Funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria

Funci´ on de distribuci´ on de una variable aleatoria

Funci´ on de distribuci´ on de una variable aleatoria

El inconveniente operativo que presenta el hecho de que la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es una funci´on de conjunto se resuelve mediante el uso de la denominada funci´on de distribuci´on, funci´on de punto que determina de forma ´unica la distribuci´on de probabilidad de la variable.

Funci´ on de distribuci´ on de una variable aleatoria

El inconveniente operativo que presenta el hecho de que la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es una funci´on de conjunto se resuelve mediante el uso de la denominada funci´on de distribuci´on, funci´on de punto que determina de forma ´unica la distribuci´on de probabilidad de la variable.

Funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria

Si X es una variable aleatoria sobre (Ω, A, P ), se define su funci´on de distribuci´on como la funci´on F_X : R −→ [0, 1]

x 7−→ FX(x) = PX((−∞, x]) = P (X ≤ x).

Funci´ on de distribuci´ on de una variable aleatoria

El inconveniente operativo que presenta el hecho de que la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es una funci´on de conjunto se resuelve mediante el uso de la denominada funci´on de distribuci´on, funci´on de punto que determina de forma ´unica la distribuci´on de probabilidad de la variable.

Funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria

Si X es una variable aleatoria sobre (Ω, A, P ), se define su funci´on de distribuci´on como la funci´on F_X : R −→ [0, 1]

x 7−→ FX(x) = PX((−∞, x]) = P (X ≤ x).

A continuaci´on probamos una serie de propiedades de F_X que, como se ver´a posteriormente, caracterizan a las funciones de distribuci´on de variables aleatorias.

Funci´ on de distribuci´ on de una variable aleatoria

El inconveniente operativo que presenta el hecho de que la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es una funci´on de conjunto se resuelve mediante el uso de la denominada funci´on de distribuci´on, funci´on de punto que determina de forma ´unica la distribuci´on de probabilidad de la variable.

Funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria

Si X es una variable aleatoria sobre (Ω, A, P ), se define su funci´on de distribuci´on como la funci´on F_X : R −→ [0, 1]

x 7−→ FX(x) = PX((−∞, x]) = P (X ≤ x).

A continuaci´on probamos una serie de propiedades de F_X que, como se ver´a posteriormente, caracterizan a las funciones de distribuci´on de variables aleatorias.

Propiedades

La funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria satisface:

i) Es mon´otona no decreciente: x₁ < x₂ ⇒ F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) Es continua a la derecha: ∀x₀ ∈ R, ∃ l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) y l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = F_X(x₀).

iii) ∃ l´ım

x→−∞F_X(x) ≡ F_X(−∞) = 0 y ∃ l´ım

x→+∞F_X(x) ≡ F_X(+∞) = 1.

Funci´ on de distribuci´ on de una variable aleatoria

El inconveniente operativo que presenta el hecho de que la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es una funci´on de conjunto se resuelve mediante el uso de la denominada funci´on de distribuci´on, funci´on de punto que determina de forma ´unica la distribuci´on de probabilidad de la variable.

Funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria

Si X es una variable aleatoria sobre (Ω, A, P ), se define su funci´on de distribuci´on como la funci´on F_X : R −→ [0, 1]

x 7−→ FX(x) = PX((−∞, x]) = P (X ≤ x).

A continuaci´on probamos una serie de propiedades de F_X que, como se ver´a posteriormente, caracterizan a las funciones de distribuci´on de variables aleatorias.

Propiedades

La funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria satisface:

i) Es mon´otona no decreciente: x₁ < x₂ ⇒ F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) Es continua a la derecha: ∀x₀ ∈ R, ∃ l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) y l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = F_X(x₀).

iii) ∃ l´ım

x→−∞F_X(x) ≡ F_X(−∞) = 0 y ∃ l´ım

x→+∞F_X(x) ≡ F_X(+∞) = 1.

Demostraci´on:

Funci´ on de distribuci´ on de una variable aleatoria

El inconveniente operativo que presenta el hecho de que la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es una funci´on de conjunto se resuelve mediante el uso de la denominada funci´on de distribuci´on, funci´on de punto que determina de forma ´unica la distribuci´on de probabilidad de la variable.

Funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria

Si X es una variable aleatoria sobre (Ω, A, P ), se define su funci´on de distribuci´on como la funci´on F_X : R −→ [0, 1]

x 7−→ FX(x) = PX((−∞, x]) = P (X ≤ x).

A continuaci´on probamos una serie de propiedades de F_X que, como se ver´a posteriormente, caracterizan a las funciones de distribuci´on de variables aleatorias.

Propiedades

La funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria satisface:

i) Es mon´otona no decreciente: x₁ < x₂ ⇒ F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) Es continua a la derecha: ∀x₀ ∈ R, ∃ l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) y l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = F_X(x₀).

iii) ∃ l´ım

x→−∞F_X(x) ≡ F_X(−∞) = 0 y ∃ l´ım

x→+∞F_X(x) ≡ F_X(+∞) = 1.

Demostraci´on:

i) x₁ < x₂ ⇒ (−∞, x₁] ⊂ (−∞, x₂].

Funci´ on de distribuci´ on de una variable aleatoria

El inconveniente operativo que presenta el hecho de que la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es una funci´on de conjunto se resuelve mediante el uso de la denominada funci´on de distribuci´on, funci´on de punto que determina de forma ´unica la distribuci´on de probabilidad de la variable.

Funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria

Si X es una variable aleatoria sobre (Ω, A, P ), se define su funci´on de distribuci´on como la funci´on F_X : R −→ [0, 1]

x 7−→ FX(x) = PX((−∞, x]) = P (X ≤ x).

A continuaci´on probamos una serie de propiedades de F_X que, como se ver´a posteriormente, caracterizan a las funciones de distribuci´on de variables aleatorias.

Propiedades

La funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria satisface:

i) Es mon´otona no decreciente: x₁ < x₂ ⇒ F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) Es continua a la derecha: ∀x₀ ∈ R, ∃ l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) y l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = F_X(x₀).

iii) ∃ l´ım

x→−∞F_X(x) ≡ F_X(−∞) = 0 y ∃ l´ım

x→+∞F_X(x) ≡ F_X(+∞) = 1.

Demostraci´on:

i) x₁ < x₂ ⇒ (−∞, x₁] ⊂ (−∞, x₂]. Entonces, por la monoton´ıa de P_X, P_X((−∞, x₁]) ≤ P_X((−∞, x₂]) o, equiva-

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N una sucesi´on decreciente con l´ım

n→+∞x_n= x₀.

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N una sucesi´on decreciente con l´ım

n→+∞x_n= x₀.

Ya que la sucesi´on {x_n}_n∈N es decreciente, es claro que la sucesi´on de intervalos {(−∞, x_n]}_n∈N tambi´en decrece y, por tanto,

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N una sucesi´on decreciente con l´ım

n→+∞x_n= x₀.

Ya que la sucesi´on {x_n}_n∈N es decreciente, es claro que la sucesi´on de intervalos {(−∞, x_n]}_n∈N tambi´en decrece y, por tanto,

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

\

n=1

(−∞, x_n] = (−∞, x₀].

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N una sucesi´on decreciente con l´ım

n→+∞x_n= x₀.

Ya que la sucesi´on {x_n}_n∈N es decreciente, es claro que la sucesi´on de intervalos {(−∞, x_n]}_n∈N tambi´en decrece y, por tanto,

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

\

n=1

(−∞, x_n] = (−∞, x₀].

Entonces, teniendo en cuenta la propiedad de continuidadde PX, se tiene

n→+∞l´ım P_X((−∞, x_n]) = P_X((−∞, x₀])

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N una sucesi´on decreciente con l´ım

n→+∞x_n= x₀.

Ya que la sucesi´on {x_n}_n∈N es decreciente, es claro que la sucesi´on de intervalos {(−∞, x_n]}_n∈N tambi´en decrece y, por tanto,

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

\

n=1

(−∞, x_n] = (−∞, x₀].

Entonces, teniendo en cuenta la propiedad de continuidadde PX, se tiene

n→+∞l´ım P_X((−∞, x_n]) = P_X((−∞, x₀])

o, equivalentemente, seg´un la definici´on de F_X, y las consideraciones hechas al inicio de la demostraci´on, l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = F_X(x₀).

