Función característica. Sean X e Y v.a. en (Ω,A,P), Z = X + iy es una variable aleatoria compleja, es decir, Z : Ω C

Dada una variable aleatoria 𝑋, introduciremos la funci´on caracte´ıstica de 𝑋, que se denotar´a 𝜑_𝑋(𝑡). El objetivo de los Teoremas que se enuncian a continuaci´on es probar que

𝑋𝑛 𝒟

→ 𝑋 ⇐⇒ 𝜑^𝑋𝑛(𝑡) → 𝜑^𝑋(𝑡) ∀𝑡 ∈ 𝑅

Funci´on caracter´ıstica

Sean 𝑋 e 𝑌 v.a. en (Ω,𝒜, 𝒫), 𝑍 = 𝑋 + 𝑖 𝑌 es una variable aleatoria compleja, es decir, 𝑍 : Ω → 𝐶

𝑍(𝑤) = 𝑋(𝑤) + 𝑖 𝑌 (𝑤) ∀𝑤 ∈ Ω La esperanza de 𝑍 se define:

𝐸(𝑍) = 𝐸(𝑋) + 𝑖 𝐸(𝑌 ) si 𝐸(𝑋) < ∞, 𝐸(𝑌 ) < ∞.

Consideremos la funci´on 𝑒^{𝑖 𝑥} = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥), la variable aleatoria compleja

𝑒^{𝑖 𝑋} = 𝑐𝑜𝑠(𝑋) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑋)

tiene esperanza finita cualquiera sea 𝑋 pues 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑐𝑜𝑠(𝑥) est´an acotadas.

Definici´on: Sea 𝑋 una v.a. con distribuci´on 𝐹 , la funci´on caracter´ıstica de 𝑋 es la funci´on

𝜑_𝑋 : 𝑅 → 𝐶 definida como

𝜑𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒^{𝑖 𝑡 𝑋}) = 𝐸(𝑐𝑜𝑠(𝑡 𝑋)) + 𝑖 𝐸(𝑠𝑒𝑛(𝑡 𝑋))

Propiedades:

1) ∣𝜑^𝑋(𝑡)∣ ≤ 1 ∀𝑡 ∈ 𝑅 2) 𝜑_𝑋(0) = 1

3) 𝜑_𝑋(𝑡) = 𝜑_𝑋(−𝑡)

4) 𝜑_𝑋 es uniformemente continua en 𝑅 5) Si 𝑋 e 𝑌 son v.a. independientes,

𝜑_𝑋+𝑌(𝑡) = 𝜑𝑋(𝑡) 𝜑𝑌(𝑡) ∀𝑡 ∈ 𝑅 6) Si 𝑋₁, . . . , 𝑋_𝑛 son v.a. independientes,

𝜑^∑𝑛

𝑖=1𝑋𝑖(𝑡) = ^∏𝑛

𝑖=1𝜑_𝑋𝑖(𝑡) ∀𝑡 ∈ 𝑅

7) 𝑋 tiene distribuci´on sim´etrica alrededor de 0 si y s´olo

8) Si 𝑌 = 𝑎 𝑋 + 𝑏,

𝜑_𝑌(𝑡) = 𝑒^{𝑖 𝑡 𝑏}𝜑_𝑋(𝑎 𝑡)

9) Si 𝐸(∣𝑋∣^𝑛) < ∞, entonces 𝜑^𝑋 tiene 𝑛 derivadas continuas (𝜑_𝑋 ∈ 𝒞^𝑛) y

𝜑^(𝑘)_𝑋 (𝑡) = 𝑖^𝑘𝐸(𝑋^𝑘 𝑒^{𝑖 𝑡 𝑋}) ∀ 𝑘 = 1, . . . , 𝑛

En particular, 𝜑^(𝑘)_𝑋 (0) = 𝑖^𝑘 𝐸(𝑋^𝑘), o sea que la funci´on caracter´ıstica act´ua como funci´on generadora de momentos.

