones y variables. Las variables, a su vez, pueden ser

tenidas en cuenta comoexógenasyendógenas. Las variables endógenas son las soluciones del modelo, e.g., las demandas por las k mercanc´ıas en el modelo actual en tanto que las variables exógenas son valores predeterminados que de-finen, tanto el conjunto de elección, —el conjunto de salida—, cuanto el conjunto de llegada, —el rango de soluciones—.

Una revisión adicional del modelo (4),(5) hace posible identificar una serie de parámetros suceptibles de serasignados numéricamente:

El n´umero de mercanc´ıas,`

Los precios de las`mercanc´ıas,pk,

El ingreso del consumidorM, y

El juego de par´ametrosαkque caracterizan las preferencias Cobb-Douglas por el bienk-´esimo.

Suponga que el consumidor del ejemplo debe elegir las cantidades de `=3 mercanc´ıas, que la riqueza del consumior esM=100, que el precio de cada una de ellas está dado por el vector p ={1,4,3}; finalmente, para los exponentes de las mercanc´ıas en la función de utilidad se ha elegido el vectorα={0,5,0,3,0,2}. Con el valor deelldefinido, la especificación funcional del modelo es, finalmente:

m´axu(x1, x2, x3) =xα11x

α2

2 x

α3

3 (6)

sujeta a:

p1x1+p2x2+p3x3≤M (7) Reemplazando los valores definidos para p,M yαla versi´oncompletamente

parametrizadadel modelo queda,

m´axu(x1, x2, x3) =x01,5x 0,3 2 x

0,2

3 (8)

sujeta a:

x1+ 4x2+ 3x3= 100 (9)

En la cual se ha cambiado ”≤”gracias a la monoton´ıa de las preferencias, i.e., gracias a que el modelo teórico garantiza que en el equilibrio, el consumidor ha de gastar toda su riqueza. La solución de papel y lápiz implica construir la función de lagrange correspondiente,

L(x1, x2, x3;λ) =x01,5x 0,3 2 x

0,2

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∂L ∂x1

= 0,5x−₁0,5x₂0,3x0₃,2−λp1= 0 (11)

∂L ∂x2

= 0,3x0₁,5x₂−0,3x0₃,2−λp2= 0 (12)

∂L ∂x3

= 0,2x0₁,5x₂0,3x−₃0,2−λp3= 0 (13)

∂L

∂λ =x1+ 4x2+ 3x3−100 = 0 (14)

La soluci´on, luego de operar sobre el sistema, como es la costumbre es (x∗₁, x∗₂, x∗₃;λ∗) = (50, 7.5 ,6.6; 0.19).

2.4. Implementaci´

on en GAMS

La solución numérica del modelo es viable siempre que sus dimensiones sean tratables. En el caso presente, el problema matemático consiste en encontrar un vector (x∗₁, x∗₂, x∗₃;λ∗) tal que el sistema de ecuaciones (11) a (14) sea igual a cero, cuestión que involucra la solución de un sistema de cuatro ecuaciones para cuatro variables. Las condiciones teóricas que se imponen garantizan que existirá solución, unica y estable. Suponga, sin embargo, que el número de mer-canc´ıas incluidas aumenta a ` = 4: las dimensiones sistema de ecuaciones a resolver aumentan y con ello la dificultad para encontrar la solución que, de cualquier modo, puede ser sobrellevada haciendo uso de un computador.

El GAMS es un lenguaje de alto nivel, —esto es, un lenguaje más próximo al lenguaje humano que al lenguaje de máquina—, con el que es posible formu-lar y resolver numéricamente modelos matemáticos como, precisamente, aquél que trata la presente introducción. La implementación computable del modelo exige, como en cualquier otro tipo de lenguaje para la computación técnica, un proceso de declaración de las entidades del modelo y su asignación numérica previo a su utilización. Quiere decir que cualquier parte del modelo no declarada o asignada será desconocida por el procesador que habrá de generar un men-saje de error. Por lo demás, dado el modelo teórico, el lenguaje implementa la especificación numérica y la especificación funcional y lo resuelve haciendo uso métodos numéricos t´ıpicos.

En el caso que se está tratando, se definen inicialmente los parametros del modelo para, inmediatamente, hacerlos sujetos de asignación numérica. Trat´ ando-se en realidad de datos de un modelo, el GAMS ofrece distintas formas de in-troducción, que incluyen la lectura desde una base de datos externa. Además, los datos pueden ser escalares, vectores o matrices. Por ejemplo, en el caso del modelo del consumo, la lista de parámetros está definida por la listaM=100, e ingreso, p ={1,4,3}el vector de precios de las mercanc´ıas yα={0,5,0,3,0,2}

que es el vector de exponentes en la funci´on de utilidad.

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*--- Elecci´on del Consumidor: Un modelo escalar de tres mercancias

*--- Secci´on 1: Par´ametros del Modelo

*--- Declaraci´on de Par´ametros parameters

M Ingreso del Consumidor p1 Precio de la Mercanc´ıa 1 p2 Precio de la Mercanc´ıa 2 p3 Precio de la Mercanc´ıa 3

alpha1 Exponente de la Mercanc´ıa 1 en la función de Utilidad alpha2 Exponente de la Mercanc´ıa 2 en la función de Utilidad alpha3 Exponente de la Mercanc´ıa 3 en la función de Utilidad ;

*--- Asignación numérica de los parámetros M = 100.0;

p1 = 1.0; p2 = 4.0; p3 = 3.0; alpha1 = 0.5; alpha2 = 0.3; alpha3 = 0.2;

display M, p1, p2, p3, alpha1, alpha2, alpha3;

Figura 1.— Declaración y asignación de parámetros

La pieza de código de laFigura 1 contiene dos distintos tipos de acciones. La primera de ellas consiste en declarar la existencia de una serie de parámetros, cuestión que comienza haciendo uso del verbo((parameter)), seguido de la lista de parámetros a utilizar; no deje de notar que a la declaración de un parámetro sigue una descripción (opcional) que ilustra sobre el rol del parámetro en el modelo. La declaración de los parámetros concluye con el s´ımbolo,((;)), al final de la lista. La segunda acción consiste en asignar calor numérico a cada uno de los elementos de la lista de parámetros declarados, lo cual es tan sencillo como poner ((alpha2 = 0.3;)) en el caso del exponente de la mercanc´ıa 2 en la función de utilidad. Al finalla acción de parametrización se ha reducido a la construcción de una lista de elementos a la que corresponde una serie de valores numéricos. Es de notar aqu´ı que todo comando termina con((;)).

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Con la parametrización numérica el modelo de ejemplo ha tornado una es-pecificación funcional tan general como el modelo (6),(7) en una cuya solución numérica es susceptible de sercomputadacomo, precisamente el modelo (8),(9). En particular, se quiere saber cuáles son los valores dex1, x2, x3que maximizan (8) y que, dados los precios de mercado, no cuestan más que el ingreso del consumidor.

Para la especificación de modelo propiamente dicho, se precisa de la declaración de las entidades que lo estructuran y conforman,v.g. variables (endógenas) y ecuaciones. LaFigura 2 contiene una pieza de código GAMS que representa el modelo como una relación entre ecuaciones y variables endógenas y exógenas. Al igual que en el proceso de parametrización, es necesario declarar la existen-cia de una entidad determinada, —un parámetro, una variable, una ecuación—, antes de ser utilizada. Una lógica m´ınima exige que las primeras entidades a declarar son las variables endógenas que es lo que se hace al invocar el verbo

((variables)) para, a reglón seguido, escribir la lista de las variables de interés junto con su descripción (opcional), finalizando la lista con((;)).

El conjunto de ecuaciones que estructuran el modelo se introduce en GAMS declarando su existencia y especificando las relaciones funcionales entre variables exógenas (ó parámetros) y variables endógenas que lo estructuran. El conjunto de ordenes entre el verbo((equations))y el cierre del comando,((;))contiene la lista de ecuaciones que el analista quiere introducir y una descripción (opcional) de la misma: en nuestro caso, las ecuaciones a incluir son la función de utilidad (ecuación (8)) y la restricción de presupuesto (ecuación (9)).