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N una sucesi´on decreciente con l´ım

n→+∞x_n= x₀.

Ya que la sucesi´on {x_n}_n∈N es decreciente, es claro que la sucesi´on de intervalos {(−∞, x_n]}_n∈N tambi´en decrece y, por tanto,

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

\

n=1

(−∞, x_n] = (−∞, x₀].

Entonces, teniendo en cuenta la propiedad de continuidadde PX, se tiene

n→+∞l´ım P_X((−∞, x_n]) = P_X((−∞, x₀])

o, equivalentemente, seg´un la definici´on de F_X, y las consideraciones hechas al inicio de la demostraci´on, l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = F_X(x₀).

iii) La monoton´ıa de F_X garantiza de nuevo la existencia de los l´ımites l´ım

x→−∞ F_X(x) y l´ım

x→+∞F_X(x) que, como en la propiedad ii), pueden calcularse por sucesiones mon´otonas tendiendo a −∞ y a +∞, respectivamente.

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N una sucesi´on decreciente con l´ım

n→+∞x_n= x₀.

Ya que la sucesi´on {x_n}_n∈N es decreciente, es claro que la sucesi´on de intervalos {(−∞, x_n]}_n∈N tambi´en decrece y, por tanto,

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

\

n=1

(−∞, x_n] = (−∞, x₀].

Entonces, teniendo en cuenta la propiedad de continuidadde PX, se tiene

n→+∞l´ım P_X((−∞, x_n]) = P_X((−∞, x₀])

o, equivalentemente, seg´un la definici´on de F_X, y las consideraciones hechas al inicio de la demostraci´on, l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = F_X(x₀).

iii) La monoton´ıa de F_X garantiza de nuevo la existencia de los l´ımites l´ım

x→−∞ F_X(x) y l´ım

x→+∞F_X(x) que, como en la propiedad ii), pueden calcularse por sucesiones mon´otonas tendiendo a −∞ y a +∞, respectivamente.

- En el primer caso, tomamos l´ım

x→−∞F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N ↓ −∞.

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N una sucesi´on decreciente con l´ım

n→+∞x_n= x₀.

Ya que la sucesi´on {x_n}_n∈N es decreciente, es claro que la sucesi´on de intervalos {(−∞, x_n]}_n∈N tambi´en decrece y, por tanto,

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

\

n=1

(−∞, x_n] = (−∞, x₀].

Entonces, teniendo en cuenta la propiedad de continuidadde PX, se tiene

n→+∞l´ım P_X((−∞, x_n]) = P_X((−∞, x₀])

o, equivalentemente, seg´un la definici´on de F_X, y las consideraciones hechas al inicio de la demostraci´on, l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = F_X(x₀).

iii) La monoton´ıa de F_X garantiza de nuevo la existencia de los l´ımites l´ım

x→−∞ F_X(x) y l´ım

x→+∞F_X(x) que, como en la propiedad ii), pueden calcularse por sucesiones mon´otonas tendiendo a −∞ y a +∞, respectivamente.

- En el primer caso, tomamos l´ım

x→−∞F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N ↓ −∞. As´ı, la sucesi´on de intervalos {(−∞, xn]}_n∈N es decreciente y

lentemente, teniendo en cuenta la definici´on de F_X, F_X(x₁) ≤ F_X(x₂).

ii) En primer lugar notamos que la existencia de los l´ımites est´a garantizada por ser F_X una funci´on mon´otona y, en virtud de ello,

l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N una sucesi´on decreciente con l´ım

n→+∞x_n= x₀.

Ya que la sucesi´on {x_n}_n∈N es decreciente, es claro que la sucesi´on de intervalos {(−∞, x_n]}_n∈N tambi´en decrece y, por tanto,

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

\

n=1

(−∞, x_n] = (−∞, x₀].