Ejemplos: 1) 𝑋 ∼ 𝒫(𝜆)

𝜑𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒^{𝑖 𝑡 𝑋}) = ^∑∞

𝑛=0

𝑒^𝑖𝑡𝑛𝑒^−𝜆𝜆^𝑛

𝑛! =

= 𝑒^{−𝜆 ∑∞}

𝑛=0

(𝜆 𝑒^{𝑖 𝑡})^𝑛

𝑛! = 𝑒^−𝜆 𝑒^{𝜆 𝑒𝑖𝑡} = 𝑒^{𝜆 (𝑒𝑖𝑡−1)} Entonces, 𝑖 𝐸(𝑋) = 𝜑^′_𝑋(0)

pero, 𝜑^′_𝑋(𝑡) = 𝑒^{𝜆(𝑒𝑖𝑡−1)} 𝜆 𝑒^𝑖𝑡𝑖

Entonces, 𝜑^′_𝑋(0) = 𝜆 𝑖 y por lo tanto, 𝑖 𝐸(𝑋) = 𝜆 𝑖 ⇒ 𝐸(𝑋) = 𝜆

Por otra parte, 𝑖²𝐸(𝑋²) = 𝜑^′′_𝑋(0) pero,

𝜑^′′_𝑋(𝑡) = 𝑒^{𝜆 (𝑒𝑖𝑡−1)}𝜆𝑒^𝑖𝑡𝑖 𝜆 𝑖 𝑒^𝑖𝑡 + 𝑒^{𝜆 (𝑒𝑖𝑡−1)}𝜆 𝑖²𝑒^𝑖𝑡 =

= 𝑒^{𝜆 (𝑒𝑖𝑡−1)} 𝑒^𝑖𝑡𝑖²𝜆 (𝜆 𝑒^𝑖𝑡 + 1) Entonces, 𝜑^′′_𝑋(0) = 𝑖²𝜆 (𝜆 + 1)

𝑖²𝐸(𝑋²) = 𝑖²𝜆 (𝜆 + 1) ⇒ 𝐸(𝑋²) = 𝜆² + 𝜆 y 𝑉 (𝑋) = 𝜆² + 𝜆 − 𝜆² = 𝜆.

Del mismo modo, podemos obtener los restantes momentos de 𝑋.

2) 𝑋 ∼ 𝑁((0, 1)

𝜑_𝑋(𝑡) = ^{∫ ∞}

−∞𝑒^{𝑖 𝑡 𝑥}𝑒^−𝑥2/2

√2𝜋 𝑑𝑥 = 1

√2𝜋

∫ ∞

−∞𝑒^{𝑖 𝑡 𝑥}𝑒^−𝑥2/2𝑑𝑥 Pero,

𝑒^{𝑖𝑡𝑥−𝑥2/2} = 𝑒^{𝑖𝑡𝑥−𝑥2/2+𝑡2/2}𝑒^−𝑡2/2 = 𝑒^{(𝑡+𝑖𝑥)2/2}𝑒^−𝑡2/2

Entonces, 𝜑_𝑋(𝑡) = 1

√2𝜋

∫ ∞

−∞ 𝑒^{(𝑡+𝑖𝑥)2/2}𝑒^−𝑡2/2𝑑𝑥 = 𝑒^{−𝑡2/2∫ ∞}

−∞

√1

2𝜋𝑒^{(𝑡+𝑖𝑥)2/2}𝑑𝑥 Probaremos que

ℎ(𝑡) = ^∫_−∞^∞ 1

√2𝜋𝑒^{(𝑡+𝑖𝑥)2/2}𝑑𝑥 = 1

ℎ^′(𝑡) = 1

√2𝜋

∫ ∞

−∞(𝑡 + 𝑖 𝑥)𝑒^{(𝑡+𝑖𝑥)2/2}𝑑𝑥 =

= lim

𝑘→∞

∫ 𝑘

−𝑘

√1

2𝜋(𝑡 + 𝑖 𝑥)𝑒^{(𝑡+𝑖𝑥)2/2}𝑑𝑥 =

= lim

𝑘→∞

√1

2𝜋(−𝑖)𝑒^{(𝑡+𝑖𝑥)2/2}∣^𝑘_−𝑘

= lim

𝑘→∞

(−𝑖)