*--- Secci´on 2: Especificaci´on del Modelo

*--- Definici´on de variables end´ogenas

variables

u Variable objetivo - utilidad x1 Cantidad de Mercanc´ıa 1 x2 Cantidad de Mercanc´ıa 2 x3 Cantidad de Mercanc´ıa 3;

*--- Definici´on Funcional del Modelo

equations

u_eq Funci´on Objetivo (Ecuaci´on 6 en el texto)

m_eq Restricci´on de Presupuesto (Ecuaci´on 7 en el texto) ;

u_eq.. u =e= x1**alpha1*x2**alpha2*x3**alpha3;

m_eq.. p1*x1 + p2*x2 + p3*x3 =e= M;

model utilidad / u_eq, m_eq /;

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A la declaración de ecuaciones sigue la especificación funcional, esto es, la expresión que en el modelo anal´ıtico (ecuaciones (8) y (9)) tiene cada ecuación. A diferencia de los libres de texto, en el GAMS las ecuaciones no se identifican con números sino con los nombres que han sido sujeto de especificación en la aplicación del comandoequations.

Como ya resulta habitual, luego de la declaración de las ecuaciones, sigue su especificación funcional, cuestión realmente fácil de lograr, según se puede comprobar en laFigura 2. La sintaxis del lenguaje GAMS busca que la especi-ficación algebráica de una entidad determinada en el modelo sea análoga a la que se presenta en un libro de texto.

No obstante hay que tener en cuenta algunas convenciones espec´ıficas al GAMS como, entre otras, la forma como se introducen las relaciones entre la-dos derecho e izquierdo de las ecuaciones del modelo. As´ı, el s´ımbolo ((=e=))

representa al operador binario((=)), el s´ımbolo((=g=))al operador((≥)), y el sim-bolo ((=l=)) al operador((≤)). El modelo comprende un conjunto de ecuaciones estructuralmente coherentes que se recogen mediante la instrucci´on,

model utilidad / u_eq, m_eq /;

que literalmente dice: ((el modelo “utilidad” consta de las ecuaciones u eq y m eq)). El modelo queda formalmente especificado en lenguaje GAMS con estos comandos si bien es preciso tener en mente que el proceso de solución comienza con una evaluación numérica inicial del modelo que en ausencia de

unainicializaciónde las variables endógenas, se obtendrán muy probablemente

mensajes de error atinentes a problemas numéricos como la evaluación de una división por cero, por ejemplo. En GAMS, toda variable tiene asociada unabase

de datos que registra el valor actual de la variable, as´ı como los valores m´aximo

y m´ınimo entre los cuales la variable puede adoptar valores. El nombre de una variable seguido de los sufijos ((.lo)), ((.l)) o ((.up)) indica el valor m´ınimo, el nivel o el valor superior de la misma. As´ı, si la variable de inter´es, es((x))entonces los registros((x.lo)),((x.l))o((x.up))almacenar´an los l´ımites inferior y superior entre los cuales la variable puede tomar valores (((x.lo)), ((x.up))) y el valor actual de la variable.

Las variables endógenas del modelo actual son los consumos de mercanc´ıas que maximizan la utilidad,((x1,x2,x3))y su inicialización se logra mediante una asignación simple:

*--- Inicializacion de variables end´ogenas x1.l = 0.01;

x2.l = 0.01; x3.l = 0.01;

Luego de esta asignaci´on deinitial guesses, es posible invocar al solucionador con una orden sencilla e intuitiva:

solve utilidad using nlp maximizing u;

Que literalmente traduce ((resuelva el modelo “utilidad” utilizando un

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cual el analista pasa el control al GAMS que ofrece las respuestas, i.e., los val-ores de las variables endógenas que resuelven el modelo. La salida del proceso computacional es registrada en un archivo de texto que contiene varias partes incluyendo en forma opcional el código completo del modelo y una tabla de ref-erencias cruzadas de parámetros, ecuaciones y variables que ayudan aldebugging

del programa. Aparte de esta información se resaltan tres bloques de informa-ción relevantes: el reporte de estad´ısticas del modelo, el resumen del proceso de solución y el reporte de respuestas, que incluye el valor final de las ecuaciones y de las variables. En laFigura 3 se presenta el primero de estos reportes:

MODEL STATISTICS

BLOCKS OF EQUATIONS 2 SINGLE EQUATIONS 2 BLOCKS OF VARIABLES 4 SINGLE VARIABLES 4 NON ZERO ELEMENTS 7 NON LINEAR N-Z 3 DERIVATIVE POOL 9 CONSTANT POOL 18 CODE LENGTH 29

Figura 3.— Estad´ısticas del Modelo

Por ser un modelo construido sobre una aproximación escalar (en oposición a vectorial), el número de bloques de ecuaciones es igual al número de ecua-ciones individuales, es decir cada ecuación constituye en si misma un bloque de ecuaciones; al mismo tiempo, y por la misma razón, el número de bloques de variables es el mismo número de variables individuales que en este caso son cuatro: la variable objetivo y los tres niveles de consumo. El resto de la infor-mación que hace referencia a distintas dimensiones del sistema de ecuaciones a solucionar no es relevante por el momento si bien su discuión aparece en el Manual de Usuario del GAMS. Por su parte, el resumen del proceso de solución aporta una cantidad adicional de datos de interés:

S O L V E S U M M A R Y

MODEL utilidad OBJECTIVE u TYPE NLP DIRECTION MAXIMIZE SOLVER PATHNLP FROM LINE 55

**** SOLVER STATUS 1 Normal Completion **** MODEL STATUS 2 Locally Optimal **** OBJECTIVE VALUE 18.9141

RESOURCE USAGE, LIMIT 0.093 1000.000 ITERATION COUNT, LIMIT 5 2000000000 EVALUATION ERRORS 0 0

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La primera parte de este reporte arroja información sobre el trabajo que acaba de culminar: registra el nombre del modelo, el tipo de modelo, el solucionador utilizado, el nombre de la variable objetivo, la dirección de a optimización (min-iminzar, maximizar) y la l´ınea de código donde aparece la orden de solución. La segunda parte comunica que, en el caso presente, el solucionador terminó en frma normal el proceso, que la solución del modelo es, como en el caso de los NLP, localmente óptima (en el caso de la programa ción lineal o ”LP.el_estatus deseable es ”Globalmente Óptimo”, por ejemplo) y el valor final de la variable objetivo. Al final se propocionan algunos datos del esfuerzo relativo del proce-sador que fué del 0.0093 % (es decir, un modelo de facil solución), del número de iteraciones necesarias para llegar a la solución (5 de 2 mil millones posibles) y el número de errores en la evaluación numérica del proceso, en este caso, ninguno. El examen de los reportes es indispensable porque da cuenta de si el pro-ceso numérico se ha logrado de manera correcta y garantiza que los resultados numéricos del modelo es coherente con las respuestas esperadas desde la proposi-ción teórica que constituye el punto de partida del análisis. Una vez verificado el exito en este particular, resulta procedente ahora examinar las soluciones del modelo:

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- EQU u_eq . . . 1.0000

---- EQU m_eq 100.0000 100.0000 100.0000 0.1891

m_eq Restricci´on de Presupuesto (Ecuaci´on 7 en el texto)

---- VAR u -INF 18.9141 +INF .

---- VAR x1 -INF 50.0000 +INF .

---- VAR x2 -INF 7.5000 +INF .