Entonces, teniendo en cuenta la propiedad de continuidadde PX, se tiene

n→+∞l´ım P_X((−∞, x_n]) = P_X((−∞, x₀])

o, equivalentemente, seg´un la definici´on de F_X, y las consideraciones hechas al inicio de la demostraci´on, l´ım

x→x⁺₀

F_X(x) = F_X(x₀).

iii) La monoton´ıa de F_X garantiza de nuevo la existencia de los l´ımites l´ım

x→−∞ F_X(x) y l´ım

x→+∞F_X(x) que, como en la propiedad ii), pueden calcularse por sucesiones mon´otonas tendiendo a −∞ y a +∞, respectivamente.

- En el primer caso, tomamos l´ım

x→−∞F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N ↓ −∞. As´ı, la sucesi´on de intervalos {(−∞, xn]}_n∈N es decreciente y

n→∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

\

n=1

(−∞, x_n] = ∅.

Por tanto, aplicando la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(∅) = 0

Por tanto, aplicando la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(∅) = 0

o, equivalentemente, l´ım

x→−∞F_X(x) = 0.

Por tanto, aplicando la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(∅) = 0

o, equivalentemente, l´ım

x→−∞F_X(x) = 0.

- En el segundo caso, tomamos l´ım

x→+∞F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N ↑ +∞.

Por tanto, aplicando la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(∅) = 0

o, equivalentemente, l´ım

x→−∞F_X(x) = 0.

- En el segundo caso, tomamos l´ım

x→+∞F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N ↑ +∞. Entonces, la sucesi´on de in- tervalos {(−∞, x_n]}_n∈N es creciente y

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

[

n=1

(−∞, x_n] = R.

Por tanto, aplicando la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(∅) = 0

o, equivalentemente, l´ım

x→−∞F_X(x) = 0.

- En el segundo caso, tomamos l´ım

x→+∞F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N ↑ +∞. Entonces, la sucesi´on de in- tervalos {(−∞, x_n]}_n∈N es creciente y

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

[

n=1

(−∞, x_n] = R.

Aplicando de nuevo la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(R) = 1

Por tanto, aplicando la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(∅) = 0

o, equivalentemente, l´ım

x→−∞F_X(x) = 0.

- En el segundo caso, tomamos l´ım

x→+∞F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N ↑ +∞. Entonces, la sucesi´on de in- tervalos {(−∞, x_n]}_n∈N es creciente y

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

[

n=1

(−∞, x_n] = R.

Aplicando de nuevo la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(R) = 1 y, por tanto, l´ım

x→+∞F_X(x) = 1. 

Por tanto, aplicando la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(∅) = 0

o, equivalentemente, l´ım

x→−∞F_X(x) = 0.

- En el segundo caso, tomamos l´ım

x→+∞F_X(x) = l´ım

n→+∞F_X(x_n) siendo {x_n}_n∈N ↑ +∞. Entonces, la sucesi´on de in- tervalos {(−∞, x_n]}_n∈N es creciente y

n→+∞l´ım (−∞, x_n] =

+∞

[

n=1

(−∞, x_n] = R.

Aplicando de nuevo la propiedad de continuidad de P_X, se tiene

n→+∞l´ım PX((−∞, xn]) = PX(R) = 1 y, por tanto, l´ım

x→+∞F_X(x) = 1. 

Nota 1: La distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria determina, por definici´on, su funci´on de distribuci´on que, seg´un acabamos de probar, es una funci´on no decreciente, continua a la derecha y con l´ımites 0 y 1 en −∞ y +∞, respectivamente. Sin embargo, lo realmente importante en la teor´ıa que nos ocupa, es que cualquier funci´on, F : R −→ R, con estas propiedades determina una ´unica funci´on de probabilidad, PF, en (R, B) que satisface PF((−∞, x]) = F (x), ∀x ∈ R (teorema de correspondencia).

Como consecuencia de esto, puesto que P_X((−∞, x]) = F_X(x), ∀x ∈ R, se deduce que la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria determina completamente su distribuci´on de probabilidad, lo que permite conocer el comportamiento de una variable aleatoria a partir de su funci´on de distribuci´on.

Nota 2: Debemos indicar finalmente que en algunos textos se define la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria como

F (x) = P (X < x), ∀x ∈ R.

Esta funci´on tiene propiedades an´alogas a las de la funci´on de distribuci´on aqu´ı definida y, adem´as, el desarrollo de toda la teor´ıa de distribuciones de variables aleatorias es totalmente similar al que aqu´ı se realiza.