√2𝜋

[

𝑒^{(𝑡+𝑖𝑘)2/2} − 𝑒^{(𝑡−𝑖𝑘)2/2}

]

= lim

𝑘→∞

(−𝑖)

√2𝜋𝑒^{(𝑡2−𝑘2)/2 [}𝑒^𝑡𝑖𝑘 − 𝑒^{−𝑡𝑖𝑘]} Pero,

∣𝑒^𝑡𝑖𝑘 − 𝑒^{−𝑡𝑖𝑘}∣ ≤ 2 y lim

𝑘→∞𝑒^{(𝑡2−𝑘2)/2} = 0 Entonces, ℎ^′(𝑡) = 0 ⇒ ℎ(𝑡) es constante. Pero

ℎ(0) = ^{∫ ∞}

−∞

√1

2𝜋 𝑒^−𝑥2/2𝑑𝑥 = 1

Entonces, ℎ(𝑡) = 1 ∀𝑡 y

𝜑_𝑋(𝑡) = 𝑒^−𝑡2/2

Si 𝑌 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎²), entonces, 𝑌 = 𝜎 𝑋 + 𝜇 con 𝑋 ∼ 𝑁(0, 1), entonces

𝜑_𝑌(𝑡) = 𝜑_{𝜎𝑋+𝜇}(𝑡) = 𝑒^𝑖𝑡𝜇𝜑_𝑋(𝜎𝑡) = 𝑒^𝑖𝑡𝜇𝑒^{−𝜎2𝑡2/2}

F´ormula de Inversi´on: Sea 𝑋 una v.a. con distribuci´on 𝐹 y funci´on caracter´ıstica 𝜑, y sean 𝑎 y 𝑏 dos puntos de continuidad de 𝐹 , 𝑎 < 𝑏, entonces

𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎) = 1

2𝜋 lim

𝑘→∞

∫ 𝑘

−𝑘

𝑒^{−𝑖𝑡𝑎} − 𝑒^{−𝑖𝑡𝑏}

𝑖𝑡 𝜑(𝑡)𝑑𝑡

Corolario:

𝐹_𝑋 = 𝐹_𝑌 ⇐⇒ 𝜑^𝑋 = 𝜑_𝑌 (𝜑_𝑋(𝑡) = 𝜑_𝑌(𝑡) ∀𝑡 ∈ 𝑅)

Ejemplo: Sea 𝜑(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) (𝑎 > 0)

Veremos que 𝜑 es una funci´on caracter´ıstica, hallando la v.a. 𝑋 correspondiente.

Como 𝜑(𝑡) es real, 𝑋 es sim´etrica. Adem´as, 𝜑(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) = 𝐸(𝑐𝑜𝑠(𝑡𝑋))

pues la parte imaginaria es nula. Como 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(−𝑎𝑡), 𝑋 es la v.a. discreta tal que

𝑃 (𝑋 = 𝑎) = 𝑃 (𝑋 = −𝑎) = 1/2.

Teorema de Helly–Bray: Sean 𝐹 y 𝐹₁, 𝐹₂, . . . fun- ciones de distribuci´on. Si 𝐹_𝑛 converge d´ebilmente a 𝐹 , entonces

lim_𝑛→∞ ^∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝐹_𝑛(𝑥) = ^∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝐹 (𝑥)

para toda funci´on 𝑔 continua y acotada (𝑔 : 𝑅 → 𝑅).