---- VAR x3 -INF 6.6667 +INF .

u Variable objetivo - utilidad x1 Cantidad de Mercanc´ıa 1 x2 Cantidad de Mercanc´ıa 2 x3 Cantidad de Mercanc´ıa 3

**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT 0 INFEASIBLE 0 UNBOUNDED 0 ERRORS

Figura 5.— Soluciones Num´ericas del Modelo

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caso de la función objetivo que es efectivamente la función de utilidad, el valor reportado bajo la columnaLEVELes cero (”.”) indicando que el lado izquierdo de la ecuación, que es una variable libre, y el lado izquierdo que es una relación funcional entre variables endógenas y parámetros, resultaron iguales, dadoslos valores finales de las variables de elección. En el caso de la restricción de pre-supuesto, el valor final de la ecuación es 100, — el valor parametrizado del ingreso —, indicando que la relación entre precios y cantidades (óptimas) en la función de presupuesto se satisface con igualdad.

Bajo la columnaMARGINALse reportan los multiplicadores duales (o de La-grage) del problema. Note que el de la funci´on objetivo es ((1)), de modo que la respuesta a la preguntacu´anto cambia la utilidad cuando la utilidad cambia

marginalmente? es 1, es decir, el 100 %. El multiplicador dual de la restricci´on

de presupuesto dice que el aumento de una unidad monetaria de ingreso supone un mejoramiento de la utilidad de 0,19. No deje de tener en cuenta que valores marginales iguales a cero en las ecuaciones indican que la restricción asocia-da no está activa, problema que se origina en un mal proceso de modelaje en cualquiera de sus etapas. La segunda parte del reporte registra los valores de equilibrio de las variables endógenas y el rango en el cual pueden variar, en este caso el intervalo, (−∞,+∞).

Las últimas lineas al final de este reporte hacen enfasis en que no hubo ele-mentos no óptimos, ninguna solución tiene elementos fuera del conjunto factible, no hubo problemas de acotamiento y, en suma, que no hubo errores. El código completo del programa aparece en la figura a continuación:

2.5. An´

alisis de Sensibilidad

Suponga que quiere saber cómo cambia la demanda del consumidor cuando, por el ejemplo, el ingreso se reduce en $20 mientras que los precios de las mer-canc´ıas 1 y 3 se reducen a la mitad, un ejercicio de análisis de sensibilidad t´ıpico en este modelo. Del modelo teórico se deriva que, por un lado, el consumo no aumenta cuando el ingreso disminuye mientras que las demandas mantienen una relación inversa con los precios, por otro. Sin embargo, una respuesta espec´ıfica a la pregunta concreta que se ha formulado puede ser dif´ıcilmente provista, — aún en estos casos elementales—, en ausencia de computaciones numéricas con el modelo. Parte de la metodolog´ıa en Econom´ıa Computacional evalúa com-paraciones entre los escenarios básico y contrafáctico mediante aplicaciones que involucran cambiar valores de los parámetros que definen la especificidad del modelo.

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*--- Valores alternativos de los par´ametros M = M*0.8;

p1 = p1*0.5; p3 = p3*0.5;

solve utilidad using nlp maximizing u;

La soluci´on alternativa es la que aparece en la siguiente figura:

---- EQU u_eq . . . 1.0000

---- EQU m_eq 80.0000 80.0000 80.0000 0.3073

m_eq Restricci´on de Presupuesto (Ecuaci´on 7 en el texto)

---- VAR u -INF 24.5808 +INF .

---- VAR x1 -INF 80.0000 +INF .

---- VAR x2 -INF 6.0000 +INF 5.6227756E-8

---- VAR x3 -INF 10.6667 +INF .

u Variable objetivo - utilidad x1 Cantidad de Mercanc´ıa 1 x2 Cantidad de Mercanc´ıa 2 x3 Cantidad de Mercanc´ıa 3

Figura 6.— Soluciones Num´ericas del Modelo Alternativo

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---- 89 PARAMETER reporte Un Reporte de Resultados

Base Alt

M 100.000 80.000 p1 1.000 0.500 p2 4.000 4.000 p3 3.000 1.500 x1 50.000 80.000 x2 7.500 6.000 x3 6.667 10.667 u 18.914 24.581

La contrucción de reportes más elaborados es, naturalmente, posible pero el trabajo adicional es proporcional al detalle de que se quiere incluir en estos resúmenes. En efecto, con los datos de la tabla anterior es fácil construir indi-cadores de bienestar t´ıpicos (Variación Equivalente / Variación Compensada) y un sinnúmero de datos a gusto del analista resultando, en adición, posible exportar los datos de salida a archivos de hoja electrónica que pueden facilitar los trabajos de consolidación de la información. El conjunto completo de or-denes se reune en un archivo de texto con extensión GAMS que es susceptible de ser editado con una interfase de usuario como épsilon o cualquier otro de su predilección; en todo caso, la versiónde la casa de GAMS incuye el GAMS-IDE (GAMS Interactive Developer Environment) que es una interface de un muy flexible manejo. El codigo GAMS completo, incluida una serie de instrucciones que prepara un reporte post-cómputo para la comparación de los equilibrios inicial y contrafáctico aparece en el apéndice A.

3. El Modelo del Consumidor Revisado

La versión del problema del consumidor de la sección previa adopta una aproximaciónescalar, esto es, que representa las variables endógenas y exógenas del modelo como entidades individuales que no pertenecen en forma expl´ıcita a ningún conjunto predefinido. Sin embargo, la discusión teórica del acápite 2.1. establece con claridad que las mercanc´ıas hacen en realidad parte de un subconjunto de los reales bien definido conèlementos a los cuales corresponden

`precios. En oposición al modelo representado por las ecuaciones (6)-(7) de la sección 2.3. supra, se quiere una representación más compacta como la de las ecuaciones (4)-(5) en la sección 2.2. en las que sumas y productos aparecen como operadores sobre un conjunto espec´ıfico.

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3.1. Modelo del Consumidor en Formato Vectorial

Un consumidor representativo elige una cesta de bienes x ={x1, x2, ..., x`}

que se encuentra en el conjunto de mercanc´ıas disponible, que consta de` el-ementos, es decir, de ` mercanc´ıas. Una primera convención sobre la que se precisa llamar la atención es que en GAMS, la notación de los conjuntos es equivalente a los subindices en el álgebra corriente, si bien constituyen series de elementos sobre los cuales se hacen operaciones. La definición de un conjunto se hace utilizando el verbo set seguido del nombre del conjunto, de una de-scripción opcional del mismo y de la lista de sus elementos. En el caso de las mercanc´ıas del modelo del consumidor, esta orden es:

set k Mercanc´ıas /1,2,3/;

en donde se dice que el conjuntok consta de los elementos 1,2,3. Una forma de definir el mismo conjunto es:

set k Mercanc´ıas /1*3/;

que dice que todos los elementos del 1 ((hasta)) el 3, están en el conjunto k. La parametrización hace eco de esta nueva circunstancia. En efecto, hay un precio en la restricción presupuestal, y un exponente en la función de utilidad para cada mercanc´ıa, i.e., para cada elemento del conjunto recién definido. La siguiente pieza de código muestra la implementación de la definición y asignación de parámetros del modelo:

*--- Definici´on de Conjuntos

set k Mercanc´ıas /1,2,3/;

*--- Declaración y asignación numérica de parámetros. parameter

p(k) Precio de la Mercanc´ıa k-´esima / 1 1.0

2 4.0 3 3.0 /

alpha(k) Exponente de la mercanc´ıa k en la funci´on de utilidad / 1 0.5

2 0.3 3 0.2 / ;

scalar M Ingreso del consumidor /100/;

Figura 7.— Parametrizaci´on Vectorial del Modelo

(16)

como un vector con tres elementos,p(k). Los exponentes de cada mercanc´ıa en la función de utilidad reciben un tratamiento análogo y se notan alpha(k). A la declaración de cada parámetro sigue una asignación numérica cuya sintáxis exige relacionar con cada elemento del conjuntok el valor del parámetro siendo importante señalar que la lista de valores de cada parámetro y los elementos del conjunto de referencia al que correponden, han de escibirse entreslasheso barras inclidadas;la asignación de estas listas inicia con el verbo((parameter))y termina con((;)). El ingreso, en el esquema marshalliano es un escalar y se declara bajo esa convención utilizando el verbo scalar seguido del nombre del parámetro, una descripción (opcional) del mismo y su valor, entre barras inclinadas. Como es de esperar las variables endógenas del modelo se declaran de acuerdo con sun naturaleza, ya sea esta escalar, como en el caso de la utilidad, o vectorial, en el caso de los elementos de la cesta de consumo que han de maximizar la función objetivo. No deje de observar que la declaración comienza con el verbo