Observaciones: 1) La rec´ıproca del Teorema es v´alida, o sea si

𝑛→∞lim

∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝐹_𝑛(𝑥) = ^∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝐹 (𝑥)

para toda 𝑔 continua y acotada, entonces 𝐹_𝑛 converge d´ebilmente a 𝐹 y, debido a esta equivalencia, muchas veces se toma como definici´on de convergencia d´ebil.

2) Si 𝑋_𝑛 → 𝑋, por Helly–Bray, 𝐸(𝑔(𝑋^{𝒟 𝑛})) converge a 𝐸(𝑔(𝑋)) , para toda 𝑔 continua y acotada. En particular, como 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑐𝑜𝑠(𝑥) son continuas y acotadas, resulta que

𝑛→∞lim 𝜑_𝑋𝑛(𝑡) = 𝜑_𝑋(𝑡) ∀𝑡 ∈ 𝑅

Teorema de continuidad de Paul–Levy: Sean 𝐹₁, 𝐹₂, . . . funciones de distribuci´on y 𝜑₁, 𝜑₂, . . . sus correspondientes funciones caracter´ısticas. Si 𝜑_𝑛 converge puntualmente a una funci´on 𝜑 y si 𝜑 es con- tinua en 0, entonces

a) existe una funci´on de distribuci´on 𝐹 tal que 𝐹𝑛 𝑤

→ 𝐹 b) 𝜑 es la funci´on caracter´ıstica de 𝐹

Notas:

1) Estos dos teoremas implican que

𝑋_𝑛 → 𝑋 ⇐⇒ 𝜑^{𝒟 𝑋𝑛} → 𝜑^𝑋

2) El Teorema de Paul–Levy es m´as fuerte que la

”suficiencia” pues dice que el l´ımite de una sucesi´on de funciones caracter´ısticas es una funci´on caracter´ıstica si es continua en 0.

Corolario:

a) Sean 𝑋₁, 𝑋₂, . . . v.a. Si 𝜑_𝑋𝑛(𝑡) → 𝜑^𝑋(𝑡)∀𝑡 ∈ 𝑅 y si 𝜑 es continua en 0, entonces 𝜑 es funci´on caracter´ıstica de alguna v.a. 𝑋, o sea 𝜑 = 𝜑_𝑋 y 𝑋𝑛 𝒟

→ 𝑋.

b) Si 𝜑𝑋𝑛(𝑡) → 𝑒^−𝑡2/2 ∀𝑡, entonces 𝑋^𝑛 → 𝑍^𝒟 con 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1), es decir 𝐹^𝑛 → 𝜙.^𝑤

Teorema Central del L´ımite

Teorema Central del L´ımite para v.a. i.i.d:

Sean 𝑋₁, 𝑋₂, . . . v.a. i.i.d. con 𝐸(𝑋_𝑖) = 𝜇, 𝑉 (𝑋_𝑖) = 𝜎² < ∞, y sea 𝑆^𝑛 = 𝑋₁ + 𝑋₂ + . . . + 𝑋_𝑛, entonces

𝑆_𝑛 − 𝐸(𝑆^𝑛)

√𝑉 (𝑆_𝑛) = 𝑆_𝑛 − 𝑛 𝜇 𝜎√

𝑛

→ 𝑍𝒟

con 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1).

Demostraci´on: Supondremos 𝜇 = 0. Por el Teorema de Paul–Levy, basta probar que

𝜑_{𝑆𝑛/𝜎}^√_𝑛(𝑡) → 𝑒^−𝑡2/2 ∀𝑡 ∈ 𝑅

𝜑_{𝑆𝑛/𝜎}^√_𝑛(𝑡) = 𝜑𝑆𝑛

⎛

⎜

⎝

𝑡 𝜎√

𝑛

⎞

⎟

⎠ = ^∏𝑛

𝑖=1𝜑𝑋𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑡 𝜎√

𝑛

⎞

⎟

⎠ =

⎡

⎢

⎣𝜑𝑋𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑡 𝜎√

𝑛

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑛

Como 𝐸(𝑋_𝑖²) < ∞, entonces 𝜑^𝑋𝑖 tiene dos derivadas continuas y, aplicando la f´ormula de Taylor

𝜑_𝑋𝑖(𝑡) = 𝜑_𝑋𝑖(0) + 𝜑⁽¹⁾_𝑋𝑖(0) 𝑡 + 𝜑⁽²⁾_𝑋𝑖(𝜃) 𝑡²/2 donde ∣𝜃∣ ≤ ∣𝑡∣.