((variables))y termina, como en los casos anteriores con((;))

*--- Definici´on de variables end´ogenas

variables

u Variable objetivo - utilidad x(k) Demanda de Mercacn´ıa k-´esima;

Figura 8.— Declaraci´on de Variables

Como en el caso escalar, hay cuatro variables: el indicador de utilidad,((u)) y los cuatro elementos del vector((x(k))), que son los consumos de las tres mer-cacn´ıas que optimizan el bienestar del consumidor. Las ecuaciones del modelo se formulan aprovechando la notación vectorial. Se pide comparar la formulación a continuación con la del modelo en la versión escalar, y con el modelo (4)-(5):

equations

m_eq Restricci´on de Presupuesto (Ecuaci´on 5 en el texto) ;

u_eq.. u =e= prod(k, x(k)**alpha(k));

m_eq.. sum(k, p(k)*x(k)) =e= M;

(17)

No obstante las evidentes diferencias en la definición operacional de las ecua-ciones del modelo respecto de la versión escalar, la declaración del modelo a solucionar es idéntica. Por otra parte, la inicialización de las variables, que se ha impuesto como una conveniente ayuda a las computaciones numéricas, resulta más compacta por virtud de la utilización de conjuntos que facilita el lenguaje puesto que la orden,

x.l(k) = 0.01;

comparada con la serie de asignaciones,

x1.l = 0.01; x2.l = 0.01; x3.l = 0.01;

es efectivamente mucho más compacta y fácil de implementar: simplemente piense que el número de mercados aumenta a 20 o 30 y que el número de agentes que concurren a los mercados del modelo asciende una o dos decenas. Es de esperarse también que las salidas numéricas sean reportadas en los grupos indicados. De una ojeada a las estad´ısticas del modelo:

MODEL STATISTICS

Figura 10.— Maximizaci´on de la Utilidad: Estad´ısticas del Modelo Vectorial

Una diferencia fundamental respecto de la versión escalar del modelo es que si bien hay tantos ((bloques)) de ecuaciones cuanto de ecuaciones individuales, las variables aparecen agrupadas de un modo que refleja la estratégia de mod-elamiento porque si bien se registra que se han declarado en efecto dos bloques de ecuaciones, ((u)) y ((x(k))), en realidad en este último grupo hay tres vari-ables,x1, x2, x3, esto es, cuatro variables individuales. En forma paralela, la información numérica sobre los valores finales de las ecuaciones y las variables aparece agrupada en((bloques)):

---- EQU u_eq . . . 1.0000

---- EQU m_eq 100.0000 100.0000 100.0000 0.1891

(18)

---- VAR u -INF 18.9141 +INF .

u Variable objetivo - utilidad

---- VAR x Demanda de Mercacn´ıa k-´esima

1 -INF 50.0000 +INF .

2 -INF 7.5000 +INF .

3 -INF 6.6667 +INF .

Figura 11.— Soluciones del Modelo en versi´on Vectorial

3.2. El Modelo del Consumidor como un CNS

Es posible especificar el prpblema del consumidor como un CNS o

Con-strained Non-Linear System, es decir como un sistema de ecuaciones no

(nece-sariamente) lineal. A diferencia de los enfoques LP/NLP que involucran una función objetivo a optimizar dada la elección de un vector del conjunto factible, en el el formato CNS se elige un vector de variables endógenas que satisfaga los requerimientos del probelma. Formalmente, un CNS puede ponerse en la siguiente forma4

Encontrar x sujeto a: 





F(x) = 0

l≤x≤u G(x)≤b

A la función vectorialF(x) corresponde un vector que puede restringirse a los l´ımiteslyu(inferior y superior) y se puede incluir una familia de ecuaciones adicionalesG(x)≤b que contribuirán a la definición del la región factible.

El conjunto de ecuaciones (11) a (14) corresponde precisamente a esta de-scripci´on del problema CNS y puede ser resuelto utilizando un procesador ade-cuado.

En formulación GAMS del modelo del consumidor en formato CNS la defini-ción de parámetros permanece inalterada respecto del modelo NLP si bien los bloques de variables y de ecuaciones se modifican levemente: la variable((u)) se elimina al tiempo que se incluye una nueva variable llamada((lambda))que es el

4_{GAMS Corp. Model Types Description en}_{http://www.gams.com/modtype/modeltyp.htm#}

(19)

multiplicador dual que acompaña a la restricción presupuestal en la función de Lagrange; en adición, con la definición funcional del sistema de ecuaciones, se plantean dos bloques de ecuaciones: el que corresponde a las derivadas parciales de la función de Lagrange respecto de las variables de elección,((x(k))), y el que corresponde a la parcial de la función legrangeana respecto del multiplicador dual, que como es bien sabido, corresponde a la restricción presupuestal del consumidor; en total, cuatro ecuaciones en dos bloques. La siguiente pieza de código muestra la forma como se ha especificado el modelo en esta versión:

equations

foc_x_eq Funci´on Objetivo (Ecuaciones 11 a 13 en el texto)

foc_m_eq Restricci´on de Presupuesto (Ecuaci´on 14 en el texto);

foc_x_eq(k).. (alpha(k)/x(k))*prod(j, x(j)**alpha(j)) =e= lambda*p(k);

foc_m_eq.. sum(k, p(k)*x(k)) =e= m;

Figura 12.— Especificaci´on Funcional como un CNS

La ecuación ((foc m eq)) corresponde a la derivada direccional ∂_∂λL que da necesariamente la restricción presupuestal: es un bloque de ecuaciones que com-prende exactamente una ecuación. Por su parte la ecuación ((foc x eq(k)))

aparece referida al conjunto((k)), esto es, constituye unbloque de((k))elementos que son las ecuaciones (11),(12) y (13) en el texto. Se quiere la atención sobre una caracter´ıstica interesante en la formulación de este bloque de ecuaciones, que incluye un ´ındice((j))al cual no se ha hecho referencia aún. Para comprender esta definición, considere de nuevo la derivada direccional _∂x∂L

k que en el caso

Cobb-Douglas es,

∂L ∂x1

= (αk/xk)∗Y

k xαk

k =λpk (15)

Esta expresi´on es el producto de dos componentes: el k-vector (αk/xk), y el producto Q

kx αk

k que da la utilidad que reporta un plan de consumo x =

{x1, x2, ..., x`} y que es, por tanto, un escalar. Si el modelista entra la especifi-caci´on,

foc_x_eq(k).. (alpha(k)/x(k))*prod(k, x(k)**alpha(k)) =e= lambda*p(k);

(20)

125 Set is under control already

257 Solve statement not checked because of previous errors

Estos errores surgen porque en la ecuación ((foc x eq(k))), que debe op-erar para cada elemento en el conjunto ((k)) hay dos operaciones en conflicto. En primer lugar se debe computar un vector de ratios(((alpha(k)/x(k)))), — operación legal porque denominador y numerador de la expresión tienen ((k))

elementos—, mientras que en la otra mano, la ecuación debe computar un pro-ducto que agrega todos los elementos ((x(k)) en un escalar, para todo k en el conjunto de referencia; es decir, el producto señalado, que es una constante (pues aparece en cada una de las condiciones de primer orden), es tratado como una variable, en el control de la ecuación que está determinado por la posi-ción del ´ındice ((k)) en el conjunto. Por supuesto, hay una forma de resolver el problema y una posible respuesta para este caso consiste en liberar el ´ındice

((k))del control de la ecuaci´on cuando est´a computando el producto usando una copia del conjunto((k))que se ha llamado ((j))en este ejemplo, y que se obtiene introduciendo la orden,

alias(k,j)

con esta instrucci´on GAMS crea una copia del conjunto k llamado conjunto j

que puede ser utilizado en la solución del progblema. En efecto, al modificar el productoprod(k, x(k)**alpha(k)) para cambiar ((k)) por ((j)), el control de la ecuación (qué está definido sobre((k))desaparece del producto, que ya puede efectuarse sin conflicto, sin que la ecuación como un todo pierda pertinencia.

La instrucción que ordena solucionar el modelo es similar a las de los casos anteriores salvo por el hecho de que en los modelos CNS los conceptos de variable y función objetivo carecen de sentido. La instrucción en estos casos es solve <nombre del modelo> using CNS. En nuestro caso particular, si el modelo se ha llamado((utilidad)), la instrucción es:

solve utilidad using CNS;

Vale la pena dar una ojeada a los resultados, que arrojan datos interesantes, respecto del caso NLP. En la secci´on del informe de resultados que se refiere a las estad´ısicas del modelo se revelan la dimensiones efectivas del modelo:

MODEL STATISTICS

FIXED EQUATIONS 4 FREE VARIABLES 4

Figura 13.— Maximizaci´on de la Utilidad como un CNS: Estad´ısticas del

(21)

Empiece por notar que a los dosbloquesde ecuaciones, corresponden en reali-dad, cuatro ecuaciones individuales: las tres ecuaciones agrupadas en((foc x eq(k))), m´as la ecuaci´on de presupuesto. Al mismo tiempo, se han definido dosbloques

de ecuaciones que reunen en realidad cuatro variables: los cuatro elementos de

x(k)más el ingreso del consumidor,((m)). Al final, el número de ecuaciones fijas (4) y el número de variables libres (4) señalan un hecho particular a observar cuando se formula un modelo bajo el formato CNS 5 _{que es el de la} necesi-dad de que el modelosea cuadrado. En el Resumen de la Solución se registra, además del nombre del modelo, el tipo y el solucionador elegido, el status fi-nal de solucionador, —que en el caso de un procesamiento exitoso debe ser((1 Normal Completion))—, y el estatus final del modelo, que de ser resuelto en forma correcta, ha de ser((16 Solved)), en oposición a ((1 Optimal)) del caso LP y a((2 Locally Optimal))en los modelos NLP.

S O L V E S U M M A R Y

MODEL utilidad TYPE CNS

SOLVER PATH FROM LINE 59

**** SOLVER STATUS 1 Normal Completion **** MODEL STATUS 16 Solved

RESOURCE USAGE, LIMIT 0.024 1000.000 ITERATION COUNT, LIMIT 5 2000000000 EVALUATION ERRORS 0 0

Figura 14.— Resumen de Soluci´on

Finalmente, la forma de presentación de las soluciones numéricas, también var´ıa en relación con los casos en los cuales existen función y variable objetivo:

---- EQU foc_x_eq Funci´on Objetivo (Ecuaciones 11 a 13 en el texto)

LOWER LEVEL UPPER

1 . . .

2 . . .

3 . . .

LOWER LEVEL UPPER

---- EQU foc_m_eq 100.0000 100.0000 100.0000

foc_m_eq Restricci´on de Presupuesto (Ecuaci´on 14 en el texto)

(22)

---- VAR x Demanda de Mercanc´ıa k-´esima

LOWER LEVEL UPPER

1 -INF 50.0000 +INF

2 -INF 7.5000 +INF

3 -INF 6.6667 +INF

LOWER LEVEL UPPER

---- VAR lambda -INF 0.1891 +INF

Figura 15.— Soluciones Num´ericas en el Caso CNS

Por tratarse de un modelo que adopta una estrategia vectorial, ecuaciones y variables se reportan en bloques. En relaci´on con el conjunto de ecuaciones

((foc x eq(k))), las soluciones satisfacen completamente los requerimientos que las ecuaciones individuales imponen, que es la razon por la cual se reporta cero para cada una de ellas. En cuanto al segundo bloque de ecuaciones (la derivada parcial de la función de Lagrange respecto del multiplicador dual), el valor reportado es el de la constante, que es el ingreso del condumidor. Llama la atención que en el caso CNS las ecuaciones no tienen asociados variables de holgura o multiplicadores duales, en contraste con los formatos LP/NLP que si reportan bajo la columna ((MARGINAL)) valores distintos de cero cuando las restricciones están activas. En la solución, los valores de las variables de elección son, por supuesto, idénticas a los de los formatos estudiados previamente mientras que la variable ((lambda)) recibe el valor que corresponde al marginal de la ecuacion((m eq))en la varsión NLP de este mismo modelo (cfr.Figura 11).

3.3. Resolviendo dentro de un Ciclo

Suponga que se quieren obtener los niveles demanda por una (o varias) de las mercanc´ıas disponibles para distintos sistemas de precios. Una forma de obtener una lista completa de precios y las cantidades demandadas asociadas consiste en resolver en forma iterativa el modelo dentro de un ciclo definido por el analista. La funci´on((loop))ejecuta un conjunto de intrucciones definidas por el usuario para una serie de valores en un conjunto dado. Considere, por ejemplo, veinte iteraciones en cada una de las cuales el precio de la mercanc´ıa de inter´es se incrementa en un 5 %, el modelo es resuelto y los resultados se almacenan.

El procedimiento comienza definiendo el conjunto de iteraciones con el co-mando((set)) y declarando un nuevo parámetro con el nombre((report)), que servirá para almacenar los resultados del modelo en cada iteración. Al interior del ciclo, que comienza con el verbo((loop)), se incluirán instrucciones necesarias para los propósitos definidos.

(23)

parameter

report Un Reporte de Resultados;

loop(it,

p("1") = p("1")*1.05; solve utilidad using cns; report(it,"p1") = p("1"); report(it,"X1") = x.l("1"); );

display report;

Figura 17.— Soluci´on dentro de un Ciclo

La primera instrucción dentro del ciclo actualiza el precio de la mercanc´ıa 1 en 5 % en tanto que la segunda instrucción resuelve el modelo con la nueva in-formación. Las dos instrucciones siguientes registran la información resultante en el parámetro ((reporte)) definido previamente; observe que aún cuando la declaración del reporte no involucró la definición de sus dimensiones, en las in-strucciónes dentro del loop se ha definido que el reporte contendrá tres columnas: una primera que registrará el número de la iteración, que es un valor del conjun-toit, una segunda segunda registrará el precio en esa iteración, y la tercera el nivel de la demanda por mercanc´ıa, dadoeseprecio, enesaiteración. Finalizado el ciclo, él comando((display report))despliega la información almacenada en el parámetro:

---- 97 PARAMETER report

p1 X1

(24)

Figura 18.— Resultados de Simulaci´on: Funci´on de Demanda

Toda información generada por un modelo en GAMS es susceptible de ser manipulada de distintas maneras. Existe la posibilidad de exportar los resultados a diversos formatos de datos al tiempo que también resulta bastante fácil llamar rutinas y librerias de instrucciones para, por ejemplo, producir una gráfica de la demanda por la mercanc´ıa 1 para el rango de precios especificado. El sitio web de GAMS contiene una sección decontribuciones y mejoras por terceros que pueden resultarle de gran ayuda6_{. Por lo pronto, la informaci´}_{on arrojada} por el parámetro((report)) ha sido copiada y pegada en MS-Excel para crear una imágen de la función de demanda marshalliana que se deriva del ejercicio de sensibilidad que se acaba de realizar.

Figura 19.— La Funci´on de Demanda Ordinaria construida con los datos

simulados en el an´alisis de sensibilidad del modelo del consumidor.