𝜑_𝑋𝑖(𝑡) = 𝜑_𝑋𝑖(0)+𝜑⁽¹⁾_𝑋𝑖(0) 𝑡+𝜑⁽²⁾_𝑋𝑖(0) 𝑡² 2+𝑡²

2 [𝜑⁽²⁾_𝑋𝑖(𝜃)−𝜑⁽²⁾𝑋𝑖(0)]

donde 𝜑⁽²⁾_𝑋𝑖(𝜃) − 𝜑⁽²⁾𝑋𝑖(0) →𝑡→0 0.

Pero,

𝜑_𝑋𝑖(0) = 1 𝜑⁽¹⁾_𝑋𝑖(0) = 𝑖𝜇 = 0 𝜑⁽²⁾_𝑋𝑖(0) = 𝑖²𝐸(𝑋_𝑖²) = −𝜎² Entonces

𝜑 (𝑡) = 1 − 𝜎²𝑡²

+ 𝑡² 𝜖(𝑡)

donde lim_𝑡→0𝜖(𝑡) = 0.

Para 𝑡 fijo,

⎡

⎢

⎣𝜑_𝑋𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑡 𝜎√

𝑛

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑛

=

⎡

⎢

⎣1 − 𝑡²

2𝑛 + 𝑡²

2𝜎²𝑛𝜖( 1 𝜎√

𝑛)

⎤

⎥

⎦

𝑛

=

=

⎡

⎢

⎣1− 𝑡² 2𝑛

⎛

⎜

⎝1− 1

𝜎² 𝜖( 1 𝜎√

𝑛)

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑛

→𝑛→∞ 𝑒^−𝑡2/2 pues 1 − _𝜎¹2𝜖⁽_𝜎^√1_𝑛⁾ →𝑛→∞ 1.

Corolario (TCL de De Moivre y Laplace): Sea 𝑆_𝑛 el n´umero de ´exitos en 𝑛 ensayos Bernoulli independientes con probabilidad 𝑝 de ´exito (0 < 𝑝 < 1), entonces

𝑆_𝑛 − 𝑛 𝑝

√𝑛 𝑝 (1 − 𝑝)

→ 𝑍𝒟

con 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1).

Ejemplos: 1) Al sumar n´umeros, una calculadora aproxima cada n´umero al entero m´as pr´oximo. Los errores de aproximaci´on se suponen independientes y con distribuci´on 𝑈 (−0.5, 0.5).

a) Si se suman 1500 n´umeros, cu´al es la probabilidad de que la magnitud del error total exceda 15?

𝑃 (∣𝑆¹⁵⁰⁰∣ > 15) = 1 − 𝑃 (∣𝑆¹⁵⁰⁰∣ ≤ 15) =

= 1− 𝑃 (−15 ≤ 𝑆¹⁵⁰⁰ ≤ 15) =

= 1− 𝑃

⎛

⎜

⎜

⎝

−15

√1500/12 ≤ 𝑆₁₅₀₀

√1500/12 ≤ 15

√1500/12

⎞

⎟

⎟

⎠

pues 𝐸(𝑋𝑖) = 0 y 𝑉 (𝑋𝑖) = 1/12. Entonces,

𝑃 (∣𝑆¹⁵⁰⁰∣ > 15) ^(𝑎)= 1 − 𝜙(15/11.18) + 𝜙(−15/11.18) = 1 − 𝜙(1.34) + 𝜙(−1.34) = 0.18

b) Cu´antos n´umeros pueden sumarse a fin de que la mag- nitud del error total sea menor que 10, con probabilidad 0.90?