4. Muchos Agentes, Muchos Mercados

La búsqueda de soluciones de complejos sistemas de ecuaciones que pre-tenden representar econom´ıas en las que interactúan muchos agentes en muchos mercados, es una de las principales ocupaciones en econom´ıa computacional. En esta sección hacemos uso de versiones parametrizadas del modelo de equilibrio general competitivo comenzando por un esquema sencillo de una econom´ıa de

6_{http://interfaces.gams-software.com/doku.php?id=user:user_contributed_}

(25)

intercambio7: econom´ıas en las que no existen posibilidades de producción. A diferencia del problema de elección individual de la sección anterior en el que el consumidor, dados los precios, escoge el plan de consumo que maximiza su util-idad, el problema aqu´ı consiste en averiguar cuáles son los precios a los que un conjunto de consumidores maximizadores de utilidad, están dispuestos a inter-venir en un intercambio mutuamente beneficioso. En forma alternativa, gracias

alPrimer Teorema del Bienestar el problema de asignaci´on subyacente puede

tratarse como el de un Planeador Cemtral que elige una cierta distribución de los recursos disponibles en la econom´ıa, buscando maximizar el bienestar de la sociedad. Como se verá, las dos formas de tratar el mismo problema involu-cran dos formulaciones distintas pues, mientras en la primera, las variables de interés son de naturaleza endógena, en la segunda, estas mismas variables son los multiplicadores duales de las restricciones de recursos que enmarcan la de-cisión del Planeador Central. Las econom´ıas de intercambio son modelos que se concentran en el consumo, dejando la producción, que se considera exógena, de lado. Sin embargo, la endogeneización de la producción es mas bien sencilla y no involucra complicación adicional, como se verá en la segunda parte de esta sección, que se concentra en unaeconom´ıa con producción.

4.1. Econom´ıas de Intercambio

En el contexto del Equilibrio General Competitivo considere una econom´ıa de intercambio con tres consumidores,i={1,2,3}que interact´uan en dos mer-cados, k = {A, B}. Las preferencias de los consumidores est´an representadas por funciones del tipo CES,

ui(xi1, xi2) = (δixρii1+ (1−δi)x

ρi i2)

1/ρi ₍₁₆₎

Las dotaciones de los consumidores vienen registradas en la matriz:

ωik= 

 1 3 3 2 2 3





mientras que los par´ametros de distribuci´on son:

δik= 



0,3 0,7 0,5 0,5 0,6 0,4





Finalmente, los parámetros de sustitución están dados por

ρi= 1,3 1,2 1,9

siendoρi=σiσ−i1 yσi es una medida de la elasticidad de sustituci´on entre pares

de bienes para el consumidori. Se plantean dos aproximaciones de soluci´on. La primera consiste en la soluci´on del sistema de ecuaciones de exceso de demanda:

(26)

aqu´ı las variables son los precios de las mercanc´ıas que vac´ıan todos los mercados. En la segunda se aprovecha el Primer Teorema del Bienestar para resolver el Problema del Planeador Central como la b´usqueda de una asigmacion Pareto ´

optima.

4.1.1. El Sistema de Exceso de Demanda

Bajo la aproximación basada en el sistema de ecuaciones de exceso de de-manda el problema consiste en encontrar un vector p0 = (p1, p2, p3) de R`+ tal que z(p) = 0, p0z(p) = 0. Para la k-ésima mercanc´ıa, la ecuación t´ıpica de exceso de demanda es:

zk(p) =X

i

xik(p)−X

i

ωik= 0 (17)

El sistema de ecuaciones resultantes estará compuesto por`de estas ecuaciones de demanda neta agregada en las`variables del sistema de precios correspondi-ente lo cual constituye, precisamcorrespondi-ente, un problema de la clase CNS. La demanda (óptima) por la k-ésima mercanc´ıa deli-ésimo consumidor es, en el caso CES en dos variables:

x∗_ik= (δik/pk)σi Mi

P

kδ σi ik ·p

1−σi k

(18)

y el ingreso del consumidor viene dado por:

Mi=X

k

pk·ωik (19)

La implementaci´on GAMS describe el sistema de exceso de demanda in-cluyendo ecuaciones de definici´on para las demandas de los consumidores y para el ingreso de cada uno de ellos, que es el valor (precios por cantidades) de las dotaciones en la matrizωik. Una forma de parametrizar el modelo en GAMS es

la que aparece en la siguiente pieza de c´odigo en la cual se comienza por definir las dimensiones del modelo en t´erminos de los conjuntos de consumidores y mercanc´ıas:

*--- Dimensiones del Modelo

sets k Mercanc´ıas / 1, 2 / i Consumidores / A, B, C /;

alias(k,l);

*--- Datos de la Econom´ıa

table endow(i,k) Matriz de Dotaciones Iniciales

(27)

A 1 3

B 3 2

C 2 3;

table delta(i,k) Par´ametros de Distribuci´on -- Consumidores 1 2

A 0.3 0.7 B 0.5 0.5 C 0.6 0.4;

parameter sigma(i) Elasticidad de sustituci´on para el consumidor i / A 1.3

B 1.2 C 1.9 /;

*--- Computa alguntos par´ametros parameter

omega(k) Oferta total de la mercanc´ıa k en la econom´ıa u0(i) Utilidad Inicial del consumidor i;

omega(k) = sum(i, endow(i,k));

u0(i) = (sum(k, delta(i,k)*endow(i,k)**(1/rho(i)))/(1/rho(i)));

Dentro de la misma parametrización se computan algunos valores útiles al planteamiento del problema y a la valoraciónex-postde soluciones alternativas. En efecto, el vector ((omegak)) calcula la oferta total de mercanc´ıa k-ésima en la econom´ıa, mientras que el vector((u0(i))) computa el bienestar del i-ésimo consumidor en la distribución inicial, niveles que pueden ser posteriormente utilizados como base de comparación respecto de las asignaciones de equilibrio competitivo.

El modelo se estructura sobre tres bloques de variables: el sistema de exceso de demanda (k ecuaciones), las definiciones funcionales de las demandas del consumidori-´esimo por laskdistintas mercanc´ıas (i×k) ecuaciones, y el vector de ingresos de losi consumidores (i ecuaciones), esto es, un total de k+ (i×

k) +i= 3 + (2×3) + 2 = 11 ecuaciones, sobre igual n´umero de variables: los precios de las k mercanc´ıas, las (i×k demandas de los consumidores, y los i

niveles de ingresos. Con esto, un equilibrio para esta econom´ıa es una tupla:

ˆ

= [(p1, p2, p3),(x11, x12, x21, x22, x31, x33),(M1, M2)]

que satisface los requerimientos teóricos: los precios vac´ıan todos los mercados y las asignaciones maximizan la utilidad de todos los consumidores dadas las exis-tencias totales de mercacn´ıas en la econom´ıa. El código GAMS para representar el modelo descrito, dada la parametrización adoptada es:

variables

p(k) Precio de la Mercanc´ıa k-´esima

(28)

M(i) Ingreso del consumidor i equations

z_eq(k) Funci´on de Exceso de Demanda de la mercanc´ıa k x_eq(i,k) Definici´on de las Demandas de los Consumidores

m_eq(i) Definici´on del Ingreso del consumidor i;

z_eq(k).. sum(i, x(i,k)) =E= omega(k);

x_eq(i,k).. x(i,k) =E= (delta(i,k)/p(k))**sigma(i)*M(i)/ sum(l, delta(i,l)**sigma(i)*p(l) **(1-sigma(i)));

m_eq(i).. M(i) =E= sum(k, p(k)*endow(i,k));

Las soluciones se obtienen, una vez convenientemente inicializadas las variables relevantes con una orden sencilla:

solve AD using CNS;

en donde((AD))es el nombre del modelo que se ha declarado de acuerdo con las reglas ya definidas:

model AD /z_eq, x_eq, m_eq/;

Tras de lo cual, los usuales reportes de estad´ısticas del modelo, resumen de la soluci´on y de valores para ecuaciones y variables se registran en el archivo de salida. Por ejemplo, el reporte de estad´ısticas del modelo, da cuenta de las dimensiones del mismo, refrendando la contabilidad adelantada previamente sobre n´umero de ecuaciones y de variables:

MODEL STATISTICS

FIXED EQUATIONS 11 FREE VARIABLES 11

(29)

---- EQU z_eq Funci´on de Exceso de Demanda de la mercanc´ıa k

LOWER LEVEL UPPER

1 6.0000 6.0000 6.0000 2 8.0000 8.0000 8.0000

---- EQU x_eq Definici´on de las Demandas de los Consumidores

LOWER LEVEL UPPER

A.1 . 1.7321730E-8 .

A.2 . . .

B.1 . . .

B.2 . . .

C.1 . . .

C.2 . . .

---- EQU m_eq Definici´on del Ingreso del consumidor i

LOWER LEVEL UPPER

A . . .

B . . .

C . . .

---- VAR p Precio de la Mercanc´ıa k-´esima

LOWER LEVEL UPPER

1 -INF 1.0335 +INF

2 -INF 1.0206 +INF

---- VAR m Ingreso del consumidor i

LOWER LEVEL UPPER

A -INF 4.0952 +INF

B -INF 5.1417 +INF

C -INF 5.1287 +INF

---- VAR x Demanda por mercanc´ıa k del consumidor i-´esimo

LOWER LEVEL UPPER

A.1 0.0001 0.4870 +INF A.2 0.0001 3.5195 +INF B.1 0.0001 2.4890 +INF B.2 0.0001 2.5175 +INF C.1 0.0001 3.0240 +INF C.2 0.0001 1.9630 +INF

(30)

Es necesario advertir que el sistema de exceso de demanda walrasiano adolece de un problema numérico que obliga a resolver el sistema para`−1 ecuaciones sobre`−1 elementos del sistema p de precios por lo cual, en general, es necesario reducir las dimensiones del modelo mediante la eliminación de una cualquiera de las ecuación y la definición exógena del precio del bien numerario8. Con esta ad-vertencia es de anotar que las actuales algoritmos de programación matemática numérica tratan cada vez con mayor exito casos en los cuales los jacobianos de los sistemas a tratar son aproximadamente singulares, como resulta con el modelo Arrow-Debreu por lo que el ejercicio adelantado pudo ser resuelto sin la reducción dimensional señalada, si bien es de esperar que en sistemas más complejos requieran una manifestación expl´ıcita de la Ley de Walras. Un una sección posterior se tratará este problema y se mostrará cómo resolverlo con suceso.

4.1.2. El Planeador Central

De acuerdo con el teorema del bienestar, todo equilibrio competitivo es asig-nación Pareto Eficiente; como consecuencia, deberá ser posible encontrar una asignación de equilibrio competitivo como aquella que, a cargo de un planeador central, —un tirano benevolente—,busca el mayor bien para el mayor número. Un programa matemático que expresa este problema de elección es el propuesto por Negishi (1960), en los siguientes términos (ver Ginsburgh & Keyzer, 1987: 35):

maxxiW(xi;θi) =

X

i

θiui(xi) xi≥0,∀i (20)

sujeta a:

X

i xik≤

X

i

ωik ⊥p (21)

La funciónW es una agregacióná lá Bergson de las funciones de utilidad in-dividuales de losi= 1, . . . , mconsumidores con ponderadores fijosθi tales que

P

iθi= 1. Dada una distribuci´on inicial de recursos ωik un m´aximo para W

implica máximos individuales siempre que los ponderadoresθi resulten propor-cionales al ingreso de cada consumidor en el máximo nivel deW. El problema es un NLP cuya implementación en GAMS replica la formulación (16) y (17) sin modificar apenas la parametrización del modelo CNS:

variables

W Indicador de Bienestar economico agregado u(i) Utilidad del Consumidor i

x(i,k) Demanda por mercanc´ıa k del consumidor i-´esimo theta(i) Ponderadores (weights) de Negishi;

equations

(31)

w_eq Función de Bienestar Eonómico Agregado u_eq(i) Definición de la Utilidad del Consumidor i x_eq(k) Restricciones de Recursos

theta_eq Normalizaci´on de los Ponderadores de Negishi;

w_eq.. W =e= sum(i, theta(i)*log(u(i)));

u_eq(i).. u(i) =E= (sum(k, delta(i,k)*x(i,k)**rho(i)))**(1/rho(i));

x_eq(k).. sum(i, x(i,k)) =E= omega(k);

theta_eq.. sum(i, theta(i)) =E= 1;

La utilidad de los consumidores se especifica expl´ıcitamente en un bloque de ecuaciones aparte de la función de bienestar agregado a efectos de facilitar la edición del programa; además se introduce una restricción adicional que refleja la necesidad de que los ponderadores de la utilidad de cada consumidor en la función de bienestar sumen 1. Por lo demas, las restricciones de recursos para las mercanc´ıas en cuestión, resultan idénticas a las reunidas en la ecuación de balance (17). Como es usual, se precisa inicializar las variables del modelo, teniendo en cuenta que los ponderadores de Negishi son fijos.

model Negishi / w_eq, u_eq, x_eq, theta_eq /;

theta.fx(i) = 1/3; u.lo(i) = u0(i); x.l(i,k) = endow(i,k);

solve Negishi using nlp maximizing W;

(32)

CNS NLP Diff

A.1 0,4870 0,6226 -0,1356 A.2 0,3520 0,3875 -0,0356 B.1 0,2489 0,2502 -0,0013 B.2 0,2518 0,2387 0,0130 C.1 0,3024 0,2875 0,0149 C.2 0,1963 0,1738 0,0225

Bajo esta asignación los precios no pueden ser los de equilibrio competitivo y se puede esperar que los niveles de gasto nominal no coincidan con el val-or del ingreso. Para comprobar que bajo la solución actual hay un desbalance de recursos para el i-ésimo consumidor se han computado los valores del in-greso y del gasto de cada uno de los consumidores tomando como precios los multiplicadores de Lagrange de las restricciones de recursos:

*--- Evaluaci´on del Ajuste del Gasto w.r.t. el ingreso parameters

p(k) Precio de la k-´esima mercanc´ıa m(i) Ingreso del Consumidor i e(i) Gasto del Consumidor i

dev(i) Diferencia entre el Gasto y el Ingreso del consumidor i maxdev;

p(k) = x_eq.m(k);

m(i) = sum(k, p(k)*endow(i,k)); e(i) = sum(k, p(k)*x.l(i,k)); dev(i) = e(i) - m(i);

display e, m, i;

El parámetro((p(k)))guarda los precios de las mercanc´ıas que, según se ha ya señalado—, son los valores marginales (multiplicadores duales) de las ecuaciones de balance de recursos en tanto que el ingresom(i)es el valor de las dotaciones al sistema de preciosp(k)y el gasto es el valor de las demandas de los consumidores bajo dicho regimen de precios. El parámetrodev(i)mide la discrepancia entre el ingreso y el gasto. La orden((display e, m, i;))despliega los resultados de estos cálculos:

---- 98 PARAMETER e Gasto del Consumidor i

A 0.333, B 0.355, C 0.333

(33)

A 0.295, B 0.362, C 0.366

---- 98 PARAMETER dev Diferencia entre el Gasto y el Ingreso del consumidor i

A 0.039, B -0.006, C -0.032

La solución del modelo propuesto es un vector de asignaciones de recursos subóptimas desde la óptica del equilibrio competitivo pues, aún cuando esta asignación maximiz la función objetivo y la asignación resultante es viable, los consumidores no observan sus restricciones de presupuesto individuales: en efecto, el consumidor 1 presenta un gasto mayor que su ingreso mientras que los consumidores 2 y 3 no agotan todo sus recursos. Una alternativa para avanzar hacia la solución real del problema es la llamadaSequential Join Maximization

(SJM)9 _{que resuelve una secuencia de programas no lineales dadas revisiones} de los ponderadores de Negishi. La idea es la siguiente: compute inicialmente el modelo con un valor tentativo para los ponderadores de Negishi; obtenga de las soluciones los precios relativos, —que son los multiplicadoresde Lagrange asociados a las restricciones de recursos— y compute con ellos el valor del ingreso (el valor de las dotaciones iniciales dado el sistema de precios de a solución) de cada consumidor. Actualice los ponderadores de Negishi como las proporciones del ingreso total en la econom´ıa que representan los valores individuales del ingreso. Compute secuencialmente soluciones del modelo de tal forma que la diferencias entre el gasto y el ingreso de cada individuo se desvanezcan. La pieza de código a continuación implementa esta propuesta.