𝑛 tal que 𝑃 (∣𝑆^𝑛∣ ≤ 10) ≥ 0.90 𝑃 (−10 ≤ 𝑆^𝑛 ≤ 10) ≥ 0.90

𝑃

⎛

⎜

⎜

⎝

−10

√𝑛/12 ≤ 𝑆_𝑛

√𝑛/12 ≤ 10

√𝑛/12

⎞

⎟

⎟

⎠ ≥ 0.90 𝜙

⎛

⎜

⎜

⎝

10

√𝑛/12

⎞

⎟

⎟

⎠ − 𝜙

⎛

⎜

⎜

⎝

−10

√𝑛/12

⎞

⎟

⎟

⎠ ≥ 0.90

2 𝜙

⎛

⎜

⎜

⎝

10

√𝑛/12

⎞

⎟

⎟

⎠ − 1 ≥ 0.90 10

√𝑛/12 ≥ 1.64

√𝑛 ≤ 21.12 𝑛 ≤ 446

2) Sea 𝑋 ∼ 𝐵𝑖(60, 1/3). Calcular en forma aproximada la probabilidad de que 𝑋 sea mayor o igual que 25.

𝑃 (𝑋 ≥ 25) = 𝑃 (𝑋 ≥ 24.5) =

𝑃

⎛

⎝𝑋 − 20√

13.33 ≥ 24.5√ − 20 13.33

⎞

⎠

(𝑎)= 1−𝜙(1.23) = 1−0.89 = 0.11

Proposici´on: Sean 𝑋 y 𝑋₁, 𝑋₂, . . . v.a. y 𝑔 : 𝑅 → 𝑅 una funci´on continua, entonces

a) 𝑋_𝑛 → 𝑋^𝑝𝑝 ⇒ 𝑔(𝑋_𝑛) → 𝑔(𝑋)^𝑝𝑝 b) 𝑋_𝑛 → 𝑋^𝑝 ⇒ 𝑔(𝑋_𝑛) → 𝑔(𝑋)^𝑝 c) 𝑋_𝑛 → 𝑋^𝒟 ⇒ 𝑔(𝑋_𝑛) → 𝑔(𝑋)^𝒟

Ejemplos:

1) 𝑋_𝑛 → 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1)^𝒟 ⇒ 𝑋_𝑛² → 𝑊 ∼ 𝜒^{𝒟 2}1

2) 𝑋_𝑛 → 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1)^𝒟 ⇒ 𝑐 𝑋_𝑛 → 𝑌 ∼ 𝑁(0, 𝑐^{𝒟 2}) 3) 𝑋_𝑛 → 𝑐 (𝑐 > 0)^𝑝 ⇒ 𝑙𝑛(𝑋_𝑛) → 𝑙𝑛(𝑐)^𝑝

Nota: Si 𝑔 no est´a definida o no es continua en toda la recta (𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) o 𝑔(𝑥) = 1/𝑥), se puede probar que la proposici´on anterior es cierta si, para alg´un abierto 𝐴 de 𝑅, 𝑔 es continua en 𝐴 y 𝑃 (𝑋 ∈ 𝐴) = 1.