*---*--- Sequential Join Maximization (SJM): Resuelve dentro de un loop el modelo *--- aproximando los valores de los ponderadores de Negishi hasta que la di-*--- -ferencia entre el ingreso y el gasto de los consumidores se desvance.

*---set it Iteraciones de Negishi / iter1 * iter1000 /;

parameter

report Reporte de Avance en las Iteraciones de Negishi alloc Reporte sobre asignaciones;

*--- Resuelve el modelo dentro de un loop con los nuevos pesos *--- calculados en la iteraci´on anterior;

theta.fx(i) = 1/3;

loop(it \$(abs(smax(i, dev(i))) gt 1e-5), solve Negishi using nlp maximizing W;

p(k) = x_eq.m(k);

(34)

m(i) = sum(k, p(k)*endow(i,k)); e(i) = sum(k, p(k)*x.l(i,k)); dev(i) = e(i) - m(i);

theta.fx(i) = m(i)/sum(k, p(k)*omega(k));

report(it,i,"theta") = theta.l(i); report(it,i,"u") = u.l(i);

report(it,i,"e") = e(i); report(it,i,"m") = m(i);

report(it,i,"|e-m|") = abs(dev(i)); );

El conjunto ((it)) contiene una serie de mil elementos, cada uno de los cuales representa una iteración dentro del ciclo (loop) que a continuación se define. En ausencia de condicionamiento se computan mil soluciones para el modelo; no obstante, parece razonable detener las computaciones cuando se satisfaga el cri-terio de búsqueda que se basa en una medición de las diferencias entre ingresos y gastos para todosy cada uno de los consumidores. La instrucción condicional

((loop(it $(abs(smax(i, dev(i))) gt 1e-5))) introduce esta condición me-diante la verificación del valor absoluto de los elementos que se registran en el vector ((dev(i))); el ciclo se detiene cuando el valor de los elementos en el vactor de diferencias resulta menor que 1×10−5_{. Mientras la diferencia entre} ingresos y gastos sea mayor que ese valor, el ciclo computará una nueva solución de la cual se derivan los precios de las mercanc´ıas del multiplicador dual de la restricción de recursos (17) y a partir de los cuales se calculan ingresos ((m(i)))

y gastos((e(i)))y se valora su diferencia, registrandola en((dev(i))). Un nuevo valor de θi se genera como la proporci´on del ingreso total que le corresponde al consumidori. En cada iteraci´on los valores obtenidos son almacenados en la matriz ((report)) cuyos resultados se despliegan una vez terminado el trabajo computacional. Los resultados de nuestro modelo son los siguientes:

---- 132 PARAMETER report Reporte de Progreso en Iteraciones de Negishi

theta u e m |e-m|

(35)

iter4.C 0.357 2.549 0.357 0.357 2.537138E-6 iter5.A 0.285 2.362 0.285 0.285 7.927984E-7 iter5.B 0.358 2.503 0.358 0.358 9.567755E-7 iter5.C 0.357 2.549 0.357 0.357 1.639771E-7

La primera columna del reportes combina información sobre la iteración cursada y el indicador de cada consumidor mientras que la segunda columna presenta los valores deθi de cada agente. Las tres columnas siguientes contienen el indicador de bienestar, el valor gasto y el valor del ingreso individual. La columna al final muestra la diferencia absoluta entre ingreso y gasto de cada consumidor. el proceso de búsqueda toma en total cinco iteraciones luego de las cuales, se puede estar seguro de que la solución del problema, bajo el formato del Planeador Central es idéntica a la obtenida a través de la evaluación del sistema de ecuaciones de exceso de demanda, según se puede comprobar a continuación:

---- VAR x Demanda por mercanc´ıa k del consumidor i-´esimo

A.1 -INF 0.4870 +INF -2.209840E-9

A.2 -INF 3.5195 +INF .

B.1 -INF 2.4890 +INF -5.632539E-9

B.2 -INF 2.5175 +INF .

C.1 -INF 3.0240 +INF .

C.2 -INF 1.9630 +INF .

4.2. Econom´ıas con Producci´

on

En una econom´ıa con producción, la función de exceso de demanda es una función vectorialz:R`+→R

` _{definida por:}

z(p) =X

i

di(p)−X

i

ωi−X

j

sj(p) (22)

El k-esimo componente de este sistema `×` de ecuaciones de exceso de demanda es de la forma:

zk(p) =

X

i

dik(p)−

X

i ωik−

X

j

sjk(p) (23)

El mercado de lak-´esima mercanc´ıa estar´a en equilibrio si, dado un sistema de precios p∈ R` con p = (p1, p2,· · · , pk,· · ·, p`), se observa que zk(p)≤0 y

p·zk(p) = 0.

dik(p)≡x∗_ik=argmax{u(x)|px≤pωi+Pn

(36)

Finalmente, p∈R`ser´a un vector de precios de equilibrio si bajo este sistema

z(p)≤0 y pz(p) = 0

Dondedi(p) es la demanda deli-´esimo consumidor por lak-´esima mercanc´ıa,

ωikson las dotaciones de esa mercacn´ıa del consumidor en cuesti´on, ysjk(p) es la oferta de

Adem´as de losi= 1,· · ·, mconsumidores, en unaeconom´ıa con producci´on, intervienenj= 1,· · ·, nproductores, cada uno de ellos dotado de una tecnolog´ıa representada por un subconjuntoYj deR`. De este conjunto, el productor elige

un plan de producci´on viable, yj para maximizar su beneficio neto, dado el

r´egimen de precios vigente. Las caracter´ısticas del conjunto Yj para el caso

de una econom´ıa de Mano Invisible han sido descritas en detalle en Arrow y Debreu (1954), Debreu (1959) y Arrow y Hahn (1971) entre muchos otros. Cada elementoyj ∈Yjes un vector neto de insumo-producto con entradas positivas en el caso de los productos y negativas en el caso de los insumos. El objetivo delj -ésimo empresario es maximizar su beneficio neto,pyj observando la restriccións de viabilidadyj ∈Yj, i.e., el problema del productor j-ésimo es:

maxy_j∈Yjπj =pyj (24)

sujeto a:

yj ∈Yj (25)

El equilibrio del k-ésimo mercado en la econom´ıa, como en el caso de las econom´ıas de intercambio, sigue enfrentando ofertas y demandas. No obstante, la cosideración expl´ıcita de las firmas implica la incorporación de la posición de cada uno de estos tipos de agentes, respecto de una mercan´ıa determinada. Considere por ejemplo el mercado de factores

Haremos uso del modelo computable que Dinwiddy and Teal (1988:26) pre-sentan un modelo computable de equilibrio general con un consumidor que de-tenta la propiedad de dos factores productivos, –capital y trabajo–, utilizados por dos firmas encargadas de producir, cada una de ellas, una mercanc´ıa ´unica con la que el consumidor maximiza su utilidad. Las funciones de producci´on de las firmas son:

x1=k 1/4 1 l

1/2

1 (26)

en el caso de la firma 1, en tanto que, en el caso de la firma 2, esta funci´on es:

x2=k 1/2 2 l

1/4

2 (27)

Note que la producción en los dos casos se efectúa bajo rendimientos decrecientes a escala; es fácil demostrar que si a y b son los exponentes del capital y del trabajo en la función de producción de cada una de las firmas, entonces las demandas condicionadas de factores son:

kj(pk, pl;xj) =

aj bj

pl pk

a+bb