Teorema de Slutsky: Sean 𝑋, 𝑋₁, 𝑋₂, . . . e 𝑌₁, 𝑌₂, . . . v.a. tales que 𝑋_𝑛 → 𝑋, 𝑌^{𝒟 𝑛} → 𝑐 (𝑐 constante), entonces:^𝑝 a) 𝑋_𝑛 + 𝑌_𝑛 → 𝑋 + 𝑐^𝒟

b) 𝑋𝑛 − 𝑌^𝑛 → 𝑋 − 𝑐^𝒟 c) 𝑋𝑛 𝑌𝑛 𝒟

→ 𝑐 𝑋

d) Si 𝑐 ∕= 0 y 𝑃 (𝑌^𝑛 ∕= 0) = 1, entonces 𝑋_𝑛

𝑌_𝑛

→𝒟 𝑋 𝑐

Proposici´on: Sean 𝑌₁, 𝑌₂, . . . v.a. tales que

√𝑛(𝑌_𝑛 − 𝜇) → 𝑁(0, 𝜎^{𝒟 2})

Si 𝑔(𝑦) es una funci´on derivable en 𝜇, entonces

√𝑛(𝑔(𝑌𝑛) − 𝑔(𝜇)) → 𝑁(0, 𝜎^{𝒟 2}(𝑔^′(𝜇))²)

Nota: Vale si 𝑔^′(𝜇) = 0, si se piensa que 𝑁 (0, 0) equivale a la masa puntual en 0.

Ejemplo: Si 𝑋1, 𝑋2, . . . son v.a. i.i.d. con 𝐸(𝑋𝑖) = 𝜇 y 𝑉 (𝑋𝑖) = 𝜎² < ∞ entonces, por el TCL:

𝑆_𝑛 − 𝑛 𝜇

√𝑛 𝜎

→ 𝑁(0, 1)𝒟

√𝑛

⎛

⎜

⎝

𝑋¯_𝑛 − 𝜇 𝜎

⎞

⎟

⎠

→ 𝑁(0, 1)𝒟

√𝑛 ⁽𝑋¯_𝑛 − 𝜇⁾ → 𝑁(0, 𝜎^{𝒟 2}) Sea 𝑔(𝑥) = 𝑥², entonces 𝑔^′(𝜇) = 2 𝜇 y

√𝑛 ⁽𝑋¯_𝑛² − 𝜇²⁾ → 𝑁(0, 4 𝜎^{𝒟 2}𝜇²)

Teorema Central del L´ımite de Lindeberg:

Sean 𝑋₁, 𝑋₂, . . . v.a. independientes tales que 𝐸(𝑋_𝑛) = 𝜇_𝑛 y 𝑉 (𝑋_𝑛) = 𝜎_𝑛² < ∞ con por lo menos un 𝜎_𝑛 > 0. Sea 𝑆_𝑛 = 𝑋₁ + . . . + 𝑋_𝑛, entonces para que

𝑆_𝑛 − 𝐸(𝑆^𝑛)

√𝑉 (𝑆_𝑛)

→ 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1)𝒟

es suficiente que se satisfaga la siguiente condici´on:

∀𝜖 > 0 𝑙𝑖𝑚_𝑛→∞ 1 𝑠²_𝑛

∑𝑛 𝑘=1

∫

∣𝑥−𝜇^𝑘∣>𝜖 𝑠^𝑛(𝑥−𝜇^𝑘)²𝑑𝐹_𝑘(𝑥) = 0 donde 𝐹𝑘 = 𝐹𝑋𝑘 y 𝑠𝑛 = ^√𝑉 (𝑆𝑛) = ^√𝜎₁² + ... + 𝜎_𝑛².

Nota: La condici´on de Lindeberg significa que los t´erminos 𝑋_𝑘 − 𝜇^𝑘

𝑠𝑛

de la suma 𝑆_𝑛 − 𝐸(𝑆^𝑛) 𝑠𝑛

son uniformemente peque˜nos para 𝑛 grande.

Por ejemplo, la condici´on de Lindeberg implica que

1≤𝑘≤𝑛max 𝜎_𝑘²

𝑠²_𝑛 → 0

cuando 𝑛 → ∞, o sea que las varianzas de cada sumando 𝑋_𝑘 son uniformemente peque˜nas cuando 𝑛 es grande y, por lo tanto, ning´un sumando tiene demasiado peso en la suma ^{𝑆𝑛−𝐸(𝑆𝑛)}.